Young’s Modulus Questions in Hindi

(D) माना $l_s, r_s, Y_s$ स्टील के तार की लंबाई,त्रिज्या और यंग मापांक हैं,और $l_b, r_b, Y_b$ पीतल के तार के लिए हैं।
दिए गए अनुपात: $\frac{l_s}{l_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,$\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
फ्री बॉडी डायग्राम से,स्टील के तार में तनाव $F_s = 2g$ है और पीतल के तार में तनाव $F_b = 2g + 2g = 4g$ है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ को $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,पीतल और स्टील के विस्तार का अनुपात:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \frac{F_b l_b}{\pi r_b^2 Y_b} \cdot \frac{\pi r_s^2 Y_s}{F_s l_s} = \left(\frac{F_b}{F_s}\right) \left(\frac{l_b}{l_s}\right) \left(\frac{r_s}{r_b}\right)^2 \left(\frac{Y_s}{Y_b}\right)$.
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \left(\frac{4g}{2g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b)^2 (c) = \frac{2 b^2 c}{a}$.
प्रश्न में पूछे गए अनुपात और विकल्पों को देखते हुए,स्टील और पीतल के विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta l_s}{\Delta l_b} = \frac{a}{2 b^2 c}$ होगा,जो विकल्प $D$ है।

(B) तार का विस्तार $\Delta L$,$\Delta L = \frac{FL}{AY}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि तार समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए $Y_A = Y_B = Y$ होगा। बल $F$ भी समान है।
हम जानते हैं कि द्रव्यमान $m = \rho A L$,जहाँ $\rho$ घनत्व है। पदार्थ समान होने के कारण,$\rho_A = \rho_B = \rho$ होगा।
अतः,$L = \frac{m}{\rho A}$।
इस मान को विस्तार के सूत्र में रखने पर: $\Delta L = \frac{F}{\rho A^2 Y} \cdot m$।
विस्तार के अनुपात के लिए: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{m_A}{m_B} \cdot \left( \frac{A_B}{A_A} \right)^2$।
दिया गया है कि $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$ और $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{A_B}{A_A} = 2$ होगा।
अतः,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{2}{3} \cdot (2)^2 = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}$।

(D) माना दोनों छड़ों की लंबाई $L_1$ और $L_2$,घनत्व $\rho$ और यंग मापांक $Y$ है।
समान द्रव्यमान होने के कारण,$m_1 = m_2 \implies \rho A_1 L_1 = \rho A_2 L_2 \implies A_1 L_1 = A_2 L_2$।
वृत्ताकार छड़ के लिए,$A_1 = \pi (0.5)^2 = \frac{\pi}{4} \ cm^2$।
वर्गाकार छड़ के लिए,$A_2 = 1^2 = 1 \ cm^2$।
लंबाई में वृद्धि $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ होती है।
अनुपात $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{L_1}{A_1} \times \frac{A_2}{L_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1}$।
समीकरण $A_1 L_1 = A_2 L_2$ से,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{A_2}{A_1}$।
अतः,अनुपात $= (\frac{A_2}{A_1})^2 = (\frac{1}{\pi/4})^2 = (\frac{4}{\pi})^2 = \frac{16}{\pi^2}$।

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जो विस्तार $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A}$ देता है।
कुल विस्तार $\Delta L_{total} = \Delta L_s + \Delta L_c = 1.05 \times 10^{-3} \ m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{F \cdot L_s}{Y_s \cdot A} + \frac{F \cdot L_c}{Y_c \cdot A} = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F \left( \frac{3}{2 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} + \frac{2.2}{1.1 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
भिन्नों का उपयोग करने पर: $F \left( \frac{3}{12 \times 10^5} + \frac{2.2}{6.6 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{1}{4 \times 10^5} + \frac{1}{3 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{3+4}{12 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{7}{12 \times 10^5} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F = \frac{1.05 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^5}{7} = 180 \ N$.

(B) दिया गया है: अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 10^{-6} \, m^2$, विकृति $\varepsilon = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$, तनाव बल $T = 1000 \, N$.
यंग मापांक $Y$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है。
प्रतिबल $\sigma = T / A = 1000 / 10^{-6} = 10^9 \, N/m^2$.
यंग मापांक $Y = \sigma / \varepsilon = 10^9 / 10^{-3} = 10^{12} \, N/m^2$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2 \ kg$,लंबाई $l = 2 \ m$,क्षेत्रफल $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$,अधिकतम विस्तार $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$।
उच्चतम बिंदु पर तनाव शून्य होने के लिए,निचले बिंदु पर वेग $v = \sqrt{5gl}$ होना चाहिए।
$v = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10 \ ms^{-1}$।
अधिकतम तनाव $T_{\max}$ ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर होता है:
$T_{\max} = mg + \frac{Mv^2}{l} = (2 \times 10) + \frac{2 \times (10)^2}{2} = 20 + 100 = 120 \ N$।
यंग मापांक के सूत्र $Y = \frac{T_{\max} \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ का उपयोग करने पर:
$Y = \frac{120 \times 2}{1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{240}{2 \times 10^{-9}} = 120 \times 10^9 = 1.2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$।

(D) यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{\Delta L A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$,इसलिए $\Delta L = \frac{FL}{YA} = \frac{4FL}{Y \pi D^2}$ होता है।
समान पदार्थ के तारों के लिए ($Y$ स्थिर है) और समान बल ($F$ स्थिर है) के लिए,लंबाई में वृद्धि $\Delta L \propto \frac{L}{D^2}$ होती है।
$(a)$ $\frac{100}{1^2} = 100$
$(b)$ $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$
$(c)$ $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$
$(d)$ $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(d)$ के लिए लंबाई में वृद्धि अधिकतम है।

(A) हुक के नियम के अनुसार,$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l_0}$,जिसका अर्थ है $\Delta l = \frac{F l_0}{A Y}$।
चूंकि तीनों तारों के लिए बल $F$ और मूल लंबाई $l_0$ समान है,इसलिए विस्तार $\Delta l$ क्षेत्रफल $A$ और यंग मापांक $Y$ के गुणनफल के व्युत्क्रमानुपाती है:
$\Delta l \propto \frac{1}{A Y}$।
दिए गए अनुपात $A_1:A_2:A_3 = 1:2:3$ और $Y_1:Y_2:Y_3 = 3:2:1$ से,हम $A_i Y_i$ का गुणनफल निकालते हैं:
$A_1 Y_1 = 1 \times 3 = 3$
$A_2 Y_2 = 2 \times 2 = 4$
$A_3 Y_3 = 3 \times 1 = 3$
अतः,विस्तार का अनुपात $\Delta l_1 : \Delta l_2 : \Delta l_3 = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3}$ होगा।
अनुपात को सरल बनाने के लिए $12$ से गुणा करने पर,हमें $4 : 3 : 4$ प्राप्त होता है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर, तार में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है और वस्तु के भार को संतुलित करता है।
तार पर कार्य करने वाला कुल बल $F = mg + m\omega^2l$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान: $m = 15 \,kg$, $l = 1.0 \,m$, $\omega = 4 \,rad/s$, $A = 0.05 \,cm^2 = 0.05 \times 10^{-4} \,m^2$, $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$, और $g = 10 \,m/s^2$.
बल $F$ की गणना:
$F = (15 \times 10) + (15 \times 4^2 \times 1) = 150 + 240 = 390 \,N$.
यंग मापांक के सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ का उपयोग करते हुए, तार में वृद्धि $\Delta l$ है:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY} = \frac{390 \times 1.0}{(0.05 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{390}{0.1 \times 10^7} = \frac{390}{10^6} = 390 \times 10^{-6} \,m = 0.39 \,mm$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) विस्तार $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{Y A} = \frac{m g l}{Y \pi r^2}$ है।
चूंकि $m, g, l$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए $\Delta l \propto \frac{1}{Y r^2}$ होगा।
अतः,$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
दिया है कि $\Delta l_2 = 2 \Delta l_1$,इसलिए $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{1.5}{2} \right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{Y_2}{Y_1} \times \frac{9}{16}$.
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{9}{16} \times 2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 10.0 \ mm = 0.01 \ m$,लंबाई $L = 50.0 \ cm = 0.5 \ m$,बल $F = 10.0 \times \pi \ kN = 10^4 \pi \ N$,यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$।
लंबाई में परिवर्तन का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $A = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$।
$\Delta L = \frac{(10^4 \pi) \times 0.5}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})}$।
$\Delta L = \frac{0.5 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 0.25 \times 10^{-3} \ m = 0.25 \ mm$।

(C) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
चूंकि तार सिरे से सिरे जुड़े हुए हैं और समान तनाव $(F)$ के अधीन हैं,इसलिए दोनों तारों के लिए बल $F$ समान है। यह देखते हुए कि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ और विस्तार $(\Delta L)$ भी समान हैं,हमारे पास है:
$\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$
चूंकि दोनों तारों के लिए $\Delta L$,$F$,और $A$ स्थिर हैं,हम लिख सकते हैं:
$\frac{L_{\text{steel}}}{Y_{\text{steel}}} = \frac{L_{\text{copper}}}{Y_{\text{copper}}}$
लंबाई के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{L_{\text{steel}}}{L_{\text{copper}}} = \frac{Y_{\text{steel}}}{Y_{\text{copper}}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{L_{\text{steel}}}{L_{\text{copper}}} = \frac{2.0 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{20}{11}$
अतः,अनुपात $20: 11$ है।

(D) माना कि $L_0$ तार की प्राकृतिक लंबाई है और $Y$ पदार्थ का यंग मापांक है।
हुक के नियम के अनुसार,लंबाई में वृद्धि $\Delta L = L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$,जहाँ $T$ तनाव बल है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
अतः,$L = L_0 + \frac{L_0 T}{A Y} = L_0 \left(1 + \frac{T}{A Y}\right)$.
दी गई शर्तों के लिए:
$L_1 = L_0 \left(1 + \frac{T_1}{A Y}\right) \implies L_1 - L_0 = \frac{L_0 T_1}{A Y} \quad \dots (i)$
$L_2 = L_0 \left(1 + \frac{T_2}{A Y}\right) \implies L_2 - L_0 = \frac{L_0 T_2}{A Y} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{L_1 - L_0}{L_2 - L_0} = \frac{T_1}{T_2}$
$T_2(L_1 - L_0) = T_1(L_2 - L_0)$
$L_1 T_2 - L_0 T_2 = L_2 T_1 - L_0 T_1$
$L_1 T_2 - L_2 T_1 = L_0 T_2 - L_0 T_1 = L_0(T_2 - T_1)$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(B) हम जानते हैं कि, यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$
लंबाई में परिवर्तन $(\Delta l)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$
दी गई मान:
बल $(F)$ = $80 \,kN = 80 \times 10^3 \,N$
लंबाई $(l)$ = $1 \,m$
त्रिज्या $(r)$ = $10 \,mm = 10 \times 10^{-3} \,m = 10^{-2} \,m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ = $\pi r^2 = \pi \times (10^{-2} \,m)^2 = \pi \times 10^{-4} \,m^2$
यंग मापांक $(Y)$ = $2 \times 10^{11} \,N/m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3 \times 1}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3}{\pi \times 2 \times 10^7}$
$\Delta l = \frac{40}{\pi} \times 10^{-4} \,m = \frac{4}{\pi} \times 10^{-3} \,m$
चूंकि $10^{-3} \,m = 1 \,mm$, इसलिए:
$\Delta l = \frac{4}{\pi} \,mm$

(B) यंग मापांक $(Y)$ को तनन प्रतिबल (tensile stress) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक छड़ या तार पर उसके फलक के लंबवत $F$ बल लगाया जाता है,जिससे लंबाई में $\Delta L$ की वृद्धि होती है,तो:
$\text{तनन प्रतिबल} = \frac{F}{A}$
$\text{अनुदैर्ध्य विकृति} = \frac{\Delta L}{L}$
अतः,$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$।
इस प्रकार,यंग मापांक प्रति इकाई क्षेत्रफल बल (प्रतिबल) को लंबाई में आंशिक परिवर्तन (अनुदैर्ध्य विकृति) से संबंधित करता है।

(A) तार $A$ के लिए: लंबाई $L_A = L$,त्रिज्या $R_A = R$,क्षेत्रफल $A_A = \pi R^2$ है।
तार $B$ के लिए: लंबाई $L_B = 3L$,त्रिज्या $R_B = 2R$,क्षेत्रफल $A_B = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$ है।
जब तारों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है और $F$ बल से खींचा जाता है,तो दोनों तारों में तनाव समान होता है।
लंबाई में विस्तार $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दोनों तारों में विस्तार समान है,इसलिए $\Delta L_A = \Delta L_B$ है।
$\frac{F L_A}{A_A Y_A} = \frac{F L_B}{A_B Y_B}$
मान रखने पर:
$\frac{F L}{(\pi R^2) Y_A} = \frac{F (3L)}{(4\pi R^2) Y_B}$
$\frac{1}{Y_A} = \frac{3}{4 Y_B}$
अनुपात प्राप्त करने पर:
$\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{3}{4}$.

(B) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के छड़ के एक छोटे तत्व पर विचार करें।
इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \frac{M}{L} dx = \rho A dx$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस तत्व पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) x \omega^2 = \rho A \omega^2 x dx$ है।
अक्ष से $x$ दूरी पर तनाव $T(x)$,$x$ से $L$ तक के सभी तत्वों पर अभिकेंद्री बलों का योग है:
$T(x) = \int_x^L \rho A \omega^2 x' dx' = \rho A \omega^2 \left[ \frac{x'^2}{2} \right]_x^L = \frac{\rho A \omega^2}{2} (L^2 - x^2)$.
हुक के नियम के अनुसार $dx$ तत्व का विस्तार $d\Delta L$ है:
$d\Delta L = \frac{T(x) dx}{AY} = \frac{\rho A \omega^2 (L^2 - x^2) dx}{2 AY} = \frac{\rho \omega^2}{2Y} (L^2 - x^2) dx$.
लंबाई में कुल वृद्धि $\Delta L$,$0$ से $L$ तक का समाकलन है:
$\Delta L = \int_0^L \frac{\rho \omega^2}{2Y} (L^2 - x^2) dx = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left[ L^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left( L^3 - \frac{L^3}{3} \right) = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left( \frac{2L^3}{3} \right) = \frac{\rho \omega^2 L^3}{3Y}$.

(B) दिया है: लंबाई का अनुपात $l_1: l_2 = 5: 2$,व्यास का अनुपात $d_1: d_2 = 4: 3$ और बल का अनुपात $F_1: F_2 = 4: 5$ है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$,क्षेत्रफल का अनुपात $A_1: A_2 = d_1^2: d_2^2 = 4^2: 3^2 = 16: 9$ होगा।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta l}$ है,इसलिए लंबाई में वृद्धि $\Delta l = \frac{FL}{AY}$ होगी।
अतः,लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{F_1}{F_2} \times \frac{l_1}{l_2} \times \frac{A_2}{A_1} \times \frac{Y_2}{Y_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left(\frac{4}{5}\right) \times \left(\frac{5}{2}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right) \times \left(\frac{0.7 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}}\right)$.
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = 2 \times \frac{9}{16} \times \frac{7}{11} = \frac{18}{16} \times \frac{7}{11} = \frac{9}{8} \times \frac{7}{11} = \frac{63}{88}$.
अतः,अनुपात $\frac{63}{88}$ है।

(C) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ है।
दिए गए मान: बल $F = 400 \ kN = 400 \times 10^3 \ N$,लंबाई $L = 2 \ m$,त्रिज्या $r = 50 \ mm = 50 \times 10^{-3} \ m$,विस्तार $\Delta L = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (50 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 2500 \times 10^{-6} = 2.5 \pi \times 10^{-3} \ m^2 \approx 7.85 \times 10^{-3} \ m^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Y = \frac{400 \times 10^3 \times 2}{(2.5 \pi \times 10^{-3}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{800 \times 10^3}{1.25 \pi \times 10^{-6}} = \frac{800}{1.25 \pi} \times 10^9 \approx \frac{640}{3.14} \times 10^9 \approx 203.8 \times 10^9 \approx 2 \times 10^{11} \ N/m^2$.

(D) दिया गया है: व्यास $d = 0.015 \ m$,लंबाई $L = 0.2 \ m$।
संबंध $F = 97.2 \times 10^6 (\Delta L)$ है।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$।
$A$ का मान रखने पर: $Y = \frac{4 F L}{\pi d^2 \Delta L}$।
दिए गए संबंध से,$\frac{F}{\Delta L} = 97.2 \times 10^6 \ N/m$।
मान रखने पर: $Y = \frac{4 \times (97.2 \times 10^6) \times 0.2}{3.14159 \times (0.015)^2}$।
$Y = \frac{77.76 \times 10^6}{0.00070685} \approx 110 \times 10^9 \ Pa = 110 \ GPa$।

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 1 \,m$,व्यास $d = 8 \,mm$,त्रिज्या $r = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$,विस्तार $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$,यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta l} = \frac{m g L}{(\pi r^2) \Delta l}$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र: $m = \frac{Y \pi r^2 \Delta l}{g L}$.
मान रखने पर: $m = \frac{(2 \times 10^{11}) \times \pi \times (4 \times 10^{-3})^2 \times (5 \times 10^{-3})}{10 \times 1}$.
$m = \frac{2 \times 10^{11} \times 3.14 \times 16 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-3}}{10}$.
$m = \frac{2 \times 3.14 \times 16 \times 5 \times 10^2}{10} = 502.4 \,kg$.
नोट: स्टील के लिए यंग मापांक का मानक मान $2 \times 10^{11} \,N/m^2$ का उपयोग किया गया है।

(A) प्रसार को रोकने के लिए आवश्यक थर्मल स्ट्रेस लगाए गए दबाव के बराबर होता है।
थर्मल स्ट्रेस का सूत्र: $\sigma = Y \times \text{थर्मल स्ट्रेन}$.
थर्मल स्ट्रेन को $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,दबाव $P = Y \alpha \Delta T$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मान:
$Y = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa}$
$\alpha = 11 \times 10^{-6} / K$
$\Delta T = 100^{\circ} C = 100 \text{ K}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (200 \times 10^9) \times (11 \times 10^{-6}) \times 100$
$P = 200 \times 11 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 10^2$
$P = 2200 \times 10^5 = 2.2 \times 10^8 \text{ Pa} = 0.22 \times 10^9 \text{ Pa}$.

(D) दिया गया है:
यंग मापांक $(Y)$ = $2 \times 10^{11} \,N/m^2$
प्रत्यास्थ सीमा (प्रतिबल,$\sigma$) = $1 \times 10^8 \,N/m^2$
तार की मूल लंबाई $(L)$ = $1 \,m$
हम जानते हैं कि यंग मापांक प्रतिबल और विकृति का अनुपात होता है:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\sigma}{\Delta L / L}$
अधिकतम विस्तार $(\Delta L)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta L = \frac{\sigma \times L}{Y}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta L = \frac{1 \times 10^8 \,N/m^2 \times 1 \,m}{2 \times 10^{11} \,N/m^2}$
$\Delta L = 0.5 \times 10^{-3} \,m$
मीटर को मिलीमीटर में बदलने पर $(1 \,m = 1000 \,mm)$:
$\Delta L = 0.5 \,mm$

(C) तन्य बल के कारण विस्तार को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{A \cdot Y}$.
दिया गया है: $F = 33000 \,N$, $A = 10^{-3} \,m^2$, $Y = 3 \times 10^{11} \,N/m^2$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{33000}{10^{-3} \times 3 \times 10^{11}} = \frac{33000}{3 \times 10^8} = 11 \times 10^{-5}$.
तापीय विस्तार के कारण विस्तार इस प्रकार है: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T$.
दिया गया है: $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ}C$.
दोनों विस्तारों की तुलना करने पर: $11 \times 10^{-5} = 1.1 \times 10^{-5} \times \Delta T$.
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{11 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = 10^{\circ}C$.

(A) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
लंबाई में आंशिक परिवर्तन (विकृति) के लिए सूत्र $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY}$ है।
यहाँ $m = 1 \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $A = 3 \,mm^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$, और $Y = 10^{11} \,N/m^2$ दिया गया है।
स्थिर संतुलन स्थिति के लिए $F = mg = 1 \times 10 = 10 \,N$ लेने पर:
$\frac{\Delta l}{l} = \frac{10}{3 \times 10^{-6} \times 10^{11}} = \frac{10}{3 \times 10^5} = 0.33 \times 10^{-4} \approx 0.3 \times 10^{-4}$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{A Y}$ है,जहाँ $F$ बल है,$l$ मूल लंबाई है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = \frac{F}{\pi r^2 Y} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $\Delta x$ लंबाई में प्रतिशत वृद्धि है। चूँकि $F$ स्थिर है,इसलिए $\Delta x \propto \frac{1}{r^2 Y}$.
दिए गए अनुपात: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ और $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{2}$.
हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 \times \left(\frac{Y_B}{Y_A}\right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\Delta x_B} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$.
अतः,$\Delta x_B = 2\%$.

(B) यंग मापांक $Y$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
यहाँ,रिंग की प्रारंभिक लंबाई $L = 2 \pi r$ है।
जब इसे $R$ त्रिज्या तक खींचा जाता है,तो लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ होता है।
बल $F$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $F = \frac{Y A [2 \pi (R - r)]}{2 \pi r}$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $F = \frac{A Y (R - r)}{r}$ प्राप्त होता है।

(D) जब किसी तार का प्रसार रोका जाता है,तो उसमें उत्पन्न तापीय प्रतिबल $\sigma$ का सूत्र है: $\sigma = Y \alpha \Delta T$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि $Y$,$L$ और $\Delta T$ दोनों तारों $A$ और $B$ के लिए समान हैं,इसलिए तापीय प्रतिबल रेखीय प्रसार गुणांक के सीधे समानुपाती होता है: $\sigma \propto \alpha$.
दिया गया है कि $\alpha_A = \frac{3}{2} \alpha_B$.
अतः,तापीय प्रतिबल का अनुपात $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{\frac{3}{2} \alpha_B}{\alpha_B} = \frac{3}{2}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $3: 2$ है।

(A) मान लीजिए तार की प्राकृतिक लंबाई $L_0$ है। हुक के नियम के अनुसार,$T$ तनाव द्वारा उत्पन्न विस्तार $\Delta l = \frac{T L_0}{A Y}$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
प्रथम स्थिति में,कुल लंबाई $L = L_0 + \Delta l_1 = L_0 + \frac{T L_0}{A Y}$ है। अतः,$L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$ (समीकरण $1$)।
द्वितीय स्थिति में,कुल लंबाई $L + \Delta L = L_0 + \Delta l_2 = L_0 + \frac{(T + \Delta T) L_0}{A Y}$ है। अतः,$(L + \Delta L) - L_0 = \frac{(T + \Delta T) L_0}{A Y}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{L - L_0}{L + \Delta L - L_0} = \frac{T}{T + \Delta T}$.
वज्र-गुणन करने पर: $(L - L_0)(T + \Delta T) = T(L + \Delta L - L_0)$.
$LT + L \Delta T - L_0 T - L_0 \Delta T = TL + T \Delta L - L_0 T$.
पदों को सरल करने पर: $L \Delta T - L_0 \Delta T = T \Delta L$.
$L_0 \Delta T = L \Delta T - T \Delta L$.
$L_0 = \frac{L \Delta T - T \Delta L}{\Delta T}$.

(A, D) चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका यंग मापांक $(Y)$ समान है।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A x}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $x$ विस्तार है।
भार के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$F = (\frac{Y A}{L}) x$ प्राप्त होता है।
दोनों तारों के लिए $Y$ और $L$ समान हैं,इसलिए $F-x$ ग्राफ का ढाल अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती है (अर्थात,$\text{slope} = \frac{Y A}{L} \propto A$)।
ग्राफ से,रेखा $A$ का ढाल रेखा $B$ के ढाल से अधिक है,जिसका अर्थ है कि $A$ का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $B$ से अधिक है $(A_A > A_B)$।
अतः,कथन $A$ सत्य है और कथन $D$ सत्य है।

(C) मान लीजिए कि धातु के तार की मूल लंबाई $L$ है और इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
हुक के नियम के अनुसार,यंग मापांक $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ होता है,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
तनाव $T_1$ के लिए,लंबाई $L_1$ है,इसलिए विस्तार $\Delta L_1 = L_1 - L$ है। अतः,$Y = \frac{T_1 L}{A(L_1 - L)}$।
तनाव $T_2$ के लिए,लंबाई $L_2$ है,इसलिए विस्तार $\Delta L_2 = L_2 - L$ है। अतः,$Y = \frac{T_2 L}{A(L_2 - L)}$।
$Y$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{T_1 L}{A(L_1 - L)} = \frac{T_2 L}{A(L_2 - L)}$
$\frac{T_1}{L_1 - L} = \frac{T_2}{L_2 - L}$
$T_1(L_2 - L) = T_2(L_1 - L)$
$T_1 L_2 - T_1 L = T_2 L_1 - T_2 L$
$T_2 L - T_1 L = T_2 L_1 - T_1 L_2$
$L(T_2 - T_1) = T_2 L_1 - T_1 L_2$
$L = \frac{T_2 L_1 - T_1 L_2}{T_2 - T_1}$

(D) जब एक छड़ को दोनों सिरों पर स्थिर किया जाता है,तो उसका तापीय विस्तार रुक जाता है,जिसके परिणामस्वरूप तापीय प्रतिबल उत्पन्न होता है।
तापीय विकृति $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \cdot \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल $\sigma = Y \cdot \text{विकृति}$.
विकृति का मान रखने पर,हमें $\sigma = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Y$,$\alpha$,और $\Delta T$ प्रतिबल निर्धारित करने वाले कारक हैं,इसलिए प्रतिबल छड़ की लंबाई $L$ से स्वतंत्र है।
अतः,सही कथन यह है कि प्रतिबल $L$ से स्वतंत्र है।

(C) तार का विस्तार $\Delta L$ सूत्र $\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ तनाव बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि $A = \pi \cdot (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$।
यहाँ $F$ और $Y$ स्थिर हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{d^2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$A: \frac{200}{(0.5)^2} = 800$
$B: \frac{300}{(1.0)^2} = 300$
$C: \frac{50}{(0.05)^2} = 20000$
$D: \frac{100}{(0.2)^2} = 2500$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ के लिए अनुपात अधिकतम है।

(B) मान लीजिए $Y_s$ और $Y_b$ क्रमशः स्टील और पीतल के यंग मापांक हैं। दिया गया है $Y_s = 2 \times 10^{12} \,dynes/cm^{2}$ और $Y_b = 1 \times 10^{12} \,dynes/cm^{2}$।
मान लीजिए $L = 50 \,cm$ लंबाई है, $A = 0.005 \,cm^{2}$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $\Delta L = 0.1 \,cm$ दोनों तारों के लिए लंबाई में वृद्धि है。
तार में तनाव $T$, $T = \frac{Y A \Delta L}{L}$ द्वारा दिया जाता है。
चूंकि $A, \Delta L,$ और $L$ दोनों तारों के लिए समान हैं, इसलिए तनाव $T$ यंग मापांक $Y$ के सीधे आनुपातिक है $(T \propto Y)$।
मान लीजिए $T_s$ स्टील के तार में तनाव है और $T_b$ पीतल के तार में तनाव है。
$T_s = \frac{Y_s A \Delta L}{L}$ और $T_b = \frac{Y_b A \Delta L}{L}$।
उस बिंदु के परितः आघूर्ण (torque) लेने पर जहाँ भार $W$ स्टील के तार से $x$ दूरी पर लगाया गया है:
$T_s \cdot x = T_b \cdot (15 - x)$।
आनुपातिकता $T_s \propto Y_s$ और $T_b \propto Y_b$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$Y_s \cdot x = Y_b \cdot (15 - x)$।
$(2 \times 10^{12}) \cdot x = (1 \times 10^{12}) \cdot (15 - x)$।
$2x = 15 - x$।
$3x = 15$।
$x = 5 \,cm$।

(D) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F / A}{\Delta \ell / \ell} = \frac{F \ell}{A \Delta \ell}$ है।
यह दिया गया है कि भार $F$ और विस्तार $\Delta \ell$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए $Y \propto \frac{\ell}{A}$ है।
अतः,यंग मापांक का अनुपात $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B} \times \frac{A_B}{A_A}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\ell_A = 6.0 \ cm$,$\ell_B = 5.4 \ cm$,$A_A = 3.0 \times 10^{-5} \ m^2$,और $A_B = 4.5 \times 10^{-5} \ m^2$.
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5}} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5}{3.0} = \frac{6.0}{5.4} \times 1.5 = \frac{9}{5.4} = \frac{90}{54} = \frac{5}{3}$.
चूंकि $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{x}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{x}{3} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 5$।

(B) दो कठोर आधारों के बीच बंधे तार में तापमान परिवर्तन $\Delta \theta$ के कारण उत्पन्न तनाव $T = Y A \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है।
प्रारंभ में,तापमान परिवर्तन $\Delta \theta_1 = 27 - (-43) = 70 ^\circ C$ है। अतः,$T = Y A \alpha (70)$ . . . . . . $(1)$
मान लीजिए कि अंतिम तापमान $\theta$ है। नया तापमान परिवर्तन $\Delta \theta_2 = 27 - \theta$ है। नया तनाव $1.4 \ T = Y A \alpha (27 - \theta)$ है . . . . . . $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1.4 \ T}{T} = \frac{Y A \alpha (27 - \theta)}{Y A \alpha (70)}$
$1.4 = \frac{27 - \theta}{70}$
$27 - \theta = 1.4 \times 70 = 98$
$\theta = 27 - 98 = -71 ^\circ C$.

(D) डोरी में विस्तार $\Delta L$ को सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ तनाव है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
डोरी $A$ के लिए,समर्थित कुल द्रव्यमान $M + 2M = 3M$ है,इसलिए तनाव $F_A = 3Mg$ है।
डोरी $B$ के लिए,समर्थित द्रव्यमान $2M$ है,इसलिए तनाव $F_B = 2Mg$ है।
दिया गया है: $A_A = A_B = A$,$L_A/L_B = 2$,और $Y_A/Y_B = 0.5$ है।
$A$ में विस्तार $\Delta L_A = \frac{F_A L_A}{A Y_A} = \frac{3Mg L_A}{A Y_A}$ है।
$B$ में विस्तार $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A Y_B} = \frac{2Mg L_B}{A Y_B}$ है।
विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3Mg}{2Mg} \right) \cdot \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \cdot \left( \frac{Y_B}{Y_A} \right)$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \cdot (2) \cdot \left( \frac{1}{0.5} \right) = 3 \cdot 2 = 6$।

(C) यंग मापांक $(Y)$ तार के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
यह तार के ज्यामितीय आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या त्रिज्या $(r)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि त्रिज्या और लंबाई को दोगुना भी कर दिया जाए,तो यंग मापांक $(Y)$ अपरिवर्तित रहता है।

(C) विस्तार के लिए सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है।
चूंकि तार एक साथ जुड़े हुए हैं और तनाव के तहत हैं,इसलिए दोनों तारों पर लगाया गया बल $F$ समान है।
यह दिया गया है कि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और विस्तार $\Delta L$ भी दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए:
$\frac{L_A}{Y_A} = \frac{L_B}{Y_B} \Rightarrow \frac{L_B}{L_A} = \frac{Y_B}{Y_A}$.
यंग मापांक का अनुपात $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{20}{11}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{11}{20}$ होगा।
तार $A$ की लंबाई $L_A = 2.2\text{ m}$ रखने पर:
$L_B = L_A \times \frac{11}{20} = 2.2 \times \frac{11}{20} = \frac{24.2}{20} = 1.21\text{ m}$.

(C) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ है।
यहाँ,बल $F$ भार $W$ के बराबर है।
दिए गए ग्राफ से,हम एक बिंदु चुन सकते हैं: $W = 60\text{ N}$ और $\Delta l = 6 \times 10^{-4}\text{ m}$.
दिए गए मान हैं: लंबाई $L = 1\text{ m}$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 10^{-5}\text{ m}^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Y = \frac{60 \times 1}{10^{-5} \times 6 \times 10^{-4}}$
$Y = \frac{60}{6 \times 10^{-9}}$
$Y = 10 \times 10^9 = 1.0 \times 10^{10}\text{ N/m}^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।