Reynold's Number and Poiseuille's Equation Questions in Gujarati

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_{e})$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની પરિસ્થિતિઓમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે.
તેને જડત્વના બળો અને સ્નિગ્ધતાના બળોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબર માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R_{e} = \frac{\rho v d}{\eta}$
જ્યાં:
$\rho$ = પ્રવાહીની ઘનતા
$v$ = પ્રવાહીનો વેગ
$d$ = પાઇપનો વ્યાસ
$\eta$ = પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$
જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, $v$ એ વેગ છે, $D$ એ નળીનો વ્યાસ છે, અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે।
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 10^3 \, kg/m^3$
વેગ $v = 2 \, m/s$
ત્રિજ્યા $r = 2 \, cm = 0.02 \, m$, તેથી વ્યાસ $D = 2r = 0.04 \, m$
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 8 \times 10^{-2} \, \text{decapoise} = 0.08 \, Pa \cdot s$
કિંમતો મૂકતા:
$R_e = \frac{10^3 \times 2 \times 0.04}{8 \times 10^{-2}}$
$R_e = \frac{1000 \times 0.08}{0.08}$
$R_e = 1000$

(D) પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહનો દર $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $Q \propto P \times r^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $Q_1 = Q$,$P_1 = P$,અને $r_1 = a$ છે.
ધારો કે અંતિમ સ્થિતિ $Q_2$,$P_2 = 4P$,અને $r_2 = \frac{a}{4}$ છે.
પ્રમાણસરતા $Q \propto P \times r^4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{P_2}{P_1} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Q_2}{Q} = \frac{4P}{P} \times \left( \frac{a/4}{a} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{Q} = 4 \times \left( \frac{1}{4} \right)^4 = 4 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{64}$.
તેથી,$Q_2 = \frac{Q}{64}$.

(A) પોઈઝ્યુલીના સમીકરણ મુજબ,પ્રવાહનો દર $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેશિકાઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલી હોવાથી,ત્રણેય કેશિકાઓ માટે પ્રવાહનો દર $Q$ સમાન રહેશે.
તેથી,કેશિકા પરનો દબાણ તફાવત $\Delta P = Q \cdot \frac{8 \eta L}{\pi r^4} \propto \frac{L}{r^4}$ થાય.
ધારો કે $P_1, P_2, P_3$ એ અનુક્રમે પ્રથમ,બીજી અને ત્રીજી કેશિકા પરના દબાણ તફાવત છે.
આપેલ છે કે $P_1 = P, L_1 = L, r_1 = r$.
બીજી કેશિકા માટે: $L_2 = L/2, r_2 = r/2$.
$P_2 = P_1 \cdot \frac{L_2}{L_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^4 = P \cdot \frac{L/2}{L} \cdot \left(\frac{r}{r/2}\right)^4 = P \cdot \frac{1}{2} \cdot (2)^4 = P \cdot \frac{16}{2} = 8P$.
ત્રીજી કેશિકા માટે: $L_3 = L/3, r_3 = r/3$.
$P_3 = P_1 \cdot \frac{L_3}{L_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_3}\right)^4 = P \cdot \frac{L/3}{L} \cdot \left(\frac{r}{r/3}\right)^4 = P \cdot \frac{1}{3} \cdot (3)^4 = P \cdot \frac{81}{3} = 27P$.
આમ,બીજી કેશિકા પરનો દબાણ તફાવત $8P$ છે.

(A) પોઈઝ્યુલીના સમીકરણ મુજબ,કેશિકા નળીમાં પ્રતિ સેકન્ડ વહેતા પ્રવાહીનું કદ $(Q)$ નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{V}{t} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}$
દળ $m = V \cdot d$ હોવાથી,પ્રતિ સેકન્ડ વહેતા પ્રવાહીનું દળ:
$\frac{m}{t} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L} \cdot d$
સમાન દબાણ તફાવત $\Delta P$ હેઠળ સમાન નળીઓમાંથી વહેતા સમાન દળ $m$ ધરાવતા બે પ્રવાહી માટે:
$\frac{m}{t_1} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta_1 L} d_1 \implies \eta_1 = \frac{\pi r^4 \Delta P \cdot d_1 t_1}{8 L m} \dots (I)$
$\frac{m}{t_2} = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta_2 L} d_2 \implies \eta_2 = \frac{\pi r^4 \Delta P \cdot d_2 t_2}{8 L m} \dots (II)$
સમીકરણ $(I)$ ને $(II)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{d_1 t_1}{d_2 t_2}$

(C) પોઈઝ્યુલીના નિયમ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી પ્રવાહીના વહનનો દર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta \ell}$
જ્યાં $P$ એ દબાણનો તફાવત છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે અને $\ell$ એ નળીની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $P$ અને $\eta$ અચળ રહે છે,તેથી વહનનો દર $V$ એ $\frac{r^4}{\ell}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,નવા વહન દર $V^{\prime}$ અને મૂળ વહન દર $V$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{(2r)^4}{2\ell} \times \frac{\ell}{r^4}$
$\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{16r^4}{2\ell} \times \frac{\ell}{r^4} = \frac{16}{2} = 8$
આમ,$V^{\prime} = 8V$.

(B) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે。
તેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $Re = \frac{\rho v d}{\eta}$.
જ્યાં:
$\rho$ = $\text{પ્રવાહીની ઘનતા}$
$v$ = $\text{પ્રવાહીનો વેગ}$
$d$ = $\text{પાઇપનો વ્યાસ}$
$\eta$ = $\text{પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક}$。
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચું સૂત્ર $\frac{\rho v d}{\eta}$ છે。

(B) પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહીના ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ માટેનું સૂત્ર રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_e = \frac{\rho v_c d}{\eta}$
ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$v_c = \frac{R_e \eta}{\rho d}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને ઘનતા $(\rho)$ તથા નળીના વ્યાસ $(d)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે ક્રાંતિક વેગ $\eta$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રકારને સમજવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહી માટે:
$1$. જો $Re < 2000$ હોય,તો પ્રવાહ સુરેખ (laminar) હોય છે.
$2$. જો $2000 < Re < 3000$ હોય,તો પ્રવાહ સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.
$3$. જો $Re > 3000$ હોય,તો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) હોય છે.
અહીં રેનોલ્ડ્સ નંબર $900$ છે,જે $2000$ કરતા ઓછો હોવાથી,પ્રવાહીનો પ્રવાહ સુરેખ છે.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ પાઇપમાં પ્રવાહીના વહનનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે થાય છે. તે જડત્વના બળ અને શ્યાનતા બળના ગુણોત્તરને દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$R_e = \frac{\text{જડત્વનું બળ}}{\text{શ્યાનતા બળ}}$
$\rho$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી $V$ વેગ સાથે $d$ વ્યાસની નળીમાંથી વહેતું હોય અને $\eta$ શ્યાનતા ગુણાંક હોય,તો તેનું સૂત્ર:
$R_e = \frac{\rho V d}{\eta}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહી માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_{n})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R_{n} = \frac{v_{c} \rho d}{\eta}$
જ્યાં:
$v_{c}$ એ ક્રાંતિક વેગ છે,
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $(10^3 \,kg/m^3)$ છે,
$d$ એ નળીનો વ્યાસ $(2 \times r = 2 \times 1 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m)$ છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(1 \times 10^{-3} \,Ns/m^2)$ છે,
$R_{n}$ એ ક્રાંતિક રેનોલ્ડ્સ નંબર $(2500)$ છે.
$v_{c}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$v_{c} = \frac{R_{n} \eta}{\rho d}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v_{c} = \frac{2500 \times 10^{-3}}{10^3 \times 2 \times 10^{-2}}$
$v_{c} = \frac{2.5}{20} = 0.125 \,m/s$
આમ, સુરેખ પ્રવાહને અશાંત પ્રવાહમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી પ્રવાહની ઝડપ $0.125 \,m/s$ છે.

$(A)$ રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જે પ્રવાહીના પ્રવાહમાં જડત્વના બળો અને સ્નિગ્ધતાના બળોનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.
તેનો ઉપયોગ પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રકારને સમજવા માટે થાય છે.
પાઈપમાં વહેતા પ્રવાહ માટે, જો રેનોલ્ડ્સ નંબર $2000$ કરતા ઓછો હોય, તો પ્રવાહને સ્ટ્રીમલાઇન અથવા લેમિનર (સ્તરીય) પ્રવાહ ગણવામાં આવે છે.
જો રેનોલ્ડ્સ નંબર $2000$ અને $4000$ ની વચ્ચે હોય, તો પ્રવાહ સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.
જો રેનોલ્ડ્સ નંબર $4000$ કરતા વધારે હોય, તો પ્રવાહ અશાંત (ટર્બ્યુલન્ટ) હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહ માટેની શરત $1000$ કરતા ઓછી રેન્જ દ્વારા સંતોષાય છે.

(B) પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી વહેતા પાણીના સ્થાયી કદનો દર $V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને દબાણ તફાવત $p = V \left( \frac{8 \eta l}{\pi r^4} \right) = V R_H$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $R_H = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ એ હાઇડ્રોલિક અવરોધ છે.
પ્રથમ નળી માટે,$R_1 = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$.
બીજી નળી માટે,$R_2 = \frac{8 \eta l}{\pi (r/2)^4} = \frac{8 \eta l}{\pi r^4 / 16} = 16 R_1$.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ દબાણ તફાવત $p$ એ દરેક નળી પરના દબાણ તફાવતનો સરવાળો છે: $p = p_1 + p_2 = V' R_1 + V' R_2$,જ્યાં $V'$ એ નવો વહન દર છે.
કારણ કે $p = V R_1$,તેથી $V R_1 = V' (R_1 + 16 R_1) = V' (17 R_1)$.
તેથી,$V = 17 V'$,જે આપણને $V' = \frac{V}{17}$ આપે છે.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 8 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$.
લંબાઈ $l = 3140 \text{ m}$.
પ્રવાહનો દર $Q = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$.
સ્નિગ્ધતા $\eta = 10^{-3} \text{ SI units}$.
પાઈપમાં લેમિનર પ્રવાહ માટે પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ:
$Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
દબાણ $P$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$P = \frac{Q(8 \eta l)}{\pi r^4}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2 \times 10^{-3} \times 8 \times 10^{-3} \times 3140}{3.14 \times (4 \times 10^{-2})^4}$
$P = \frac{16 \times 3140 \times 10^{-6}}{3.14 \times 256 \times 10^{-8}}$
$P = \frac{3140 \times 10^2}{3.14 \times 16}$
$P = \frac{1000 \times 10^2}{16} = \frac{10^5}{16} = 6.25 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(B) પોઈસેલના સમીકરણ મુજબ,પ્રવાહીના પ્રવાહ માટેનો અવરોધ $R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
બંને નળીઓ માટે લંબાઈ $l$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ સમાન હોવાથી,$R \propto \frac{1}{r^4}$ મળે.
ધારો કે $r_1 = 4 \ mm$ અને $r_2 = 2 \ mm$. અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4 = \left(\frac{2}{4}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ છે.
આમ,$R_2 = 16 R_1$. જો $R_1 = R$ લઈએ,તો $R_2 = 16 R$ થાય.
નળીઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલી હોવાથી,બંનેમાંથી સમાન કદનો પ્રવાહ દર $Q$ પસાર થાય છે. દરેક નળી પરનો દબાણ તફાવત $\Delta P = Q \times R$ છે.
પ્રથમ નળી માટે,$\Delta P_1 = Q \times R_1 = Q \times R$.
બીજી નળી માટે,$\Delta P_2 = Q \times R_2 = Q \times 16 R$.
કુલ દબાણ તફાવત $P = \Delta P_1 + \Delta P_2 = Q R + 16 Q R = 17 Q R$ છે.
તેથી,$Q R = \frac{P}{17}$.
પ્રથમ નળી પરનો દબાણ તફાવત $\Delta P_1 = Q R = \frac{P}{17}$ છે.

(A) પ્રવાહનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, આપણે રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
રેનોલ્ડ્સ નંબરનું સૂત્ર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$ છે, જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે, $v$ વેગ છે, $D$ પાઇપનો વ્યાસ છે અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
વેગ $v = 20 \,cm \,s^{-1} = 0.2 \,m \,s^{-1}$
ત્રિજ્યા $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$, તેથી વ્યાસ $D = 2r = 0.04 \,m$
સ્નિગ્ધતા $\eta = 10^{-3} \,kg \,m^{-1} \,s^{-1}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$R_e = \frac{10^3 \times 0.2 \times 0.04}{10^{-3}}$
$R_e = \frac{10^3 \times 0.008}{10^{-3}} = 8 \times 10^3 = 8000$
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e > 2000$ હોવાથી, પ્રવાહ અશાંત (turbulent) છે.

(C) આપેલ છે: વ્યાસ $D = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$,પ્રવાહનો દર $Q = 7.5 \times 10^{-5} \ m^3 \ s^{-1}$,સ્નિગ્ધતા $\eta = 10^{-3} \ Pa \cdot s$,પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg \cdot m^{-3}$.
પ્રવાહનો દર $Q = A \cdot v = \frac{\pi}{4} D^2 v$,તેથી વેગ $v = \frac{4Q}{\pi D^2}$.
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{\rho (\frac{4Q}{\pi D^2}) D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi \eta D}$.
કિંમતો મૂકતા: $R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 7.5 \times 10^{-5}}{3.14 \times 10^{-3} \times 1.5 \times 10^{-2}}$.
$R_e = \frac{0.3}{4.71 \times 10^{-5}} \approx 6369.4$.
અહીં $R_e > 4000$ હોવાથી,પ્રવાહ અશાંત છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રવાહ અશાંત છે અને રેનોલ્ડ્સ નંબર $6000$ કરતા વધારે છે.

(B) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ એ એક પરિમાણરહિત સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે.
પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહ માટે,સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત માપદંડો નીચે મુજબ છે:
$1$. જો $R_e < 2000$ હોય,તો પ્રવાહ લેમિનર છે.
$2$. જો $2000 < R_e < 3000$ હોય,તો પ્રવાહ અસ્થિર અથવા સંક્રમણ અવસ્થામાં છે.
$3$. જો $R_e > 3000$ હોય,તો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) છે.
વિકલ્પ $B$ જણાવે છે કે $1000 < R_e < 2000$ માટે પ્રવાહ સ્થિર છે. જોકે આ શ્રેણીમાં પ્રવાહ લેમિનર હોય છે,પરંતુ 'સ્થિર' (steady) શબ્દનો ઉપયોગ પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં આ ચોક્કસ શ્રેણીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે પ્રમાણભૂત નથી,અને વિકલ્પ $C$ પણ $3000$ ની પ્રમાણભૂત મર્યાદાના આધારે તકનીકી રીતે ખોટો છે. જોકે,ઘણા સરળ પાઠ્યપુસ્તકોમાં $R_e > 2000$ ને ટર્બ્યુલન્સ માટેની મર્યાદા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ એ પ્રવાહના પ્રકારોનું સૌથી અચોક્કસ વર્ણન છે.

(B) આપેલ છે: નળનો વ્યાસ,$D = 1.25 \text{ cm} = 1.25 \times 10^{-2} \text{ m}$.
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક,$\eta = 10^{-3} \text{ Pa-s}$.
કદ પ્રવાહ દર,$Q = 3 \text{ L/min} = \frac{3 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 5 \times 10^{-5} \text{ m}^3/\text{s}$.
વેગ માટેનું સૂત્ર $v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}$ છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi D \eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-5}}{3.14159 \times 1.25 \times 10^{-2} \times 10^{-3}} \approx 5093$.
અહીં $R_e > 3000$ હોવાથી,પ્રવાહ ક્ષુબ્ધ (turbulent) છે.

(A) પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહીના પ્રકારને નક્કી કરતી શુદ્ધ સંખ્યાને રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ કહેવામાં આવે છે.
$(i)$ જો $R_e < 2100$ હોય,તો પ્રવાહ લેમિનર (શાંત) છે.
(ii) જો $2100 < R_e < 4000$ હોય,તો પ્રવાહ અસ્થિર અથવા સંક્રમણશીલ છે.
(iii) જો $R_e > 4000$ હોય,તો પ્રવાહ ટર્બ્યુલન્ટ (વિક્ષુબ્ધ) છે.

(C) પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી પ્રવાહીના વહનનો દર $(Q)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Q = \frac{V}{t} = \frac{\pi p R^4}{8 \eta L}$
જ્યાં:
$V$ એ પ્રવાહીનું કદ છે,
$t$ એ વહનનો સમય છે,
$p$ એ દબાણનો તફાવત છે,
$R$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે,
$L$ એ નળીની લંબાઈ છે.
કદ $V$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$V = \frac{\pi p R^4 t}{8 \eta L}$
અહીં $\frac{\pi}{8}$ એ અચળાંક હોવાથી,કદ $V$ બાકીના પદોના પ્રમાણમાં છે:
$V \propto \frac{p R^4 t}{\eta L}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

$(A)$ રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
પાઈપમાં વહેતા પ્રવાહ માટેના માપદંડો નીચે મુજબ છે:
$1$. જો $Re < 2000$ હોય, તો પ્રવાહ સુરેખ અથવા લેમિનર હોય છે.
$2$. જો $2000 < Re < 3000$ હોય, તો પ્રવાહ સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.
$3$. જો $Re > 3000$ હોય, તો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) હોય છે.
સુરેખ પ્રવાહ માટેની શરત $(Re < 2000)$ મુજબ:
- વિકલ્પ $A$: $900 < 2000$ (સુરેખ)
- વિકલ્પ $B$: $2100$ (સંક્રમણ)
- વિકલ્પ $C$: $2900$ (સંક્રમણ)
- વિકલ્પ $D$: $4000$ (અશાંત)
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પોઈસેલના નિયમ મુજબ,કદ પ્રવાહ દર $Q$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$Q = \frac{\pi \Delta P r^4}{8 L \eta}$
જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા છે અને $\Delta P$ એ દબાણનો તફાવત છે.
પ્રવાહ દર $Q$ રક્તની ઘનતા પર આધારિત નથી,તેથી ઘનતામાં થતો ફેરફાર પ્રવાહ દરને અસર કરતું નથી.
સૂત્રનું લઘુગણકીય વિકલન લેતા:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta \eta}{\eta}$
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $r$ માં $1 \%$ નો વધારો થાય છે $(\frac{\Delta r}{r} = 0.01)$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ માં $1 \%$ નો વધારો થાય છે $(\frac{\Delta \eta}{\eta} = 0.01)$:
$\frac{\Delta Q}{Q} = 4(0.01) - 0.01 = 0.04 - 0.01 = 0.03$
તેથી,પ્રવાહ દરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0.03 \times 100 = 3 \%$ છે.

(A) પ્રવાહીના પ્રવાહ માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{2 v \rho r}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પ્રવાહનો વેગ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે અને $\eta$ એ પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,જ્યાં $A = \pi r^2$. તેથી,$\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
રેનોલ્ડ્સ નંબરનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1 r_1}{v_2 r_2} = \left(\frac{r_2^2}{r_1^2}\right) \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right) = \frac{r_2}{r_1}$ છે.
આપેલ છે કે $r = r_0 e^{-\alpha x}$,તેથી $r_1 = r_0 e^{-\alpha x_1}$ અને $r_2 = r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}}{r_0 e^{-\alpha x_1}} = e^{-\alpha (x_1 + 3) + \alpha x_1} = e^{-3 \alpha}$.
$\alpha = \frac{1}{3} \text{ m}^{-1}$ આપેલ હોવાથી,આપણને $\frac{R_1}{R_2} = e^{-3(1/3)} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પાઇપનો વ્યાસ $d = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$. ગેસોલિનની ઘનતા $\rho = 720 \,kg/m^3$. ગેસોલિનની સ્નિગ્ધતા $\eta = 6 \times 10^{-3} \,Poise = 6 \times 10^{-4} \,Pa \cdot s$. પાઇપ પ્રવાહ માટે ક્રાંતિક રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = 2000$ છે. ક્રાંતિક વેગ $v_c$ માટેનું સૂત્ર $v_c = \frac{R_e \cdot \eta}{\rho \cdot d}$ છે. કિંમતો મૂકતા: $v_c = \frac{2000 \times 6 \times 10^{-4}}{720 \times 5 \times 10^{-3}} = \frac{1.2}{3.6} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \,m/s$. આમ,જ્યારે વેગ $0.33 \,m/s$ કરતા વધારે હોય ત્યારે પ્રવાહ અશાંત બને છે.

(C) નળીમાંથી વહેતા પાણી જેવા પ્રવાહીનો તે વેગ કે જેનાથી નીચે પ્રવાહ સુરેખ (streamline) રહે છે અને જેનાથી ઉપર પ્રવાહ અશાંત (turbulent) બની જાય છે,તેને ક્રિટીકલ વેગ (critical velocity) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.