Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Gujarati

(B) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $V_1 = 2.4 \times 10^{-3} \, m^3$,$P_1 = 1.0 \times 10^5 \, Pa$,$T_1 = 300 \, K$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = A \times x = 8 \times 10^{-3} \, m^2 \times 0.1 \, m = 0.8 \times 10^{-3} \, m^3$.
અંતિમ કદ: $V_2 = V_1 + \Delta V = 2.4 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3} = 3.2 \times 10^{-3} \, m^3$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા પિસ્ટન પર લાગતું દબાણ $P_{spring} = \frac{F}{A} = \frac{kx}{A} = \frac{8000 \times 0.1}{8 \times 10^{-3}} = \frac{800}{8 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 \, Pa$.
અંતિમ દબાણ: $P_2 = P_1 + P_{spring} = 1.0 \times 10^5 + 1.0 \times 10^5 = 2.0 \times 10^5 \, Pa$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
$\frac{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}}{300} = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3}}{T_2}$.
$T_2 = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3} \times 300}{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}} = \frac{2.0 \times 3.2 \times 300}{2.4} = \frac{6.4 \times 300}{2.4} = \frac{1920}{2.4} = 800 \, K$.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જ્યારે વાયુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું તાપમાન $T$ વધે છે,જેનાથી દબાણ $P$ માં વધારો થાય છે. પિસ્ટન પર લાગતું બળ $F = PA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જમણી બાજુના પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ $A$ ડાબી બાજુના પિસ્ટન કરતા વધારે હોવાથી,સમાન દબાણ $P$ માટે જમણી બાજુના પિસ્ટન પર લાગતું બળ $F$ ડાબી બાજુના પિસ્ટન કરતા વધારે હશે. તેથી,પરિણામી બળ પિસ્ટનને ડાબી બાજુ ધકેલશે.

(C) અચળ દબાણ $P$ પર નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ:
$PV = nRT$
અચળ દબાણે વિકલન લેતા:
$P\Delta V = nR\Delta T$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{P\Delta V}{PV} = \frac{nR\Delta T}{nRT}$
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T}$
$\delta$ શોધવા માટે ગોઠવતા:
$\delta = \frac{\Delta V}{V\Delta T} = \frac{1}{T}$
આમ,$\delta = \frac{1}{T}$ હોવાથી,$\delta$ અને $T$ વચ્ચેનો સંબંધ લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) છે,જેમાં $T$ વધતા $\delta$ ઘટે છે.

(A) અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુ માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \text{constant}$ છે.
$P$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $P \frac{dV}{dP} + V = 0$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $\frac{dV}{dP} = - \frac{V}{P}$ મળે છે.
આ કિંમતને $\beta$ ના આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\beta = - \frac{1}{V} \left( - \frac{V}{P} \right) = \frac{1}{P}$.
આ એક લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે, જ્યાં $\beta$ એ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી, $\beta$ વિરુદ્ધ $P$ નો આલેખ લંબચોરસ હાયપરબોલા છે, જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ચૂંક $4.0 \, g$ વાયુ $NTP$ પર $22.4 \, L$ કદ રોકે છે,તેથી વાયુનું આણ્વીય દળ $M = 4.0 \, g \, mol^{-1} = 4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$ છે.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે.
$\gamma$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\gamma = \frac{M v^2}{R T}$ મળે.
અહીં $v = 952 \, m s^{-1}$,$R = 8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}$ અને $T = 273 \, K$ ($NTP$ પર) છે:
$\gamma = \frac{(4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}) \times (952 \, m s^{-1})^2}{(8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}) \times (273 \, K)} \approx 1.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,તેથી $C_p = \gamma C_v$.
$C_v = 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ આપેલ હોવાથી,$C_p = 1.6 \times 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1} = 8.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ મળે.

(C) વાયુનું તાપમાન એ તેના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત (disordered) ગતિ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જાનું માપ છે. જ્યારે પાત્રને વધુ ઝડપે ગતિ કરતી ટ્રેનમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે આખું પાત્ર અને તેની અંદરના વાયુના અણુઓ એક સામાન્ય સુવ્યવસ્થિત વેગ (ટ્રેનનો વેગ) પ્રાપ્ત કરે છે. આ સુવ્યવસ્થિત ગતિ વાયુના અણુઓની આંતરિક ઊર્જા અથવા અસ્તવ્યસ્ત ગતિઊર્જામાં ફાળો આપતી નથી. વાયુના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિ બદલાતી ન હોવાથી,વાયુનું તાપમાન સમાન રહે છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુના $\mu$ મોલ માટે વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(P + \frac{\mu^2 a}{V^2})(V - \mu b) = \mu RT$
$P$ ને કર્તા બનાવતા:
$P = \frac{\mu RT}{V - \mu b} - \frac{\mu^2 a}{V^2}$
આપેલ સમીકરણ $P = \frac{RT}{2V - b} - \frac{a}{4V^2}$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$P = \frac{RT}{2(V - b/2)} - \frac{a}{4V^2}$
આ સરખામણી પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\mu = 1/2$.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{m}{M}$ હોવાથી,જ્યાં $M$ એ $CO_2$ નું મોલર દળ $(44 \ g/mol)$ છે:
$m = \mu \times M = \frac{1}{2} \times 44 = 22 \ g$.

(C) આપેલ આલેખ એક સીધી રેખા છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. રેખાનું સમીકરણ $V = mT + c$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે અને $c$ એ $V$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ છે. અંતઃખંડ $c$ ધન હોવાથી,આપણે $V = aT + b$ લખી શકીએ (જ્યાં $a, b > 0$).
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,$P = \frac{\mu RT}{V}$ મળે.
$V = aT + b$ કિંમત મૂકતા,$P = \frac{\mu RT}{aT + b} = \frac{\mu R}{a + b/T}$ મળે.
જેમ $T$ વધે છે,તેમ $b/T$ પદ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે છેદ $(a + b/T)$ ઘટે છે.
જેમ $T$ વધે તેમ છેદ ઘટતો હોવાથી,તાપમાન વધવાની સાથે દબાણ $P$ વધવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $T_2 > T_1$,તેથી $P_2 > P_1$,અથવા $P_1 < P_2$ થાય.

(B) ધારો કે વાયુનું કુલ દળ $m$ છે. પાત્રની ગતિને કારણે વાયુની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે.
આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta U = \mu C_V \Delta T$,જ્યાં $\mu = \frac{m}{M}$ એ મોલની સંખ્યા છે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{m}{M} C_V \Delta T$.
કારણ કે $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{m}{M} \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા અને $\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{Mv^2(\gamma - 1)}{2R}$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
$v_{rms}$ ને $2$ ગણો ઘટાડવા માટે,તાપમાન $T$ ને $2^2 = 4$ ગણું ઘટાડવું પડે. આમ,$\frac{T'}{T} = \frac{1}{4}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma - 1} = T'V'^{\gamma - 1}$ છે.
કદના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{V'}{V} = \left(\frac{T}{T'}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}$ મળે છે.
$\gamma = 1.5$ અને $\frac{T}{T'} = 4$ કિંમતો મૂકતા,$\frac{V'}{V} = (4)^{\frac{1}{1.5 - 1}} = (4)^{\frac{1}{0.5}} = (4)^2 = 16$ મળે છે.
તેથી,વાયુનું $16$ ગણું વિસ્તરણ કરવું પડે.

(C) પ્રવેગિત નળીના સંદર્ભમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + g = 2g$ નીચેની તરફ લાગે છે.
વાયુમાં દબાણનો ઢાળ $\frac{dP}{dh} = \rho g_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મધ્યબિંદુથી માપવામાં આવેલી ઊંડાઈ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\rho = \frac{PM}{RT}$,તેથી $\frac{dP}{dh} = \frac{PM}{RT} (2g)$.
પદોને ગોઠવીને મધ્યબિંદુ $(h=0, P=P_m)$ થી તળિયા $(h=H/2, P=P_B)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{P_m}^{P_B} \frac{dP}{P} = \int_{0}^{H/2} \frac{2Mg}{RT} dh$
$\ln\left(\frac{P_B}{P_m}\right) = \frac{2Mg}{RT} \cdot \frac{H}{2} = \frac{MgH}{RT}$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $\frac{P_B}{P_m} = \exp\left(\frac{MgH}{RT}\right)$ મળે છે.

(A) જ્યારે વાયુને અચાનક સ્થિર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$KE = \Delta U$
$\frac{1}{2} m v^2 = n C_v \Delta T$
અહીં $m = 30 \, g = 0.03 \, kg$,$v = 100 \, m/s$,અને $n = \frac{m}{M} = \frac{30 \, g}{30 \, g/mol} = 1 \, mol$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે. દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે $\gamma = 1.4$ હોવાથી,$C_v = \frac{R}{1.4 - 1} = \frac{R}{0.4} = 2.5R$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times (0.03) \times (100)^2 = 1 \times \frac{R}{0.4} \times \Delta T$
$0.5 \times 0.03 \times 10000 = \frac{R}{0.4} \times \Delta T$
$150 = \frac{R}{0.4} \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{150 \times 0.4}{R} = \frac{60}{R}$

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$n = 1$ મોલ માટે,$T = \frac{PV}{R}$ મળે.
સ્થિતિ $1$: $P_1 = P_0, V_1 = V_0$. તેથી,$T_1 = \frac{P_0 V_0}{R} = T_0$.
સ્થિતિ $2$: $P_2 = 4P_0, V_2 = V_0$. તેથી,$T_2 = \frac{4P_0 V_0}{R} = 4T_0$.
સ્થિતિ $3$: $P_3 = P_0, V_3 = 4V_0$. તેથી,$T_3 = \frac{P_0 (4V_0)}{R} = 4T_0$.
સરેરાશ આણ્વિય ઝડપ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
તેથી,સ્થિતિ $1, 2$ અને $3$ માં સરેરાશ આણ્વિય ઝડપનો ગુણોત્તર:
$v_1 : v_2 : v_3 = \sqrt{T_1} : \sqrt{T_2} : \sqrt{T_3}$
$v_1 : v_2 : v_3 = \sqrt{T_0} : \sqrt{4T_0} : \sqrt{4T_0}$
$v_1 : v_2 : v_3 = 1 : 2 : 2$.

(A) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે તમામ વાયુઓ માટે પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1$ સમાન છે, તેથી કદ $V_2 = V_1/2$ સુધી સંકોચાયા પછીનું અંતિમ દબાણ $P_2 = P_1 (V_1/V_2)^{\gamma} = P_1 (2)^{\gamma}$ દ્વારા મળે છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને $C_p/C_v$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 5/3 \approx 1.67$. દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 7/5 = 1.4$. ત્રિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma$ નું મૂલ્ય તેનાથી પણ ઓછું હોય છે (દા.ત., નોન-લીનિયર માટે $4/3 \approx 1.33$).
કારણ કે $P_2 = P_1 \cdot 2^{\gamma}$, જે વાયુ માટે $\gamma$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હશે, તે વાયુનું અંતિમ દબાણ $P_2$ સૌથી વધુ હશે.
તેથી, એકપરમાણ્વીય વાયુનું અંતિમ દબાણ મહત્તમ હશે.

(D) $1$. વાયુના ઊભા સ્તંભમાં,ઉપરના વાયુના સ્તંભના વજનને કારણે ઊંચાઈ $h$ વધતા દબાણ $p$ ઘટે છે. તેથી,$\frac{dp}{dh} = -\rho g$ એ વાયુ માટે હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલનનું સાચું સમીકરણ છે.
$2$. આદર્શ વાયુના નિયમ $pV = nRT$ પરથી,આપણે $p = \frac{n}{V} RT$ લખી શકીએ છીએ. મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$ હોવાથી (જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે),આપણને $p = \frac{m}{VM} RT$ મળે છે. ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$p = \rho \frac{RT}{M}$ મળે છે.
$3$. દબાણ $p$ એ ઘનતા $\rho$ અને ઊંચાઈ $h$ પર આધાર રાખે છે,અને વાયુના સ્તંભનું વજન નીચેની તરફ લાગે છે,તેથી નળાકારમાં ઉપર જતાં દબાણ ઘટવું જ જોઈએ.
$4$. તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ સંતુલનમાં રહેલા વાયુ માટે,ઊંચાઈમાં નાના ફેરફાર $dh$ માટે દબાણમાં ફેરફાર $dp = -\rho g dh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\rho = \frac{pM}{RT}$ લખી શકીએ છીએ.
આને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $dp = -\frac{pM}{RT} g dh$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dp}{p} = -\frac{Mg}{RT} dh$.
તળિયેથી $(h=0, p=p_0)$ ઊંચાઈ $h$ $(p=p)$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{p_0}^{p} \frac{dp}{p} = -\int_{0}^{h} \frac{Mg}{RT} dh$.
આનાથી $\ln(\frac{p}{p_0}) = -\frac{Mgh}{RT}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $p = p_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$ થાય છે.
કારણ કે $\rho = \frac{pM}{RT}$,તેથી $\rho = \frac{p_0 M}{RT} e^{-\frac{Mgh}{RT}} = \rho_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$.
આમ,દબાણ અને ઘનતા બંને ઊંચાઈ સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ઊભા નળાકારમાં,દબાણનો ફેરફાર $dp = -\rho g dh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $p = \frac{\rho RT}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\rho = \frac{pM}{RT}$ મળે છે.
આને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $dp = -\frac{pMg}{RT} dh$,જે $\frac{dp}{p} = -\frac{Mg}{RT} dh$ આપે છે.
તળિયેથી $(h=0, p=p_0)$ ઊંચાઈ $h$ સુધી સંકલન કરતા: $\ln(\frac{p}{p_0}) = -\frac{Mgh}{RT}$,તેથી $p = p_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$.
ચૂકી $\rho = \frac{pM}{RT}$,ઘનતા $\rho = \rho_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$ છે.
સમતાપી સ્થિતિમાં ($T$ અચળ છે),$\rho$ એ $h$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સમાન હોઈ શકે નહીં. આમ,વિધાન $A$ અને $B$ સાચા છે.
સમાન ઘનતા માટે,$\frac{d\rho}{dh} = 0$ હોવું જોઈએ. $\rho = \frac{pM}{RT}$ પરથી,$\frac{d\rho}{dh} = \frac{M}{R} \frac{d}{dh} (\frac{p}{T}) = 0$.
$dp = -\rho g dh$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{d}{dh} (\frac{p}{T}) = \frac{1}{T} \frac{dp}{dh} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = -\frac{\rho g}{T} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = 0$ મળે છે.
$\rho = \frac{pM}{RT}$ મૂકતા,આપણને $-\frac{pMg}{RT^2} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dT}{dh} = -\frac{Mg}{R}$ થાય છે. આમ,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) આપેલ શરત: $\frac{P^2}{\rho} = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી,$P = \frac{\rho RT}{M}$,તેથી $\rho = \frac{PM}{RT}$.
આપેલ શરતમાં $\rho$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{P^2}{PM/RT} = \frac{PRT}{M} = \text{અચળ}$.
$R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$PT = \text{અચળ}$.
આ $P-T$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય દર્શાવે છે,તેથી વિધાન $(C)$ સાચું છે.
હવે,વિસ્તરણ માટે જ્યાં $\rho_2 = \rho/2$:
$\frac{P_1^2}{\rho_1} = \frac{P_2^2}{\rho_2}$ નો ઉપયોગ કરતા $\Rightarrow \frac{P^2}{\rho} = \frac{P_2^2}{\rho/2} \Rightarrow P_2^2 = \frac{P^2}{2} \Rightarrow P_2 = \frac{P}{\sqrt{2}}$.
$P_1 T_1 = P_2 T_2$ નો ઉપયોગ કરતા (કારણ કે $PT = \text{અચળ}$):
$PT = \left(\frac{P}{\sqrt{2}}\right) T_2 \Rightarrow T_2 = \sqrt{2} T$.
આમ,વિધાન $(B)$ પણ સાચું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
અહીં $V$,$R$ અને $T$ બંને પાત્રો માટે અચળ હોવાથી,$P \propto n$ મળે.
આપેલ છે કે દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2}$ છે,તેથી અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર પણ $\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$ થશે.
વળી,રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પાત્રો માટે $T$ અને $M$ સમાન હોવાથી,$v_{rms}$ નો ગુણોત્તર $1 : 1$ થશે.
તેથી,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ છે: $M_A = 16 M_B$ અને $m_A = 2 m_B$.
$(i)$ અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $\frac{3}{2} k_B T$ છે. બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર એક જ પાત્રમાં હોવાથી,અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિ ઉર્જા સમાન રહેશે. વિધાન $(i)$ સાચું છે.
$(ii)$ $RMS$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. તેથી,$\frac{v_{rms, B}}{v_{rms, A}} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}} = \sqrt{16} = 4$. એટલે કે $v_{rms, B} = 4 v_{rms, A}$. વિધાન $(ii)$ સાચું છે.
$(iii)$ મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$. તેથી,$n_A = \frac{m_A}{M_A} = \frac{2 m_B}{16 M_B} = \frac{1}{8} n_B$. દબાણ $P = \frac{nRT}{V}$. $V$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$P \propto n$. તેથી,$P_A = \frac{1}{8} P_B$,અથવા $P_B = 8 P_A$. વિધાન $(iii)$ સાચું છે.
$(iv)$ અણુઓની સંખ્યા $N = n N_A$. $n_B = 8 n_A$ હોવાથી,$N_B = 8 N_A$. વિધાન $(iv)$ સાચું છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) $1$. વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $(\gamma = C_p / C_v)$ વાયુની પરમાણુતા પર આધાર રાખે છે. $O_2$ એ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી $\gamma = 1.4$. $NH_3$ એ બહુપરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેનું $\gamma$ મૂલ્ય અલગ છે (સામાન્ય રીતે $\approx 1.3$). આમ,આ સમાન નથી.
$2$. સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \sqrt{8RT / \pi M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $O_2$ $(32 \ g/mol)$ અને $NH_3$ $(17 \ g/mol)$ ના મોલર દળ $M$ અલગ હોવાથી,સમાન તાપમાને તેમના સરેરાશ વેગ અલગ હશે.
$3$. કંપનશીલ સ્વતંત્રતાના અંશોની સંખ્યા અણુની રચના પર આધાર રાખે છે. $O_2$ માં $1$ કંપન મોડ હોય છે,જ્યારે $NH_3$ માં $6$ કંપન મોડ હોય છે. આમ,આ પણ સમાન નથી.
$4$. કારણ કે સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મોમાંથી કોઈ પણ બંને વાયુઓ માટે સમાન નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે પિસ્ટનને આદર્શ વાયુ ધરાવતા ધાતુના સિલિન્ડરમાં ધીમેથી ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયાને સમતાપી ગણવામાં આવે છે કારણ કે સંકોચન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ગરમી આસપાસના વાતાવરણ સાથે તાપીય સંતુલન જાળવવા માટે ધાતુની દીવાલો દ્વારા બહાર નીકળી શકે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
જેহেতু $T$ અચળ છે,વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ,જે માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}})$,તે અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન $C$ અસત્ય છે.
વિધાન $A$,$B$,અને $D$ સત્ય છે કારણ કે જેમ કદ $V$ ઘટે છે,તેમ દબાણ $P$ વધે છે (બોઈલનો નિયમ),સંખ્યા ઘનતા $n/V$ વધે છે,અને ઉચ્ચ ઘનતા તથા દબાણને કારણે અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે.

(B) $RMS$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે: $T = 27 + 273 = 300 \, K$,$M = 32 \, g/mol = 32 \times 10^{-3} \, kg/mol$,$R = 8.314 \, J/(mol \cdot K)$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{32 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7482.6}{0.032}} \approx \sqrt{233831} \approx 483.55 \, m/s \approx 484 \, m/s$.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $A$ સાચું હોવાથી,વિધાન $B$ $(968 \, m/s)$ ખોટું છે.
કોઈપણ વાયુ માટે,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,$v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$,અને $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{8/\pi} \approx 1.596$,$\sqrt{2} \approx 1.414$.
$1.732 > 1.596$ હોવાથી,$v_{rms} > v_{avg}$ સાચું છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ ઓછા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે,તેથી વિધાન $D$ સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(D) આપેલ છે: સંખ્યા ઘનતા $n = 10^{26} \text{ m}^{-3}$,દરેક અણુનું દળ $m = 3 \times 10^{-27} \text{ kg}$,વેગ $v = 2000 \text{ m/s}$.
માત્ર $1/6$ અણુઓ દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે. સમય $\Delta t$ માં $A$ ક્ષેત્રફળ પર અથડાતા અણુઓની સંખ્યા $N = (n/6) \times A \times v \times \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A = 1 \text{ m}^2$ અને $\Delta t = 1 \text{ s}$ માટે,દીવાલ પર અથડાતા અણુઓની સંખ્યા $N = (10^{26} / 6) \times 1 \times 2000 = 0.333 \times 10^{29} = 3.33 \times 10^{28} \text{ molecules/s}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
દરેક સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ છે.
દીવાલ પર લાગતું બળ $F = N \times \Delta p = (n/6 \times A \times v) \times (2mv) = (n/3) \times A \times m \times v^2$ છે.
દબાણ $P = F/A = (n/3) \times m \times v^2$.
કિંમતો મૂકતા: $P = (10^{26} / 3) \times (3 \times 10^{-27}) \times (2000)^2 = 10^{-1} \times 4 \times 10^6 = 4 \times 10^5 \text{ Pa}$. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા, આપણને $\ln P + \gamma \ln V = \text{અચળ}$ મળે છે, જેને $\ln P = -\gamma \ln V + \text{અચળ}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે, જ્યાં ઢાળ $m = -\gamma$ છે.
આલેખ પરથી, વાયુ $X$ માટે ઢાળનું મૂલ્ય વાયુ $Y$ માટેના ઢાળના મૂલ્ય કરતા વધારે છે. ઢાળ ઋણ હોવાથી, $|m_X| > |m_Y|$, જેનો અર્થ છે કે $\gamma_1 > \gamma_2$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચૂકી $\gamma_1 > \gamma_2$, તેથી $1 + \frac{2}{f_1} > 1 + \frac{2}{f_2}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{2}{f_1} > \frac{2}{f_2}$, અથવા $f_2 > f_1$.
અચળ કદ પર મોલર ઉષ્માધારિતા $C_V = \frac{f}{2}R$ છે.
ચૂકી $f_2 > f_1$, તેથી $C_{V2} > C_{V1}$ સાબિત થાય છે.
તેથી, $(B)$ અને $(C)$ બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) વાયુનું કદ $V$ એ દળ $m$ અને ઘનતા $\rho$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$V = \frac{m}{\rho} = \frac{1 \; kg}{4 \; kg/m^3} = 0.25 \; m^3$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ (અથવા ઉષ્મીય ગતિને કારણે ઉર્જા) નું સૂત્ર:
$U = \frac{f}{2} PV$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 5$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4 \; N/m^2) \times (0.25 \; m^3)$
$U = \frac{5}{2} \times 8 \times 10^4 \times \frac{1}{4}$
$U = 5 \times 10^4 \; J$.
આમ,ઉર્જા $5 \times 10^4 \; J$ છે.

(D) કારણ કે બોક્સ ઉષ્મીય સંપર્કમાં છે અને આસપાસના વાતાવરણથી અલગ છે,હિલિયમ વાયુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ નાઈટ્રોજન વાયુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હશે.
હિલિયમ (એકપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,$C_v = \frac{3}{2}R$. નાઈટ્રોજન (દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,$C_v = \frac{5}{2}R$.
ધારો કે $n_1 = 1$ મોલ He અને $n_2 = 1$ મોલ $N_2$.
હિલિયમ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $n_1 C_{v,He} (T_{initial,He} - T_f) = 1 \cdot \frac{3}{2}R \cdot (\frac{7}{3}T_0 - T_f)$.
નાઈટ્રોજન દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $n_2 C_{v,N_2} (T_f - T_{initial,N_2}) = 1 \cdot \frac{5}{2}R \cdot (T_f - T_0)$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{3}{2}R (\frac{7}{3}T_0 - T_f) = \frac{5}{2}R (T_f - T_0)$.
$R/2$ વડે ભાગતા: $3(\frac{7}{3}T_0 - T_f) = 5(T_f - T_0)$.
$7T_0 - 3T_f = 5T_f - 5T_0$.
$12T_0 = 8T_f$.
$T_f = \frac{12}{8}T_0 = \frac{3}{2}T_0$.

(C) ધારો કે વાયુનું કુલ દળ $m$ છે. વાયુની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
જ્યારે પાત્રને અચાનક સ્થિર કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી વાયુનું તાપમાન વધે છે.
સંબંધ $\Delta U = \mu C_v \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\mu = \frac{m}{M}$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{m}{M} \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{R}{M(\gamma - 1)} \Delta T$
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{M v^2 (\gamma - 1)}{2R}$.

(B) વિધાન-$1$ સાચું છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત સ્થાનાંતરિત,ભ્રમણીય અને કંપન ગતિને કારણે તેમની ગતિ ઉર્જાના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$U = nC_VT$ છે.
વિધાન-$2$ સાચું છે. જ્યારે પાત્રને અચાનક રોકવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુની મેક્રોસ્કોપિક ગતિ ઉર્જા (પાત્રની ગતિને કારણે) અથડામણો દ્વારા વાયુના અણુઓની માઇક્રોસ્કોપિક ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. માઇક્રોસ્કોપિક ગતિ ઉર્જામાં આ વધારો વાયુના તાપમાનમાં વધારો કરે છે.
જો કે,વિધાન-$2$ એ ઉર્જા રૂપાંતરણની પ્રક્રિયા (યાંત્રિકમાંથી ઉષ્મીય) વર્ણવે છે અને તે સમજાવતું નથી કે આંતરિક ઉર્જા $U = nC_VT$ તરીકે કેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) $\mu$ મોલ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \mu \cdot \frac{f}{2} RT$ છે.
$CO_2$ જેવા ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 7$ લેવામાં આવે છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{1}{44}$ થાય.
$R = N k$ મૂકતા,સમીકરણ $E = \mu \cdot \frac{f}{2} NkT$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1}{44} \cdot \frac{7}{2} NkT = \frac{7}{88} NkT$.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$E \propto T$.
તાપમાન $300 \ K$ થી વધીને $600 \ K$ (બમણું) થતું હોવાથી,નવી સરેરાશ ઊર્જા $E' = 2 \times 6.21 \times 10^{-21} \ J = 12.42 \times 10^{-21} \ J$ થશે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય,ત્યારે નવી $rms$ ઝડપ $v'_{rms} = \sqrt{2} \times v_{rms} = 1.414 \times 484 \ m/s \approx 684 \ m/s$ થશે.
તેથી,$600 \ K$ તાપમાને સાચા મૂલ્યો $12.42 \times 10^{-21} \ J$ અને $684 \ m/s$ છે.

(C) જ્યારે બોક્સને અચાનક રોકવામાં આવે છે,ત્યારે બોક્સની ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે,જ્યાં $n = \frac{m_{total}}{M}$.
બોક્સની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m_{total} v^2 = \frac{1}{2} n M v^2$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2} n M v^2 = n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T$
બંને બાજુથી $n$ અને $\frac{1}{2}$ દૂર કરતા:
$M v^2 = 5 R \Delta T$
તેથી,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર:
$\Delta T = \frac{M v^2}{5 R}$

(A) $N$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = N \left( \frac{5}{2} RT \right)$ છે.
જ્યારે $n$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુનું એક-પરમાણ્વિક વાયુમાં વિઘટન થાય છે,ત્યારે દરેક દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ બે એક-પરમાણ્વિક પરમાણુઓમાં વિભાજિત થાય છે. આમ,$n$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ $2n$ મોલ એક-પરમાણ્વિક વાયુ ઉત્પન્ન કરે છે.
બાકી રહેલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ $(N-n)$ મોલ છે.
અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f$ એ એક-પરમાણ્વિક વાયુ અને બાકી રહેલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_f = (2n) \left( \frac{3}{2} RT \right) + (N-n) \left( \frac{5}{2} RT \right)$.
$U_f = 3nRT + \frac{5}{2}NRT - \frac{5}{2}nRT = \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$:
$\Delta U = \left( \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT \right) - \left( \frac{5}{2}NRT \right) = \frac{1}{2}nRT$.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ સંપૂર્ણપણે ગતિજ હોય છે કારણ કે તેમાં આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો હોતા નથી $(U_p = 0)$. તેથી,$U = U_k = \frac{3}{2} \mu R T$,જે માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
આપેલ ઉષ્માના જથ્થા $\Delta Q$ માટે,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ એ $\Delta Q = \mu C \Delta T$ દ્વારા મળે છે,અથવા $\Delta T = \frac{\Delta Q}{\mu C}$.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ એ અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ કરતા વધારે હોવાથી,એટલે કે $C_P > C_V$,તેથી સમાન $\Delta Q$ માટે,$(\Delta T)_P < (\Delta T)_V$ થાય. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને તાપમાનના વધારા વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે,જે આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે તેનું કારણ નથી. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = nRT \ln(V_2/V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $W = 575\,J$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,અને દળ $m = 10\,g = 0.01\,kg$.
$575 = nRT \ln(2V/V) = nRT \ln(2)$.
$nRT = PV$ હોવાથી,આપણને $PV = 575 / \ln(2) \approx 575 / 0.693 \approx 829.7\,J$ મળે છે.
વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{3PV/m}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{rms} = \sqrt{(3 \times 829.7) / 0.01} = \sqrt{248910} \approx 498.9\,m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $499\,m/s$ મળે છે.

(C) વાયુના અણુઓનો rms વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,જો વેગ બમણો થાય,તો તાપમાન $4$ ગણું વધવું જોઈએ.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300\,K.$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 4 \times 300 = 1200\,K.$
નાઇટ્રોજન $(N_2)$ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી મુક્તતાના અંશો $f = 5.$
મોલની સંખ્યા $n = \frac{15}{28}.$
અચળ કદે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T = n \left( \frac{f}{2}R \right) (T_2 - T_1).$
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = \left( \frac{15}{28} \right) \times \left( \frac{5}{2} \times 8.3 \right) \times (1200 - 300).$
$\Delta Q = \left( \frac{15}{28} \right) \times 20.75 \times 900 \approx 10000\,J = 10\,kJ.$

(A) અણુઓની કુલ સંખ્યા $N$ એ સમગ્ર કદ પર સંખ્યા ઘનતા $n(r)$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,કદનો ઘટક $dV = 4\pi r^2 dr$ છે.
તેથી,$N = \int_{0}^{\infty} n(r) dV = \int_{0}^{\infty} n_0 e^{-\alpha r^4} (4\pi r^2) dr$.
$N = 4\pi n_0 \int_{0}^{\infty} r^2 e^{-\alpha r^4} dr$.
ધારો કે $u = \alpha r^4$,તો $r = (u/\alpha)^{1/4}$ અને $dr = \frac{1}{4} \alpha^{-1/4} u^{-3/4} du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$N = 4\pi n_0 \int_{0}^{\infty} (u/\alpha)^{2/4} e^{-u} (\frac{1}{4} \alpha^{-1/4} u^{-3/4}) du$.
$N = \pi n_0 \alpha^{-1/2} \alpha^{-1/4} \int_{0}^{\infty} u^{1/2 - 3/4} e^{-u} du = \pi n_0 \alpha^{-3/4} \int_{0}^{\infty} u^{-1/4} e^{-u} du$.
સંકલન $\int_{0}^{\infty} u^{-1/4} e^{-u} du$ એ એક અચળાંક (Gamma વિધેય $\Gamma(3/4)$) છે.
તેથી,$N \propto n_0 \alpha^{-3/4}$.

(B) ગેસના અણુની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{M}{r^6} - \frac{N}{r^{12}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,અણુ પર લાગતું બળ $F$ શૂન્ય હોય છે.
બળ અને સ્થિતિ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dr}$ છે.
વિકલન કરતા: $F = -\frac{d}{dr} \left( \frac{M}{r^6} - \frac{N}{r^{12}} \right) = - \left( -\frac{6M}{r^7} + \frac{12N}{r^{13}} \right) = \frac{6M}{r^7} - \frac{12N}{r^{13}}$.
સંતુલન માટે $F = 0$ લેતા: $\frac{6M}{r^7} = \frac{12N}{r^{13}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $r^6 = \frac{12N}{6M} = \frac{2N}{M}$ મળે છે.
હવે,$r^6 = \frac{2N}{M}$ ની કિંમત સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U = \frac{M}{r^6} - \frac{N}{(r^6)^2} = \frac{M}{(2N/M)} - \frac{N}{(2N/M)^2}$.
$U = \frac{M^2}{2N} - \frac{N}{4N^2/M^2} = \frac{M^2}{2N} - \frac{M^2}{4N}$.
$U = \frac{2M^2 - M^2}{4N} = \frac{M^2}{4N}$.

(B) બળ $F$ એ સ્થિતિ ઉર્જાના ઋણ ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -\frac{dU}{dr}$.
$F = -\frac{d}{dr} \left[ \frac{M}{r^6} - \frac{N}{r^{12}} \right] = -\left[ -\frac{6M}{r^7} + \frac{12N}{r^{13}} \right] = \frac{6M}{r^7} - \frac{12N}{r^{13}}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે: $F = 0$.
$\frac{6M}{r^7} = \frac{12N}{r^{13}} \implies r^6 = \frac{12N}{6M} = \frac{2N}{M}$.
$r^6 = \frac{2N}{M}$ ને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U = \frac{M}{(r^6)} - \frac{N}{(r^6)^2} = \frac{M}{(2N/M)} - \frac{N}{(2N/M)^2}$.
$U = \frac{M^2}{2N} - \frac{N \cdot M^2}{4N^2} = \frac{M^2}{2N} - \frac{M^2}{4N} = \frac{M^2}{4N}$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બોક્સને અચાનક રોકવામાં આવે છે ત્યારે બોક્સની ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુનું દળ $m$ છે અને તેનું મોલર દળ $M$ છે. મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{m}{M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોક્સની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \mu C_v \Delta T$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
ગતિઊર્જાને આંતરિક ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \left(\frac{m}{M}\right) \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T$
બંને બાજુથી $m$ અને $\frac{1}{2}$ ને દૂર કરતા:
$v^2 = \frac{5R}{M} \Delta T$
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{Mv^2}{5R}$

(D) જ્યારે પાત્રને સ્થિર કરવામાં આવે છે ત્યારે વાયુની ગતિ ઊર્જા આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે.
વાયુની કુલ ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} (nM) v^2$ છે,જ્યાં $nM$ એ વાયુનું કુલ દળ છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{nR \Delta T}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્ર ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} (nM) v^2 = \frac{nR \Delta T}{\gamma - 1}$
બંને બાજુથી $n$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{R \Delta T}{\gamma - 1}$
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{M v^2 (\gamma - 1)}{2R}$

(B) ડ્રાઇવિંગ દરમિયાન,ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના ઘર્ષણને કારણે,તેમજ ટાયરના સતત સંકોચન અને વિસ્તરણને કારણે ગરમી ઉત્પન્ન થાય છે. આનાથી ટાયરની અંદર રહેલી હવાનું તાપમાન વધે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ ધરાવતા વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $P$ એ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$. તેથી,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ટાયરની અંદરનું હવાનું દબાણ વધે છે. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન સાચું છે.
કારણના સંદર્ભમાં,નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન $(0 \ K)$ એ એવું તાપમાન છે કે જ્યાં વાયુના અણુઓની શાસ્ત્રીય ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે. જો કે,ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં,શૂન્ય-બિંદુ ઉર્જા નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આમ,'નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન એ શૂન્ય ઉર્જા તાપમાન નથી' તે વિધાન વૈજ્ઞાનિક રીતે સાચું છે.
જો કે,કારણ એ સમજાવતું નથી કે કારના ટાયરમાં દબાણ શા માટે વધે છે; દબાણમાં વધારો ઘર્ષણને કારણે તાપમાનમાં વધારો થવાને લીધે થાય છે,નિરપેક્ષ શૂન્ય ઉર્જાના સ્વભાવને કારણે નહીં. તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) સરેરાશ મુક્ત સમય $t$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ અને વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$t = \frac{\lambda}{v_{avg}}$
સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi D^{2} n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે. જો આપણે સંખ્યા ઘનતા $n$ ને અચળ માનીએ,તો $\lambda$ અચળ રહે છે.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8 RT}{\pi M_{w}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
તેથી,$t = \frac{\lambda}{v_{avg}} \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
આમ,$t$ અને $1/\sqrt{T}$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હશે. તેથી,સાચો આલેખ $t$ વિરુદ્ધ $1/\sqrt{T}$ છે.

(N/A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા,$r = 0.5 \; \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \; m$.
એક હાઇડ્રોજન પરમાણુનું કદ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (0.5 \times 10^{-10})^3 \approx 0.524 \times 10^{-30} \; m^3$.
$1$ મોલ હાઇડ્રોજનમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $= 6.023 \times 10^{23}$.
$1$ મોલ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓનું કદ,$V_a = 6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30} \approx 3.16 \times 10^{-7} \; m^3$.
$STP$ પર $1$ મોલ વાયુનું મોલર કદ,$V_m = 22.4 \; L = 22.4 \times 10^{-3} \; m^3$.
ગુણોત્તર $\frac{V_m}{V_a} = \frac{22.4 \times 10^{-3}}{3.16 \times 10^{-7}} \approx 7.08 \times 10^4$.
આ ગુણોત્તર મોટો છે કારણ કે વાયુમાં અણુઓ વચ્ચેનું અંતર તેમના કદ કરતા ઘણું વધારે હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુમાં મોટાભાગની જગ્યા ખાલી હોય છે.

(A) હા; અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે.
$1$. વેગમાનનું સંરક્ષણ: કોઈપણ અથડામણમાં,તંત્ર (અણુ + દીવાલ) નું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય. દીવાલ પાત્રનો ભાગ હોવાથી અને તે સ્થિર (અથવા અનંત દળ ધરાવતી) હોવાથી,અણુનું વેગમાન બદલાય છે,પરંતુ તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. અથડામણનો પ્રકાર: અણુ $200 \; m s^{-1}$ ની ઝડપે દીવાલ સાથે અથડાય છે અને તે જ $200 \; m s^{-1}$ ની ઝડપે પાછો ફરે છે. અથડામણ પહેલાં અણુની ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2$ છે અને અથડામણ પછી પણ $K_f = \frac{1}{2} m v^2$ છે,તેથી ગતિઊર્જા બદલાતી નથી $(K_i = K_f)$. તેથી,આ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(N/A) આપેલ છે: ઓક્સિજનના અણુનું દળ $m = 5.30 \times 10^{-26} \; kg$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.94 \times 10^{-46} \; kg \cdot m^{2}$,સરેરાશ ઝડપ $v = 500 \; m/s$.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $KE_{trans} = \frac{1}{2} m v^{2}$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $KE_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE_{rot} = \frac{2}{3} KE_{trans}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} m v^{2})$.
$I \omega^{2} = \frac{2}{3} m v^{2}$.
$\omega^{2} = \frac{2 m v^{2}}{3 I}$.
$\omega = \sqrt{\frac{2 m v^{2}}{3 I}} = v \sqrt{\frac{2 m}{3 I}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = 500 \times \sqrt{\frac{2 \times 5.30 \times 10^{-26}}{3 \times 1.94 \times 10^{-46}}}$.
$\omega = 500 \times \sqrt{\frac{10.60 \times 10^{-26}}{5.82 \times 10^{-46}}} = 500 \times \sqrt{1.821 \times 10^{20}}$.
$\omega = 500 \times 1.349 \times 10^{10} \approx 6.75 \times 10^{12} \; rad/s$.

(A) પ્રવાહી પાણીની ઘનતા $\rho_{liquid} = 1000 \; kg \; m^{-3}$ છે.
પાણીની વરાળની ઘનતા $\rho_{vapour} = 0.6 \; kg \; m^{-3}$ છે.
ધારો કે પાણીના અણુની પોતાની ઘનતા પ્રવાહી પાણીની ઘનતા જેટલી જ છે,તો આપેલ દળ $M$ માટે આણ્વિય કદ $V_{mol} = M / \rho_{liquid}$ થાય.
તે જ દળ $M$ દ્વારા વરાળ અવસ્થામાં રોકાયેલું કુલ કદ $V_{vapour} = M / \rho_{vapour}$ છે.
આણ્વિય કદ અને કુલ કદનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\text{Ratio} = \frac{V_{mol}}{V_{vapour}} = \frac{M / \rho_{liquid}}{M / \rho_{vapour}} = \frac{\rho_{vapour}}{\rho_{liquid}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{Ratio} = \frac{0.6}{1000} = 0.6 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-4}$.

(C) પ્રવાહી પાણીની ઘનતા અને પાણીની વરાળની ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{1000}{0.6} \approx 1.67 \times 10^3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પાણીના ચોક્કસ દળ દ્વારા વરાળ અવસ્થામાં રોકાયેલું કદ,પ્રવાહી અવસ્થામાં રોકાયેલા કદ કરતા $1.67 \times 10^3$ ગણું છે.
કદ $V$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન $(V \propto r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર કદના ઘનમૂળ સાથે બદલાય છે.
પ્રવાહી અવસ્થામાં અણુની ત્રિજ્યા $2 \; \mathring{A}$ હોવાથી,અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર $2 \times 2 = 4 \; \mathring{A}$ થાય.
જ્યારે કદ $10^3$ ગણું વધે છે,ત્યારે અંતર $10$ ગણું વધે છે.
તેથી,વરાળમાં સરેરાશ અંતર $10 \times 4 \; \mathring{A} = 40 \; \mathring{A}$ થશે.

(A) યાદ રાખવા જેવી મહત્વની બાબત એ છે કે કોઈપણ આદર્શ વાયુની (પછી તે આર્ગોન જેવો એકપરમાણ્વીય હોય,ક્લોરિન જેવો દ્વિપરમાણ્વીય હોય કે બહુપરમાણ્વીય હોય) અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા હંમેશા $\frac{3}{2}k_{B}T$ જેટલી હોય છે. તે માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે અને વાયુના પ્રકારથી સ્વતંત્ર છે.
$(i)$ ફ્લાસ્કમાં આર્ગોન અને ક્લોરિન બંનેનું તાપમાન સમાન હોવાથી,બંને વાયુઓની અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.
$(ii)$ રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}}$ છે,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે. તેથી,આર્ગોન અને ક્લોરિન માટે $v_{rms}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{(v_{rms})_{Ar}}{(v_{rms})_{Cl}} = \sqrt{\frac{m_{Cl}}{m_{Ar}}} = \sqrt{\frac{M_{Cl}}{M_{Ar}}} = \sqrt{\frac{70.9}{39.9}} \approx \sqrt{1.776} \approx 1.33$.
આમ,ગુણોત્તર $1.33:1$ છે.

(A) ધારો કે બેટની પાછળ રહેલા વિકેટની સાપેક્ષમાં દડાની ઝડપ $u$ છે. જો બેટ વિકેટની સાપેક્ષમાં $V$ ઝડપથી દડા તરફ ગતિ કરતું હોય,તો બેટની સાપેક્ષમાં દડાની સાપેક્ષ ઝડપ $V+u$ થાય છે. જ્યારે દડો (વિશાળ બેટ સાથે અથડાયા પછી) પાછો ફરે છે,ત્યારે બેટની સાપેક્ષમાં તેની ઝડપ $V+u$ હોય છે. તેથી,વિકેટની સાપેક્ષમાં પાછા ફરતા દડાની ઝડપ $V+(V+u) = 2V+u$ થાય છે. આમ,બેટ સાથેની અથડામણ પછી દડો વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
$(b)$ જ્યારે પિસ્ટનને સિલિન્ડરમાં ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુના અણુઓ ગતિશીલ પિસ્ટન સાથે અથડાય છે. દડો ગતિશીલ બેટ સાથે અથડાય છે તે જ રીતે,અણુઓ વધુ ઝડપે પાછા ફરે છે. અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા વધતી હોવાથી,વાયુનું તાપમાન વધે છે.
$(c)$ જ્યારે વાયુ પિસ્ટનને બહાર ધકેલીને વિસ્તરણ પામે છે,ત્યારે અણુઓ દૂર જઈ રહેલા પિસ્ટન સાથે અથડાય છે. અણુઓ ઓછી ઝડપે પાછા ફરે છે,જેના પરિણામે વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. પરિણામે,વાયુનું તાપમાન ઘટે છે.
$(d)$ હા,ભારે બેટનો ઉપયોગ કરવો ફાયદાકારક છે. બેટ વિશાળ હોવાથી,દડા સાથેની અથડામણ દરમિયાન તે તેની ઝડપ ગુમાવતું નથી. દડો વધુ ઝડપ $(2V+u)$ સાથે પાછો ફરે છે,જે બેટ્સમેનને દડાને દૂર સુધી ફટકારવામાં મદદ કરે છે.