Reynold's Number and Poiseuille's Equation Questions in Gujarati

(B) પ્રવાહીના પ્રવાહનો પ્રકાર રેનોલ્ડ્સ નંબર $(N_R)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. રેનોલ્ડ્સ નંબરનું સૂત્ર $N_R = \frac{\rho v D}{\eta}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$v$ એ વેગ છે,$D$ એ પાઇપનો વ્યાસ (અથવા ત્રિજ્યા $r$) છે,અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
પ્રવાહ સૌથી વધુ સુરેખ (streamlined) રહે તે માટે,રેનોલ્ડ્સ નંબર $N_R$ શક્ય તેટલો નાનો હોવો જોઈએ.
સંબંધ $N_R \propto \frac{r \rho}{\eta}$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $N_R$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\rho$ નાની હોવી જોઈએ,જ્યારે સ્નિગ્ધતા $\eta$ ઉચ્ચ હોવી જોઈએ.
તેથી,નાની ત્રિજ્યાવાળી પાઇપમાંથી વહેતું ઉચ્ચ સ્નિગ્ધતા અને ઓછી ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી સૌથી વધુ સુરેખ પ્રવાહ આપશે.

(D) પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ,પ્રવાહનો દર $V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,દબાણનો તફાવત $P = \frac{V 8 \eta l}{\pi r^4}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $P_1 = P$,$V_1 = V$,$r_1 = r$,અને $l_1 = l$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ માટે,$V_2 = 2V$,$r_2 = 2r$,અને $l_2 = 2l$ છે.
દબાણનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_2}{V_1} \times \frac{l_2}{l_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P} = 2 \times 2 \times \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$P_2 = \frac{P}{4}$.

(B) પોઈઝ્યુલીના સમીકરણ મુજબ,પ્રવાહનો દર $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળી $T_1$ માટે,$V_1 = \frac{\pi P r_1^4}{8 \eta l_1} = 8 \ cm^3/sec$.
આપેલ છે કે $l_1 = 2l_2$ અને $r_1 = r_2 = r$,તેથી $l_2 = l_1/2$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$,જ્યાં $R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$.
$R_1 = \frac{8 \eta l_1}{\pi r^4}$ અને $R_2 = \frac{8 \eta l_2}{\pi r^4} = \frac{8 \eta (l_1/2)}{\pi r^4} = \frac{1}{2} R_1$.
$R_{eq} = R_1 + \frac{1}{2} R_1 = \frac{3}{2} R_1$.
નવો પ્રવાહ દર $V' = \frac{P}{R_{eq}} = \frac{P}{(3/2) R_1} = \frac{2}{3} \left( \frac{P}{R_1} \right) = \frac{2}{3} V_1$.
$V' = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3} \ cm^3/sec$.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ જડત્વ બળ (inertial forces) અને સ્નિગ્ધતા બળ (viscous forces) નો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે, તે $Re = \frac{\rho v L}{\mu}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, $v$ એ પ્રવાહનો વેગ છે, $L$ એ લાક્ષણિક રેખીય પરિમાણ છે, અને $\mu$ એ ગતિશીલ સ્નિગ્ધતા છે.
તે આપેલ પ્રવાહની સ્થિતિ માટે આ બે પ્રકારના બળોનું સાપેક્ષ મહત્વ દર્શાવે છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબરનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહના કિસ્સાઓ વચ્ચે ગતિશીલ સમાનતા નક્કી કરવા અને પ્રવાહના પ્રકારો, જેમ કે લેમિનર અથવા ટર્બ્યુલન્ટ પ્રવાહને વર્ગીકૃત કરવા માટે થાય છે.

(B) પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈ ધરાવતી નળાકાર નળીમાંથી $P$ દબાણના તફાવત હેઠળ પ્રવાહીના વહનનો દર (એકમ સમય દીઠ કદ) નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
આ સૂત્રની સરખામણી આપેલા સમીકરણ $V = \frac{\pi Q P r^4}{\eta l}$ સાથે કરતા,આપણે સહગુણકોને સરખાવી શકીએ છીએ:
$\frac{\pi P r^4}{8 \eta l} = \frac{\pi Q P r^4}{\eta l}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\pi, P, r^4, \eta,$ અને $l$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{8} = Q$
તેથી,$Q$ નું મૂલ્ય $\frac{1}{8}$ છે.

(D) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટે પોઈઝ્યુલીનું સમીકરણ $\eta = \frac{\pi P r^4}{8 V l}$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણનો તફાવત છે,$r$ એ કેશિકા નળીની આંતરિક ત્રિજ્યા છે,$V$ એ એકમ સમયમાં એકત્રિત થયેલ પ્રવાહીનું કદ છે અને $l$ એ નળીની લંબાઈ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\eta \propto r^4$.
કારણ કે ત્રિજ્યા $r$ નો ઘાત $4$ છે,તેથી $r$ ના માપનમાં થતી કોઈપણ નાની ભૂલ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ ના ગણતરી કરેલ મૂલ્યમાં ખૂબ મોટી ભૂલ તરફ દોરી જશે.
તેથી,કેશિકા નળીની આંતરિક ત્રિજ્યાના માપનમાં સૌથી વધુ ચોકસાઈની જરૂર હોય છે.

(D) પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહનો દર $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે નળીઓ સમાંતર રીતે જોડાયેલી હોવાથી,કુલ પ્રવાહનો દર $V$ એ દરેક નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહના દરનો સરવાળો છે: $V = V_1 + V_2$.
પ્રવાહના દર માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{\pi P r^4}{8 \eta l} = \frac{\pi P r_1^4}{8 \eta l} + \frac{\pi P r_2^4}{8 \eta l}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{\pi P}{8 \eta l}$ ને દૂર કરતા,આપણને $r^4 = r_1^4 + r_2^4$ મળે છે.
તેથી,એકલ નળીની ત્રિજ્યા $r = (r_1^4 + r_2^4)^{1/4}$ થશે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ સમાન છે,$l_1 = l_2 = l$. ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ છે.
કેશિકામાંથી સુરેખ સ્થિતિમાં વહેતા પ્રવાહી માટે,કદનો પ્રવાહ દર $V$ પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$.
કેશિકાઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોવાથી,બંનેમાંથી વહેતો કદનો પ્રવાહ દર $V$ સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{\pi P_1 r_1^4}{8 \eta l} = \frac{\pi P_2 r_2^4}{8 \eta l}$.
આ સમીકરણ $P_1 r_1^4 = P_2 r_2^4$ માં પરિણમે છે,અથવા $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4$.
આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = 2$. આમ,$\frac{P_1}{P_2} = (2)^4 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $P_1 = 16 P_2$.
સંયોજન પરનો કુલ દબાણ તફાવત $P = P_1 + P_2 = 1 \ m$ છે.
સમીકરણમાં $P_2 = \frac{P_1}{16}$ મૂકતા: $P_1 + \frac{P_1}{16} = 1$.
$\frac{17 P_1}{16} = 1 \implies P_1 = \frac{16}{17} \approx 0.94 \ m$.

(A) નળાકાર નળીમાંથી વહેતા અદબનીય,સ્નિગ્ધ પ્રવાહીના સ્થાયી પ્રવાહ માટે પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ,કદનો પ્રવાહ દર $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$
જ્યાં:
$p$ એ દબાણનો તફાવત છે,
$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે,
$l$ એ નળીની લંબાઈ છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા આની ચકાસણી:
$V = [L^3 T^{-1}]$
$p = [M L^{-1} T^{-2}]$
$r = [L]$
$\eta = [M L^{-1} T^{-1}]$
$l = [L]$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{[M L^{-1} T^{-2}] [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] [L]} = [L^3 T^{-1}]$
બંને બાજુના પરિમાણો સમાન હોવાથી,આ સૂત્ર સાચું છે.

(A) ક્રાંતિવેગ $(v_c)$ નું સૂત્ર $v_c = \frac{N_R \eta}{\rho r}$ છે,જ્યાં $N_R$ એ રેનોલ્ડ્સ નંબર છે,$\eta$ એ શ્યાનતા ગુણાંક છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
બંને પ્રવાહી માટે ત્રિજ્યા $(r)$ અને રેનોલ્ડ્સ નંબર $(N_R)$ સમાન હોવાથી,ક્રાંતિવેગ એ $\frac{\eta}{\rho}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,ક્રાંતિવેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\eta_1}{\eta_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{52}{49}$ અને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{13}{1}$,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{13}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{52}{49} \times \frac{1}{13} = \frac{4}{49}$.

(B) પોઈઝ્યુલીના નિયમ મુજબ,કદનો પ્રવાહ દર $V = \frac{P}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ પ્રવાહીનો અવરોધ છે.
અવરોધ $R = \frac{8\eta l}{\pi r^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ નળી માટે,$R = \frac{8\eta l}{\pi r^4}$.
અડધી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ ધરાવતી બીજી નળી માટે,અવરોધ $R'$:
$R' = \frac{8\eta l}{\pi (r/2)^4} = \frac{8\eta l}{\pi r^4} \times 16 = 16R$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R' = R + 16R = 17R$.
નવો પ્રવાહ દર $V_{new}$:
$V_{new} = \frac{P}{R_{total}} = \frac{P}{17R} = \frac{V}{17}$.

(D) પોઈઝ્યુલીના સમીકરણ મુજબ,કદ વહન દર $V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$ છે.
દબાણના તફાવત $P$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$P = \frac{V 8 \eta l}{\pi r^4}$ મળે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ $(P_1, V_1, r_1, l_1)$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(P_2, V_2, r_2, l_2)$ માટે:
$V_2 = 2V_1$,$r_2 = 2r_1$,અને $l_2 = 2l_1$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right) \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P_1} = (2) \times (2) \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$P_2 = \frac{P_1}{4} = \frac{P}{4}$.

(C) કેશનળીમાંથી વહેતા પ્રવાહનો દર $Q$ એ પોઈઝ્યુલીના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{\Delta P}{R}$,જ્યાં $R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ એ પ્રવાહીનો અવરોધ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,અસરકારક અવરોધ $R_{eff}$ એ $\frac{1}{R_{eff}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ દ્વારા મળે છે.
અવરોધ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{\pi r^4}{8 \eta l} = \frac{\pi r^4}{8 \eta l_1} + \frac{\pi r^4}{8 \eta l_2}$.
સામાન્ય પદો $\frac{\pi r^4}{8 \eta}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{l} = \frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2}$.
$l$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{l} = \frac{l_1 + l_2}{l_1 l_2}$,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{l_1 l_2}{l_1 + l_2}$.

(B) પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ,વહનનો દર $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$
અહીં $P, \pi, \eta,$ અને $l$ અચળ હોવાથી,$V \propto r^4$ થાય.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $r$ માં $10\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $r_2 = r_1 + 0.1r_1 = 1.1r_1$ થાય.
નવા વહન દર $V_2$ અને પ્રારંભિક વહન દર $V_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4 = (1.1)^4 = 1.4641$.
તેથી,$V_2 = 1.4641 V_1$.
વહન દરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર:
$\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\% \approx 46\%$.

(A) પોઈઝ્યુલીનું સમીકરણ નળાકાર પાઈપમાંથી વહેતા સ્નિગ્ધ પ્રવાહીના પ્રવાહનું વર્ણન કરે છે.
પોઈઝ્યુલીના નિયમ મુજબ,કદના પ્રવાહનો દર $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$
જ્યાં:
$p$ એ નળીના છેડાઓ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત છે,
$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,
$\eta$ એ પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,
$l$ એ નળીની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સુસંગત છે,કારણ કે બંને બાજુના પરિમાણો $[L^3 T^{-1}]$ છે.

(A) નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહીનો ક્રાંતિક વેગ $v_c$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_c = \frac{N_R \eta}{\rho r}$,જ્યાં $N_R$ એ રેનોલ્ડ્સ નંબર છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે નળીઓની ત્રિજ્યા સમાન છે $(r_1 = r_2)$ અને ધારી લઈએ કે બંને પ્રવાહી માટે ક્રાંતિક રેનોલ્ડ્સ નંબર $N_R$ સમાન છે,તો ક્રાંતિક વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\eta_1}{\eta_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$
આપેલ ગુણોત્તર:
$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{52}{49}$
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{13}{1} \implies \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{13}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{52}{49} \times \frac{1}{13} = \frac{4}{49}$
આમ,તેમના ક્રાંતિક વેગનો ગુણોત્તર $4:49$ છે.

(C) પોઈઝ્યુલીના નિયમ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહનો દર $Q = \frac{P}{R}$ છે,જ્યાં $R = \frac{8\eta l}{\pi r^4}$ એ પ્રવાહીનો અવરોધ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,અસરકારક અવરોધ $R_{eff}$ માટે $\frac{1}{R_{eff}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ થાય.
અવરોધની કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi r^4}{8\eta l} = \frac{\pi r^4}{8\eta l_1} + \frac{\pi r^4}{8\eta l_2}$.
સામાન્ય પદો $\frac{\pi r^4}{8\eta}$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{1}{l} = \frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2}$ મળે છે.
$l$ માટે ઉકેલતા,આપણને $l = \frac{l_1 l_2}{l_1 + l_2}$ મળે છે.

(B) પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહીનો દર $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$
અહીં $P$,$\eta$ અને $l$ અચળ હોવાથી,$V \propto r^4$ મળે છે.
જો ત્રિજ્યા $r$ માં $10\%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 1.1 r_1$ થાય.
નવો વહન દર $V_2$ નીચે મુજબ મળે:
$V_2 = V_1 \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4 = V_1 (1.1)^4 = 1.4641 V_1$.
વહન દરમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર:
$\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\% \approx 46\%$.
આમ,વહન દરમાં આશરે $46\%$ નો વધારો થશે.

(D) પોઈઝ્યુઈલના સમીકરણ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી પ્રવાહીના વહનનો દર $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
જ્યાં $P$ એ દબાણનો તફાવત છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે અને $l$ એ નળીની લંબાઈ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V \propto \frac{r^4}{l}$.
અહીં લંબાઈ બમણી $(l_2 = 2l_1)$ અને વ્યાસ અડધો કરવામાં આવે છે,તેથી ત્રિજ્યા પણ અડધી $(r_2 = r_1 / 2)$ થશે.
ગુણોત્તરમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4 \times \left( \frac{l_1}{l_2} \right)$
$\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{32}$
તેથી,નવો વહન દર $V_2 = V / 32$ થશે.

(B) નળીની આંતરિક સપાટી પરનું શીયર સ્ટ્રેસ $\tau = \frac{F}{A} = \frac{P \cdot \pi r^2}{2 \pi r l} = \frac{Pr}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રઢતા મોડ્યુલસ $\beta$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,શીયર સ્ટ્રેન $\phi = \frac{\tau}{\beta} = \frac{Pr}{2\beta l}$ ........$(1)$
પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,પ્રવાહનો દર $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ છે.
આના પરથી,દબાણ તફાવત $P = \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4}$ લખી શકાય ........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\phi = \frac{r}{2 \beta l} \cdot \left( \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4} \right) = \frac{4 \eta Q}{\pi \beta r^3}$.

(C) પોઈઝ્યુલીના નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા અને $\ell$ લંબાઈ ધરાવતી કેશિકામાંથી $p$ દબાણના તફાવત હેઠળ વહેતા પ્રવાહનો દર $Q$ નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{\pi p r^4}{8 \eta \ell}$
અહીં,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $Q \propto p r^4$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $Q \propto p a^4$.
અંતિમ સ્થિતિ: $Q' \propto p' (r')^4$,જ્યાં $p' = 4p$ અને $r' = a/2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Q' \propto (4p) \left(\frac{a}{2}\right)^4 = 4p \cdot \frac{a^4}{16} = \frac{p a^4}{4}$.
બંનેની સરખામણી કરતા:
$\frac{Q'}{Q} = \frac{p a^4 / 4}{p a^4} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$Q' = Q/4$.

(A) પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,કદના પ્રવાહનો દર $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ દબાણનો તફાવત છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા છે અને $\ell$ એ નળીની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી,$Q \propto \frac{r^4}{\ell}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_1 = \ell$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે. નવી લંબાઈ $\ell_2 = 2\ell$ છે અને નવો વ્યાસ અડધો કરવામાં આવ્યો છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{r}{2}$ થશે.
નવો પ્રવાહ દર $Q^{\prime}$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$Q^{\prime} = Q \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4 \times \left(\frac{\ell_1}{\ell_2}\right)$
$Q^{\prime} = Q \times \left(\frac{r/2}{r}\right)^4 \times \left(\frac{\ell}{2\ell}\right)$
$Q^{\prime} = Q \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times \left(\frac{1}{2}\right)$
$Q^{\prime} = Q \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{Q}{32}$.

(D) સ્ટ્રીમલાઇન સ્થિતિમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલી નળીઓમાંથી વહેતા પ્રવાહી માટે,પ્રવાહીના વહનનો દર $(V)$ બંને નળીઓ માટે સમાન રહે છે.
પોઇસેયુલના સમીકરણ મુજબ,વહનનો દર $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_1 = V_2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{\pi P_1 r_1^4}{8 \eta l_1} = \frac{\pi P_2 r_2^4}{8 \eta l_2}$
સમીકરણને સરળ બનાવતા:
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{P_2 r_2^4}{l_2}$
આપેલ છે કે $P_2 = 4P_1$ અને $l_2 = \frac{l_1}{4}$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{(4P_1) r_2^4}{l_1 / 4}$
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{16 P_1 r_2^4}{l_1}$
$r_1^4 = 16 r_2^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$r_1 = 2 r_2$
તેથી,$r_2 = \frac{r_1}{2}$.

(D) આપેલ છે: નળનો વ્યાસ $D = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,cm = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$.
કદનો પ્રવાહ દર $Q = \frac{15\,litres}{5\,minutes} = \frac{15 \times 10^{-3}\,m^3}{300\,s} = 5 \times 10^{-5}\,m^3/s$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2} \right)^2 = 10^{-4}\,m^2$.
વેગ $v = \frac{Q}{A} = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-4}} = 0.5\,m/s$.
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$,જ્યાં $\rho = 10^3\,kg/m^3$,$v = 0.5\,m/s$,$D = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$,અને $\eta = 10^{-3}\,Pa\cdot s$.
$R_e = \frac{10^3 \times 0.5 \times (2/\sqrt{\pi}) \times 10^{-2}}{10^{-3}} = \frac{5 \times (2/\sqrt{\pi})}{10^{-3}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \times 10^3 \approx \frac{10}{1.772} \times 10^3 \approx 5642$.
સૌથી નજીકની કિંમત $5500$ છે.

(D) $\text{રેનોલ્ડ્સ નંબર } (Re) \text{ નું સૂત્ર: } Re = \frac{\rho v D}{\eta}, \text{જ્યાં } \rho \text{ ઘનતા છે } v \text{ વેગ છે } D \text{ પાઇપનો વ્યાસ છે અને } \eta \text{ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે।}
\text{પ્રથમ, બધા એકમોને } SI \text{ એકમોમાં ફેરવો:}
\text{વોલ્યુમ ફ્લો રેટ } (Q) = 100\, L/min = \frac{100 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = \frac{1}{60}\, m^3/s.
\text{ત્રિજ્યા } (r) = 5\, cm = 0.05\, m, \text{તેથી વ્યાસ } (D) = 2r = 0.1\, m.
\text{ઘનતા } (\rho) = 1000\, kg/m^3.
\text{સ્નિગ્ધતા } (\eta) = 1\, mPa\, s = 10^{-3}\, Pa\, s.
\text{વેગ } (v) \text{ ની ગણતરી:}
Q = A \times v = (\pi r^2) \times v
v = \frac{Q}{\pi r^2} = \frac{1/60}{\pi \times (0.05)^2} = \frac{20}{3\pi}\, m/s.
\text{હવે, રેનોલ્ડ્સ નંબરની ગણતરી:}
Re = \frac{1000 \times (20 / 3\pi) \times 0.1}{10^{-3}} = \frac{2000}{3\pi} \times 10^3 \approx 2.12 \times 10^5.
\text{આપેલા વિકલ્પો મુજબ, યોગ્ય ક્રમ } 10^4 \text{ છે।}$

(B) આપેલ પદ કેશનળીમાંથી વહેતા શ્યાન પ્રવાહી માટેના પોઈઝ્યુલીના નિયમ પરથી મેળવેલ છે,જે $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ છે.
આ સૂત્રને શ્યાનતા ગુણાંક $\eta$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\eta = \frac{\pi P r^4}{8 Q l}$ મળે છે.
અહીં $\pi$ અને $8$ પરિમાણરહિત અચળાંકો હોવાથી,$\frac{\pi P r^4}{8 Q l}$ પદના પરિમાણો શ્યાનતા ગુણાંક $\eta$ ના પરિમાણોને સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

$(A)$ રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહમાં જડત્વના બળો અને સ્નિગ્ધતા બળોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $Re = \frac{\text{Inertial Force}}{\text{Viscous Force}}$.
$Re < 2000$ માટે, પ્રવાહ સામાન્ય રીતે લેમિનર (laminar) હોય છે, જ્યાં સ્નિગ્ધતા બળો પ્રભાવી હોય છે.
$Re > 2000$ માટે, પ્રવાહ અશાંત (turbulent) બને છે, જેનો અર્થ છે કે સ્નિગ્ધતા બળોની તુલનામાં જડત્વના બળો પ્રભાવી હોય છે.
તેથી, વિધાન સાચું છે, અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે ઊંચા રેનોલ્ડ્સ નંબર પર પ્રવાહ અશાંત બને છે.

(A) આપેલ છે:
નળીની લંબાઈ,$l = 1.5 \; m$
નળીની ત્રિજ્યા,$r = 1.0 \; cm = 0.01 \; m$
દળ પ્રવાહ દર,$M = 4.0 \times 10^{-3} \; kg \; s^{-1}$
ગ્લિસરીનની ઘનતા,$\rho = 1.3 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$
ગ્લિસરીનની સ્નિગ્ધતા,$\eta = 0.83 \; Pa \; s$
કદ પ્રવાહ દર $V = \frac{M}{\rho} = \frac{4.0 \times 10^{-3}}{1.3 \times 10^{3}} \approx 3.077 \times 10^{-6} \; m^{3} \; s^{-1}$.
દબાણ તફાવત $p$ માટે પોઈઝ્યુઈલના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$V = \frac{\pi p r^{4}}{8 \eta l} \implies p = \frac{8 \eta l V}{\pi r^{4}}$
$p = \frac{8 \times 0.83 \times 1.5 \times 3.077 \times 10^{-6}}{\pi \times (0.01)^{4}}$
$p = \frac{3.0647 \times 10^{-5}}{\pi \times 10^{-8}} \approx 9.756 \times 10^{2} \; Pa \approx 9.8 \times 10^{2} \; Pa$.
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{4 \rho V}{\pi d \eta}$ નો ઉપયોગ કરીને લેમિનર પ્રવાહની ચકાસણી કરતા,જ્યાં $d = 2r = 0.02 \; m$:
$R_e = \frac{4 \times 1.3 \times 10^{3} \times 3.077 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.02 \times 0.83} \approx 0.306$.
$R_e < 2000$ હોવાથી,પ્રવાહ લેમિનર છે.

(N/A) આપેલ છે:
ધમનીનો વ્યાસ,$d = 2 \times 10^{-3} \; m$
રુધિરની સ્નિગ્ધતા,$\eta = 2.084 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$
રુધિરની ઘનતા,$\rho = 1.06 \times 10^{3} \; kg/m^3$
લેમિનર પ્રવાહ માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર,$N_{R} = 2000$
$(a)$ લેમિનર પ્રવાહ માટે મહત્તમ સરેરાશ વેગ $(V_{avg})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$V_{avg} = \frac{N_{R} \eta}{\rho d}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{avg} = \frac{2000 \times 2.084 \times 10^{-3}}{1.06 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-3}}$
$V_{avg} = \frac{4.168}{2.12} \approx 1.966 \; m/s$
$(b)$ હા,જેમ પ્રવાહીનો વેગ વધે છે તેમ વિસર્જનકારી બળો વધુ મહત્વના બને છે. આનું કારણ એ છે કે ઉચ્ચ વેગને કારણે અશાંત પ્રવાહ (turbulence) ઉદભવે છે. અશાંત પ્રવાહમાં,પ્રવાહીના કણો અનિયમિત માર્ગે ગતિ કરે છે,જેના પરિણામે લેમિનર પ્રવાહની તુલનામાં આંતરિક ઘર્ષણ અને ઊર્જાનો વ્યય વધે છે.

(N/A) ધમનીની ત્રિજ્યા,$r = 2 \times 10^{-3} \; m$
ધમનીનો વ્યાસ,$d = 2r = 4 \times 10^{-3} \; m$
રુધિરની સ્નિગ્ધતા,$\eta = 2.084 \times 10^{-3} \; Pa \; s$
રુધિરની ઘનતા,$\rho = 1.06 \times 10^{3} \; kg/m^{3}$
લેમિનર પ્રવાહ માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર,$N_{R} = 2000$
$(a)$ મહત્તમ સરેરાશ વેગ $(V_{avg})$ નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે:
$V_{avg} = \frac{N_{R} \eta}{\rho d}$
$V_{avg} = \frac{2000 \times 2.084 \times 10^{-3}}{1.06 \times 10^{3} \times 4 \times 10^{-3}}$
$V_{avg} \approx 0.983 \; m/s$
$(b)$ પ્રવાહનો દર $(Q)$ નીચે મુજબ છે:
$Q = A \times V_{avg} = \pi r^{2} V_{avg}$
$Q = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^{2} \times 0.983$
$Q \approx 1.235 \times 10^{-5} \; m^{3}/s$

(N/A) અશાંત પ્રવાહ એ પ્રવાહીના પ્રવાહનો એક પ્રકાર છે જે પ્રવાહીના વેગ અને દબાણમાં અસ્તવ્યસ્ત, અનિયમિત અને અણધાર્યા ફેરફારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. જ્યારે પ્રવાહીનો વેગ એક નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતાં વધી જાય છે, ત્યારે રેનોલ્ડ્સ નંબર ઊંચો $(Re > 4000)$ હોય છે, જેના પરિણામે અશાંત પ્રવાહ ઉદભવે છે.
અશાંત પ્રવાહના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ દરિયાઈ પ્રવાહો.
$(ii)$ લાકડાના દહનથી નીકળતો ધુમાડો.
$(iii)$ પૃથ્વીના વાતાવરણમાં અશાંતિને કારણે તારાઓનું ટમટમવું.
$(iv)$ ગતિશીલ હોડીની આસપાસ પાણીનો પ્રવાહ અથવા વિમાનની પાંખના છેડાઓ પાસેનો પ્રવાહ.

(A) પ્રવાહી ગતિશાસ્ત્રમાં, ક્રાંતિક ઝડપ (અથવા ક્રાંતિક વેગ) એ પ્રવાહીના પ્રવાહનો તે ચોક્કસ વેગ છે કે જેના પર પ્રવાહ સ્તરીય (laminar) માંથી અશાંત (turbulent) માં રૂપાંતરિત થાય છે.
જ્યારે પ્રવાહીનો વેગ આ ક્રાંતિક મૂલ્ય કરતા ઓછો હોય, ત્યારે પ્રવાહ સરળ અને વ્યવસ્થિત (સ્તરીય) હોય છે.
જ્યારે વેગ આ ક્રાંતિક મૂલ્ય કરતા વધી જાય છે, ત્યારે પ્રવાહ અસ્તવ્યસ્ત અને અનિયમિત (અશાંત) બની જાય છે.
આ સંક્રમણ રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં $Re = \frac{\rho v D}{\eta}$.
પાઈપ માટે, સામાન્ય રીતે જ્યારે $Re > 2300$ હોય ત્યારે પ્રવાહ અશાંત બને છે.

(N/A) ઓસ્બોર્ન રેનોલ્ડ્સે અવલોકન કર્યું કે ઓછા દરે વહેતા સ્નિગ્ધ પ્રવાહી માટે અશાંત પ્રવાહ (turbulent flow) થવાની શક્યતા ઓછી હોય છે. તેમણે એક પરિમાણરહિત સંખ્યા વ્યાખ્યાયિત કરી,જેનું મૂલ્ય પ્રવાહ અશાંત હશે કે નહીં તેનો ખ્યાલ આપે છે. આ સંખ્યાને રેનોલ્ડ્સ નંબર,$R_{e}$ કહેવામાં આવે છે.
$R_{e} = \frac{\rho v d}{\eta}$
જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$v$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે,$\eta$ એ પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા છે અને $d$ એ પાઇપનું પરિમાણ (વ્યાસ) છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબરના મૂલ્ય પરથી પ્રવાહના પ્રકાર જાણી શકાય છે:
$1$. જો $R_{e} < 1000$ હોય,તો પ્રવાહ સુરેખ અથવા લેમિનર (laminar) છે.
$2$. જો $R_{e} > 2000$ હોય,તો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) છે.
$3$. જો $R_{e}$ નું મૂલ્ય $1000$ અને $2000$ ની વચ્ચે હોય,તો પ્રવાહ અસ્થિર (unsteady) છે.

(N/A) અશાંત પ્રવાહ એ પ્રવાહીના પ્રવાહનો એક પ્રકાર છે જે પ્રવાહીના કણોની અસ્તવ્યસ્ત, અનિયમિત અને અસ્થિર ગતિ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે। જ્યારે પ્રવાહનો વેગ એક નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતા વધી જાય છે, ત્યારે રેનોલ્ડ્સ નંબર ઊંચો $ (Re > 4000) $ થાય છે, જેના પરિણામે અશાંત પ્રવાહ ઉદ્ભવે છે। આ પ્રવાહમાં, કોઈપણ બિંદુએ વેગનું મૂલ્ય અને દિશા સતત બદલાતા રહે છે, જે વમળો (eddies) અને વમળ (vortices) ના નિર્માણ તરફ દોરી જાય છે।
અશાંત પ્રવાહના ઉદાહરણો:
$ (i) $ દરિયાઈ પ્રવાહો।
$ (ii) $ લાકડાના દહનથી નીકળતો ધુમાડો।
$ (iii) $ પૃથ્વીના વાતાવરણમાં અશાંતિને કારણે તારાઓનું ટમટમવું।
$ (iv) $ ગતિશીલ હોડીની આસપાસ પાણીનો પ્રવાહ અને વિમાનની પાંખોની ટીપ્સની આસપાસ હવાનો પ્રવાહ।

(N/A) રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_{e}$ એ જડત્વ બળ અને સ્નિગ્ધતા બળના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
જડત્વ બળ એ દળ અને પ્રવેગનો ગુણાકાર છે,જેને $F_{i} = \rho A v^{2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ વેગ છે.
સ્નિગ્ધતા બળ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$F_{v} = \eta A \frac{dv}{dx}$,જે લાક્ષણિક લંબાઈ $d$ માટે $F_{v} = \frac{\eta A v}{d}$ તરીકે સરળ બને છે.
આ બંને બળોનો ગુણોત્તર લેતા:
$R_{e} = \frac{F_{i}}{F_{v}} = \frac{\rho A v^{2}}{\left(\frac{\eta A v}{d}\right)}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$R_{e} = \frac{\rho v^{2}}{\left(\frac{\eta v}{d}\right)} = \frac{\rho v d}{\eta}$
આમ,રેનોલ્ડ્સ નંબર એ જડત્વ બળ અને સ્નિગ્ધતા બળનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.

(N/A) પાઈપમાં વહેતા પ્રવાહીનો પ્રવાહ જે મહત્તમ વેગ સુધી સુરેખ (લેમિનર) રહે છે,તે વેગને ક્રાંતિક વેગ (Critical velocity) કહેવામાં આવે છે. આ વેગથી વધુ વેગ થતા પ્રવાહ અશાંત (Turbulent) બને છે.
ક્રાંતિક વેગ $(v_{c})$ નું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$v_{c} = \frac{R_{e} \eta}{\rho d}$
જ્યાં:
$R_{e}$ એ રેનોલ્ડ્સ નંબર છે,
$\eta$ એ પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,
$d$ એ પાઈપનો વ્યાસ છે.

રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_{e})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $R_{e} = \frac{\rho v d}{\eta}$
જ્યાં:
$\rho$ (ઘનતા) = $[M^{1} L^{-3} T^{0}]$
$v$ (વેગ) = $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$
$d$ (વ્યાસ) = $[L^{1}]$
$\eta$ (સ્નિગ્ધતા ગુણાંક) = $[M^{1} L^{-1} T^{-1}]$
સૂત્રમાં પરિમાણો મૂકતા:
$R_{e} = \frac{[M^{1} L^{-3} T^{0}] [M^{1} L^{1} T^{-1}] [L^{1}]}{[M^{1} L^{-1} T^{-1}]}$
$R_{e} = \frac{[M^{1} L^{-1} T^{-1}]}{[M^{1} L^{-1} T^{-1}]}$
$R_{e} = [M^{0} L^{0} T^{0}]$
આમ,મૂળભૂત પરિમાણોના તમામ ઘાતાંક શૂન્ય હોવાથી,રેનોલ્ડ્સ નંબર પરિમાણરહિત છે.

(B) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રકારને સમજવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
પાઈપમાં વહેતા પ્રવાહ માટે,પ્રવાહના લક્ષણો સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$1$. જો $R_e < 2000$ હોય,તો પ્રવાહ લેમિનર (રેખીય) હોય છે.
$2$. જો $2000 < R_e < 4000$ હોય,તો પ્રવાહ સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.
$3$. જો $R_e > 4000$ હોય,તો પ્રવાહ અશાંત (Turbulent) હોય છે.
ઘણીવાર $R_e > 1000$ થી $2000$ વચ્ચેના પ્રવાહને લેમિનર પ્રવાહથી દૂર અને અશાંતિ તરફ જતો ગણવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$R_e > 1000$ એ અસ્થિરતાની શરૂઆત સૂચવે છે જે અશાંત પ્રવાહ તરફ દોરી જાય છે.

(TURBULENT) જ્યારે રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ $2000$ કરતા વધી જાય,ત્યારે પ્રવાહીનો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) ગણાય છે.
અશાંત પ્રવાહમાં,પ્રવાહીના કણો અનિયમિત,અસ્તવ્યસ્ત અને અણધાર્યા રીતે ગતિ કરે છે.
આ પ્રકારના પ્રવાહમાં પ્રવાહીના કોઈપણ બિંદુએ વમળો (eddies),ચક્રાવત (vortices) અને વેગમાં વધઘટ જોવા મળે છે.
લેમિનર પ્રવાહથી વિપરીત,જ્યાં પ્રવાહીના સ્તરો એકબીજા પર સરળતાથી સરકે છે,અશાંત પ્રવાહમાં આંતરિક ઘર્ષણને કારણે નોંધપાત્ર મિશ્રણ અને ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.

(D) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહની વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
સ્થિર (લેમિનર) પ્રવાહ માટે,$R_e < 2000$ હોય છે.
સંક્રમણ પ્રવાહ માટે,$2000 < R_e < 3000$ હોય છે.
અશાંત (ટર્બ્યુલન્ટ) પ્રવાહ માટે,$R_e > 3000$ હોય છે.
અસ્થિર પ્રવાહ એટલે એવો પ્રવાહ કે જેમાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ વેગ સમય સાથે બદલાય છે. રેનોલ્ડ્સ નંબર ખાસ કરીને સ્થિર-અવસ્થાના પ્રવાહની પરિસ્થિતિઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેથી પ્રવાહના પ્રકારને વર્ગીકૃત કરી શકાય. તેથી,તે અસ્થિર પ્રવાહ માટે લાગુ પડતું નથી અથવા વ્યાખ્યાયિત નથી.

(N/A) ક્રિટિકલ વેલોસિટી એ મહત્તમ વેગ છે જ્યાં સુધી પ્રવાહીનો પ્રવાહ સુરેખ (streamlined) અથવા લેમિનર રહે છે. જ્યારે પ્રવાહીનો વેગ આ મૂલ્ય કરતાં વધી જાય છે,ત્યારે પ્રવાહ અશાંત (turbulent) બની જાય છે.
ક્રિટિકલ વેલોસિટી $(v_c)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_c = \frac{R_e \cdot \eta}{\rho \cdot D}$
જ્યાં:
$R_e$ એ રેનોલ્ડ્સ નંબર છે (પરિમાણરહિત રાશિ),
$\eta$ એ પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,
$D$ એ પાઇપનો વ્યાસ છે.

(C) ટર્બ્યુલન્સ એ પ્રવાહીના પ્રવાહમાં અસ્તવ્યસ્ત અને રેન્ડમ ગુણધર્મોમાં થતા ફેરફારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તેની મુખ્ય મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. તે અત્યંત અરેખીય (non-linear) છે અને પ્રારંભિક સ્થિતિઓ પ્રત્યે સંવેદનશીલ છે,જેના કારણે લાંબા ગાળાની આગાહી કરવી અશક્ય છે.
$2$. કોઈ એક સાર્વત્રિક વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંત નથી જે તમામ ટર્બ્યુલન્ટ પ્રવાહોનું વર્ણન કરી શકે.
$3$. તેમાં અવકાશી અને સમયના માપદંડોની વિશાળ શ્રેણી સામેલ છે,જેના માટે સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશન $(DNS)$ માટે પ્રચંડ કમ્પ્યુટેશનલ પાવરની જરૂર પડે છે.
$4$. તે આંતરિક ઘર્ષણને કારણે ઉર્જાના વ્યયમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે.

(N/A) રેનોલ્ડ્સ નંબર એ એક પરિમાણરહિત સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે.
તેને પ્રવાહીની અંદરના જડત્વના બળો (inertial forces) અને સ્નિગ્ધતાના બળો (viscous forces) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho)$,પ્રવાહીનો વેગ $(v)$,નળીનો વ્યાસ $(D)$ અને સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$ પર આધાર રાખે છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબર $(N_R)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$N_R = \frac{\rho v D}{\eta}$
રેનોલ્ડ્સ નંબરનો ઉપયોગ પ્રવાહીનો પ્રવાહ લેમિનર (ધારારેખી) છે કે ટર્બ્યુલન્ટ (અસ્તવ્યસ્ત) તે નક્કી કરવા માટે થાય છે.

(A) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ એક પરિમાણરહિત સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે.
સ્ટ્રીમલાઇન અથવા લેમિનર પ્રવાહ માટે, રેનોલ્ડ્સ નંબરનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $2000$ થી ઓછું માનવામાં આવે છે.
જ્યારે $Re > 3000$ હોય ત્યારે પ્રવાહને અશાંત (turbulent) ગણવામાં આવે છે, અને જ્યારે $2000 < Re < 3000$ હોય ત્યારે તે સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.

(B) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહની વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
લેમિનર પ્રવાહ માટે, $Re < 1000$ હોય છે.
અસ્થિર અથવા સંક્રમણકારી પ્રવાહ માટે, રેનોલ્ડ્સ નંબર સામાન્ય રીતે $1000$ અને $2000$ ની વચ્ચે હોય છે.
ક્ષુબ્ધ (turbulent) પ્રવાહ માટે, $Re > 2000$ હોય છે.
તેથી, અસ્થિર પ્રવાહ માટે રેનોલ્ડ્સ નંબરનું મૂલ્ય $1000$ અને $2000$ ની વચ્ચે હોય છે.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ એક પરિમાણરહિત સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની પરિસ્થિતિઓમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે.
પાઈપમાં પ્રવાહ માટે, જ્યારે $Re < 2000$ હોય ત્યારે પ્રવાહને લેમિનર (laminar) ગણવામાં આવે છે.
જ્યારે $2000 < Re < 4000$ હોય ત્યારે પ્રવાહને ટ્રાન્ઝિશનલ (transitional) ગણવામાં આવે છે.
જ્યારે $Re > 4000$ હોય ત્યારે પ્રવાહને અશાંત (turbulent) ગણવામાં આવે છે.
જોકે, ઘણી સરળ પરિસ્થિતિઓમાં, જ્યારે $Re > 2000$ હોય ત્યારે પ્રવાહને અશાંત ગણવામાં આવે છે.

(B) પ્રવાહી ગતિશાસ્ત્રમાં,જડત્વીય બળ એ ગતિમાં રહેલા પ્રવાહીના કણોના વેગમાન સાથે સંકળાયેલું બળ છે.
તેને પ્રવાહીના ઘટકના દળ અને તેના પ્રવેગના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $F_i = m \cdot a$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પ્રવાહીનું દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
રેનોલ્ડ્સ નંબરના સંદર્ભમાં,તે પ્રવાહીની ગતિની સ્થિતિમાં થતા ફેરફાર સામેના અવરોધને દર્શાવે છે.

(A) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ ફ્લુઇડ મિકેનિક્સમાં વિવિધ પ્રવાહી પ્રવાહની સ્થિતિમાં પ્રવાહની પેટર્નનું અનુમાન કરવા માટે થાય છે。
તેને પ્રવાહીની અંદર લાગતા જડત્વના બળ (Inertial force) અને સ્નિગ્ધતાના બળ (Viscous force) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે વિવિધ પ્રવાહી વેગને કારણે આંતરિક ગતિ અનુભવે છે。
ગાણિતિક રીતે, તે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$Re = \frac{\text{Inertial force}}{\text{Viscous force}}$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે。

(A) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રકારને અનુમાનિત કરવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
$1$. $R_e < 1000$ માટે,પ્રવાહ સ્ટ્રીમલાઇન અથવા લેમિનર હોય છે.
$2$. $1000 < R_e < 2000$ માટે,પ્રવાહ અનસ્ટેડી (અસ્થિર/સંક્રમણ અવસ્થા) હોય છે.
$3$. $R_e > 2000$ માટે,પ્રવાહ ટર્બ્યુલન્ટ (વિક્ષુબ્ધ) હોય છે.
તેથી,સાચી જોડી $(a-ii)$ અને $(b-iii)$ છે.

(D) પ્રવાહનો પ્રકાર રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$.
આપેલ છે: $\rho = 10^3\, kg/m^3$,$\eta = 10^{-3}\, Pa\cdot s$,$r = 0.5\, cm = 0.005\, m$,$D = 2r = 0.01\, m$.
પ્રવાહ દર $Q = A \cdot v = \pi r^2 v$,તેથી $v = \frac{Q}{\pi r^2}$.
$R_e$ માં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $R_e = \frac{\rho Q D}{\eta \pi r^2} = \frac{\rho Q (2r)}{\eta \pi r^2} = \frac{2 \rho Q}{\eta \pi r}$.
$Q_1 = 0.18\, L/min = \frac{0.18 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = 3 \times 10^{-6}\, m^3/s$ માટે:
$R_{e1} = \frac{2 \times 10^3 \times 3 \times 10^{-6}}{10^{-3} \times \pi \times 0.005} \approx 382.16$.
$R_{e1} < 1000$ હોવાથી,પ્રવાહ સ્થાયી છે.
$Q_2 = 0.48\, L/min = \frac{0.48 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = 8 \times 10^{-6}\, m^3/s$ માટે:
$R_{e2} = \frac{2 \times 10^3 \times 8 \times 10^{-6}}{10^{-3} \times \pi \times 0.005} \approx 1018.59$.
$1000 < R_{e2} < 2000$ હોવાથી,પ્રવાહ અસ્થાયી બને છે.
આમ,પ્રવાહ સ્થાયી થી અસ્થાયી માં બદલાય છે.