Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Gujarati

(B) $rms$ વેગ માટેનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે.
$H_2$ માટે આપેલ છે: $T_1 = 27 + 273 = 300\, K$,$M_{w1} = 2\, g/mol$,$V_{rms1} = 100\, m/s$.
$O_2$ માટે આપેલ છે: $T_2 = 327 + 273 = 600\, K$,$M_{w2} = 32\, g/mol$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{V_{rms2}}{V_{rms1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{M_{w1}}{M_{w2}}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{rms2}}{100} = \sqrt{\frac{600}{300} \times \frac{2}{32}} = \sqrt{2 \times \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$V_{rms2} = 100 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}}\, m/s$.

(D) ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \approx \sqrt{\frac{2.55kT}{m}}$
$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$
આની સરખામણી કરતા,આપણને $v_p < \bar{v} < v_{rms}$ મળે છે.
અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા માટે:
$E_k = \frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{1}{2} m \left( \sqrt{\frac{3kT}{m}} \right)^2 = \frac{3}{2} kT$.
કારણ કે $v_p^2 = \frac{2kT}{m}$,તેથી $kT = \frac{1}{2} m v_p^2$ થાય.
આ કિંમત $E_k$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_k = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} m v_p^2 \right) = \frac{3}{4} m v_p^2$.

(D) વાયુનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$rms$ વેગ સમાન હોવા માટે, $\sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ થાય.
આથી, $\frac{T_{N_2}}{M_{N_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
અહીં $T_{O_2} = 127 + 273 = 400 \, K$, $M_{O_2} = 32 \, g/mol$, અને $M_{N_2} = 28 \, g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{N_2}}{28} = \frac{400}{32}$.
$T_{N_2} = \frac{400 \times 28}{32} = 12.5 \times 28 = 350 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^\circ C) = 350 - 273 = 77 ^\circ C$.

(D) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(c_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $c_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
$NTP$ પર બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $(T)$ સમાન હોવાથી,$c_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર આ મુજબ મળે: $\frac{(c_{rms})_{H_2}}{(c_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$.
અહીં $(c_{rms})_{H_2} = 1.84 \, km/s$,$M_{H_2} = 2$,અને $M_{O_2} = 32$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.84}{(c_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,$(c_{rms})_{O_2} = \frac{1.84}{4} = 0.46 \, km/s$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ $\sqrt{3RT/M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp})$ $\sqrt{2RT/M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$,આ ઝડપ સમાન નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
અણુઓની ઝડપ માટેનું મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્ર જમણી તરફ નમેલું (અસંમિત) છે,જેનો અર્થ છે કે તેની પાસે ઊંચી ઝડપ તરફ લાંબી પૂંછડી છે. તેથી,વિતરણ સંમિત નથી. આમ,કારણ પણ ખોટું છે.

(A) નિશ્ચિત તાપમાને,સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle$ અચળ હોય છે. તેથી,સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
$U^{235}$ સાથેના $UF_6$ નું મોલર દળ $M_1 = 235 + 6 \times 19 = 235 + 114 = 349 \text{ એકમ}$ છે.
$U^{238}$ સાથેના $UF_6$ નું મોલર દળ $M_2 = 238 + 6 \times 19 = 238 + 114 = 352 \text{ એકમ}$ છે.
$M_1 < M_2$ હોવાથી,$U^{235}$ ધરાવતા $UF_6$ વાયુની સરેરાશ ઝડપ વધારે હશે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{352}{349}} \approx \sqrt{1.008596} \approx 1.004288$ છે.
ટકાવારી તફાવત $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = (1.004288 - 1) \times 100 \approx 0.43 \%$ છે.

(B) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
હિલિયમનું તાપમાન $T_{He} = -20^{\circ}C = 253 \; K$ આપેલ છે.
આર્ગોનનું પરમાણ્વીય દળ $M_{Ar} = 39.9 \; u$ અને હિલિયમનું પરમાણ્વીય દળ $M_{He} = 4.0 \; u$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $(v_{rms})_{Ar} = (v_{rms})_{He}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{3RT_{Ar}}{M_{Ar}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{T_{Ar}}{M_{Ar}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$ મળે.
$T_{Ar}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$T_{Ar} = T_{He} \times \frac{M_{Ar}}{M_{He}}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_{Ar} = 253 \times \frac{39.9}{4.0}$.
$T_{Ar} = 253 \times 9.975 = 2523.675 \; K$.
આમ,$T_{Ar} \approx 2.52 \times 10^{3} \; K$ થાય.

(N/A) આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\langle \frac{1}{2} m v^{2} \rangle = \frac{3}{2} k_{B} T$.
અહીં,$k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ પરમ તાપમાન છે,$m$ એ અણુનું દળ છે અને $v$ એ વાયુના અણુની ઝડપ છે.
જો $T = 0$ હોય,તો $\langle \frac{1}{2} m v^{2} \rangle = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\langle v^{2} \rangle = 0$,અને પરિણામે રૂટ-મીન-સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\langle v^{2} \rangle} = 0$ થાય છે.
તેથી,પરમ તાપમાન એટલે એવું તાપમાન કે જેના પર વાયુના અણુઓની રૂટ-મીન-સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
સંબંધ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T = 0$ તાપમાને દબાણ $P$ પણ શૂન્ય થાય છે.

(N/A) $rms$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) મૂલ્ય એટલે મૂલ્યોના વર્ગોની સરેરાશનું વર્ગમૂળ.
$v_{rms}$ એ વાયુના અણુઓની ઝડપના વર્ગોની સરેરાશનું વર્ગમૂળ છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$
જ્યાં $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે અને $\langle v^2 \rangle$ એ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ છે.
$\langle v^2 \rangle$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\langle v^2 \rangle = \frac{3P}{\rho}$
કારણ કે $v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$,તેથી $\langle v^2 \rangle$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$

(N/A) આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} k_{B} T$
જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે,$v$ એ વેગ છે,$k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સરેરાશ વર્ગિત વેગ $\langle v^{2} \rangle$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\langle v^{2} \rangle = \frac{3 k_{B} T}{m}$
રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms}$ ને સરેરાશ વર્ગિત વેગના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\langle v^{2} \rangle} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આપેલ તાપમાન $T$ માટે:
$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
આમ,અચળ તાપમાને,ભારે અણુઓની તુલનામાં હલકા અણુઓ વધુ રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ ધરાવે છે.

(N/A) આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} k_{B} T$
અહીં,$m$ એ એક અણુનું દળ છે,$v$ એ વેગ છે,$k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_{B} = \frac{R}{N_{A}}$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $N_{A}$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
સમીકરણમાં $k_{B}$ ની કિંમત મૂકતા:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} (\frac{R}{N_{A}}) T$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$m = \frac{3 R T}{N_{A}}$
મોલર દળ $M_{0} = m \times N_{A}$ હોવાથી,આપણે $m = \frac{M_{0}}{N_{A}}$ લખી શકીએ. આ કિંમત મૂકતા:
$(\frac{M_{0}}{N_{A}}) = \frac{3 R T}{N_{A}}$
બંને બાજુથી $N_{A}$ દૂર કરતા:
$M_{0} = 3 R T$
$ = \frac{3 R T}{M_{0}}$
વ્યાખ્યા મુજબ,સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ $v_{rms} = \sqrt{}$ છે.
તેથી,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{0}}}$.

(A) આદર્શ વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T = 300 \ K$ એ તાપમાન છે,અને $M$ એ નાઈટ્રોજન $(N_2)$ નું મોલર દળ છે.
નાઈટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 28 \ g/mol = 28 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{28 \times 10^{-3}}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{7482.6}{0.028}}$
$v_{rms} = \sqrt{267235.7}$
$v_{rms} \approx 516.95 \ m/s$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$v_{rms} \approx 517 \ m/s$.

(N/A) $v_{rms}$ એ વાયુના અણુઓની 'રૂટ મીન સ્ક્વેર' (વર્ગ સરેરાશ) ઝડપ દર્શાવે છે. તે વાયુના વ્યક્તિગત અણુઓની ઝડપના વર્ગોની સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$(1)$ ઘનતા $(\rho)$ અને દબાણ $(P)$ ના પદોમાં: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$
$(2)$ અણુના દળ $(m)$ ના પદોમાં: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$(3)$ મોલર દળ $(M)$ ના પદોમાં: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.

(B) વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
ઓરડાના તાપમાને $(T \approx 300 \ K)$ હવા માટે,મોલર દળ $(M)$ આશરે $29 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{29 \times 10^{-3}}} \approx 460 \ m/s$.
આ મૂલ્ય $10^2 \ m/s$ થી $10^3 \ m/s$ ના ક્રમનું છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે નાઈટ્રોજન કે ઓક્સિજન જેવા વાયુઓ માટે પ્રમાણભૂત સ્થિતિમાં તે આશરે $500 \ m/s$ હોય છે,જે $10^2 \ m/s$ ના ક્રમમાં આવે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $10^2 \ m/s$ છે.

(C) વાયુના રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ અને બાષ્પ ઘનતા $\rho \propto M$ હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ થાય.
આપેલ બાષ્પ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 : \rho_2 = 6 : 9$ છે.
તેથી,તેમના $v_{rms}$ નો ગુણોત્તર $\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ છે.

(NO CHANGE) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ અથવા $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ છે.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
જેহেতু $v_{rms}$ માત્ર વાયુના તાપમાન અને અણુઓના દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે અણુઓની સંખ્યા અથવા વાયુના દબાણ/કદથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$v_{rms}$ માં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(N/A) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપ નીચે મુજબ છે:
$c = \sqrt{\frac{3P}{\rho}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$
(જ્યાં $M_0$ એ વાયુનું મોલર દળ છે અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે).
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ નીચે મુજબ છે:
$v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_0}} \quad ... (1)$
(જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ અથવા વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે).
$c$ અને $v$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{c}{v} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_0}}}{\sqrt{\frac{\gamma RT}{M_0}}} = \sqrt{\frac{3}{\gamma}}$
તમામ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{c}{v} = \sqrt{\frac{3}{7/5}} = \sqrt{\frac{15}{7}}$
$\sqrt{\frac{15}{7}}$ એ અચળ કિંમત હોવાથી અને તેમાં તાપમાન $T$ નો સમાવેશ થતો ન હોવાથી,તમામ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ માટે $\frac{c}{v}$ નો ગુણોત્તર અચળ અને તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.

(A) વાયુના અણુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,સમાન તાપમાને જે વાયુનું મોલર દળ ઓછું હોય તેનો $v_{\text{rms}}$ વધારે હોય છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ આશરે $2 \text{ g/mol}$ છે,જ્યારે હવાનું સરેરાશ મોલર દળ આશરે $28.97 \text{ g/mol}$ છે.
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ હવા કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી,હાઇડ્રોજનનો $v_{\text{rms}}$ વધારે હશે.

(C) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર $\frac{(v_{rms})_{2}}{(v_{rms})_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ છે.
આપેલ છે કે તાપમાન $3$ ગણું વધારવામાં આવે છે,તેથી $T_{2} = 3T_{1}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{(v_{rms})_{2}}{(v_{rms})_{1}} = \sqrt{\frac{3T_{1}}{T_{1}}} = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$(v_{rms})_{2} = \sqrt{3}(v_{rms})_{1} \approx 1.732(v_{rms})_{1}$.
$v_{rms}$ માં ફેરફાર $(v_{rms})_{2} - (v_{rms})_{1} = 1.732(v_{rms})_{1} - 1(v_{rms})_{1} = 0.732(v_{rms})_{1}$ છે.
આમ,$v_{rms}$ માં તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $0.732$ ગણો વધારો થાય છે.

(A) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,વાયુના પ્રસરણનો દર તેના મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(Rate \propto 1/\sqrt{M})$.
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $(M_{H_2} = 2 \ g/mol)$ એ કાર્બન ડાયોક્સાઇડના મોલર દળ $(M_{CO_2} = 44 \ g/mol)$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી,હાઇડ્રોજન વાયુ પાત્રમાંથી ઝડપથી બહાર આવશે.
વૈકલ્પિક રીતે,રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{\text{rms}})$ નું સૂત્ર $v_{\text{rms}} = \sqrt{3RT/M}$ છે. $v_{\text{rms}} \propto 1/\sqrt{M}$ હોવાથી,સમાન તાપમાને હાઇડ્રોજનનો $v_{\text{rms}}$ કાર્બન ડાયોક્સાઇડ કરતા વધારે હોય છે,જેના પરિણામે પ્રસરણનો દર વધારે મળે છે.

(N/A) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m v_{rms}^{2} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પરમ શૂન્ય તાપમાને,$T = 0 \ K$ હોય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} m v_{rms}^{2} = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ મળે છે.
અણુનું દળ $m \neq 0$ હોવાથી,$v_{rms}^{2} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v_{rms} = 0$.
તેથી,પરમ શૂન્ય તાપમાને અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ (root mean square velocity) શૂન્ય થઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની ગતિ અટકી જાય છે.

(N/A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ છે.
તેથી,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$.
કિંમતો $P = 1.01 \times 10^{5} \ Pa$ અને $\rho = 0.09 \ kg/m^{3}$ મૂકતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.01 \times 10^{5}}{0.09}} = \sqrt{\frac{3.03 \times 10^{5}}{0.09}} = \sqrt{33.67 \times 10^{5}} = \sqrt{3.367 \times 10^{6}} \approx 1834.9 \ m/s$.
$1 \ mole$ આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} RT$ છે.
$1 \ mole$ માટે $PV = RT$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{3}{2} PV$ મળે.
અહીં $\rho = \frac{M}{V}$,જ્યાં $M$ એ $H_{2}$ નું મોલર દળ $(2 \times 10^{-3} \ kg/mol)$ છે,તેથી $1 \ mole$ નું કદ $V = \frac{M}{\rho} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.09} \approx 0.0222 \ m^{3}$ થાય.
આમ,$E = \frac{3}{2} \times (1.01 \times 10^{5}) \times (0.0222) \approx 3363.3 \ J$.

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $({v_{rms}})$ નું સૂત્ર ${v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સંતુલનમાં રહેલા વાયુનું તાપમાન $T$ એ $0 \ K$ કરતા વધારે હોવાથી,${v_{rms}}$ નું મૂલ્ય હંમેશા ધન અને શૂન્યતર હોય છે.
તેથી,${v_{rms}}$ શૂન્ય છે તેવું વિધાન ખોટું છે; તે વાયુના તાપમાન અને મોલર દળ પર આધાર રાખે છે.

(A) વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,આપેલ તાપમાન $T$ માટે,વાયુના અણુઓની ઝડપ તેમના મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પરિણામે,હલકો વાયુ (જેનું મોલર દળ $M$ ઓછું હોય છે) ભારે વાયુની સરખામણીમાં વધુ ઝડપ ધરાવશે.

(A) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $({v_{rms}})$ વાયુના ગતિવાદ પરથી ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ તરીકે મેળવવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે। તેથી, $(a)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે।
$1 \text{ મોલ}$ આદર્શ વાયુ માટે, સૂત્ર ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ છે, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ તાપમાન છે અને $M_0$ એ મોલર દળ છે। તેથી, $(b)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે।
વાયુના એક અણુ માટે, સૂત્ર ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$ છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે। તેથી, $(c)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે।
આમ, સાચી જોડ $(a-iii, b-i, c-ii)$ છે।

(B) વાયુના અણુઓની વર્ગ સરેરાશ ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
નોંધો કે $v_{rms}$ એ વાયુના દબાણથી સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે:
$T_1 = 27^{\circ} \ C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 127^{\circ} \ C = 127 + 273 = 400 \ K$
$(v_{rms})_1 = 100 \ m/s$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\frac{100}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{300}{400}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(v_{rms})_2 = \frac{100 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \ m/s$.

(C) $n$ અણુઓ માટે રૂટ મીન સ્ક્વેર $(v_{rms})$ ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{n}^{2}}{n}}$
બે અણુઓ માટે,સૂત્ર આ મુજબ થશે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}{2}}$
આપેલ છે:
$v_{1} = 9 \times 10^{6} \ m/s$
$v_{2} = 1 \times 10^{6} \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{(9 \times 10^{6})^{2} + (1 \times 10^{6})^{2}}{2}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{81 \times 10^{12} + 1 \times 10^{12}}{2}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{82 \times 10^{12}}{2}}$
$v_{rms} = \sqrt{41 \times 10^{12}}$
$v_{rms} = \sqrt{41} \times 10^{6} \ m/s$
કારણ કે $\sqrt{41} \approx 6.403$,
$v_{rms} \approx 6.40 \times 10^{6} \ m/s$

(N/A) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{\sum n_i v_i^2}{\sum n_i}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ ડેટાનો ઉપયોગ કરતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{10(200)^2 + 20(400)^2 + 40(600)^2 + 20(800)^2 + 10(1000)^2}{10+20+40+20+10}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{10(4 \times 10^4) + 20(16 \times 10^4) + 40(36 \times 10^4) + 20(64 \times 10^4) + 10(100 \times 10^4)}{100}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{10^4(40 + 320 + 1440 + 1280 + 1000)}{100}} = \sqrt{408000} \approx 638.75 \ m/s$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$ નો ઉપયોગ કરતા, $T = \frac{m v_{rms}^2}{3k_B} = \frac{3.0 \times 10^{-26} \times (638.75)^2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \approx 0.098 \ K$.
$(b)$ $v = 1000 \ m/s$ વાળા અણુઓને દૂર કરતા, નવા વિતરણમાં કુલ $90$ અણુઓ બાકી રહે છે।
$v_{rms}' = \sqrt{\frac{10(200)^2 + 20(400)^2 + 40(600)^2 + 20(800)^2}{90}}$
$v_{rms}' = \sqrt{\frac{10^4(40 + 320 + 1440 + 1280)}{90}} = \sqrt{\frac{3080000}{90}} \approx 585.18 \ m/s$.
$T' = \frac{m (v_{rms}')^2}{3k_B} = \frac{3.0 \times 10^{-26} \times (585.18)^2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \approx 0.082 \ K$.

(B) $H_2$ અને $He$ જેવા હલકા વાયુઓના અણુઓની વાતાવરણીય તાપમાને સરેરાશ ઝડપ પૃથ્વીની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $(v_e \approx 11.2 \ km/s)$ કરતા વધારે હોય છે.
તેમની ઉષ્મીય ઝડપ નિષ્ક્રમણ ઝડપ કરતા વધુ હોવાથી,આ વાયુના અણુઓ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સરળતાથી પાર કરી અવકાશમાં છટકી જાય છે.
તેથી,તેઓ પૃથ્વીના વાતાવરણમાં નહિવત માત્રામાં જોવા મળે છે.

(A) વાયુના અણુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $H_{2}$ ની $rms$ ઝડપ એ $N_{2}$ ની $rms$ ઝડપ જેટલી છે:
$V_{rms(H_{2})} = V_{rms(N_{2})}$
$\sqrt{\frac{3RT_{H_{2}}}{M_{H_{2}}}} = \sqrt{\frac{3RT_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સામાન્ય પદો $(3R)$ દૂર કરતા:
$\frac{T_{H_{2}}}{M_{H_{2}}} = \frac{T_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}$
અહીં $T_{N_{2}} = 300^{\circ}C = 300 + 273 = 573 \ K$,$M_{N_{2}} = 28 \ g/mol$,અને $M_{H_{2}} = 2 \ g/mol$ છે:
$\frac{T_{H_{2}}}{2} = \frac{573}{28}$
$T_{H_{2}} = \frac{573 \times 2}{28} = \frac{573}{14} \approx 40.928 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $41 \ K$ મળે છે.

(B) બે અણુઓ કે જેમનો વેગ $V$ છે તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $\left|V_{\text{rel}}\right| = \sqrt{V^2 + V^2 - 2V^2 \cos \theta} = 2V \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ સાપેક્ષ વેગ $\langle V_{\text{rel}} \rangle = \frac{\int_{0}^{\pi} 2V \sin(\theta/2) d\theta}{\int_{0}^{\pi} d\theta} = \frac{4V}{\pi}$ થાય છે.
અણુનો સરેરાશ વેગ $\langle V \rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ હોવાથી,સરેરાશ સાપેક્ષ વેગ $\langle V_{\text{rel}} \rangle = \frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ થશે.
અહીં $R = 8.314 \, J/(mol \cdot K)$,$T = 300 \, K$,અને $N_2$ માટે $M = 28 \times 10^{-3} \, kg/mol$ લેતા:
$\langle V_{\text{rel}} \rangle = \frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 300}{\pi \times 28 \times 10^{-3}}} \approx \frac{4}{3.14} \times 476.5 \approx 606 \, m/s$.

(C) આદર્શ વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુનો સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
rms વેગ અને સરેરાશ વેગનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}{\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$R$,$T$ અને $M$ પદો ઉડી જાય છે:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \sqrt{\frac{3RT}{M} \times \frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{3\pi}{8}}$ છે.

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ વાયુ માટે $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
નોંધો કે $v_{rms}$ એ દબાણ પર આધારિત નથી.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 300\, K$ અને $(v_{rms})_1 = 200\, ms^{-1}$ છે.
અહીં $T_2 = 127^{\circ} C = 400\, K$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$(v_{rms})_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \times (v_{rms})_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 200 = \frac{400}{\sqrt{3}}\, ms^{-1}$.
આને $\frac{x}{\sqrt{3}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 400$ મળે છે.

(A) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $V_{RMS} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{W}}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M_{W}$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$V_{RMS} \propto \frac{1}{\sqrt{M_{W}}}$ થાય.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે: $M_{H} = 2 \ g/mol$,$M_{O} = 32 \ g/mol$ અને $M_{C} = 44 \ g/mol$.
અહીં $M_{H} < M_{O} < M_{C}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{M_{H}}} > \frac{1}{\sqrt{M_{O}}} > \frac{1}{\sqrt{M_{C}}}$ મળે.
તેથી,$V_{H} > V_{O} > V_{C}$ થાય.

(A) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ મળે.
તેથી,$rms$ ઝડપનો ગુણોત્તર: $\frac{(V_{rms})_{O_2}}{(V_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$ થાય.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $32 \; {g/mol}$ અને હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $2 \; {g/mol}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{160}{(V_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આમ,$(V_{rms})_{H_2} = 160 \times 4 = 640 \; {m/s}$.

(D) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{\text{rms}})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
મિશ્રણમાં રહેલા તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
આપેલ દળ $m_{A} < m_{B} < m_{C}$ હોવાથી,તે મુજબ $v_{A} > v_{B} > v_{C}$ મળે.
આ ઝડપનો વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{v_{A}} < \frac{1}{v_{B}} < \frac{1}{v_{C}}$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી સંભવિત ઝડપ $v_{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{v_{rms}}{v_{p}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}{\sqrt{\frac{2RT}{M}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
તેથી,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3}{2}} v_{p}$.

(B) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આપેલ છે કે તાપમાન બમણું થાય છે,તેથી $T' = 2T$.
જ્યારે ઓક્સિજનના અણુઓ $(O_2)$ પરમાણ્વીય ઓક્સિજન $(O)$ માં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે મોલર દળ અડધું થાય છે,તેથી $M' = M/2$.
આ કિંમતોને $V_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$ ના પ્રમાણમાં મૂકતા:
$\frac{(V_{rms})_{atomic}}{(V_{rms})_{molecular}} = \sqrt{\frac{T'}{M'} \cdot \frac{M}{T}} = \sqrt{\frac{2T}{M/2} \cdot \frac{M}{T}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,પરમાણ્વીય ઓક્સિજનનો વેગ ઓક્સિજનના અણુઓના પ્રારંભિક વેગ કરતા $2$ ગણો થાય છે.

(D) વિધાન $I$: આદર્શ વાયુમાં,અણુઓ યાદચ્છિક દિશાઓમાં ગતિ કરે છે. વેગમાન $\vec{p}$ ધરાવતા દરેક અણુ માટે,વેગમાન $-\vec{p}$ ધરાવતા અણુ મળવાની આંકડાકીય રીતે સમાન સંભાવના હોય છે. તેથી,સરેરાશ વેગમાન $\vec{p}_{avg} = 0$ થાય છે,જે તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.
વિધાન $II$: $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$v = \sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}$.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય $(T' = 2T)$ અને $O_2$ નું $O$ પરમાણુઓમાં વિઘટન થાય,ત્યારે મોલર દળ $M' = \frac{M_{O_2}}{2}$ થાય છે.
નવી $rms$ ઝડપ $v' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M_{O_2}/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M_{O_2}}} = 2v$.
તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) કણની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{\text{rms}})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$.
આપેલ છે:
કણનું દળ $(m)$ = $5 \times 10^{-17} \, kg$
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k)$ = $1.38 \times 10^{-23} \, J \, K^{-1}$
$NTP$ પર તાપમાન $(T)$ = $293 \, K$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 293}{5 \times 10^{-17}}}$
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1213.02 \times 10^{-23}}{5 \times 10^{-17}}}$
$V_{\text{rms}} = \sqrt{242.604 \times 10^{-6}}$
$V_{\text{rms}} \approx 15.57 \times 10^{-3} \, m/s$
$mm/s$ માં રૂપાંતર કરતા $(1 \, m/s = 1000 \, mm/s)$:
$V_{\text{rms}} \approx 15.57 \, mm/s \approx 15 \, mm/s$.

(D) ગ્રહ પર વાતાવરણ ત્યારે જ શક્ય છે જો વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ એ ગ્રહની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $(v_e)$ કરતા ઓછી હોય.
જો $v_{rms} \geq v_e$ હોય,તો વાયુના અણુઓ પાસે ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને પાર કરવા માટે પૂરતી ગતિ ઊર્જા હોય છે અને તેઓ અવકાશમાં પલાયન કરી જશે.
તેથી,ગ્રહ પર વાતાવરણ જળવાઈ રહે તે માટેની શરત $v_{rms} < v_e$ છે.

(A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન ઝડપ વિતરણ વક્ર આપેલ તાપમાને વાયુના અણુઓની ઝડપનું વિતરણ દર્શાવે છે.
સૌથી સંભવિત ઝડપ $V_p$ એ સૂત્ર $V_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $V_p \propto \sqrt{T}$.
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ સૌથી સંભવિત ઝડપ $V_p$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રનું શિખર $V$-અક્ષ પર જમણી તરફ (વધારે ઝડપ તરફ) ખસે છે.
વધુમાં,કારણ કે વક્ર હેઠળનો કુલ વિસ્તાર (જે અણુઓની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે) અચળ રહેવો જોઈએ,તાપમાનમાં વધારો થવાથી વક્ર સપાટ અને પહોળો બને છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માંનો આલેખ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે $T_1 > T_2$ માટે,$T_1$ માટેનો વક્ર $T_2$ ના વક્ર કરતા વધારે ઝડપે શિખર ધરાવે છે અને વધુ પહોળો છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
મેક્સવેલનું ઝડપ વિતરણ વક્ર અસંમિત (જમણી બાજુ નમેલું) હોય છે કારણ કે વાયુના અણુઓની ઝડપ $0$ થી $\infty$ સુધીની હોય છે.
સૌથી ઓછી શક્ય ઝડપ $0$ અને સૌથી વધુ $\infty$ હોવાથી,વક્ર સૌથી સંભવિત ઝડપ $(V_{mp})$ ની આસપાસ સંમિત હોઈ શકે નહીં.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે વિતરણ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે $V_{rms}$,$V_{av}$ અને $V_{mp}$ વચ્ચેનો સંબંધ $V_{rms} > V_{av} > V_{mp}$ છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે તમામ ઝડપ પર વિતરણ વિધેયનું સંકલન અણુઓની કુલ સંખ્યા $N$ આપે છે.

(B) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે $STP$ $(T_1 = 273 \, K)$ પર $r.m.s.$ ઝડપ $V_1$ છે અને $T_2$ તાપમાને ઝડપ $V_2$ છે.
આપેલ છે કે $V_2 = V_1 + 10\% \text{ of } V_1 = 1.1 V_1$.
સંબંધ $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$1.1 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1.1)^2 = \frac{T_2}{273}$,જે $1.21 = \frac{T_2}{273}$ આપે છે.
$T_2 = 1.21 \times 273 = 330.33 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15 = 330.33 - 273.15 \approx 57.18^{\circ} C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $57.3^{\circ} C$ છે.

(C) વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v_s = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_s}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{\gamma RT / M}{3RT / M}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$.
અહીં $\gamma = 1.5$ અને $v_s = 600 \, m/s$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{600}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{1.5}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$v_{rms}$ માટે ઉકેલતા:
$v_{rms} = 600\sqrt{2} \, m/s$.

(B) સરેરાશ ઝડપ $v_{av}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$v_{av} = \frac{500 + 600 + 700 + 800 + 900}{5} = \frac{3500}{5} = 700 \ m/s$
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{500^2 + 600^2 + 700^2 + 800^2 + 900^2}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{250000 + 360000 + 490000 + 640000 + 810000}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{2550000}{5}} = \sqrt{510000} \approx 714.14 \ m/s$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$v_{rms} \approx 714 \ m/s$.
આમ,રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ એ સરેરાશ ઝડપ કરતા $714 - 700 = 14 \ m/s$ વધારે છે.

(C) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{RMS}$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$V_{RMS} \propto \sqrt{T}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વાયુના અણુઓની rms ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{rms} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times v_{avg}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT}{M} = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8RT}{\pi M}$.
બંને બાજુથી $\frac{RT}{M}$ દૂર કરતા: $3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8}{\pi}$.
આપેલ છે કે $\pi = \frac{22}{7}$,તેથી $\frac{8}{\pi} = \frac{8 \times 7}{22} = \frac{56}{22} = \frac{28}{11}$.
આમ,$3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{28}{11}$.
$33\alpha = 28(\alpha + 5)$.
$33\alpha = 28\alpha + 140$.
$5\alpha = 140$.
$\alpha = 28$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,કારણ કે $P$,$V$ અને $T$ ત્રણેય પાત્રો માટે સમાન છે,તેથી મોલની સંખ્યા $n$ સમાન રહેશે. એવોગેડ્રોના નિયમ મુજબ,બધા પાત્રોમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હશે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે:
$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$
$M_{F_2} = 38 \text{ g/mol}$
$M_{SF_6} = 146 \text{ g/mol}$
હિલિયમનું મોલર દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ સૌથી વધુ હશે.

(D) આદર્શ વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 200 \ K$ અને $T_2 = 800 \ K$.
આપેલ છે કે $V_{rms,1} = v_0$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{V_{rms,2}}{V_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{rms,2}}{v_0} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$V_{rms,2} = 2 v_0$.