Gravitational Potential and Potential Energy of system Questions in Gujarati

(B) કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ ને અનંત અંતરેથી એકમ દળને તે બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$V = \frac{W}{m}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $m$ એ દળ છે.
કાર્ય $W$ નો $S.I.$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને દળ $m$ નો $S.I.$ એકમ કિલોગ્રામ $(kg)$ છે.
તેથી,ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનો $S.I.$ એકમ $\frac{J}{kg} = J \cdot kg^{-1}$ થાય છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે બિંદુઓ વચ્ચે કણને ખસેડતી વખતે સંરક્ષી બળ દ્વારા અથવા તેની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય ફક્ત કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,તે કયા માર્ગે ગતિ કરે છે તેના પર નહીં.
ત્રણેય માર્ગો $1, 2$ અને $3$ બિંદુ $A$ થી શરૂ થઈને બિંદુ $B$ પર પૂર્ણ થાય છે,તેથી દરેક માર્ગ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_1 = W_2 = W_3$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર,સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = GMm \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
$GM$ ની કિંમત મૂકતા,$\Delta U = \frac{gR^2 mh}{R(R+h)} = \frac{mgh}{1 + h/R}$ મળે.
અહીં $h = R/5$ આપેલ છે,તેથી $h/R = 1/5$ થાય.
તેથી,$\Delta U = \frac{mgh}{1 + 1/5} = \frac{mgh}{6/5} = \frac{5}{6}mgh$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $I$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = -\frac{dV}{dr}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર એ ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાનનું ઋણ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જો કે,એવી સામાન્ય ગેરસમજ છે કે $V = 0$ નો અર્થ $I = 0$ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,ગોળાકાર કવચના કેન્દ્રમાં અથવા બે બિંદુવત દળ વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાનનો વિચાર કરો; સ્થિતિમાન એવા બિંદુએ શૂન્ય હોઈ શકે છે જ્યાં ક્ષેત્ર શૂન્ય ન હોય.
તેથી,માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવાથી ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તે જરૂરી નથી.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V(x)$ એ અનંતથી $x$ બિંદુ સુધીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ ના ઋણ સંકલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$V(x) = -\int_{\infty}^{x} E \, dx$
આપેલ છે કે $E = K/x^3$,તેથી:
$V(x) = -\int_{\infty}^{x} \frac{K}{x^3} \, dx$
$V(x) = -K \int_{\infty}^{x} x^{-3} \, dx$
$V(x) = -K \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{\infty}^{x}$
$V(x) = \frac{K}{2} \left[ \frac{1}{x^2} \right]_{\infty}^{x}$
$V(x) = \frac{K}{2} \left( \frac{1}{x^2} - 0 \right) = \frac{K}{2x^2}$

(A) બે દળ $M$ અને $m$ ધરાવતા તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U$ જે $r$ અંતરે રહેલા છે,તેનું સૂત્ર: $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
આપેલ છે:
$M = 6.00 \times 10^{24} \ kg$
$m = 7.40 \times 10^{22} \ kg$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
$U = -7.79 \times 10^{28} \ J$
$r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$r = -\frac{GMm}{U}$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.00 \times 10^{24} \times 7.40 \times 10^{22}}{7.79 \times 10^{28}}$
$r = \frac{296.196 \times 10^{35}}{7.79 \times 10^{28}}$
$r \approx 38.02 \times 10^7 \ m = 3.80 \times 10^8 \ m$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R$ અને $m = 1 \, kg$ હોવાથી,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GM(1)}{R} = -\frac{GM}{R}$ થાય.
અનંત અંતરે,$r = \infty$ હોવાથી,અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GM(1)}{\infty} = 0$ થાય.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
$W = 0 - (-\frac{GM}{R}) = \frac{GM}{R}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R_e$,તેથી $U_1 = -\frac{GMm}{R_e} = -mgR_e$ (કારણ કે $g = \frac{GM}{R_e^2}$).
સપાટીથી $h = R_e$ ઊંચાઈએ,કેન્દ્રથી અંતર $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ થાય.
આ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -\frac{GMm}{2R_e}$ થશે.
$GM = gR_e^2$ મૂકતા,આપણને $U_2 = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e$ મળે છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $I$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = -\frac{dV}{dr}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આ વિસ્તારમાં ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $I = 0$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $0 = -\frac{dV}{dr}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dV}{dr} = 0$.
સ્થિતિમાનનું અંતરની સાપેક્ષમાં વિકલન શૂન્ય હોવાથી,તે વિસ્તારમાં ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોવું જોઈએ.

(A) ચોરસના દરેક શિરોબિંદુથી તેના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ છે.
$r$ અંતરે રહેલા $M$ દળના કણને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ છે.
$r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,એક કણને કારણે સ્થિતિમાન $V_1 = -\frac{GM}{L/\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}GM}{L}$ મળે.
અહીં ચાર કણો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V_{total} = 4 \times V_1$ થાય.
$V_{total} = 4 \times \left( -\frac{\sqrt{2}GM}{L} \right) = -\frac{4\sqrt{2}GM}{L}$.
અહીં $4\sqrt{2} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{32}$ હોવાથી,કુલ સ્થિતિમાન $V_{total} = -\sqrt{32} \frac{GM}{L}$ મળે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = R_e + h$,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે કે $h = 6.4 \times 10^6 \ m$ અને $R_e \approx 6.4 \times 10^6 \ m$,તેથી $r = R_e + R_e = 2R_e$.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R_e^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $GM = gR_e^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમતોને સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2}mgR_e = -0.5 \, mgR_e$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થનું ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R)$: $V_{in} = -\frac{GM}{2R^3} (3R^2 - r^2) = -\frac{GM}{2R} [3 - (r/R)^2]$. આ એક પરવલયાકાર ફેરફાર છે જ્યાં સ્થિતિમાન કેન્દ્ર $(r=0)$ પર મહત્તમ (ઓછું ઋણ) હોય છે અને સપાટી પર ઘટીને $-\frac{3GM}{2R}$ થાય છે.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$: $V_{surface} = -\frac{GM}{R}$.
$3$. પૃથ્વીની બહાર $(r > R)$: $V_{out} = -\frac{GM}{r}$. આ વ્યસ્ત સંબંધને અનુસરે છે.
આ આલેખો સાથે સરખામણી કરતા, સ્થિતિમાન કેન્દ્ર પર ઋણ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે, સપાટી પર વધુ ઋણ મૂલ્ય સુધી પરવલયાકાર રીતે ઘટે છે, અને પછી જેમ $r$ અનંત તરફ જાય છે તેમ શૂન્ય તરફ વધે છે. વિકલ્પ $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$, ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે: $V_{in} = -\frac{GM}{R}$.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$, સ્થિતિમાન $V_{surface} = -\frac{GM}{R}$ છે.
$3$. ગોળાની બહાર $(r > R)$, સ્થિતિમાન અંતર સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે: $V_{out} = -\frac{GM}{r}$.
સ્થિતિમાન ઋણ હોવાથી, તે ગોળાની અંદર અચળ ઋણ મૂલ્ય જાળવી રાખે છે અને ગોળાની બહાર $r$ વધતા તે શૂન્ય તરફ જાય છે। આલેખ $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે, જે $r \leq R$ માટે અચળ ઋણ મૂલ્ય અને $r > R$ માટે $V \propto -1/r$ મુજબનો વક્ર દર્શાવે છે।

(D) જો તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $(E = U + E_k)$ ઋણ હોય તો તે તંત્રને બંધિત તંત્ર કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખમાં,$U$ એ સ્થિતિ ઊર્જા (જે ઋણ છે) દર્શાવે છે અને $E_k$ એ ગતિ ઊર્જા (જે ધન છે) દર્શાવે છે.
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પર,ઋણ સ્થિતિ ઊર્જાનું મૂલ્ય $|U|$ એ ગતિ ઊર્જા $E_k$ કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ એ છે કે કુલ ઊર્જા $E = U + E_k < 0$ થાય છે.
તેથી,તંત્ર બિંદુ $A, B$ અને $C$ પર બંધિત છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કવચના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના બિંદુવત પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U(r) = m \cdot V(r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V(r)$ એ કવચને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન છે.
$r < R$ માટે,ગોલીય કવચની અંદર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે $V = -\frac{GM}{R}$ જેટલું હોય છે. તેથી,$U(r) = -\frac{GMm}{R}$,જે એક અચળ મૂલ્ય છે.
$r \geq R$ માટે,ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ છે. તેથી,$U(r) = -\frac{GMm}{r}$,જે $r$ સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.
આમ,$U(r)$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $r \leq R$ માટે એક આડી રેખા હશે અને $r > R$ માટે વ્યસ્ત નિયમ મુજબનો વક્ર હશે. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(D) ગુરુત્વસ્થિતિમાન $V$ અને ગુરુત્વતીવ્રતા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $V = - \int E \, dx$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E = K/x^3$ આપેલ છે.
સંકલનમાં $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = - \int (K/x^3) \, dx$
$V = -K \int x^{-3} \, dx$
$V = -K [x^{-2} / -2]$
$V = K / (2x^2)$.
આમ,ગુરુત્વસ્થિતિમાન $K / (2x^2)$ થાય છે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વતીવ્રતા $I = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતરે ગુરુત્વસ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂલ્ય લેતા,આપણે બંને વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકીએ: $V = I \times r$.
આપેલ છે: $I = 6 \, N/kg$ અને $r = 8000 \, km = 8 \times 10^6 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $V = 6 \times (8 \times 10^6) = 48 \times 10^6 = 4.8 \times 10^7 \, J/kg$.

(B) બિંદુવત દળોની સિસ્ટમને કારણે ઉદ્ગમબિંદુ પર ગુરુત્વસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક દળને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$V = - \left[ \frac{Gm}{r_1} + \frac{Gm}{r_2} + \frac{Gm}{r_3} + \dots \right]$
આપેલા સ્થાનો $r_1 = 1, r_2 = 2, r_3 = 4, r_4 = 8, \dots$ મૂકતા:
$V = - Gm \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right]$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ થાય છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$
તેથી,$V = - Gm(2) = - 2Gm$.

(B) ધારો કે જે બિંદુએ ગુરુત્વતીવ્રતા શૂન્ય છે તે $m$ દળથી $x$ અંતરે છે. ગુરુત્વતીવ્રતા $E = \frac{Gm}{x^2} - \frac{GM}{(d-x)^2} = 0$ થાય.
આથી $\frac{m}{x^2} = \frac{M}{(d-x)^2}$,એટલે કે $\frac{\sqrt{m}}{x} = \frac{\sqrt{M}}{d-x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d$ અને $d-x = \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d$ મળે.
આ બિંદુએ ગુરુત્વસ્થિતિમાન $V$ એ બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V = - \frac{Gm}{x} - \frac{GM}{d-x}$.
$x$ અને $d-x$ ની કિંમતો મૂકતા: $V = - \frac{Gm}{\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d} - \frac{GM}{\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m} + \sqrt{M}} d}$.
$V = - \frac{G}{d} [\sqrt{m}(\sqrt{m} + \sqrt{M}) + \sqrt{M}(\sqrt{m} + \sqrt{M})]$.
$V = - \frac{G}{d} (\sqrt{m} + \sqrt{M})^2$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 6.4 \times 10^6 \, m$ છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e \approx 6.4 \times 10^6 \, m$ હોવાથી,$h = R_e$ થાય.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R_e + h = R_e + R_e = 2R_e$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $U = -\frac{GMm}{2R_e}$.
સંબંધ $GM = gR_e^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ છે:
$U = -\frac{(gR_e^2)m}{2R_e} = -\frac{1}{2} mgR_e = -0.5 \, mgR_e$.

(C) બિંદુવત દળ $m$ થી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{Gm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહુવિધ દળોના તંત્ર માટે,કુલ સ્થિતિમાન એ દરેક દળને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
અહીં,દરેક પદાર્થનું દળ $m = 2 \, kg$ છે અને તેઓ ઉગમબિંદુથી $r_1 = 1 \, m, r_2 = 2 \, m, r_3 = 4 \, m, r_4 = 8 \, m, \dots$ અંતરે આવેલા છે.
ઉગમબિંદુ પર કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = -\frac{G(2)}{1} - \frac{G(2)}{2} - \frac{G(2)}{4} - \frac{G(2)}{8} - \dots$
$V = -2G \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
તેથી,$V = -2G(2) = -4G$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = -\frac{GMm}{r}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
જ્યારે ઉપગ્રહ દૂરની સ્થિર કક્ષામાં જાય છે,ત્યારે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે.
સૂત્ર $U = -\frac{GMm}{r}$ મુજબ,જેમ $r$ વધે છે,તેમ ઋણ મૂલ્યનું માન ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $U$ નું મૂલ્ય વધે છે (તે ઓછું ઋણ બને છે).
તેથી,ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = -\frac{GM}{r}$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{GM}{r^2}$ છે.
ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય થવા માટે,આપણે $r \to \infty$ ની જરૂર છે.
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $I$ શૂન્ય થવા માટે,આપણે $r \to \infty$ ની જરૂર છે.
તેથી,પૃથ્વીને કારણે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન અને ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર બંને માત્ર અનંત અંતરે જ શૂન્ય થાય છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત અંતરે પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે અને પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $0$ છે. $d$ અંતરે,સ્થિતિ ઉર્જા $-G m_1 m_2 / d$ છે. કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે:
$0 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{G m_1 m_2}{d}$
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ,તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહેશે:
$m_1 v_1 = m_2 v_2 \implies v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2}$
$v_2$ ની કિંમત ઉર્જા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{G m_1 m_2}{d} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 (\frac{m_1 v_1}{m_2})^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 (1 + \frac{m_1}{m_2}) = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 (\frac{m_1 + m_2}{m_2})$
$v_1$ માટે ઉકેલતા: $v_1 = \sqrt{\frac{2 G m_2^2}{d(m_1 + m_2)}}$. તેવી જ રીતે,$v_2 = \sqrt{\frac{2 G m_1^2}{d(m_1 + m_2)}}$.
સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{\frac{2 G}{d(m_1 + m_2)}} (m_2 + m_1) = \sqrt{\frac{2 G (m_1 + m_2)}{d}}$.

(B) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કવચને તેની ત્રિજ્યાના અડધા ભાગ સુધી સંકોચવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ થાય છે.
કેન્દ્ર પર નવું સ્થિતિમાન $V' = -\frac{GM}{r'} = -\frac{GM}{r/2} = -\frac{2GM}{r} = 2V$ થાય છે.
કારણ કે $V$ ઋણ છે,$2V$ એ $V$ કરતા વધુ ઋણ છે (દા.ત.,જો $V = -10 \ J/kg$ હોય,તો $V' = -20 \ J/kg$ થાય).
તેથી,ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન ઘટે છે.

(C) કણોની સિસ્ટમની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\sum \frac{G m_i m_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(i)$ માટે,અંતર $r_{m,2m} = a$,$r_{m,3m} = a$,અને $r_{2m,3m} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
$U_1 = -\left( \frac{G(m)(2m)}{a} + \frac{G(m)(3m)}{a} + \frac{G(2m)(3m)}{a\sqrt{2}} \right) = -\frac{Gm^2}{a} \left( 2 + 3 + \frac{6}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{Gm^2}{a} (5 + 3\sqrt{2})$.
આકૃતિ $(ii)$ માટે,અંતર $r_{m,2m} = a$,$r_{m,3m} = a$,અને $r_{2m,3m} = a$ છે.
$U_2 = -\left( \frac{G(m)(2m)}{a} + \frac{G(m)(3m)}{a} + \frac{G(2m)(3m)}{a} \right) = -\frac{Gm^2}{a} (2 + 3 + 6) = -\frac{11Gm^2}{a}$.
બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_2 - U_1$ છે.
$W = -\frac{11Gm^2}{a} - \left( -\frac{Gm^2}{a} (5 + 3\sqrt{2}) \right) = \frac{Gm^2}{a} (-11 + 5 + 3\sqrt{2}) = \frac{Gm^2}{a} (-6 + 3\sqrt{2})$.
$W = -\frac{6Gm^2}{a} \left( 1 - \frac{3\sqrt{2}}{6} \right) = -\frac{6Gm^2}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $dm$ દળના ઘટકને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\int \frac{G dm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતા અર્ધગોળાકાર વાટકા માટે,સપાટી પરનો દરેક બિંદુ કેન્દ્રથી $R$ અંતરે છે. તેથી,$V = -\int \frac{G dm}{R} = -\frac{G}{R} \int dm = -\frac{GM}{R}.$
$R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળેલા $M$ દળના પાતળા સમાન તાર માટે,તાર પરનો દરેક બિંદુ વક્રતા કેન્દ્રથી $R$ અંતરે છે. તેથી,$V = -\int \frac{G dm}{R} = -\frac{GM}{R}.$
બંને કિસ્સાઓમાં તમામ દળના ઘટકો માટે અંતર $R$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિમાન $-GM/R$ રહે છે.
આ તાર પર દળના વિતરણને ધ્યાનમાં લીધા વિના સાચું છે,જ્યાં સુધી દરેક ઘટક $R$ અંતરે હોય. તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ઉપગ્રહની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ત્રિજ્યા $r$ વધે છે,તેમ $U$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં વધારો થાય છે.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $v$ ઘટે છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r} = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ છે. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $\omega$ ઘટે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$ છે. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $a_c$ ઘટે છે.
તેથી,માત્ર ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(C) ધારો કે $m$ દળથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
બંને દળોને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાને સરખાવતા:
$\frac{Gm}{x^2} = \frac{G(4m)}{(r-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{r-x}$
$r - x = 2x \implies 3x = r \implies x = \frac{r}{3}$
હવે,બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ ની ગણતરી કરીએ:
$V = -\frac{Gm}{x} - \frac{G(4m)}{r-x}$
$x = \frac{r}{3}$ અને $r-x = \frac{2r}{3}$ મૂકતા:
$V = -\frac{Gm}{r/3} - \frac{4Gm}{2r/3} = -\frac{3Gm}{r} - \frac{6Gm}{r} = -\frac{9Gm}{r}$

(A) ધારો કે મૂળ ગોળાનું કેન્દ્ર $O$ છે અને પોલાણનું કેન્દ્ર $P$ છે. અંતર $OP = R/2$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = \frac{-GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. મૂળ નક્કર ગોળાને કારણે બિંદુ $P$ પર સ્થિતિમાન:
અહીં,$r = OP = R/2$.
$V_{sphere} = \frac{-GM}{2R^3} \left[ 3R^2 - (R/2)^2 \right] = \frac{-GM}{2R^3} \left( 3R^2 - \frac{R^2}{4} \right) = \frac{-GM}{2R^3} \left( \frac{11R^2}{4} \right) = \frac{-11GM}{8R}$.
$2$. દૂર કરેલા ગોળાકાર ભાગ (પોલાણ) ને કારણે બિંદુ $P$ પર સ્થિતિમાન:
દૂર કરેલા ભાગનું દળ $M'$ એ કદના પ્રમાણમાં છે: $M' = M \times \frac{(4/3)\pi(R/2)^3}{(4/3)\pi R^3} = M/8$.
$M'$ દળ અને $R' = R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_{cavity} = \frac{-3GM'}{2R'} = \frac{-3G(M/8)}{2(R/2)} = \frac{-3GM}{8R}$.
$3$. પોલાણના કેન્દ્ર $(P)$ પર સ્થિતિમાન:
$V_{total} = V_{sphere} - V_{cavity} = \frac{-11GM}{8R} - \left( \frac{-3GM}{8R} \right) = \frac{-11GM + 3GM}{8R} = \frac{-8GM}{8R} = \frac{-GM}{R}$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = -\frac{3GMm}{2R}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R}$ છે.
દળને ખસેડવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R} - (-\frac{3GMm}{2R}) = \frac{GMm}{2R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$.
અહીં $m = 4 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$ છે:
$\Delta U = \frac{4 \times 10 \times 6.4 \times 10^6}{2} = 2 \times 6.4 \times 10^7 = 1.28 \times 10^8 \, J$.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોળાકાર તારાની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{3GM^2}{5R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$.
$U$ ના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $U = -\frac{3GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3V})^{1/3} = -\frac{3GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3})^{1/3} V^{-1/3}$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય દબાણ $P$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે $dW = P dV = -dU$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે,જેનો અર્થ છે $P = -\frac{dU}{dV}$.
$V$ ની સાપેક્ષે $U$ નું વિકલન કરતા: $P = -[ -\frac{3GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3})^{1/3} \cdot (-\frac{1}{3}) V^{-4/3} ]$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $P = -\frac{GM^2}{5} (\frac{4\pi}{3})^{1/3} V^{-4/3}$.
અહીં $G, M$ અને અચળાંકો નિશ્ચિત હોવાથી,$P \propto V^{-4/3}$ થાય છે.

(B) કણોની સિસ્ટમની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\sum \frac{Gm_i m_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સા $(A)$ માટે,આપણી પાસે $d, d,$ અને $\sqrt{d^2+d^2} = d\sqrt{2}$ અંતર ધરાવતી ત્રણ જોડીઓ છે.
$U_A = -\frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d\sqrt{2}} = -\frac{2Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d\sqrt{2}}$.
કિસ્સા $(B)$ માટે,આપણી પાસે $d, d,$ અને $2d$ અંતર ધરાવતી ત્રણ જોડીઓ છે.
$U_B = -\frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{2d} = -\frac{2Gm^2}{d} - \frac{Gm^2}{2d}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,કારણ કે $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ અને $\frac{1}{2} = 0.5$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,$-\frac{Gm^2}{d\sqrt{2}} < -\frac{Gm^2}{2d}$.
આ દર્શાવે છે કે $U_A < U_B$.

(C) કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
અનંત અંતરે,સ્થિતિ ઉર્જા $U_{\infty} = 0$ અને ગતિ ઉર્જા $K_{\infty} = 0$ છે.
ગોળાના કેન્દ્ર પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U_{c}$ એ સમાન નક્કર ગોળાની અંદરના સ્થિતિમાનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U_{c} = m \times V_{c} = m \times \left( -\frac{3GM}{2R} \right) = -\frac{3GMm}{2R}$.
ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $K_{\infty} + U_{\infty} = K_{c} + U_{c}$.
$0 + 0 = \frac{1}{2}mV^{2} - \frac{3GMm}{2R}$.
$\frac{1}{2}mV^{2} = \frac{3GMm}{2R}$.
$V^{2} = \frac{3GM}{R}$.
$V = \sqrt{\frac{3GM}{R}}$.

(D) બિંદુવત દળ $m$ થી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{Gm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સતત દળ વિતરણ માટે,અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન દરેક બિંદુ માટે સમાન હોય છે કારણ કે ચાપ પરનું દરેક બિંદુ કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોય છે.
આપેલ છે કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે અને તેને અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ અને લંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\pi r = L$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{\pi}$ થાય.
કુલ દળ $M$ ચાપ પર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ હોવાથી,કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{r}$ થશે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = -\frac{GM}{(L/\pi)}$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{\pi GM}{L}$ છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ છે.
આપેલ છે કે $E = -\frac{K}{r}$,તેથી $dV = -(-\frac{K}{r}) dr = \frac{K}{r} dr$.
સંદર્ભ બિંદુ $(r_0, V_0)$ થી કોઈ બિંદુ $(r, V)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{V_0}^{V} dV = \int_{r_0}^{r} \frac{K}{r} dr$.
$V - V_0 = K [\ln(r)]_{r_0}^{r}$.
$V - V_0 = K (\ln(r) - \ln(r_0))$.
$V - V_0 = K \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$.
તેથી,$V = V_0 + K \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -dV/dr$ છે.
આપેલ છે કે $E = -k/r$,તેથી $-dV/dr = -k/r$,જેનું સાદું રૂપ $dV/dr = k/r$ થાય છે.
બંને બાજુએ $r_0$ થી $r$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{V_0}^{V} dV = \int_{r_0}^{r} (k/r) dr$
$V - V_0 = k [\ln(r)]_{r_0}^{r}$
$V - V_0 = k (\ln(r) - \ln(r_0))$
$V - V_0 = k \ln(r/r_0)$
તેથી,$V = V_0 + k \ln(r/r_0)$.

(B) કવચની સપાટી પરનું કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન એ ગોલીય કવચને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને કેન્દ્ર પર રહેલા કણને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$1$. $2M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોલીય કવચને કારણે તેની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_{\text{shell}} = -\frac{G(2M)}{R}$ છે.
$2$. $M$ દળના કણને કારણે તેનાથી $R$ અંતરે (જે કેન્દ્રથી સપાટી સુધીનું અંતર છે) સ્થિતિમાન $V_M = -\frac{GM}{R}$ છે.
$3$. કુલ સ્થિતિમાન $V_{\text{surface}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_{\text{surface}} = V_{\text{shell}} + V_M$
$V_{\text{surface}} = -\frac{2GM}{R} - \frac{GM}{R}$
$V_{\text{surface}} = -\frac{3GM}{R}$

(A) પૃથ્વીની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી પર $(r = R)$,સ્થિતિમાન $V_s = -\frac{GM}{R}$ છે.
કેન્દ્રથી $r = \frac{R}{2}$ અંતરે,સ્થિતિમાન $V_p = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - (\frac{R}{2})^2) = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - \frac{R^2}{4}) = -\frac{GM}{2R^3}(\frac{11R^2}{4}) = -\frac{11GM}{8R}$ છે.
સપાટી અને $\frac{R}{2}$ અંતરના બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$0 + m V_s = \frac{1}{2}mv^2 + m V_p$
$m(-\frac{GM}{R}) = \frac{1}{2}mv^2 + m(-\frac{11GM}{8R})$
$-\frac{GM}{R} + \frac{11GM}{8R} = \frac{1}{2}v^2$
$\frac{3GM}{8R} = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = \frac{3GM}{4R}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{4R}}$

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતા સમાન ઘનતાવાળા નક્કર ગોળા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V(r)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
ગોળાની અંદર $(r \le R)$: $V(r) = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$. આ એક પરવલયાકાર ફેરફાર છે જ્યાં સ્થિતિમાન સપાટી પર $(r=R)$ મહત્તમ (ઓછું ઋણ) અને કેન્દ્ર પર $(r=0)$ ન્યૂનતમ (વધારે ઋણ) હોય છે.
ગોળાની બહાર $(r > R)$: $V(r) = -\frac{GM}{r}$. આ અંતર સાથે વ્યસ્ત ફેરફાર દર્શાવે છે.
આલેખ $C$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે સ્થિતિમાન કેન્દ્ર પર ઋણ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,જેમ $r$ વધે છે તેમ $R$ તરફ વધે છે (ઓછું ઋણ બને છે),અને ત્યારબાદ જેમ $r$ વધે છે તેમ શૂન્ય તરફ વધવાનું ચાલુ રાખે છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{g} = (5\hat{i} + 12\hat{j})\,N/kg$ છે.
ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = -\int \vec{g} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા મળે છે.
$(0, 0)$ થી $(7, -3)$ સુધીના સ્થાનાંતર માટે,સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર $\Delta V = -\vec{g} \cdot \Delta\vec{r}$ છે.
$\Delta\vec{r} = (7 - 0)\hat{i} + (-3 - 0)\hat{j} = 7\hat{i} - 3\hat{j}$.
$\Delta V = -[(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j})] = -[5(7) + 12(-3)] = -[35 - 36] = -(-1) = 1\,J/kg$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \Delta V$.
અહીં $m = 1\,kg$ આપેલ છે,તેથી $\Delta U = 1\,kg \times 1\,J/kg = 1\,J$.

(C) ધારો કે કણનું દળ $M$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક સ્થિતિ (કેન્દ્રથી $r$ અંતરે) પરની કુલ ઉર્જા એ કેન્દ્ર $C$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગના અક્ષ પર $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V_p = -\frac{Gm}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = M \times V_p(r) = -\frac{GMm}{\sqrt{r^2 + r^2}} = -\frac{GMm}{r\sqrt{2}}$.
કેન્દ્ર પર અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = M \times V_p(0) = -\frac{GMm}{r}$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
$-\frac{GMm}{r\sqrt{2}} + 0 = -\frac{GMm}{r} + \frac{1}{2}MV^2$.
$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r\sqrt{2}} = \frac{GMm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V^2 = \frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V = \sqrt{\frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}$.

(C) ગોલીય કવચની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન એ કેન્દ્ર પર રહેલા કણના કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને કવચના પોતાના કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$1$. $R$ અંતરે (સપાટી પર) $m$ દળના કણના કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન $V_1 = -\frac{Gm}{R}$ છે.
$2$. $3m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોલીય કવચના કારણે તેની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V_2 = -\frac{G(3m)}{R}$ છે.
$3$. સપાટી પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2$ છે.
$V = -\frac{Gm}{R} + \left(-\frac{3Gm}{R}\right) = -\frac{4Gm}{R}$.

(B) કણોના તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિઊર્જા એ તમામ શક્ય જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$l$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,$l$ લંબાઈની $4$ બાજુઓ અને $\sqrt{2}l$ લંબાઈના $2$ વિકર્ણો હોય છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = 4 \times (-\frac{Gm^2}{l}) + 2 \times (-\frac{Gm^2}{\sqrt{2}l})$.
$U = -\frac{4Gm^2}{l} - \frac{2Gm^2}{\sqrt{2}l}$.
$-\frac{2Gm^2}{l}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે $U = -\frac{2Gm^2}{l} (2 + \frac{1}{\sqrt{2}})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $20\,m$ ની ઊંચાઈ માટે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 2\,J/kg$ આપેલ છે.
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $g$ સમાન હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = g \cdot h$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$g = \frac{\Delta V}{h_1} = \frac{2\,J/kg}{20\,m} = 0.1\,N/kg$ (અથવા $m/s^2$).
$m = 5\,kg$ દળના પદાર્થને $h_2 = 4\,m$ ઊંચાઈએ લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = m \cdot g \cdot h_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 5\,kg \times 0.1\,N/kg \times 4\,m = 2\,J$.

(D) $r = \frac{3}{2}R$ અંતરે કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ એ નક્કર ગોળાને કારણે સ્થિતિમાન $(V_1)$ અને ગોળાકાર કવચને કારણે સ્થિતિમાન $(V_2)$ ના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$1$. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,$r = \frac{3}{2}R$ બિંદુ ગોળાની બહાર છે. સ્થિતિમાન $V_1 = -\frac{GM}{r} = -\frac{GM}{(3/2)R} = -\frac{2GM}{3R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $M$ દળ અને $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કવચ માટે,$r = \frac{3}{2}R$ બિંદુ કવચની અંદર છે. કવચની અંદર સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,જે $V_2 = -\frac{GM}{R_{shell}} = -\frac{GM}{2R}$ છે.
$3$. કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = -\frac{2GM}{3R} - \frac{GM}{2R} = -\frac{4GM + 3GM}{6R} = -\frac{7GM}{6R}$ થાય છે.

(B) $M$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r = R + h$ થશે.
તેથી,સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R+h}$ થશે.
નોંધ: જો $h$ એ $R$ ની સાપેક્ષમાં ખૂબ નાનું હોય,તો ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને આપણે લખી શકીએ: $U = -\frac{GMm}{R(1 + h/R)} \approx -\frac{GMm}{R}(1 - h/R) = -\frac{GMm}{R} + \frac{GMmh}{R^2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આ સમીકરણ $U \approx -\frac{GMm}{R} + mgh$ બને છે.

(B) બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાઓ પર $M$ દળના ત્રણ કણોના તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિઊર્જા તમામ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U_1 = -\frac{GM^2}{a} - \frac{GM^2}{a} - \frac{GM^2}{a} = -\frac{3GM^2}{a}$.
જ્યારે બાજુની લંબાઈ બદલીને $2a$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -\frac{3GM^2}{2a}$ થાય છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_2 - U_1$.
$W = -\frac{3GM^2}{2a} - (-\frac{3GM^2}{a}) = -\frac{3GM^2}{2a} + \frac{3GM^2}{a} = \frac{3GM^2}{2a}$.

(C) કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,જ્યાં $r < x < R$ છે:
$1$. આ બિંદુ આંતરિક કવચ (ત્રિજ્યા $r$,દળ $m$) ની બહાર આવેલું છે. આંતરિક કવચને કારણે સ્થિતિમાન $V_1 = -\frac{Gm}{x}$ છે.
$2$. આ બિંદુ બાહ્ય કવચ (ત્રિજ્યા $R$,દળ $M$) ની અંદર આવેલું છે. ગોળાકાર કવચની અંદર સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,તેથી $V_2 = -\frac{GM}{R}$.
$3$. કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ એ બંને કવચોને કારણે થતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V = V_1 + V_2 = -\frac{Gm}{x} - \frac{GM}{R} = -G \left[ \frac{M}{R} + \frac{m}{x} \right]$.