Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Gujarati

(B) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
ત્રણેય પાત્રો માટે $T$ સમાન હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે:
નિયોન (એકપરમાણ્વીય): $M_1 \approx 20 \text{ g/mol}$.
ક્લોરિન (દ્વિપરમાણ્વીય): $M_2 \approx 71 \text{ g/mol}$.
યુરેનિયમ હેક્ઝાફ્લોરાઇડ (બહુપરમાણ્વીય): $M_3 \approx 352 \text{ g/mol}$.
અહીં $M_1 < M_2 < M_3$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{M_1}} > \frac{1}{\sqrt{M_2}} > \frac{1}{\sqrt{M_3}}$ મળે.
તેથી,$v_{rms}(\text{mono}) > v_{rms}(\text{dia}) > v_{rms}(\text{poly})$ સાચો સંબંધ છે.

(A) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ શોધવાનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$.
આપેલ છે:
તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$.
નાઈટ્રોજનના એક અણુનું દળ $m = 4.6 \times 10^{-26} \, kg$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_{B} = 1.4 \times 10^{-23} \, J K^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{273.91 \times 10^{3}} \approx \sqrt{273910} \approx 523.36 \, m/s$.
આમ,આશરે ઝડપ $523 \, m/s$ મળે છે.

(C) વાયુના અણુની r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ મળે.
તેથી,r.m.s. ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{Ar}}{v_{Cl}} = \sqrt{\frac{M_{Cl}}{M_{Ar}}}$ થાય.
અહીં $v_{Cl} = 490\,m/s$,$M_{Cl} = 70.9\,u$,અને $M_{Ar} = 39.9\,u$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{Ar} = 490 \times \sqrt{\frac{70.9}{39.9}}$.
$v_{Ar} = 490 \times \sqrt{1.7769} \approx 490 \times 1.333 = 653.17\,m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $651.7\,m/s$ મળે છે.

(A) વાયુના અણુની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
વાયુના અણુની સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{rms} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} v_{avg}$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT}{M} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8RT}{\pi M}$.
બંને બાજુથી $\frac{RT}{M}$ દૂર કરતા: $3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{\pi}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{22/7} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8 \times 7}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{56}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{28}{11}$.
$\Rightarrow 1+\frac{5}{x} = 3 \times \frac{11}{28} = \frac{33}{28}$.
$\Rightarrow \frac{5}{x} = \frac{33}{28} - 1 = \frac{5}{28}$.
$\Rightarrow x = 28$.

(C) વાયુની $rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -50 + 273 = 223\,K$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે.
ઝડપમાં $3$ ગણો વધારો થાય છે,તેથી અંતિમ ઝડપ $v_2 = v + 3v = 4v$ થશે.
સંબંધ $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{v}{4v} = \sqrt{\frac{223}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{16} = \frac{223}{T_2}$.
આમ,$T_2 = 223 \times 16 = 3568\,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા,$T_2 = 3568 - 273 = 3295^{\circ}C$.

(D) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે。
અહીં, $T_H$ તાપમાને હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નો r.m.s. વેગ એ $T_O = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \,K$ તાપમાને ઓક્સિજન $(O_2)$ ના r.m.s. વેગ જેટલો છે。
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $M_H = 2 \,g/mol$ અને ઓક્સિજનનું મોલર દળ $M_O = 32 \,g/mol$ છે。
વેગને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_H}{2} = \frac{320}{32}$.
$T_H = 2 \times 10 = 20 \,K$.

(B) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
અહીં તાપમાન $(T)$ અને વાયુ અચળાંક $(R)$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોવાથી, વેગ અને મોલર દળ $(M)$ વચ્ચેનો સંબંધ $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ છે.
ધારો કે $V_H$ એ હાઇડ્રોજનનો વેગ $(M_H = 2 \,g/mol)$ છે અને $V_O$ એ ઓક્સિજનનો વેગ $(M_O = 32 \,g/mol)$ છે.
તેથી, $\frac{V_H}{V_O} = \sqrt{\frac{M_O}{M_H}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{V_O} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ, $V_O = \frac{2}{4} = 0.5 \,km/s$.

(B) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે.
વાયુઓ એક જ નમૂનામાં હોવાથી,તેમનું તાપમાન $(T)$ સમાન છે.
તેથી,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M_w}}$.
હિલિયમ $(He)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ ની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{w, O_2}}{M_{w, He}}}$.
હિલિયમનું મોલર દળ $(M_{w, He} = 4 \ g/mol)$ અને ઓક્સિજનનું મોલર દળ $(M_{w, O_2} = 32 \ g/mol)$ આપેલ છે:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{2\sqrt{2}}{1}$ છે.

(D) વાયુની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં સમાન તાપમાન $T = 300 \ K$ પર હોવાથી,તેમની rms ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (હિલિયમ)}}{v_{\text{rms}} \text{ (આર્ગોન)}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{He}}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{Ar}}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Ar}}}{M_{\text{He}}}}$
અહીં $M_{\text{He}} = 4 \ amu$ અને $M_{\text{Ar}} = 40 \ amu$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (હિલિયમ)}}{v_{\text{rms}} \text{ (આર્ગોન)}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(V_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(V_{rms}^2)$ મળે છે:
$V_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$
ચોક્કસ આદર્શ વાયુ માટે $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M$ (વાયુનું મોલર દળ) અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V_{rms}^2 \propto T$
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = V_{rms}^2$,$x = T$,અને $m = \frac{3R}{M}$ એ ઢાળ છે.
તેથી,સરેરાશ વર્ગિત વેગ વિરુદ્ધ તાપમાનનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.

(C) વાયુનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાષ્પ ઘનતા $d$ એ મોલર દળ $M$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(d = \frac{M}{2})$,આપણને $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ મળે છે.
આપેલ બાષ્પ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{25}$ છે.
$r.m.s.$ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $(V_{rms})_{O_2} = (V_{rms})_{H_2}$,તેથી $\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સમાન પદો દૂર કરતા,આપણને $\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$ મળે છે.
અહીં,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,અને $T_{H_2} = 20 K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{20}{2}$.
$T_{O_2} = 10 \times 32 = 320 K$.

(C) આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ છે.
આપેલ છે કે દબાણ $P_1$ અને $P_2$ સમાન છે,તેથી $P_1 = P_2$.
આમ,$\frac{1}{3} \rho_1 v_{rms,1}^2 = \frac{1}{3} \rho_2 v_{rms,2}^2$.
આ સમીકરણ $\rho_1 v_{rms,1}^2 = \rho_2 v_{rms,2}^2$ માં પરિણમે છે.
વેગના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{v_{rms,1}^2}{v_{rms,2}^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ મળે છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,તેમના r.m.s. વેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) r.m.s. વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે,$v_{H_2} = 4 \times v_{O_2}$.
ઓક્સિજનનું તાપમાન $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$.
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ અને ઓક્સિજનનું $M_{O_2} = 32 \ g/mol$.
સંબંધ $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = 4 \times \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = 16 \times \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times \frac{320}{32}$.
$\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times 10 = 160$.
$T_{H_2} = 320 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 320 - 273 = 47^{\circ} C$.

(C) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ (r.m.s. velocity) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
જેમ કે $v_{rms}$ ફક્ત તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે (ધારી લઈએ કે વાયુનું બંધારણ $M$ અચળ રહે છે),જો $T$ અચળ હોય,તો $v_{rms}$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,જ્યારે વાયુનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના અણુઓનો r.m.s. વેગ સમાન રહે છે.

(B) આદર્શ વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ ($R$.$M$.$S$. velocity) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 100 \ K$ તાપમાને $R$.$M$.$S$. વેગ $v_1 = x$ છે અને $T_2 = 400 \ K$ તાપમાને $R$.$M$.$S$. વેગ $v_2$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2x$.

(B) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 200 \ K$ તાપમાને $r.m.s.$ ઝડપ $v_1$ છે અને $T_2 = 800 \ K$ તાપમાને $r.m.s.$ ઝડપ $v_2$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$v_2 = 2v_1$.
આનો અર્થ એ છે કે $800 \ K$ તાપમાને $r.m.s.$ ઝડપ એ $200 \ K$ તાપમાનની કિંમત કરતા બમણી હશે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપ એટલે વ્યક્તિગત ઝડપોના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ.
સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2 + v_6^2}{N}}$
આપેલી ઝડપ: $2, 5, 3, 6, 3, 5 \,m/s$.
અણુઓની સંખ્યા $N = 6$.
વર્ગોનો સરવાળો: $2^2 + 5^2 + 3^2 + 6^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 25 + 9 + 36 + 9 + 25 = 108$.
વર્ગોની સરેરાશ: $\frac{108}{6} = 18$.
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24 \,m/s$.

(B) આદર્શ વાયુનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 100 \ K$ તાપમાને વેગ $v_1$ છે અને $T_2 = 400 \ K$ તાપમાને વેગ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = x$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2x$.

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે ઓક્સિજન $(O_2)$ અને હિલિયમ $(He)$ ની r.m.s. ઝડપ સમાન છે,તેથી:
$\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$
અહીં $T_{He} = 57^{\circ} C = 57 + 273 = 330 \ K$,$M_{O_2} = 32$,અને $M_{He} = 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{330}{4}$
$T_{O_2} = \frac{330 \times 32}{4} = 330 \times 8 = 2640 \ K$.

(C) આદર્શ વાયુના રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 100 \ K$ તાપમાને r.m.s. વેગ $v_1$ છે અને $T_2 = 400 \ K$ તાપમાને r.m.s. વેગ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = x$.
પ્રમાણસરતા $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2x$.

(B) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$T_{O_2} = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$.
ધારો કે $V_H$ એ હાઇડ્રોજનનો $r.m.s.$ વેગ છે અને $V_O$ એ ઓક્સિજનનો $r.m.s.$ વેગ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_H = 4.5 \times V_O$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = 4.5 \times \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT_H}{M_H} = (4.5)^2 \times \frac{3RT_O}{M_O}$.
બંને બાજુથી $3R$ દૂર કરતા: $\frac{T_H}{M_H} = 20.25 \times \frac{T_O}{M_O}$.
અહીં $M_H = 2$ અને $M_O = 32$ છે: $\frac{T_H}{2} = 20.25 \times \frac{320}{32}$.
$\frac{T_H}{2} = 20.25 \times 10 = 202.5$.
$T_H = 202.5 \times 2 = 405 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_H = 405 - 273 = 132^{\circ} C$.

(A) આપેલ છે:
તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = 61 \ m/s$.
વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
$v_{rms}$ માટેનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $M$ એ $kg/mol$ માં મોલર દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{61 \times 61}$.
$M = \frac{7479}{3721} \approx 2.01 \ kg/mol$.
મોલર દળ આશરે $2 \ kg/mol$ હોવાથી,આણ્વીય દળ $2 \ g/mol$ થાય.

(C) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -80^{\circ} C = -80 + 273 = 193 \ K$.
વાયુની r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ છે અને અંતિમ ઝડપ $v_2$ છે. પ્રશ્ન મુજબ ઝડપ $2$ ગણી વધારવાની છે,એટલે કે $v_2 = v_1 + 2v_1 = 3v_1$.
સંબંધ $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{3v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$3 = \sqrt{\frac{T_2}{193}} \implies 9 = \frac{T_2}{193}$.
$T_2 = 9 \times 193 = 1737 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 1737 - 273 = 1464^{\circ} C$.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગ વેગ $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ $A$ માટે,$x$-ઘટકનો સરેરાશ વર્ગ $\omega^2 = \langle v_x^2 \rangle$ છે. કારણ કે $\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle$ અને $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$,તેથી $\langle v^2 \rangle = 3\omega^2$ થાય.
આમ,$3\omega^2 = \frac{3kT}{m} \implies \omega^2 = \frac{kT}{m}$...$(i)$
વાયુ $B$ માટે,સરેરાશ વર્ગ વેગ $V^2 = \frac{3kT}{2m}$...(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{\omega^2}{V^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{kT}{m} \times \frac{2m}{3kT} = \frac{2}{3}$.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ તેના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા સાથે સંબંધિત છે.
પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે,$v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે,અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto v_{rms}^2$.
તેથી,નિરપેક્ષ તાપમાન એ અણુઓના સરેરાશ વર્ગિત વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ આપેલ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ આપેલ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_{rms_2}}{v_{rms_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_{rms_2} = 2 \cdot v_{rms_1}$.
આમ,r.m.s. ઝડપ પ્રારંભિક ઝડપ કરતા બમણી થાય છે.

(C) વાયુના અણુઓની r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં વાયુ સમાન હોવાથી,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$
r.m.s. ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{400}{800}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(C) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -68^{\circ} C = -68 + 273 = 205 \ K$ છે.
વાયુના અણુઓનો r.m.s. વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $(v_{rms})_1$ છે અને અંતિમ વેગ $(v_{rms})_2 = 2(v_{rms})_1$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{205}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{205}$.
તેથી,$T_2 = 4 \times 205 = 820 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 820 - 273 = 547^{\circ} C$.

(A) વાયુની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
ધારો કે પ્રથમ વાયુનું આણ્વિય દળ $M_1 = 32$ અને $r.m.s.$ ઝડપ $(v_{rms})_1$ છે.
ધારો કે બીજા વાયુનું આણ્વિય દળ $M_2$ અને $r.m.s.$ ઝડપ $(v_{rms})_2 = 4(v_{rms})_1$ છે.
સંબંધ $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે આપેલી કિંમતો મૂકીએ:
$4 = \sqrt{\frac{32}{M_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $16 = \frac{32}{M_2}$ મળે છે.
તેથી,$M_2 = \frac{32}{16} = 2$.

(D) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગ $v_{rms}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 5T$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક r.m.s. વેગ $v_1$ છે અને અંતિમ r.m.s. વેગ $v_2$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{5T}{T}} = \sqrt{5}$.
આમ,$v_2 = \sqrt{5} v_1$.
તેથી,r.m.s. વેગ પ્રારંભિક વેગ કરતા $\sqrt{5}$ ગણો થશે.

(A) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
અહીં આપેલ છે કે $T$ તાપમાને r.m.s. ઝડપ એ $320 \,K$ તાપમાને રહેલી r.m.s. ઝડપ કરતા $2$ ગણી છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$\frac{v_T}{v_{320}} = 2$
કારણ કે $v \propto \sqrt{T}$,તેથી:
$\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{320}} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T}{320} = 2^2$
$\frac{T}{320} = 4$
$T = 4 \times 320 \,K = 1280 \,K$.

(A) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વેગ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$
જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$V^2 = \frac{3 k_B T}{m}$
આપેલ વાયુ માટે $k_B$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V^2 \propto T$
અથવા,$\frac{V^2}{T} = \frac{3 k_B}{m} = \text{અચળ}$
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{V^2}{T} = \text{અચળ}$ છે.

(D) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
અહીં પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 140 \,K$ અને પ્રારંભિક r.m.s. ઝડપ $v_1 = v$ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 560 \,K$ છે.
આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{560}{140}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી, નવી r.m.s. ઝડપ $v_2 = 2 v$ થશે.

(B) આ પ્રક્રિયા સમતાપી છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક),$M$ (મોલર દળ) અને $T$ (તાપમાન) અચળ હોવાથી,$rms$ ઝડપ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) આદર્શ વાયુના રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે:
$V^2 = \frac{3RT}{M_0}$
$V$ અને $T$ ચલને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{V^2}{T} = \frac{3R}{M_0}$
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M_0$ (મોલર દળ) આપેલ વાયુ માટે અચળ હોવાથી, ગુણોત્તર $\frac{3R}{M_0}$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી, $\frac{V^2}{T} = \text{અચળ}$।

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ મોલર દળ છે.
કારણ કે $M = m \times N_A$ (જ્યાં $m$ એ એક અણુનું દળ છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે),આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{mN_A}}$
અહીં $3$,$R$,અને $N_A$ અચળાંકો હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{m}}$
$v_{rms} \propto m^{-\frac{1}{2}} T^{\frac{1}{2}}$

(B) આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho c^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $c$ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપ છે.
દબાણ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $P_1 = P_2$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} \rho_1 c_1^2 = \frac{1}{3} \rho_2 c_2^2$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{c_1^2}{c_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ મળે છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{c_1^2}{c_2^2} = 16$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{c_1}{c_2} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.
આમ,તેમની rms ઝડપનો ગુણોત્તર $(c_1: c_2)$ એ $4: 1$ છે.

(A) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
rms ઝડપ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના મોલર દળ $M$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે વાયુના દબાણ $P$ થી સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે કે તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી દબાણ વધારવા છતાં rms ઝડપમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
તેથી,નવી rms ઝડપ $V$ રહેશે.

(D) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s) ઝડપનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ મોલર દળ છે.
હિલિયમ $(He)$ માટે: $M_{He} = 4$,$T_{He} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: $M_{O} = 32$,$T_{O} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
r.m.s ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{He}}{v_{O}} = \sqrt{\frac{T_{He}}{T_{O}} \times \frac{M_{O}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{600}{300} \times \frac{32}{4}} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર ($R$.$M$.$S$.) વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે હાઇડ્રોજન $(H_2)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ ના $R$.$M$.$S$. વેગ સમાન છે,તેથી $v_{H} = v_{O}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$.
અહીં $T_O = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,$M_H = 2$,અને $M_O = 32$ છે.
$T_H$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $T_H = T_O \times \frac{M_H}{M_O}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_H = 320 \times \frac{2}{32} = 320 \times \frac{1}{16} = 20 \ K$.

(A) વાયુના અણુનો $r.m.s.$ વેગ $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $C \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ આપેલ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ આપેલ છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) વાયુના અણુઓના રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વેગનું સૂત્ર $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $C = 200 \,m/s$ છે, જ્યાં તાપમાન $T$ અને અણુભાર $M$ છે.
નવી શરતો મુજબ: $T' = \frac{T}{2}$ અને $M' = 2M$.
નવો $RMS$ વેગ $C'$ ગુણોત્તર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\frac{C'}{C} = \sqrt{\frac{T'}{T} \times \frac{M}{M'}} = \sqrt{\frac{T/2}{T} \times \frac{M}{2M}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $C' = \frac{C}{2} = \frac{200}{2} = 100 \,m/s$.

(C) ઓક્સિજનના અણુ $(O_2)$ ની rms ઝડપ $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ $O_2$ નું આણ્વીય દળ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય $(T' = 2T)$ અને અણુનું બે પરમાણુઓમાં વિઘટન થાય,ત્યારે ઓક્સિજન પરમાણુનું આણ્વીય દળ $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
નવી rms ઝડપ $u'$ એ $u' = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $u' = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ મળે છે.
કારણ કે $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,તેથી $u' = 2u$ થાય છે.

(C) સરેરાશ વેગ $(v_{av})$ એ વેગના અંકગણિત સરેરાશ તરીકે ગણવામાં આવે છે:
$v_{av} = \frac{v_{1} + v_{2} + v_{3} + v_{4}}{N} = \frac{1 + 3 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \ km/s$
રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વેગ $(v_{rms})$ એ વેગના વર્ગોની સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે ગણવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + v_{4}^{2}}{N}} = \sqrt{\frac{1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{1 + 9 + 25 + 49}{4}} = \sqrt{\frac{84}{4}} = \sqrt{21} \approx 4.583 \ km/s$
$RMS$ વેગ અને સરેરાશ વેગ વચ્ચેનો તફાવત:
$v_{rms} - v_{av} = 4.583 \ km/s - 4 \ km/s = 0.583 \ km/s$

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વાયુ માટે $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto v_{rms}^2$.
અહીં અંતિમ વેગ $v_2$ એ પ્રારંભિક વેગ $v_1$ કરતા અડધો છે,એટલે કે $v_2 = \frac{v_1}{2}$.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{600 \ K}{4} = 150 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 150 - 273 = -123^{\circ} C$.

(A) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $NTP$ $(T_1 = 273 \ K)$ પર $rms$ ઝડપ $v_1$ છે અને $T_2$ તાપમાને $rms$ ઝડપ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_2 = 2v_1$,તેથી:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T_2(^{\circ}C) = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.

(A) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $(v_{av})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
ધારો કે બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન છે,તો સરેરાશ ઝડપ એ આણ્વીય દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$v_{av} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$
ધારો કે $v_{1}$ એ $SO_{2}$ ની ઝડપ છે અને $v_{2}$ એ અજ્ઞાત વાયુની ઝડપ છે. આપેલ છે કે $v_{2} = 4v_{1}$ અને $M_{1} = 64$:
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{M_{1}}{M_{2}}}$
$4 = \sqrt{\frac{64}{M_{2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = \frac{64}{M_{2}}$
$M_{2} = \frac{64}{16} = 4$
$4$ આણ્વીય દળ ધરાવતો વાયુ હિલિયમ $(He)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક $rms$ ઝડપ $v_1$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ છે. ધારો કે અંતિમ $rms$ ઝડપ $v_2$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2$ છે.
આપેલ છે કે $rms$ ઝડપમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $v_2 = v_1 + 0.25v_1 = 1.25v_1$.
$v \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1.25 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1.25)^2 = \frac{T_2}{T_1}$,જે $1.5625 = \frac{T_2}{T_1}$ આપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T_2 = 1.5625 T_1$.
તાપમાનમાં ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 \%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વધારો $= (1.5625 - 1) \times 100 \% = 0.5625 \times 100 \% = 56.25 \%$.