Pressure due to Liquid Column and Barometer Questions in Gujarati

(B) બેરોમીટરમાં પારો (mercury) ની ઊંચાઈ ઘટવી એ વાતાવરણીય દબાણમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
દબાણમાં આ ઘટાડો વાતાવરણમાં પાણીની વરાળના વધારાને કારણે થાય છે,જે સૂકી હવા કરતા ઓછી ઘનતા ધરાવે છે.
પરિણામે,બેરોમીટરનું ઘટતું રીડિંગ વરસાદ આવવાની શક્યતા અથવા તોફાન આવવાનું સૂચક છે.

(B) બેરોમીટરની ઊંચાઈ વધવી એ વાતાવરણીય દબાણમાં વધારો સૂચવે છે.
આ ફેરફાર સામાન્ય રીતે સૂચવે છે કે હવામાન સ્વચ્છ અથવા સૂકું બની રહ્યું છે,કારણ કે ઉચ્ચ દબાણ પ્રણાલીઓ સામાન્ય રીતે ચોખ્ખા આકાશ અને ઓછી ભેજ સાથે સંકળાયેલી હોય છે.

(C) પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી લિફ્ટમાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = h \rho g_{eff}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને લિફ્ટની અંદરનું દબાણ $P = h \rho (g + a)$ મળે છે.
અહીં $a > 0$ હોવાથી,બેરોમીટર દ્વારા માપવામાં આવતું દબાણ પ્રમાણભૂત વાતાવરણીય દબાણ $h \rho g$ કરતા વધારે હશે.

(B) પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરતી લિફ્ટની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ થાય છે.
$h$ ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = h \rho g_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેરોમીટર પ્રમાણિત ગુરુત્વાકર્ષણ $g$ માટે માપાંકિત હોવાથી,વાંચન $h'$ એવી રીતે બદલાશે કે જેથી દબાણનું સંતુલન સ્થાનિક અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે સુસંગત રહે.
જોકે,પ્રવેગિત ફ્રેમમાં સ્તંભના પાયા પરનું દબાણ $P = h \rho (g - a)$ છે.
કારણ કે $(g - a) < g$,મર્ક્યુરી સ્તંભનું અસરકારક વજન ઘટે છે.
તેથી,સ્થિર સ્થિતિમાં પ્રમાણિત વાતાવરણીય દબાણના વાંચનની સરખામણીમાં બેરોમીટરમાં મર્ક્યુરી સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ ઘટશે,જેનો અર્થ છે કે માપેલું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $76 \text{ cm of Hg}$ કરતા ઓછું હશે.

(N/A) હવા ઉપરના સ્તરોમાં ઓછી ઘટ્ટ હોવાથી દબાણ પણ ઓછું હોય છે.
$(a)$ $A$ આડછેદ અને $dh$ ઊંચાઈ ધરાવતો હવાનો એક સમક્ષિતિજ ભાગ ધ્યાનમાં લો. ઉપરની સપાટી પર દબાણ $P$ અને નીચેની સપાટી પર $P + dP$ છે. જો આ ભાગ સંતુલનમાં હોય,તો ચોખ્ખું ઉર્ધ્વ બળ તેના વજન દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$(P + dP)A - PA = -mg$ (જ્યાં દળ = કદ $\times$ ઘનતા)
$(dP)A = -\rho(A dh)g$
$dp = -\rho g dh$ ... $(1)$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ વધતા દબાણ ઘટે છે.
$(b)$ પૃથ્વીની સપાટી પર હવાની ઘનતા $\rho_0$ છે. આપેલ છે કે $P \propto \rho$,તેથી $\frac{P}{P_0} = \frac{\rho}{\rho_0}$,એટલે કે $\rho = \left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$dP = -\left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0 g dh$
$\frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} dh$
બંને બાજુ $0$ થી $h$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{P_0}^{P} \frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} \int_{0}^{h} dh$
$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$P = P_0 e^{-\frac{\rho_0 g h}{P_0}}$
$(c)$ આપેલ છે $P = \frac{P_0}{10}$,તેથી $\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$h = \frac{P_0 \ln(10)}{\rho_0 g} = \frac{1.03 \times 10^5 \times 2.303}{1.29 \times 9.8} \approx 18750 \text{ m} \approx 18.75 \text{ km}$.
$(d)$ આ મોડેલની પૂર્વધારણા એ છે કે હવાની ઘનતા દબાણના સમપ્રમાણમાં છે,જે સમતાપી વાતાવરણ (અચળ તાપમાન) સૂચવે છે,જ્યારે વાસ્તવિક વાતાવરણનું તાપમાન ઊંચાઈ સાથે બદલાય છે.

(C) પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
મર્ક્યુરી બેરોમીટર માટે,દબાણ $P = h_{Hg} \rho_{Hg} g = 0.76 \; m \times 13600 \; kg/m^3 \times g$ છે.
પ્રવાહી બેરોમીટર માટે,દબાણ $P = h' \rho' g = h' \times 760 \; kg/m^3 \times g$ છે.
બંને કિસ્સામાં વાતાવરણીય દબાણ સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ છીએ:
$h' \times 760 = 0.76 \times 13600$
$h'$ માટે ઉકેલતા:
$h' = \frac{0.76 \times 13600}{760}$
$h' = \frac{10336}{760} = 13.6 \; m$.

(A) પ્રવાહીમાં જુદી જુદી ઊંડાઈએ આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેના દબાણનો તફાવત હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = \rho g h$.
અહીં,પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^3$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$,અને ઊંચાઈનો તફાવત $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta P = 1000 \times 10 \times 0.1$
$\Delta P = 1000 \, Pa$.

(A) ઊંડાઈએ કુલ દબાણ $P = P_{0} + \rho gd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_{0}$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
આપેલ છે કે $P_{1} = 3 \times 10^{5} \; Pa$ અને $P_{0} = 1 \times 10^{5} \; Pa$.
તેથી,$\rho gd = P_{1} - P_{0} = 3 \times 10^{5} - 1 \times 10^{5} = 2 \times 10^{5} \; Pa$.
જો ઊંડાઈ બમણી કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું દબાણ $P_{2} = P_{0} + \rho g(2d) = P_{0} + 2(\rho gd)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{2} = 1 \times 10^{5} + 2(2 \times 10^{5}) = 1 \times 10^{5} + 4 \times 10^{5} = 5 \times 10^{5} \; Pa$.
દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{P_{2} - P_{1}}{P_{1}} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
ટકાવારી વધારો $= \frac{5 \times 10^{5} - 3 \times 10^{5}}{3 \times 10^{5}} \times 100 = \frac{2 \times 10^{5}}{3 \times 10^{5}} \times 100 = \frac{200}{3} \%$.

(D) તળિયેથી $y$ ઊંચાઈએ $dy$ પહોળાઈની એક પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. સપાટીની નીચે આ પટ્ટીની ઊંડાઈ $(h-y)$ છે.
આ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho_w g(h-y)$ છે.
$dA = L \cdot dy$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી પટ્ટી પરનું બળ $dF = P \cdot dA = \rho_w g(h-y) L \cdot dy$ છે.
તળિયાની ધરી ($y=0$ પર) વિશે ટોર્ક $d\tau = dF \cdot y = \rho_w g L (h-y) y \cdot dy$ છે.
કુલ ટોર્ક $\tau_1$ માટે $y=0$ થી $y=h$ સુધી સંકલન કરતા:
$\tau_1 = \int_{0}^{h} \rho_w g L (hy - y^2) dy = \rho_w g L \left[ \frac{hy^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h} = \rho_w g L \left( \frac{h^3}{2} - \frac{h^3}{3} \right) = \frac{\rho_w g L h^3}{6}$.
બીજા કિસ્સામાં,ઊંચાઈ $h' = h/2$ અને લંબાઈ $L' = L/2$ છે. ટોર્ક $\tau_2$ નીચે મુજબ છે:
$\tau_2 = \int_{0}^{h/2} \rho_w g L' (h' - y) y \cdot dy = \int_{0}^{h/2} \rho_w g \left(\frac{L}{2}\right) \left(\frac{h}{2} - y\right) y \cdot dy$
$= \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h}{2} \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h/2} = \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h}{4} \left(\frac{h^2}{4}\right) - \frac{1}{3} \left(\frac{h^3}{8}\right) \right]$
$= \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h^3}{16} - \frac{h^3}{24} \right] = \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{3h^3 - 2h^3}{48} \right] = \frac{\rho_w g L h^3}{2 \cdot 48} = \frac{\rho_w g L h^3}{96}$.
તેથી,$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{\rho_w g L h^3 / 6}{\rho_w g L h^3 / 96} = \frac{96}{6} = 16$.

(A) બારી પર લાગતું દબાણ તફાવત તેની ઉપરના પાણીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણને કારણે છે.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 30 \times 30 \,cm^2 = 900 \times 10^{-4} \,m^2 = 0.09 \,m^2$.
ઊંડાઈ $h = 100 \,m$.
ઘનતા $\rho = 1.03 \times 10^3 \,kg/m^3$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
દબાણ તફાવત $\Delta P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બારી પર લાગતું બળ $F = \Delta P \times A = \rho ghA$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = (1.03 \times 10^3) \times 10 \times 100 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^3 \times 10^3 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^6 \times 0.09 = 0.0927 \times 10^6 = 9.27 \times 10^4 \,N$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$F \approx 9.3 \times 10^4 \,N = 0.93 \times 10^5 \,N$.

(C) આપેલ છે:
હૃદયના સ્તરે બ્લડ પ્રેશર,$P_{\text{heart}} = 13.3 \,kPa = 13300 \,Pa$.
લોહીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \,kg/m^3$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \,m/s^2$.
પગથી હૃદયની ઊંચાઈ,$h_1 = 1.3 \,m$.
હૃદયથી માથાની ઊંચાઈ,$h_2 = 1.7 \,m - 1.3 \,m = 0.4 \,m$.
પગના સ્તરે દબાણ $P_{\text{foot}} = P_{\text{heart}} + \rho g h_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P_{\text{foot}} = 13300 + (10^3 \times 10 \times 1.3) = 13300 + 13000 = 26300 \,Pa = 26.3 \,kPa$.
માથાના સ્તરે દબાણ $P_{\text{head}} = P_{\text{heart}} - \rho g h_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P_{\text{head}} = 13300 - (10^3 \times 10 \times 0.4) = 13300 - 4000 = 9300 \,Pa = 9.3 \,kPa$.
પગના ભાગમાં અને માથાના ભાગમાં $BP$ નો ગુણોત્તર:
$\text{Ratio} = \frac{P_{\text{foot}}}{P_{\text{head}}} = \frac{26.3}{9.3} \approx 2.828$.
આ મૂલ્ય $3$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) પ્રવાહીની સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ કુલ દબાણ $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P = P_0 + \rho gh$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંડાઈ છે.
આપેલ છે:
વાતાવરણીય દબાણ $P_0 \approx 1.013 \times 10^5 \, Pa$ (અથવા $1 \, atm$).
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^3$.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g \approx 9.8 \, m/s^2$.
ઊંડાઈ $h = 20 \, m$.
ગેજ દબાણની ગણતરી: $P_{gauge} = \rho gh = 1000 \times 9.8 \times 20 = 1.96 \times 10^5 \, Pa$.
$1 \, atm \approx 1.013 \times 10^5 \, Pa$ હોવાથી,$atm$ માં ગેજ દબાણ આશરે $1.96 \, atm \approx 2 \, atm$ થાય.
કુલ દબાણ $P = P_0 + P_{gauge} = 1 \, atm + 2 \, atm = 3 \, atm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રવાહીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ દબાણ $P(x) = \rho g x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$ ઊંચાઈની ઉભી દીવાલ પર સરેરાશ દબાણ શોધવા માટે,આપણે ઊંડાઈ પર દબાણનું સંકલન કરીએ છીએ અને તેને કુલ ઊંચાઈ વડે ભાગીએ છીએ.
એકમ પહોળાઈ દીઠ કુલ બળ એ ઊંડાઈના સંદર્ભમાં દબાણનું સંકલન છે: $F = \int_0^H \rho g x \, dx$.
$F = \rho g \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^H = \frac{1}{2} \rho g H^2$.
સરેરાશ દબાણ $P_{avg}$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ કુલ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $H$ ઊંચાઈ અને એકમ પહોળાઈની દીવાલ માટે,ક્ષેત્રફળ $H$ છે. તેથી,$P_{avg} = \frac{F}{H} = \frac{\frac{1}{2} \rho g H^2}{H} = \frac{1}{2} \rho g H$.

(D) બેરોમીટર દ્વારા માપવામાં આવતું દબાણ $P = h \rho g_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં બેરોમીટર $76 \, cm$ $Hg$ દર્શાવે છે,તેથી વાસ્તવિક વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ (જે $a = 0$ હોય ત્યારે વાંચન સાથે સંબંધિત છે) એ અવલોકિત વાંચન $h'$ સાથે $P_0 = h' \rho (g + a)$ દ્વારા સંબંધિત હશે.
જો કે,પ્રશ્ન પ્રવેગિત ફ્રેમમાં દબાણનું વાંચન પૂછે છે. જો બેરોમીટર ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થતી વખતે $76 \, cm$ દર્શાવે છે,તો તેનો અર્થ એ છે કે પારોના સ્તંભનું અસરકારક વજન વધ્યું છે.
$P = h \rho (g + a)$ હોવાથી,નિશ્ચિત વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ માટે,જેમ પ્રવેગ વધે તેમ ઊંચાઈ $h$ ઘટશે. જો ઉપરની તરફ પ્રવેગ દરમિયાન વાંચન $76 \, cm$ હોય,તો વાસ્તવિક વાતાવરણીય દબાણ $76 \, cm$ $Hg$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,જો બેરોમીટર સ્થિર સ્થિતિમાં $76 \, cm$ વાંચવા માટે કેલિબ્રેટ કરેલું હોય અને તે પ્રવેગિત થતી વખતે $76 \, cm$ વાંચે છે,તો તે સૂચવે છે કે દબાણ અસરકારક રીતે સ્થિર સ્થિતિના $76 \, cm$ વાંચન કરતા વધારે છે. આમ,$76 \, cm$ કરતા વધારે સૌથી સંભવિત મૂલ્ય $77 \, cm$ છે.

(A) બેરોમીટરમાં પારાના સ્તરમાં અચાનક ઘટાડો એ વાતાવરણીય દબાણમાં ઝડપી ઘટાડો સૂચવે છે.
જ્યારે વાતાવરણીય દબાણ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે,ત્યારે તે દબાણનો તફાવત (pressure gradient) પેદા કરે છે,જેના કારણે આસપાસના ઉચ્ચ દબાણવાળા વિસ્તારોમાંથી હવા ખૂબ જ ઝડપથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ ધસી આવે છે.
હવાની આ ઉચ્ચ વેગવાળી ગતિ વાવાઝોડાની લાક્ષણિકતા છે.
તેથી,$10 \,mm$ કે તેથી વધુનો ઘટાડો એ વાવાઝોડા આવવાની પૂર્વસૂચના છે.

(A) સ્થિર પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ દબાણ ફક્ત પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી તે બિંદુની ઊંડાઈ પર આધાર રાખે છે,જે સૂત્ર $p = p_0 + \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ બિંદુની ઊંડાઈ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બંને બિંદુઓ $x$ અને $y$ પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી સમાન ઊંડાઈ $h$ પર છે.
પ્રવાહી સમાન હોવાથી (સમાન $\rho$) અને ઊંડાઈ $h$ સમાન હોવાથી,બંને બિંદુઓ પર હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$p_x = p_y$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે એલિવેટર $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે એલિવેટરની અંદર રહેલા અવલોકનકાર પર નીચેની તરફ આભાસી બળ (pseudo force) લાગે છે.
આના કારણે ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g$ થી વધીને $g^{\prime} = g + a$ થાય છે.
બેરોમીટરમાં પારાના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાતાવરણીય દબાણ $P$ અચળ રહેતું હોવાથી, $\rho g h = \rho (g + a) h^{\prime}$ થાય, જ્યાં $h^{\prime}$ એ નવું વાંચન છે.
અહીં $(g + a) > g$ હોવાથી, $h^{\prime} < h$ મળે છે.
તેથી, નવું વાંચન $h^{\prime}$ એ $76 \, cm$ કરતા ઓછું હશે.

(B) બેરોમીટરમાં મર્ક્યુરીના સ્તંભની ઉર્ધ્વ ઊંચાઈ વાતાવરણીય દબાણ દ્વારા નક્કી થાય છે અને ટ્યુબને નમાવવાથી તે બદલાતી નથી,જો ખુલ્લો છેડો મર્ક્યુરીના પાત્રમાં ડૂબેલો રહે.
ધારો કે $h = 75 \,cm$ એ મર્ક્યુરીના સ્તંભની ઉર્ધ્વ ઊંચાઈ છે.
ધારો કે જ્યારે ટ્યુબને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે નમાવવામાં આવે ત્યારે ટ્યુબની અંદર મર્ક્યુરીના સ્તંભની લંબાઈ $x$ છે.
ઉર્ધ્વ ઊંચાઈ $h$ અને નમેલી ટ્યુબની લંબાઈ $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $h = x \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta = 30^{\circ}$ છે,તેથી $h = x \sin(30^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા: $75 = x \times (1/2)$.
તેથી,$x = 75 \times 2 = 150 \,cm$.

(A) વાતાવરણીય દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણિત વાતાવરણીય દબાણ $P = 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 10^5 \,Pa$ છે.
આ દબાણ $h_{Hg} = 0.76 \,m$ ઊંચાઈના પારો (Mercury) ના સ્તંભને સમતુલ્ય છે,જ્યાં પારાની ઘનતા $\rho_{Hg} = 13600 \,kg/m^3$ છે.
બેરોમેટ્રિક પ્રવાહી (ટ્રાયબ્રોમોમિથેન) માટે,ઘનતા $\rho_{TBM} = 2.9 \times 1000 \,kg/m^3 = 2900 \,kg/m^3$ છે.
સિદ્ધાંત $P = h_{Hg} \rho_{Hg} g = h_{TBM} \rho_{TBM} g$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h_{TBM} = \frac{h_{Hg} \rho_{Hg}}{\rho_{TBM}}$
$h_{TBM} = \frac{0.76 \times 13600}{2900} \approx 3.56 \,m$.
$10^5 \,Pa$ ના અંદાજ અને પ્રમાણિત મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,ગણતરી કરેલ ઊંચાઈ આશરે $3.52 \,m$ મળે છે.

(C) ધારો કે ટાંકીમાં પાણીની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h$ છે. તળિયે દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણ અને ગેજ દબાણનો સરવાળો છે.
$P_{\text{bottom}} = P + \rho_w g h = 4 P$
તેથી,પાણીના સ્તંભને કારણે ગેજ દબાણ $\rho_w g h = 3 P$ છે ... $(1)$
જ્યારે પાણીને એવી રીતે બહાર કાઢવામાં આવે છે કે સ્તર તેની પ્રારંભિક ઊંચાઈના $\frac{3}{5}$ જેટલું ઘટે છે,ત્યારે બાકી રહેલી પાણીની ઊંચાઈ $h' = h - \frac{3}{5} h = \frac{2}{5} h$ થાય છે.
તળિયે નવું દબાણ $P' = P + \rho_w g h'$ છે.
સમીકરણમાં $h' = \frac{2}{5} h$ મૂકતા:
$P' = P + \rho_w g (\frac{2}{5} h) = P + \frac{2}{5} (\rho_w g h)$.
સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરીને,$\rho_w g h = 3 P$ મૂકતા:
$P' = P + \frac{2}{5} (3 P) = P + \frac{6 P}{5} = \frac{5 P + 6 P}{5} = \frac{11 P}{5}$.

(B) પાણીનો વેગ હેડ $\frac{V^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મર્ક્યુરીનો પ્રેશર હેડ $h_{Hg} = 40 \, cm = 0.4 \, m$ આપેલ છે.
આ મર્ક્યુરી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \rho_{Hg} g h_{Hg}$ છે.
પાણીના પ્રેશર હેડને મર્ક્યુરીના પ્રેશર હેડ સાથે સરખાવતા:
$\frac{P}{\rho_w g} = \frac{\rho_{Hg} g h_{Hg}}{\rho_w g} = \frac{\rho_{Hg}}{\rho_w} h_{Hg}$.
આપેલ છે કે વેગ હેડ $\frac{V^2}{2g}$ આ પ્રેશર હેડ જેટલો છે:
$\frac{V^2}{2g} = \frac{\rho_{Hg}}{\rho_w} h_{Hg}$.
$V^2 = 2g \times \frac{\rho_{Hg}}{\rho_w} \times h_{Hg}$.
કિંમતો મૂકતા: $V^2 = 2 \times 9.8 \times 13.6 \times 0.4$.
$V^2 = 106.5984$.
$V = \sqrt{106.5984} \approx 10.32 \, m/s$.

(C) જ્યારે બીકર $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે પ્રવાહીના કણો પર નીચેની દિશામાં સ્યુડો બળ લાગે છે.
આ સ્યુડો બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં ઉમેરાય છે, જેનાથી ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય વધે છે.
અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g + a$ થાય છે.
$h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = \rho g' h$ છે.
$g'$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $P = \rho(g + a)h$ મળે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ સાથે વાતાવરણીય દબાણ $P$ માં થતો ફેરફાર બેરોમેટ્રિક સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$P_h = P_0 e^{-mgh / RT}$
જ્યાં $P_0$ એ સમુદ્ર સપાટી પરનું દબાણ છે,$m$ એ હવાનું મોલર દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
દબાણ એ ઊંચાઈ $h$ પર ઘાતાંકીય વિધેય દ્વારા આધાર રાખતું હોવાથી,ઊંચાઈ વધવાની સાથે વાતાવરણીય દબાણમાં થતો ઘટાડો ઘાતાંકીય હોય છે.

(A) પાત્રના પાયા પર પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
કારણ કે બંને પાત્રો $A$ અને $B$ ને સમાન પ્રવાહી (પાણી) વડે સમાન ઊંચાઈ $h$ સુધી ભરવામાં આવે છે,તેથી પાયા પરનું દબાણ માત્ર ઊંચાઈ $h$,ઘનતા $\rho$ અને અચળાંક $g$ પર આધાર રાખે છે.
કારણ કે $h$,$\rho$ અને $g$ બંને પાત્રો માટે સમાન છે,તેથી પાત્ર $A$ ના પાયા પરનું દબાણ એ પાત્ર $B$ ના પાયા પરના દબાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ.

(A) $h$ ઊંડાઈએ નિરપેક્ષ દબાણ $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P = P_{atm} + \rho gh$ છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 1 \,km = 1000 \,m$,$\rho = 10^{3} \,kg/m^{3}$,$g = 10 \,m/s^{2}$,અને $P_{atm} = 1.01 \times 10^{5} \,N/m^{2}$.
ગેજ દબાણ (પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ) ની ગણતરી: $P_{gauge} = \rho gh = 10^{3} \times 10 \times 1000 = 10^{7} \,N/m^{2}$.
હવે,વાતાવરણીય દબાણ ઉમેરતા: $P = 1.01 \times 10^{5} + 10^{7} = 0.0101 \times 10^{7} + 10^{7} = 1.0101 \times 10^{7} \,N/m^{2}$.
યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $P \approx 1.011 \times 10^{7} \,N/m^{2}$ મળે છે.

(D) પ્રવાહીની ટાંકીના તળિયે દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = h \rho g$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે દબાણ એ પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
દબાણ એ પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળ કે પાત્રના આકાર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,દબાણ એ પ્રવાહીની સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં નથી.

(B) $h$ ઊંડાઈએ ગેજ દબાણ $P_g$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $P_g = \rho g h$ છે.
આપેલ છે:
દરિયાના પાણીની ઘનતા $\rho = 1025 \,kg \,m^{-3}$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$
ઊંડાઈ $h = 50 \,m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P_g = 1025 \times 10 \times 50$
$P_g = 1025 \times 500$
$P_g = 512500 \,Pa$.

(A) પ્રવાહીના સ્તંભના તળિયે ગેજ દબાણ $P_g$ શોધવાનું સૂત્ર: $P_g = \rho gh$ છે.
અહીં,તેલની ઘનતા $\rho = 850 \,kg \,m^{-3}$,તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 4 \,m$,અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \,m \,s^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_g = 850 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 4 \,m$
$P_g = 34000 \,Pa$
કારણ કે $1 \,kPa = 1000 \,Pa$,તેથી $P_g = 34 \,kPa$ મળે છે.

(D) આપેલ છે:
ઊંડાઈ, $h = 3 \,m$
પાણીની ઘનતા, $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3} = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,m \,s^{-2}$
પાણીના સ્તંભને કારણે પૂલના તળિયે દબાણ $P$ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P = \rho g h$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P = 10^3 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 3 \,m$
$P = 30 \times 10^3 \,Pa$
આમ, તળિયે દબાણ $30 \times 10^3 \,Pa$ છે.

(C) પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ સૂત્ર $p = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે.
પારાની ઘનતા $\rho = 13.6 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$p = (13.6 \times 10^3) \times 9.8 \times 10^{-3}$
$p = 13.6 \times 9.8$
$p = 133.28 \,Pa \approx 133.3 \,Pa$.

(B) પાણીની મુક્ત સપાટીથી $y$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = P_{atm} + \rho g y$ છે. $y$ ઊંડાઈએ $dy$ ઊંચાઈની નાની પટ્ટી પર લાગતું બળ $dF = P \cdot dA = (P_{atm} + \rho g y) \cdot (a \cdot dy)$ છે,જ્યાં $a$ એ ડેમની પહોળાઈ છે. કુલ બળ $F$ એ $y=0$ થી $y=h$ સુધી $dF$ નું સંકલન છે. કાર્યબિંદુ $y_R$ (દબાણનું કેન્દ્ર) $y_R = \frac{\int y dF}{\int dF}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પાણીમાં ડૂબેલા $h$ ઊંચાઈના લંબચોરસ ગેટ માટે,દબાણનું કેન્દ્ર મુક્ત સપાટીથી $\frac{2}{3}h$ ઊંડાઈએ હોય છે. પ્રશ્નમાં $O$ આધાર (જે સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ છે) ની સાપેક્ષે કાર્યબિંદુ પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,આધારથી અંતર $h - \frac{2}{3}h = \frac{h}{3}$ થશે.

(D) પ્રવાહીની સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ કુલ દબાણ $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P = P_0 + \rho gh$.
અહીં,$P_0$ એ વાતાવરણનું દબાણ છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(1000 \ kg \ m^{-3})$ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(10 \ ms^{-2})$ છે,અને $h$ એ ઊંડાઈ $(10 \ m)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 1.01 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 10)$
$P = 1.01 \times 10^5 + 10^5$
$P = 1.01 \times 10^5 + 1.00 \times 10^5 = 2.01 \times 10^5 \ Nm^{-2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1.2 \ g \ cm^{-3}$ અને તેલની ઘનતા $\rho_o = 0.9 \ g \ cm^{-3}$ છે.
જ્યારે જમણી બાજુએ પ્રવાહી $15 \ cm$ ઉપર ચઢે છે,ત્યારે તે ડાબી બાજુએ પ્રારંભિક સંતુલન સ્તરની સાપેક્ષમાં $15 \ cm$ નીચે ઉતર્યું હશે.
આમ,બંને બાજુના પ્રવાહી સ્તરો વચ્ચેનો કુલ તફાવત $h_l = 15 \ cm + 15 \ cm = 30 \ cm$ છે.
ધારો કે ડાબી બાજુએ તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_o$ છે. ડાબી બાજુએ તેલ અને પ્રવાહીના સંપર્ક બિંદુ પરનું દબાણ એ જ સમક્ષિતિજ સ્તરે જમણી બાજુના દબાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ સંતુલનનો ઉપયોગ કરતા: $h_o \rho_o g = h_l \rho_l g$.
કિંમતો મૂકતા: $h_o \times 0.9 = 30 \times 1.2$.
$h_o = \frac{30 \times 1.2}{0.9} = 40 \ cm$.
તેલનો સ્તંભ ડાબી બાજુના પ્રારંભિક પ્રવાહી સ્તરથી $40 \ cm$ ઉપર છે. ડાબી બાજુનું પ્રવાહી $15 \ cm$ નીચે ઉતર્યું હોવાથી,તેલના સ્તંભની ટોચ પ્રારંભિક સ્તરથી $40 - 15 = 25 \ cm$ ઉપર છે.
જમણી બાજુનું પ્રવાહી પ્રારંભિક સ્તરથી $15 \ cm$ ઉપર છે.
તેથી,તેલના સ્તર અને જમણી બાજુના પ્રવાહી સ્તર વચ્ચેની ઊંચાઈનો તફાવત $25 \ cm - 15 \ cm = 10 \ cm$ છે.

(B) નિરપેક્ષ દબાણનું સૂત્ર $P = P_{atm} + \rho g h$ છે.
અહીં, $P = 100 \text{ atm} = 100 \times 10^5 \text{ Pa}$, $P_{atm} = 1 \text{ atm} = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$, $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $100 \times 10^5 = 1 \times 10^5 + (1000)(10)h$.
$100 \times 10^5 - 1 \times 10^5 = 10^4 h$.
$99 \times 10^5 = 10^4 h$.
$h = \frac{99 \times 10^5}{10^4} = 99 \times 10 = 990 \text{ m}$.
આમ, સબમરીન $990 \text{ m}$ ની ઊંડાઈ સુધી જઈ શકે છે.