અ Gujarati
Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Gujarati
Class 11 Physics · Kinetic Theory of Gases · Mix Examples-Kinetic Theory of Gases
198+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 198 questions in Gujarati
101
Medium
$44.8 \, L$ ની નિશ્ચિત ક્ષમતા ધરાવતા સિલિન્ડરમાં પ્રમાણભૂત તાપમાન અને દબાણે હિલિયમ વાયુ ભરેલો છે. સિલિન્ડરમાં રહેલા વાયુનું તાપમાન $15.0 \, ^{\circ}C$ જેટલું વધારવા માટે કેટલી ઉષ્માની જરૂર પડશે? $(R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1})$
Solution
(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણભૂત તાપમાન $(273 \, K)$ અને દબાણ $(1 \, atm = 1.01 \times 10^5 \, Pa)$ પર કોઈપણ આદર્શ વાયુના $1 \, mol$ નું કદ $22.4 \, L$ હોય છે.
સિલિન્ડરનું કદ $44.8 \, L$ હોવાથી,હિલિયમના મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{44.8}{22.4} = 2 \, mol$ થાય.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
સિલિન્ડરનું કદ નિશ્ચિત હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે,અને જરૂરી ઉષ્મા $Q = \mu C_v \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = 2 \times (\frac{3}{2} \times 8.31) \times 15.0$.
$Q = 3 \times 8.31 \times 15.0 = 45 \times 8.31 = 373.95 \, J \approx 374 \, J$.
સિલિન્ડરનું કદ $44.8 \, L$ હોવાથી,હિલિયમના મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{44.8}{22.4} = 2 \, mol$ થાય.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
સિલિન્ડરનું કદ નિશ્ચિત હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે,અને જરૂરી ઉષ્મા $Q = \mu C_v \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = 2 \times (\frac{3}{2} \times 8.31) \times 15.0$.
$Q = 3 \times 8.31 \times 15.0 = 45 \times 8.31 = 373.95 \, J \approx 374 \, J$.
0 likes
View Solution102
Medium
આકૃતિમાં બે અલગ-અલગ તાપમાને $1.00 \times 10^{-3} \; kg$ ઓક્સિજન વાયુ માટે $PV/T$ વિરુદ્ધ $P$ નો આલેખ દર્શાવેલ છે.
$(a)$ તૂટક રેખાવાળો આલેખ શું સૂચવે છે?
$(b)$ કયું સાચું છે: $T_{1} > T_{2}$ કે $T_{1} < T_{2}$?
$(c)$ $y$-અક્ષ પર જ્યાં વક્રો મળે છે ત્યાં $PV/T$ નું મૂલ્ય શું છે?
$(d)$ જો આપણે $1.00 \times 10^{-3} \; kg$ હાઇડ્રોજન માટે સમાન આલેખ મેળવીએ,તો શું આપણને $y$-અક્ષ પર જ્યાં વક્રો મળે છે ત્યાં $PV/T$ નું સમાન મૂલ્ય મળશે? જો નહીં,તો હાઇડ્રોજનનું કેટલું દળ $PV/T$ નું સમાન મૂલ્ય આપે છે?
($H_{2}$ નું આણ્વીય દળ $= 2.02 \; u$,$O_{2}$ નું $= 32.0 \; u$,$R = 8.31 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.)
$(a)$ તૂટક રેખાવાળો આલેખ શું સૂચવે છે?
$(b)$ કયું સાચું છે: $T_{1} > T_{2}$ કે $T_{1} < T_{2}$?
$(c)$ $y$-અક્ષ પર જ્યાં વક્રો મળે છે ત્યાં $PV/T$ નું મૂલ્ય શું છે?
$(d)$ જો આપણે $1.00 \times 10^{-3} \; kg$ હાઇડ્રોજન માટે સમાન આલેખ મેળવીએ,તો શું આપણને $y$-અક્ષ પર જ્યાં વક્રો મળે છે ત્યાં $PV/T$ નું સમાન મૂલ્ય મળશે? જો નહીં,તો હાઇડ્રોજનનું કેટલું દળ $PV/T$ નું સમાન મૂલ્ય આપે છે?
($H_{2}$ નું આણ્વીય દળ $= 2.02 \; u$,$O_{2}$ નું $= 32.0 \; u$,$R = 8.31 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.)
Solution
(A) આલેખમાં તૂટક રેખા વાયુના આદર્શ વર્તનને સૂચવે છે,એટલે કે ગુણોત્તર $PV/T$ એ $\mu R$ જેટલો થાય છે (જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે),જે વાયુના દબાણથી સ્વતંત્ર અચળ રાશિ છે.
$(b)$ તૂટક રેખા આદર્શ વાયુનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વાસ્તવિક વાયુનું તાપમાન વધતા તે આદર્શ વાયુના વર્તનની નજીક પહોંચે છે. તાપમાન $T_{1}$ પરનો વક્ર એ તાપમાન $T_{2}$ પરના વક્ર કરતા તૂટક રેખાની વધુ નજીક હોવાથી,$T_{1} > T_{2}$ સાચું છે.
$(c)$ $y$-અક્ષ પર જ્યાં વક્રો મળે છે ત્યાં $PV/T$ ગુણોત્તરનું મૂલ્ય $\mu R$ છે. ઓક્સિજન માટે,મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{1.00 \times 10^{-3} \; kg}{32.0 \times 10^{-3} \; kg/mol} = \frac{1}{32} \; mol$. તેથી,$PV/T = \mu R = \frac{1}{32} \times 8.31 \approx 0.26 \; J K^{-1}$.
$(d)$ હાઇડ્રોજન માટે,આણ્વીય દળ $2.02 \; u$ છે. $\mu$ એ આણ્વીય દળ પર આધારિત હોવાથી,સમાન દળના હાઇડ્રોજન માટે $PV/T = \mu R$ નું મૂલ્ય અલગ હશે. $PV/T = 0.26 \; J K^{-1}$ નું સમાન મૂલ્ય મેળવવા માટે,આપણે $\mu = \frac{PV/T}{R} = \frac{0.26}{8.31} \approx 0.0313 \; mol$ ની જરૂર પડશે. હાઇડ્રોજનનું જરૂરી દળ $m = \mu \times M = 0.0313 \; mol \times 2.02 \times 10^{-3} \; kg/mol \approx 6.32 \times 10^{-5} \; kg$ થશે.
$(b)$ તૂટક રેખા આદર્શ વાયુનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. વાસ્તવિક વાયુનું તાપમાન વધતા તે આદર્શ વાયુના વર્તનની નજીક પહોંચે છે. તાપમાન $T_{1}$ પરનો વક્ર એ તાપમાન $T_{2}$ પરના વક્ર કરતા તૂટક રેખાની વધુ નજીક હોવાથી,$T_{1} > T_{2}$ સાચું છે.
$(c)$ $y$-અક્ષ પર જ્યાં વક્રો મળે છે ત્યાં $PV/T$ ગુણોત્તરનું મૂલ્ય $\mu R$ છે. ઓક્સિજન માટે,મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{1.00 \times 10^{-3} \; kg}{32.0 \times 10^{-3} \; kg/mol} = \frac{1}{32} \; mol$. તેથી,$PV/T = \mu R = \frac{1}{32} \times 8.31 \approx 0.26 \; J K^{-1}$.
$(d)$ હાઇડ્રોજન માટે,આણ્વીય દળ $2.02 \; u$ છે. $\mu$ એ આણ્વીય દળ પર આધારિત હોવાથી,સમાન દળના હાઇડ્રોજન માટે $PV/T = \mu R$ નું મૂલ્ય અલગ હશે. $PV/T = 0.26 \; J K^{-1}$ નું સમાન મૂલ્ય મેળવવા માટે,આપણે $\mu = \frac{PV/T}{R} = \frac{0.26}{8.31} \approx 0.0313 \; mol$ ની જરૂર પડશે. હાઇડ્રોજનનું જરૂરી દળ $m = \mu \times M = 0.0313 \; mol \times 2.02 \times 10^{-3} \; kg/mol \approx 6.32 \times 10^{-5} \; kg$ થશે.
0 likes
View Solution103
Medium
સમાન ક્ષમતા ધરાવતા ત્રણ પાત્રોમાં સમાન તાપમાન અને દબાણે વાયુઓ ભરેલા છે. પ્રથમ પાત્રમાં નિયોન (એકપરમાણ્વીય),બીજા પાત્રમાં ક્લોરિન (દ્વિપરમાણ્વીય) અને ત્રીજા પાત્રમાં યુરેનિયમ હેક્ઝાફ્લોરાઈડ (બહુપરમાણ્વીય) વાયુ છે. શું ત્રણેય પાત્રોમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન છે? શું ત્રણેય કિસ્સામાં અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ સમાન છે? જો ન હોય,તો કયા કિસ્સામાં $v_{rms}$ સૌથી વધુ હશે?
Solution
(A) હા,ત્રણેય પાત્રોમાં તેમના સંબંધિત અણુઓની સંખ્યા સમાન છે.
ના,ત્રણેય કિસ્સામાં અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ સમાન નથી.
ત્રણેય પાત્રોની ક્ષમતા સમાન હોવાથી,તેમનું કદ $(V)$ સમાન છે.
આપેલ છે કે તાપમાન $(T)$ અને દબાણ $(P)$ પણ સમાન છે,તેથી આદર્શ વાયુ સમીકરણ $(PV = nRT)$ મુજબ,દરેક પાત્રમાં મોલની સંખ્યા $(n)$ સમાન હોવી જોઈએ.
$n = N/N_A$ હોવાથી,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે,દરેક પાત્રમાં અણુઓની સંખ્યા $(N)$ સમાન છે.
વાયુના અણુની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
$k$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
નિયોન,ક્લોરિન અને યુરેનિયમ હેક્ઝાફ્લોરાઈડમાંથી નિયોનનું દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,નિયોન માટે વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ સૌથી વધુ હશે.
ના,ત્રણેય કિસ્સામાં અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ સમાન નથી.
ત્રણેય પાત્રોની ક્ષમતા સમાન હોવાથી,તેમનું કદ $(V)$ સમાન છે.
આપેલ છે કે તાપમાન $(T)$ અને દબાણ $(P)$ પણ સમાન છે,તેથી આદર્શ વાયુ સમીકરણ $(PV = nRT)$ મુજબ,દરેક પાત્રમાં મોલની સંખ્યા $(n)$ સમાન હોવી જોઈએ.
$n = N/N_A$ હોવાથી,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે,દરેક પાત્રમાં અણુઓની સંખ્યા $(N)$ સમાન છે.
વાયુના અણુની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
$k$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
નિયોન,ક્લોરિન અને યુરેનિયમ હેક્ઝાફ્લોરાઈડમાંથી નિયોનનું દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,નિયોન માટે વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ સૌથી વધુ હશે.
0 likes
View Solution104
MediumMCQ
એક ચોક્કસ સાધનમાંથી,હાઇડ્રોજનના પ્રસરણનો દર સરેરાશ $28.7 \; cm^3 s^{-1}$ છે. સમાન પરિસ્થિતિઓમાં અન્ય વાયુના પ્રસરણનો સરેરાશ દર $7.2 \; cm^3 s^{-1}$ માપવામાં આવે છે. તે વાયુને ઓળખો.
A
$O_2$
B
$H_2$
C
$Cl_2$
D
$CO_2$
Solution
(A) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,વાયુના પ્રસરણનો દર $R$ તેના મોલર દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
આપેલ છે: $R_1 = 28.7 \; cm^3 s^{-1}$ (હાઇડ્રોજન માટે,$M_1 = 2.02 \; g/mol$),$R_2 = 7.2 \; cm^3 s^{-1}$.
$M_2$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $M_2 = M_1 \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $M_2 = 2.02 \times \left( \frac{28.7}{7.2} \right)^2$.
$M_2 \approx 2.02 \times (3.986)^2 \approx 2.02 \times 15.89 \approx 32.1 \; g/mol$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ આશરે $32.0 \; g/mol$ છે. તેથી,તે વાયુ ઓક્સિજન છે.
આપેલ છે: $R_1 = 28.7 \; cm^3 s^{-1}$ (હાઇડ્રોજન માટે,$M_1 = 2.02 \; g/mol$),$R_2 = 7.2 \; cm^3 s^{-1}$.
$M_2$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $M_2 = M_1 \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $M_2 = 2.02 \times \left( \frac{28.7}{7.2} \right)^2$.
$M_2 \approx 2.02 \times (3.986)^2 \approx 2.02 \times 15.89 \approx 32.1 \; g/mol$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ આશરે $32.0 \; g/mol$ છે. તેથી,તે વાયુ ઓક્સિજન છે.
0 likes
View Solution105
EasyMCQ
કયા વૈજ્ઞાનિકોએ વાયુઓના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) માં ફાળો આપ્યો હતો?
A
જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ
B
લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન
C
રુડોલ્ફ ક્લોસિયસ
D
ઉપરોક્ત તમામ
Solution
(D) વાયુઓના ગતિવાદનો વિકાસ ઘણા વર્ષો દરમિયાન અનેક અગ્રણી ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો.
$1$. રુડોલ્ફ ક્લોસિયસે $1857$ માં પ્રથમ સરળ ગતિવાદ આપ્યો હતો.
$2$. જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલે $1859$ માં આણ્વિક વેગના આંકડાકીય વિતરણને રજૂ કરીને આ સિદ્ધાંતનો વિસ્તાર કર્યો હતો.
$3$. લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેને આંકડાકીય મિકેનિક્સ વિકસાવીને આ સિદ્ધાંતને વધુ શુદ્ધ કર્યો,જે થર્મોડાયનેમિક્સ માટે સૂક્ષ્મ પાયો પૂરો પાડે છે.
તેથી,ઉલ્લેખિત તમામ વૈજ્ઞાનિકોએ વાયુઓના ગતિવાદમાં નોંધપાત્ર ફાળો આપ્યો હતો.
$1$. રુડોલ્ફ ક્લોસિયસે $1857$ માં પ્રથમ સરળ ગતિવાદ આપ્યો હતો.
$2$. જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલે $1859$ માં આણ્વિક વેગના આંકડાકીય વિતરણને રજૂ કરીને આ સિદ્ધાંતનો વિસ્તાર કર્યો હતો.
$3$. લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેને આંકડાકીય મિકેનિક્સ વિકસાવીને આ સિદ્ધાંતને વધુ શુદ્ધ કર્યો,જે થર્મોડાયનેમિક્સ માટે સૂક્ષ્મ પાયો પૂરો પાડે છે.
તેથી,ઉલ્લેખિત તમામ વૈજ્ઞાનિકોએ વાયુઓના ગતિવાદમાં નોંધપાત્ર ફાળો આપ્યો હતો.
0 likes
View Solution106
Medium
નીચેના વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(i)$ અથડામણને કારણે વાયુના અણુઓની ઘનતા બદલાય છે.
$(ii)$ સમાન તાપમાને દરેક વાયુના $1 \ g$ દળની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે.
$(iii)$ સમાન તાપમાને બે અલગ-અલગ વાયુઓ માટે $v_{rms}$ સમાન હોય છે.
$(iv)$ અચળ તાપમાને જો વાયુનું દબાણ વધારવામાં આવે,તો તેનો સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) ઘટે છે.
$(i)$ અથડામણને કારણે વાયુના અણુઓની ઘનતા બદલાય છે.
$(ii)$ સમાન તાપમાને દરેક વાયુના $1 \ g$ દળની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે.
$(iii)$ સમાન તાપમાને બે અલગ-અલગ વાયુઓ માટે $v_{rms}$ સમાન હોય છે.
$(iv)$ અચળ તાપમાને જો વાયુનું દબાણ વધારવામાં આવે,તો તેનો સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) ઘટે છે.
Solution
(D) $(i)$ ખોટું. વાયુના અણુઓ વચ્ચેની અથડામણને કારણે અણુઓની કુલ સંખ્યા કે પાત્રનું કદ બદલાતું નથી,તેથી ઘનતા અચળ રહે છે.
$(ii)$ ખોટું. અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$. જોકે,નિશ્ચિત દળ $(1 \ g)$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જા વાયુના આણ્વીય દળ પર આધાર રાખે છે $(KE_{total} = \frac{m}{M} \frac{3}{2} RT)$,જે અલગ-અલગ વાયુઓ માટે અલગ હોય છે.
$(iii)$ ખોટું. રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે. $v_{rms}$ એ આણ્વીય દળ $M$ પર આધાર રાખતું હોવાથી,સમાન તાપમાને અલગ-અલગ વાયુઓ માટે તે અલગ હોય છે.
$(iv)$ સાચું. સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે. અહીં $\lambda \propto \frac{1}{P}$ હોવાથી,અચળ તાપમાને દબાણ વધારતા સરેરાશ મુક્ત પથ ઘટે છે.
$(ii)$ ખોટું. અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$. જોકે,નિશ્ચિત દળ $(1 \ g)$ ની સરેરાશ ગતિઊર્જા વાયુના આણ્વીય દળ પર આધાર રાખે છે $(KE_{total} = \frac{m}{M} \frac{3}{2} RT)$,જે અલગ-અલગ વાયુઓ માટે અલગ હોય છે.
$(iii)$ ખોટું. રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે. $v_{rms}$ એ આણ્વીય દળ $M$ પર આધાર રાખતું હોવાથી,સમાન તાપમાને અલગ-અલગ વાયુઓ માટે તે અલગ હોય છે.
$(iv)$ સાચું. સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે. અહીં $\lambda \propto \frac{1}{P}$ હોવાથી,અચળ તાપમાને દબાણ વધારતા સરેરાશ મુક્ત પથ ઘટે છે.
0 likes
View Solution107
Medium
ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(i)$ નીચા $......$ અને ઊંચા $......$ તાપમાને વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
$(ii)$ $......$ એ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું માપ છે.
$(iii)$ $m$ દળ ધરાવતા વાયુની ગતિઊર્જા $E$ છે. તેનું વેગમાન $......$ થશે.
$(iv)$ $0^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા $v_{rms}$ કરતા $......$ તાપમાને $v_{rms}$ બમણું થશે.
$(i)$ નીચા $......$ અને ઊંચા $......$ તાપમાને વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
$(ii)$ $......$ એ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું માપ છે.
$(iii)$ $m$ દળ ધરાવતા વાયુની ગતિઊર્જા $E$ છે. તેનું વેગમાન $......$ થશે.
$(iv)$ $0^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા $v_{rms}$ કરતા $......$ તાપમાને $v_{rms}$ બમણું થશે.
Solution
(D) $(i)$ દબાણ,તાપમાન
$(ii)$ તાપમાન
$(iii)$ $\sqrt{2mE}$
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$
$E = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = \frac{p^2}{2m}$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
તેથી,$p = \sqrt{2mE}$.
$(iv)$ $819^{\circ} C$
$v_{rms} \propto \sqrt{T}$
$\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
$4 = \frac{T_2}{273} \implies T_2 = 1092 \ K$
$t_2 = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.
$(ii)$ તાપમાન
$(iii)$ $\sqrt{2mE}$
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$
$E = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = \frac{p^2}{2m}$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
તેથી,$p = \sqrt{2mE}$.
$(iv)$ $819^{\circ} C$
$v_{rms} \propto \sqrt{T}$
$\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
$4 = \frac{T_2}{273} \implies T_2 = 1092 \ K$
$t_2 = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.
0 likes
View Solution108
Medium
ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(i)$ નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને આદર્શ વાયુનું કદ ...... હોય છે.
$(ii)$ તાપમાનમાં વધારો થતાં વાયુનું દબાણ ...... .
$(iii)$ તમામ આણ્વિય ગતિ ...... તાપમાને અટકી જશે.
$(iv)$ પૃથ્વીની સપાટીથી વધુ ઊંચાઈએ ...... ને કારણે હવા ઠંડી બને છે.
$(i)$ નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને આદર્શ વાયુનું કદ ...... હોય છે.
$(ii)$ તાપમાનમાં વધારો થતાં વાયુનું દબાણ ...... .
$(iii)$ તમામ આણ્વિય ગતિ ...... તાપમાને અટકી જશે.
$(iv)$ પૃથ્વીની સપાટીથી વધુ ઊંચાઈએ ...... ને કારણે હવા ઠંડી બને છે.
Solution
(N/A) $(i)$ ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,$V \propto T$. જેમ તાપમાન $0 \ K$ (નિરપેક્ષ શૂન્ય) ની નજીક જાય છે,તેમ કદ $V$ શૂન્યની નજીક જાય છે.
$(ii)$ ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે $P \propto T$. તેથી,તાપમાન વધતા વાયુનું દબાણ વધે છે.
$(iii)$ નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન ($0 \ K$ અથવા $-273.15 \ ^\circ C$) એ એવું તાપમાન છે જ્યાં તમામ આણ્વિય ગતિ અટકી જાય છે.
$(iv)$ જેમ ઊંચાઈ વધે છે,તેમ વાતાવરણનું દબાણ ઘટે છે. હવા વિસ્તરણ પામે છે અને આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે,જેનાથી આંતરિક ઉર્જા અને તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે,જેને એડિબેટિક ઠંડક કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે $P \propto T$. તેથી,તાપમાન વધતા વાયુનું દબાણ વધે છે.
$(iii)$ નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન ($0 \ K$ અથવા $-273.15 \ ^\circ C$) એ એવું તાપમાન છે જ્યાં તમામ આણ્વિય ગતિ અટકી જાય છે.
$(iv)$ જેમ ઊંચાઈ વધે છે,તેમ વાતાવરણનું દબાણ ઘટે છે. હવા વિસ્તરણ પામે છે અને આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે,જેનાથી આંતરિક ઉર્જા અને તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે,જેને એડિબેટિક ઠંડક કહેવામાં આવે છે.
0 likes
View Solution109
Easy
કૉલમ-$I$ ભૌતિક રાશિ દર્શાવે છે અને કૉલમ-$II$ સૂત્ર દર્શાવે છે. તેમને યોગ્ય રીતે જોડો:
| કૉલમ-$I$ | કૉલમ-$II$ |
| $(a)$ વાયુના એક મોલ દીઠ ગતિઊર્જા। | $(i)$ $\frac{1}{2}RT$ |
| $(b)$ વાયુના એક અણુ દીઠ ગતિઊર્જા। | $(ii)$ $\frac{3}{2}RT$ |
| $(iii)$ $\frac{3}{2}k_BT$ |
Solution
(A) આદર્શ વાયુ માટે, પ્રતિ મોલ સરેરાશ ગતિઊર્જા $U = \frac{3}{2}RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તેથી, $(a)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે।
પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2}k_BT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે। તેથી, $(b)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે।
આમ, સાચી જોડ $(a-ii, b-iii)$ છે।
પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2}k_BT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે। તેથી, $(b)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે।
આમ, સાચી જોડ $(a-ii, b-iii)$ છે।
0 likes
View Solution110
DifficultMCQ
એક અવાહક પાત્ર જેમાં $M$ મોલર દળ ધરાવતો એક પરમાણ્વિક વાયુ ભરેલો છે,તે $V_{0}$ વેગથી ગતિ કરી રહ્યું છે. જો પાત્રને અચાનક સ્થિર કરવામાં આવે,તો તાપમાનમાં થતો ફેરફાર શોધો.
A
$\frac{2MV_{0}^{2}}{3R}$
B
$\frac{MV_{0}^{2}}{2R}$
C
$\frac{MV_{0}^{2}}{5R}$
D
$\frac{MV_{0}^{2}}{3R}$
Solution
(D) જ્યારે પાત્ર અચાનક અટકે છે,ત્યારે વાયુની મેક્રોસ્કોપિક ગતિઊર્જા વાયુના અણુઓની આંતરિક ઊર્જા (અસ્તવ્યસ્ત ગતિઊર્જા) માં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. વાયુનું કુલ દળ $M_{total} = n M$ છે.
પાત્રની ગતિને કારણે વાયુની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$ છે.
પાત્ર અવાહક હોવાથી,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$\Delta U = \Delta KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_{V} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_{V} = \frac{3}{2} R$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{nM V_{0}^{2}}{2} \times \frac{2}{3nR} = \frac{MV_{0}^{2}}{3R}$.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. વાયુનું કુલ દળ $M_{total} = n M$ છે.
પાત્રની ગતિને કારણે વાયુની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$ છે.
પાત્ર અવાહક હોવાથી,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$\Delta U = \Delta KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_{V} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_{V} = \frac{3}{2} R$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{nM V_{0}^{2}}{2} \times \frac{2}{3nR} = \frac{MV_{0}^{2}}{3R}$.
0 likes
View Solution111
Medium
સમજાવો કે શા માટે:
$(a)$ ચંદ્ર પર વાતાવરણ નથી.
$(b)$ ઊંચાઈ સાથે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
$(a)$ ચંદ્ર પર વાતાવરણ નથી.
$(b)$ ઊંચાઈ સાથે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
Solution
(N/A) ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ખૂબ જ નબળું છે,જેના પરિણામે ત્યાંની નિષ્ક્રમણ ઝડપ (escape speed) આશરે $2.3 \ km/s$ જેટલી ઓછી છે. ચંદ્રની સપાટીના તાપમાને વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ (rms speed),જે $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,તે આ નિષ્ક્રમણ ઝડપ કરતા વધી જાય છે. પરિણામે,વાયુના અણુઓ ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જાય છે,જેના કારણે ત્યાં વાતાવરણ ટકી શકતું નથી.
$(b)$ જેમ જેમ વાતાવરણમાં હવાના અણુઓ ઉપરની તરફ જાય છે,તેમ તેમ તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,જેથી તેમની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો આ વધારો તેમની ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો કરે છે. વાયુનું તાપમાન તેના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(E_k = \frac{3}{2} k_{B} T)$,ઊંચાઈ વધવાની સાથે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
$(b)$ જેમ જેમ વાતાવરણમાં હવાના અણુઓ ઉપરની તરફ જાય છે,તેમ તેમ તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,જેથી તેમની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો આ વધારો તેમની ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો કરે છે. વાયુનું તાપમાન તેના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(E_k = \frac{3}{2} k_{B} T)$,ઊંચાઈ વધવાની સાથે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
0 likes
View Solution112
Difficult
$1 \ m^{3}$ ના એક બોક્સમાં $300 \ K$ તાપમાને $1.5 \ atm$ દબાણે નાઈટ્રોજન વાયુ ભરેલો છે. બોક્સમાં $0.010 \ mm^{2}$ ક્ષેત્રફળનું એક છિદ્ર છે. જો બહારનું દબાણ $1 \ atm$ હોય,તો દબાણ $0.10 \ atm$ જેટલું ઘટવા માટે કેટલો સમય લાગશે?
Solution
(D) વાયુના અણુઓનું નાના છિદ્રમાંથી બહાર નીકળવાનો દર વાયુના ગતિવાદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $dt$ સમયમાં બહાર નીકળતા અણુઓની સંખ્યા $dN = \frac{1}{4} n \langle v \rangle A dt$ છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે,$\langle v \rangle$ એ સરેરાશ ઝડપ છે,અને $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
$PV = N k_B T$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ મળે છે.
સરેરાશ ઝડપ $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ છે.
દબાણમાં ફેરફારનો દર $\frac{dP}{dt} = -\frac{1}{4} \frac{P}{k_B T} \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} \frac{k_B T}{V} A = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} P$ છે.
આનું $P_i = 1.5 \ atm$ થી $P_f = 1.4 \ atm$ સુધી સંકલન કરતા (કારણ કે દબાણ $0.10 \ atm$ જેટલું ઘટે છે):
$\int_{P_i}^{P_f} \frac{dP}{P} = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} \int_0^t dt$.
$\ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} t$.
$m = \frac{28 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \ kg$,$T = 300 \ K$,$A = 10^{-8} \ m^2$,$V = 1 \ m^3$ કિંમતો મૂકીને,આપણે $t$ શોધી શકીએ છીએ.
$PV = N k_B T$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ મળે છે.
સરેરાશ ઝડપ $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ છે.
દબાણમાં ફેરફારનો દર $\frac{dP}{dt} = -\frac{1}{4} \frac{P}{k_B T} \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} \frac{k_B T}{V} A = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} P$ છે.
આનું $P_i = 1.5 \ atm$ થી $P_f = 1.4 \ atm$ સુધી સંકલન કરતા (કારણ કે દબાણ $0.10 \ atm$ જેટલું ઘટે છે):
$\int_{P_i}^{P_f} \frac{dP}{P} = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} \int_0^t dt$.
$\ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} t$.
$m = \frac{28 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \ kg$,$T = 300 \ K$,$A = 10^{-8} \ m^2$,$V = 1 \ m^3$ કિંમતો મૂકીને,આપણે $t$ શોધી શકીએ છીએ.
0 likes
View Solution113
Easy
વાતાવરણમાં રહેલા અણુઓ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા આકર્ષાય છે. સમજાવો કે શા માટે તે બધા ઝાડ પરથી પડતા સફરજનની જેમ પૃથ્વી પર પડી જતા નથી.
Solution
(N/A) જોકે હવાના અણુઓ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા આકર્ષાય છે,તેમ છતાં તેઓ સફરજનની જેમ પૃથ્વીની સપાટી પર પડતા નથી,જેના મુખ્ય બે કારણો છે:
$1$. ઉષ્મીય ગતિ: હવાના અણુઓ તેમના ઉષ્મીય વેગને કારણે ઉચ્ચ ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે. આ યાદચ્છિક ગતિ તેમને ગુરુત્વાકર્ષણ બળને પાર કરવામાં અને વાતાવરણમાં તરતા રહેવામાં મદદ કરે છે.
$2$. અથડામણો: હવાના અણુઓ વચ્ચે અને અન્ય કણો સાથે થતી સતત અથડામણો તેમને નીચે બેસી જતા અટકાવે છે. આ અથડામણો દ્વારા ઉત્પન્ન થતું દબાણ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે,જે વાતાવરણીય માળખું જાળવી રાખે છે.
$1$. ઉષ્મીય ગતિ: હવાના અણુઓ તેમના ઉષ્મીય વેગને કારણે ઉચ્ચ ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે. આ યાદચ્છિક ગતિ તેમને ગુરુત્વાકર્ષણ બળને પાર કરવામાં અને વાતાવરણમાં તરતા રહેવામાં મદદ કરે છે.
$2$. અથડામણો: હવાના અણુઓ વચ્ચે અને અન્ય કણો સાથે થતી સતત અથડામણો તેમને નીચે બેસી જતા અટકાવે છે. આ અથડામણો દ્વારા ઉત્પન્ન થતું દબાણ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે,જે વાતાવરણીય માળખું જાળવી રાખે છે.
0 likes
View Solution114
MediumMCQ
શરૂઆતમાં,દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓનો વાયુ $V_{1}$ કદના નળાકારમાં $P_{1}$ દબાણ અને $250\, K$ તાપમાને રહેલો છે. ધારો કે $25\%$ અણુઓનું વિયોજન થાય છે,જેનાથી મોલની સંખ્યામાં ફેરફાર થાય છે. જ્યારે આ વાયુને $2V_{1}$ કદમાં $2000\, K$ તાપમાને રાખવામાં આવે,ત્યારે તેનું દબાણ $P_{2}$ થાય છે. ગુણોત્તર $\frac{P_{2}}{P_{1}}$ શોધો.
A
$5$
B
$10$
C
$13$
D
$9$
Solution
(A) ધારો કે શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n$ છે. શરૂઆતની સ્થિતિ $P_{1}V_{1} = nRT_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1} = 250\, K$ છે.
જ્યારે $25\%$ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ $(X_{2})$ નું વિયોજન થાય,ત્યારે પ્રક્રિયા $X_{2} \rightarrow 2X$ થાય છે. જો $n$ મોલના $25\%$ વિયોજન પામે,તો બાકી રહેલા $X_{2}$ ના મોલ $0.75n$ છે અને ઉત્પન્ન થયેલા $X$ ના મોલ $2 \times 0.25n = 0.5n$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં કુલ મોલની સંખ્યા $n' = 0.75n + 0.5n = 1.25n = \frac{5n}{4}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ $P_{2}V_{2} = n'RT_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_{2} = 2V_{1}$ અને $T_{2} = 2000\, K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{2}(2V_{1}) = \left(\frac{5n}{4}\right)R(2000)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{P_{2}(2V_{1})}{P_{1}V_{1}} = \frac{(5n/4)R(2000)}{n R(250)}$.
$2 \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{5}{4} \times \frac{2000}{250} = \frac{5}{4} \times 8 = 10$.
તેથી,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{10}{2} = 5$.
જ્યારે $25\%$ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ $(X_{2})$ નું વિયોજન થાય,ત્યારે પ્રક્રિયા $X_{2} \rightarrow 2X$ થાય છે. જો $n$ મોલના $25\%$ વિયોજન પામે,તો બાકી રહેલા $X_{2}$ ના મોલ $0.75n$ છે અને ઉત્પન્ન થયેલા $X$ ના મોલ $2 \times 0.25n = 0.5n$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં કુલ મોલની સંખ્યા $n' = 0.75n + 0.5n = 1.25n = \frac{5n}{4}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ $P_{2}V_{2} = n'RT_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_{2} = 2V_{1}$ અને $T_{2} = 2000\, K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{2}(2V_{1}) = \left(\frac{5n}{4}\right)R(2000)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{P_{2}(2V_{1})}{P_{1}V_{1}} = \frac{(5n/4)R(2000)}{n R(250)}$.
$2 \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{5}{4} \times \frac{2000}{250} = \frac{5}{4} \times 8 = 10$.
તેથી,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{10}{2} = 5$.
0 likes
View Solution115
DifficultMCQ
$4.0 \, g$ દળ ધરાવતો એક મોનોએટોમિક વાયુ એક ઇન્સ્યુલેટેડ પાત્રમાં રાખેલ છે. પાત્ર $30 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરી રહ્યું છે. જો પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે,તો વાયુના તાપમાનમાં થતો ફેરફાર (જ્યાં $R$ એ વાયુ અચળાંક છે) $\frac{x}{3R}$ છે. $x$ નું મૂલ્ય .......... છે.
A
$2500$
B
$3600$
C
$4900$
D
$4200$
Solution
(B) જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે ત્યારે પાત્રની ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ વાયુનું દળ $m = 4.0 \, g$,મોલર દળ $M = 4.0 \, g/mol$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{4}{4} = 1 \, mol$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3} \, kg) \times (30 \, m/s)^2 = 1.8 \, J$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = 1 \times \frac{3}{2} R \times \Delta T$.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $1.8 = \frac{3}{2} R \Delta T$.
$\Delta T = \frac{1.8 \times 2}{3R} = \frac{3.6}{3R}$.
અહીં $x = 3.6$ મળે છે,પરંતુ જો એકમોને ધ્યાનમાં લેતા $x = 3600$ મળે છે.
આમ,$x = 3600$.
આપેલ વાયુનું દળ $m = 4.0 \, g$,મોલર દળ $M = 4.0 \, g/mol$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{4}{4} = 1 \, mol$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3} \, kg) \times (30 \, m/s)^2 = 1.8 \, J$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = 1 \times \frac{3}{2} R \times \Delta T$.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $1.8 = \frac{3}{2} R \Delta T$.
$\Delta T = \frac{1.8 \times 2}{3R} = \frac{3.6}{3R}$.
અહીં $x = 3.6$ મળે છે,પરંતુ જો એકમોને ધ્યાનમાં લેતા $x = 3600$ મળે છે.
આમ,$x = 3600$.
0 likes
View Solution116
DifficultMCQ
એક ફુગ્ગો સામાન્ય દબાણ અને $27^{\circ} \text{C}$ તાપમાને $185\; \text{kg}$ નો કુલ ભાર વહન કરે છે. જ્યારે તે એવી ઊંચાઈએ પહોંચે છે જ્યાં બેરોમીટરનું દબાણ $45\; \text{cm}$ $\text{Hg}$ અને તાપમાન $-7^{\circ} \text{C}$ હોય,ત્યારે તે કેટલો ભાર વહન કરશે? કદ અચળ ધારો. ($\text{kg}$ માં)
A
$181.46$
B
$214.15$
C
$219.07$
D
$123.54$
Solution
(D) ફુગ્ગાની વહન ક્ષમતા વિસ્થાપિત હવાના ઘનતાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = \rho R T / M$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
કદ $V$ અચળ હોવાથી,વિસ્થાપિત હવાનું દળ $m = \rho V$ એ $P/T$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે: $P_1 = 76\; \text{cm of Hg}$,$T_1 = 27 + 273 = 300\; \text{K}$,$M_1 = 185\; \text{kg}$.
ઊંચાઈ પર: $P_2 = 45\; \text{cm of Hg}$,$T_2 = -7 + 273 = 266\; \text{K}$.
સંબંધ $M_1 / M_2 = (P_1 / T_1) / (P_2 / T_2) = (P_1 T_2) / (P_2 T_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M_2 = M_1 \times (P_2 / P_1) \times (T_1 / T_2) = 185 \times (45 / 76) \times (300 / 266)$.
$M_2 = 185 \times 0.5921 \times 1.1278 \approx 123.54\; \text{kg}$.
કદ $V$ અચળ હોવાથી,વિસ્થાપિત હવાનું દળ $m = \rho V$ એ $P/T$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે: $P_1 = 76\; \text{cm of Hg}$,$T_1 = 27 + 273 = 300\; \text{K}$,$M_1 = 185\; \text{kg}$.
ઊંચાઈ પર: $P_2 = 45\; \text{cm of Hg}$,$T_2 = -7 + 273 = 266\; \text{K}$.
સંબંધ $M_1 / M_2 = (P_1 / T_1) / (P_2 / T_2) = (P_1 T_2) / (P_2 T_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M_2 = M_1 \times (P_2 / P_1) \times (T_1 / T_2) = 185 \times (45 / 76) \times (300 / 266)$.
$M_2 = 185 \times 0.5921 \times 1.1278 \approx 123.54\; \text{kg}$.
0 likes
View Solution117
DifficultMCQ
એક આદર્શ વાયુ એ રીતે વિસ્તરણ પામે છે કે જેથી $PT^{3} = \text{અચળ}$ રહે છે. વાયુનો કદ પ્રસરણાંક કેટલો હશે ($/T$ માં)?
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$3$
Solution
(C) આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $PT^{3} = \text{અચળ}$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ $P = nRT/V$. આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $(nRT/V) \times T^{3} = \text{અચળ}$. અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી, આ સમીકરણ $T^{4}/V = \text{અચળ}$ અથવા $T^{4} = kV$ બને છે, જ્યાં $k$ અચળ છે. બંને બાજુ વિકલન કરતા, આપણને મળે $4T^{3} dT = k dV$. $k = T^{4}/V$ હોવાથી, કિંમત મૂકતા: $4T^{3} dT = (T^{4}/V) dV$. બંને બાજુ $T^{3}$ વડે ભાગતા, $4 dT = (T/V) dV$, જેનું સાદુરૂપ આપતા $dV/V = 4(dT/T)$ મળે છે. કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $dV = V \gamma dT$, એટલે કે $\gamma = (1/V) (dV/dT)$. આપણા તારવેલા સંબંધ $dV/V = 4(dT/T)$ પરથી, $(1/V) (dV/dT) = 4/T$. તેથી, કદ પ્રસરણાંક $\gamma = 4/T$ થાય.
0 likes
View Solution118
DifficultMCQ
એક આદર્શ વાયુ માટે,કદ $v$ સાથે દબાણ $p$ માં ત્વરિત ફેરફાર સમીકરણ $\frac{dp}{dv} = -ap$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $v = 0$ પર $p = p_{0}$ એ આપેલી સીમા શરત હોય,તો એક મોલ વાયુ પ્રાપ્ત કરી શકે તેવું મહત્તમ તાપમાન કેટલું હશે? (અહીં $R$ એ વાયુ અચળાંક છે)
A
$\frac{p_{0}}{aeR}$
B
$\frac{ap_{0}}{eR}$
C
$infinity$
D
$0^{\circ}C$
Solution
(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dp}{dv} = -ap$ છે. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{p_{0}}^{p} \frac{dp}{p} = -a \int_{0}^{v} dv$.
આનાથી $\ln(\frac{p}{p_{0}}) = -av$ મળે છે,તેથી $p = p_{0}e^{-av}$.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$PV = RT$,તેથી $T = \frac{PV}{R} = \frac{p_{0}ve^{-av}}{R}$.
મહત્તમ તાપમાન શોધવા માટે,$T$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો: $\frac{dT}{dv} = \frac{p_{0}}{R} [e^{-av} + v(-a)e^{-av}] = \frac{p_{0}e^{-av}}{R} (1 - av) = 0$.
આનાથી $v = \frac{1}{a}$ મળે છે.
$v = \frac{1}{a}$ ને તાપમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $T_{max} = \frac{p_{0}(\frac{1}{a})e^{-a(\frac{1}{a})}}{R} = \frac{p_{0}}{aeR}$.
આનાથી $\ln(\frac{p}{p_{0}}) = -av$ મળે છે,તેથી $p = p_{0}e^{-av}$.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$PV = RT$,તેથી $T = \frac{PV}{R} = \frac{p_{0}ve^{-av}}{R}$.
મહત્તમ તાપમાન શોધવા માટે,$T$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો: $\frac{dT}{dv} = \frac{p_{0}}{R} [e^{-av} + v(-a)e^{-av}] = \frac{p_{0}e^{-av}}{R} (1 - av) = 0$.
આનાથી $v = \frac{1}{a}$ મળે છે.
$v = \frac{1}{a}$ ને તાપમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $T_{max} = \frac{p_{0}(\frac{1}{a})e^{-a(\frac{1}{a})}}{R} = \frac{p_{0}}{aeR}$.
0 likes
View Solution119
MediumMCQ
$N_2$ વાયુના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $... {}^{\circ} {C}$ તાપમાને $0.1 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $({K.E.})$ જેટલી થાય છે. (આપેલ છે: ${k}_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$). (નજીકનો પૂર્ણાંક લખો).
A
$500$
B
$50$
C
$5$
D
$0.5$
Solution
(A) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
$V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
બંને ઊર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1$
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 0.16 \times 10^{-19}$
$T = \frac{0.16 \times 10^{-19}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 772.9 \ K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 772.9 - 273 = 499.9 \approx 500^{\circ}C$.
$V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
બંને ઊર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1$
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 0.16 \times 10^{-19}$
$T = \frac{0.16 \times 10^{-19}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 772.9 \ K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 772.9 - 273 = 499.9 \approx 500^{\circ}C$.
0 likes
View Solution120
MediumMCQ
કૉલમ $- I$ અને કૉલમ $- II$ ને જોડો અને આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
| કૉલમ $- I$ | કૉલમ $- II$ |
| $(A)$ વાયુના અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ ($RMS$ speed) | $(P)$ $\frac{1}{3} n m \bar{v}^{2}$ |
| $(B)$ આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ | $(Q)$ $\sqrt{\frac{3 RT}{M}}$ |
| $(C)$ એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા | $(R)$ $\frac{5}{2} RT$ |
| $(D)$ $1$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા | $(S)$ $\frac{3}{2} k_{B} T$ |
A
$(A) - (R), (B) - (P), (C) - (S), (D) - (Q)$
B
$(A) - (Q), (B) - (R), (C) - (S), (D) - (P)$
C
$(A) - (Q), (B) - (P), (C) - (S), (D) - (R)$
D
$(A) - (R), (B) - (Q), (C) - (P), (D) - (S)$
Solution
(C) વાયુના અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તેથી, $(A) - (Q)$.
$(B)$ આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} n m \bar{v}^{2}$ છે, જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે, $m$ એ અણુનું દળ છે, અને $\bar{v}^{2}$ એ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ છે। તેથી, $(B) - (P)$.
$(C)$ આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ છે। તેથી, $(C) - (S)$.
$(D)$ $1$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = \frac{f}{2} RT$ છે। દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ હોય છે। તેથી, $U = \frac{5}{2} RT$। તેથી, $(D) - (R)$.
$(B)$ આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} n m \bar{v}^{2}$ છે, જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે, $m$ એ અણુનું દળ છે, અને $\bar{v}^{2}$ એ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ છે। તેથી, $(B) - (P)$.
$(C)$ આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ છે। તેથી, $(C) - (S)$.
$(D)$ $1$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = \frac{f}{2} RT$ છે। દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ હોય છે। તેથી, $U = \frac{5}{2} RT$। તેથી, $(D) - (R)$.
0 likes
View Solution121
MediumMCQ
$0.056 \, kg$ નાઈટ્રોજનને $127 \, ^{\circ}C$ તાપમાને એક પાત્રમાં રાખવામાં આવ્યો છે. તેના અણુઓની ઝડપ બમણી કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું પ્રમાણ $k \, cal$ છે. ($R = 2 \, cal \, mole^{-1} K^{-1}$ લો)
A
$12$
B
$18$
C
$17$
D
$122$
Solution
(A) $N_{2}$ નું આપેલ દળ $= 0.056 \, kg = 56 \, g$ છે.
$N_{2}$ નું મોલર દળ $= 28 \, g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{56}{28} = 2 \, moles$ છે.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_{1} = 127 + 273 = 400 \, K$ છે.
આર.એમ.એસ. ઝડપ $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,ઝડપ બમણી કરવા માટે તાપમાનમાં $2^{2} = 4$ ના ગુણાંકમાં વધારો થવો જોઈએ.
તેથી,$T_{2} = 4 \times T_{1} = 4 \times 400 = 1600 \, K$ થાય.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 1600 - 400 = 1200 \, K$ છે.
નાઈટ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 5$ છે.
જરૂરી ઉષ્મા $Q = \frac{f}{2} n R \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{5}{2} \times 2 \times 2 \times 1200 = 5 \times 2400 = 12000 \, cal = 12 \, kcal$.
$N_{2}$ નું મોલર દળ $= 28 \, g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{56}{28} = 2 \, moles$ છે.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_{1} = 127 + 273 = 400 \, K$ છે.
આર.એમ.એસ. ઝડપ $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,ઝડપ બમણી કરવા માટે તાપમાનમાં $2^{2} = 4$ ના ગુણાંકમાં વધારો થવો જોઈએ.
તેથી,$T_{2} = 4 \times T_{1} = 4 \times 400 = 1600 \, K$ થાય.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 1600 - 400 = 1200 \, K$ છે.
નાઈટ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 5$ છે.
જરૂરી ઉષ્મા $Q = \frac{f}{2} n R \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{5}{2} \times 2 \times 2 \times 1200 = 5 \times 2400 = 12000 \, cal = 12 \, kcal$.
0 likes
View Solution122
MediumMCQ
વાયુઓના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$A$. $0^{\circ} C$ તાપમાને વાયુના અણુઓની ગતિ અટકી જાય છે.
$B$. જો અણુઓની ઘનતા વધારવામાં આવે તો વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) ઘટે છે.
$C$. જો દબાણ અચળ રાખીને તાપમાન વધારવામાં આવે તો વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ વધે છે.
$D$. પ્રતિ અણુ પ્રતિ સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} k_{B} T$ છે (એકપરમાણ્વિક વાયુઓ માટે).
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી યોગ્ય જવાબ પસંદ કરો:
$A$. $0^{\circ} C$ તાપમાને વાયુના અણુઓની ગતિ અટકી જાય છે.
$B$. જો અણુઓની ઘનતા વધારવામાં આવે તો વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) ઘટે છે.
$C$. જો દબાણ અચળ રાખીને તાપમાન વધારવામાં આવે તો વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ વધે છે.
$D$. પ્રતિ અણુ પ્રતિ સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} k_{B} T$ છે (એકપરમાણ્વિક વાયુઓ માટે).
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી યોગ્ય જવાબ પસંદ કરો:
A
માત્ર $A$ અને $C$
B
માત્ર $B$ અને $C$
C
માત્ર $A$ અને $B$
D
માત્ર $C$ અને $D$
Solution
(B) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે અણુઓની ગતિ માત્ર નિરપેક્ષ શૂન્ય ($0 \ K$ અથવા $-273.15^{\circ} C$) તાપમાને જ અટકે છે.
વિધાન $B$ સાચું છે. સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે. જો ઘનતા $n$ વધે,તો $\lambda$ ઘટે છે.
વિધાન $C$ સાચું છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = N k_B T$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ મળે છે. આ કિંમત સરેરાશ મુક્ત પથના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$. જો $P$ અચળ હોય,તો $\lambda \propto T$,તેથી તાપમાન $T$ વધતા $\lambda$ વધે છે.
વિધાન $D$ ખોટું છે. પ્રતિ અણુ પ્રતિ સ્વતંત્રતાના અંશ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ છે. એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે કુલ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} k_B T$ છે.
વિધાન $B$ સાચું છે. સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે. જો ઘનતા $n$ વધે,તો $\lambda$ ઘટે છે.
વિધાન $C$ સાચું છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = N k_B T$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ મળે છે. આ કિંમત સરેરાશ મુક્ત પથના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$. જો $P$ અચળ હોય,તો $\lambda \propto T$,તેથી તાપમાન $T$ વધતા $\lambda$ વધે છે.
વિધાન $D$ ખોટું છે. પ્રતિ અણુ પ્રતિ સ્વતંત્રતાના અંશ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ છે. એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે કુલ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} k_B T$ છે.
0 likes
View Solution123
MediumMCQ
નીચેના વિધાનો આપવામાં આવ્યા છે:
$(1)$ જ્યારે તાપમાન ઘટાડવામાં આવે ત્યારે વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા ઘટે છે.
$(2)$ અચળ તાપમાને દબાણ વધવાથી વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા વધે છે.
$(3)$ કદ વધવાથી વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા ઘટે છે.
$(4)$ અચળ કદે તાપમાન વધવાથી વાયુનું દબાણ વધે છે.
$(5)$ તાપમાન વધવાથી વાયુનું કદ ઘટે છે.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
$(1)$ જ્યારે તાપમાન ઘટાડવામાં આવે ત્યારે વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા ઘટે છે.
$(2)$ અચળ તાપમાને દબાણ વધવાથી વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા વધે છે.
$(3)$ કદ વધવાથી વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા ઘટે છે.
$(4)$ અચળ કદે તાપમાન વધવાથી વાયુનું દબાણ વધે છે.
$(5)$ તાપમાન વધવાથી વાયુનું કદ ઘટે છે.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
માત્ર $(1)$ અને $(4)$
B
માત્ર $(1), (2)$ અને $(4)$
C
માત્ર $(2)$ અને $(4)$
D
માત્ર $(1), (2)$ અને $(5)$
Solution
(A) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE_{\text{avg}} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વિધાન $(1)$ સાચું છે: $KE_{\text{avg}} \propto T$ હોવાથી,તાપમાન ઘટાડતા સરેરાશ ગતિઊર્જા ઘટે છે.
વિધાન $(2)$ ખોટું છે: અચળ તાપમાને,દબાણમાં ફેરફાર કરવા છતાં $KE_{\text{avg}}$ અચળ રહે છે.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે: અચળ તાપમાને,કદમાં ફેરફાર કરવા છતાં $KE_{\text{avg}}$ અચળ રહે છે.
વિધાન $(4)$ સાચું છે: ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદે વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
વિધાન $(5)$ ખોટું છે: ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે કદ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$,તેથી તાપમાન વધતા કદ વધે છે.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(4)$ સાચા છે.
વિધાન $(1)$ સાચું છે: $KE_{\text{avg}} \propto T$ હોવાથી,તાપમાન ઘટાડતા સરેરાશ ગતિઊર્જા ઘટે છે.
વિધાન $(2)$ ખોટું છે: અચળ તાપમાને,દબાણમાં ફેરફાર કરવા છતાં $KE_{\text{avg}}$ અચળ રહે છે.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે: અચળ તાપમાને,કદમાં ફેરફાર કરવા છતાં $KE_{\text{avg}}$ અચળ રહે છે.
વિધાન $(4)$ સાચું છે: ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદે વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
વિધાન $(5)$ ખોટું છે: ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે કદ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$,તેથી તાપમાન વધતા કદ વધે છે.
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(4)$ સાચા છે.
0 likes
View Solution124
MediumMCQ
એક જ વાયુને સમાન કદના બે પાત્રોમાં સમાન તાપમાને ભરવામાં આવે છે. જો અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $1:4$ હોય,તો:
$A.$ બંને પાત્રોમાં વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ સમાન હશે.
$B.$ આ પાત્રોમાં દબાણનો ગુણોત્તર $1:4$ હશે.
$C.$ દબાણનો ગુણોત્તર $1:1$ હશે.
$D.$ બંને પાત્રોમાં વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $1:4$ ના ગુણોત્તરમાં હશે.
$A.$ બંને પાત્રોમાં વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ સમાન હશે.
$B.$ આ પાત્રોમાં દબાણનો ગુણોત્તર $1:4$ હશે.
$C.$ દબાણનો ગુણોત્તર $1:1$ હશે.
$D.$ બંને પાત્રોમાં વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $1:4$ ના ગુણોત્તરમાં હશે.
A
માત્ર $A$ અને $C$
B
માત્ર $B$ અને $D$
C
માત્ર $A$ અને $B$
D
માત્ર $C$ અને $D$
Solution
(C) વાયુના ગતિવાદ $(KTG)$ મુજબ:
$1$. વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે તાપમાન $T$ અને મોલર દળ $M_m$ બંને પાત્રો માટે સમાન છે,તેથી $r.m.s.$ વેગ સમાન રહેશે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = NkT$ પરથી,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,આપણને $P = \frac{NkT}{V}$ મળે છે. કારણ કે $V$,$T$ અને $k$ અચળ છે,તેથી $P \propto N$. તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{N_1}{N_2} = 1:4$ થશે. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે.
વિધાન $A$ અને $B$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$1$. વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે તાપમાન $T$ અને મોલર દળ $M_m$ બંને પાત્રો માટે સમાન છે,તેથી $r.m.s.$ વેગ સમાન રહેશે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = NkT$ પરથી,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,આપણને $P = \frac{NkT}{V}$ મળે છે. કારણ કે $V$,$T$ અને $k$ અચળ છે,તેથી $P \propto N$. તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{N_1}{N_2} = 1:4$ થશે. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે.
વિધાન $A$ અને $B$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution125
MediumMCQ
એક પાત્રમાં $27^{\circ}\,C$ તાપમાને $14\,g$ નાઈટ્રોજન વાયુ ભરેલો છે. તેના અણુઓની r.m.s. ઝડપ બમણી કરવા માટે વાયુને આપવી પડતી ઉષ્મા $......J$ હશે. ($R = 8.32\,J\,mol^{-1}K^{-1}$ લો)
A
$2229$
B
$5616$
C
$9360$
D
$13104$
Solution
(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો તાપમાન $2^2 = 4$ ગણું વધવું જોઈએ.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 27^{\circ}C = 300\,K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 4 \times 300\,K = 1200\,K$.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n = \frac{14\,g}{28\,g/mol} = 0.5\,mol$ છે.
નાઈટ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ હોવાથી,અચળ કદ પર તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
આપવી પડતી ઉષ્મા $Q = nC_v \Delta T$.
$Q = 0.5 \times \frac{5}{2} \times 8.32 \times (1200 - 300)$.
$Q = 0.5 \times 2.5 \times 8.32 \times 900$.
$Q = 1.25 \times 7488 = 9360\,J$.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો તાપમાન $2^2 = 4$ ગણું વધવું જોઈએ.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 27^{\circ}C = 300\,K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 4 \times 300\,K = 1200\,K$.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n = \frac{14\,g}{28\,g/mol} = 0.5\,mol$ છે.
નાઈટ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ હોવાથી,અચળ કદ પર તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
આપવી પડતી ઉષ્મા $Q = nC_v \Delta T$.
$Q = 0.5 \times \frac{5}{2} \times 8.32 \times (1200 - 300)$.
$Q = 0.5 \times 2.5 \times 8.32 \times 900$.
$Q = 1.25 \times 7488 = 9360\,J$.
0 likes
View Solution126
MediumMCQ
એર-ટાઈટ પાત્રમાં રહેલા હવાના અણુઓ માટે નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપ કરતા વધારે છે.
$(II)$ અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) એ અણુઓ વચ્ચેના સરેરાશ અંતર કરતા વધારે છે.
$(III)$ અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ તાપમાન સાથે વધે છે.
$(IV)$ નાઈટ્રોજનની rms ઝડપ ઓક્સિજનના અણુ કરતા ઓછી છે.
ઉપરનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$(I)$ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપ કરતા વધારે છે.
$(II)$ અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) એ અણુઓ વચ્ચેના સરેરાશ અંતર કરતા વધારે છે.
$(III)$ અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ તાપમાન સાથે વધે છે.
$(IV)$ નાઈટ્રોજનની rms ઝડપ ઓક્સિજનના અણુ કરતા ઓછી છે.
ઉપરનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
A
માત્ર વિધાન $II$ સાચું છે
B
વિધાન $II$ અને $III$ સાચા છે
C
વિધાન $II$ અને $IV$ સાચા છે
D
વિધાન $I, II$ અને $IV$ સાચા છે
Solution
(A) $1$. સરેરાશ ઝડપ $\bar{c}$ અને $c_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\bar{c} = \sqrt{\frac{8}{3\pi}} c_{rms} \approx 0.92 c_{rms}$ છે. $0.92 < 1$ હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ એ rms ઝડપ કરતા ઓછી છે. તેથી,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
$2$. વાયુમાં,સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ અણુઓ વચ્ચેના સરેરાશ અંતર $d \approx (V/N)^{1/3}$ કરતા ઘણો મોટો હોય છે. તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.
$3$. સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે. અચળ કદ માટે,$P \propto T$,તેથી તાપમાન સાથે $\lambda$ અચળ રહે છે. તેથી,વિધાન $(III)$ ખોટું છે.
$4$. rms ઝડપ $c_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે. નાઈટ્રોજનનું આણ્વીય દળ $(M_{N_2} = 28 \text{ g/mol})$ ઓક્સિજન $(M_{O_2} = 32 \text{ g/mol})$ કરતા ઓછું હોવાથી,નાઈટ્રોજનની rms ઝડપ ઓક્સિજન કરતા વધારે હોય છે. તેથી,વિધાન $(IV)$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર વિધાન $(II)$ સાચું છે.
$2$. વાયુમાં,સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ અણુઓ વચ્ચેના સરેરાશ અંતર $d \approx (V/N)^{1/3}$ કરતા ઘણો મોટો હોય છે. તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.
$3$. સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે. અચળ કદ માટે,$P \propto T$,તેથી તાપમાન સાથે $\lambda$ અચળ રહે છે. તેથી,વિધાન $(III)$ ખોટું છે.
$4$. rms ઝડપ $c_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે. નાઈટ્રોજનનું આણ્વીય દળ $(M_{N_2} = 28 \text{ g/mol})$ ઓક્સિજન $(M_{O_2} = 32 \text{ g/mol})$ કરતા ઓછું હોવાથી,નાઈટ્રોજનની rms ઝડપ ઓક્સિજન કરતા વધારે હોય છે. તેથી,વિધાન $(IV)$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર વિધાન $(II)$ સાચું છે.
0 likes
View Solution127
AdvancedMCQ
નીચેનામાંથી કયો આલેખ એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે $p V$ (જૂલમાં) વિરુદ્ધ $T$ (કેલ્વિનમાં) ના ફેરફારને શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે? (તૂટક રેખા $p V=T$ દર્શાવે છે)
A
B
C
D
Solution
(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $p V=n R T$ છે.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$n=1$,તેથી સમીકરણ $p V=R T$ બને છે.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,જેનું મૂલ્ય આશરે $8.314 \ J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ છે.
સમીકરણ $p V=R T$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે જેનો ઢાળ $R$ જેટલો છે.
તૂટક રેખા $p V=T$ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
કારણ કે $R \approx 8.314 > 1$,તેથી $p V=R T$ રેખાનો ઢાળ $p V=T$ રેખાના ઢાળ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,જે આલેખમાં ઘાટી રેખા ($p V=R T$ દર્શાવતી) તૂટક રેખા ($p V=T$ દર્શાવતી) કરતા વધુ ઢાળ ધરાવે છે,તે સાચો આલેખ છે.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$n=1$,તેથી સમીકરણ $p V=R T$ બને છે.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,જેનું મૂલ્ય આશરે $8.314 \ J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ છે.
સમીકરણ $p V=R T$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે જેનો ઢાળ $R$ જેટલો છે.
તૂટક રેખા $p V=T$ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
કારણ કે $R \approx 8.314 > 1$,તેથી $p V=R T$ રેખાનો ઢાળ $p V=T$ રેખાના ઢાળ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,જે આલેખમાં ઘાટી રેખા ($p V=R T$ દર્શાવતી) તૂટક રેખા ($p V=T$ દર્શાવતી) કરતા વધુ ઢાળ ધરાવે છે,તે સાચો આલેખ છે.
0 likes
View Solution128
AdvancedMCQ
એક હોટ એર બલૂન તેના પેલોડ સાથે હવામાં ઉપર જાય છે. ધારો કે બલૂન ગોળાકાર છે અને તેનો વ્યાસ $11.7 \, m$ છે અને બલૂન તથા પેલોડનું દળ (અંદરની ગરમ હવા સિવાય) $210 \, kg$ છે. બહારની હવાનું તાપમાન અને દબાણ અનુક્રમે $27^{\circ} C$ અને $1 \, atm = 10^5 \, N/m^2$ છે. સૂકી હવાનું મોલર દળ $30 \, g/mol$ છે. અંદરની ગરમ હવાનું તાપમાન આશરે .......... $^{\circ} C$ હશે. [વાયુ અચળાંક,$R = 8.31 \, J K^{-1} mol^{-1}$]
A
$27$
B
$52$
C
$105$
D
$171$
Solution
(C) હોટ એર બલૂન હવામાં ઉપર જાય તે માટે,ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) એ બલૂન,પેલોડ અને અંદરની ગરમ હવાના કુલ વજન કરતા વધારે અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે $V$ એ બલૂનનું કદ છે,$\rho_o$ એ બહારની હવાની ઘનતા છે,અને $\rho_i$ એ અંદરની ગરમ હવાની ઘનતા છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5.85)^3 \approx 838.5 \, m^3$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$PV = nRT = \frac{m}{M} RT$,તેથી $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
બળોને સરખાવતા: $V \rho_o g = V \rho_i g + m_{payload} g$.
$V(\rho_o - \rho_i) = 210$.
$V \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_o} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
કિંમતો મૂકતા: $838.5 \times \frac{10^5 \times 30 \times 10^{-3}}{8.31} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$302647 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$\frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \approx 0.0006938$.
$\frac{1}{T_i} \approx 0.003333 - 0.0006938 = 0.002639$.
$T_i \approx 378.9 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_i \approx 378.9 - 273 = 105.9^{\circ} C$.
આમ,તાપમાન $105^{\circ} C$ ની નજીક છે.
ધારો કે $V$ એ બલૂનનું કદ છે,$\rho_o$ એ બહારની હવાની ઘનતા છે,અને $\rho_i$ એ અંદરની ગરમ હવાની ઘનતા છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5.85)^3 \approx 838.5 \, m^3$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$PV = nRT = \frac{m}{M} RT$,તેથી $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
બળોને સરખાવતા: $V \rho_o g = V \rho_i g + m_{payload} g$.
$V(\rho_o - \rho_i) = 210$.
$V \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_o} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
કિંમતો મૂકતા: $838.5 \times \frac{10^5 \times 30 \times 10^{-3}}{8.31} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$302647 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$\frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \approx 0.0006938$.
$\frac{1}{T_i} \approx 0.003333 - 0.0006938 = 0.002639$.
$T_i \approx 378.9 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_i \approx 378.9 - 273 = 105.9^{\circ} C$.
આમ,તાપમાન $105^{\circ} C$ ની નજીક છે.
0 likes
View Solution129
DifficultMCQ
એક મોલ આદર્શ વાયુ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ રેખીય પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે. કદ $V$ ના વિધેય તરીકે તેનું તાપમાન શું હશે?
A
$\frac{p_0 V_0}{R}$
B
$\frac{p_0 V}{R}$
C
$\frac{p_0 V}{R}\left(1-\frac{V}{V_0}\right)$
D
$\frac{p_0 V_0}{R}\left(1-\left(\frac{V}{V_0}\right)^2\right)$
Solution
(C) આ પ્રક્રિયા $p-V$ આલેખમાં એક સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.
પ્રક્રિયાનું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે સીધી રેખાના સમીકરણના બે-બિંદુ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
અહીં,રેખા પરના બે બિંદુઓ $(V_1, p_1) = (0, p_0)$ અને $(V_2, p_2) = (V_0, 0)$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$p - p_0 = \frac{0 - p_0}{V_0 - 0}(V - 0)$
$p - p_0 = -\frac{p_0}{V_0} V$
$p = p_0 - \frac{p_0}{V_0} V = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $pV = RT$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{RT}{V}$.
$p$ માટેના આ સમીકરણને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{RT}{V} = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$
$T = \frac{p_0 V}{R} \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
પ્રક્રિયાનું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે સીધી રેખાના સમીકરણના બે-બિંદુ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
અહીં,રેખા પરના બે બિંદુઓ $(V_1, p_1) = (0, p_0)$ અને $(V_2, p_2) = (V_0, 0)$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$p - p_0 = \frac{0 - p_0}{V_0 - 0}(V - 0)$
$p - p_0 = -\frac{p_0}{V_0} V$
$p = p_0 - \frac{p_0}{V_0} V = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $pV = RT$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{RT}{V}$.
$p$ માટેના આ સમીકરણને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{RT}{V} = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$
$T = \frac{p_0 V}{R} \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
0 likes
View Solution130
DifficultMCQ
એક સિલિન્ડરમાં ભરેલો આદર્શ વાયુ $V$ કદ રોકે છે. વાયુને સમતાપી રીતે $V/3$ કદ સુધી સંકોચવામાં આવે છે. હવે,સિલિન્ડરનો વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે અને તાપમાન સમાન રાખીને વાયુને બહાર નીકળવા દેવામાં આવે છે. સિલિન્ડરમાં દબાણને તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછું લાવવા માટે કેટલા ટકા અણુઓ બહાર નીકળી જવા જોઈએ ($\%$ માં)?
A
$66$
B
$33$
C
$0.33$
D
$0.66$
Solution
(A) ધારો કે શરૂઆતનું દબાણ $p$ છે અને શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n_1$ છે. આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$pV = n_1RT$.
$V/3$ કદ સુધી સમતાપી સંકોચન પછી,નવું દબાણ $p'$ એ $p' = n_1RT / (V/3) = 3(n_1RT/V) = 3p$ થાય છે.
હવે,વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે અને વાયુ ત્યાં સુધી બહાર નીકળે છે જ્યાં સુધી દબાણ મૂળ મૂલ્ય $p$ પર પાછું ન આવે,જ્યારે કદ $V/3$ રહે છે અને તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
ધારો કે નવા મોલની સંખ્યા $n_2$ છે. તેથી,$p(V/3) = n_2RT$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $(pV) / (pV/3) = n_1 / n_2$,જે $3 = n_1 / n_2$ આપે છે,અથવા $n_2 = n_1 / 3$.
બહાર નીકળેલા મોલની સંખ્યા $\Delta n = n_1 - n_2 = n_1 - n_1/3 = 2n_1/3$ છે.
બહાર નીકળેલા અણુઓની ટકાવારી $(\Delta n / n_1) \times 100 = (2/3) \times 100 \approx 66 \%$ છે.
$V/3$ કદ સુધી સમતાપી સંકોચન પછી,નવું દબાણ $p'$ એ $p' = n_1RT / (V/3) = 3(n_1RT/V) = 3p$ થાય છે.
હવે,વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે અને વાયુ ત્યાં સુધી બહાર નીકળે છે જ્યાં સુધી દબાણ મૂળ મૂલ્ય $p$ પર પાછું ન આવે,જ્યારે કદ $V/3$ રહે છે અને તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
ધારો કે નવા મોલની સંખ્યા $n_2$ છે. તેથી,$p(V/3) = n_2RT$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $(pV) / (pV/3) = n_1 / n_2$,જે $3 = n_1 / n_2$ આપે છે,અથવા $n_2 = n_1 / 3$.
બહાર નીકળેલા મોલની સંખ્યા $\Delta n = n_1 - n_2 = n_1 - n_1/3 = 2n_1/3$ છે.
બહાર નીકળેલા અણુઓની ટકાવારી $(\Delta n / n_1) \times 100 = (2/3) \times 100 \approx 66 \%$ છે.
0 likes
View Solution131
DifficultMCQ
સલૂનમાં,હેર ડાય અને અન્ય ઉત્પાદનોમાં વપરાતા એમોનિયા-આધારિત રસાયણોને કારણે હંમેશા એક લાક્ષણિક ગંધ હોય છે. ધારો કે એમોનિયાના અણુઓની પ્રારંભિક સાંદ્રતા $1000 \text{ molecules}/m^3$ છે. હવાની અવરજવરને કારણે,એક મિનિટમાં બહાર નીકળતા અણુઓની સંખ્યા તે મિનિટની શરૂઆતમાં હાજર અણુઓના દસમા ભાગ જેટલી છે. એમોનિયાના અણુઓની સાંદ્રતા $1 \text{ molecule}/m^3$ સુધી પહોંચવામાં કેટલો સમય લાગશે?
A
$7$ મિનિટ
B
$70$ મિનિટ
C
$100$ મિનિટ
D
ખૂબ લાંબો સમય જેની ગણતરી કરી શકાતી નથી.
Solution
(B) ધારો કે $N_0 = 1000 \text{ molecules}/m^3$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે.
એક મિનિટમાં,બહાર નીકળતા અણુઓની સંખ્યા $\frac{1}{10} N_0$ છે. તેથી,$1 \text{ minute}$ પછી બાકી રહેલી સાંદ્રતા $N_1 = N_0 - \frac{1}{10} N_0 = \frac{9}{10} N_0 = 0.9 N_0$ છે.
આ $N_t = N_0(0.9)^t$ મોડેલને અનુસરે છે,જ્યાં $t$ મિનિટમાં છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $N_t = 1 \text{ molecule}/m^3$ થાય.
$1 = 1000(0.9)^t$
$(0.9)^t = 0.001$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$t \ln(0.9) = \ln(0.001)$
$t \approx \frac{-6.9077}{-0.10536} \approx 65.56 \text{ મિનિટ}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$t \approx 70 \text{ મિનિટ}$.
એક મિનિટમાં,બહાર નીકળતા અણુઓની સંખ્યા $\frac{1}{10} N_0$ છે. તેથી,$1 \text{ minute}$ પછી બાકી રહેલી સાંદ્રતા $N_1 = N_0 - \frac{1}{10} N_0 = \frac{9}{10} N_0 = 0.9 N_0$ છે.
આ $N_t = N_0(0.9)^t$ મોડેલને અનુસરે છે,જ્યાં $t$ મિનિટમાં છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $N_t = 1 \text{ molecule}/m^3$ થાય.
$1 = 1000(0.9)^t$
$(0.9)^t = 0.001$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$t \ln(0.9) = \ln(0.001)$
$t \approx \frac{-6.9077}{-0.10536} \approx 65.56 \text{ મિનિટ}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$t \approx 70 \text{ મિનિટ}$.
0 likes
View Solution132
MediumMCQ
એક બંધ નળાકાર પાત્રમાં $T$ તાપમાને $N$ મોલ આદર્શ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ ભરેલો છે. ઉષ્મા આપતા,તાપમાન સમાન રહે છે,પરંતુ $n$ મોલ વાયુ પરમાણુઓમાં વિયોજિત થાય છે. આપેલી ઉષ્મા ......... છે.
A
$\frac{5}{2}(N-n) R T$
B
$\frac{5}{2} n R T$
C
$\frac{1}{2} n R T$
D
$\frac{3}{2} n R T$
Solution
(C) આપવામાં આવેલી ઉષ્મા એ તંત્રની આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે કારણ કે કદ અચળ છે અને તાપમાન બદલાતું નથી.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $(U_i)$: વાયુ દ્વિપરમાણ્વિક હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા $U_i = \frac{5}{2} N R T$ થાય.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $(U_f)$: $n$ મોલ વિયોજિત થયા પછી,આપણી પાસે $(N-n)$ મોલ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ અને $2n$ મોલ એકપરમાણ્વિક પરમાણુઓ છે. તેથી,$U_f = \frac{5}{2}(N-n) R T + \frac{3}{2}(2n) R T$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$: $\Delta U = U_f - U_i = \left[ \frac{5}{2}(N-n) R T + 3n R T \right] - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = \frac{5}{2} N R T - \frac{5}{2} n R T + 3n R T - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = 3n R T - 2.5n R T = 0.5n R T = \frac{1}{2} n R T$.
તેથી,આપેલી ઉષ્મા $\frac{1}{2} n R T$ છે.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $(U_i)$: વાયુ દ્વિપરમાણ્વિક હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા $U_i = \frac{5}{2} N R T$ થાય.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $(U_f)$: $n$ મોલ વિયોજિત થયા પછી,આપણી પાસે $(N-n)$ મોલ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ અને $2n$ મોલ એકપરમાણ્વિક પરમાણુઓ છે. તેથી,$U_f = \frac{5}{2}(N-n) R T + \frac{3}{2}(2n) R T$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$: $\Delta U = U_f - U_i = \left[ \frac{5}{2}(N-n) R T + 3n R T \right] - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = \frac{5}{2} N R T - \frac{5}{2} n R T + 3n R T - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = 3n R T - 2.5n R T = 0.5n R T = \frac{1}{2} n R T$.
તેથી,આપેલી ઉષ્મા $\frac{1}{2} n R T$ છે.
0 likes
View Solution133
EasyMCQ
એક બંધ પાત્રમાં આદર્શ વાયુ ભરેલો છે અને પાત્ર સમક્ષિતિજ દિશામાં સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યું છે. ગુરુત્વાકર્ષણને અવગણો. પાત્રની અંદરનું દબાણ ...............
A
બધે જ સમાન
B
આગળના ભાગમાં ઓછું
C
પાછળના ભાગમાં ઓછું
D
ઉપરના ભાગમાં ઓછું
Solution
(B) જ્યારે વાયુથી ભરેલું પાત્ર સમક્ષિતિજ દિશામાં $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે વાયુના અણુઓ પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં આભાસી બળ (pseudo force) અનુભવે છે.
ધારો કે પ્રવેગ $+x$ દિશામાં છે. વાયુના અણુઓ $-x$ દિશામાં આભાસી બળ અનુભવે છે.
આ આભાસી બળને કારણે વાયુના અણુઓ પાત્રના પાછળના ભાગમાં એકઠા થાય છે.
પરિણામે,પાછળના ભાગમાં વાયુની ઘનતા વધુ હોય છે અને આગળના ભાગમાં ઓછી હોય છે.
વાયુના ગતિવાદ (kinetic theory of gases) મુજબ,દબાણ $P$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P = nkT)$.
આગળના ભાગમાં ઘનતા ઓછી હોવાથી,પાત્રના આગળના ભાગમાં દબાણ ઓછું હોય છે.
ધારો કે પ્રવેગ $+x$ દિશામાં છે. વાયુના અણુઓ $-x$ દિશામાં આભાસી બળ અનુભવે છે.
આ આભાસી બળને કારણે વાયુના અણુઓ પાત્રના પાછળના ભાગમાં એકઠા થાય છે.
પરિણામે,પાછળના ભાગમાં વાયુની ઘનતા વધુ હોય છે અને આગળના ભાગમાં ઓછી હોય છે.
વાયુના ગતિવાદ (kinetic theory of gases) મુજબ,દબાણ $P$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P = nkT)$.
આગળના ભાગમાં ઘનતા ઓછી હોવાથી,પાત્રના આગળના ભાગમાં દબાણ ઓછું હોય છે.
0 likes
View Solution134
DifficultMCQ
એક મોલ આદર્શ વાયુનું તાપમાન $(T)$ તેના કદ $(V)$ સાથે $T = -\alpha V^3 + \beta V^2$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ ધન અચળાંકો છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુનું મહત્તમ દબાણ ............ છે.
A
$\frac{\alpha \beta}{2 R}$
B
$\frac{\beta^2 R}{4 \alpha}$
C
$\frac{(\alpha+\beta) R}{2 \beta^2}$
D
$\frac{\alpha^2 R}{2 \beta}$
Solution
(B) આપેલ છે કે $T = -\alpha V^3 + \beta V^2$ અને $n = 1$ મોલ માટે આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = RT$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $P = \frac{RT}{V}$.
$T$ ના સમીકરણને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \frac{R}{V} (-\alpha V^3 + \beta V^2) = R(-\alpha V^2 + \beta V)$.
મહત્તમ દબાણ શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dP}{dV} = R(-2\alpha V + \beta) = 0$.
આનાથી $V = \frac{\beta}{2\alpha}$ મળે છે.
તે મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ: $\frac{d^2P}{dV^2} = -2\alpha R$,જે ઋણ છે કારણ કે $\alpha > 0$,જે મહત્તમ મૂલ્યની પુષ્ટિ કરે છે.
$V = \frac{\beta}{2\alpha}$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_{max} = R \left( -\alpha \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right)^2 + \beta \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right) \right) = R \left( -\frac{\beta^2}{4\alpha} + \frac{\beta^2}{2\alpha} \right) = R \left( \frac{\beta^2}{4\alpha} \right) = \frac{\beta^2 R}{4\alpha}$.
$T$ ના સમીકરણને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \frac{R}{V} (-\alpha V^3 + \beta V^2) = R(-\alpha V^2 + \beta V)$.
મહત્તમ દબાણ શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dP}{dV} = R(-2\alpha V + \beta) = 0$.
આનાથી $V = \frac{\beta}{2\alpha}$ મળે છે.
તે મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ: $\frac{d^2P}{dV^2} = -2\alpha R$,જે ઋણ છે કારણ કે $\alpha > 0$,જે મહત્તમ મૂલ્યની પુષ્ટિ કરે છે.
$V = \frac{\beta}{2\alpha}$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_{max} = R \left( -\alpha \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right)^2 + \beta \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right) \right) = R \left( -\frac{\beta^2}{4\alpha} + \frac{\beta^2}{2\alpha} \right) = R \left( \frac{\beta^2}{4\alpha} \right) = \frac{\beta^2 R}{4\alpha}$.
0 likes
View Solution135
DifficultMCQ
નાઈટ્રોજન વાયુ એક ઇન્સ્યુલેટેડ પાત્રમાં ભરવામાં આવે છે. જો મોલનો $\alpha$ અંશ કોઈ પણ ઉર્જાના વિનિમય વિના વિયોજિત થાય,તો તેના તાપમાનમાં થતો આંશિક ફેરફાર ............. છે.
A
$\frac{-\alpha}{5+\alpha}$
B
$\frac{\alpha}{3+\alpha}$
C
$\frac{-3 \alpha}{2+\alpha}$
D
$\frac{5 \alpha}{2+3 \alpha}$
Solution
(A) દ્વિપરમાણ્વીય નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) $f = 5$ છે.
એકપરમાણ્વીય નાઈટ્રોજન $(N)$ માટે મુક્તિની માત્રા $f = 3$ છે.
ધારો કે શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n$ છે. જો $\alpha$ અંશ વિયોજિત થાય,તો બાકી રહેલા $N_2$ ના મોલ $n(1-\alpha)$ છે.
દરેક $N_2$ નો મોલ $2$ મોલ $N$ માં વિયોજિત થતો હોવાથી,બનતા $N$ ના મોલ $2n\alpha$ થશે.
પાત્ર ઇન્સ્યુલેટેડ હોવાથી,કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે $(U_i = U_f)$.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા: $U_i = n \times \frac{5}{2} RT$.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા: $U_f = n(1-\alpha) \times \frac{5}{2} RT_2 + 2n\alpha \times \frac{3}{2} RT_2$.
$U_i = U_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{5}{2} nRT = nRT_2 [\frac{5}{2}(1-\alpha) + 3\alpha] = nRT_2 [\frac{5 - 5\alpha + 6\alpha}{2}] = nRT_2 [\frac{5+\alpha}{2}]$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = \frac{5T}{5+\alpha}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T = \frac{5T}{5+\alpha} - T = \frac{5T - 5T - \alpha T}{5+\alpha} = \frac{-\alpha T}{5+\alpha}$.
તાપમાનમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{-\alpha}{5+\alpha}$ છે.
એકપરમાણ્વીય નાઈટ્રોજન $(N)$ માટે મુક્તિની માત્રા $f = 3$ છે.
ધારો કે શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n$ છે. જો $\alpha$ અંશ વિયોજિત થાય,તો બાકી રહેલા $N_2$ ના મોલ $n(1-\alpha)$ છે.
દરેક $N_2$ નો મોલ $2$ મોલ $N$ માં વિયોજિત થતો હોવાથી,બનતા $N$ ના મોલ $2n\alpha$ થશે.
પાત્ર ઇન્સ્યુલેટેડ હોવાથી,કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે $(U_i = U_f)$.
પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા: $U_i = n \times \frac{5}{2} RT$.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા: $U_f = n(1-\alpha) \times \frac{5}{2} RT_2 + 2n\alpha \times \frac{3}{2} RT_2$.
$U_i = U_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{5}{2} nRT = nRT_2 [\frac{5}{2}(1-\alpha) + 3\alpha] = nRT_2 [\frac{5 - 5\alpha + 6\alpha}{2}] = nRT_2 [\frac{5+\alpha}{2}]$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = \frac{5T}{5+\alpha}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T = \frac{5T}{5+\alpha} - T = \frac{5T - 5T - \alpha T}{5+\alpha} = \frac{-\alpha T}{5+\alpha}$.
તાપમાનમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{-\alpha}{5+\alpha}$ છે.
0 likes
View Solution136
MediumMCQ
સમાન કદના બે બંધ પાત્રો $P_0$ દબાણ અને $T_0$ તાપમાને હવા વડે ભરેલા છે. બંને એક સાંકડી નળી દ્વારા જોડાયેલા છે. જો એક પાત્રને $T_0$ તાપમાને અને બીજાને $T$ તાપમાને રાખવામાં આવે,તો પાત્રોમાં નવું દબાણ કેટલું હશે?
A
$\frac{2 P_0 T}{T+T_0}$
B
$\frac{P_0 T}{T+T_0}$
C
$\frac{P_0 T}{2(T+T_0)}$
D
$\frac{T+T_0}{P_0}$
Solution
(A) ધારો કે દરેક પાત્રનું કદ $V$ છે. શરૂઆતમાં,બંને પાત્રોમાં વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{P_0 V}{R T_0} + \frac{P_0 V}{R T_0} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$ છે.
જ્યારે તાપમાન બદલીને અનુક્રમે $T_0$ અને $T$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે નવું દબાણ $P$ છે. વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહેતી હોવાથી:
$n_{total} = \frac{P V}{R T_0} + \frac{P V}{R T} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$.
બંને બાજુથી $V/R$ દૂર કરતા:
$\frac{P}{T_0} + \frac{P}{T} = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ ને સામાન્ય લેતા:
$P \left( \frac{1}{T_0} + \frac{1}{T} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P \left( \frac{T + T_0}{T T_0} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ માટે ઉકેલતા:
$P = \frac{2 P_0}{T_0} \times \frac{T T_0}{T + T_0} = \frac{2 P_0 T}{T + T_0}$.
જ્યારે તાપમાન બદલીને અનુક્રમે $T_0$ અને $T$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે નવું દબાણ $P$ છે. વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહેતી હોવાથી:
$n_{total} = \frac{P V}{R T_0} + \frac{P V}{R T} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$.
બંને બાજુથી $V/R$ દૂર કરતા:
$\frac{P}{T_0} + \frac{P}{T} = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ ને સામાન્ય લેતા:
$P \left( \frac{1}{T_0} + \frac{1}{T} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P \left( \frac{T + T_0}{T T_0} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ માટે ઉકેલતા:
$P = \frac{2 P_0}{T_0} \times \frac{T T_0}{T + T_0} = \frac{2 P_0 T}{T + T_0}$.
0 likes
View Solution137
EasyMCQ
$S.T.P.$ પર $10 \, g$ નાઇટ્રોજનની આંતરિક ઉર્જા આશરે ......... $J$ છે.
A
$2575$
B
$2025$
C
$3721$
D
$4051$
Solution
(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} n R T$ છે.
નાઇટ્રોજન $(N_2)$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,ઓરડાના તાપમાને મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{10 \, g}{28 \, g/mol} = \frac{5}{14} \, mol$ થાય.
$S.T.P.$ પર,તાપમાન $T = 273 \, K$ અને વાયુ અચળાંક $R \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{5}{2} \times \frac{5}{14} \times 8.314 \times 273$.
$U \approx 2025 \, J$.
નાઇટ્રોજન $(N_2)$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,ઓરડાના તાપમાને મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{10 \, g}{28 \, g/mol} = \frac{5}{14} \, mol$ થાય.
$S.T.P.$ પર,તાપમાન $T = 273 \, K$ અને વાયુ અચળાંક $R \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{5}{2} \times \frac{5}{14} \times 8.314 \times 273$.
$U \approx 2025 \, J$.
0 likes
View Solution138
MediumMCQ
$40 \, g/mol$ આણ્વીય દળ ધરાવતો દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ $30^{\circ} C$ તાપમાને એક સખત પાત્રમાં ભરેલો છે. તે $200 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે. જો તેને અચાનક રોકવામાં આવે,તો વાયુના તાપમાનમાં થતો વધારો ......... છે.
A
$\frac{32}{R} ^{\circ} C$
B
$\frac{320}{R} ^{\circ} C$
C
$\frac{3200}{R} ^{\circ} C$
D
$\frac{3.2}{R} ^{\circ} C$
Solution
(B) ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે.
વાયુનું દળ $m = n \times M = n \times 40 \, g = 0.04n \, kg$ થાય.
$v = 200 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતા વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times (0.04n) \times (200)^2 = 0.02n \times 40000 = 800n \, J$.
જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $800n = n \times \frac{5}{2} R \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{800 \times 2}{5R} = \frac{1600}{5R} = \frac{320}{R} ^{\circ} C$.
વાયુનું દળ $m = n \times M = n \times 40 \, g = 0.04n \, kg$ થાય.
$v = 200 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતા વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times (0.04n) \times (200)^2 = 0.02n \times 40000 = 800n \, J$.
જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $800n = n \times \frac{5}{2} R \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{800 \times 2}{5R} = \frac{1600}{5R} = \frac{320}{R} ^{\circ} C$.
0 likes
View Solution139
MediumMCQ
વાયુઓના ગતિવાદમાં,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો સાચું/સાચા છે?
$(i)$ વાયુનું દબાણ અણુઓની સરેરાશ ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(ii)$ અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ (rms speed) દબાણના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(iii)$ પ્રસરણનો દર અણુઓની સરેરાશ ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(iv)$ વાયુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા તેના કેલ્વિન તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(i)$ વાયુનું દબાણ અણુઓની સરેરાશ ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(ii)$ અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ (rms speed) દબાણના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(iii)$ પ્રસરણનો દર અણુઓની સરેરાશ ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(iv)$ વાયુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા તેના કેલ્વિન તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
A
માત્ર $(ii)$ અને $(iii)$
B
માત્ર $(i), (ii)$ અને $(iv)$
C
માત્ર $(i)$ અને $(iii)$
D
માત્ર $(iii)$ અને $(iv)$
Solution
(D) વિધાન $(i)$ ખોટું છે: દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$. તે વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,સરેરાશ ઝડપના નહીં.
વિધાન $(ii)$ ખોટું છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. કારણ કે $P \propto T$,તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{P}$,$P$ ના સમપ્રમાણમાં નથી.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: પ્રસરણનો દર વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $(iv)$ સાચું છે: અણુ દીઠ સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિધાન $(iii)$ અને $(iv)$ સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
વિધાન $(ii)$ ખોટું છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. કારણ કે $P \propto T$,તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{P}$,$P$ ના સમપ્રમાણમાં નથી.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: પ્રસરણનો દર વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $(iv)$ સાચું છે: અણુ દીઠ સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિધાન $(iii)$ અને $(iv)$ સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
0 likes
View Solution140
MediumMCQ
વિધાન $(A):$ આદર્શ વાયુના આપેલા દળના તમામ અણુઓની કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા તેના દબાણ અને કદના ગુણાકાર કરતાં $1.5$ ગણી હોય છે.
કારણ $(R):$ વાયુના અણુઓ એકબીજા સાથે અથડાય છે અને અથડામણને કારણે અણુઓના વેગ બદલાય છે.
કારણ $(R):$ વાયુના અણુઓ એકબીજા સાથે અથડાય છે અને અથડામણને કારણે અણુઓના વેગ બદલાય છે.
A
જો વિધાન અને કારણ બંને સાચા હોય અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી હોય.
B
જો વિધાન અને કારણ બંને સાચા હોય પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી ન હોય.
C
જો વિધાન સાચું હોય પરંતુ કારણ ખોટું હોય.
D
જો વિધાન અને કારણ બંને ખોટા હોય.
Solution
(B) આદર્શ વાયુની કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K)$ સૂત્ર $K = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
આને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ મળે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે વાયુના અણુઓ અથડાય છે અને તેમના વેગ બદલાય છે. આ વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,જે સાચું છે.
જો કે,અણુઓની અથડામણ એ કારણ નથી કે ગતિઊર્જા આ રીતે $PV$ સાથે સંબંધિત છે; $K = 1.5 PV$ નો સંબંધ તાપમાનની વ્યાખ્યા અને આદર્શ વાયુના નિયમ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
આને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ મળે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે વાયુના અણુઓ અથડાય છે અને તેમના વેગ બદલાય છે. આ વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,જે સાચું છે.
જો કે,અણુઓની અથડામણ એ કારણ નથી કે ગતિઊર્જા આ રીતે $PV$ સાથે સંબંધિત છે; $K = 1.5 PV$ નો સંબંધ તાપમાનની વ્યાખ્યા અને આદર્શ વાયુના નિયમ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.
0 likes
View Solution141
MediumMCQ
નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: એક વાયુનું તાપમાન $-73^{\circ} C$ છે. જ્યારે વાયુને $527^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ બમણી થાય છે.
વિધાન $II$: આદર્શ વાયુના દબાણ અને કદનો ગુણાકાર એ અણુઓની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા જેટલો હોય છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
વિધાન $I$: એક વાયુનું તાપમાન $-73^{\circ} C$ છે. જ્યારે વાયુને $527^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ બમણી થાય છે.
વિધાન $II$: આદર્શ વાયુના દબાણ અને કદનો ગુણાકાર એ અણુઓની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા જેટલો હોય છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:
A
વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બંને સાચા છે.
B
વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.
C
વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બંને ખોટા છે.
D
વિધાન $I$ ખોટું છે પરંતુ વિધાન $II$ સાચું છે.
Solution
(B) વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ:
વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -73^{\circ} C = 200 K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 527^{\circ} C = 800 K$.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$v_{rms,2} = 2 v_{rms,1}$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ:
આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ-કદનો ગુણાકાર $PV = nRT$ છે.
આદર્શ વાયુની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $(KE_{trans})$ નું સૂત્ર $KE_{trans} = \frac{3}{2} nRT$ છે.
તેથી,$PV = \frac{2}{3} KE_{trans}$.
આમ,$PV \neq KE_{trans}$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -73^{\circ} C = 200 K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 527^{\circ} C = 800 K$.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$v_{rms,2} = 2 v_{rms,1}$. તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ:
આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ-કદનો ગુણાકાર $PV = nRT$ છે.
આદર્શ વાયુની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $(KE_{trans})$ નું સૂત્ર $KE_{trans} = \frac{3}{2} nRT$ છે.
તેથી,$PV = \frac{2}{3} KE_{trans}$.
આમ,$PV \neq KE_{trans}$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
1 likes
View Solution142
MediumMCQ
$1 \text{ cm}^3$ દીઠ હવાની અણુઓની સંખ્યા $3 \times 10^{19}$ થી વધીને $12 \times 10^{19}$ થાય છે. સંખ્યામાં વધારો થયા પહેલા અને પછી હવાની અણુઓની અથડામણ આવૃત્તિનો ગુણોત્તર અનુક્રમે $.........$ છે.
A
$1.25$
B
$0.25$
C
$0.75$
D
$0.50$
Solution
(B) ગેસના અણુઓની અથડામણ આવૃત્તિ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \sqrt{2} \pi d^2 v n_v$
જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે,$v$ એ સરેરાશ ઝડપ છે,અને $n_v$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે અથડામણ આવૃત્તિ એ સંખ્યા ઘનતાના સીધા પ્રમાણમાં છે: $f \propto n_v$.
પ્રારંભિક સંખ્યા ઘનતા $n_{v1} = 3 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ અને અંતિમ સંખ્યા ઘનતા $n_{v2} = 12 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ આપેલ છે.
અથડામણ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_{v1}}{n_{v2}} = \frac{3 \times 10^{19}}{12 \times 10^{19}} = \frac{3}{12} = 0.25$.
$f = \sqrt{2} \pi d^2 v n_v$
જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે,$v$ એ સરેરાશ ઝડપ છે,અને $n_v$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે અથડામણ આવૃત્તિ એ સંખ્યા ઘનતાના સીધા પ્રમાણમાં છે: $f \propto n_v$.
પ્રારંભિક સંખ્યા ઘનતા $n_{v1} = 3 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ અને અંતિમ સંખ્યા ઘનતા $n_{v2} = 12 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ આપેલ છે.
અથડામણ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_{v1}}{n_{v2}} = \frac{3 \times 10^{19}}{12 \times 10^{19}} = \frac{3}{12} = 0.25$.
0 likes
View Solution143
DifficultMCQ
જો $27^{\circ} C$ તાપમાને બંધ પાત્રમાં હાઇડ્રોજન અણુઓની અથડામણ આવૃત્તિ $Z$ હોય,તો $127^{\circ} C$ તાપમાને તે જ તંત્રની અથડામણ આવૃત્તિ કેટલી હશે?
A
$\frac{\sqrt{3}}{2} Z$
B
$\frac{4}{3} Z$
C
$\frac{2}{\sqrt{3}} Z$
D
$\frac{3}{4} Z$
Solution
(C) વાયુના અણુઓની અથડામણ આવૃત્તિ $Z$ એ સંબંધ $Z \propto n \sigma v_{avg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે,$\sigma$ એ અથડામણ ક્રોસ-સેક્શન છે,અને $v_{avg}$ એ સરેરાશ ઝડપ છે.
બંધ પાત્રમાં,સંખ્યા ઘનતા $n$ અને અથડામણ ક્રોસ-સેક્શન $\sigma$ અચળ રહે છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
તેથી,અથડામણ આવૃત્તિ $Z \propto \sqrt{T}$.
અહીં,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ અને $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Z_2}{Z_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,$Z_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} Z$.
બંધ પાત્રમાં,સંખ્યા ઘનતા $n$ અને અથડામણ ક્રોસ-સેક્શન $\sigma$ અચળ રહે છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
તેથી,અથડામણ આવૃત્તિ $Z \propto \sqrt{T}$.
અહીં,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ અને $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Z_2}{Z_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,$Z_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} Z$.
0 likes
View Solution144
AdvancedMCQ
એક નિશ્ચિત થર્મલી વાહક નળાકારની ત્રિજ્યા $R$ અને ઊંચાઈ $L_0$ છે. નળાકાર તેના તળિયે ખુલ્લો છે અને તેની ટોચ પર એક નાનું છિદ્ર છે. $M$ દળનો પિસ્ટન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ટોચની સપાટીથી $L$ અંતરે રાખવામાં આવ્યો છે. વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ છે.
$1.$ પિસ્ટનને હવે ધીમેથી બહાર ખેંચવામાં આવે છે અને ટોચથી $2L$ અંતરે રાખવામાં આવે છે. ત્યારે નળાકારમાં તેની ટોચ અને પિસ્ટન વચ્ચેનું દબાણ કેટલું હશે?
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ જ્યારે પિસ્ટન ટોચથી $2L$ અંતરે હોય,ત્યારે ટોચ પરનું છિદ્ર સીલ કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ પિસ્ટનને એવી સ્થિતિમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે જ્યાં તે સંતુલનમાં રહી શકે. આ સ્થિતિમાં,ટોચથી પિસ્ટનનું અંતર કેટલું હશે?
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ પિસ્ટનને નળાકારમાંથી સંપૂર્ણપણે બહાર કાઢી લેવામાં આવે છે. ટોચ પરનું છિદ્ર સીલ કરવામાં આવે છે. એક પાણીની ટાંકીને નળાકારની નીચે લાવવામાં આવે છે અને એવી સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવે છે કે જેથી ટાંકીમાં પાણીની સપાટી નળાકારની ટોચ જેટલી જ ઊંચાઈએ હોય,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. પાણીની ઘનતા $\rho$ છે. સંતુલનમાં,નળાકારમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $H$ નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સંતોષે છે?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(D) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
$1.$ પિસ્ટનને હવે ધીમેથી બહાર ખેંચવામાં આવે છે અને ટોચથી $2L$ અંતરે રાખવામાં આવે છે. ત્યારે નળાકારમાં તેની ટોચ અને પિસ્ટન વચ્ચેનું દબાણ કેટલું હશે?
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ જ્યારે પિસ્ટન ટોચથી $2L$ અંતરે હોય,ત્યારે ટોચ પરનું છિદ્ર સીલ કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ પિસ્ટનને એવી સ્થિતિમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે જ્યાં તે સંતુલનમાં રહી શકે. આ સ્થિતિમાં,ટોચથી પિસ્ટનનું અંતર કેટલું હશે?
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ પિસ્ટનને નળાકારમાંથી સંપૂર્ણપણે બહાર કાઢી લેવામાં આવે છે. ટોચ પરનું છિદ્ર સીલ કરવામાં આવે છે. એક પાણીની ટાંકીને નળાકારની નીચે લાવવામાં આવે છે અને એવી સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવે છે કે જેથી ટાંકીમાં પાણીની સપાટી નળાકારની ટોચ જેટલી જ ઊંચાઈએ હોય,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. પાણીની ઘનતા $\rho$ છે. સંતુલનમાં,નળાકારમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $H$ નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સંતોષે છે?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(D) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.
A
$B, A, D$
B
$A, D, C$
C
$C, A, D$
D
$B, D, C$
Solution
(B,D,C) $1.$ નળાકાર થર્મલી વાહક હોવાથી અને પ્રક્રિયા ધીમી હોવાથી,તે સમતાપી છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = P_0$,$V_1 = \pi R^2 L$. અંતિમ સ્થિતિ: $V_2 = \pi R^2 (2L)$. બોઈલના નિયમ મુજબ,$P_1 V_1 = P_2 V_2 \implies P_0 (\pi R^2 L) = P_2 (\pi R^2 2L) \implies P_2 = \frac{P_0}{2}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$2.$ ધારો કે નવું સંતુલન અંતર $x$ છે. અંદરનું દબાણ $P$ છે. સંતુલન સ્થિતિ: $P_0 \pi R^2 = P \pi R^2 + Mg \implies P = P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}$. $2L$ વાળી સ્થિતિથી સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરતા: $P_{initial} V_{initial} = P_{final} V_{final} \implies P_0 (\pi R^2 2L) = (P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}) (\pi R^2 x) \implies x = \frac{P_0 (2L)}{P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}} = \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$3.$ હવાની પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_0, V_0 = \pi R^2 L_0$. અંતિમ સ્થિતિ: $P, V = \pi R^2 (L_0 - H)$. બોઈલના નિયમ મુજબ: $P_0 (\pi R^2 L_0) = P (\pi R^2 (L_0 - H)) \implies P = \frac{P_0 L_0}{L_0 - H}$. હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનથી: $P + \rho g (L_0 - H) = P_0 \implies \frac{P_0 L_0}{L_0 - H} + \rho g (L_0 - H) = P_0$. $(L_0 - H)$ વડે ગુણતા: $P_0 L_0 + \rho g (L_0 - H)^2 = P_0 (L_0 - H) \implies \rho g (L_0 - H)^2 - P_0 (L_0 - H) + P_0 L_0 = 0$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$2.$ ધારો કે નવું સંતુલન અંતર $x$ છે. અંદરનું દબાણ $P$ છે. સંતુલન સ્થિતિ: $P_0 \pi R^2 = P \pi R^2 + Mg \implies P = P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}$. $2L$ વાળી સ્થિતિથી સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરતા: $P_{initial} V_{initial} = P_{final} V_{final} \implies P_0 (\pi R^2 2L) = (P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}) (\pi R^2 x) \implies x = \frac{P_0 (2L)}{P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}} = \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$3.$ હવાની પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_0, V_0 = \pi R^2 L_0$. અંતિમ સ્થિતિ: $P, V = \pi R^2 (L_0 - H)$. બોઈલના નિયમ મુજબ: $P_0 (\pi R^2 L_0) = P (\pi R^2 (L_0 - H)) \implies P = \frac{P_0 L_0}{L_0 - H}$. હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનથી: $P + \rho g (L_0 - H) = P_0 \implies \frac{P_0 L_0}{L_0 - H} + \rho g (L_0 - H) = P_0$. $(L_0 - H)$ વડે ગુણતા: $P_0 L_0 + \rho g (L_0 - H)^2 = P_0 (L_0 - H) \implies \rho g (L_0 - H)^2 - P_0 (L_0 - H) + P_0 L_0 = 0$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
0 likes
View Solution145
DifficultMCQ
$STATEMENT-1$: આદર્શ વાયુના આપેલા દળના તમામ અણુઓની કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા તેના દબાણ અને કદના ગુણાકાર કરતાં $1.5$ ગણી હોય છે. કારણ કે
$STATEMENT-2$: વાયુના અણુઓ એકબીજા સાથે અથડાય છે અને અથડામણને કારણે અણુઓના વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
$STATEMENT-2$: વાયુના અણુઓ એકબીજા સાથે અથડાય છે અને અથડામણને કારણે અણુઓના વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
A
$STATEMENT-1$ સાચું છે,$STATEMENT-2$ સાચું છે; $STATEMENT-2$ એ $STATEMENT-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.
B
$STATEMENT-1$ સાચું છે,$STATEMENT-2$ સાચું છે; $STATEMENT-2$ એ $STATEMENT-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
C
$STATEMENT-1$ સાચું છે,$STATEMENT-2$ ખોટું છે.
D
$STATEMENT-1$ ખોટું છે,$STATEMENT-2$ સાચું છે.
Solution
(B) આદર્શ વાયુ માટે,કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{3}{2} nRT$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
$nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ મળે છે.
આમ,$STATEMENT-1$ સાચું છે.
$STATEMENT-2$ વાયુમાં અણુઓની અથડામણની પ્રકૃતિનું વર્ણન કરે છે,જે વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ગતિઊર્જા શા માટે $PV$ સાથે $1.5$ ના ગુણોત્તરમાં સંબંધિત છે. તેથી,$STATEMENT-2$ સાચું છે પરંતુ તે $STATEMENT-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
$nRT$ ની જગ્યાએ $PV$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ મળે છે.
આમ,$STATEMENT-1$ સાચું છે.
$STATEMENT-2$ વાયુમાં અણુઓની અથડામણની પ્રકૃતિનું વર્ણન કરે છે,જે વાયુના ગતિવાદનો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ગતિઊર્જા શા માટે $PV$ સાથે $1.5$ ના ગુણોત્તરમાં સંબંધિત છે. તેથી,$STATEMENT-2$ સાચું છે પરંતુ તે $STATEMENT-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
0 likes
View Solution146
MediumMCQ
એક આદર્શ વાયુ ઉષ્માગતિજ સંતુલનમાં છે. વાયુના એક અણુની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $n$ છે. વાયુના એક મોલની આંતરિક ઉર્જા $U_n$ છે અને વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v_n$ છે. નિશ્ચિત તાપમાન અને દબાણે,નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?
A
$v_3 < v_6$ અને $U_3 > U_6$
B
$v_5 > v_3$ અને $U_3 > U_5$
C
$v_5 > v_7$ અને $U_5 < U_7$
D
$v_6 < v_7$ અને $U_6 < U_7$
Solution
(C) આદર્શ વાયુના એક મોલની આંતરિક ઉર્જા $U_n = \frac{n}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$U_n$ એ $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,જો $n_1 < n_2$ હોય,તો $U_{n_1} < U_{n_2}$ થાય.
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v_n = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma = 1 + \frac{2}{n}$.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા,$v_n = \sqrt{\left(1 + \frac{2}{n}\right) \frac{RT}{M}}$ મળે છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ પદ $(1 + \frac{2}{n})$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $n$ વધવાની સાથે $v_n$ ઘટે છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $n=5$ અને $n=7$. $5 < 7$ હોવાથી,$U_5 < U_7$ અને $v_5 > v_7$ થાય છે. આ શરત સાચી છે.
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v_n = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma = 1 + \frac{2}{n}$.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા,$v_n = \sqrt{\left(1 + \frac{2}{n}\right) \frac{RT}{M}}$ મળે છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ પદ $(1 + \frac{2}{n})$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $n$ વધવાની સાથે $v_n$ ઘટે છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $n=5$ અને $n=7$. $5 < 7$ હોવાથી,$U_5 < U_7$ અને $v_5 > v_7$ થાય છે. આ શરત સાચી છે.
0 likes
View Solution147
AdvancedMCQ
એક સપાટ પ્લેટ અચળ બળ $F$ ની અસર હેઠળ વાયુમાં તેના સમતલને લંબ ગતિ કરી રહી છે. વાયુ ખૂબ જ ઓછા દબાણે રાખવામાં આવ્યો છે. પ્લેટની ઝડપ $v$ એ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $u$ કરતા ઘણી ઓછી છે. નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
A
$A, C, D$
B
$A, C, B$
C
$A, B, D$
D
$A, C$
Solution
(C) જ્યારે પ્લેટ $v$ ઝડપે વાયુમાં ગતિ કરે છે જ્યાં અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $u$ $(v \ll u)$ છે,ત્યારે આગળની સપાટી પર એકમ સમયમાં થતી અથડામણોની સંખ્યા $(u + v)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે અને પાછળની સપાટી પર $(u - v)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
દરેક અથડામણ સાપેક્ષ વેગના પ્રમાણમાં વેગમાનમાં ફેરફાર કરે છે. ચોખ્ખું અવરોધક બળ $F_{res}$ એ વેગમાન સ્થાનાંતરના દરો વચ્ચેના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $F_{res} \propto (u+v)^2 - (u-v)^2 = 4uv$ તરફ દોરી જાય છે. $v \ll u$ હોવાથી,આ $F_{res} \propto uv$ માં સરળ બને છે. આમ,અવરોધક બળ $v$ ના પ્રમાણમાં છે.
$F_{res} \propto v$ હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $m(dv/dt) = F - kv$ છે. જેમ $v$ વધે છે,$F_{res}$ વધે છે જ્યાં સુધી $F_{res} = F$ ન થાય,તે બિંદુએ પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે અને પ્લેટ ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,વિકલ્પો $A$,$B$ અને $D$ સાચા છે.
દરેક અથડામણ સાપેક્ષ વેગના પ્રમાણમાં વેગમાનમાં ફેરફાર કરે છે. ચોખ્ખું અવરોધક બળ $F_{res}$ એ વેગમાન સ્થાનાંતરના દરો વચ્ચેના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $F_{res} \propto (u+v)^2 - (u-v)^2 = 4uv$ તરફ દોરી જાય છે. $v \ll u$ હોવાથી,આ $F_{res} \propto uv$ માં સરળ બને છે. આમ,અવરોધક બળ $v$ ના પ્રમાણમાં છે.
$F_{res} \propto v$ હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $m(dv/dt) = F - kv$ છે. જેમ $v$ વધે છે,$F_{res}$ વધે છે જ્યાં સુધી $F_{res} = F$ ન થાય,તે બિંદુએ પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે અને પ્લેટ ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,વિકલ્પો $A$,$B$ અને $D$ સાચા છે.
0 likes
View Solution148
AdvancedMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બે પાત્રોમાં પોટેશિયમ પરમેંગેનેટ $(KMnO_4)$ ના વિવિધ સાંદ્રતા $n_1$ અને $n_2$ $(n_1 > n_2)$ અણુઓ પ્રતિ એકમ કદ ધરાવતા પાણીના દ્રાવણો (તાપમાન $T$ પર) છે,જ્યાં $\Delta n = (n_1 - n_2) \ll n_1$ છે. જ્યારે તેઓને $\ell$ લંબાઈ અને $S$ આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતી નળી દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $KMnO_4$ નળી દ્વારા ડાબેથી જમણા પાત્રમાં પ્રસરણ પામવાનું શરૂ કરે છે. અણુઓના સમૂહને મંદ આદર્શ વાયુઓ તરીકે વર્તતા ગણો અને બે પાત્રોમાં તેમના આંશિક દબાણનો તફાવત પ્રસરણનું કારણ બને છે. અણુઓની ઝડપ $v$ દરેક અણુ પર લાગતા સ્નિગ્ધ બળ $-\beta v$ દ્વારા મર્યાદિત છે,જ્યાં $\beta$ એક અચળાંક છે. $(\Delta n)^2$ ના ક્રમના તમામ પદોને અવગણતા,નીચેનામાંથી કયું/કયા સાચું/સાચા છે? ($k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે)
$(A)$ અણુઓને નળીમાં ગતિ કરાવતું બળ $\Delta n k_B T S$ છે
$(B)$ બળ સંતુલન સૂચવે છે કે $n_1 \beta v \ell = \Delta n k_B T$
$(C)$ પ્રતિ સેકન્ડ નળીમાંથી પસાર થતા અણુઓની કુલ સંખ્યા $\left(\frac{\Delta n}{\ell}\right)\left(\frac{k_B T}{\beta}\right) S$ છે
$(D)$ નળી દ્વારા સ્થાનાંતરિત થતા અણુઓનો દર સમય સાથે બદલાતો નથી
$(A)$ અણુઓને નળીમાં ગતિ કરાવતું બળ $\Delta n k_B T S$ છે
$(B)$ બળ સંતુલન સૂચવે છે કે $n_1 \beta v \ell = \Delta n k_B T$
$(C)$ પ્રતિ સેકન્ડ નળીમાંથી પસાર થતા અણુઓની કુલ સંખ્યા $\left(\frac{\Delta n}{\ell}\right)\left(\frac{k_B T}{\beta}\right) S$ છે
$(D)$ નળી દ્વારા સ્થાનાંતરિત થતા અણુઓનો દર સમય સાથે બદલાતો નથી
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$A, B$
D
$A, C$
Solution
(A) બે પાત્રો વચ્ચેના દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = (n_1 - n_2) k_B T = \Delta n k_B T$ છે.
નળીમાં રહેલા અણુઓ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = \Delta P \cdot S = \Delta n k_B T S$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
નળીમાં રહેલા અણુઓ માટે,દરેક અણુ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $\beta v$ છે. નળીમાં અણુઓની કુલ સંખ્યા $N = n_1 \cdot S \cdot \ell$ છે (કારણ કે $\Delta n \ll n_1$,આપણે નળીમાં સાંદ્રતાને $n_1$ તરીકે ધારીએ છીએ).
ડ્રાઇવિંગ ફોર્સને કુલ સ્નિગ્ધ બળ સાથે સરખાવતા: $F = N \cdot \beta v = (n_1 S \ell) \beta v$.
તેથી,$\Delta n k_B T S = n_1 \beta v \ell S$,જેનું સાદું રૂપ $\Delta n k_B T = n_1 \beta v \ell$ થાય છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
એકમ સમયમાં નળીમાંથી પસાર થતા અણુઓની સંખ્યા (દર) $R = n_1 v S$ છે.
બળ સંતુલન પરથી,$v = \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell}$.
$v$ ની કિંમત દરના સમીકરણમાં મૂકતા: $R = n_1 \left( \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell} \right) S = \left( \frac{\Delta n}{\ell} \right) \left( \frac{k_B T}{\beta} \right) S$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
જેમ અણુઓ પ્રસરણ પામે છે,તેમ $\Delta n$ સમય સાથે ઘટે છે,તેથી સ્થાનાંતરણનો દર $R$ સમય સાથે ઘટે છે. આમ,$(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A), (B),$ અને $(C)$ છે.
નળીમાં રહેલા અણુઓ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = \Delta P \cdot S = \Delta n k_B T S$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
નળીમાં રહેલા અણુઓ માટે,દરેક અણુ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $\beta v$ છે. નળીમાં અણુઓની કુલ સંખ્યા $N = n_1 \cdot S \cdot \ell$ છે (કારણ કે $\Delta n \ll n_1$,આપણે નળીમાં સાંદ્રતાને $n_1$ તરીકે ધારીએ છીએ).
ડ્રાઇવિંગ ફોર્સને કુલ સ્નિગ્ધ બળ સાથે સરખાવતા: $F = N \cdot \beta v = (n_1 S \ell) \beta v$.
તેથી,$\Delta n k_B T S = n_1 \beta v \ell S$,જેનું સાદું રૂપ $\Delta n k_B T = n_1 \beta v \ell$ થાય છે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
એકમ સમયમાં નળીમાંથી પસાર થતા અણુઓની સંખ્યા (દર) $R = n_1 v S$ છે.
બળ સંતુલન પરથી,$v = \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell}$.
$v$ ની કિંમત દરના સમીકરણમાં મૂકતા: $R = n_1 \left( \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell} \right) S = \left( \frac{\Delta n}{\ell} \right) \left( \frac{k_B T}{\beta} \right) S$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
જેમ અણુઓ પ્રસરણ પામે છે,તેમ $\Delta n$ સમય સાથે ઘટે છે,તેથી સ્થાનાંતરણનો દર $R$ સમય સાથે ઘટે છે. આમ,$(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A), (B),$ અને $(C)$ છે.
0 likes
View Solution149
AdvancedMCQ
$8 \ m$ ઊંચાઈનું એક ઉષ્મીય રીતે અલગ કરેલું નળાકાર બંધ પાત્ર ઊભું રાખેલું છે. તે $8.3 \ kg$ દળના ડાયાથર્મિક (સંપૂર્ણ ઉષ્મા વાહક) ઘર્ષણરહિત વિભાજક દ્વારા બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે. આમ,વિભાજક શરૂઆતમાં ઉપરથી $4 \ m$ ના અંતરે રાખવામાં આવે છે. પાત્રના બંને ભાગોમાં $300 \ K$ તાપમાને $0.1 \ mol$ આદર્શ વાયુ ભરેલો છે. હવે વિભાજકને મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તે પાત્રના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં વાયુ લીક થયા વગર ગતિ કરે છે. જ્યારે સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત થાય,ત્યારે ઉપરથી વિભાજકનું અંતર ($m$ માં) કેટલું હશે? (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ અને સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ લો).
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(D) ધારો કે નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. શરૂઆતમાં,વિભાજક ઉપરથી $4 \ m$ પર છે,તેથી દરેક ભાગનું કદ $V_0 = A \times 4$ છે.
વિભાજક ડાયાથર્મિક હોવાથી,બંને ભાગો માટે તાપમાન $T = 300 \ K$ અચળ રહે છે.
ધારો કે વિભાજક તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી $x$ અંતર નીચે જાય છે. નવા કદ $V_1' = A(4 + x)$ અને $V_2' = A(4 - x)$ છે.
બોઈલના નિયમ $(PV = nRT)$ નો ઉપયોગ કરતા,સંતુલન સમયે બંને ભાગોમાં દબાણ:
$P_1' = \frac{nRT}{V_1'} = \frac{nRT}{A(4+x)}$ અને $P_2' = \frac{nRT}{V_2'} = \frac{nRT}{A(4-x)}$.
સંતુલન સમયે,વિભાજક પર બળનું સંતુલન:
$(P_2' - P_1')A = mg$
$\left[ \frac{nRT}{A(4-x)} - \frac{nRT}{A(4+x)} \right] A = mg$
$nRT \left[ \frac{1}{4-x} - \frac{1}{4+x} \right] = mg$
કિંમતો મૂકતા $n = 0.1 \ mol$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$,$T = 300 \ K$,$m = 8.3 \ kg$,અને $g = 10 \ m/s^2$:
$(0.1)(8.3)(300) \left[ \frac{(4+x) - (4-x)}{16-x^2} \right] = (8.3)(10)$
$249 \left[ \frac{2x}{16-x^2} \right] = 83$
$3 \left( \frac{2x}{16-x^2} \right) = 1$
$6x = 16 - x^2 \implies x^2 + 6x - 16 = 0$
$(x+8)(x-2) = 0$. $x > 0$ હોવાથી,$x = 2 \ m$.
ઉપરથી વિભાજકનું અંતર $4 + x = 4 + 2 = 6 \ m$ થશે.
વિભાજક ડાયાથર્મિક હોવાથી,બંને ભાગો માટે તાપમાન $T = 300 \ K$ અચળ રહે છે.
ધારો કે વિભાજક તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી $x$ અંતર નીચે જાય છે. નવા કદ $V_1' = A(4 + x)$ અને $V_2' = A(4 - x)$ છે.
બોઈલના નિયમ $(PV = nRT)$ નો ઉપયોગ કરતા,સંતુલન સમયે બંને ભાગોમાં દબાણ:
$P_1' = \frac{nRT}{V_1'} = \frac{nRT}{A(4+x)}$ અને $P_2' = \frac{nRT}{V_2'} = \frac{nRT}{A(4-x)}$.
સંતુલન સમયે,વિભાજક પર બળનું સંતુલન:
$(P_2' - P_1')A = mg$
$\left[ \frac{nRT}{A(4-x)} - \frac{nRT}{A(4+x)} \right] A = mg$
$nRT \left[ \frac{1}{4-x} - \frac{1}{4+x} \right] = mg$
કિંમતો મૂકતા $n = 0.1 \ mol$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$,$T = 300 \ K$,$m = 8.3 \ kg$,અને $g = 10 \ m/s^2$:
$(0.1)(8.3)(300) \left[ \frac{(4+x) - (4-x)}{16-x^2} \right] = (8.3)(10)$
$249 \left[ \frac{2x}{16-x^2} \right] = 83$
$3 \left( \frac{2x}{16-x^2} \right) = 1$
$6x = 16 - x^2 \implies x^2 + 6x - 16 = 0$
$(x+8)(x-2) = 0$. $x > 0$ હોવાથી,$x = 2 \ m$.
ઉપરથી વિભાજકનું અંતર $4 + x = 4 + 2 = 6 \ m$ થશે.
0 likes
View Solution150
MediumMCQ
એક બંધ પાત્રમાં $300 \ K$ તાપમાને $10 \ g$ આદર્શ વાયુ $X$ છે,જે $2 \ atm$ દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે. સમાન તાપમાને,તેમાં $80 \ g$ બીજો આદર્શ વાયુ $Y$ ઉમેરવામાં આવે છે અને દબાણ $6 \ atm$ થાય છે. $300 \ K$ તાપમાને $X$ અને $Y$ ના સરેરાશ વર્ગિત વેગ (root mean square velocity) નો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A
$2 \sqrt{2}: \sqrt{3}$
B
$2 \sqrt{2}: 1$
C
$1: 2$
D
$2: 1$
Solution
(D) આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અહીં $T$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$n \propto P$ થાય.
ધારો કે $X$ અને $Y$ વાયુના મોલની સંખ્યા અનુક્રમે $n_X$ અને $n_Y$ છે.
વાયુ $X$ માટે: $n_X = \frac{10}{M_X} \propto 2 \ atm$ ---$(1)$
જ્યારે વાયુ $Y$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $6 \ atm$ થાય છે. તેથી વાયુ $Y$ ને કારણે દબાણ $6 - 2 = 4 \ atm$ થાય.
વાયુ $Y$ માટે: $n_Y = \frac{80}{M_Y} \propto 4 \ atm$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10/M_X}{80/M_Y} = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{10}{M_X} \times \frac{M_Y}{80} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{8M_X} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{M_X} = 4$.
સરેરાશ વર્ગિત વેગનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,તેથી $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,$\frac{(V_{rms})_X}{(V_{rms})_Y} = \sqrt{\frac{M_Y}{M_X}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.
અહીં $T$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$n \propto P$ થાય.
ધારો કે $X$ અને $Y$ વાયુના મોલની સંખ્યા અનુક્રમે $n_X$ અને $n_Y$ છે.
વાયુ $X$ માટે: $n_X = \frac{10}{M_X} \propto 2 \ atm$ ---$(1)$
જ્યારે વાયુ $Y$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $6 \ atm$ થાય છે. તેથી વાયુ $Y$ ને કારણે દબાણ $6 - 2 = 4 \ atm$ થાય.
વાયુ $Y$ માટે: $n_Y = \frac{80}{M_Y} \propto 4 \ atm$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10/M_X}{80/M_Y} = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{10}{M_X} \times \frac{M_Y}{80} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{8M_X} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{M_X} = 4$.
સરેરાશ વર્ગિત વેગનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,તેથી $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,$\frac{(V_{rms})_X}{(V_{rms})_Y} = \sqrt{\frac{M_Y}{M_X}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.
0 likes
View SolutionKinetic Theory of Gases — Mix Examples-Kinetic Theory of Gases · Frequently Asked Questions
1Are these Kinetic Theory of Gases questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Kinetic Theory of Gases Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.