Pressure due to Liquid Column and Barometer Questions in Hindi

(B) बैरोमीटर में पारे (mercury) की ऊंचाई का गिरना वायुमंडलीय दबाव में कमी को दर्शाता है।
दबाव में यह कमी अक्सर वायुमंडल में जल वाष्प की मात्रा बढ़ने के कारण होती है,जो शुष्क हवा की तुलना में कम घनी होती है।
परिणामस्वरूप,बैरोमीटर की गिरती हुई रीडिंग वर्षा होने की संभावना या तूफान के आने का एक सामान्य संकेत है।

(B) बैरोमीटर की ऊंचाई का बढ़ना वायुमंडलीय दबाव में वृद्धि को दर्शाता है।
यह परिवर्तन आमतौर पर यह संकेत देता है कि मौसम साफ या शुष्क हो रहा है,क्योंकि उच्च दबाव प्रणाली आमतौर पर साफ आसमान और कम आर्द्रता से जुड़ी होती है।

(C) त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित हो रही लिफ्ट के अंदर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
$h$ ऊंचाई और $\rho$ घनत्व वाले तरल स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g_{eff}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$g_{eff}$ का मान रखने पर,हमें लिफ्ट के अंदर का दबाव $P = h \rho (g + a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > 0$ है,इसलिए बैरोमीटर द्वारा मापा गया दबाव मानक वायुमंडलीय दबाव $h \rho g$ से अधिक होगा।

(B) त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही लिफ्ट के अंदर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a$ होता है।
$h$ ऊंचाई के तरल स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g_{eff}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बैरोमीटर मानक गुरुत्वाकर्षण $g$ के लिए अंशांकित है,इसलिए रीडिंग $h'$ इस प्रकार समायोजित होगी कि दबाव का संतुलन स्थानीय प्रभावी गुरुत्वाकर्षण के साथ सुसंगत रहे।
हालाँकि,त्वरित फ्रेम में स्तंभ के आधार पर दबाव $P = h \rho (g - a)$ होता है।
चूंकि $(g - a) < g$,इसलिए पारे के स्तंभ का प्रभावी वजन कम हो जाता है।
इसलिए,स्थिर अवस्था में मानक वायुमंडलीय दबाव की रीडिंग की तुलना में बैरोमीटर में पारे के स्तंभ की ऊंचाई $h$ कम हो जाएगी,जिसका अर्थ है कि मापा गया दबाव वायुमंडलीय दबाव $76 \text{ cm of Hg}$ से कम होगा।

(N/A) चूँकि हवा ऊपर के स्तरों में कम सघन होती है,इसलिए दबाव भी कम होता है।
$(a)$ $A$ अनुप्रस्थ काट और $dh$ ऊँचाई वाला हवा का एक क्षैतिज भाग लें। ऊपरी सतह पर दबाव $P$ और निचली सतह पर $P + dP$ है। यदि यह भाग संतुलन में है,तो शुद्ध ऊर्ध्व बल इसके भार द्वारा संतुलित होना चाहिए।
$(P + dP)A - PA = -mg$ (जहाँ द्रव्यमान = आयतन $\times$ घनत्व)
$(dP)A = -\rho(A dh)g$
$dp = -\rho g dh$ ... $(1)$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊँचाई बढ़ने पर दबाव घटता है।
$(b)$ पृथ्वी की सतह पर हवा का घनत्व $\rho_0$ है। दिया गया है $P \propto \rho$,इसलिए $\frac{P}{P_0} = \frac{\rho}{\rho_0}$,यानी $\rho = \left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$dP = -\left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0 g dh$
$\frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} dh$
दोनों पक्षों का $0$ से $h$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{P_0}^{P} \frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} \int_{0}^{h} dh$
$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$P = P_0 e^{-\frac{\rho_0 g h}{P_0}}$
$(c)$ दिया है $P = \frac{P_0}{10}$,इसलिए $\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$h = \frac{P_0 \ln(10)}{\rho_0 g} = \frac{1.03 \times 10^5 \times 2.303}{1.29 \times 9.8} \approx 18750 \text{ m} \approx 18.75 \text{ km}$.
$(d)$ इस मॉडल की धारणा यह है कि हवा का घनत्व दबाव के समानुपाती है,जो एक समतापीय वायुमंडल (स्थिर तापमान) का संकेत देता है,जबकि वास्तविक वायुमंडल का तापमान ऊँचाई के साथ बदलता रहता है।

(C) तरल स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ ऊंचाई है,$\rho$ घनत्व है,और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
पारा बैरोमीटर के लिए,दबाव $P = h_{Hg} \rho_{Hg} g = 0.76 \; m \times 13600 \; kg/m^3 \times g$ है।
तरल बैरोमीटर के लिए,दबाव $P = h' \rho' g = h' \times 760 \; kg/m^3 \times g$ है।
चूंकि दोनों मामलों में वायुमंडलीय दबाव समान है,हम दोनों समीकरणों को बराबर करते हैं:
$h' \times 760 = 0.76 \times 13600$
$h'$ के लिए हल करने पर:
$h' = \frac{0.76 \times 13600}{760}$
$h' = \frac{10336}{760} = 13.6 \; m$.

(A) द्रव में अलग-अलग गहराई पर स्थित दो बिंदुओं के बीच दाबांतर हाइड्रोस्टेटिक दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = \rho g h$.
यहाँ,पानी का घनत्व $\rho = 1000 \, kg/m^3$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$,और ऊँचाई का अंतर $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta P = 1000 \times 10 \times 0.1$
$\Delta P = 1000 \, Pa$.

(A) गहराई पर कुल दबाव $P = P_{0} + \rho gd$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_{0}$ वायुमंडलीय दबाव है।
दिया गया है $P_{1} = 3 \times 10^{5} \; Pa$ और $P_{0} = 1 \times 10^{5} \; Pa$।
अतः,$\rho gd = P_{1} - P_{0} = 3 \times 10^{5} - 1 \times 10^{5} = 2 \times 10^{5} \; Pa$।
यदि गहराई को दोगुना कर दिया जाए $(d' = 2d)$,तो नया दबाव $P_{2} = P_{0} + \rho g(2d) = P_{0} + 2(\rho gd)$ होगा।
मान रखने पर: $P_{2} = 1 \times 10^{5} + 2(2 \times 10^{5}) = 1 \times 10^{5} + 4 \times 10^{5} = 5 \times 10^{5} \; Pa$।
दबाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{P_{2} - P_{1}}{P_{1}} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= \frac{5 \times 10^{5} - 3 \times 10^{5}}{3 \times 10^{5}} \times 100 = \frac{2 \times 10^{5}}{3 \times 10^{5}} \times 100 = \frac{200}{3} \%$।

(D) तली से $y$ ऊँचाई पर $dy$ चौड़ाई की एक पट्टी पर विचार करें। सतह के नीचे इस पट्टी की गहराई $(h-y)$ है।
इस गहराई पर दबाव $P = \rho_w g(h-y)$ है।
$dA = L \cdot dy$ क्षेत्रफल वाली पट्टी पर बल $dF = P \cdot dA = \rho_w g(h-y) L \cdot dy$ है।
तली के अक्ष ($y=0$ पर) के परितः टॉर्क $d\tau = dF \cdot y = \rho_w g L (h-y) y \cdot dy$ है।
कुल टॉर्क $\tau_1$ के लिए $y=0$ से $y=h$ तक समाकलन करने पर:
$\tau_1 = \int_{0}^{h} \rho_w g L (hy - y^2) dy = \rho_w g L \left[ \frac{hy^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h} = \rho_w g L \left( \frac{h^3}{2} - \frac{h^3}{3} \right) = \frac{\rho_w g L h^3}{6}$.
दूसरे मामले में,ऊँचाई $h' = h/2$ और लंबाई $L' = L/2$ है। टॉर्क $\tau_2$ इस प्रकार है:
$\tau_2 = \int_{0}^{h/2} \rho_w g L' (h' - y) y \cdot dy = \int_{0}^{h/2} \rho_w g \left(\frac{L}{2}\right) \left(\frac{h}{2} - y\right) y \cdot dy$
$= \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h}{2} \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h/2} = \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h}{4} \left(\frac{h^2}{4}\right) - \frac{1}{3} \left(\frac{h^3}{8}\right) \right]$
$= \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h^3}{16} - \frac{h^3}{24} \right] = \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{3h^3 - 2h^3}{48} \right] = \frac{\rho_w g L h^3}{2 \cdot 48} = \frac{\rho_w g L h^3}{96}$.
अतः,$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{\rho_w g L h^3 / 6}{\rho_w g L h^3 / 96} = \frac{96}{6} = 16$.

(A) खिड़की पर दबाव का अंतर उसके ऊपर पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव के कारण होता है।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 30 \times 30 \,cm^2 = 900 \times 10^{-4} \,m^2 = 0.09 \,m^2$.
गहराई $h = 100 \,m$.
घनत्व $\rho = 1.03 \times 10^3 \,kg/m^3$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
दबाव का अंतर $\Delta P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
खिड़की पर कार्य करने वाला बल $F = \Delta P \times A = \rho ghA$ है।
मान रखने पर:
$F = (1.03 \times 10^3) \times 10 \times 100 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^3 \times 10^3 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^6 \times 0.09 = 0.0927 \times 10^6 = 9.27 \times 10^4 \,N$.
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$F \approx 9.3 \times 10^4 \,N = 0.93 \times 10^5 \,N$.

(C) दिया गया है:
हृदय स्तर पर रक्तचाप,$P_{\text{heart}} = 13.3 \,kPa = 13300 \,Pa$.
रक्त का घनत्व,$\rho = 10^3 \,kg/m^3$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$.
पैर से हृदय की ऊँचाई,$h_1 = 1.3 \,m$.
हृदय से सिर की ऊँचाई,$h_2 = 1.7 \,m - 1.3 \,m = 0.4 \,m$.
पैर के स्तर पर दबाव $P_{\text{foot}} = P_{\text{heart}} + \rho g h_1$ द्वारा दिया जाता है।
$P_{\text{foot}} = 13300 + (10^3 \times 10 \times 1.3) = 13300 + 13000 = 26300 \,Pa = 26.3 \,kPa$.
सिर के स्तर पर दबाव $P_{\text{head}} = P_{\text{heart}} - \rho g h_2$ द्वारा दिया जाता है।
$P_{\text{head}} = 13300 - (10^3 \times 10 \times 0.4) = 13300 - 4000 = 9300 \,Pa = 9.3 \,kPa$.
पैर के क्षेत्र और सिर के क्षेत्र में $BP$ का अनुपात है:
$\text{Ratio} = \frac{P_{\text{foot}}}{P_{\text{head}}} = \frac{26.3}{9.3} \approx 2.828$.
यह मान $3$ के सबसे करीब है।

(D) द्रव की सतह से $h$ गहराई पर कुल दबाव $P$ का सूत्र है: $P = P_0 + \rho gh$,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ पानी का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ गहराई है।
दिया गया है:
वायुमंडलीय दबाव $P_0 \approx 1.013 \times 10^5 \, Pa$ (या $1 \, atm$)।
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \, kg/m^3$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 9.8 \, m/s^2$ है।
गहराई $h = 20 \, m$ है।
गेज दबाव की गणना: $P_{gauge} = \rho gh = 1000 \times 9.8 \times 20 = 1.96 \times 10^5 \, Pa$ है।
चूंकि $1 \, atm \approx 1.013 \times 10^5 \, Pa$,इसलिए $atm$ में गेज दबाव लगभग $1.96 \, atm \approx 2 \, atm$ है।
कुल दबाव $P = P_0 + P_{gauge} = 1 \, atm + 2 \, atm = 3 \, atm$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) द्रव की सतह से $x$ गहराई पर दबाव $P(x) = \rho g x$ द्वारा दिया जाता है।
$H$ ऊंचाई की ऊर्ध्वाधर दीवार पर औसत दबाव ज्ञात करने के लिए,हम गहराई पर दबाव का समाकलन करते हैं और इसे कुल ऊंचाई से विभाजित करते हैं।
प्रति इकाई चौड़ाई कुल बल गहराई के संबंध में दबाव का समाकलन है: $F = \int_0^H \rho g x \, dx$.
$F = \rho g \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^H = \frac{1}{2} \rho g H^2$.
औसत दबाव $P_{avg}$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल कुल बल के रूप में परिभाषित किया गया है। $H$ ऊंचाई और इकाई चौड़ाई की दीवार के लिए,क्षेत्रफल $H$ है। अतः,$P_{avg} = \frac{F}{H} = \frac{\frac{1}{2} \rho g H^2}{H} = \frac{1}{2} \rho g H$.

(D) बैरोमीटर द्वारा मापा गया दबाव $P = h \rho g_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ प्रभावी त्वरण है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर जाती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
इस स्थिति में बैरोमीटर $76 \, cm$ $Hg$ पढ़ता है,इसलिए वास्तविक वायुमंडलीय दबाव $P_0$ (जो $a = 0$ होने पर रीडिंग से संबंधित है) अवलोकित रीडिंग $h'$ के साथ $P_0 = h' \rho (g + a)$ द्वारा संबंधित होगा।
हालाँकि,प्रश्न त्वरित फ्रेम में दबाव रीडिंग के बारे में पूछता है। यदि बैरोमीटर ऊपर की ओर त्वरित होते समय $76 \, cm$ पढ़ता है,तो इसका मतलब है कि पारे के स्तंभ का प्रभावी वजन बढ़ गया है।
चूंकि $P = h \rho (g + a)$ है,एक निश्चित वायुमंडलीय दबाव $P_0$ के लिए,त्वरण बढ़ने पर ऊंचाई $h$ कम हो जाएगी। यदि ऊपर की ओर त्वरण के दौरान रीडिंग $76 \, cm$ है,तो वास्तविक वायुमंडलीय दबाव $76 \, cm$ $Hg$ के समतुल्य से अधिक होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि बैरोमीटर स्थिर अवस्था में $76 \, cm$ पढ़ने के लिए कैलिब्रेट किया गया है और यह त्वरित होते समय $76 \, cm$ पढ़ता है,तो यह इंगित करता है कि दबाव प्रभावी रूप से स्थिर अवस्था की $76 \, cm$ रीडिंग से अधिक है। अतः,$76 \, cm$ से अधिक सबसे संभावित मान $77 \, cm$ है।

(A) बैरोमीटर में पारे के स्तर में अचानक गिरावट वायुमंडलीय दबाव में तेजी से कमी का संकेत देती है।
जब वायुमंडलीय दबाव काफी कम हो जाता है,तो यह एक दबाव प्रवणता (pressure gradient) पैदा करता है,जिसके कारण आसपास के उच्च दबाव वाले क्षेत्रों से हवा बहुत तेज गति से कम दबाव वाले क्षेत्र की ओर दौड़ती है।
हवा की यह उच्च वेग वाली गति तूफान की विशेषता है।
इसलिए,$10 \,mm$ या उससे अधिक की गिरावट तूफान आने का संकेत है।

(A) स्थिर तरल में किसी भी बिंदु पर दबाव केवल तरल की मुक्त सतह से उस बिंदु की गहराई पर निर्भर करता है,जिसे सूत्र $p = p_0 + \rho gh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ तरल का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ बिंदु की गहराई है।
दिए गए चित्र में,दोनों बिंदु $x$ और $y$ तरल की मुक्त सतह से समान गहराई $h$ पर हैं।
चूंकि तरल समान है (समान $\rho$) और गहराई $h$ भी समान है,इसलिए दोनों बिंदुओं पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव समान होना चाहिए।
अतः,$p_x = p_y$।

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर जाती है, तो लिफ्ट के अंदर एक छद्म बल (pseudo force) नीचे की ओर कार्य करता है।
इसके कारण गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g$ से बढ़कर $g^{\prime} = g + a$ हो जाता है।
बैरोमीटर में पारे के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वायुमंडलीय दबाव $P$ स्थिर रहता है, इसलिए $\rho g h = \rho (g + a) h^{\prime}$ होगा, जहां $h^{\prime}$ नया पाठ्यांक है।
चूंकि $(g + a) > g$ है, इसलिए $h^{\prime} < h$ प्राप्त होता है।
अतः, नया पाठ्यांक $h^{\prime}$ का मान $76 \, cm$ से कम होगा।

(B) बैरोमीटर में पारे के स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई वायुमंडलीय दबाव द्वारा निर्धारित होती है और ट्यूब को झुकाने पर यह स्थिर रहती है,बशर्ते खुला सिरा पारे के पात्र में डूबा रहे।
माना $h = 75 \,cm$ पारे के स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई है।
माना $x$ झुकी हुई ट्यूब के अंदर पारे के स्तंभ की लंबाई है जब इसे क्षैतिज के साथ $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर झुकाया जाता है।
ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ और झुकी हुई ट्यूब के साथ लंबाई $x$ के बीच का संबंध $h = x \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta = 30^{\circ}$ है,इसलिए $h = x \sin(30^{\circ})$.
मान रखने पर: $75 = x \times (1/2)$.
अतः,$x = 75 \times 2 = 150 \,cm$.

(A) वायुमंडलीय दाब $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
मानक वायुमंडलीय दाब $P = 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 10^5 \,Pa$ है।
यह दाब $h_{Hg} = 0.76 \,m$ ऊँचाई के पारे (Mercury) के स्तंभ के बराबर है,जहाँ पारे का घनत्व $\rho_{Hg} = 13600 \,kg/m^3$ है।
बैरोमीटर के द्रव (ट्राइब्रोमोमीथेन) के लिए,घनत्व $\rho_{TBM} = 2.9 \times 1000 \,kg/m^3 = 2900 \,kg/m^3$ है।
सिद्धांत $P = h_{Hg} \rho_{Hg} g = h_{TBM} \rho_{TBM} g$ का उपयोग करने पर:
$h_{TBM} = \frac{h_{Hg} \rho_{Hg}}{\rho_{TBM}}$
$h_{TBM} = \frac{0.76 \times 13600}{2900} \approx 3.56 \,m$.
$10^5 \,Pa$ के सन्निकटन और मानक मानों को देखते हुए,गणना की गई ऊँचाई लगभग $3.52 \,m$ है।

(C) माना टंकी में पानी की प्रारंभिक ऊँचाई $h$ है। तल पर दबाव वायुमंडलीय दबाव और गेज दबाव का योग है।
$P_{\text{bottom}} = P + \rho_w g h = 4 P$
अतः,पानी के स्तंभ के कारण गेज दबाव $\rho_w g h = 3 P$ है ... $(1)$
जब पानी को इस प्रकार बाहर निकाला जाता है कि स्तर उसकी प्रारंभिक ऊँचाई के $\frac{3}{5}$ तक कम हो जाता है,तो पानी की शेष ऊँचाई $h' = h - \frac{3}{5} h = \frac{2}{5} h$ होती है।
तल पर नया दबाव $P' = P + \rho_w g h'$ है।
समीकरण में $h' = \frac{2}{5} h$ रखने पर:
$P' = P + \rho_w g (\frac{2}{5} h) = P + \frac{2}{5} (\rho_w g h)$.
समीकरण $(1)$ का उपयोग करते हुए,$\rho_w g h = 3 P$ रखने पर:
$P' = P + \frac{2}{5} (3 P) = P + \frac{6 P}{5} = \frac{5 P + 6 P}{5} = \frac{11 P}{5}$.

(B) पानी का वेग शीर्ष $\frac{V^2}{2g}$ द्वारा दिया जाता है।
पारे का दाब शीर्ष $h_{Hg} = 40 \, cm = 0.4 \, m$ दिया गया है।
इस पारे के स्तंभ द्वारा लगाया गया दाब $P = \rho_{Hg} g h_{Hg}$ है।
पानी के दाब शीर्ष को पारे के दाब शीर्ष के बराबर करने पर:
$\frac{P}{\rho_w g} = \frac{\rho_{Hg} g h_{Hg}}{\rho_w g} = \frac{\rho_{Hg}}{\rho_w} h_{Hg}$.
दिया गया है कि वेग शीर्ष $\frac{V^2}{2g}$ इस दाब शीर्ष के बराबर है:
$\frac{V^2}{2g} = \frac{\rho_{Hg}}{\rho_w} h_{Hg}$.
$V^2 = 2g \times \frac{\rho_{Hg}}{\rho_w} \times h_{Hg}$.
मान रखने पर: $V^2 = 2 \times 9.8 \times 13.6 \times 0.4$.
$V^2 = 106.5984$.
$V = \sqrt{106.5984} \approx 10.32 \, m/s$.

(C) जब एक बीकर $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है, तो द्रव के कणों पर नीचे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
यह छद्म बल गुरुत्वाकर्षण बल में जुड़ जाता है, जिससे गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान बढ़ जाता है।
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g + a$ होता है।
$h$ गहराई पर दाब $P$ का सूत्र $P = \rho g' h$ है।
$g'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P = \rho(g + a)h$ प्राप्त होता है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $h$ के साथ वायुमंडलीय दबाव $P$ में परिवर्तन को बैरोमेट्रिक सूत्र द्वारा वर्णित किया जाता है:
$P_h = P_0 e^{-mgh / RT}$
जहाँ $P_0$ समुद्र तल पर दबाव है,$m$ हवा का मोलर द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि दबाव ऊँचाई $h$ पर एक घातांकीय फलन के माध्यम से निर्भर करता है,इसलिए ऊँचाई बढ़ने के साथ वायुमंडलीय दबाव में कमी घातांकीय होती है।

(A) बर्तन के आधार पर तरल स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ तरल स्तंभ की ऊंचाई है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
चूंकि दोनों बर्तन $A$ और $B$ को एक ही तरल (पानी) से समान ऊंचाई $h$ तक भरा जाता है,इसलिए आधार पर दबाव केवल ऊंचाई $h$,घनत्व $\rho$ और स्थिरांक $g$ पर निर्भर करता है।
चूंकि $h$,$\rho$,और $g$ दोनों बर्तनों के लिए समान हैं,इसलिए बर्तन $A$ के आधार पर दबाव बर्तन $B$ के आधार पर दबाव के बराबर होना चाहिए।

(A) $h$ गहराई पर निरपेक्ष दाब $P$ का सूत्र है: $P = P_{atm} + \rho gh$।
दी गई मान हैं: $h = 1 \,km = 1000 \,m$,$\rho = 10^{3} \,kg/m^{3}$,$g = 10 \,m/s^{2}$,और $P_{atm} = 1.01 \times 10^{5} \,N/m^{2}$।
गेज दाब (पानी के स्तंभ के कारण दाब) की गणना: $P_{gauge} = \rho gh = 10^{3} \times 10 \times 1000 = 10^{7} \,N/m^{2}$।
अब,वायुमंडलीय दाब को जोड़ने पर: $P = 1.01 \times 10^{5} + 10^{7} = 0.0101 \times 10^{7} + 10^{7} = 1.0101 \times 10^{7} \,N/m^{2}$।
उचित सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $P \approx 1.011 \times 10^{7} \,N/m^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) द्रव टैंक के तल पर दबाव $P$ का सूत्र $P = h \rho g$ है,जहाँ $h$ द्रव स्तंभ की ऊँचाई है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि दबाव द्रव की ऊँचाई $h$,द्रव के घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ के सीधे समानुपाती होता है।
दबाव द्रव की सतह के क्षेत्रफल या पात्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,दबाव द्रव की सतह के क्षेत्रफल के समानुपाती नहीं होता है।

(B) $h$ गहराई पर गेज दबाव $P_g$ का सूत्र $P_g = \rho g h$ है।
दिया गया है:
समुद्र के पानी का घनत्व $\rho = 1025 \,kg \,m^{-3}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$
गहराई $h = 50 \,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$P_g = 1025 \times 10 \times 50$
$P_g = 1025 \times 500$
$P_g = 512500 \,Pa$.

(A) द्रव स्तंभ के तल पर गेज दाब $P_g$ ज्ञात करने का सूत्र है: $P_g = \rho gh$।
यहाँ,तेल का घनत्व $\rho = 850 \,kg \,m^{-3}$,तेल स्तंभ की ऊँचाई $h = 4 \,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m \,s^{-2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P_g = 850 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 4 \,m$
$P_g = 34000 \,Pa$
चूँकि $1 \,kPa = 1000 \,Pa$,इसलिए $P_g = 34 \,kPa$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
गहराई, $h = 3 \,m$
पानी का घनत्व, $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3} = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m \,s^{-2}$
पानी के स्तंभ के कारण पूल के तल पर दबाव $P$ की गणना हाइड्रोस्टेटिक दबाव सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$P = \rho g h$
दिए गए मानों को रखने पर:
$P = 10^3 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 3 \,m$
$P = 30 \times 10^3 \,Pa$
अतः, तल पर दबाव $30 \times 10^3 \,Pa$ है।

(C) द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दाब सूत्र $p = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, पारे के स्तंभ की ऊँचाई $h = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
पारे का घनत्व $\rho = 13.6 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p = (13.6 \times 10^3) \times 9.8 \times 10^{-3}$
$p = 13.6 \times 9.8$
$p = 133.28 \,Pa \approx 133.3 \,Pa$.

(B) पानी की मुक्त सतह से $y$ गहराई पर दबाव $P = P_{atm} + \rho g y$ है। $y$ गहराई पर $dy$ ऊँचाई की एक छोटी पट्टी पर बल $dF = P \cdot dA = (P_{atm} + \rho g y) \cdot (a \cdot dy)$ है,जहाँ $a$ बांध की चौड़ाई है। कुल बल $F$,$y=0$ से $y=h$ तक $dF$ का समाकलन है। अनुप्रयोग बिंदु $y_R$ (दबाव का केंद्र) $y_R = \frac{\int y dF}{\int dF}$ द्वारा दिया जाता है। पानी में डूबे $h$ ऊँचाई के आयताकार गेट के लिए,दबाव का केंद्र मुक्त सतह से $\frac{2}{3}h$ की गहराई पर होता है। चूंकि प्रश्न में $O$ आधार (जो सतह से $h$ गहराई पर है) के सापेक्ष अनुप्रयोग बिंदु पूछा गया है,इसलिए आधार से दूरी $h - \frac{2}{3}h = \frac{h}{3}$ होगी।

(D) द्रव की सतह से $h$ गहराई पर कुल दबाव $P$ का सूत्र है: $P = P_0 + \rho gh$.
यहाँ,$P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ पानी का घनत्व $(1000 \ kg \ m^{-3})$ है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण $(10 \ ms^{-2})$ है,और $h$ गहराई $(10 \ m)$ है।
मान रखने पर:
$P = 1.01 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 10)$
$P = 1.01 \times 10^5 + 10^5$
$P = 1.01 \times 10^5 + 1.00 \times 10^5 = 2.01 \times 10^5 \ Nm^{-2}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$ है।

(B) माना द्रव का घनत्व $\rho_l = 1.2 \ g \ cm^{-3}$ और तेल का घनत्व $\rho_o = 0.9 \ g \ cm^{-3}$ है।
जब दाईं ओर द्रव $15 \ cm$ ऊपर उठता है,तो यह बाईं ओर प्रारंभिक संतुलन स्तर के सापेक्ष $15 \ cm$ नीचे गिर गया होगा।
इस प्रकार,दोनों भुजाओं के बीच द्रव स्तरों का कुल अंतर $h_l = 15 \ cm + 15 \ cm = 30 \ cm$ है।
माना बाईं ओर तेल के स्तंभ की ऊंचाई $h_o$ है। बाईं ओर तेल और द्रव के इंटरफ़ेस पर दबाव दाईं ओर उसी क्षैतिज स्तर पर दबाव के बराबर होना चाहिए।
हाइड्रोस्टेटिक दबाव संतुलन का उपयोग करते हुए: $h_o \rho_o g = h_l \rho_l g$।
मान रखने पर: $h_o \times 0.9 = 30 \times 1.2$।
$h_o = \frac{30 \times 1.2}{0.9} = 40 \ cm$।
तेल का स्तंभ बाईं ओर के प्रारंभिक द्रव स्तर से $40 \ cm$ ऊपर है। चूंकि बाईं ओर का द्रव $15 \ cm$ नीचे गिर गया है,इसलिए तेल के स्तंभ का शीर्ष प्रारंभिक स्तर से $40 - 15 = 25 \ cm$ ऊपर है।
दाईं ओर का द्रव प्रारंभिक स्तर से $15 \ cm$ ऊपर है।
इसलिए,तेल के स्तर और दाईं ओर के द्रव स्तर के बीच ऊंचाई का अंतर $25 \ cm - 15 \ cm = 10 \ cm$ है।

(B) निरपेक्ष दबाव का सूत्र $P = P_{atm} + \rho g h$ है।
यहाँ, $P = 100 \text{ atm} = 100 \times 10^5 \text{ Pa}$, $P_{atm} = 1 \text{ atm} = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$, $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, और $g = 10 \text{ m/s}^2$ है।
मान रखने पर: $100 \times 10^5 = 1 \times 10^5 + (1000)(10)h$.
$100 \times 10^5 - 1 \times 10^5 = 10^4 h$.
$99 \times 10^5 = 10^4 h$.
$h = \frac{99 \times 10^5}{10^4} = 99 \times 10 = 990 \text{ m}$.
अतः, पनडुब्बी $990 \text{ m}$ की गहराई तक जा सकती है।