Gravitational Potential and Potential Energy of system Questions in Gujarati

(B) તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U$ એ દળના ઘટકોને અનંત અંતરેથી તેમના સંબંધિત સ્થાનો પર લાવીને તંત્ર બનાવવા માટે કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે,આપણે સપાટી પર અતિ સૂક્ષ્મ દળના ઘટકો $dm$ ઉમેરીને કવચ બનાવીએ છીએ.
પાતળા કવચ માટે,સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે $-\frac{GM}{R}$ જેટલું હોય છે.
જ્યારે આપણે કવચ બનાવીએ છીએ,ત્યારે થયેલું કુલ કાર્ય $W = \int V dm = \int_{0}^{M} -\frac{GM}{R} dm$ થાય છે.
અહીં $R$ ત્રિજ્યાના સમગ્ર કવચ માટે સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોવાથી,આપણે $dm$ નું $0$ થી $M$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ,જેનું પરિણામ $U = -\frac{GM^2}{2R}$ મળે છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પર $m$ દળના કણની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણને અનંત અંતરે (જ્યાં સ્થિતિઊર્જા $0$ છે) લઈ જવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધમાં કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_{final} - U_{initial} = 0 - (- \frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}$.
આપેલ કિંમતો:
$M = 100\, kg$
$m = 10\, g = 0.01\, kg$
$R = 10\, cm = 0.1\, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11}\, Nm^2/kg^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 0.01}{0.1}$
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1}{0.1} = 6.67 \times 10^{-10}\, J$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{G M_e m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R_e$ ઊંચાઈએ છે.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R_e + h = R_e + R_e = 2 R_e$ થશે.
આ કિંમત સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $U = -\frac{G M_e m}{2 R_e}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M_e}{R_e^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G M_e = g R_e^2$.
$G M_e = g R_e^2$ ને $U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $U = -\frac{(g R_e^2) m}{2 R_e} = -\frac{m g R_e}{2}$ મળે છે.

(B) કોઈ બિંદુ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ એકમ દળને અનંત અંતરેથી તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય જેટલું હોય છે.
બિંદુ $A$ (જે $r$ અંતરે છે) અને અનંત અંતર વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_{\infty} = -\int_{\infty}^{r} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે અનંત અંતરે સ્થિતિમાન $V_{\infty} = 0$ હોય,ત્યારે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = -5 \, unit$ છે.
તેથી,$-5 - 0 = -\frac{GM}{r}$,જે સૂચવે છે કે $-\frac{GM}{r} = -5$.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે અનંત અંતરે સ્થિતિમાન $V_{\infty}' = +10 \, unit$ લેવામાં આવે,ત્યારે બિંદુ $A$ પરનું નવું સ્થિતિમાન $V_A'$ થાય છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન રહે છે કારણ કે તે માત્ર દળ અને અંતર પર આધાર રાખે છે: $V_A' - V_{\infty}' = -\frac{GM}{r}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_A' - 10 = -5$.
તેથી,$V_A' = -5 + 10 = +5 \, unit$.

(N/A) ધારો કે $l$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર $m$ દળના ચાર પદાર્થો મૂકેલા છે. કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ અલગ-અલગ દળની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
અહીં $l$ અંતરે રહેલી દળની $4$ જોડીઓ (ચોરસની બાજુઓ) અને $\sqrt{2}l$ અંતરે રહેલી દળની $2$ જોડીઓ (ચોરસના વિકર્ણો) છે.
$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળની જોડીની સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{G m_1 m_2}{r}$ છે.
તેથી,કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = -4 \left( \frac{G m^2}{l} \right) - 2 \left( \frac{G m^2}{\sqrt{2} l} \right)$
$U = -\frac{G m^2}{l} \left( 4 + \frac{2}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{G m^2}{l} (4 + \sqrt{2}) \approx -5.414 \frac{G m^2}{l}$.
ચોરસના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ ચારેય દળોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે. કેન્દ્રથી દરેક દળનું અંતર $r = \frac{\sqrt{2}l}{2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
$V = 4 \times \left( -\frac{G m}{r} \right) = 4 \times \left( -\frac{G m}{l/\sqrt{2}} \right) = -4\sqrt{2} \frac{G m}{l}$.

(N/A) દરેક ગોળાનું દળ,$M = 100 \; kg$.
ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર,$r = 1.0 \; m$.
ધારો કે $X$ એ ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $X$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$X$ પર રહેલી વસ્તુ પર દરેક ગોળા દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી,$X$ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $0 \; N$ છે.
$2$. $X$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન:
$M$ દળથી $d$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V = -GM/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યબિંદુ $X$ પર,દરેક ગોળાથી અંતર $d = r/2 = 0.5 \; m$ છે.
$V_{total} = V_1 + V_2 = -\frac{GM}{r/2} - \frac{GM}{r/2} = -\frac{4GM}{r}$
$V_{total} = -\frac{4 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{1.0} = -2.668 \times 10^{-8} \; J/kg \approx -2.67 \times 10^{-8} \; J/kg$.
$3$. સંતુલન:
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી,$X$ પર મૂકવામાં આવેલી વસ્તુ સંતુલન સ્થિતિમાં છે. જો વસ્તુને સહેજ એક ગોળા તરફ ખસેડવામાં આવે,તો તે ગોળા દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વધે છે જ્યારે બીજા ગોળા દ્વારા લાગતું બળ ઘટે છે. આ સ્થાનાંતરની દિશામાં ચોખ્ખું બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે વસ્તુને $X$ થી દૂર ખેંચે છે. આમ,આ સંતુલન અસ્થાયી છે.

(B) પૃથ્વીનું દળ,$M = 6.0 \times 10^{24} \; kg$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા,$R = 6400 \; km = 6.4 \times 10^{6} \; m$.
જીઓસ્ટેશનરી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ,$h = 36000 \; km = 3.6 \times 10^{7} \; m$.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી ઉપગ્રહનું અંતર $r = R + h = 6.4 \times 10^{6} \; m + 36.0 \times 10^{6} \; m = 42.4 \times 10^{6} \; m = 4.24 \times 10^{7} \; m$.
$r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{4.24 \times 10^{7}}$.
$V = -\frac{40.02 \times 10^{13}}{4.24 \times 10^{7}}$.
$V \approx -9.44 \times 10^{6} \; J/kg$.

(N/A) સ્થિતિ ઊર્જા એ પદાર્થની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે તેમાં સંગ્રહિત ઊર્જા છે. જો તંત્રની ગોઠવણી બદલાય,તો તેની સ્થિતિ ઊર્જા બદલાય છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા એ પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં તેના સ્થાનને કારણે તેમાં સંગ્રહિત ઊર્જા છે. જ્યારે $m$ દળના પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
બાહ્ય બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = F d \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$F = mg$,$d = h$,અને $\theta = 0^{\circ}$ (કારણ કે બળ અને સ્થાનાંતર બંને ઉપરની દિશામાં છે).
તેથી,$W = (mg)(h) \cos 0^{\circ} = mgh$.
આ કાર્ય ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = mgh$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $U = mgh$ પરથી મેળવી શકાય છે:
$[M] \times [LT^{-2}] \times [L] = [M^{1} L^{2} T^{-2}]$.
ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા એટલે કોઈ પદાર્થને અનંત અંતરેથી બીજા પદાર્થના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુ સુધી લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય.
ગાણિતિક રીતે,$M$ દળ ધરાવતા પદાર્થથી $r$ અંતરે રહેલી ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શૂન્ય સ્થિતિ ઊર્જા એટલે એવી સ્થિતિ જ્યાં તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય ગણવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે,જ્યારે બે પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર અનંત $(r = \infty)$ હોય ત્યારે તેમની વચ્ચેની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે,કારણ કે અનંત અંતરે પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.

(N/A) ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા એટલે કોઈ પદાર્થને અનંત અંતરેથી ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_E$ અને ત્રિજ્યા $R_E$ છે. આપણે પૃથ્વીના કેન્દ્ર $(O)$ થી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર $m$ દળની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા નક્કી કરવી છે.
ધારો કે $m$ દળનો પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે બિંદુ $A$ પર છે $(OP = x)$.
આ બિંદુ પર પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F = \frac{G M_E m}{x^2}$
પદાર્થને પૃથ્વી તરફ $dx$ જેટલું સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય:
$dW = F dx = \frac{G M_E m}{x^2} dx$
પદાર્થને અનંત અંતરેથી $r$ અંતરે લાવવા માટે કરવું પડતું કુલ કાર્ય:
$W = \int_{\infty}^{r} dW = \int_{\infty}^{r} \frac{G M_E m}{x^2} dx$
$W = G M_E m \int_{\infty}^{r} x^{-2} dx$
$W = G M_E m \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\infty}^{r}$
$W = G M_E m \left( -\frac{1}{r} - (-\frac{1}{\infty}) \right)$
અહીં $\frac{1}{\infty} = 0$ હોવાથી:
$W = -\frac{G M_E m}{r}$
આમ,$r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U$:
$U = -\frac{G M_E m}{r}$

(N/A) ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$: ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન એટલે અનંત અંતરેથી એકમ દળના પદાર્થને તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવું પડતું કાર્ય.
વ્યાખ્યા: ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં અનંત અંતરેથી એકમ દળના પદાર્થને આપેલા બિંદુ સુધી લાવવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતા કાર્યને તે બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન કહેવામાં આવે છે.
સૂત્ર: ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = \frac{W}{m}$,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $m$ એ દળ છે.
સ્વરૂપ: તે એક અદિશ રાશિ છે.
એકમ: તેનો $SI$ એકમ $J/kg$ (જૂલ પ્રતિ કિલોગ્રામ) છે અને $CGS$ એકમ $erg/g$ (અર્ગ પ્રતિ ગ્રામ) છે.
પરિમાણીય સૂત્ર: $M^{0} L^{2} T^{-2}$.

(N/A) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં અનંત અંતરેથી $m$ દળના પદાર્થને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ $(r > R_{E})$ અંતરે આવેલા બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GM_{E}m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ એકમ દળના પદાર્થને અનંત અંતરેથી તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$V = \frac{W}{m} = \frac{U}{m}$
$U$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$V = \frac{-GM_{E}m/r}{m} = -\frac{GM_{E}}{r}$
પૃથ્વીની સપાટી પર,જ્યાં $r = R_{E}$ છે,ત્યાં ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન:
$V_{E} = -\frac{GM_{E}}{R_{E}}$
ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન અને ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ:
$U = -\frac{GM_{E}m}{r}$ અને $V = -\frac{GM_{E}}{r}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$U = V \cdot m$
તેથી,ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા = (ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન) $\times$ (દળ).

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા એ પદાર્થ દ્વારા તેના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં તેના સ્થાનને કારણે ધરાવતી ઊર્જા છે. તેને અનંત અંતરેથી પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના કોઈ બિંદુ સુધી પ્રવેગિત કર્યા વિના લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V$ એ $V = -GM/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ સ્ત્રોતનું દળ છે અને $r$ એ સ્ત્રોતથી અંતર છે.
ઋણ ચિહ્ન સૂચવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે. તેનો અર્થ એ છે કે બે દળોની સિસ્ટમની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા અનંત અંતરે શૂન્ય હોય છે અને જેમ દળો એકબીજાની નજીક આવે છે તેમ તે ઘટે છે. આમ,દળોને નજીક લાવવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર દ્વારા કાર્ય કરવું પડે છે,અથવા તેનાથી ઉલટું,પદાર્થને અનંત અંતરેથી $r$ બિંદુ સુધી લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા ઋણ કાર્ય કરવું પડે છે.

(C) $r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\frac{G m_1 m_2}{r}$ છે.
જેમ જેમ અંતર $r$ અનંત તરફ જાય છે $(r \to \infty)$,તેમ તેમ પદ $\frac{1}{r}$ શૂન્ય તરફ જાય છે.
તેથી,અનંત અંતરે સ્થિતિ ઊર્જા $U = 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(N/A) કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $(V)$ એટલે અનંત અંતરેથી એકમ દળને તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય.
ગાણિતિક રીતે,$V = \frac{W}{m}$.
$SI$ એકમ પદ્ધતિમાં,કાર્યનો એકમ જૂલ $(J)$ અને દળનો એકમ કિલોગ્રામ $(kg)$ છે. તેથી,$SI$ એકમ $J/kg$ અથવા $m^2/s^2$ થાય છે.
$CGS$ એકમ પદ્ધતિમાં,કાર્યનો એકમ અર્ગ $(erg)$ અને દળનો એકમ ગ્રામ $(g)$ છે. તેથી,$CGS$ એકમ $erg/g$ અથવા $cm^2/s^2$ થાય છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r > R_E)$ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ અનંત અંતરેથી એકમ દળને તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = -\frac{GM_E}{r}$
જ્યાં:
$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,
$M_E$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,
$r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\frac{GM_{E}m}{R_{E}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ એકમ દળ દીઠ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $V = \frac{U}{m} = -\frac{GM_{E}}{R_{E}}$ છે.
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M_{E}$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R_{E}$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.

(N/A) $1$. વ્યાખ્યા: ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(U)$ એ ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાં પદાર્થના સ્થાનને કારણે તેમાં રહેલી ઊર્જા છે. ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $(V)$ એ એકમ દળના પદાર્થને અનંત અંતરેથી ગુરુત્વીય ક્ષેત્રના કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$2$. સૂત્ર: $M$ દળના બિંદુવત પદાર્થ માટે,$r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -GMm/r$ છે. $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -GM/r$ છે.
$3$. એકમ: ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે. ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનો $SI$ એકમ જૂલ પ્રતિ કિલોગ્રામ ($J/kg$ અથવા $m^2/s^2$) છે.
$4$. આધાર: ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા તે બિંદુએ મૂકેલા પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધાર રાખે છે. ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન તે બિંદુએ મૂકેલા પદાર્થના દળ પર આધાર રાખતું નથી; તે માત્ર સ્ત્રોત દળ $(M)$ અને સ્થાન $(r)$ પર આધાર રાખે છે.

(A) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થોના તંત્રની $r$ અંતરે રહેલી ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{G m_1 m_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બે પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર $r$ અનંત $(r \to \infty)$ થાય,ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા $U$ શૂન્ય $(U \to 0)$ થાય છે.
પદાર્થો અનંત અંતરે હોવાથી,તેમની ગતિ ઉર્જા $K$ પણ શૂન્ય હોય છે (ધારી લઈએ કે તેઓ એકબીજાની સાપેક્ષ સ્થિર છે).
તંત્રની કુલ ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = K + U$.
તેથી,$E = 0 + 0 = 0$.
આમ,અનંત અંતરે કુલ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $G$,$M$,$m$ અને $r$ બધા ધન હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ઋણ મળે છે.
સ્થિતિ ઊર્જાનું ઋણ મૂલ્ય સૂચવે છે કે પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં બંધાયેલી અવસ્થામાં છે.
પદાર્થને અનંત અંતરે (જ્યાં સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે) લઈ જવા માટે,આપણે $|U|$ જેટલી ઊર્જા આપવી પડે છે (એટલે કે પદાર્થ પર ધન કાર્ય કરવું પડે છે).
તેથી,ઋણ ઊર્જા એ દર્શાવે છે કે પદાર્થ પૃથ્વી સાથે ગુરુત્વાકર્ષણથી બંધાયેલો છે.

(N/A) પદાર્થની બંધન ઉર્જા એટલે પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{G M_E m}{r}$ છે.
પદાર્થને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે,જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે,આપણે સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઉર્જા આપવી પડે.
તેથી,બંધન ઉર્જા $BE = -U = -\left(-\frac{G M_E m}{r}\right) = \frac{G M_E m}{r}$.

(N/A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = -\frac{GMm}{r}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
સ્થિતિઊર્જા ઋણ હોય છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે. પરંપરાગત રીતે,અનંત અંતરે $(r = \infty)$ સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપગ્રહને ગ્રહ તરફ ખેંચે છે,તેથી ઉપગ્રહને $r$ અંતરથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કાર્ય કરવું પડે છે. આ તંત્ર બંધિત અવસ્થામાં હોવાથી,અનંત અંતરે શૂન્ય સ્થિતિઊર્જા પ્રાપ્ત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા ધન હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ મર્યાદિત અંતર $r$ પર ઊર્જા શૂન્ય કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.

$(A)$ $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે $r$ અંતરે રહેલી ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = -G \frac{m_1 m_2}{r}$ છે. અહીં $G$, $m_1$, $m_2$ અને $r$ ધન હોવાથી, $U$ હંમેશા ઋણ હોય છે. તેથી, $(1)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.
જો તંત્રના ઘટકો વચ્ચે લાગતું બળ આકર્ષી હોય, તો તંત્રની સ્થિતિઊર્જા ઋણ હોય છે. આકાશગંગાઓ વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા આકર્ષી હોવાથી, તેમની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા ઋણ હોય છે. તેથી, $(2)$ એ $(c)$ સાથે જોડાય છે.
આમ, સાચી જોડ $(1-b, 2-c)$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચે લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વી દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
સ્થાનંતર એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સંરક્ષી ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું આ કાર્ય તંત્રમાં ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
તેથી,પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ વધવાની સાથે પદાર્થની સ્થિતિઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(A) ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાં કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન એટલે અનંત અંતરેથી એકમ દળને તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = -GM/R$,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $\phi$ એ માત્ર સ્ત્રોતના દળ $(M)$ અને અંતર $(R)$ પર આધાર રાખે છે,તે તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધારિત નથી.
તેથી,$2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે પણ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $\phi$ જ રહેશે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{G M_e m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
$r$ અંતરે પદાર્થનું વજન $W = mg$ છે,જ્યાં $g$ એ તે અંતરે ગુરુત્વીય પ્રવેગ છે.
$r$ અંતરે ગુરુત્વીય પ્રવેગ $g = \frac{G M_e}{r^2}$ છે.
વજનના સૂત્રમાં $g$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W = m \left( \frac{G M_e}{r^2} \right) = \frac{G M_e m}{r^2}$ મળે છે.
આપણે $U$ ના સમીકરણને $U = \left( \frac{G M_e m}{r} \right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $W = \frac{U}{r}$.
તેથી,આ બિંદુએ પદાર્થનું વજન $U/r$ છે.

(B) $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થથી $r$ અંતરે રહેલા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પદાર્થને અનંત અંતરેથી (જ્યાં $U = 0$ હોય છે) $r$ અંતરે લાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિ-ઊર્જા $0$ થી ઘટીને ઋણ મૂલ્ય ધારણ કરે છે.
આમ,ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E_G$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $V(x) = -\int_{\infty}^{x} E_G \cdot dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_G = \frac{Ax}{(x^2+a^2)^{3/2}}$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$V(x) = -\int_{\infty}^{x} \frac{Ax}{(x^2+a^2)^{3/2}} dx$.
ધારો કે $u = x^2 + a^2$,તો $du = 2x dx$,અથવા $x dx = \frac{du}{2}$.
જ્યારે $x \to \infty$,ત્યારે $u \to \infty$. જ્યારે $x = x$,ત્યારે $u = x^2 + a^2$.
$V(x) = -\int_{\infty}^{x^2+a^2} \frac{A}{u^{3/2}} \cdot \frac{du}{2} = -\frac{A}{2} \int_{\infty}^{x^2+a^2} u^{-3/2} du$.
$V(x) = -\frac{A}{2} \left[ \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \right]_{\infty}^{x^2+a^2} = A \left[ \frac{1}{\sqrt{u}} \right]_{\infty}^{x^2+a^2}$.
$V(x) = A \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} - 0 \right) = \frac{A}{(x^2+a^2)^{1/2}}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળાની ગુરુત્વાકર્ષણીય આત્મ-ઊર્જા $U_i = -\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીને સંપૂર્ણપણે તોડવા અને તેના તમામ દળને અનંત સુધી લઈ જવા માટે,અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f$ શૂન્ય થશે.
પૂરી પાડવી પડતી ઊર્જા $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = 0 - (-\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}) = \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{5} \frac{GM^2}{R}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) કણોના તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ $U = -\sum \frac{G m_i m_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ બાજુવાળા આપેલ ચોરસ માટે,$d$ લંબાઈની ચાર બાજુઓ અને $\sqrt{2}d$ લંબાઈના બે વિકર્ણો છે.
ખૂણાઓ પરના દળ $m_1 = m$,$m_2 = M-m$,$m_3 = m$,અને $m_4 = M-m$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = -\frac{G}{d} [m(M-m) + (M-m)m + m(M-m) + (M-m)m] - \frac{G}{\sqrt{2}d} [m^2 + (M-m)^2]$
$U = -\frac{G}{d} [4m(M-m)] - \frac{G}{\sqrt{2}d} [m^2 + M^2 - 2Mm + m^2]$
$U = -\frac{G}{d} [4Mm - 4m^2 + \frac{1}{\sqrt{2}}(M^2 - 2Mm + 2m^2)]$
$U$ ને મહત્તમ કરવા માટે (અથવા $|U|$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે),આપણે $U$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{dU}{dm} = -\frac{G}{d} [4M - 8m + \frac{1}{\sqrt{2}}(-2M + 4m)] = 0$
$4M - 8m - \sqrt{2}M + 2\sqrt{2}m = 0$
$M(4 - \sqrt{2}) = m(8 - 2\sqrt{2})$
$M(4 - \sqrt{2}) = 2m(4 - \sqrt{2})$
$\frac{M}{m} = 2$
આમ,$x = 2$.

(D) ગોલીય કવચની અંદરના બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ એ કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત દળને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$1$. $r = 25 \, \text{m}$ અંતરે $M_1 = 50 \, \text{kg}$ ના બિંદુવત દળને કારણે સ્થિતિમાન $V_1 = -\frac{GM_1}{r} = -\frac{G \times 50}{25} = -2G$ થાય.
$2$. $M_2 = 100 \, \text{kg}$ દળ અને $R = 50 \, \text{m}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે: $V_2 = -\frac{GM_2}{R} = -\frac{G \times 100}{50} = -2G$ થાય.
$3$. કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = -2G + (-2G) = -4G$ થાય.

(A) તંત્રની કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ ગોળાઓની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$1$. ચોરસના ખૂણાઓ પર રહેલા $m$ દળના ચાર ગોળાઓની સ્થિતિઊર્જા:
અહીં $d$ લંબાઈની $4$ બાજુઓ અને $\sqrt{2}d$ લંબાઈના $2$ વિકર્ણો છે.
$U_{m-m} = -\frac{G m^2}{d} \times 4 - \frac{G m^2}{\sqrt{2}d} \times 2 = -\frac{G m^2}{d} (4 + \sqrt{2})$.
$2$. કેન્દ્ર પર રહેલા $M$ દળના ગોળા અને $m$ દળના ચાર ગોળાઓ વચ્ચેની સ્થિતિઊર્જા:
કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{\sqrt{2}d}{2} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ છે.
$U_{M-m} = -\frac{G M m}{r} \times 4 = -\frac{G M m}{d/\sqrt{2}} \times 4 = -\frac{4\sqrt{2} G M m}{d}$.
$3$. કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = U_{m-m} + U_{M-m} = -\frac{G m}{d} [(4 + \sqrt{2})m + 4\sqrt{2}M]$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(W_g)$ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ અન્ય કણો $(A, B, C)$ ને કારણે કણ $D$ ની ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
$W_g = -\Delta U = -(U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}) = U_{\text{initial}} - U_{\text{final}}$.
જ્યારે કણ $D$ અનંત અંતરે હોય,ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા $U_{\text{final}} = 0$ થાય છે.
તેથી,$W_g = U_{\text{initial}}$.
કણ $A, B$ અને $C$ ને કારણે કણ $D$ ની પ્રારંભિક ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા:
$U_{\text{initial}} = -\frac{G m_A m_D}{r_{AD}} - \frac{G m_B m_D}{r_{BD}} - \frac{G m_C m_D}{r_{CD}}$
અહીં $m_A = m_B = m_C = m_D = m$,$r_{AD} = L$,$r_{CD} = L$,અને $r_{BD} = \sqrt{2} L$ (ચોરસનો વિકર્ણ) છે.
$U_{\text{initial}} = -\frac{G m^2}{L} - \frac{G m^2}{\sqrt{2} L} - \frac{G m^2}{L} = -\frac{G m^2}{L} \left( 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
$U_{\text{initial}} = -\frac{G m^2}{L} \left( \frac{2 \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \right)$.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $-\frac{G m^2}{L} \left( \frac{2 \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \right)$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V_0 = -\frac{G M_e}{R_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V_h = -\frac{G M_e}{R_e + h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ઊંચાઈ $h = \frac{R_e}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$V_h = -\frac{G M_e}{R_e + \frac{R_e}{2}}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$V_h = -\frac{G M_e}{\frac{3 R_e}{2}}$
$V_h = -\frac{2}{3} \left( \frac{G M_e}{R_e} \right)$
કારણ કે $V_0 = -\frac{G M_e}{R_e}$,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$V_h = \frac{2}{3} V_0$.

(C) કણોના તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા એટલે કણોને અનંત અંતરેથી તેમના સંબંધિત સ્થાનો પર લાવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય.
ગેલેક્સી જેવી ગુરુત્વીય બળો દ્વારા બંધાયેલી સિસ્ટમ માટે,કણો આકર્ષણની સ્થિતિમાં હોય છે.
જ્યારે અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે,ત્યારે કોઈપણ બંધાયેલી સિસ્ટમની સ્થિતિઊર્જા હંમેશા ઋણ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે,અને સિસ્ટમ અનંત અંતરે રહેલા કણોની સ્થિતિની તુલનામાં ઓછી ઊર્જા ધરાવતી સ્થિતિમાં છે.
તેથી,ગેલેક્સીની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા ઋણ હોય છે.

(B) કણ $C$ ને કોઈપણ પ્રવેગ વગર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,$\Delta K.E. = 0$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્યનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $W_{\text{ext}} + W_{\text{grav}} = 0$.
તેથી,$W_{\text{ext}} = -W_{\text{grav}} = \Delta U = U_f - U_i$.
કણ $C$ ને સમાવતી તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r_A} - \frac{GMm}{r_B}$ છે,જ્યાં $r_A$ અને $r_B$ એ $C$ ના $A$ અને $B$ થી અંતર છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $C$ મધ્યબિંદુ પર છે,તેથી $r_A = r/2$ અને $r_B = r/2$.
$U_i = -\frac{GMm}{r/2} - \frac{GMm}{r/2} = -\frac{2GMm}{r} - \frac{2GMm}{r} = -\frac{4GMm}{r}$.
અંતિમ સ્થિતિ: $C$ એ $A$ અને $B$ થી $r$ જેટલા સમાન અંતરે છે,તેથી $r_A = r$ અને $r_B = r$.
$U_f = -\frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{2GMm}{r}$.
કરેલું કાર્ય $W_{\text{ext}} = U_f - U_i = -\frac{2GMm}{r} - (-\frac{4GMm}{r}) = \frac{2GMm}{r}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $O$ એ $M$ દળથી $d$ અંતરે અને $4M$ દળથી $(r-d)$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુ $O$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય છે,તેથી બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{G M}{d^2} = \frac{G (4 M)}{(r-d)^2}$
$\Rightarrow \frac{(r-d)^2}{d^2} = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{r-d}{d} = 2$ (કારણ કે $d$ એ બંને દળોની વચ્ચે હોવું જોઈએ,તેથી આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ)
$r-d = 2d \Rightarrow 3d = r \Rightarrow d = \frac{r}{3}$
આમ,$4M$ દળથી અંતર $r - d = r - \frac{r}{3} = \frac{2r}{3}$ છે.
હવે,બિંદુ $O$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ ની ગણતરી કરીએ:
$V = V_1 + V_2 = -\frac{G M}{d} - \frac{G (4 M)}{(r-d)}$
$V = -\frac{G M}{r/3} - \frac{4 G M}{2r/3}$
$V = -\frac{3 G M}{r} - \frac{6 G M}{r} = -\frac{9 G M}{r}$

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનો તફાવત સંદર્ભ બિંદુની પસંદગીથી સ્વતંત્ર હોય છે.
જ્યારે અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય લેવામાં આવે ત્યારે:
સપાટી પરનું સ્થિતિમાન,$V_s = -\frac{GM}{R}$
કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન,$V_c = -\frac{3GM}{2R}$
સપાટી અને કેન્દ્ર વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_s - V_c = -\frac{GM}{R} - (-\frac{3GM}{2R}) = -\frac{GM}{R} + \frac{3GM}{2R} = \frac{GM}{2R}$
હવે,જો સપાટી પરનું સ્થિતિમાન શૂન્ય લેવામાં આવે $(V_s' = 0)$,તો ધારો કે કેન્દ્ર પરનું નવું સ્થિતિમાન $V_c'$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત અચળ રહેતો હોવાથી:
$V_s - V_c = V_s' - V_c'$
$\frac{GM}{2R} = 0 - V_c'$
$V_c' = -\frac{GM}{2R}$
તેથી,કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $-\frac{GM}{2R}$ થશે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R$ છે. તેથી,સપાટી પરની સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
સપાટીથી $2R$ ઊંચાઈ પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + 2R = 3R$ છે. તેથી,આ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{3R}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{3R}$ છે.
$\frac{GMm}{R}$ ને સામાન્ય લેતા,આપણને $\Delta U = \frac{GMm}{R} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{GMm}{R} (\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \frac{GMm}{R}$ મળે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આપણે $GM = gR^2$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR^2)m}{R} = \frac{2}{3} mgR$ મળે છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{G M m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R$ છે. તેથી,સપાટી પરની સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{G M m}{R}$ છે.
જ્યારે પદાર્થને સપાટીથી $h = n R$ ઊંચાઈ પર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + n R = (n+1) R$ થાય છે. તેથી,આ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{G M m}{(n+1) R}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{G M m}{(n+1) R} - \left( -\frac{G M m}{R} \right)$ છે.
$\Delta U = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{(n+1) R} = \frac{G M m}{R} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$.
$\Delta U = \frac{G M m}{R} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{G M m}{R} \left( \frac{n}{n+1} \right)$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^2}$ હોવાથી,આપણે $G M = g R^2$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{(g R^2) m}{R} \left( \frac{n}{n+1} \right) = m g R \left( \frac{n}{n+1} \right)$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જાનો તફાવત સંદર્ભ બિંદુની પસંદગીથી સ્વતંત્ર હોય છે.
જ્યારે અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે,ત્યારે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળના પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{G M m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થિતિઊર્જા $(r = R)$: $U_s = -\frac{G M m}{R}$.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $(r = R+h)$: $U_h = -\frac{G M m}{R+h}$.
સપાટી અને $h$ ઊંચાઈ વચ્ચેની સ્થિતિઊર્જાનો તફાવત:
$\Delta U = U_h - U_s = -\frac{G M m}{R+h} - \left(-\frac{G M m}{R}\right) = G M m \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\Delta U = G M m \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right) = \frac{G M m h}{R(R+h)}$.
જો સપાટી પરની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે $(U_s' = 0)$,તો $h$ ઊંચાઈએ નવી સ્થિતિઊર્જા $(U_h')$ એ જ તફાવત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$U_h' - U_s' = \Delta U$
$U_h' - 0 = \frac{G M m h}{R(R+h)}$.
તેથી,$h$ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $\frac{G M m h}{R(R+h)}$ થશે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GM_e m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R_e)$ પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ છે.
$h = 2R_e$ ઊંચાઈ પર $(r = R_e + h = 3R_e)$ અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GM_e m}{3R_e}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = -\frac{GM_e m}{3R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e}) = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \frac{GM_e m}{R_e}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$,તેથી $GM_e = gR_e^2$.
આ કિંમત મૂકતા: $\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR_e^2)m}{R_e} = \frac{2}{3} mgR_e$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
આપેલ છે $E = -\frac{K}{r^2}$,તેથી $-\frac{dV}{dr} = -\frac{K}{r^2}$,જેનો અર્થ છે $dV = \frac{K}{r^2} dr$.
સંદર્ભ બિંદુ $(r_1 = 2\,cm, V_1 = 10\,J/kg)$ થી લક્ષ્ય બિંદુ $(r_2 = 3\,cm, V_2 = V)$ સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{10}^{V} dV = \int_{2}^{3} \frac{K}{r^2} dr$.
$V - 10 = K \left[ -\frac{1}{r} \right]_{2}^{3} = K \left( -\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2}) \right) = K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = K \left( \frac{1}{6} \right)$.
$K = 6\,J\cdot cm/kg$ મૂકતા:
$V - 10 = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$V = 10 + 1 = 11\,J/kg$.

(A) સમાન ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળાની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V(r) = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી પર,$r = R$,તેથી $V_{surface} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - R^2) = \frac{GM}{2R^3}(2R^2) = \frac{GM}{R} = V$.
કેન્દ્ર પર,$r = 0$,તેથી $V_{center} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - 0) = \frac{3GM}{2R}$.
$V = \frac{GM}{R}$ મૂકતા,આપણને $V_{center} = \frac{3}{2} V$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ તટસ્થ બિંદુ છે જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. ધારો કે $r_1$ એ $m$ દળથી અંતર છે અને $r_2$ એ $9m$ દળથી અંતર છે.
ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાની શરત:
$\frac{G m}{r_1^2} = \frac{G (9m)}{r_2^2}$
$\frac{1}{r_1^2} = \frac{9}{r_2^2} \implies \frac{r_2}{r_1} = 3 \implies r_2 = 3 r_1$
કારણ કે $r_1 + r_2 = R$,તેથી $r_1 + 3 r_1 = R \implies 4 r_1 = R \implies r_1 = \frac{R}{4}$ અને $r_2 = \frac{3R}{4}$.
બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ એ બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = -\frac{G m}{r_1} - \frac{G (9m)}{r_2}$
$V = -\frac{G m}{R/4} - \frac{9 G m}{3R/4}$
$V = -\frac{4 G m}{R} - \frac{36 G m}{3R} = -\frac{4 G m}{R} - \frac{12 G m}{R}$
$V = -\frac{16 G m}{R}$

(A) વલયાકાર તકતીની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\pi(4R)^2 - \pi(3R)^2} = \frac{M}{7\pi R^2}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા વલયના ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનું દળ $dm = \sigma (2\pi r dr)$ છે.
આ વલયને કારણે બિંદુ $P$ (કેન્દ્રથી $h=4R$ અંતરે) પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V_P$ એ $dV_P = -\frac{G dm}{\sqrt{r^2 + h^2}} = -\frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + (4R)^2}}$ છે.
$r=3R$ થી $r=4R$ સુધી સંકલન કરતા:
$V_P = -\int_{3R}^{4R} \frac{G \sigma 2\pi r dr}{\sqrt{r^2 + 16R^2}} = -2\pi G \sigma [\sqrt{r^2 + 16R^2}]_{3R}^{4R}$.
$V_P = -2\pi G \left(\frac{M}{7\pi R^2}\right) [\sqrt{16R^2 + 16R^2} - \sqrt{9R^2 + 16R^2}] = -\frac{2GM}{7R^2} [4R\sqrt{2} - 5R] = -\frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$.
એકમ દળને $P$ થી અનંત સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી કાર્ય $W = U_{\infty} - U_P = 1 \cdot V_{\infty} - 1 \cdot V_P = 0 - V_P = -V_P$ છે.
તેથી,$W = \frac{2GM}{7R}(4\sqrt{2}-5)$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા દળના ઘટક $dm$ ને કારણે કોઈ બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ એ $dV = -\frac{G dm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચાપ માટે,ચાપનો દરેક દળ ઘટક $dm$ કેન્દ્ર $O$ થી સમાન અંતર $R$ પર છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન એ તમામ દળ ઘટકોને કારણે થતા સ્થિતિમાનનું સંકલન છે: $V_O = \int dV = \int -\frac{G dm}{R} = -\frac{G}{R} \int dm = -\frac{GM}{R}$.
સ્થિતિમાન માત્ર કુલ દળ $M$ અને અંતર $R$ પર આધારિત હોવાથી,અને ત્રણેય ચાપ માટે આ બંને સમાન છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન ત્રણેય કિસ્સાઓ માટે સમાન રહેશે.
આમ,$(V_O)_1 = (V_O)_2 = (V_O)_3$.