अ Hindi
Young’s Modulus Questions in Hindi
Class 11 Physics · Mechanical Properties of Solids · Young’s Modulus
394+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 394 questions in Hindi
301
MediumMCQ
$L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल का एक स्टील का तार एक दृढ़ आधार से लटका हुआ है। यदि तार के पदार्थ का यंग मापांक $Y$ है और $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,तो तापमान $t^{\circ} C$ गिरने पर तनाव में वृद्धि क्या होगी?
A
$\frac{YA}{\alpha t}$
B
$YA \alpha t$
C
$Y \alpha t$
D
$\frac{L \alpha t}{Y}$
Solution
(B) तापमान में परिवर्तन $\Delta T = t$ के कारण तार में उत्पन्न तापीय विकृति $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = \alpha t$ द्वारा दी जाती है।
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ है।
विकृति के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \frac{F/A}{\alpha t}$ प्राप्त होता है।
तनाव $F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = YA \alpha t$ प्राप्त होता है।
अतः,जब तापमान $t^{\circ} C$ गिरता है तो तनाव में वृद्धि $YA \alpha t$ होती है।
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ है।
विकृति के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \frac{F/A}{\alpha t}$ प्राप्त होता है।
तनाव $F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = YA \alpha t$ प्राप्त होता है।
अतः,जब तापमान $t^{\circ} C$ गिरता है तो तनाव में वृद्धि $YA \alpha t$ होती है।
0 likes
View Solution302
MediumMCQ
हुक के नियम का पालन करने वाले तार में विस्तार $x$ है। खींचे गए तार में ध्वनि की गति $V$ है। यदि तार में विस्तार को बढ़ाकर $4x$ कर दिया जाए,तो तार में ध्वनि की गति क्या होगी?
A
$V$
B
$2.5V$
C
$2V$
D
$1.5V$
Solution
(C) खींचे गए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हुक के नियम के अनुसार,तार में तनाव $T$ विस्तार $x$ के समानुपाती होता है,अर्थात $T = kx$।
प्रारंभ में,$T_1 = kx$,इसलिए $V_1 = \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = V$।
जब विस्तार को बढ़ाकर $4x$ कर दिया जाता है,तो नया तनाव $T_2 = k(4x) = 4kx$ होता है।
ध्वनि की नई गति $V_2$ को $V_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{4kx}{\mu}}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,$V_2 = 2 \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = 2V$।
हुक के नियम के अनुसार,तार में तनाव $T$ विस्तार $x$ के समानुपाती होता है,अर्थात $T = kx$।
प्रारंभ में,$T_1 = kx$,इसलिए $V_1 = \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = V$।
जब विस्तार को बढ़ाकर $4x$ कर दिया जाता है,तो नया तनाव $T_2 = k(4x) = 4kx$ होता है।
ध्वनि की नई गति $V_2$ को $V_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{4kx}{\mu}}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,$V_2 = 2 \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = 2V$।
0 likes
View Solution303
MediumMCQ
यंग मापांक (Young's modulus) को किसके अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है?
A
तनन प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति
B
हाइड्रोलिक प्रतिबल और हाइड्रोलिक विकृति
C
अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति
D
आयतन प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति
Solution
(A) यंग मापांक $(Y)$ को प्रत्यास्थ सीमा के भीतर तनन प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $Y = \frac{\text{तनन प्रतिबल}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यह तनाव या संपीड़न के तहत किसी पदार्थ की लंबाई में परिवर्तन को सहन करने की क्षमता का माप प्रदान करता है।
गणितीय रूप से,इसे $Y = \frac{\text{तनन प्रतिबल}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यह तनाव या संपीड़न के तहत किसी पदार्थ की लंबाई में परिवर्तन को सहन करने की क्षमता का माप प्रदान करता है।
0 likes
View Solution304
EasyMCQ
निम्नलिखित में से किस पदार्थ की प्रत्यास्थता (elasticity) सबसे अधिक है?
A
स्पंज
B
स्टील
C
रबर
D
तांबा
Solution
(B) प्रत्यास्थता को किसी पदार्थ की विरूपक बल को हटाने के बाद अपने मूल आकार में वापस आने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मात्रात्मक रूप से,इसे यंग मापांक $(Y)$ द्वारा मापा जाता है।
जिस पदार्थ का यंग मापांक अधिक होता है,उस पर समान विकृति उत्पन्न करने के लिए अधिक प्रतिबल की आवश्यकता होती है,जिसका अर्थ है कि वह अधिक प्रत्यास्थ है।
दिए गए पदार्थों में,स्टील का यंग मापांक $(Y \approx 200 \ GPa)$ सबसे अधिक है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में स्टील सबसे अधिक प्रत्यास्थ पदार्थ है।
मात्रात्मक रूप से,इसे यंग मापांक $(Y)$ द्वारा मापा जाता है।
जिस पदार्थ का यंग मापांक अधिक होता है,उस पर समान विकृति उत्पन्न करने के लिए अधिक प्रतिबल की आवश्यकता होती है,जिसका अर्थ है कि वह अधिक प्रत्यास्थ है।
दिए गए पदार्थों में,स्टील का यंग मापांक $(Y \approx 200 \ GPa)$ सबसे अधिक है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में स्टील सबसे अधिक प्रत्यास्थ पदार्थ है।
0 likes
View Solution305
EasyMCQ
एक खींचे गए तार का यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ और पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.25$ है। इसकी पार्श्व विकृति (lateral strain) $\varepsilon_l = 10^{-3}$ है। तार का प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व ज्ञात कीजिए।
A
$16 \times 10^5 \ Jm^{-3}$
B
$1 \times 10^5 \ Jm^{-3}$
C
$4 \times 10^5 \ Jm^{-3}$
D
$8 \times 10^5 \ Jm^{-3}$
Solution
(A) दिया गया है: यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.25$,और पार्श्व विकृति $\varepsilon_l = 10^{-3}$।
पॉइसन अनुपात,पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) का अनुपात होता है:
$\sigma = \frac{\varepsilon_l}{\varepsilon_{long}}$
अतः,अनुदैर्ध्य विकृति:
$\varepsilon_{long} = \frac{\varepsilon_l}{\sigma} = \frac{10^{-3}}{0.25} = 4 \times 10^{-3}$
प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व $(u)$ का सूत्र:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times (\varepsilon_{long})^2$
मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{11}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$u = 10^{11} \times 16 \times 10^{-6}$
$u = 16 \times 10^5 \ Jm^{-3}$
पॉइसन अनुपात,पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) का अनुपात होता है:
$\sigma = \frac{\varepsilon_l}{\varepsilon_{long}}$
अतः,अनुदैर्ध्य विकृति:
$\varepsilon_{long} = \frac{\varepsilon_l}{\sigma} = \frac{10^{-3}}{0.25} = 4 \times 10^{-3}$
प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व $(u)$ का सूत्र:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times (\varepsilon_{long})^2$
मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{11}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$u = 10^{11} \times 16 \times 10^{-6}$
$u = 16 \times 10^5 \ Jm^{-3}$
0 likes
View Solution306
MediumMCQ
दो तार $A$ और $B$ एक ही पदार्थ से बने हैं। उनके व्यासों का अनुपात $1: 2$ है और लंबाइयों का अनुपात $1: 3$ है। यदि उन्हें समान बल से खींचा जाता है,तो उनकी लंबाइयों में वृद्धि का अनुपात क्या होगा?
A
$3: 4$
B
$2: 3$
C
$3: 2$
D
$4: 3$
Solution
(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ है,जहाँ $F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\ell$ मूल लंबाई है और $\Delta \ell$ लंबाई में परिवर्तन है।
$\Delta \ell$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ है,जहाँ $d$ व्यास है,इसलिए $\Delta \ell = \frac{4F \ell}{\pi d^2 Y}$ होता है।
चूंकि तार एक ही पदार्थ के बने हैं ($Y$ स्थिर है) और समान बल ($F$ स्थिर है) द्वारा खींचे जाते हैं,इसलिए लंबाई में परिवर्तन $\frac{\ell}{d^2}$ के समानुपाती होता है।
अतः,$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{\ell_A}{\ell_B} \right) \times \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
यहाँ $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{1}{3}$ और $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{2}$ (जिसका अर्थ है $\frac{d_B}{d_A} = 2$),इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{1}{3} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,उनकी लंबाइयों में वृद्धि का अनुपात $4: 3$ है।
$\Delta \ell$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ है,जहाँ $d$ व्यास है,इसलिए $\Delta \ell = \frac{4F \ell}{\pi d^2 Y}$ होता है।
चूंकि तार एक ही पदार्थ के बने हैं ($Y$ स्थिर है) और समान बल ($F$ स्थिर है) द्वारा खींचे जाते हैं,इसलिए लंबाई में परिवर्तन $\frac{\ell}{d^2}$ के समानुपाती होता है।
अतः,$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{\ell_A}{\ell_B} \right) \times \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
यहाँ $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{1}{3}$ और $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{2}$ (जिसका अर्थ है $\frac{d_B}{d_A} = 2$),इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{1}{3} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,उनकी लंबाइयों में वृद्धि का अनुपात $4: 3$ है।
0 likes
View Solution307
MediumMCQ
घनत्व $\rho$ और लंबाई $L$ का एक मोटा धातु का तार एक कठोर आधार से लटकाया गया है। अपने स्वयं के वजन के कारण तार की लंबाई में वृद्धि क्या होगी? ($Y =$ तार के पदार्थ का यंग मापांक)
A
$\frac{\rho g L}{Y}$
B
$\frac{1}{2} \frac{\rho g L^2}{Y}$
C
$\frac{\rho g L^2}{Y}$
D
$\frac{1}{4 Y} \rho g L^2$
Solution
(B) तार के मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक सूक्ष्म खंड मानिए।
इस खंड के नीचे तार के भाग का वजन $dw = (A \cdot x \cdot \rho) g$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस खंड पर प्रतिबल $\sigma = \frac{dw}{A} = \rho g x$ है।
विकृति $\frac{d(\Delta l)}{dx} = \frac{\sigma}{Y} = \frac{\rho g x}{Y}$ है।
कुल विस्तार $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{\rho g L^2}{2 Y}$.
इस खंड के नीचे तार के भाग का वजन $dw = (A \cdot x \cdot \rho) g$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस खंड पर प्रतिबल $\sigma = \frac{dw}{A} = \rho g x$ है।
विकृति $\frac{d(\Delta l)}{dx} = \frac{\sigma}{Y} = \frac{\rho g x}{Y}$ है।
कुल विस्तार $\Delta L$ ज्ञात करने के लिए $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{\rho g L^2}{2 Y}$.
0 likes
View Solution308
MediumMCQ
एक धात्विक छड़ तब टूट जाती है जब उत्पन्न विकृति $0.2 \%$ होती है। छड़ के पदार्थ का यंग मापांक $7 \times 10^9 \,N/m^2$ है। $10^4 \,N$ का भार उठाने के लिए आवश्यक अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है:
A
$7.1 \times 10^{-6} \,m^2$
B
$7.1 \times 10^{-4} \,m^2$
C
$7.1 \times 10^{-2} \,m^2$
D
$7.1 \times 10^{-8} \,m^2$
Solution
(B) दिया गया है: यंग मापांक,$Y = 7 \times 10^9 \,N/m^2$. भार,$F = 10^4 \,N$. विकृति,$\epsilon = \frac{\Delta l}{l} = 0.2 \% = 0.002 = 2 \times 10^{-3}$.
हम जानते हैं कि यंग मापांक को $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{F}{Y \times (\Delta l/l)}$.
मान रखने पर: $A = \frac{10^4}{7 \times 10^9 \times 0.002}$.
$A = \frac{10^4}{14 \times 10^6} = \frac{1}{14} \times 10^{-2} \approx 0.0714 \times 10^{-2} = 7.14 \times 10^{-4} \,m^2$.
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $7.1 \times 10^{-4} \,m^2$ है।
हम जानते हैं कि यंग मापांक को $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{F}{Y \times (\Delta l/l)}$.
मान रखने पर: $A = \frac{10^4}{7 \times 10^9 \times 0.002}$.
$A = \frac{10^4}{14 \times 10^6} = \frac{1}{14} \times 10^{-2} \approx 0.0714 \times 10^{-2} = 7.14 \times 10^{-4} \,m^2$.
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $7.1 \times 10^{-4} \,m^2$ है।
0 likes
View Solution309
EasyMCQ
एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का यंग मापांक होता है
A
शून्य
B
इकाई
C
अनंत
D
$(a)$ और $(b)$ के बीच
Solution
(C) एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए,किसी भी आरोपित प्रतिबल (stress) के लिए विकृति (strain) हमेशा शून्य होती है।
यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{अनुदैर्ध्य प्रतिबल}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$
चूंकि एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए विकृति $0$ होती है,इसलिए हर (denominator) $0$ हो जाता है।
अतः,$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{0} = \infty$.
इस प्रकार,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का यंग मापांक अनंत होता है।
यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{अनुदैर्ध्य प्रतिबल}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$
चूंकि एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए विकृति $0$ होती है,इसलिए हर (denominator) $0$ हो जाता है।
अतः,$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{0} = \infty$.
इस प्रकार,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का यंग मापांक अनंत होता है।
0 likes
View Solution310
MediumMCQ
$L$ लंबाई और $r$ त्रिज्या वाले निम्नलिखित चार तार एक ही पदार्थ से बने हैं। जब समान तनाव बल लगाया जाता है,तो इनमें से किसमें सबसे अधिक विस्तार होगा?
A
$L=100 \ cm, r=0.2 \ mm$
B
$L=200 \ cm, r=0.4 \ mm$
C
$L=300 \ cm, r=0.6 \ mm$
D
$L=400 \ cm, r=0.8 \ mm$
Solution
(A) तार का विस्तार $e$ सूत्र $e = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $e = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ होता है।
यह देखते हुए कि $F$ और $Y$ सभी तारों के लिए समान हैं,विस्तार $\frac{L}{r^2}$ के अनुपात के समानुपाती है,अर्थात $e \propto \frac{L}{r^2}$।
आइए प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{r^2}$ का मान ज्ञात करें:
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{100}{(0.2)^2} = \frac{100}{0.04} = 2500$.
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{200}{(0.4)^2} = \frac{200}{0.16} = 1250$.
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{300}{(0.6)^2} = \frac{300}{0.36} \approx 833.3$.
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{400}{(0.8)^2} = \frac{400}{0.64} = 625$.
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ वाले तार के लिए $\frac{L}{r^2}$ का मान सबसे अधिक है,इसलिए इसमें सबसे अधिक विस्तार होगा।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $e = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ होता है।
यह देखते हुए कि $F$ और $Y$ सभी तारों के लिए समान हैं,विस्तार $\frac{L}{r^2}$ के अनुपात के समानुपाती है,अर्थात $e \propto \frac{L}{r^2}$।
आइए प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{r^2}$ का मान ज्ञात करें:
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{100}{(0.2)^2} = \frac{100}{0.04} = 2500$.
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{200}{(0.4)^2} = \frac{200}{0.16} = 1250$.
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{300}{(0.6)^2} = \frac{300}{0.36} \approx 833.3$.
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{400}{(0.8)^2} = \frac{400}{0.64} = 625$.
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ वाले तार के लिए $\frac{L}{r^2}$ का मान सबसे अधिक है,इसलिए इसमें सबसे अधिक विस्तार होगा।
0 likes
View Solution311
EasyMCQ
समान पदार्थ से बने दो तारों को एक सिरे पर मजबूती से जकड़ा गया है और दूसरे सिरे पर समान बल द्वारा खींचा जाता है। पहले तार की लंबाई और त्रिज्या दूसरे तार की तुलना में तीन गुना है। यदि पहले तार की लंबाई में वृद्धि $x$ है,तो दूसरे तार की लंबाई में वृद्धि क्या होगी?
A
$\frac{1}{3} x$
B
$3 x$
C
$9 x$
D
$\frac{1}{9} x$
Solution
(B) चूंकि दोनों तार समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका यंग मापांक समान है $(Y_1 = Y_2)$।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,$\frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 \Delta L_1} = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 \Delta L_2}$।
दिया गया है कि $F_1 = F_2$,$L_1 = 3 L_2$,$r_1 = 3 r_2$,और $\Delta L_1 = x$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{3 L_2}{(3 r_2)^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{3 L_2}{9 r_2^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{1}{3 x} = \frac{1}{\Delta L_2}$
$\Delta L_2 = 3 x$।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,$\frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 \Delta L_1} = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 \Delta L_2}$।
दिया गया है कि $F_1 = F_2$,$L_1 = 3 L_2$,$r_1 = 3 r_2$,और $\Delta L_1 = x$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{3 L_2}{(3 r_2)^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{3 L_2}{9 r_2^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{1}{3 x} = \frac{1}{\Delta L_2}$
$\Delta L_2 = 3 x$।
0 likes
View Solution312
EasyMCQ
$1: 2$ के अनुपात में लंबाई और $3: 2$ के अनुपात में व्यास वाले दो तांबे के तारों $A$ और $B$ को $3: 1$ के अनुपात में बलों द्वारा खींचा जाता है। तारों $A$ और $B$ में प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का अनुपात क्या है?
A
$2: 1$
B
$4: 9$
C
$16: 9$
D
$4: 3$
Solution
(C) दिया गया है: $l_1: l_2 = 1: 2$,$d_1: d_2 = 3: 2$,$F_1: F_2 = 3: 1$.
प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{\sigma^2}{2Y}$ है,जहाँ $\sigma$ प्रतिबल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi (d/2)^2} = \frac{4F}{\pi d^2}$,इसलिए $\sigma \propto \frac{F}{d^2}$ है।
अतः,$U \propto \sigma^2 \propto \left(\frac{F}{d^2}\right)^2$.
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{F_1}{F_2}\right)^2 \times \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 9 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{9}$.
इस प्रकार,अनुपात $16: 9$ है।
प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{\sigma^2}{2Y}$ है,जहाँ $\sigma$ प्रतिबल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi (d/2)^2} = \frac{4F}{\pi d^2}$,इसलिए $\sigma \propto \frac{F}{d^2}$ है।
अतः,$U \propto \sigma^2 \propto \left(\frac{F}{d^2}\right)^2$.
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{F_1}{F_2}\right)^2 \times \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 9 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{9}$.
इस प्रकार,अनुपात $16: 9$ है।
0 likes
View Solution313
EasyMCQ
निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि की विमाएँ यंग मापांक (Young's modulus) के समान हैं?
A
विकृति (strain)
B
गुरुत्वीय विभव (gravitational potential)
C
पृष्ठ ऊर्जा (surface energy)
D
ऊर्जा घनत्व (energy density)
Solution
(D) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए यंग मापांक की विमाएँ प्रतिबल की विमाओं के समान होती हैं।
प्रतिबल = $\frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
अब,ऊर्जा घनत्व की विमाओं की जाँच करते हैं:
ऊर्जा घनत्व = $\frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
चूंकि यंग मापांक और ऊर्जा घनत्व दोनों की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
प्रतिबल = $\frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
अब,ऊर्जा घनत्व की विमाओं की जाँच करते हैं:
ऊर्जा घनत्व = $\frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
चूंकि यंग मापांक और ऊर्जा घनत्व दोनों की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
0 likes
View Solution314
MediumMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार,$150 \ cm$ लंबाई की एक हल्की समान छड़ $PQ$ को छत से दो धातु के तारों $A$ और $B$ का उपयोग करके क्षैतिज रूप से लटकाया गया है,जो छड़ के सिरों से बंधे हैं। दो तारों $A$ और $B$ की त्रिज्याओं और पदार्थों के यंग मापांक का अनुपात क्रमशः $2:3$ और $3:2$ है। छड़ से वजन किस स्थान पर लटकाया जाना चाहिए ताकि दोनों तारों का विस्तार समान हो जाए?
A
$P$ से $90 \ cm$ की दूरी पर
B
$P$ से $100 \ cm$ की दूरी पर
C
$Q$ से $40 \ cm$ की दूरी पर
D
$Q$ से $45 \ cm$ की दूरी पर
Solution
(A) मान लीजिए $r_A, r_B$ तार $A$ और $B$ की त्रिज्याएँ हैं और $Y_A, Y_B$ उनके यंग मापांक हैं।
दिया गया है: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{3}$ और $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{3}{2}$.
मान लीजिए $L$ तारों की लंबाई है (समान मानी गई है) और $\Delta L$ दोनों तारों में समान विस्तार है।
विस्तार के सूत्र के अनुसार,$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$,जहाँ $F$ तार में तनाव है और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों तारों के लिए $\Delta L$ समान है,इसलिए $\frac{F_A L}{\pi r_A^2 Y_A} = \frac{F_B L}{\pi r_B^2 Y_B}$.
अतः,$\frac{F_A}{F_B} = \frac{r_A^2 Y_A}{r_B^2 Y_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \left(\frac{Y_A}{Y_B}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए वजन $P$ से $x$ दूरी पर लटकाया गया है। निलंबन बिंदु के परितः आघूर्ण लेने पर,$F_A x = F_B (150 - x)$.
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{150 - x}{x} = \frac{2}{3}$.
$3(150 - x) = 2x \implies 450 - 3x = 2x \implies 5x = 450 \implies x = 90 \ cm$ ($P$ से)।
दिया गया है: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{3}$ और $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{3}{2}$.
मान लीजिए $L$ तारों की लंबाई है (समान मानी गई है) और $\Delta L$ दोनों तारों में समान विस्तार है।
विस्तार के सूत्र के अनुसार,$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$,जहाँ $F$ तार में तनाव है और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों तारों के लिए $\Delta L$ समान है,इसलिए $\frac{F_A L}{\pi r_A^2 Y_A} = \frac{F_B L}{\pi r_B^2 Y_B}$.
अतः,$\frac{F_A}{F_B} = \frac{r_A^2 Y_A}{r_B^2 Y_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \left(\frac{Y_A}{Y_B}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए वजन $P$ से $x$ दूरी पर लटकाया गया है। निलंबन बिंदु के परितः आघूर्ण लेने पर,$F_A x = F_B (150 - x)$.
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{150 - x}{x} = \frac{2}{3}$.
$3(150 - x) = 2x \implies 450 - 3x = 2x \implies 5x = 450 \implies x = 90 \ cm$ ($P$ से)।
0 likes
View Solution315
MediumMCQ
जब $L$ लंबाई के एक तार को एक सिरे से क्लैंप करके दूसरे सिरे से $F$ बल द्वारा खींचा जाता है,तो इसकी लंबाई में $l$ की वृद्धि होती है। यदि तार की त्रिज्या और आरोपित बल को आधा कर दिया जाए,तो इसकी लंबाई में वृद्धि होगी
A
$l$
B
$2l$
C
$0.5l$
D
$4l$
Solution
(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot l}$ है,जहाँ $A$ तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $l = \frac{F \cdot L}{Y \cdot \pi r^2}$।
इसका अर्थ है $l \propto \frac{F}{r^2}$।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई में वृद्धि $l_1 = k \cdot \frac{F}{r^2}$ है।
जब बल $F' = \frac{F}{2}$ और त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो,तो लंबाई में नई वृद्धि $l_2$ होगी:
$l_2 = k \cdot \frac{F'}{(r')^2} = k \cdot \frac{F/2}{(r/2)^2} = k \cdot \frac{F/2}{r^2/4} = 2 \cdot k \cdot \frac{F}{r^2} = 2l_1$।
अतः,लंबाई में नई वृद्धि $2l$ होगी।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $l = \frac{F \cdot L}{Y \cdot \pi r^2}$।
इसका अर्थ है $l \propto \frac{F}{r^2}$।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई में वृद्धि $l_1 = k \cdot \frac{F}{r^2}$ है।
जब बल $F' = \frac{F}{2}$ और त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो,तो लंबाई में नई वृद्धि $l_2$ होगी:
$l_2 = k \cdot \frac{F'}{(r')^2} = k \cdot \frac{F/2}{(r/2)^2} = k \cdot \frac{F/2}{r^2/4} = 2 \cdot k \cdot \frac{F}{r^2} = 2l_1$।
अतः,लंबाई में नई वृद्धि $2l$ होगी।
0 likes
View Solution316
MediumMCQ
$1 \,mm^2$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले स्टील के तार को उसकी लंबाई से दोगुना करने के लिए आवश्यक बल क्या होगा? (स्टील का यंग मापांक $= 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$)
A
$2 \times 10^3 \,N$
B
$2 \times 10^5 \,N$
C
$2 \times 10^2 \,N$
D
$2 \times 10^4 \,N$
Solution
(B) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$
लंबाई को दोगुना करने के लिए,लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ मूल लंबाई $L$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\Delta L = L$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\Delta L}{L} = 1$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2 \times 10^{11} = \frac{F / (1 \times 10^{-6})}{1}$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-6} \,N$
$F = 2 \times 10^5 \,N$
अतः,सही विकल्प $B$ है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$
लंबाई को दोगुना करने के लिए,लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ मूल लंबाई $L$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\Delta L = L$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\Delta L}{L} = 1$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2 \times 10^{11} = \frac{F / (1 \times 10^{-6})}{1}$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-6} \,N$
$F = 2 \times 10^5 \,N$
अतः,सही विकल्प $B$ है।
0 likes
View Solution317
MediumMCQ
एक तार को $F$ बल द्वारा $1 \ mm$ खींचा जाता है। यदि समान पदार्थ,समान लंबाई और पहले तार के व्यास से $4$ गुना व्यास वाले दूसरे तार को समान बल $F$ द्वारा खींचा जाता है,तो दूसरे तार का विस्तार क्या होगा?
A
$\frac{1}{8} \ mm$
B
$8 \ mm$
C
$16 \ mm$
D
$\frac{1}{16} \ mm$
Solution
(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi d^2}$।
चूंकि $F$,$L$ और $Y$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$ होगा।
मान लीजिए $\Delta L_1 = 1 \ mm$ और $d_1 = d$ है। दूसरे तार के लिए,$d_2 = 4d$ है।
इसलिए,$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d}{4d} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$।
अतः,$\Delta L_2 = \frac{1}{16} \cdot \Delta L_1 = \frac{1}{16} \cdot 1 \ mm = \frac{1}{16} \ mm$।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi d^2}$।
चूंकि $F$,$L$ और $Y$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$ होगा।
मान लीजिए $\Delta L_1 = 1 \ mm$ और $d_1 = d$ है। दूसरे तार के लिए,$d_2 = 4d$ है।
इसलिए,$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d}{4d} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$।
अतः,$\Delta L_2 = \frac{1}{16} \cdot \Delta L_1 = \frac{1}{16} \cdot 1 \ mm = \frac{1}{16} \ mm$।
0 likes
View Solution318
MediumMCQ
$100^{\circ} C$ तापमान पर $0.5 \ m$ लंबाई और $4 \times 10^{-6} \ m^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले एक तार को उसके ऊपरी सिरे को छत से बांधकर ऊर्ध्वाधर लटकाया जाता है। तार को फिर $0^{\circ} C$ तक ठंडा किया जाता है,लेकिन निचले सिरे पर एक द्रव्यमान जोड़कर इसे सिकुड़ने से रोका जाता है। यदि तार का द्रव्यमान नगण्य है,तो तार से जुड़े द्रव्यमान का मान क्या है ($kg$ में)? (तार के पदार्थ का यंग मापांक $= 10^{11} \ N \ m^{-2}$; तार के पदार्थ का रैखिक प्रसार गुणांक $= 10^{-5} \ K^{-1}$ और गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \ m \ s^{-2}$)
A
$10$
B
$20$
C
$30$
D
$40$
Solution
(D) यदि तार स्वतंत्र रूप से सिकुड़ सकता तो उत्पन्न तापीय विकृति $\Delta L / L = \alpha \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\alpha = 10^{-5} \ K^{-1}$ और $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$.
अतः,$\Delta L / L = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3}$.
चूंकि तार को सिकुड़ने से रोका जाता है,इसलिए उत्पन्न प्रतिबल यंग मापांक और विकृति के गुणनफल के बराबर होता है: $\text{प्रतिबल} = Y \times (\Delta L / L)$.
$\text{प्रतिबल} = 10^{11} \times 10^{-3} = 10^8 \ N \ m^{-2}$.
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\text{प्रतिबल} = F / A = (mg) / A$.
प्रतिबल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $mg / A = 10^8$.
$m = (10^8 \times A) / g = (10^8 \times 4 \times 10^{-6}) / 10$.
$m = 400 / 10 = 40 \ kg$.
यहाँ,$\alpha = 10^{-5} \ K^{-1}$ और $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$.
अतः,$\Delta L / L = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3}$.
चूंकि तार को सिकुड़ने से रोका जाता है,इसलिए उत्पन्न प्रतिबल यंग मापांक और विकृति के गुणनफल के बराबर होता है: $\text{प्रतिबल} = Y \times (\Delta L / L)$.
$\text{प्रतिबल} = 10^{11} \times 10^{-3} = 10^8 \ N \ m^{-2}$.
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,इसलिए $\text{प्रतिबल} = F / A = (mg) / A$.
प्रतिबल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $mg / A = 10^8$.
$m = (10^8 \times A) / g = (10^8 \times 4 \times 10^{-6}) / 10$.
$m = 400 / 10 = 40 \ kg$.
0 likes
View Solution319
MediumMCQ
यदि दिया गया ग्राफ $1 \,m$ लंबाई और $1 \,mm^2$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले तार पर लटकाए गए भार $(W)$ और उसमें उत्पन्न विस्तार $(\Delta l)$ को दर्शाता है, तो तार के पदार्थ का यंग मापांक क्या है?
A
$20 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$
B
$2 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$
C
$10 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$
D
$4 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$
Solution
(B) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र इस प्रकार है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$.
ग्राफ से, हम कोई भी बिंदु ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, $W = 100 \,N$ और $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$.
दिया गया है: $L = 1 \,m$, $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$.
मान रखने पर:
$Y = \frac{100 \,N \times 1 \,m}{1 \times 10^{-6} \,m^2 \times 5 \times 10^{-3} \,m} = \frac{100}{5 \times 10^{-9}} = 20 \times 10^9 \,N \,m^{-2} = 2 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।
ग्राफ से, हम कोई भी बिंदु ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, $W = 100 \,N$ और $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$.
दिया गया है: $L = 1 \,m$, $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$.
मान रखने पर:
$Y = \frac{100 \,N \times 1 \,m}{1 \times 10^{-6} \,m^2 \times 5 \times 10^{-3} \,m} = \frac{100}{5 \times 10^{-9}} = 20 \times 10^9 \,N \,m^{-2} = 2 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।
0 likes
View Solution320
MediumMCQ
एक $4 \ kg$ का पत्थर जो स्टील के तार के सिरे से बंधा है,उसे $12 \ ms^{-1}$ की स्थिर गति से एक क्षैतिज वृत्त में घुमाया जा रहा है। तार की लंबाई $4 \ m$,व्यास $2.0 \ mm$ और स्टील का यंग मापांक $2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ है। तार में उत्पन्न विकृति (strain) ज्ञात कीजिए।
A
$2.3 \times 10^{-4}$
B
$2.3 \times 10^{-5}$
C
$4.6 \times 10^{-4}$
D
$6.9 \times 10^{-4}$
Solution
(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,गति $v = 12 \ ms^{-1}$,लंबाई $l = 4 \ m$,व्यास $d = 2.0 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$।
तार में उत्पन्न तनाव बल $F$ जो अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,वह $F = \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F = \frac{4 \times (12)^2}{4} = 144 \ N$।
विकृति $\epsilon$ को $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
अतः,$\epsilon = \frac{4F}{\pi d^2 Y}$।
मान रखने पर: $\epsilon = \frac{4 \times 144}{\pi \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 2 \times 10^{11}}$।
$\epsilon = \frac{576}{\pi \times 4 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{576}{\pi \times 8 \times 10^5} = \frac{72}{\pi \times 10^5} \approx 2.29 \times 10^{-4} \approx 2.3 \times 10^{-4}$।
तार में उत्पन्न तनाव बल $F$ जो अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,वह $F = \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F = \frac{4 \times (12)^2}{4} = 144 \ N$।
विकृति $\epsilon$ को $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
अतः,$\epsilon = \frac{4F}{\pi d^2 Y}$।
मान रखने पर: $\epsilon = \frac{4 \times 144}{\pi \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 2 \times 10^{11}}$।
$\epsilon = \frac{576}{\pi \times 4 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{576}{\pi \times 8 \times 10^5} = \frac{72}{\pi \times 10^5} \approx 2.29 \times 10^{-4} \approx 2.3 \times 10^{-4}$।
0 likes
View Solution321
MediumMCQ
चित्र में दिखाए गए $3.5 \,mm^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले तांबे के तार का विस्तार क्या होगा? (दिया गया है: $Y_{\text{copper}} = 10 \times 10^{10} \,N/m^2$ और $g = 10 \,m/s^2$)
A
$10^{-4} \,m$
B
$10^{-3} \,m$
C
$10^{-6} \,m$
D
$10^{-2} \,m$
Solution
(A) तांबे के तार में तनाव बल उसके नीचे लटके हुए $7 \,kg$ द्रव्यमान के भार के कारण है।
$T = m \times g = 7 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 70 \,N$.
विस्तार $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{T \times l}{Y \times A}$ है।
दिया गया है:
$T = 70 \,N$
$l = 0.5 \,m$
$Y = 10 \times 10^{10} \,N/m^2$
$A = 3.5 \,mm^2 = 3.5 \times 10^{-6} \,m^2$
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{70 \times 0.5}{10 \times 10^{10} \times 3.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta l = \frac{35}{35 \times 10^4} = 10^{-4} \,m$.
$T = m \times g = 7 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 70 \,N$.
विस्तार $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{T \times l}{Y \times A}$ है।
दिया गया है:
$T = 70 \,N$
$l = 0.5 \,m$
$Y = 10 \times 10^{10} \,N/m^2$
$A = 3.5 \,mm^2 = 3.5 \times 10^{-6} \,m^2$
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{70 \times 0.5}{10 \times 10^{10} \times 3.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta l = \frac{35}{35 \times 10^4} = 10^{-4} \,m$.
0 likes
View Solution322
EasyMCQ
$100 \ cm$ लंबाई और $2 \ mm^2$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले एक तार को उसकी लंबाई के अनुदिश विपरीत दिशाओं में $440 \ N$ के दो बलों द्वारा खींचा जाता है। यदि तार में विस्तार $2 \ mm$ है,तो तार के पदार्थ का यंग मापांक क्या है?
A
$4.4 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$
B
$1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$
C
$2.2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$
D
$3.3 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$
Solution
(B) दिया गया है: लंबाई $l = 100 \ cm = 1 \ m$,क्षेत्रफल $A = 2 \ mm^2 = 2 \times 10^{-6} \ m^2$,बल $F = 440 \ N$,विस्तार $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$।
यंग मापांक $Y$ अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$।
मान रखने पर:
$Y = \frac{440 \times 1}{2 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{440}{4 \times 10^{-9}} = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$।
यंग मापांक $Y$ अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$।
मान रखने पर:
$Y = \frac{440 \times 1}{2 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{440}{4 \times 10^{-9}} = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$।
0 likes
View Solution323
EasyMCQ
$20 \ mm$ त्रिज्या और $2 \ m$ लंबाई वाली एक स्टील की छड़ पर उसकी लंबाई के अनुदिश $400 \ kN$ का बल लगाया जाता है। प्रतिबल और विकृति के मान क्रमशः क्या होंगे? $(Y_{\text{steel}} = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2})$
A
$1.96 \times 10^8 \ N \ m^{-2}, 0.16 \%$
B
$3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}, 0.16 \%$
C
$3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}, 0.32 \%$
D
$4 \times 10^8 \ N \ m^{-2}, 0.2 \%$
Solution
(B) दिया गया है: छड़ की त्रिज्या $r = 20 \ mm = 20 \times 10^{-3} \ m$,लंबाई $L = 2 \ m$,बल $F = 400 \ kN = 400 \times 10^3 \ N$,यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
प्रतिबल (Stress) = $\frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
मान रखने पर: $\text{Stress} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times (20 \times 10^{-3})^2} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times 400 \times 10^{-6}} = 3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$.
विकृति (Strain) = $\frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{3.18 \times 10^8}{2 \times 10^{11}} = 1.59 \times 10^{-3} = 0.159 \% \approx 0.16 \%$.
अतः,प्रतिबल और विकृति के मान $3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ और $0.16 \%$ हैं।
प्रतिबल (Stress) = $\frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
मान रखने पर: $\text{Stress} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times (20 \times 10^{-3})^2} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times 400 \times 10^{-6}} = 3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$.
विकृति (Strain) = $\frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{3.18 \times 10^8}{2 \times 10^{11}} = 1.59 \times 10^{-3} = 0.159 \% \approx 0.16 \%$.
अतः,प्रतिबल और विकृति के मान $3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ और $0.16 \%$ हैं।
0 likes
View Solution324
MediumMCQ
एल्युमीनियम से बनी एक बेलनाकार छड़ की लंबाई $1 \,m$ और व्यास $10 \,cm$ है। छड़ पर $100 \,kN$ का तन्य बल लगाया जाता है। छड़ में होने वाला विस्तार ज्ञात कीजिए। (एल्युमीनियम का यंग मापांक $= 70 \,GPa$)
A
$0.81 \times 10^{-4} \,m$
B
$2 \times 10^{-4} \,m$
C
$0.2 \times 10^{-4} \,m$
D
$1.81 \times 10^{-4} \,m$
Solution
(D) दिया गया है: लंबाई $l = 1 \,m$, व्यास $d = 10 \,cm = 0.1 \,m$, त्रिज्या $r = 0.05 \,m$, बल $F = 100 \,kN = 10^5 \,N$, यंग मापांक $Y = 70 \,GPa = 70 \times 10^9 \,Pa$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$, जहाँ $A = \pi r^2$.
विस्तार $\Delta l$ के लिए सूत्र: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 Y}$.
मान रखने पर: $\Delta l = \frac{10^5 \times 1}{3.14159 \times (0.05)^2 \times 70 \times 10^9}$.
$\Delta l = \frac{10^5}{3.14159 \times 0.0025 \times 70 \times 10^9} = \frac{10^5}{549.78 \times 10^6} \approx 1.81 \times 10^{-4} \,m$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$, जहाँ $A = \pi r^2$.
विस्तार $\Delta l$ के लिए सूत्र: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 Y}$.
मान रखने पर: $\Delta l = \frac{10^5 \times 1}{3.14159 \times (0.05)^2 \times 70 \times 10^9}$.
$\Delta l = \frac{10^5}{3.14159 \times 0.0025 \times 70 \times 10^9} = \frac{10^5}{549.78 \times 10^6} \approx 1.81 \times 10^{-4} \,m$.
0 likes
View Solution325
DifficultMCQ
एक छड़ जिसकी लंबाई '$l$',चौड़ाई '$b$' और मोटाई '$d$' है,के केंद्र पर '$W$' भार लटकाने पर उत्पन्न झुकाव (sag) क्या होगा? (जहाँ '$Y$' छड़ के पदार्थ का यंग मापांक है):
A
$\frac{W l^2}{4 b d^2 Y}$
B
$\frac{W l^3}{b d^2 Y}$
C
$\frac{W l^3}{4 b d^3 Y}$
D
उपरोक्त में से कोई नहीं
Solution
(C) जब '$l$' लंबाई,'$b$' चौड़ाई और '$d$' मोटाई वाली छड़ को दोनों सिरों पर सहारा देकर उसके केंद्र पर '$W$' भार लटकाया जाता है,तो उत्पन्न झुकाव (sag) '$\delta$' का सूत्र निम्नलिखित है:
$\delta = \frac{W l^3}{4 Y b d^3}$
यहाँ,'$W$' भार है,'$l$' लंबाई है,'$Y$' यंग मापांक है,'$b$' चौड़ाई है और '$d$' मोटाई है।
इस सूत्र की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प '$C$' सही उत्तर है।
$\delta = \frac{W l^3}{4 Y b d^3}$
यहाँ,'$W$' भार है,'$l$' लंबाई है,'$Y$' यंग मापांक है,'$b$' चौड़ाई है और '$d$' मोटाई है।
इस सूत्र की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प '$C$' सही उत्तर है।
0 likes
View Solution326
MediumMCQ
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट और $1 \,m$ लंबाई वाले एक धातु के तार को प्रत्येक तरफ $1000 \,N$ के तन्य बल से खींचा जाता है। यदि तार में खिंचाव $0.25 \,cm$ से अधिक न हो, तो तार का न्यूनतम व्यास क्या होगा ($\,mm$ में)? (धातु का यंग मापांक $= 10^{11} \,Pa$, $\sqrt{\pi} = 1.77$ लें)।
A
$1.13$
B
$2.26$
C
$4.12$
D
$3.1$
Solution
(B) दिया गया है: तन्य बल $F = 1000 \,N$, लंबाई $L = 1 \,m$, लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0.25 \,cm = 0.25 \times 10^{-2} \,m$, यंग मापांक $Y = 10^{11} \,Pa$.
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ है, जहाँ $A = \pi r^2$.
$r^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r^2 = \frac{FL}{Y \Delta L \pi}$.
मान रखने पर: $r^2 = \frac{1000 \times 1}{10^{11} \times 0.25 \times 10^{-2} \times \pi} = \frac{1000}{10^9 \times 0.25 \times \pi} = \frac{1}{0.25 \times \pi \times 10^6} = \frac{4}{\pi \times 10^6}$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \frac{2}{\sqrt{\pi} \times 10^3} = \frac{2}{1.77 \times 10^3} \approx 1.13 \times 10^{-3} \,m = 1.13 \,mm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 1.13 \,mm = 2.26 \,mm$.
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ है, जहाँ $A = \pi r^2$.
$r^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r^2 = \frac{FL}{Y \Delta L \pi}$.
मान रखने पर: $r^2 = \frac{1000 \times 1}{10^{11} \times 0.25 \times 10^{-2} \times \pi} = \frac{1000}{10^9 \times 0.25 \times \pi} = \frac{1}{0.25 \times \pi \times 10^6} = \frac{4}{\pi \times 10^6}$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \frac{2}{\sqrt{\pi} \times 10^3} = \frac{2}{1.77 \times 10^3} \approx 1.13 \times 10^{-3} \,m = 1.13 \,mm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 1.13 \,mm = 2.26 \,mm$.
0 likes
View Solution327
DifficultMCQ
समान पदार्थ से बने निम्नलिखित चार तारों पर समान तनाव बल लगाया जाता है। किस तार की लंबाई में वृद्धि सबसे अधिक होगी?
A
$50 \ cm$ लंबाई और $0.5 \ mm$ व्यास वाला तार
B
$200 \ cm$ लंबाई और $2 \ mm$ व्यास वाला तार
C
$300 \ cm$ लंबाई और $3 \ mm$ व्यास वाला तार
D
$100 \ cm$ लंबाई और $1 \ mm$ व्यास वाला तार
Solution
(A) यंग मापांक $(Y)$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है: $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$.
लंबाई में वृद्धि $(\Delta l)$ के लिए सूत्र: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$.
चूंकि क्षेत्रफल $A = \frac{\pi d^2}{4}$ है,इसलिए $\Delta l = \frac{4 F l}{\pi d^2 Y}$ प्राप्त होता है।
यहाँ तनाव $(F)$ और पदार्थ $(Y)$ समान हैं,इसलिए लंबाई में वृद्धि $\frac{l}{d^2}$ के अनुपात के समानुपाती है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{l}{d^2}$ की गणना:
$A: \frac{50}{(0.5)^2} = 200$.
$B: \frac{200}{(2)^2} = 50$.
$C: \frac{300}{(3)^2} \approx 33.33$.
$D: \frac{100}{(1)^2} = 100$.
अतः,विकल्प $A$ के लिए अनुपात सबसे अधिक है,इसलिए इसमें लंबाई में वृद्धि सबसे अधिक होगी।
लंबाई में वृद्धि $(\Delta l)$ के लिए सूत्र: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$.
चूंकि क्षेत्रफल $A = \frac{\pi d^2}{4}$ है,इसलिए $\Delta l = \frac{4 F l}{\pi d^2 Y}$ प्राप्त होता है।
यहाँ तनाव $(F)$ और पदार्थ $(Y)$ समान हैं,इसलिए लंबाई में वृद्धि $\frac{l}{d^2}$ के अनुपात के समानुपाती है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{l}{d^2}$ की गणना:
$A: \frac{50}{(0.5)^2} = 200$.
$B: \frac{200}{(2)^2} = 50$.
$C: \frac{300}{(3)^2} \approx 33.33$.
$D: \frac{100}{(1)^2} = 100$.
अतः,विकल्प $A$ के लिए अनुपात सबसे अधिक है,इसलिए इसमें लंबाई में वृद्धि सबसे अधिक होगी।
0 likes
View Solution328
EasyMCQ
समान अनुप्रस्थ काट वाले दो तार $A$ और $B$ को सिरे से सिरे तक जोड़ा गया है। जब दोनों तारों में समान तनाव उत्पन्न किया जाता है,तो तार $B$ में विस्तार,तार $A$ में विस्तार का दोगुना होता है। यदि $L_A$ और $L_B$ क्रमशः तार $A$ और $B$ की प्रारंभिक लंबाई हैं,तो (तार $A$ के पदार्थ का यंग मापांक $= 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ और तार $B$ के पदार्थ का यंग मापांक $= 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$):
A
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{10}{11}$
B
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{4}{5}$
C
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{9}{11}$
D
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{3}{7}$
Solution
(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है,$L$ प्रारंभिक लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और तनाव $T$ समान हैं,इसलिए:
$Y_A = \frac{T L_A}{A \Delta L_A}$ और $Y_B = \frac{T L_B}{A \Delta L_B}$
दोनों मापांकों का अनुपात लेने पर:
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A}{L_B} \times \frac{\Delta L_B}{\Delta L_A}$
हमें दिया गया है कि $\Delta L_B = 2 \Delta L_A$,इसलिए $\frac{\Delta L_B}{\Delta L_A} = 2$ है।
दिए गए मान $Y_A = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ और $Y_B = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ रखने पर:
$\frac{2 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{2}{1.1} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{1}{1.1} = \frac{L_A}{L_B}$
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{10}{11}$
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और तनाव $T$ समान हैं,इसलिए:
$Y_A = \frac{T L_A}{A \Delta L_A}$ और $Y_B = \frac{T L_B}{A \Delta L_B}$
दोनों मापांकों का अनुपात लेने पर:
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A}{L_B} \times \frac{\Delta L_B}{\Delta L_A}$
हमें दिया गया है कि $\Delta L_B = 2 \Delta L_A$,इसलिए $\frac{\Delta L_B}{\Delta L_A} = 2$ है।
दिए गए मान $Y_A = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ और $Y_B = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ रखने पर:
$\frac{2 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{2}{1.1} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{1}{1.1} = \frac{L_A}{L_B}$
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{10}{11}$
0 likes
View Solution329
MediumMCQ
$2.4 \ m$ लंबाई का तांबे का तार और $0.7 \ m$ लंबाई का एल्युमीनियम का तार, दोनों का व्यास $2 \ mm$ है, उन्हें सिरे से सिरे तक जोड़ा गया है। जब एक भार द्वारा खींचा जाता है, तो कुल विस्तार $0.6 \ mm$ पाया जाता है। लगाया गया भार ज्ञात कीजिए (तांबे का यंग मापांक $= 1.2 \times 10^{11} \ N/m^2$ और एल्युमीनियम का यंग मापांक $= 0.7 \times 10^{11} \ N/m^2$)। ($\pi \ N$ में)
A
$12$
B
$24$
C
$20$
D
$80$
Solution
(C) कुल विस्तार $\Delta l$ तांबे के तार और एल्युमीनियम के तार के विस्तार का योग है: $\Delta l = \Delta l_c + \Delta l_a$.
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, इसलिए दोनों पर समान भार $F$ कार्य करता है।
सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{Y A}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3} \ m)^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$:
$\Delta l = \frac{F l_c}{Y_c A} + \frac{F l_a}{Y_a A} = \frac{F}{A} \left( \frac{l_c}{Y_c} + \frac{l_a}{Y_a} \right)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( \frac{2.4}{1.2 \times 10^{11}} + \frac{0.7}{0.7 \times 10^{11}} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( 2 \times 10^{-11} + 1 \times 10^{-11} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \times 3 \times 10^{-11}$.
$0.6 \times 10^{-3} = F \times \frac{3 \times 10^{-11}}{\pi \times 10^{-6}} = F \times \frac{3 \times 10^{-5}}{\pi}$.
$F = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times \pi}{3 \times 10^{-5}} = \frac{0.6 \times 10^2 \times \pi}{3} = 0.2 \times 100 \times \pi = 20 \pi \ N$.
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, इसलिए दोनों पर समान भार $F$ कार्य करता है।
सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{Y A}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3} \ m)^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$:
$\Delta l = \frac{F l_c}{Y_c A} + \frac{F l_a}{Y_a A} = \frac{F}{A} \left( \frac{l_c}{Y_c} + \frac{l_a}{Y_a} \right)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( \frac{2.4}{1.2 \times 10^{11}} + \frac{0.7}{0.7 \times 10^{11}} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( 2 \times 10^{-11} + 1 \times 10^{-11} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \times 3 \times 10^{-11}$.
$0.6 \times 10^{-3} = F \times \frac{3 \times 10^{-11}}{\pi \times 10^{-6}} = F \times \frac{3 \times 10^{-5}}{\pi}$.
$F = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times \pi}{3 \times 10^{-5}} = \frac{0.6 \times 10^2 \times \pi}{3} = 0.2 \times 100 \times \pi = 20 \pi \ N$.
0 likes
View Solution330
EasyMCQ
स्टील की छड़ का एक सिरा छत से जड़ा हुआ है और दूसरा सिरा $1000 \,kg$ के द्रव्यमान से जुड़ा है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। छड़ की लंबाई $50 \,cm$ है और इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $1000 \,mm^2$ है। द्रव्यमान के भार के कारण छड़ की लंबाई में परिवर्तन क्या होगा ($\,mm$ में)? (स्टील का यंग मापांक $= 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$ और गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \,ms^{-2}$)
A
$0.025$
B
$0.10$
C
$0.050$
D
$0.075$
Solution
(A) यंग मापांक $Y$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A \Delta l}$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ के लिए सूत्र:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$
दिया है:
बल $F = mg = 1000 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10,000 \,N$
लंबाई $l = 50 \,cm = 0.5 \,m$
क्षेत्रफल $A = 1000 \,mm^2 = 1000 \times 10^{-6} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{10,000 \times 0.5}{10^{-3} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta l = \frac{5,000}{2 \times 10^8} = 2,500 \times 10^{-8} \,m = 2.5 \times 10^{-5} \,m$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$\Delta l = 2.5 \times 10^{-5} \times 10^3 \,mm = 0.025 \,mm$
$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A \Delta l}$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ के लिए सूत्र:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$
दिया है:
बल $F = mg = 1000 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10,000 \,N$
लंबाई $l = 50 \,cm = 0.5 \,m$
क्षेत्रफल $A = 1000 \,mm^2 = 1000 \times 10^{-6} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{10,000 \times 0.5}{10^{-3} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta l = \frac{5,000}{2 \times 10^8} = 2,500 \times 10^{-8} \,m = 2.5 \times 10^{-5} \,m$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$\Delta l = 2.5 \times 10^{-5} \times 10^3 \,mm = 0.025 \,mm$
0 likes
View Solution331
MediumMCQ
$12 \ cm$ लंबाई और $1.5 \ kg \ m^{-3}$ घनत्व वाली एक रबर की डोरी का यंग मापांक $5 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ है। जब इस डोरी को ऊर्ध्वाधर लटकाया जाता है,तो इसके अपने भार के कारण इसकी लंबाई में वृद्धि कितनी होगी? ($g = 10 \ m \ s^{-2}$ लें)
A
$2.16 \times 10^{-10} \ m$
B
$9.6 \times 10^{-11} \ m$
C
$9.6 \times 10^{-3} \ m$
D
$2.16 \times 10^{-3} \ m$
Solution
(A) अपने स्वयं के भार के कारण ऊर्ध्वाधर लटकी हुई $L$ लंबाई की डोरी में विस्तार $\Delta l$ को सूत्र $\Delta l = \frac{\rho g L^2}{2Y}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$\rho = 1.5 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,और $Y = 5 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ है।
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{1.5 \times 10 \times (0.12)^2}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta l = \frac{15 \times 0.0144}{10^9}$
$\Delta l = \frac{0.216}{10^9} = 2.16 \times 10^{-10} \ m$.
यहाँ,$L = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$\rho = 1.5 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,और $Y = 5 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ है।
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{1.5 \times 10 \times (0.12)^2}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta l = \frac{15 \times 0.0144}{10^9}$
$\Delta l = \frac{0.216}{10^9} = 2.16 \times 10^{-10} \ m$.
0 likes
View Solution332
EasyMCQ
एक तार का यंग मापांक $2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$ है। यदि $L$ लंबाई और $1 \ m^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले तार पर $2 \times 10^{11} \ N$ का बाहरी खिंचाव बल लगाया जाता है,तो तार की अंतिम लंबाई क्या होगी ($L$ में)?
A
$2$
B
$1.5$
C
$3$
D
$1.25$
Solution
(A) दिया गया है: यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$,बल $F = 2 \times 10^{11} \ N$,क्षेत्रफल $A = 1 \ m^2$,प्रारंभिक लंबाई $= L$ है।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $2 \times 10^{11} = \frac{(2 \times 10^{11} / 1)}{\Delta L / L}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $1 = \frac{L}{\Delta L}$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $\Delta L = L$ है।
अतः,अंतिम लंबाई $L_f = L + \Delta L = L + L = 2L$ होगी।
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $2 \times 10^{11} = \frac{(2 \times 10^{11} / 1)}{\Delta L / L}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $1 = \frac{L}{\Delta L}$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $\Delta L = L$ है।
अतः,अंतिम लंबाई $L_f = L + \Delta L = L + L = 2L$ होगी।
0 likes
View Solution333
MediumMCQ
उस तार का यंग मापांक (Young's modulus) ज्ञात कीजिए जिसका प्रतिबल-विकृति (stress-strain) वक्र निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है।
A
$8 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$
B
$24 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$
C
$10 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$
D
$2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$
Solution
(D) यंग मापांक $(Y)$ को समानुपातिक सीमा के भीतर प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जो प्रतिबल-विकृति ग्राफ के रैखिक भाग के ढाल (slope) के बराबर होता है।
दिए गए ग्राफ से,रैखिक भाग मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $(4 \times 10^{-4}, 8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2})$ तक फैला है।
इसलिए,ढाल है:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} - 0}{4 \times 10^{-4} - 0}$
$Y = \frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^{-4}} \text{ Nm}^{-2}$
$Y = 2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$
दिए गए ग्राफ से,रैखिक भाग मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $(4 \times 10^{-4}, 8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2})$ तक फैला है।
इसलिए,ढाल है:
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} - 0}{4 \times 10^{-4} - 0}$
$Y = \frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^{-4}} \text{ Nm}^{-2}$
$Y = 2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$
0 likes
View Solution334
MediumMCQ
जब $3 \,m$ लंबाई और $0.4 \,mm$ व्यास वाले तांबे के तार से $10 \,kg$ का भार लटकाया जाता है, तो इसकी लंबाई $2.4 \,cm$ बढ़ जाती है। यदि तार का व्यास दोगुना कर दिया जाए, तो इसकी लंबाई में विस्तार होगा ($\,cm$ में)
A
$9.6$
B
$4.8$
C
$1.2$
D
$0.6$
Solution
(D) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है, जहाँ $F$ बल है, $L$ मूल लंबाई है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi \cdot d^2}$.
इससे पता चलता है कि $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$.
प्रारंभिक व्यास $d_1 = 0.4 \,mm$ और प्रारंभिक विस्तार $\Delta L_1 = 2.4 \,cm$ दिया गया है।
यदि व्यास दोगुना कर दिया जाए, तो $d_2 = 2 \cdot d_1$.
अतः, $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d_1}{2 \cdot d_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
इसलिए, $\Delta L_2 = \frac{\Delta L_1}{4} = \frac{2.4 \,cm}{4} = 0.6 \,cm$.
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi \cdot d^2}$.
इससे पता चलता है कि $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$.
प्रारंभिक व्यास $d_1 = 0.4 \,mm$ और प्रारंभिक विस्तार $\Delta L_1 = 2.4 \,cm$ दिया गया है।
यदि व्यास दोगुना कर दिया जाए, तो $d_2 = 2 \cdot d_1$.
अतः, $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d_1}{2 \cdot d_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
इसलिए, $\Delta L_2 = \frac{\Delta L_1}{4} = \frac{2.4 \,cm}{4} = 0.6 \,cm$.
0 likes
View Solution335
DifficultMCQ
$20 \text{ cm}$ लंबाई और $1 \text{ mm}^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले एक स्टील के तार को दोनों सिरों पर मजबूती से बांधा गया है। जब तार का तापमान $40^{\circ} \text{C}$ से बदलकर $20^{\circ} \text{C}$ हो जाता है, तो इसके तनाव में परिवर्तन ज्ञात कीजिए। दिया गया है, स्टील के लिए रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$ और स्टील का यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$ है। ($\text{ N}$ में)
A
$22$
B
$44$
C
$16$
D
$8$
Solution
(B) दोनों सिरों पर स्थिर तार में तापमान परिवर्तन के कारण उत्पन्न तापीय प्रतिबल $\sigma = Y \alpha \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{T}{A}$ होता है, इसलिए तनाव में परिवर्तन $T = Y A \alpha \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2$.
रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta t = 40^{\circ} \text{C} - 20^{\circ} \text{C} = 20^{\circ} \text{C}$.
इन मानों को रखने पर:
$T = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times (20)$.
$T = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{-5} \times 20$.
$T = 2.0 \times 1.1 \times 20 \times 10^{11-6-5}$.
$T = 44 \times 10^0 = 44 \text{ N}$.
अतः, तनाव में परिवर्तन $44 \text{ N}$ है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{T}{A}$ होता है, इसलिए तनाव में परिवर्तन $T = Y A \alpha \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2$.
रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta t = 40^{\circ} \text{C} - 20^{\circ} \text{C} = 20^{\circ} \text{C}$.
इन मानों को रखने पर:
$T = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times (20)$.
$T = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{-5} \times 20$.
$T = 2.0 \times 1.1 \times 20 \times 10^{11-6-5}$.
$T = 44 \times 10^0 = 44 \text{ N}$.
अतः, तनाव में परिवर्तन $44 \text{ N}$ है।
0 likes
View Solution336
DifficultMCQ
$5 \text{ m}$ लंबे तांबे के तार $(Y=12 \times 10^{10} \text{ N/m}^2)$ का व्यास क्या होना चाहिए ताकि वह $3 \text{ mm}$ व्यास वाले $5 \text{ m}$ लंबे एल्युमीनियम के तार $(Y=7 \times 10^{10} \text{ N/m}^2)$ द्वारा समान $40 \text{ kg}$ द्रव्यमान के साथ उत्पन्न विस्तार (elongation) के बराबर विस्तार उत्पन्न कर सके ($\text{ mm}$ में)?
A
$1.5$
B
$5$
C
$2.3$
D
$10$
Solution
(C) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है, जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है。
विस्तार के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$。
चूंकि दोनों तारों के लिए $F$, $L$ और $\Delta L$ समान हैं, इसलिए $\frac{1}{d_c^2 Y_c} = \frac{1}{d_a^2 Y_a}$ प्राप्त होता है, जहाँ $c$ तांबे के लिए और $a$ एल्युमीनियम के लिए है。
अतः, $d_c^2 Y_c = d_a^2 Y_a$。
मान रखने पर: $d_c^2 (12 \times 10^{10}) = (3 \text{ mm})^2 (7 \times 10^{10})$。
$d_c^2 = \frac{9 \times 7}{12} \text{ mm}^2 = \frac{63}{12} \text{ mm}^2 = 5.25 \text{ mm}^2$。
$d_c = \sqrt{5.25} \text{ mm} \approx 2.29 \text{ mm} \approx 2.3 \text{ mm}$。
विस्तार के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$。
चूंकि दोनों तारों के लिए $F$, $L$ और $\Delta L$ समान हैं, इसलिए $\frac{1}{d_c^2 Y_c} = \frac{1}{d_a^2 Y_a}$ प्राप्त होता है, जहाँ $c$ तांबे के लिए और $a$ एल्युमीनियम के लिए है。
अतः, $d_c^2 Y_c = d_a^2 Y_a$。
मान रखने पर: $d_c^2 (12 \times 10^{10}) = (3 \text{ mm})^2 (7 \times 10^{10})$。
$d_c^2 = \frac{9 \times 7}{12} \text{ mm}^2 = \frac{63}{12} \text{ mm}^2 = 5.25 \text{ mm}^2$。
$d_c = \sqrt{5.25} \text{ mm} \approx 2.29 \text{ mm} \approx 2.3 \text{ mm}$。
0 likes
View Solution337
EasyMCQ
एक पूर्णतः दृढ़ पिंड (perfectly rigid body) के लिए यंग मापांक (Young's modulus) होता है
A
शून्य
B
अनंत
C
$1 \times 10^{10} \text{ N m}^{-2}$
D
$10 \times 10^{10} \text{ N m}^{-2}$
Solution
(B) एक पूर्णतः दृढ़ पिंड में,विरूपक बल लगाने पर उसके आयामों में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए पूर्णतः दृढ़ पिंड में विकृति (strain) शून्य होती है।
$\text{यंग मापांक} = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{\text{प्रतिबल}}{0} = \infty$.
अतः,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का यंग मापांक अनंत होता है।
$\text{यंग मापांक} = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{\text{प्रतिबल}}{0} = \infty$.
अतः,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का यंग मापांक अनंत होता है।
0 likes
View Solution338
MediumMCQ
समान पदार्थ से बने दो अलग-अलग तारों की त्रिज्याओं का अनुपात $1:2$ है। उनकी लंबाइयों का अनुपात भी $1:2$ है। यदि अलग-अलग भार लगाने पर उत्पन्न विस्तार समान है,तो लगाए गए भारों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
A
$1:4$
B
$1:3$
C
$1:2$
D
$4:1$
Solution
(C) यंग मापांक $(Y)$ को $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए दोनों तारों के लिए $Y$ स्थिर है।
भार $F$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $F = \frac{Y (\pi r^2) \Delta L}{L}$।
दिए गए अनुपात: $r_1/r_2 = 1/2$ और $L_1/L_2 = 1/2$। विस्तार समान हैं,इसलिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$।
भार का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{L_2}{L_1}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{F_1}{F_2} = (1/2)^2 \times (2/1) = (1/4) \times 2 = 1/2$।
अतः,लगाए गए भारों का अनुपात $1:2$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए दोनों तारों के लिए $Y$ स्थिर है।
भार $F$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $F = \frac{Y (\pi r^2) \Delta L}{L}$।
दिए गए अनुपात: $r_1/r_2 = 1/2$ और $L_1/L_2 = 1/2$। विस्तार समान हैं,इसलिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$।
भार का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{L_2}{L_1}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{F_1}{F_2} = (1/2)^2 \times (2/1) = (1/4) \times 2 = 1/2$।
अतः,लगाए गए भारों का अनुपात $1:2$ है।
0 likes
View Solution339
MediumMCQ
$50 \text{ cm}$ लंबाई,$1 \text{ mm}^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $5 \text{ g}$ द्रव्यमान वाले तार में यात्रा करने वाली अनुप्रस्थ तरंग की गति $80 \text{ ms}^{-1}$ है। तार के पदार्थ का यंग मापांक $4 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$ है। तार की लंबाई में विस्तार है
A
$8 \times 10^{-5} \text{ m}$
B
$8 \times 10^{-4} \text{ m}$
C
$16 \times 10^{-5} \text{ m}$
D
$16 \times 10^{-4} \text{ m}$
Solution
(A) दिया गया है,तार की लंबाई $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$।
तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$।
तार का द्रव्यमान $m = 5 \text{ g} = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$।
अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = 80 \text{ ms}^{-1}$।
यंग मापांक $Y = 4 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$।
तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu = \frac{m}{l}$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{T \cdot l}{m}} \implies v^2 = \frac{T \cdot l}{m} \implies T = \frac{v^2 m}{l}$।
यंग मापांक को $Y = \frac{T/A}{\Delta l/l} \implies \Delta l = \frac{T \cdot l}{A \cdot Y}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\Delta l$ के व्यंजक में $T = \frac{v^2 m}{l}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta l = \frac{(v^2 m / l) \cdot l}{A \cdot Y} = \frac{v^2 m}{A Y}$।
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{(80)^2 \times (5 \times 10^{-3})}{(1 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{11})} = \frac{6400 \times 5 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32000 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32}{4 \times 10^5} = 8 \times 10^{-5} \text{ m}$।
इस प्रकार,तार की लंबाई में विस्तार $8 \times 10^{-5} \text{ m}$ है।
तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$।
तार का द्रव्यमान $m = 5 \text{ g} = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$।
अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = 80 \text{ ms}^{-1}$।
यंग मापांक $Y = 4 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$।
तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu = \frac{m}{l}$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{T \cdot l}{m}} \implies v^2 = \frac{T \cdot l}{m} \implies T = \frac{v^2 m}{l}$।
यंग मापांक को $Y = \frac{T/A}{\Delta l/l} \implies \Delta l = \frac{T \cdot l}{A \cdot Y}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\Delta l$ के व्यंजक में $T = \frac{v^2 m}{l}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta l = \frac{(v^2 m / l) \cdot l}{A \cdot Y} = \frac{v^2 m}{A Y}$।
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{(80)^2 \times (5 \times 10^{-3})}{(1 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{11})} = \frac{6400 \times 5 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32000 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32}{4 \times 10^5} = 8 \times 10^{-5} \text{ m}$।
इस प्रकार,तार की लंबाई में विस्तार $8 \times 10^{-5} \text{ m}$ है।
0 likes
View Solution340
DifficultMCQ
एक मीटर लंबा स्टील का तार जिसका द्रव्यमान नगण्य है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $0.01 \,cm^2$ है, एक चिकनी क्षैतिज मेज पर एक सिरा स्थिर रखकर रखा गया है। दूसरे सिरे पर $1 \,kg$ द्रव्यमान की एक गेंद जुड़ी हुई है। गेंद और तार $\omega$ कोणीय वेग से घूम रहे हैं। यदि तार में विस्तार $2 \,mm$ है, तो $\omega$ का मान ज्ञात कीजिए (स्टील का यंग मापांक $= 2 \times 10^{11} \,N/m^2$)
A
$5 \,rad/s$
B
$10 \,rad/s$
C
$15 \,rad/s$
D
$20 \,rad/s$
Solution
(D) दिया गया है: तार में विस्तार, $\Delta l = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$. गेंद का द्रव्यमान, $m = 1 \,kg$. तार की लंबाई, $l = 1 \,m$. तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, $A = 0.01 \,cm^2 = 0.01 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-6} \,m^2$. स्टील का यंग मापांक, $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
तार में उत्पन्न तनाव बल $T$ गेंद के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T = m \omega^2 l$.
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार, $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{T/A}{\Delta l/l} = \frac{T l}{A \Delta l}$.
समीकरण में $T = m \omega^2 l$ रखने पर:
$Y = \frac{(m \omega^2 l) l}{A \Delta l} = \frac{m \omega^2 l^2}{A \Delta l}$.
$\omega$ के लिए सूत्र बनाने पर:
$\omega^2 = \frac{Y A \Delta l}{m l^2} \implies \omega = \sqrt{\frac{Y A \Delta l}{m l^2}}$.
मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{(2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3})}{1 \times (1)^2}} = \sqrt{\frac{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{-9}}{1}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} = 20 \,rad/s$.
तार में उत्पन्न तनाव बल $T$ गेंद के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T = m \omega^2 l$.
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार, $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{T/A}{\Delta l/l} = \frac{T l}{A \Delta l}$.
समीकरण में $T = m \omega^2 l$ रखने पर:
$Y = \frac{(m \omega^2 l) l}{A \Delta l} = \frac{m \omega^2 l^2}{A \Delta l}$.
$\omega$ के लिए सूत्र बनाने पर:
$\omega^2 = \frac{Y A \Delta l}{m l^2} \implies \omega = \sqrt{\frac{Y A \Delta l}{m l^2}}$.
मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{(2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3})}{1 \times (1)^2}} = \sqrt{\frac{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{-9}}{1}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} = 20 \,rad/s$.
0 likes
View Solution341
EasyMCQ
निम्नलिखित चार तार एक ही पदार्थ के बने हैं। यदि प्रत्येक पर समान तनाव लगाया जाए,तो किस तार में सबसे अधिक विस्तार होगा?
A
लंबाई $0.5 \ m$,व्यास $0.5 \ mm$.
B
लंबाई $1 \ m$,व्यास $1 \ mm$.
C
लंबाई $2 \ m$,व्यास $2 \ mm$.
D
लंबाई $3 \ m$,व्यास $3 \ mm$.
Solution
(A) चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए यंग मापांक $(Y)$ स्थिर है। दिया गया है कि तनाव $(F)$ भी स्थिर है,इसलिए विस्तार $(\Delta L)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta L = \frac{F L}{Y A}$
क्षेत्रफल $A = \frac{\pi D^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta L = \frac{4 F L}{Y \pi D^2} \Rightarrow \Delta L \propto \frac{L}{D^2}$
अब,प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{D^2}$ का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$(A)$ $\frac{0.5}{(0.5 \times 10^{-3})^2} = \frac{0.5}{0.25 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(B)$ $\frac{1}{(1 \times 10^{-3})^2} = \frac{1}{1 \times 10^{-6}} = 1 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(C)$ $\frac{2}{(2 \times 10^{-3})^2} = \frac{2}{4 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(D)$ $\frac{3}{(3 \times 10^{-3})^2} = \frac{3}{9 \times 10^{-6}} = 0.33 \times 10^6 \ m^{-1}$
मानों की तुलना करने पर,$\frac{L}{D^2}$ का अनुपात विकल्प $(A)$ के लिए सबसे अधिक है। अतः,विकल्प $(A)$ में दिए गए तार में सबसे अधिक विस्तार होगा।
$\Delta L = \frac{F L}{Y A}$
क्षेत्रफल $A = \frac{\pi D^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta L = \frac{4 F L}{Y \pi D^2} \Rightarrow \Delta L \propto \frac{L}{D^2}$
अब,प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{D^2}$ का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$(A)$ $\frac{0.5}{(0.5 \times 10^{-3})^2} = \frac{0.5}{0.25 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(B)$ $\frac{1}{(1 \times 10^{-3})^2} = \frac{1}{1 \times 10^{-6}} = 1 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(C)$ $\frac{2}{(2 \times 10^{-3})^2} = \frac{2}{4 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(D)$ $\frac{3}{(3 \times 10^{-3})^2} = \frac{3}{9 \times 10^{-6}} = 0.33 \times 10^6 \ m^{-1}$
मानों की तुलना करने पर,$\frac{L}{D^2}$ का अनुपात विकल्प $(A)$ के लिए सबसे अधिक है। अतः,विकल्प $(A)$ में दिए गए तार में सबसे अधिक विस्तार होगा।
0 likes
View Solution342
MediumMCQ
समान लंबाई और समान अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले दो तारों को चित्र में दिखाए अनुसार लटकाया गया है। उनके यंग मापांक क्रमशः $Y_1$ और $Y_2$ हैं। तुल्य यंग मापांक ज्ञात कीजिए।
A
$Y_1+Y_2$
B
$\frac{Y_1+Y_2}{2}$
C
$\frac{Y_1 Y_2}{Y_1+Y_2}$
D
$\sqrt{Y_1 Y_2}$
Solution
(B) दिया गया है कि दो तारों की लंबाई और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है।
$l_1 = l_2 = l$ और $A_1 = A_2 = A$ है।
माना लटके हुए भार का द्रव्यमान $m$ है।
चित्र से,कुल ऊपर की ओर बल $2T = mg$ है,जहाँ $T$ प्रत्येक तार में तनाव है।
अतः,$T = \frac{mg}{2}$ है।
प्रत्येक तार पर प्रतिबल (stress) $\text{stress} = \frac{T}{A} = \frac{mg}{2A}$ है।
चूंकि तार एक कठोर छड़ से जुड़े हुए हैं,इसलिए भार लगाने पर वे समान विस्तार $\Delta l$ का अनुभव करते हैं।
प्रत्येक तार के लिए यंग मापांक इस प्रकार है:
$Y_1 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_1$ ... $(i)$
$Y_2 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_2$ ... (ii)
यदि $Y$ संयोजन का तुल्य यंग मापांक है,तो कुल बल $mg$ को $2A$ क्षेत्रफल वाले एक तुल्य तार द्वारा समर्थित माना जा सकता है:
$Y = \frac{\text{total stress}}{\text{total strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l}$.
वैकल्पिक रूप से,बल संतुलन पर विचार करते हुए: $mg = F_1 + F_2 = \frac{Y_1 A \Delta l}{l} + \frac{Y_2 A \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l}$।
तुल्य प्रणाली के लिए: $mg = \frac{Y (2A) \Delta l}{l}$।
$mg$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{Y (2A) \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l} \implies 2Y = Y_1 + Y_2 \implies Y = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$।
$l_1 = l_2 = l$ और $A_1 = A_2 = A$ है।
माना लटके हुए भार का द्रव्यमान $m$ है।
चित्र से,कुल ऊपर की ओर बल $2T = mg$ है,जहाँ $T$ प्रत्येक तार में तनाव है।
अतः,$T = \frac{mg}{2}$ है।
प्रत्येक तार पर प्रतिबल (stress) $\text{stress} = \frac{T}{A} = \frac{mg}{2A}$ है।
चूंकि तार एक कठोर छड़ से जुड़े हुए हैं,इसलिए भार लगाने पर वे समान विस्तार $\Delta l$ का अनुभव करते हैं।
प्रत्येक तार के लिए यंग मापांक इस प्रकार है:
$Y_1 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_1$ ... $(i)$
$Y_2 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_2$ ... (ii)
यदि $Y$ संयोजन का तुल्य यंग मापांक है,तो कुल बल $mg$ को $2A$ क्षेत्रफल वाले एक तुल्य तार द्वारा समर्थित माना जा सकता है:
$Y = \frac{\text{total stress}}{\text{total strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l}$.
वैकल्पिक रूप से,बल संतुलन पर विचार करते हुए: $mg = F_1 + F_2 = \frac{Y_1 A \Delta l}{l} + \frac{Y_2 A \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l}$।
तुल्य प्रणाली के लिए: $mg = \frac{Y (2A) \Delta l}{l}$।
$mg$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{Y (2A) \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l} \implies 2Y = Y_1 + Y_2 \implies Y = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$।
0 likes
View Solution343
DifficultMCQ
$2 \,kg$ द्रव्यमान और $4.5 \,cm$ व्यास का एक गोला $2 \,m$ लंबाई और $0.24 \times 10^{-6} \,m^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले स्टील के तार के निचले सिरे से जुड़ा है। तार को कमरे की $205 \,cm$ ऊंची छत से लटकाया गया है। जब निकाय को एक सरल लोलक के रूप में दोलन कराया जाता है, तो गोला अपनी सबसे निचली स्थिति में फर्श को स्पर्श करता है। सबसे निचली स्थिति में गोले का वेग ज्ञात कीजिए। (स्टील का यंग मापांक $= 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$ और गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \,ms^{-2}$) ($\,ms^{-1}$ में)
A
$10$
B
$12$
C
$15$
D
$18$
Solution
(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2 \,kg$, व्यास $d = 4.5 \,cm$, त्रिज्या $r = 2.25 \,cm = 0.0225 \,m$, तार की लंबाई $L = 2 \,m$, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 0.24 \times 10^{-6} \,m^2$, छत की ऊंचाई $H = 205 \,cm = 2.05 \,m$, यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
सबसे निचली स्थिति में, निकाय की कुल लंबाई (तार + गोला) $2.05 \,m$ है। तार की मूल लंबाई $2 \,m$ है और गोले का व्यास $4.5 \,cm = 0.045 \,m$ है। तार में विस्तार $\Delta L = 2.05 \,m - (2 \,m + 0.045 \,m) = 0.005 \,m$ है।
सबसे निचले बिंदु पर तार में तनाव $T$, गोले के भार और अभिकेंद्री बल का योग है: $T = Mg + \frac{Mv^2}{R}$, जहाँ $R$ छत से गोले के केंद्र तक की दूरी है, $R = L + \Delta L + r = 2 + 0.005 + 0.0225 = 2.0275 \,m$.
हुक के नियम का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{T L}{A \Delta L} \Rightarrow T = \frac{Y A \Delta L}{L}$.
मान रखने पर: $T = \frac{(2 \times 10^{11}) \times (0.24 \times 10^{-6}) \times 0.005}{2} = 120 \,N$.
अब, $Mg + \frac{Mv^2}{R} = 120 \Rightarrow (2 \times 10) + \frac{2 v^2}{2.0275} = 120$.
$20 + \frac{2 v^2}{2.0275} = 120 \Rightarrow \frac{2 v^2}{2.0275} = 100 \Rightarrow v^2 = 50 \times 2.0275 = 101.375$.
$v = \sqrt{101.375} \approx 10.07 \,ms^{-1}$. निकटतम विकल्प $10 \,ms^{-1}$ है।
सबसे निचली स्थिति में, निकाय की कुल लंबाई (तार + गोला) $2.05 \,m$ है। तार की मूल लंबाई $2 \,m$ है और गोले का व्यास $4.5 \,cm = 0.045 \,m$ है। तार में विस्तार $\Delta L = 2.05 \,m - (2 \,m + 0.045 \,m) = 0.005 \,m$ है।
सबसे निचले बिंदु पर तार में तनाव $T$, गोले के भार और अभिकेंद्री बल का योग है: $T = Mg + \frac{Mv^2}{R}$, जहाँ $R$ छत से गोले के केंद्र तक की दूरी है, $R = L + \Delta L + r = 2 + 0.005 + 0.0225 = 2.0275 \,m$.
हुक के नियम का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{T L}{A \Delta L} \Rightarrow T = \frac{Y A \Delta L}{L}$.
मान रखने पर: $T = \frac{(2 \times 10^{11}) \times (0.24 \times 10^{-6}) \times 0.005}{2} = 120 \,N$.
अब, $Mg + \frac{Mv^2}{R} = 120 \Rightarrow (2 \times 10) + \frac{2 v^2}{2.0275} = 120$.
$20 + \frac{2 v^2}{2.0275} = 120 \Rightarrow \frac{2 v^2}{2.0275} = 100 \Rightarrow v^2 = 50 \times 2.0275 = 101.375$.
$v = \sqrt{101.375} \approx 10.07 \,ms^{-1}$. निकटतम विकल्प $10 \,ms^{-1}$ है।
0 likes
View Solution344
EasyMCQ
$1.8 \,kg$ द्रव्यमान और $0.8 \,m$ लंबाई की एक समान स्टील की छड़ को चित्र में दिखाए अनुसार $0.01 \,mm^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $0.5 \,m$ बिना खिंची लंबाई वाले दो स्टील के तारों की मदद से एक कील से लटकाया गया है। छड़ का द्रव्यमान केंद्र कील के ठीक नीचे स्थित है। छड़ के लटकने पर तारों के खिंचाव के कारण छड़ के द्रव्यमान केंद्र और कील के बीच की दूरी में वृद्धि . . . . . . $mm$ है। (स्टील का यंग मापांक $= 2 \times 10^{11} \,N/m^2$ और गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \,m/s^2$)
A
$50$
B
$25$
C
$12.5$
D
$6.25$
Solution
(D) माना प्रत्येक तार की लंबाई $L = 0.5 \,m$,क्षेत्रफल $A = 0.01 \,mm^2 = 10^{-8} \,m^2$ और छड़ का द्रव्यमान $M = 1.8 \,kg$ है।
छड़ दो तारों द्वारा लटकी हुई है जो कील के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। छड़ की लंबाई $0.8 \,m$ है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक सिरे तक की क्षैतिज दूरी $0.4 \,m$ है।
कील से छड़ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = \sqrt{L^2 - (0.4)^2} = \sqrt{0.5^2 - 0.4^2} = 0.3 \,m$ है।
प्रत्येक तार में तनाव $T$ के लिए: $2T \cos \theta = Mg$,जहाँ $\cos \theta = h/L = 0.3/0.5 = 0.6$ है।
$2T(0.6) = 1.8 \times 10 \implies 1.2T = 18 \implies T = 15 \,N$ है।
प्रत्येक तार में विस्तार $\Delta L = \frac{TL}{AY} = \frac{15 \times 0.5}{10^{-8} \times 2 \times 10^{11}} = 3.75 \,mm$ है।
नई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h' = \sqrt{(L+\Delta L)^2 - (0.4)^2} \approx h + \frac{L}{h} \Delta L = 0.3 + \frac{0.5}{0.3} \times 3.75 \,mm = 6.25 \,mm$ है।
छड़ दो तारों द्वारा लटकी हुई है जो कील के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं। छड़ की लंबाई $0.8 \,m$ है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक सिरे तक की क्षैतिज दूरी $0.4 \,m$ है।
कील से छड़ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = \sqrt{L^2 - (0.4)^2} = \sqrt{0.5^2 - 0.4^2} = 0.3 \,m$ है।
प्रत्येक तार में तनाव $T$ के लिए: $2T \cos \theta = Mg$,जहाँ $\cos \theta = h/L = 0.3/0.5 = 0.6$ है।
$2T(0.6) = 1.8 \times 10 \implies 1.2T = 18 \implies T = 15 \,N$ है।
प्रत्येक तार में विस्तार $\Delta L = \frac{TL}{AY} = \frac{15 \times 0.5}{10^{-8} \times 2 \times 10^{11}} = 3.75 \,mm$ है।
नई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h' = \sqrt{(L+\Delta L)^2 - (0.4)^2} \approx h + \frac{L}{h} \Delta L = 0.3 + \frac{0.5}{0.3} \times 3.75 \,mm = 6.25 \,mm$ है।
0 likes
View Solution345
MediumMCQ
$500 \,g$ की एक गेंद $0.5 \,mm^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $1.4 \,m$ की अतनित लंबाई वाले एल्युमीनियम के तार के एक सिरे से जुड़ी है। तार का दूसरा सिरा एक ऊर्ध्वाधर खंभे के शीर्ष पर स्थिर है। गेंद खंभे के चारों ओर एक क्षैतिज तल में इस प्रकार घूमती है कि तार और क्षैतिज के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। तार की लंबाई में वृद्धि . . . . . . $mm$ है। (एल्युमीनियम का यंग मापांक $= 0.7 \times 10^{11} \,N/m^2$ और गुरुत्वीय त्वरण $= 10 \,m/s^2$)
A
$0.1$
B
$0.2$
C
$0.3$
D
$0.4$
Solution
(D) माना $L = 1.4 \,m$ अतनित लंबाई है,$A = 0.5 \,mm^2 = 0.5 \times 10^{-6} \,m^2$ क्षेत्रफल है,$m = 0.5 \,kg$ द्रव्यमान है,और $\theta = 30^{\circ}$ क्षैतिज के साथ कोण है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल तार में तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण $mg$,और अभिकेंद्री बल $m \omega^2 r$ हैं।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T \sin \theta = mg$.
अतः,$T = \frac{mg}{\sin 30^{\circ}} = \frac{0.5 \times 10}{0.5} = 10 \,N$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है।
$\Delta L = \frac{T L}{A Y} = \frac{10 \times 1.4}{0.5 \times 10^{-6} \times 0.7 \times 10^{11}}$.
$\Delta L = \frac{14}{0.35 \times 10^5} = \frac{14}{35000} = 0.0004 \,m$.
$mm$ में बदलने पर: $\Delta L = 0.0004 \times 1000 = 0.4 \,mm$.
गेंद पर कार्य करने वाले बल तार में तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण $mg$,और अभिकेंद्री बल $m \omega^2 r$ हैं।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $T \sin \theta = mg$.
अतः,$T = \frac{mg}{\sin 30^{\circ}} = \frac{0.5 \times 10}{0.5} = 10 \,N$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है।
$\Delta L = \frac{T L}{A Y} = \frac{10 \times 1.4}{0.5 \times 10^{-6} \times 0.7 \times 10^{11}}$.
$\Delta L = \frac{14}{0.35 \times 10^5} = \frac{14}{35000} = 0.0004 \,m$.
$mm$ में बदलने पर: $\Delta L = 0.0004 \times 1000 = 0.4 \,mm$.
0 likes
View Solution346
DifficultMCQ
चित्र में दिखाए गए स्टील और पीतल के तारों की लंबाई,अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और यंग मापांक का अनुपात क्रमशः $a, b$ और $c$ है। पीतल के तार की लंबाई में वृद्धि और स्टील के तार की लंबाई में वृद्धि का अनुपात ज्ञात कीजिए [मान लीजिए कि स्टील और पीतल के तारों का द्रव्यमान नगण्य है] ।
A
$\frac{4 a}{7 b c}$
B
$\frac{7 b c}{4 a}$
C
$\frac{4 b c}{7 a}$
D
$\frac{7 a}{4 b c}$
Solution
(C) मान लीजिए $L_S, A_S, Y_S$ स्टील के तार की लंबाई,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और यंग मापांक हैं,और $L_B, A_B, Y_B$ पीतल के तार के लिए संबंधित मान हैं।
दिए गए अनुपात $\frac{L_S}{L_B} = a$,$\frac{A_S}{A_B} = b$,और $\frac{Y_S}{Y_B} = c$ हैं।
पीतल के तार में तनाव $(F_B)$ $4 \ kg$ द्रव्यमान को सहारा देता है,इसलिए $F_B = 4g$ है।
स्टील के तार में तनाव $(F_S)$ $3 \ kg$ और $4 \ kg$ दोनों द्रव्यमानों को सहारा देता है,इसलिए $F_S = (3+4)g = 7g$ है।
लंबाई में वृद्धि के सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ से,पीतल के तार की वृद्धि $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A_B Y_B}$ है और स्टील के तार की वृद्धि $\Delta L_S = \frac{F_S L_S}{A_S Y_S}$ है।
पीतल के तार की लंबाई में वृद्धि और स्टील के तार की लंबाई में वृद्धि का अनुपात:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{F_B}{F_S}\right) \left(\frac{L_B}{L_S}\right) \left(\frac{A_S}{A_B}\right) \left(\frac{Y_S}{Y_B}\right)$
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{4g}{7g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b) (c) = \frac{4bc}{7a}$.
दिए गए अनुपात $\frac{L_S}{L_B} = a$,$\frac{A_S}{A_B} = b$,और $\frac{Y_S}{Y_B} = c$ हैं।
पीतल के तार में तनाव $(F_B)$ $4 \ kg$ द्रव्यमान को सहारा देता है,इसलिए $F_B = 4g$ है।
स्टील के तार में तनाव $(F_S)$ $3 \ kg$ और $4 \ kg$ दोनों द्रव्यमानों को सहारा देता है,इसलिए $F_S = (3+4)g = 7g$ है।
लंबाई में वृद्धि के सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ से,पीतल के तार की वृद्धि $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A_B Y_B}$ है और स्टील के तार की वृद्धि $\Delta L_S = \frac{F_S L_S}{A_S Y_S}$ है।
पीतल के तार की लंबाई में वृद्धि और स्टील के तार की लंबाई में वृद्धि का अनुपात:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{F_B}{F_S}\right) \left(\frac{L_B}{L_S}\right) \left(\frac{A_S}{A_B}\right) \left(\frac{Y_S}{Y_B}\right)$
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{4g}{7g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b) (c) = \frac{4bc}{7a}$.
0 likes
View Solution347
MediumMCQ
$r$ त्रिज्या वाले स्टील के तार का एक सिरा छत से जुड़ा है और मुक्त सिरे पर $3 \ kg$ का भार लटकाया गया है। $2r$ त्रिज्या वाले तांबे के एक अन्य तार को $3 \ kg$ भार के निचले हिस्से से जोड़ा गया है और तांबे के तार के मुक्त सिरे पर $2 \ kg$ का भार लटकाया गया है। तांबे और स्टील के तारों में उत्पन्न अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात ज्ञात कीजिए। (स्टील का यंग मापांक $= 20 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$,तांबे का यंग मापांक $= 12 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$)
A
$6: 1$
B
$1: 6$
C
$2: 3$
D
$3: 2$
Solution
(B) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon$ को $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{A \cdot Y}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ तनाव है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
स्टील के तार के लिए: तनाव $F_s = (3 + 2) \ kg \times g = 5g$. क्षेत्रफल $A_s = \pi r^2$. यंग मापांक $Y_s = 20 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
स्टील में विकृति $\epsilon_s = \frac{5g}{\pi r^2 \cdot 20 \times 10^{10}}$.
तांबे के तार के लिए: तनाव $F_c = 2 \ kg \times g = 2g$. क्षेत्रफल $A_c = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$. यंग मापांक $Y_c = 12 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
तांबे में विकृति $\epsilon_c = \frac{2g}{4\pi r^2 \cdot 12 \times 10^{10}} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}}$.
अनुपात $\frac{\epsilon_c}{\epsilon_s} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}} \times \frac{20\pi r^2 \times 10^{10}}{5g} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
अतः,अनुपात $1: 6$ है।
स्टील के तार के लिए: तनाव $F_s = (3 + 2) \ kg \times g = 5g$. क्षेत्रफल $A_s = \pi r^2$. यंग मापांक $Y_s = 20 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
स्टील में विकृति $\epsilon_s = \frac{5g}{\pi r^2 \cdot 20 \times 10^{10}}$.
तांबे के तार के लिए: तनाव $F_c = 2 \ kg \times g = 2g$. क्षेत्रफल $A_c = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$. यंग मापांक $Y_c = 12 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
तांबे में विकृति $\epsilon_c = \frac{2g}{4\pi r^2 \cdot 12 \times 10^{10}} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}}$.
अनुपात $\frac{\epsilon_c}{\epsilon_s} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}} \times \frac{20\pi r^2 \times 10^{10}}{5g} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
अतः,अनुपात $1: 6$ है।
0 likes
View Solution348
MediumMCQ
$1.0 \ m$ लंबाई और $0.50 \ cm^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक छड़ पर विचार करें। छड़ के निचले सिरे से $500 \ kg$ का एक प्लेटफॉर्म लटका हुआ है। छड़ के वजन को नजरअंदाज करते हुए,तनाव के कारण छड़ में होने वाली वृद्धि (elongation) ज्ञात कीजिए। यंग मापांक (Young's modulus) $10^{11} \ Pa$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ लें। ($mm$ में)
A
$2$
B
$0.5$
C
$1.5$
D
$1$
Solution
(D) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$ है।
प्रतिबल (stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल $(F/A)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,और विकृति (strain) लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात $(\Delta L/L)$ है।
दिया गया है: $L = 1.0 \ m$,$A = 0.50 \ cm^2 = 0.50 \times 10^{-4} \ m^2$,$m = 500 \ kg$,$Y = 10^{11} \ Pa$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
छड़ पर कार्य करने वाला बल $F$ प्लेटफॉर्म का वजन है: $F = mg = 500 \times 10 = 5000 \ N$।
इन मानों को सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ में रखने पर,हमें $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ प्राप्त होता है।
$\Delta L = \frac{5000 \times 1.0}{0.50 \times 10^{-4} \times 10^{11}} = \frac{5000}{0.50 \times 10^7} = \frac{5000}{5000000} = 10^{-3} \ m$।
अतः,लंबाई में वृद्धि $\Delta L = 1 \ mm$ है।
प्रतिबल (stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल $(F/A)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,और विकृति (strain) लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात $(\Delta L/L)$ है।
दिया गया है: $L = 1.0 \ m$,$A = 0.50 \ cm^2 = 0.50 \times 10^{-4} \ m^2$,$m = 500 \ kg$,$Y = 10^{11} \ Pa$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
छड़ पर कार्य करने वाला बल $F$ प्लेटफॉर्म का वजन है: $F = mg = 500 \times 10 = 5000 \ N$।
इन मानों को सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ में रखने पर,हमें $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ प्राप्त होता है।
$\Delta L = \frac{5000 \times 1.0}{0.50 \times 10^{-4} \times 10^{11}} = \frac{5000}{0.50 \times 10^7} = \frac{5000}{5000000} = 10^{-3} \ m$।
अतः,लंबाई में वृद्धि $\Delta L = 1 \ mm$ है।
0 likes
View Solution349
EasyMCQ
समान पदार्थ से बने चार तारों $A, B, C$ और $D$ की लंबाई क्रमशः $1 \,m, 2 \,m, 3 \,m$ और $4 \,m$ है। तारों $A, B, C$ और $D$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $0.2 \,mm, 0.4 \,mm, 0.6 \,mm$ और $0.8 \,mm$ हैं। समान तनाव बल के लिए,किस तार में खिंचाव (elongation) सबसे अधिक होगा?
A
$A$
B
$B$
C
$C$
D
सभी में समान खिंचाव
Solution
(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 \cdot \Delta l}$ है।
खिंचाव $\Delta l$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है ($Y$ स्थिर है) और तनाव बल $F$ भी समान है,इसलिए $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$ होगा।
तार $A$ के लिए: $\Delta l_A \propto \frac{1}{(0.2)^2} = \frac{1}{0.04} = 25$.
तार $B$ के लिए: $\Delta l_B \propto \frac{2}{(0.4)^2} = \frac{2}{0.16} = 12.5$.
तार $C$ के लिए: $\Delta l_C \propto \frac{3}{(0.6)^2} = \frac{3}{0.36} = 8.33$.
तार $D$ के लिए: $\Delta l_D \propto \frac{4}{(0.8)^2} = \frac{4}{0.64} = 6.25$.
इन मानों की तुलना करने पर,तार $A$ में खिंचाव सबसे अधिक है।
खिंचाव $\Delta l$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है ($Y$ स्थिर है) और तनाव बल $F$ भी समान है,इसलिए $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$ होगा।
तार $A$ के लिए: $\Delta l_A \propto \frac{1}{(0.2)^2} = \frac{1}{0.04} = 25$.
तार $B$ के लिए: $\Delta l_B \propto \frac{2}{(0.4)^2} = \frac{2}{0.16} = 12.5$.
तार $C$ के लिए: $\Delta l_C \propto \frac{3}{(0.6)^2} = \frac{3}{0.36} = 8.33$.
तार $D$ के लिए: $\Delta l_D \propto \frac{4}{(0.8)^2} = \frac{4}{0.64} = 6.25$.
इन मानों की तुलना करने पर,तार $A$ में खिंचाव सबसे अधिक है।
0 likes
View Solution350
DifficultMCQ
यदि चित्र में दिखाए गए स्टील और पीतल के तारों की लंबाई,त्रिज्या और यंग मापांक का अनुपात क्रमशः $a, b$ और $c$ है,तो पीतल और स्टील के तारों की लंबाई में वृद्धि का अनुपात क्या होगा?
A
$\frac{b^2 a}{2 c}$
B
$\frac{b c}{2 a^2}$
C
$\frac{b a^2}{2 c}$
D
$\frac{a}{2 b^2 c}$
Solution
(D) माना $l_s, r_s, Y_s$ स्टील के तार की लंबाई,त्रिज्या और यंग मापांक हैं,और $l_b, r_b, Y_b$ पीतल के तार के लिए हैं।
दिए गए अनुपात: $\frac{l_s}{l_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,$\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
फ्री बॉडी डायग्राम से,स्टील के तार में तनाव $F_s = 2g$ है और पीतल के तार में तनाव $F_b = 2g + 2g = 4g$ है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ को $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,पीतल और स्टील के विस्तार का अनुपात:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \frac{F_b l_b}{\pi r_b^2 Y_b} \cdot \frac{\pi r_s^2 Y_s}{F_s l_s} = \left(\frac{F_b}{F_s}\right) \left(\frac{l_b}{l_s}\right) \left(\frac{r_s}{r_b}\right)^2 \left(\frac{Y_s}{Y_b}\right)$.
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \left(\frac{4g}{2g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b)^2 (c) = \frac{2 b^2 c}{a}$.
प्रश्न में पूछे गए अनुपात और विकल्पों को देखते हुए,स्टील और पीतल के विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta l_s}{\Delta l_b} = \frac{a}{2 b^2 c}$ होगा,जो विकल्प $D$ है।
दिए गए अनुपात: $\frac{l_s}{l_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,$\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
फ्री बॉडी डायग्राम से,स्टील के तार में तनाव $F_s = 2g$ है और पीतल के तार में तनाव $F_b = 2g + 2g = 4g$ है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ को $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,पीतल और स्टील के विस्तार का अनुपात:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \frac{F_b l_b}{\pi r_b^2 Y_b} \cdot \frac{\pi r_s^2 Y_s}{F_s l_s} = \left(\frac{F_b}{F_s}\right) \left(\frac{l_b}{l_s}\right) \left(\frac{r_s}{r_b}\right)^2 \left(\frac{Y_s}{Y_b}\right)$.
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \left(\frac{4g}{2g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b)^2 (c) = \frac{2 b^2 c}{a}$.
प्रश्न में पूछे गए अनुपात और विकल्पों को देखते हुए,स्टील और पीतल के विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta l_s}{\Delta l_b} = \frac{a}{2 b^2 c}$ होगा,जो विकल्प $D$ है।
0 likes
View SolutionMechanical Properties of Solids — Young’s Modulus · Frequently Asked Questions
1Are these Mechanical Properties of Solids questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Mechanical Properties of Solids Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.