Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Gujarati

(C) શરૂઆતના મોલ $n_i = 18.20 \ \text{mol}$.
કદ $V = 30 \ \text{L} = 30 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
તાપમાન $T = 27^{\circ} \text{C} = 300 \ \text{K}$.
ગેજ દબાણ $P_g = 11 \ \text{atm}$.
નિર્પેક્ષ દબાણ $P_{abs} = P_g + P_{atm} = 11 + 1 = 12 \ \text{atm}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, અંતિમ મોલ $n_f$:
$n_f = \frac{P_{abs} V}{RT} = \frac{12 \times 1.01 \times 10^5 \times 30 \times 10^{-3}}{(100/12) \times 300} = 14.544 \ \text{mol}$.
બહાર કાઢેલ ઓક્સિજનના મોલ $\Delta n = n_i - n_f = 18.20 - 14.544 = 3.656 \ \text{mol}$.
બહાર કાઢેલ ઓક્સિજનનું દળ $m = \Delta n \times \text{આણ્વીય દળ} = 3.656 \times 32 \ \text{g} = 116.992 \ \text{g} \approx 0.117 \ \text{kg}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, દળ $0.116 \ \text{kg}$ છે.

(A) સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x = \frac{L}{2} - \frac{2L}{5} = \frac{L}{10}$ છે.
પિસ્ટનના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામને ધ્યાનમાં લેતા,તેના પર લાગતા બળો ડાબા વાયુનું દબાણ $(P_1 A)$,જમણા વાયુનું દબાણ $(P_2 A)$ અને સ્પ્રિંગ બળ $(kx)$ છે.
પિસ્ટન સંતુલનમાં હોવાથી,$P_1 A = P_2 A + kx$,જે આપે છે $P_1 = P_2 + \frac{kx}{A} = P_2 + \frac{k(L/10)}{A} = P_2 + \frac{kL}{10A}$.
પિસ્ટન થર્મલી વાહક હોવાથી,બંને ખાનામાં વાયુનું તાપમાન $T$ સમાન છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $P_1 V_1 = n_1 RT$ અને $P_2 V_2 = n_2 RT$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = V_2 = A(L/2)$,તેથી $\frac{P_1}{P_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$,એટલે કે $P_1 = 1.5 P_2$.
સંતુલન સમીકરણમાં $P_1$ ની કિંમત મૂકતા: $1.5 P_2 = P_2 + \frac{kL}{10A}$.
$0.5 P_2 = \frac{kL}{10A} \implies P_2 = \frac{kL}{5A} = \frac{kL}{A} \times 0.2$.
આમ,$\alpha = 0.2$.

(B) પાત્રની અંદર રહેલા વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $m$ એ મોલર દળ છે.
જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\Delta U = K.E.$
કિંમતો મૂકતા: $n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5}{2} R \Delta T = \frac{1}{2} m V^2$.
તેથી,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = \frac{mV^2}{5R}$ છે.

(A) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક (perfectly elastic) માનવામાં આવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
તેથી,જ્યારે વાયુના બે અણુઓ અથડાય છે,ત્યારે ગતિઊર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.

(A) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુ દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ એ પાત્રની દીવાલો સાથે વાયુના અણુઓની અથડામણને કારણે હોય છે,અણુઓ વચ્ચે થતી અથડામણને કારણે નહીં.
તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
વિધાન $B$ એ ગતિવાદનું મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે.
વિધાન $C$ એ આદર્શ વાયુ માટેની પ્રમાણભૂત ધારણા છે.
વિધાન $D$ પણ એક મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે,જેમાં માનવામાં આવે છે કે અથડામણ સિવાય કોઈ આંતર-આણ્વિય બળો અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(B) ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. વાયુનું કુલ દળ $M = nm$ છે.
પાત્રની ગતિને કારણે વાયુની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} nm V^2$ છે.
જ્યારે પાત્રને અચાનક સ્થિર કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જામાં થતા ઘટાડાને આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2} nm V^2 = \frac{3}{2} n R \Delta T$.
બંને બાજુથી $n$ અને $\frac{1}{2}$ ને દૂર કરતા:
$m V^2 = 3 R \Delta T$.
તેથી,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = \frac{mV^2}{3 R}$ છે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = E_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_2 = eV$ છે.
જો $E_1 = E_2$ હોય,તો:
$\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = eV$
તેથી,$T = \frac{2 N eV}{3 R}$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{3}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$PV = \frac{2}{3} K$. વિકલ્પ $A$ અને $D$ ખોટા છે.
r.m.s. ઝડપ માટે,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
વિકલ્પ $B$ માં: $T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$ અને $T_2 = 527 + 273 = 800 \ K$. ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$. આમ,r.m.s. ઝડપ બમણી થાય છે. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
વિકલ્પ $C$ માં: $T_1 = -100 + 273 = 173 \ K$ અને $T_2 = 627 + 273 = 900 \ K$. ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{900}{173}} \neq 4$. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $V_{rms}^2 \propto T$.
જ્યારે r.m.s. વેગ બમણો થાય છે,ત્યારે નવો વેગ $V_{rms}' = 2V_{rms}$ થાય છે.
તેથી,$(2V_{rms})^2 \propto T_2 \Rightarrow 4(V_{rms}^2) \propto T_2$.
કારણ કે $V_{rms}^2 \propto T_1$,આપણને $T_2 = 4T_1$ મળે છે.
ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$V \propto T$.
આમ,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{V}{V_2} = \frac{T_1}{4T_1} = \frac{1}{4}$.
તેથી,નવું કદ $V_2 = 4V$ થશે.

(A) $S.T.P.$ પર,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \ K$ છે.
પ્રક્રિયા અચળ દબાણે થતી હોવાથી,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ $V \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = 3V_1$,તેથી $\frac{3V_1}{V_1} = \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow T_2 = 3T_1$.
તેથી,$T_2 = 3 \times 273 = 819 \ K$.
$r.m.s.$ ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
આમ,$\frac{V_{rms}'}{V_{rms}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{3T_1}{T_1}} = \sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $V_{rms} = u$,તેથી નવી $r.m.s.$ ઝડપ $V_{rms}' = \sqrt{3} u \ m/s$ થશે.

(B) વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ (r.m.s.) વેગ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ છે કે r.m.s. વેગ $2$ ના અવયવથી ઘટે છે,તેથી $v_2 = \frac{v_1}{2}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,જે આપણને $\frac{T_1}{T_2} = 4$ આપે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_1}{T_2}$ મળે છે.
$\gamma = 1.5$ અને $\frac{T_1}{T_2} = 4$ મૂકતા,આપણને $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1.5-1} = 4$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{0.5} = 4$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = 4^2 = 16$ મળે છે.
આમ,વાયુનું $16$ ગણું વિસ્તરણ કરવું જોઈએ.

(D) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુ દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ એ પાત્રની દીવાલો સાથે વાયુના અણુઓની અથડામણને કારણે હોય છે,ન કે અણુઓ વચ્ચેની પરસ્પર અથડામણને કારણે.
અણુઓ વચ્ચેની અથડામણોને મેક્રોસ્કોપિક દબાણમાં ફાળો આપવાની દ્રષ્ટિએ નગણ્ય ગણવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.

(C) જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે ત્યારે વાયુની ગતિઊર્જા આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. વાયુનું કુલ દળ $m_{total} = nM$ થાય.
વાયુની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} (nM) V^2$ છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2} n M V^2 = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{3}{2} R \Delta T$
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{MV^2}{3R}$

(A) આદર્શ વાયુનો r.m.s. વેગ $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી $V_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$, એટલે કે $T \propto V_{\text{rms}}^2$.
જો $V_{\text{rms}}$ ને $3$ ગણો ઘટાડવામાં આવે, તો $T_2 = \frac{T_1}{3^2} = \frac{T_1}{9}$, તેથી $\frac{T_1}{T_2} = 9$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$, જેનો અર્થ છે કે $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
આથી $\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$.
અહીં $\gamma = 1.5$ હોવાથી, $\gamma - 1 = 0.5 = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_2}{V_1} = (9)^{\frac{1}{1/2}} = (9)^2 = 81$.
આમ, વાયુનું $81$ ગણું વિસ્તરણ કરવું પડે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને વાયુના અણુઓની rms ઝડપ $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{v}{v_{\text{rms}}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$ મળે છે.
હિલિયમ (એકપરમાણ્વીય વાયુ) માટે,$\gamma_{\text{He}} = \frac{5}{3}$. તેથી,$X = \sqrt{\frac{5/3}{3}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$.
ઓક્સિજન (દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ) માટે,$\gamma_{\text{O}_2} = \frac{7}{5}$. તેથી,$X^{\prime} = \sqrt{\frac{7/5}{3}} = \sqrt{\frac{7}{15}}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{X}{X^{\prime}} = \frac{\sqrt{5/9}}{\sqrt{7/15}} = \sqrt{\frac{5}{9} \times \frac{15}{7}} = \sqrt{\frac{5 \times 5}{3 \times 7}} = \sqrt{\frac{25}{21}} = \frac{5}{\sqrt{21}}$.

(B) અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્માનું સૂત્ર: $\Delta Q = n C_P \Delta T$ છે।
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ હોવાથી, તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 5$ છે।
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = (\frac{f}{2} + 1) R = (\frac{5}{2} + 1) R = \frac{7}{2} R$ થાય।
મોલની સંખ્યા $n = \frac{M}{M_0}$, જ્યાં $M$ એ વાયુનું દળ છે અને $M_0$ એ આણ્વીય દળ $(28 \,g/mol)$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $498 = (\frac{M}{28}) \times (\frac{7}{2}) \times 8.3 \times 40$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $498 = M \times (\frac{7}{56}) \times 8.3 \times 40$.
$498 = M \times 0.125 \times 332$.
$498 = M \times 41.5$.
$M = \frac{498}{41.5} = 12 \,g$.

(C) ગતિમાન પાત્રમાં રહેલા વાયુની જમીનની સાપેક્ષે કુલ ગતિઊર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા અને વાયુના અણુઓની આંતરિક ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$1$. જમીનની સાપેક્ષે વાયુના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા $K_{cm} = \frac{1}{2} M v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું કુલ દળ છે અને $v$ એ પાત્રનો વેગ છે.
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ (જેની મુક્તિની માત્રા $f = 5$ છે) ની આંતરિક ગતિઊર્જા $U = n \frac{f}{2} R T$ છે.
$3$. $f = 5$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{5}{2} n R T$ મળે છે.
$4$. તેથી,જમીનની સાપેક્ષે કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_{cm} + U = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{5}{2} n R T$ થાય છે.

(D) ધારો કે $N_2$ વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = n \left( \frac{1}{2} M v^2 \right)$ છે,જ્યાં $M$ એ $N_2$ નું મોલર દળ $(28 \times 10^{-3} \ kg/mol)$ છે.
પાત્ર ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો વાયુની આંતરિક ઊર્જા (ઉષ્મા) માં રૂપાંતરિત થાય છે: $n \left( \frac{1}{2} M v^2 \right) = n C_v \Delta T$.
$N_2$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
આમ,$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{5}{2} R \Delta T \Rightarrow \Delta T = \frac{M v^2}{5 R}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,અચળ કદની પ્રક્રિયા માટે દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = \frac{nR \Delta T}{V} = \frac{P \Delta T}{T}$ થાય.
દબાણમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{\Delta T}{T} \times 100$ છે.
$\Delta T = \frac{M v^2}{5 R}$ અને $T = 300 \ K$ મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{M v^2}{5 R T} \times 100 = \frac{28 \times 10^{-3} \times 100^2}{5 \times 8.3 \times 300} \times 100 = \frac{280}{12450} \times 100 \approx 2.25 \%$.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT_1}{M}}$ છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
વાયુના અણુઓની rms ઝડપનું સૂત્ર $c = \sqrt{\frac{3RT_2}{M}}$ છે.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ અને $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ છે.
ધ્વનિની ઝડપ અને rms ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma RT_1}{M}}}{\sqrt{\frac{3RT_2}{M}}} = \sqrt{\frac{\gamma T_1}{3T_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{(5/3) \times 300}{3 \times 400}} = \sqrt{\frac{500}{1200}} = \sqrt{\frac{5}{12}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$.

(D) $N_2$ નું મોલર દળ $M = 28 \ g/mol$ છે. મોલની સંખ્યા $n = \frac{2.8 \ g}{28 \ g/mol} = 0.1 \ mol$ છે.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$ છે.
rms ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
જો ઝડપમાં $41.4 \ \%$ નો વધારો થાય,તો નવી ઝડપ $v_2 = v_1(1 + 0.414) = 1.414 \ v_1$ થાય.
$1.414 \approx \sqrt{2}$ હોવાથી,$v_2 = \sqrt{2} \ v_1$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v_2^2 = 2 \ v_1^2$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 2 \ T_1 = 2 \times 400 = 800 \ K$.
અચળ કદ પર દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = n C_v \Delta T$ છે.
$N_2$ માટે,$C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
તેથી,$Q = 0.1 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times (800 - 400) = 0.1 \times 2.5 \times 8.31 \times 400 = 831 \ J$.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v_1 = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
$273^{\circ}C$ તાપમાને,$T_1 = 273 + 273 = 546 \ K$ થાય.
તેથી,$v_1 = \sqrt{\frac{7RT_1}{5M}} = \sqrt{\frac{7R(546)}{5M}}$.
વાયુના અણુઓની r.m.s. ઝડપ $v_2 = \sqrt{\frac{3RT_2}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$273 \ K$ તાપમાને,$T_2 = 273 \ K$ છે.
તેથી,$v_2 = \sqrt{\frac{3R(273)}{M}}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7R(546)}{5M} \cdot \frac{M}{3R(273)}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 546}{5 \cdot 3 \cdot 273}}$.
કારણ કે $546 = 2 \cdot 273$,તેથી $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.

(B) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$ છે. આપેલ છે કે $n_1 = 2$ મોલ અને $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$. આંતરિક ઊર્જા $U = \frac{n_1 f_1 R T_1}{2} = \frac{2 \times 3 \times R \times 300}{2} = 900 R$ થાય.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે. આપેલ છે કે $n_2 = 3$ મોલ અને $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$. આંતરિક ઊર્જા $U' = \frac{n_2 f_2 R T_2}{2} = \frac{3 \times 5 \times R \times 400}{2} = 3000 R$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{U'}{U} = \frac{3000 R}{900 R} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.
તેથી,$U' = \frac{10 U}{3}$.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T$ તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુના $4$ મોલ. આંતરિક ઉર્જા $U_i = 4 \times \frac{5}{2} RT = 10 RT$.
અંતિમ સ્થિતિ: વિઘટન પછી,$2$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ બાકી રહે છે,અને $2$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુનું $4$ મોલ એક-પરમાણ્વીય વાયુમાં વિઘટન થાય છે (કારણ કે $1$ મોલ $X_2$ માંથી $2$ મોલ $X$ મળે છે).
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f = (2 \times \frac{5}{2} RT) + (4 \times \frac{3}{2} RT) = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપેલી ઉષ્મા $Q$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલી હોય છે.
$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(D) અચળ કદ પર જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જાનું સૂત્ર $Q = n C_v \Delta T$ છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
અહીં $n_1 = 2 \text{ mol}$,$\Delta T_1 = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10 \text{ K}$ છે.
તેથી,$Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 10 = 30 R$.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
અહીં $n_2 = 4 \text{ mol}$,$\Delta T_2 = 33^{\circ} C - 28^{\circ} C = 5 \text{ K}$ છે.
ધારો કે જરૂરી ઉષ્મા $Q'$ છે.
$Q' = n_2 C_v \Delta T_2 = 4 \times \frac{5}{2} R \times 5 = 50 R$.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Q'}{Q} = \frac{50 R}{30 R} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$Q' = \frac{5}{3} Q$.

(C) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે વાયુઓનો ઉષ્મીય પ્રસરણાંક પ્રવાહી કરતા વધારે હોવાથી ગેસ થર્મોમીટર પ્રવાહી થર્મોમીટર કરતા વધુ સંવેદનશીલ હોય છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ અને એવોગેડ્રો આંક $N_A$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $k_B = \frac{R}{N_A}$.
વિધાન $(III)$ સાચું છે. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$PV = \frac{m}{M}RT$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે. ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણને $P = \frac{\rho RT}{M}$ મળે છે. અચળ દબાણ $P$ માટે,$\rho \propto \frac{1}{T}$.
તેથી,વિધાન $(II)$ અને $(III)$ સાચા છે,પરંતુ વિધાન $(I)$ ખોટું છે.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT = (m/M)RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ વાયુનું દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે. કારણ કે $\rho = m/V$,તેથી $p = (\rho/M)RT$,અથવા $\rho = pM / (RT)$.
શરૂઆતમાં,પાત્રમાં વાયુનું દળ $m_1 = \rho V$ છે.
થોડો વાયુ બહાર કાઢ્યા પછી,દબાણ $p' = p - \Delta p$ થાય છે. કદ $V$ અને તાપમાન $T$ અચળ રહેતા હોવાથી,નવી ઘનતા $\rho' = p'M / (RT) = (p - \Delta p)M / (RT)$ મળે છે.
પાત્રમાં વાયુનું નવું દળ $m_2 = \rho' V = \frac{(p - \Delta p)M}{RT} V = \frac{(p - \Delta p)}{p} \rho V$ થાય.
બહાર નીકળેલા વાયુનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = \rho V - \frac{(p - \Delta p)}{p} \rho V$ છે.
$\Delta m = \rho V \left(1 - \frac{p - \Delta p}{p}\right) = \rho V \left(\frac{p - p + \Delta p}{p}\right) = \frac{\rho V \Delta p}{p}$.

(C) વાયુની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,જો ઝડપ $v$ થી વધીને $\sqrt{3}v$ થાય,તો તાપમાન $T_1$ થી વધીને $T_2$ થાય છે,જ્યાં $\frac{v_{rms2}}{v_{rms1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 3T_1$.
અચળ કદ પર દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = n C_v \Delta T$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{5}{2}R$.
આપેલ છે કે $n = 4 \ mol$,$Q = 83.1 \ kJ = 83100 \ J$,અને $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $83100 = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times (3T_1 - T_1)$.
$83100 = 10 \times 8.31 \times 2T_1$.
$83100 = 166.2 \times T_1$.
$T_1 = \frac{83100}{166.2} = 500 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1(^{\circ}C) = 500 - 273 = 227^{\circ}C$.

(B) જ્યારે પાત્ર અચાનક અટકી જાય છે, ત્યારે પાત્રની સામૂહિક ગતિને કારણે વાયુના અણુઓની ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે અને $v$ એ પાત્રનો વેગ છે.
વાયુના પ્રતિ મોલ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ છે, જ્યાં $M$ એ $kg/mol$ માં મોલર દળ છે.
$M = 83 \, g/mol = 0.083 \, kg/mol$.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.083 \times (30)^2 = \frac{1}{2} \times 0.083 \times 900 = 0.083 \times 450 = 37.35 \, J/mol$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
અહીં $n=1$ મોલ અને મોનોએટોમિક વાયુ માટે $C_v = \frac{3}{2} R$ હોવાથી:
$\Delta U = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.3 \times \Delta T = 12.45 \Delta T$.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$37.35 = 12.45 \Delta T$.
$\Delta T = \frac{37.35}{12.45} = 3 \, K$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 600 \ kPa$.
એક-ચતુર્થાંશ વાયુ બહાર કાઢ્યા પછી,બાકી રહેલા વાયુનો જથ્થો $n_2 = \frac{3}{4} n_1$ છે.
ટાંકીનું કદ $V$ અચળ રહે છે,તેથી $V_1 = V_2 = V$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ} C = 600 \ K$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V}{n_1 T_1} = \frac{P_2 V}{n_2 T_2}$.
$P_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $P_2 = P_1 \times \left( \frac{n_2}{n_1} \right) \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $P_2 = 600 \times \left( \frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{600}{300} \right)$.
$P_2 = 600 \times 0.75 \times 2 = 900 \ kPa$.

(C) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે તાપમાન $T$ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સીધું માપ છે. તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
તાપમાન એ અવસ્થા વિધેય છે જે માત્ર કણોની સરેરાશ ગતિઊર્જા પર આધાર રાખે છે અને વાયુના પ્રકારથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે. $v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,ભારે અણુઓ (વધારે $M$) ની સરેરાશ ઝડપ ઓછી હોય છે. તેથી,વિધાન $(c)$ સાચું છે અને વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ દબાણ $P$ પર,તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P \frac{dV}{dT} = nR$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ની વ્યાખ્યા $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ છે.
$\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$ મૂકતા,આપણને $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV}$ મળે છે.
કારણ કે $PV = nRT$,તેથી $\gamma = \frac{nR}{nRT} = \frac{1}{T}$.
આપેલ તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
તેથી,$\gamma = \frac{1}{300} \ K^{-1} \approx 0.00333 \ K^{-1} = 33 \times 10^{-4} \ K^{-1}$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,કદ વિસ્તરણ સહગુણક $(\gamma_V)$ અને દબાણ સહગુણક $(\gamma_P)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\gamma_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P$
$\gamma_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V$
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ દબાણે,$V = (\frac{nR}{P})T$,તેથી $(\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{nR}{P}$. આમ,$\gamma_V = \frac{1}{V} \cdot \frac{nR}{P} = \frac{1}{T}$.
અચળ કદ પર,$P = (\frac{nR}{V})T$,તેથી $(\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{nR}{V}$. આમ,$\gamma_P = \frac{1}{P} \cdot \frac{nR}{V} = \frac{1}{T}$.
જેથી $\gamma_V = \gamma_P = \frac{1}{T}$,તેમનો તફાવત $\gamma_V - \gamma_P = 0$ થાય છે.

(D) અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ અને $n$ સમાન હોવાથી,બંને વાયુઓ માટે $C_p \Delta T$ સમાન રહેશે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_{p,1} = \frac{5}{2}R$ અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_1 = n C_{v,1} \Delta T_1 = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1$ છે.
ડાયએટોમિક વાયુ માટે,$C_{p,2} = \frac{7}{2}R$ અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_2 = n C_{v,2} \Delta T_2 = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2$ છે.
$Q = n C_{p,1} \Delta T_1 = n C_{p,2} \Delta T_2$ હોવાથી,$\frac{5}{2}R \Delta T_1 = \frac{7}{2}R \Delta T_2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta T_1 = \frac{7}{5} \Delta T_2$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta U_1}{\Delta U_2} = \frac{n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1}{n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{25}$ થાય.

(C) આદર્શ વાયુના $1 \text{ mole}$ માટે,$pV = RT \Rightarrow p = \frac{RT}{V}$.
આપેલ પ્રક્રિયા સમીકરણ: $p = p_0 \left(1 - \alpha \frac{V^3}{V_0^3}\right)$.
$p$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{RT}{V} = p_0 - \frac{\alpha p_0 V^3}{V_0^3} \Rightarrow T = \frac{p_0 V}{R} - \frac{\alpha p_0 V^4}{R V_0^3}$.
મહત્તમ તાપમાન માટે,$\frac{dT}{dV} = 0$: $\frac{dT}{dV} = \frac{p_0}{R} - \frac{4 \alpha p_0 V^3}{R V_0^3} = 0$.
આનાથી $V^3 = \frac{V_0^3}{4 \alpha}$ મળે છે.
$V^3$ ને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $T_{\max} = \frac{p_0}{R} \left( \frac{V_0}{(4 \alpha)^{1/3}} \right) - \frac{\alpha p_0}{R V_0^3} \left( \frac{V_0^3}{4 \alpha} \right) \left( \frac{V_0}{(4 \alpha)^{1/3}} \right) = \frac{p_0 V_0}{R (4 \alpha)^{1/3}} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R (4 \alpha)^{1/3}}$.
આપેલ છે કે $T_{\max} = \frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R}$,તેથી $\frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R} = \frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R (4 \alpha)^{1/3}}$.
આમ,$(4 \alpha)^{1/3} = 1 \Rightarrow 4 \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{4}$.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: નળીની લંબાઈ $100 \ cm$ છે, જેમાં વચ્ચે $10 \ cm$ નો પારો છે. દરેક બાજુએ હવાની લંબાઈ $(100 - 10) / 2 = 45 \ cm$ છે. પ્રારંભિક દબાણ $P_0 = 76 \ cm$ $Hg$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_0 = 31 + 273 = 304 \ K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $\frac{PV}{T} = \text{અચળ}$ નો ઉપયોગ કરતા, પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $\frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{76 \times 45}{304}$.
અંતિમ સ્થિતિ: ધારો કે $0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ તાપમાને હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $l$ છે, અને $273^{\circ} C$ $(546 \ K)$ તાપમાને હવાના સ્તંભની લંબાઈ $(90 - l)$ છે. ધારો કે નવું દબાણ $P'$ છે.
પારોનો સ્તંભ સ્થિર હોવાથી, બંને બાજુનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ: $P_2 = P_3 = P'$.
બંને બાજુ માટે વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P' l}{273} = \frac{P' (90 - l)}{546} = \frac{76 \times 45}{304}$.
$\frac{P' l}{273} = \frac{P' (90 - l)}{546}$ પરથી, આપણને $2l = 90 - l$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $3l = 90$, તેથી $l = 30 \ cm$.
હવે, $l = 30 \ cm$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P' \times 30}{273} = \frac{76 \times 45}{304}$.
$P' = \frac{76 \times 45 \times 273}{304 \times 30} = 102.375 \approx 102.4 \ cm$ $Hg$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ દળ અને $M$ એ મોલર દળ છે,આપણે $PV = \frac{m}{M}RT$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ કદ $V$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \frac{\rho RT}{M}$ મળે છે,જ્યાં $\rho = \frac{m}{V}$ એ ઘનતા છે.
સમાન તાપમાન $T$ પર બે વાયુઓ $A$ અને $B$ માટે,તેમના આંશિક દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{\rho_A R T / M_A}{\rho_B R T / M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{M_B}{M_A}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{P_A}{P_B} \times \frac{M_A}{M_B}$.
આપેલ છે કે $\frac{M_A}{M_B} = \frac{3}{4}$ અને $\frac{P_A}{P_B} = \frac{2}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = 0.5$.

(B) સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ અને ગુરુત્વકેન્દ્ર $(COG)$ એક જ સ્થાને હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $y_{\text{cen}}$ નું સૂત્ર: $y_{\text{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y \, dm}{\int_{0}^{\infty} dm} = \frac{\int_{0}^{\infty} y \rho(y) \, dy}{\int_{0}^{\infty} \rho(y) \, dy}$.
બેરોમેટ્રિક સૂત્ર મુજબ,$y$ ઊંચાઈએ વાયુની ઘનતા: $\rho(y) = \rho_{0} e^{-Mgy / RT}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$y_{\text{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y e^{-Mgy / RT} \, dy}{\int_{0}^{\infty} e^{-Mgy / RT} \, dy}$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int_{0}^{\infty} x e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a^2}$ અને $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{Mg}{RT}$:
$y_{\text{cen}} = \frac{1/a^2}{1/a} = \frac{1}{a} = \frac{RT}{Mg}$.

(C) કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C = C_{V} + \frac{P}{n} \frac{dV}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_{V} = \frac{3}{2} R$.
આ પ્રક્રિયા $V-T$ આલેખમાં એક સીધી રેખા છે જે $(V_{0}, T_{0})$ અને $(2V_{0}, 3T_{0})$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાનું સમીકરણ $V - V_{0} = \frac{2V_{0} - V_{0}}{3T_{0} - T_{0}} (T - T_{0}) = \frac{V_{0}}{2T_{0}} (T - T_{0})$ છે.
તેથી,$\frac{dV}{dT} = \frac{V_{0}}{2T_{0}}$.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
$(V_{0}, T_{0})$ બિંદુએ,$P = \frac{nRT_{0}}{V_{0}}$.
આ કિંમતોને ઉષ્મા ધારિતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = \frac{3}{2} R + \left( \frac{nRT_{0}}{V_{0}} \right) \frac{1}{n} \left( \frac{V_{0}}{2T_{0}} \right) = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = 2R$.

(B) પાત્રની અંદરનું કુલ દબાણ એ સૂકી હવાનું આંશિક દબાણ $(p)$ અને પાણીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ $(\bar{p})$ નો સરવાળો છે,તેથી $P_{total} = p + \bar{p}$.
જ્યારે તાપમાન અચળ રાખીને કદને અડધું $(V' = V/2)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સૂકી હવાનું આંશિક દબાણ બોઈલના નિયમ $(P_1V_1 = P_2V_2)$ ને અનુસરે છે.
આમ,સૂકી હવાનું નવું દબાણ $p' = p \times (V / (V/2)) = 2p$ થાય છે.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,પાણીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ $(\bar{p})$ બદલાતું નથી કારણ કે તે માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,નવું કુલ દબાણ $P'_{total} = p' + \bar{p} = 2p + \bar{p}$ થશે.

(B) અથડામણની આવૃત્તિ $(Z)$ નું સૂત્ર: $Z = \sqrt{2} \pi d^2 N \bar{v}$,જ્યાં $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $(T)$ અને સંખ્યા ઘનતા $(N)$ સમાન હોવાથી,$Z \propto d^2 \sqrt{\frac{1}{M}}$.
આપેલ છે: $d_A = \frac{d_B}{2}$ અને $M_A = 4M_B$.
તેથી,અથડામણની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{Z_A}{Z_B} = \left( \frac{d_A}{d_B} \right)^2 \sqrt{\frac{M_B}{M_A}}$
$\frac{Z_A}{Z_B} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sqrt{\frac{M_B}{4M_B}} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
$Z_B = 32 \times 10^{18} /s$ આપેલ હોવાથી:
$Z_A = \frac{32 \times 10^{18}}{8} = 4 \times 10^{18} /s$.

(A) ભ્રમણની અક્ષ $A$ થી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના વાયુના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો. ધારો કે ટ્યુબનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું ચોખ્ખું બળ જે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ આપે છે તે $(P+dP)A - PA = (dm) \omega^2 x$ છે.
$AdP = (dm) \omega^2 x$.
કારણ કે $dm = \rho A dx$,તેથી $dP = \rho \omega^2 x dx$ મળે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PM = \rho RT$ નો ઉપયોગ કરતા,$\rho = \frac{PM}{RT}$ મળે.
$\rho$ ની કિંમત મૂકતા,$dP = \left(\frac{PM}{RT}\right) \omega^2 x dx$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dP}{P} = \frac{M \omega^2}{RT} x dx$.
$x=0$ થી $x=l$ અને $P=P_A$ થી $P=P_B$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{P_A}^{P_B} \frac{dP}{P} = \frac{M \omega^2}{RT} \int_0^l x dx$.
$\ln\left(\frac{P_B}{P_A}\right) = \frac{M \omega^2}{RT} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^l = \frac{M \omega^2 l^2}{2RT}$.
તેથી,$P_B = P_A \exp\left(\frac{M \omega^2 l^2}{2RT}\right)$.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે. આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$,આ કિંમત મૂકતા $\Delta U = \frac{nR}{\gamma - 1}(T_f - T_i)$ મળે છે.
વિધાન $II$ પણ સાચું છે. અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_v = \frac{fR}{2}$ છે અને અચળ દબાણ પર $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ છે. તેથી,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{fR}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે અને $f$ ના સંદર્ભમાં $\gamma$ ની વ્યાખ્યા એ વિધાન $I$ માં વ્યક્ત કરેલા સમીકરણને તારવવા માટેનો પાયાનો ગુણધર્મ છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $KE_{avg} = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કારણ કે $KE_{avg}$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,જો $H_2$ અને $O_2$ અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા સમાન હોય,તો તેમનું તાપમાન સમાન હોવું જોઈએ. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
$H_2$ $(2 \ g/mol)$ અને $O_2$ $(32 \ g/mol)$ ના મોલર દળ $M$ અલગ-અલગ હોવાથી,સમાન તાપમાને પણ તેમની $v_{rms}$ કિંમતો અલગ-અલગ હશે. તેથી,કારણ $R$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે દરેક પાત્રનું કદ $V$ છે.
શરૂઆતમાં,મોલની કુલ સંખ્યા $n = n_1 + n_2 = \frac{P_0 V}{RT_0} + \frac{P_0 V}{RT_0} = \frac{2P_0 V}{RT_0}$ છે.
અહીં $P_0 = 90 \text{ kPa}$ અને $T_0 = 400 \text{ K}$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{2 \cdot 90 \cdot V}{R \cdot 400} = \frac{180V}{400R}$.
અંતે,ધારો કે બંને પાત્રોમાં દબાણ $P'$ છે કારણ કે તેઓ જોડાયેલા છે.
મોલની કુલ સંખ્યા $n'$ અચળ રહે છે,તેથી $n' = n$.
$n' = \frac{P' V}{RT_1} + \frac{P' V}{RT_2} = \frac{P' V}{R} (\frac{1}{400} + \frac{1}{500}) = \frac{P' V}{R} (\frac{5+4}{2000}) = \frac{9P' V}{2000R}$.
$n = n'$ ને સરખાવતા:
$\frac{180V}{400R} = \frac{9P' V}{2000R}$.
$P' = \frac{180}{400} \cdot \frac{2000}{9} = \frac{180}{9} \cdot \frac{2000}{400} = 20 \cdot 5 = 100 \text{ kPa}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $P = \frac{nRT}{V}$.
આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PT^3 = C$ છે,જ્યાં $C$ અચળાંક છે.
$P$ ની કિંમત પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\left(\frac{nRT}{V}\right) T^3 = C$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{T^4}{V} = \frac{C}{nR} = C'$ મળે છે,જ્યાં $C'$ બીજો અચળાંક છે.
તેથી,$V = \frac{1}{C'} T^4$,જેનો અર્થ છે કે $V \propto T^4$.
$V = kT^4$ નું લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{dV}{V} = 4 \frac{dT}{T}$ મળે છે.
કદ પ્રસરણાંક $\beta$ ની વ્યાખ્યા $\beta = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ છે.
વિકલન મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{1}{V} \left( \frac{4V}{T} \right) = \frac{4}{T}$ મળે છે.