Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Hindi

$(A)$ दिया गया है: ऊँचाई $h = 1000 \,km = 10^6 \,m$, पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6.4 \times 10^6 \,m$, पृथ्वी का द्रव्यमान $M = 6 \times 10^{24} \,kg$, गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$।
कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 1.0 \times 10^6 = 7.4 \times 10^6 \,m$ है।
उपग्रह का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ है।
मान रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{(7.4 \times 10^6)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{405.224 \times 10^{18}}{40.02 \times 10^{13}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{10.125 \times 10^5} = 6.28 \times \sqrt{1012500} \approx 6.28 \times 1006.23 \approx 6319 \,s$.
मिनटों में बदलने पर: $T = \frac{6319}{60} \approx 105.3 \,min$.
अतः, आवर्तकाल लगभग $105 \,min$ है।

(D) दिया गया है: $T_A = 8 T_B$.
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto R^3$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है और $R$ कक्षीय त्रिज्या है।
अतः,$\frac{T_A^2}{T_B^2} = \frac{R_A^3}{R_B^3} \Rightarrow (8)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3 \Rightarrow 64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$.
घनमूल लेने पर,$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$.
कक्षीय वेग $V$ का सूत्र $V = \frac{2 \pi R}{T}$ है।
इसलिए,कक्षीय वेगों का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{R_A}{R_B} \times \frac{T_B}{T_A} = 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(C) भूस्थिर उपग्रह वह उपग्रह है जो पृथ्वी के घूर्णन की दिशा में (पश्चिम से पूर्व की ओर) पृथ्वी की परिक्रमा करता है।
इसका कक्षीय आवर्तकाल पृथ्वी के घूर्णन काल के बिल्कुल बराबर होता है, जो कि $24 \,h$ (या $1 \,day$) है।

(C) उपग्रह के लिए कक्षीय आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_E}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto r^{3/2}$ है।
एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ hrs}$ है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ है और नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ है।
समानुपातिकता $T \propto r^{3/2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास अनुपात है:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_2}{24} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
अतः,$T_2 = 24 \times 2\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \text{ hrs}$।

(A) दिया गया है: $G=6.67 \times 10^{-11} \text{ N-m}^2 \text{ kg}^{-2}$,$M=5.98 \times 10^{24} \text{ kg}$,$R=6.4 \times 10^6 \text{ m}$.
संचार उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T = 24 \text{ h} = 24 \times 3600 \text{ s} = 8.64 \times 10^4 \text{ s}$.
कक्षीय त्रिज्या $r = R+h$ केप्लर के तीसरे नियम द्वारा आवर्तकाल से संबंधित है: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$.
$r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r = \left( \frac{T^2 GM}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$.
मान रखने पर:
$r = \left( \frac{(8.64 \times 10^4)^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3}$.
$r \approx 42.25 \times 10^6 \text{ m}$.
चूंकि $h = r - R$,इसलिए $h = 42.25 \times 10^6 \text{ m} - 6.4 \times 10^6 \text{ m} = 35.85 \times 10^6 \text{ m}$.
किलोमीटर में बदलने पर: $h = 35850 \text{ km}$.

(A) जब $120 \ km$ की ऊँचाई पर पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष यान से एक गेंद गिराई जाती है,तो छोड़ने के क्षण में गेंद का कक्षीय वेग अंतरिक्ष यान के समान ही होता है।
चूंकि अंतरिक्ष के निर्वात में इसकी गति की स्थिति को बदलने के लिए कोई बाहरी बल (जैसे वायु प्रतिरोध) नहीं होता है,इसलिए गेंद अंतरिक्ष यान की समान गति और दिशा में चलना जारी रखेगी।
अतः,यह अंतरिक्ष यान की मूल कक्षा में ही गति करना जारी रखेगी।

(B) $\text{भूस्थिर उपग्रह के लिए, कक्षीय अवधि } T = 24 \text{ घंटे है, जो } 24 \times 3600 = 86400 \,s \text{ के बराबर है।}
\text{केपलर के तीसरे नियम के अनुसार कक्षीय त्रिज्या } r \text{ का सूत्र: } T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM_{E}}.
r \text{ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: } r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}.
\text{मान रखने पर: } G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2/kg^2, M_{E} = 6 \times 10^{24} \,kg, T = 86400 \,s.
r = \left( \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times (86400)^2}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^7 \,m.
\text{पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई } h = r - R_{E} \text{ है।}
h = 4.22 \times 10^7 \,m - 0.64 \times 10^7 \,m = 3.58 \times 10^7 \,m.
\text{दिए गए विकल्पों के अनुसार, ऊँचाई लगभग } 3.57 \times 10^7 \,m \text{ है।}$

(D) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कक्षीय त्रिज्या है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$1$. कक्षीय त्रिज्या $r$,$R + h$ के बराबर होती है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई है।
$2$. सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T$ पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,कक्षा की त्रिज्या $(r)$ और ऊँचाई $(h)$ पर निर्भर करता है क्योंकि $r = R + h$ है।
$3$. आवर्तकाल $T$ उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ से स्वतंत्र होता है।
अतः,आवर्तकाल (ii),(iii) और (iv) पर निर्भर करता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय गति $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह के निकट एक पिंड के लिए,$r_1 = R = 6400 \ km$,इसलिए $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = 8 \ km s^{-1}$ है।
$h = 19,200 \ km$ की ऊँचाई पर स्थित पिंड के लिए,केंद्र से दूरी $r_2 = R + h = 6400 + 19,200 = 25,600 \ km$ है।
इस ऊँचाई पर कक्षीय गति $v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R}{r_2}} = \sqrt{\frac{6400}{25600}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{8 \ km s^{-1}}{2} = 4 \ km s^{-1}$।

(C) $r$ त्रिज्या की कक्षा में एक कृत्रिम उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r$ त्रिज्या पर प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2r}$ है।
$\frac{3r}{2}$ त्रिज्या पर अंतिम ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2(\frac{3r}{2})} = -\frac{GMm}{3r}$ है।
जैसे-जैसे उपग्रह उच्च कक्षा में जाता है,ऊर्जा बढ़ती है। ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{3r} - (-\frac{GMm}{2r}) = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{3r} = \frac{GMm}{6r}$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta E}{|E_1|} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= \frac{\frac{GMm}{6r}}{\frac{GMm}{2r}} \times 100\% = \frac{2}{6} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33.33\%$.

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ इस प्रकार दिया जाता है:
$g = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = \frac{16}{49} g_0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R}{R+h} = \frac{4}{7}$
$7R = 4R + 4h \implies 4h = 3R \implies h = \frac{3R}{4}$
कक्षीय त्रिज्या $r$ है:
$r = R + h = R + \frac{3R}{4} = \frac{7R}{4}$
उपग्रह का परिक्रमण काल $T$ इस प्रकार है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} = \frac{4\pi^2}{GM} \left( \frac{7R}{4} \right)^3 = \frac{4\pi^2}{GM} \left( \frac{343 R^3}{64} \right) = \frac{343}{16} \left[ \frac{\pi^2 R^3}{GM} \right]$
इसकी तुलना $K \left[ \frac{\pi^2 R^3}{GM} \right]$ से करने पर,हमें $K = \frac{343}{16}$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की चाल नियत रहती है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,उपग्रह पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि चाल $v$ नियत है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ स्थिर रहती है।
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0$ है।
चूंकि किया गया कार्य $W = \Delta K = 0$ है,इसलिए आवश्यक शक्ति,जिसे $P = \frac{W}{t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,भी शून्य होगी।
इस प्रकार,उपग्रह को उसकी कक्षा में नियत चाल से गतिमान बनाए रखने के लिए किसी बाहरी शक्ति की आवश्यकता नहीं होती है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,उपसौर और अपसौर बिंदुओं पर:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$\Rightarrow v_2 = \frac{v_1 r_1}{r_2}$ $(i)$
कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से:
$-\frac{G M m}{r_1} + \frac{1}{2} m v_1^2 = -\frac{G M m}{r_2} + \frac{1}{2} m v_2^2$
समीकरण $(i)$ से $v_2$ का मान रखने पर:
$-\frac{G M}{r_1} + \frac{1}{2} v_1^2 = -\frac{G M}{r_2} + \frac{1}{2} \left(\frac{v_1 r_1}{r_2}\right)^2$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left(1 - \frac{r_1^2}{r_2^2}\right) = G M \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left(\frac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2}\right) = G M \left(\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}\right)$
$\frac{1}{2} v_1^2 \frac{(r_2 - r_1)(r_2 + r_1)}{r_2^2} = G M \frac{(r_2 - r_1)}{r_1 r_2}$
$v_1^2 = \frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}$
$v_1 = \sqrt{\frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}}$
कोणीय संवेग $L = m v_1 r_1 = m \sqrt{\frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}} \cdot r_1 = m \sqrt{\frac{2 G M r_1 r_2}{r_1 + r_2}}$

(C) $M_p$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r = R_p + h$ दूरी पर स्थित उपग्रह का परिक्रमण काल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_p}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि उपग्रह ग्रह के बहुत करीब परिक्रमा कर रहा है,इसलिए $h \approx 0$,अतः $r \approx R_p$ होगा।
ग्रह के घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R_p$ के पदों में ग्रह का द्रव्यमान $M_p = \frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho$ होता है।
$M_p$ का मान परिक्रमण काल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_p^3}{G (\frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho)}}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$.

(D) अंतरिक्ष यात्री पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{Mm}{r^2}$ है,जो सीमित और गैर-शून्य है। हालाँकि,अंतरिक्ष यात्री अंतरिक्ष यान के साथ मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होता है। अंतरिक्ष यान के संदर्भ फ्रेम में,गुरुत्वाकर्षण बल छद्म-बल (अपकेंद्री बल) द्वारा संतुलित हो जाता है,जिससे भारहीनता की स्थिति उत्पन्न होती है। इसलिए,अंतरिक्ष यात्री को कोई गुरुत्वाकर्षण बल 'महसूस' नहीं होता है (प्रभावी भार शून्य होता है)। अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ उपग्रहों की कक्षीय गति का वर्णन करने वाला एक मानक भौतिक तथ्य है,जो सत्य है।

(D) दोनों तारे समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ के चारों ओर घूमते हैं।
मान लीजिए कि $M$ और $2M$ द्रव्यमानों की $COM$ से दूरियाँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
हम जानते हैं कि $r_1 + r_2 = d$ और $M r_1 = (2M) r_2$ होता है।
इनसे,$r_1 = \frac{2M}{3M} d = \frac{2}{3} d$ प्राप्त होता है।
तारों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल $M$ द्रव्यमान वाले तारे के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$F_g = F_c$
$\frac{G(M)(2M)}{d^2} = M \omega^2 r_1$
$r_1 = \frac{2}{3} d$ रखने पर:
$\frac{2 G M^2}{d^2} = M \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\frac{2 G M}{d^2} = \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\omega^2 = \frac{2 G M}{d^2} \cdot \frac{3}{2 d} = \frac{3 G M}{d^3}$
$\omega = \sqrt{\frac{3 G M}{d^3}}$

(A) $M$ द्रव्यमान वाले दो समान तारे जो $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में एक-दूसरे के चारों ओर घूम रहे हैं,उनके बीच की दूरी $d = 2R$ है।
उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G M^2}{(2R)^2} = \frac{G M^2}{4R^2}$ है।
$M$ द्रव्यमान वाले तारे के लिए $R$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग के साथ गति करने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $F_c = M \omega^2 R$ है।
बलों की तुलना करने पर: $M \omega^2 R = \frac{G M^2}{4R^2}$।
सरल करने पर,$\omega^2 = \frac{G M}{4R^3}$।
चूंकि समय काल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है,इसलिए $T^2 = \frac{4\pi^2}{\omega^2} = \frac{4\pi^2 (4R^3)}{GM} = \frac{16\pi^2 R^3}{GM}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T^2 \propto R^3$,जिसका अर्थ है कि $T \propto R^{\frac{3}{2}}$।

(B) दिया गया है: समयावधि $T = 6 \text{ घंटे} = 21600 \text{ सेकंड}$।
पृथ्वी की त्रिज्या $R_e = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$।
केपलर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए: $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$, जहाँ $R$ कक्षा की त्रिज्या है।
$R^3 = T^2 \times \frac{GM}{4\pi^2} = (21600)^2 \times 8 \times 10^{12} = 3.732 \times 10^{21} \text{ m}^3$।
$R = (3732.48)^{1/3} \times 10^6 \approx 15510 \text{ km}$।
सतह से दूरी $h = R - R_e = 15510 - 6400 = 9110 \text{ km}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम उत्तर $8720 \text{ km}$ है।

(C) दिया गया है: ग्रह $360$ दिनों में $2$ चक्कर पूरे करता है।
एक पूर्ण चक्कर $2\pi$ रेडियन के कोण के बराबर होता है।
इसलिए,$2$ चक्करों में तय किया गया कुल कोण $\theta = 2 \times 2\pi = 4\pi$ रेडियन है।
लिया गया समय $t = 360$ दिन है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = \frac{\theta}{t}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर: $\omega = \frac{4\pi}{360} = \frac{\pi}{90} \text{ rad day}^{-1}$।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega \approx \frac{3.14159}{90} \approx 0.0349 \text{ rad day}^{-1}$ प्राप्त होता है।
इसे वैज्ञानिक संकेतन में $3.49 \times 10^{-2} \text{ rad day}^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो लगभग $3.5 \times 10^{-2} \text{ rad day}^{-1}$ है।

(C) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$m g = m \omega^2 R$
चूंकि $g = \frac{G M}{R^2}$ और $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
इस मान को बल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$m (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = m \omega^2 R$
$\omega^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$
चूंकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,हमें $(\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $T^2 = \frac{3 \pi}{G \rho}$ हो जाता है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
चूंकि दोनों उपग्रहों का आवर्तकाल $T$ समान है,इसलिए उनके घनत्व समान होने चाहिए,अर्थात $\rho_m = \rho_e$.

(A) कोणीय संवेग $\vec{L}$ को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि कण $xy$-समतल में गति कर रहा है,इसलिए $\vec{L}$ $z$-अक्ष की दिशा में (गति के समतल के लंबवत) होता है।
बिंदु $A$ पर,कण $y$-दिशा में गति कर रहा है (दीर्घवृत्त के सबसे दाहिने बिंदु पर स्पर्शरेखा),इसलिए रैखिक संवेग $\vec{p}$ $+y$ दिशा में है।
हमें $\vec{\alpha} = \vec{p} \times \vec{L}$ की दिशा ज्ञात करनी है।
क्रॉस प्रोडक्ट के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
$\vec{p}$ $+y$ दिशा $(\hat{j})$ में है।
$\vec{L}$ $+z$ दिशा $(\hat{k})$ में है।
इसलिए,$\vec{\alpha} = \vec{p} \times \vec{L} = (p\hat{j}) \times (L\hat{k}) = pL(\hat{j} \times \hat{k}) = pL\hat{i}$.
यह $+x$ अक्ष की दिशा के अनुरूप है।

(D) एक ग्रह सूर्य द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल $F$ हमेशा ग्रह और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा (स्थिति सदिश $r$) के अनुदिश कार्य करता है,इसलिए सूर्य के सापेक्ष ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = r \times F = rF \sin(180^{\circ}) = 0$ होता है।
टॉर्क और कोणीय संवेग के बीच संबंध के अनुसार,$\tau = \frac{dL}{dt}$ होता है।
चूंकि $\tau = 0$ है,इसलिए $\frac{dL}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि कोणीय संवेग $L$ समय के साथ स्थिर रहता है।
अतः,ग्रह का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

(B) पृथ्वी की सतह के करीब परिक्रमा करने वाले उपग्रह का समय काल $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_e^3$ है,जहाँ $\rho$ पृथ्वी का घनत्व है,हम $M$ को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_e^3)}} = 2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}$.
यह दर्शाता है कि $T$ पृथ्वी के घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है। अतः,कथन $I$ सही है।
सतह के बहुत करीब उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,जिससे $g = \frac{GM}{R_e^2}$ प्राप्त होता है।
$GM = gR_e^2$ को सामान्य समय काल सूत्र $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{GM}}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{gR_e^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{R_e}{g}}$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $II$ सही है।