Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Gujarati

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $\nu_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે: હાઈડ્રોજનનું તાપમાન $T_H = 27 \, ^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$.
ઑક્સિજનનું મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \, g \, mol^{-1}$.
હાઈડ્રોજનનું મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \, g \, mol^{-1}$.
શરત મુજબ $\nu_{rms(O_2)} = \nu_{rms(H_2)}$,તેથી $\sqrt{\frac{3RT_O}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_H}{M_{H_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{T_O}{M_{O_2}} = \frac{T_H}{M_{H_2}}$ મળે.
તેથી,$T_O = T_H \times \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}} = 300 \times \frac{32}{2} = 300 \times 16 = 4800 \, K$.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T$.
$T_1 = 300 \ K$ તાપમાને $E_1 = 6.21 \times 10^{-21} \ J$ આપેલ છે. $T_2 = 600 \ K$ તાપમાને નવી ગતિઊર્જા $E_2$:
$E_2 = E_1 \times (T_2 / T_1) = 6.21 \times 10^{-21} \times (600 / 300) = 12.42 \times 10^{-21} \ J$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(\nu_{rms})$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\nu_{rms} \propto \sqrt{T}$.
$T_1 = 300 \ K$ તાપમાને $(\nu_{rms})_1 = 325 \ m/s$ આપેલ છે. $T_2 = 600 \ K$ તાપમાને નવી ઝડપ $(\nu_{rms})_2$:
$(\nu_{rms})_2 = (\nu_{rms})_1 \times \sqrt{T_2 / T_1} = 325 \times \sqrt{600 / 300} = 325 \times \sqrt{2} \approx 325 \times 1.414 = 459.6 \ m/s$.

(A) આપેલ તાપમાન,$T = 27^{\circ}C = 273 + 27 = 300 \, K$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નો મોલર દળ $M_w = 32 \times 10^{-3} \, kg/mol$ છે અને સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1}$ છે.
$rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{32 \times 10^{-3}}}$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{7479}{0.032}} = \sqrt{233718.75} \approx 483.44 \, ms^{-1}$.
આમ,$rms$ વેગ આશરે $483.5 \, ms^{-1}$ છે.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $\nu_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$\nu_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{(\nu_{rms})_{H_2}}{(\nu_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં મોલર દળ $M_{O_2} = 32 \, g/mol$ અને $M_{H_2} = 2 \, g/mol$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{(\nu_{rms})_{H_2}}{(\nu_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.

(A) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે: $v_{rms} = 1930 \, m/s$,$T = 27 \, ^\circ C = 300 \, K$,અને $R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$.
મોલર દળ $M$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{(1930)^2} \approx \frac{7479}{3724900} \approx 0.002 \, kg/mol = 2 \, g/mol$.
$2 \, g/mol$ મોલર દળ ધરાવતો વાયુ હાઇડ્રોજન $(H_2)$ છે.

(C) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms}$ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના પ્રકાર (મોલર દળ $M$) પર આધાર રાખે છે.
તે વાયુના દબાણ,કદ કે અણુઓની સંખ્યા (ઘનતા) પર આધાર રાખતું નથી.
અહીં તાપમાન અચળ રહે છે અને વાયુ પણ બદલાતો નથી,તેથી $rms$ ઝડપમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
તેથી,નવી $rms$ ઝડપ $400 \, ms^{-1}$ રહેશે.

(A) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
અહીં $H_2$ ની $rms$ ઝડપ અને $O_2$ ની $rms$ ઝડપ સમાન છે:
$v_{rms(H_2)} = v_{rms(O_2)}$
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સામાન્ય પદો $(3R)$ દૂર કરતા:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
આપેલ કિંમતો:
$T_{O_2} = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \ K$
$M_{O_2} = 32 \ g/mol$
$M_{H_2} = 2 \ g/mol$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$T_{H_2} = \frac{320}{32} \times 2$
$T_{H_2} = 10 \times 2 = 20 \ K$.

(D) $rms$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) ઝડપ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}{N}}$
અહીં આપેલી ઝડપ $v_1 = 2, v_2 = 3, v_3 = 4, v_4 = 5, v_5 = 6 \ km/s$ છે અને $N = 5$ છે.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{90}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24 \ km/s$.

(C) વાયુના અણુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
શરૂઆતમાં,દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે: $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
જ્યારે તાપમાન બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T' = 2T$ થાય છે.
જ્યારે દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ બે પરમાણુઓમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુનું મોલર દળ $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
નવી $rms$ ઝડપ $v'$ આ મુજબ મળે: $v' = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{\frac{12RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
શરૂઆતની ઝડપ $v$ ની કિંમત મૂકતા: $v' = 2v$.

(C) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
નોંધો કે $rms$ ઝડપ વાયુના દબાણ પર આધારિત નથી.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$ અને $v_1 = 200 \, m/s$.
આપેલ છે: $T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$.
પ્રમાણસરતા $v_1 / v_2 = \sqrt{T_1 / T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{200}{v_2} = \sqrt{\frac{300}{400}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$v_2 = \frac{200 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \, m/s$.

(D) $L$ ભાગમાં અણુઓની rms ઝડપ નીચે મુજબ છે: $v_{rms, L} = \sqrt{\frac{3KT}{m_L}}$
$R$ ભાગમાં અણુઓની સરેરાશ ઝડપ નીચે મુજબ છે: $v_{av, R} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$
આપેલ છે કે $v_{rms, L} = v_{av, R}$,તેથી બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\sqrt{\frac{3KT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8KT}{\pi m_R}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{3KT}{m_L} = \frac{8KT}{\pi m_R}$
બંને બાજુથી $KT$ દૂર કરતા:
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$
ગુણોત્તર $\frac{m_L}{m_R}$ શોધવા માટે ગોઠવતા:
$\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$

(A) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આપેલ છે કે $m_1 > m_2 > m_3$,તેથી $(v_{rms})_1 < (v_{rms})_2 < (v_{rms})_3$ થશે.
વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $\bar{K} = \frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મિશ્રણમાં રહેલા તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,સરેરાશ ગતિ ઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે અને તે અણુભારથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$(\bar{K})_1 = (\bar{K})_2 = (\bar{K})_3$ થાય.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $E \propto T$.
અહીં $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 600 \ K$ આપેલ છે,તેથી નવી ગતિઊર્જા $E_2 = E_1 \times (T_2 / T_1) = 6.21 \times 10^{-21} \times (600 / 300) = 12.42 \times 10^{-21} \ J$.
$rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
અહીં $v_{rms,1} = 484 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી નવી $rms$ ઝડપ $v_{rms,2} = v_{rms,1} \times \sqrt{T_2 / T_1} = 484 \times \sqrt{600 / 300} = 484 \times \sqrt{2} \approx 484 \times 1.414 = 684.37 \ m/s \approx 684 \ m/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ વેગ $v_{av} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $m$ એ વાયુના એક અણુનું દળ છે.
ત્રણેય પાત્રોમાં તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,કોઈ ચોક્કસ વાયુનો સરેરાશ વેગ ફક્ત તેના આણ્વિય દળ $m$ પર આધાર રાખે છે.
પાત્ર $A$ માં,$O_2$ નો સરેરાશ વેગ $V_1 = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_{O_2}}}$ છે.
પાત્ર $C$ માં,$O_2$ ના અણુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર છે અને તેમનું આણ્વિય દળ $m_{O_2}$ પાત્ર $A$ જેટલું જ છે.
પાત્ર $C$ માં મિશ્રણમાં $N_2$ ની હાજરી $O_2$ ના અણુઓના વ્યક્તિગત સરેરાશ વેગને અસર કરતી નથી.
તેથી,પાત્ર $C$ માં $O_2$ નો સરેરાશ વેગ $V_1$ જ રહેશે.

(A) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દર્શાવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
આદર્શ વાયુના $r.m.s.$ વેગ પર દબાણની કોઈ અસર થતી નથી.
આપેલ છે કે $T_1 = 27^o C = 300 \,K$ અને $v_1 = 200 \,m s^{-1}$.
આપેલ છે કે $T_2 = 127^o C = 400 \,K$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{v_2}{200} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$v_2 = 200 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \,m s^{-1}$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{\text{escape}} = 11200 \, m/s$ છે.
ઓક્સિજનના અણુઓ બહાર નીકળી શકે તે માટે,તેમની $rms$ ઝડપ નિષ્ક્રમણ વેગ જેટલી હોવી જોઈએ:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} = v_{\text{escape}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$11200 = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(11200)^2 = \frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = \frac{4.14 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = 1.5 \times 10^3 \times T$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{1.2544 \times 10^8}{1.5 \times 10^3} \approx 8.360 \times 10^4 \, K$.

(B) વાયુના અણુની વર્ગ માધ્યમૂલ $(rms)$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$ છે.
અણુઓ પૃથ્વીના વાતાવરણમાંથી બહાર નીકળી શકે તે માટે,તેમની $v_{rms}$ ઝડપ પૃથ્વીના નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = 11.2 \, km/s = 1.12 \times 10^4 \, m/s$ જેટલી હોવી જોઈએ.
$v_{rms} = v_e$ લેતા,$\sqrt{\frac{3k_B T}{m}} = v_e$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3k_B T}{m} = v_e^2$.
તાપમાન $T$ માટે સૂત્ર: $T = \frac{m v_e^2}{3k_B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{(2.76 \times 10^{-26} \, kg) \times (1.12 \times 10^4 \, m/s)^2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \, JK^{-1}}$.
$T = \frac{2.76 \times 10^{-26} \times 1.2544 \times 10^8}{4.14 \times 10^{-23}}$.
$T = \frac{3.462144 \times 10^{-18}}{4.14 \times 10^{-23}} \approx 8.3626 \times 10^4 \, K$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $8.360 \times 10^4 \, K$ મળે છે.

(A) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^o C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 90^o C = 90 + 273 = 363 \ K$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$ મળે છે.
ટકાવારી વધારો $\left( \frac{v_2}{v_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
ટકાવારી વધારો $= (1.1 - 1) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$.

(C) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,આપણે બે વાયુઓ માટે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
અહીં આપેલ છે કે વાયુનો r.m.s. વેગ $(v_1)$ એ ઓક્સિજનના r.m.s. વેગ $(v_2)$ કરતા $\sqrt{2}$ ગણો છે,તેથી $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{2}$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M_2 = 32 \text{ g/mol}$ છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\sqrt{2} = \sqrt{\frac{32}{M_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 = \frac{32}{M_1}$.
$M_1$ માટે ઉકેલતા: $M_1 = \frac{32}{2} = 16 \text{ g/mol}$.
$16 \text{ g/mol}$ મોલર દળ ધરાવતો વાયુ મિથેન $(CH_4)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $r.m.s.$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આના પરથી,$v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $v_1, T_1, M_1$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $v_2, T_2, M_2$ છે.
આપેલ છે: $v_1 = 300 \ m/s$,$M_2 = 2M_1$,અને $T_2 = \frac{T_1}{2}$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2} \times \frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{300} = \sqrt{\frac{M_1}{2M_1} \times \frac{T_1/2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$v_2 = \frac{300}{2} = 150 \ m/s$.

(A) વાયુનો વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કિસ્સો $(i)$: નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ બમણું થાય છે,તેથી $T' = 2T$. નવો વેગ $v'_{rms} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M}} = \sqrt{2} v_{rms} \approx 1.414 v_{rms}$ થશે.
કિસ્સો $(ii)$: સેલ્સિયસ તાપમાન $t$ બમણું થાય છે,તેથી $t' = 2t$. નિરપેક્ષ તાપમાન $T' = (2t + 273) = 2(T - 273) + 273 = 2T - 273$ થાય છે. કારણ કે $2T - 273 < 2T$,કિસ્સા $(ii)$ માં અંતિમ નિરપેક્ષ તાપમાન કિસ્સા $(i)$ કરતા ઓછું છે.
આમ,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,નિરપેક્ષ તાપમાન બમણું કરવાથી વેગમાં થતો વધારો સેલ્સિયસ તાપમાન બમણું કરવા કરતા વધારે હોય છે. તેથી,કિસ્સા $(i)$ માં વધારો વધારે હશે.

(D) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$,જો સરેરાશ ઝડપ બમણી થાય,તો તાપમાન $T$ માં $2^2 = 4$ ના ગુણાંકમાં વધારો થવો જોઈએ.
આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંધ પાત્રમાં,કદ $V$ અને મોલની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે.
તેથી,$P \propto T$.
જેમ તાપમાન $T$ માં $4$ ના ગુણાંકમાં વધારો થાય છે,તેમ દબાણ $P$ માં પણ $4$ ના ગુણાંકમાં વધારો થશે.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{(2u)^2 + (10u)^2 + (11u)^2}{3}} = \sqrt{\frac{4u^2 + 100u^2 + 121u^2}{3}} = \sqrt{\frac{225u^2}{3}} = \sqrt{75}u = 5\sqrt{3}u \approx 8.66u$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ (average) ઝડપ $V_{avg} = \frac{2u + 10u + 11u}{3} = \frac{23u}{3} \approx 7.66u$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$V_{rms} - V_{avg} \approx 8.66u - 7.66u = 1u$.
તેથી,r.m.s. ઝડપ એ સરેરાશ ઝડપ કરતાં આશરે $u$ જેટલી વધારે છે.

(D) સરેરાશ ઝડપ $u_{avg}$ એ વેગના સરવાળાને અણુઓની સંખ્યા $N$ વડે ભાગવાથી મળે છે: $u_{avg} = \frac{1+2+3+...+N}{N} = \frac{N(N+1)}{2N} = \frac{N+1}{2}$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $u_{rms}$ એ વેગના વર્ગોના સરવાળાને $N$ વડે ભાગીને તેનું વર્ગમૂળ લેવાથી મળે છે: $u_{rms} = \sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2+...+N^2}{N}} = \sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{6N}} = \sqrt{\frac{(N+1)(2N+1)}{6}}$.
rms ઝડપ અને સરેરાશ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{u_{rms}}{u_{avg}} = \frac{\sqrt{\frac{(N+1)(2N+1)}{6}}}{\frac{N+1}{2}} = \sqrt{\frac{(N+1)(2N+1)}{6}} \times \frac{2}{N+1} = \sqrt{\frac{2^2(N+1)(2N+1)}{6(N+1)^2}} = \sqrt{\frac{4(2N+1)}{6(N+1)}} = \sqrt{\frac{2(2N+1)}{3(N+1)}}$.

(D) $T$ તાપમાને આદર્શ વાયુ માટે,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ તાપમાને $m$ દળ ધરાવતા વાયુ $A$ માટે:
સરેરાશ વર્ગ વેગ $\langle v_A^2 \rangle = \frac{3 k_B T}{m}$ છે.
ગતિ સમદિગ્ધર્મી હોવાથી,$x$-ઘટકનો સરેરાશ વર્ગ $w^2 = \langle v_{Ax}^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v_A^2 \rangle = \frac{k_B T}{m}$ થાય.
$T$ તાપમાને $2m$ દળ ધરાવતા વાયુ $B$ માટે:
સરેરાશ વર્ગ વેગ $v^2 = \langle v_B^2 \rangle = \frac{3 k_B T}{2m}$ છે.
હવે,$w^2 / v^2$ નો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{w^2}{v^2} = \frac{k_B T / m}{3 k_B T / 2m} = \frac{1}{m} \times \frac{2m}{3} = \frac{2}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2/3$ છે.

(B) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી $V_{rms} \propto \sqrt{T}$,ગુણોત્તર $\frac{V_{rms,2}}{V_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થશે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$T = \frac{PV}{nR}$ મળે છે.
$T_2$ તાપમાન માટે,આલેખ પરથી એક બિંદુ $(V=2 \text{ m}^3, P=2 \times 10^5 \text{ Pa})$ લેતા,$T_2 \propto P_2V_2 = (2 \times 10^5) \times 2 = 4 \times 10^5$ મળે.
$T_1$ તાપમાન માટે,આલેખ પરથી એક બિંદુ $(V=1 \text{ m}^3, P=1 \times 10^5 \text{ Pa})$ લેતા,$T_1 \propto P_1V_1 = (1 \times 10^5) \times 1 = 1 \times 10^5$ મળે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \frac{4 \times 10^5}{1 \times 10^5} = 4$.
આમ,r.m.s. ઝડપનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$ થાય.

(B) વાયુના અણુનો $rms$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નો $rms$ વેગ ઓક્સિજન $(O_2)$ ના $rms$ વેગ જેટલો છે:
$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સામાન્ય પદો $(3R)$ દૂર કરતા:
$\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$
અહીં,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,અને $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_{H_2}}{2} = 10$
$T_{H_2} = 20 \ K$.

(A) વાયુઓના ગતિવાદ (kinetic molecular theory) મુજબ,$rms$ વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આપેલ તાપમાને,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $rms$ વેગ એ વાયુના મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
મોલર દળની સરખામણી કરતા: $M(H_2) = 2 \ g/mol$,$M(He) = 4 \ g/mol$,$M(N_2) = 28 \ g/mol$,અને $M(O_2) = 32 \ g/mol$.
$H_2$ નું મોલર દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેનો $rms$ વેગ મહત્તમ હશે.

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{rms}$ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના પ્રકાર (મોલર દળ $M$) પર આધાર રાખે છે.
તે પાત્રમાં રહેલા વાયુના દબાણ,કદ કે જથ્થા (દળ અથવા મોલની સંખ્યા) પર આધાર રાખતું નથી.
કારણ કે તાપમાન અચળ રહે છે અને વાયુનું બંધારણ બદલાતું નથી,તેથી બાકી રહેલા અણુઓની $rms$ ઝડપ પ્રારંભિક $rms$ ઝડપ જેટલી જ રહેશે.
તેથી,$rms$ ઝડપ $90 \times 10^2 \ m/s$ જ રહેશે.

(A) વાયુના અણુઓની ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$\bar{V} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
$V_m = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{kT}{m}}$
આંકડાકીય સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $1.732 > 1.596 > 1.414$.
તેથી,સાચો સંબંધ $V_{rms} > \bar{V} > V_m$ છે.

(C) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
કારણ કે તાપમાન $T$ અચળ રહે છે (ઓરડાનું તાપમાન),તેથી $rms$ ઝડપ માત્ર તાપમાન અને વાયુના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
અચળ તાપમાને વાયુનું દબાણ બદલવાથી વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપ પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,$V_1 = V_2$.

(B) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_W}}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M_W}}$,જ્યાં $M_W$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
ન્યૂનતમ $V_{rms}$ મેળવવા માટે,વાયુનું મોલર દળ $(M_W)$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
આપેલા વાયુઓના મોલર દળ છે: $H_2 = 2 \ g/mol$,$O_2 = 32 \ g/mol$,અને $CO_2 = 44 \ g/mol$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $CO_2$ નું મોલર દળ સૌથી વધુ હોવાથી,તેનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ ન્યૂનતમ હશે.

(B) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms}$ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના મોલર દળ $M$ પર આધાર રાખે છે.
તે વાયુના દબાણ $P$ થી સ્વતંત્ર છે.
તાપમાન $27\,^{\circ}C$ $(300\,K)$ પર અચળ રહેતું હોવાથી અને વાયુ હિલિયમ જ રહેતો હોવાથી,દબાણ $1\,atm$ થી બદલાઈને $2\,atm$ થવા છતાં $rms$ ઝડપમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
તેથી,$rms$ ઝડપ $900\,ms^{-1}$ જ રહેશે.

(B) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $v_{rms}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M_w}$
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M_w$ (વાયુનું આણ્વીય દળ) અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$v_{rms}^2 \propto T$
આ સમીકરણ $y = mx$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $y = v_{rms}^2$,$x = T$ અને ઢાળ $m = \frac{3R}{M_w}$ છે.
તેથી,$v_{rms}^2$ અને $T$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળે છે.

(D) વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ (થર્મલ વેગ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$.
આપેલ કિંમતો:
$k_B = 1.4 \times 10^{-23}\,J/K$
$T = 300\,K$
$m_{He} = 7 \times 10^{-27}\,kg$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{180 \times 10^4}$
$v = \sqrt{1.8 \times 10^6}$
$v \approx 1.34 \times 10^3\,m/s$.
આમ,થર્મલ વેગની સૌથી નજીકની કિંમત $1.3 \times 10^3\,m/s$ છે.

(A) વાયુના અણુની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
અહીં $v_{rms} = 1930 \, m/s$,$T = 300 \, K$ (ઓરડાનું તાપમાન) અને $R = 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.314 \times 300}{1930^2} \approx \frac{7482.6}{3724900} \approx 0.002008 \, kg/mol$.
આ આશરે $2 \times 10^{-3} \, kg/mol$ છે,જે $2 \, g/mol$ જેટલું થાય છે.
$H_2$ નું મોલર દળ $2 \, g/mol$ છે. તેથી,આ વાયુ $H_2$ છે.

(A) વાયુના અણુની rms ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં સમાન તાપમાન $T = 300\, K$ પર હોવાથી, તેમની rms ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ થશે:
$\frac{V_{rms}(\text{હિલિયમ})}{V_{rms}(\text{આર્ગોન})} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{He}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{Ar}}}} = \sqrt{\frac{M_{Ar}}{M_{He}}}$
અહીં $M_{He} = 4\, u$ અને $M_{Ar} = 40\, u$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{V_{rms}(\text{હિલિયમ})}{V_{rms}(\text{આર્ગોન})} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.

(A) વાયુના અણુઓનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = k_B N_A$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $(2 \times 10^{-3} \, kg/mol)$ છે.
પૃથ્વી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{2gR_e}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT}{M} = 2gR_e$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{2gR_e M}{3R}$.
અહીં $R = k_B N_A \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-3}}{3 \times 8.314} = \frac{25600}{24.942} \approx 1026 \, K$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$1026 \, K$ ની સૌથી નજીકની કિંમત $800 \, K$ (વિકલ્પ $A$) છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુનો $rms$ વેગ અને તેના તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે.
કોઈપણ વાયુના અણુ માટે,સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{2}m\bar{v}^2 = \frac{3}{2}k_B T$
અહીં,$\bar{v}$ એ અણુનો $rms$ વેગ દર્શાવે છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$m\bar{v}^2 = 3k_B T$
તાપમાન $T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{m\bar{v}^2}{3k_B}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
નોંધો કે $rms$ ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે: $T_1 = 127\,^oC = 127 + 273 = 400\,K$ અને $V_1 = 200\,m/s$.
આપેલ છે: $T_2 = 227\,^oC = 227 + 273 = 500\,K$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{V_2}{200} = \sqrt{\frac{500}{400}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$V_2 = 200 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = 100\sqrt{5}\,m/s$.

(D) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 30 + 273 = 303 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 90 + 273 = 363 \ K$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{303}} \approx \sqrt{1.198} \approx 1.0945$ છે.
ટકાવારી વધારો $\left( \frac{V_2 - V_1}{V_1} \right) \times 100 = (1.0945 - 1) \times 100 \approx 9.45 \%$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ટકાવારી વધારો આશરે $10 \%$ છે.

(B) સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(V_{RMS})$ એ વ્યક્તિગત ઝડપના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ છે.
આપેલ ઝડપ $V_1 = 1 \, m/s$,$V_2 = 2 \, m/s$,$V_3 = 4 \, m/s$,$V_4 = 8 \, m/s$,અને $V_5 = 16 \, m/s$ છે.
$V_{RMS}$ માટેનું સૂત્ર:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + V_4^2 + V_5^2}{N}}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2 + 4^2 + 8^2 + 16^2}{5}}$
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 16 + 64 + 256}{5}}$
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{341}{5}}$
$V_{RMS} = \sqrt{68.2} \approx 8.258 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $8.2 \, m/s$ છે.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M_w$ એ મોલર દળ છે.
આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M_w}}$.
$O_2$ અણુઓ માટે,મોલર દળ $M_w = 32 \ g/mol$ છે. આપેલ છે કે $T$ તાપમાને $V_{rms} = V$ છે.
ઓક્સિજન પરમાણુઓ $(O)$ માટે,મોલર દળ $M_w' = 16 \ g/mol$ છે. નવું તાપમાન $T' = 2T$ છે.
હવે,નવા $V_{rms}'$ ની ગણતરી કરતા:
$V_{rms}' = V \times \sqrt{\frac{T'}{T} \times \frac{M_w}{M_w'}}$
$V_{rms}' = V \times \sqrt{\frac{2T}{T} \times \frac{32}{16}}$
$V_{rms}' = V \times \sqrt{2 \times 2} = V \times \sqrt{4} = 2V$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે. દળ નિશ્ચિત હોવાથી,$\mu$ અચળ છે. તેથી,$T \propto PV$.
આલેખ પરથી,દરેક તાપમાન માટે $PV$ નો ગુણાકાર શોધવા માટે આપણે સમતાપી વક્રો પરના બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
સમતાપી વક્ર $T_1$ માટે,$V = 1 \text{ m}^3$ પર,$P = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$ છે. તેથી,$T_1 \propto (1 \times 1) = 1$.
સમતાપી વક્ર $T_2$ માટે,$V = 2 \text{ m}^3$ પર,$P = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ છે. તેથી,$T_2 \propto (2 \times 2) = 4$.
તેથી,તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \frac{4}{1} = 4$ છે.
વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
આમ,$r.m.s.$ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$ છે.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ એ અણુઓની વ્યક્તિગત ઝડપના વર્ગોના સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + v_{4}^{2}}{4}}$ છે.
આપેલ ઝડપ $v_{1} = 1 \ km/s$,$v_{2} = 2 \ km/s$,$v_{3} = 3 \ km/s$,અને $v_{4} = 4 \ km/s$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2}}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 9 + 16}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{30}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{15}{2}} \ km/s$.

(D) વાયુના અણુઓની સૌથી સંભવિત ઝડપ $v_p$ સૂત્ર $v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_p \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આનો અર્થ એ છે કે જે વાયુનું મોલર દળ ઓછું હશે તેની સૌથી સંભવિત ઝડપ વધારે હશે.
આપેલ વાયુઓના મોલર દળ છે: $M(O_2) = 32 \text{ g/mol}$,$M(Ne) = 20 \text{ g/mol}$,અને $M(He) = 4 \text{ g/mol}$.
આની સરખામણી કરતા,આપણને $M(O_2) > M(Ne) > M(He)$ મળે છે.
તેથી,તેમની સૌથી સંભવિત ઝડપનો ક્રમ $v_p(O_2) < v_p(Ne) < v_p(He)$ હશે.
આલેખ જોતા,જેમ ઝડપ વધે છે તેમ વિતરણની ટોચ જમણી તરફ ખસે છે. આમ,ટોચને અનુરૂપ ઝડપનો ક્રમ $A < B < C$ છે.
આને મેળવતા,આપણને $A \to O_2$,$B \to Ne$,અને $C \to He$ મળે છે.

(C) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
તાપમાન $T$ પર ઓક્સિજનના અણુઓ $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M$ છે. તેથી,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \upsilon$.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય $(T' = 2T)$ અને ઓક્સિજન પરમાણ્વીય ઓક્સિજન $(O)$ માં વિભાજિત થાય,ત્યારે નવું મોલર દળ $M' = M/2$ થાય છે.
નવી $rms$ ઝડપ: $v'_{rms} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}} = 2\upsilon$.

(B) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,એટલે કે $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
અહીં $v_2 = \frac{1}{2}v_1$ અને $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \, K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{T_2}{273}$.
$T_2 = \frac{273}{4} = 68.25 \, K$.
આ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 68.25 - 273 = -204.75^{\circ}C$.

(D) વિભાજક ડાયાથર્મિક હોવાથી,તંત્ર ઉષ્મીય સંતુલનમાં છે,તેથી બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન રહેશે.
$L$ ભાગમાં અણુઓની $rms$ ઝડપ $v_{rms, L} = \sqrt{\frac{3kT}{m_L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_L$ એ $L$ ભાગના અણુનું દળ છે.
$R$ ભાગમાં અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{mean, R} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_R$ એ $R$ ભાગના અણુનું દળ છે.
આપેલ છે કે $v_{rms, L} = v_{mean, R}$,તેથી:
$\sqrt{\frac{3kT}{m_L}} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_R}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{3kT}{m_L} = \frac{8kT}{\pi m_R}$
$\frac{3}{m_L} = \frac{8}{\pi m_R}$
ગુણોત્તર $\frac{m_L}{m_R}$ શોધવા માટે:
$\frac{m_L}{m_R} = \frac{3\pi}{8}$

(A) $O_2$ ની સરેરાશ ઝડપ $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{O_2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \, kg/mol$ છે.
$N_2$ ની $rms$ ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT'}{M_{N_2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T' = 47 + 273 = 320 \, K$ અને $M_{N_2} = 28 \times 10^{-3} \, kg/mol$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $\sqrt{\frac{8RT}{\pi \times 32}} = \frac{7}{4} \sqrt{\frac{3R \times 320}{28}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{8RT}{32\pi} = \frac{49}{16} \times \frac{3R \times 320}{28}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{RT}{4\pi} = \frac{49 \times 3R \times 320}{16 \times 28}$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{49 \times 3 \times 320 \times 4\pi}{16 \times 28} \approx 1320 \, K$ ($\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા).