Gravitational Potential and Potential Energy of system Questions in Gujarati

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{ext} + W_{grav} = \Delta K.$
અહીં,$W_{ext} = -5.5 \ J$ એ વ્યક્તિ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{grav} = -\Delta U = -(U_A - U_{\infty}) = -(m V_A - 0) = -m V_A$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 1 \times (3)^2 = 4.5 \ J$ છે.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં મૂકતા: $-5.5 + (-1 \times V_A) = 4.5.$
$-V_A = 4.5 + 5.5 = 10 \ J/kg.$
તેથી,$V_A = -10 \ J/kg.$

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = R$ અંતરે આ ઊર્જાનું મૂલ્ય $E = \frac{GMm}{R}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GMm = ER$.
પદાર્થનું વજન $W$ એ $r$ અંતરે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે.
$r = 1.5 R = \frac{3}{2} R$ અંતરે,વજન $W = \frac{GMm}{(1.5 R)^2} = \frac{GMm}{2.25 R^2} = \frac{GMm}{\frac{9}{4} R^2} = \frac{4 GMm}{9 R^2}$ થશે.
$GMm = ER$ ને $W$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \frac{4 (ER)}{9 R^2} = \frac{4 E}{9 R}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ થાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GMm \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta U = mgR^2 \left( \frac{h}{R(R+h)} \right) = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ મળે.
આપેલ છે કે $\Delta U = \frac{mgR}{5}$,તેથી $\frac{mgR}{5} = mgR \left( \frac{h}{R+h} \right)$ સરખાવતા:
$\frac{1}{5} = \frac{h}{R+h} \implies R+h = 5h \implies 4h = R \implies h = \frac{R}{4}$.

(B) $M$ દળના પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r/3$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U$ એ પૃથ્વી અને ચંદ્રને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$U = -\frac{G M_{1} M}{r/3} - \frac{G M_{2} M}{2r/3} = -\frac{3 G M_{1} M}{r} - \frac{3 G M_{2} M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
અનંત સુધી પલાયન કરવા માટે,કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. તેથી,જરૂરી ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ:
$K = \frac{1}{2} M V^{2} = |U| = \frac{3 G M}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$.
$V$ માટે ઉકેલતા:
$V^{2} = \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right)$,
$V = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_{1} + \frac{M_{2}}{2} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ સંરક્ષી બળ ક્ષેત્ર છે.
સંરક્ષી બળ ક્ષેત્રમાં,કણને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત નથી.
તે માત્ર કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
ત્રણેય માર્ગો $(1, 2, 3)$ બિંદુ $A$ થી શરૂ થાય છે અને બિંદુ $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી દરેક માર્ગ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_1 = W_2 = W_3$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવા માટે,બંને કણો દ્વારા ઉત્પન્ન થતી તીવ્રતા સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવી જોઈએ.
$\frac{G m}{r_1^2} = \frac{G(9 m)}{r_2^2}$
જ્યાં $r_1$ એ $m$ થી અંતર છે અને $r_2$ એ $9m$ થી અંતર છે.
$r_1 + r_2 = r$ હોવાથી,$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow r_2 = 3 r_1$.
તેથી,$r_1 + 3 r_1 = r \Rightarrow 4 r_1 = r \Rightarrow r_1 = \frac{r}{4}$ અને $r_2 = \frac{3r}{4}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V = -\frac{G m}{r_1} - \frac{G(9 m)}{r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = -\frac{G m}{r/4} - \frac{9 G m}{3r/4} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{36 G m}{3r} = -\frac{4 G m}{r} - \frac{12 G m}{r} = -\frac{16 G m}{r}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_{1} = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $U_{2} = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_{2} - U_{1} = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ છે.
સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}}$ હોવાથી,આપણી પાસે $GM = gR^{2}$ છે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{1}{2} \frac{(gR^{2})m}{R} = \frac{1}{2} mgR$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થને કારણે કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{Gm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = 1 \ kg$. પદાર્થો $x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \ldots \ m$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
દરેક અંતર $r$ પર બે પદાર્થો હોવાથી (એક $+r$ પર અને એક $-r$ પર),$x=0$ આગળ કુલ સ્થિતિમાન $V_{total}$ નીચે મુજબ થશે:
$V_{total} = \sum -\frac{Gm}{r_i} = -G(1) \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \ldots \right]$
$V_{total} = -G \left[ 2 \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \right) \right]$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=1/2$ છે. તેનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ થાય.
તેથી,$V_{total} = -G \times 2 \times 2 = -4G$.
સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય $|V_{total}| = 4G$ થાય.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R_e$ ઊંચાઈ પર છે.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ થશે.
સૂત્રમાં $r = 2R_e$ મૂકતા,આપણને $U = -\frac{GMm}{2R_e}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR_e^2$.
$U$ ના સમીકરણમાં $GM = gR_e^2$ મૂકતા,આપણને $U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -0.5 mgR_e$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી (ત્રિજ્યા $R$) પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $E = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પદાર્થને $h = 150\% \text{ of } R$ ઊંચાઈ પર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે $h = 1.5R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $R' = R + h = R + 1.5R = 2.5R$ થાય છે.
નવી ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $E'$ એ $E' = -\frac{GMm}{R'} = -\frac{GMm}{2.5R}$ છે.
$E = -\frac{GMm}{R}$ ને $E'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E' = \frac{E}{2.5} = 0.4E$ મળે છે.

(A) ગોળાકાર પદાર્થની બહારના બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 2.5 a$ અંતરે આવેલું બિંદુ નક્કર ગોળા અને ગોળાકાર કવચ બંનેની બહાર છે,તેથી બંને કેન્દ્ર પર બિંદુવત દળ તરીકે વર્તે છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + 0.5 M = 1.5 M$ છે.
$r = 2.5 a$ અંતરે એકમ દળ $(m = 1)$ ની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = V = -\frac{G M_{total}}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U = -\frac{G(1.5 M)}{2.5 a} = -\frac{1.5}{2.5} \frac{GM}{a} = -\frac{3}{5} \frac{GM}{a} = -\frac{3 GM}{5 a}$.

(C) બિંદુવત દળોની સિસ્ટમની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ તમામ દળોની જોડીઓની સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે.
ત્રણ દળો $m_1, m_2, m_3$ માટે જે $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ અંતરે છે,કુલ સ્થિતિ ઊર્જા $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r_{12}} + \frac{m_2 m_3}{r_{23}} + \frac{m_3 m_1}{r_{31}} \right)$ છે.
અહીં,$m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$m_3 = 3m$,અને $r_{12} = r_{23} = r_{31} = a$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$U = -\frac{G}{a} [ (m)(2m) + (2m)(3m) + (3m)(m) ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 2m^2 + 6m^2 + 3m^2 ]$
$U = -\frac{G}{a} [ 11m^2 ]$
$U = -11 \frac{Gm^2}{a}$.

(C) સંરક્ષી બળની વિરુદ્ધ બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,$W = U_f - U_i$.
$M$ દળ ધરાવતા ગોળાથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી પર $(r = 1 \ m)$ પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_i = -\frac{G \times 1000}{1} = -6.67 \times 10^{-11} \times 1000 = -6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ છે.
કણને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે,અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = -\frac{GM}{\infty} = 0$ થાય.
એકમ દળ દીઠ થયેલું કાર્ય $W = V_f - V_i = 0 - (-6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}) = 6.67 \times 10^{-8} \ J \ kg^{-1}$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં તેના સ્થાનને કારણે પદાર્થ દ્વારા ધરાવતી ઊર્જા છે.
દળ $M$ થી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થ માટે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\frac{G M m}{r}$ છે.
અહીં $U$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે અને તેની સાથે ઋણ ચિહ્ન હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $U$ નું મૂલ્ય વધે છે.
જ્યારે $r = \infty$ હોય,ત્યારે $U = -\frac{G M m}{\infty} = 0$ થાય છે.
બાકીના તમામ સ્થાનોએ સ્થિતિ ઊર્જા ઋણ હોવાથી,$0$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા માટેનું મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(B) આપેલ છે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \text{ N kg}^{-1}$,દળ $m = 2 \text{ kg}$,અને સ્થાનાંતર સદિશ $r = (12 \hat{i} + 15 \hat{j}) \text{ m}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int F \cdot dr = \int (mE) \cdot dr$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = -W = -m \int E \cdot dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = -2 \int_{(0,0)}^{(12,15)} (5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$\Delta U = -2 \left[ \int_0^{12} 5 dx + \int_0^{15} 12 dy \right]$
$\Delta U = -2 [5(12 - 0) + 12(15 - 0)]$
$\Delta U = -2 [60 + 180]$
$\Delta U = -2 [240] = -480 \text{ J}$.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $-480 \text{ J}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$ .
આકૃતિ $1$ માટે (કાટકોણ ત્રિકોણ જેની બાજુઓ $a, a, \sqrt{2}a$ છે):
$U_i = -\frac{G(m)(2m)}{a} - \frac{G(m)(3m)}{a} - \frac{G(2m)(3m)}{\sqrt{2}a} = -\frac{G m^2}{a} \left( 2 + 3 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{G m^2}{a} \left( 5 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right)$ .
આકૃતિ $2$ માટે (સમબાજુ ત્રિકોણ જેની બધી બાજુઓ $a$ છે):
$U_f = -\frac{G(m)(3m)}{a} - \frac{G(m)(2m)}{a} - \frac{G(2m)(3m)}{a} = -\frac{G m^2}{a} (3 + 2 + 6) = -\frac{11 G m^2}{a}$ .
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = -\frac{11 G m^2}{a} - \left( -\frac{G m^2}{a} \left( 5 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) \right) = \frac{G m^2}{a} \left( -11 + 5 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) = \frac{G m^2}{a} \left( \frac{6}{\sqrt{2}} - 6 \right) = -\frac{G m^2}{a} \left( 6 - \frac{6}{\sqrt{2}} \right)$ .

(B) ધારો કે જે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $m$ દળથી $x$ અંતરે છે. બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
$E_1 = E_2 \Rightarrow \frac{Gm}{x^2} = \frac{G(9m)}{(r-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{x} = \frac{3}{r-x}$
$r-x = 3x \Rightarrow 4x = r \Rightarrow x = \frac{r}{4}$.
$9m$ દળથી અંતર $r-x = r - \frac{r}{4} = \frac{3r}{4}$ છે.
આ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ એ બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2 = -\frac{Gm}{x} - \frac{G(9m)}{r-x}$
$V = -\frac{Gm}{r/4} - \frac{9Gm}{3r/4} = -\frac{4Gm}{r} - \frac{12Gm}{r}$
$V = -\frac{16Gm}{r}$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય દ્વારા મળે છે, એટલે કે $\Delta U = -W = -\int \vec{F} \cdot d\vec{r} = -m \int \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \text{ N/kg}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{r} = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \text{ m}$ આપેલ છે.
ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી, કરેલું કાર્ય $W = m(\vec{E} \cdot \vec{r})$ થશે.
$W = 2 \text{ kg} \times [(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j})] \text{ J}$.
$W = 2 \times (5 \times 12 + 12 \times 5) = 2 \times (60 + 60) = 2 \times 120 = 240 \text{ J}$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = -W = -240 \text{ J}$ થાય.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $4 \,m$ દળથી $x$ અંતરે છે. $9 \,m$ દળથી તેનું અંતર $(r - x)$ થશે.
આ બિંદુએ,બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોય છે:
$\frac{G(4 \,m)}{x^2} = \frac{G(9 \,m)}{(r - x)^2}$
$\frac{4}{9} = \left(\frac{x}{r - x}\right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{3} = \frac{x}{r - x}$
$2(r - x) = 3x \Rightarrow 2r - 2x = 3x \Rightarrow 5x = 2r \Rightarrow x = \frac{2r}{5}$
તેથી,$4 \,m$ થી અંતર $\frac{2r}{5}$ છે અને $9 \,m$ થી અંતર $r - \frac{2r}{5} = \frac{3r}{5}$ છે.
આ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ એ બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = -\frac{G(4 \,m)}{x} - \frac{G(9 \,m)}{r - x}$
$V = -\frac{G(4 \,m)}{\frac{2r}{5}} - \frac{G(9 \,m)}{\frac{3r}{5}}$
$V = -\frac{20Gm}{2r} - \frac{45Gm}{3r} = -\frac{10Gm}{r} - \frac{15Gm}{r} = -\frac{25Gm}{r}$

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $PE_1 = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h = R/5$ ઊંચાઈએ,સ્થિતિઊર્જા $PE_2 = -\frac{GMm}{R+h} = -\frac{GMm}{R + R/5} = -\frac{GMm}{6R/5} = -\frac{5GMm}{6R}$ થાય.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta PE = PE_2 - PE_1 = -\frac{5GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} (1 - 5/6) = \frac{GMm}{6R}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta PE = \frac{(gR^2)m}{6R} = \frac{mgR}{6}$ મળે.
આપેલ છે કે $h = R/5$,તેથી $R = 5h$ થાય.
હવે $R = 5h$ મૂકતા,$\Delta PE = \frac{mg(5h)}{6} = \frac{5}{6} mgh$ મળે.

(B) કણોના તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ શક્ય જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = -\sum \frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}$.
$a = 3 l_o$ અને $b = 4 l_o$ બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસ માટે,વિકર્ણ $d = \sqrt{(3 l_o)^2 + (4 l_o)^2} = 5 l_o$ થાય.
અહીં $3 l_o$ લંબાઈની બે બાજુઓ,$4 l_o$ લંબાઈની બે બાજુઓ અને $5 l_o$ લંબાઈના બે વિકર્ણો એમ કુલ $6$ જોડીઓ બને છે.
$U = -\left[ \frac{Gm^2}{3 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{4 l_o} \times 2 + \frac{Gm^2}{5 l_o} \times 2 \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \right]$
$U = -\frac{Gm^2}{l_o} \left[ \frac{40 + 30 + 24}{60} \right] = -\frac{94}{60} \frac{Gm^2}{l_o} = -\frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$.
તેથી,મૂલ્ય $|U| = \frac{47}{30} \frac{Gm^2}{l_o}$ થાય.

(A) ધારો કે $m_1 = 100 \,kg$ અને $m_2 = 8100 \,kg$ એ $d = 1 \,m$ ના અંતરે રહેલા દળ છે.
ધારો કે $x$ એ $m_1$ થી શૂન્ય ક્ષેત્રવાળા બિંદુનું અંતર છે.
ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાની શરત: $\frac{G m_1}{x^2} = \frac{G m_2}{(d-x)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{m_1}}{x} = \frac{\sqrt{m_2}}{d-x}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{x} = \frac{90}{1-x} \implies 10 - 10x = 90x \implies 100x = 10 \implies x = 0.1 \,m$.
$m_2$ થી અંતર $d-x = 0.9 \,m$ છે.
આ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V = -\frac{G m_1}{x} - \frac{G m_2}{d-x}$ છે.
$V = -G \left( \frac{100}{0.1} + \frac{8100}{0.9} \right) = -G (1000 + 9000) = -10000 G$.
$V = -10000 \times 6.67 \times 10^{-11} = -6.67 \times 10^{-7} \,J/kg$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \,N/kg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $(12 \,m, 5 \,m)$ બિંદુ સુધીનું સ્થાનાંતર સદિશ $dr = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \,m$ છે।
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $dV = -E \cdot dr$ દ્વારા મળે છે।
$dV = -(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j}) = -(5 \times 12 + 12 \times 5) = -(60 + 60) = -120 \,J/kg$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \cdot dV$ છે।
અહીં દળ $m = 2 \,kg$ આપેલ છે, તેથી $\Delta U = 2 \,kg \times (-120 \,J/kg) = -240 \,J$.

(C) બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{ext} = \Delta U = U_f - U_i$.
ત્રણ દળના તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -G \left( \frac{m_1 m_2}{r} + \frac{m_2 m_3}{r} + \frac{m_1 m_3}{r} \right) = -\frac{G}{r} (m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_1 m_3)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ: $m_1 = 200 \ kg$,$m_2 = 300 \ kg$,$m_3 = 400 \ kg$.
ગુણાકારનો સરવાળો: $(200 \times 300) + (300 \times 400) + (200 \times 400) = 60000 + 120000 + 80000 = 260000 = 2.6 \times 10^5 \ kg^2$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $(r_i = 20 \ m)$:
$U_i = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{20} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.13 \times 10^5 = -8.671 \times 10^{-7} \ J$.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $(r_f = 25 \ m)$:
$U_f = -\frac{6.67 \times 10^{-11}}{25} \times 2.6 \times 10^5 = -6.67 \times 10^{-11} \times 0.104 \times 10^5 = -6.9368 \times 10^{-7} \ J$.
થયેલું કાર્ય:
$W = U_f - U_i = (-6.9368 \times 10^{-7}) - (-8.671 \times 10^{-7}) = 1.7342 \times 10^{-7} \ J \approx 1.74 \times 10^{-7} \ J$.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_i = R_e$ છે. તેથી,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R_e}$ છે.
સપાટીથી $h = 2R_e$ ઊંચાઈ પર,કેન્દ્રથી અંતર $r_f = R_e + 2R_e = 3R_e$ છે. તેથી,અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{3R_e}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{3R_e} - (-\frac{GMm}{R_e}) = GMm(\frac{1}{R_e} - \frac{1}{3R_e}) = GMm(\frac{2}{3R_e})$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ હોવાથી,$GM = gR_e^2$ થાય.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta U = (gR_e^2)m(\frac{2}{3R_e}) = \frac{2}{3}mgR_e$ મળે છે.