2l मीटर लंबाई और A ; m^2 अनुप्रस्थ काट क्षेत् | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि मध्य बिंदु पर अवनमन $x$ है। तार के प्रत्येक आधे भाग की मूल लंबाई $l$ है। प्रत्येक आधे भाग की नई लंबाई $\sqrt{l^2 + x^2}$ है।तार की लं

Vedclass · Accepted Answer

$l \left( \frac{mg}{YA} \right)^{1/3}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि मध्य बिंदु पर अवनमन $x$ है। तार के प्रत्येक आधे भाग की मूल लंबाई $l$ है। प्रत्येक आधे भाग की नई लंबाई $\sqrt{l^2 + x^2}$ है।तार की लंबाई में वृद्धि $\Delta L = 2(\sqrt{l^2 + x^2} - l) = 2l(\sqrt{1 + (x/l)^2} - 1)$ है।छोटे $x/l$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + \epsilon)^n \approx 1 + n\epsilon$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta L \approx 2l(1 + \frac{1}{2} \frac{x^2}{l^2} - 1) = \frac{x^2}{l}$ प्राप्त होता है।विकृति (strain) $\frac{\Delta L}{2l} = \frac{x^2/l}{2l} = \frac{x^2}{2l^2}$ है।मध्य बिंदु पर बल संतुलन से,$2T \sin 	heta = mg$,जहाँ $\sin 	heta = \frac{x}{\sqrt{l^2 + x^2}} \approx \frac{x}{l}$ है।अतः,$2T(x/l) = mg \implies T = \frac{mgl}{2x}$।प्रतिबल (stress) $\frac{T}{A} = \frac{mgl}{2Ax}$ है।यंग मापांक $Y = \frac{	ext{Stress}}{	ext{Strain}} = \frac{mgl/2Ax}{x^2/2l^2} = \frac{mgl^3}{Ax^3}$ का उपयोग करने पर।$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x^3 = \frac{mgl^3}{YA} \implies x = l \left( \frac{mg}{YA} ight)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

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