Kinematics Circular Motion (Uniform Angular Accelaration) Questions in Hindi

(B) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{0} = 20\pi \, rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega = 40\pi \, rad/s$,और समय $t = 10 \, s$.
गति के समीकरण $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ का उपयोग करके,हम कोणीय त्वरण $\alpha$ ज्ञात करते हैं:
$40\pi = 20\pi + \alpha(10) \Rightarrow 20\pi = 10\alpha \Rightarrow \alpha = 2\pi \, rad/s^{2}$.
अब,$\theta = \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^{2}$ का उपयोग करके कुल कोणीय विस्थापन $\theta$ की गणना करें:
$\theta = (20\pi)(10) + \frac{1}{2}(2\pi)(10)^{2} = 200\pi + 100\pi = 300\pi \, rad$.
चूंकि एक चक्कर $2\pi \, rad$ के बराबर होता है,इसलिए चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{300\pi}{2\pi} = 150$ चक्कर।

(A) कण की चाल समीकरण $v = 2t + 2$ द्वारा दी गई है।
समय $t = 1 \ s$ पर,चाल $v = 2(1) + 2 = 4 \ m/s$ है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_{cp}$ का सूत्र $a_{cp} = \frac{v^2}{r}$ है।
त्रिज्या $r = 2 \ m$ दी गई है,मान रखने पर: $a_{cp} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \ m/s^2$।

(C) समान कोणीय त्वरण $\alpha$ के साथ विरामावस्था से शुरू होने वाली वस्तु के लिए,समय $t$ में कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चक्करों की संख्या $n$ कोणीय विस्थापन के समानुपाती होती है,इसलिए $n \propto t^2$ होता है।
मान लीजिए कि पहले समय अंतराल $t_1 = 3\,s$ में $n_1$ चक्कर हैं,और अगले समय अंतराल $t_2 = 3\,s$ में $n_2$ चक्कर हैं।
कुल समय $2t$ में कुल चक्कर $n_{total} = n_1 + n_2$ हैं।
विरामावस्था से शुरू होने वाले समान त्वरण के गुण के अनुसार,समान समय अंतरालों में चक्करों का अनुपात $1 : 3 : 5 : \dots$ होता है।
इसलिए,$n_1 : n_2 = 1 : 3$ है।
चूंकि $n_1 = 10$ दिया गया है,इसलिए $10 : n_2 = 1 : 3$ होगा।
अतः,$n_2 = 10 \times 3 = 30$ चक्कर।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{0} = 0 \, rad \, s^{-1}$,अंतिम कोणीय वेग $\omega = 15 \, rad \, s^{-1}$,समय $t = 0.270 \, s$,और त्रिज्या $r = 0.810 \, m$ है।
सबसे पहले,हम $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ सूत्र का उपयोग करके कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना करते हैं।
चूंकि $\omega_{0} = 0$ है,इसलिए $\alpha = \frac{\omega}{t} = \frac{15}{0.270} \, rad \, s^{-2}$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_{t}$ को $a_{t} = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a_{t} = 0.810 \times \frac{15}{0.270} = 0.810 \times 55.55 = 45 \, m \, s^{-2}$ है।
अतः,डिस्कस का त्वरण $45 \, m \, s^{-2}$ है।

(C) घड़ी की सेकंड वाली सुई $T = 60 \, s$ में एक पूर्ण चक्कर लगाती है। एक चक्कर में सिरे द्वारा तय की गई दूरी वृत्त की परिधि $2 \pi \ell$ के बराबर होती है,जहाँ $\ell$ सेकंड वाली सुई की लंबाई है।
रैखिक चाल $v$ का सूत्र $v = \frac{2 \pi \ell}{T}$ है।
यहाँ $v = 1.05 \, cm \, s^{-1}$ और $T = 60 \, s$ दिया गया है,इसलिए:
$1.05 = \frac{2 \times 3.14159 \times \ell}{60}$.
$\ell$ के लिए हल करने पर:
$\ell = \frac{1.05 \times 60}{2 \times 3.14159} \approx \frac{63}{6.283} \approx 10.027 \, cm$.
अतः,सेकंड वाली सुई की लंबाई लगभग $10 \, cm$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 0 \ rad/s$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 20 \ rad/s$,समय $t = 5 \ s$.
कोणीय विस्थापन $\theta$ का सूत्र है: $\theta = \left( \frac{\omega_i + \omega_f}{2} \right) \times t$.
मान रखने पर: $\theta = \left( \frac{0 + 20}{2} \right) \times 5 = 10 \times 5 = 50 \ rad$.
चक्करों की संख्या $n$ का सूत्र है: $n = \frac{\theta}{2\pi}$.
अतः,$n = \frac{50}{2\pi} = \frac{25}{\pi} \text{ चक्कर}$.

(C) कोणीय विस्थापन $\theta = 2t^3 + 0.5$ दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ को समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 + 0.5)$.
अवकलन के घात नियम का उपयोग करने पर:
$\omega = 6t^2$.
$t = 2 \, s$ पर कोणीय वेग ज्ञात करने के लिए,$t$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\omega = 6(2)^2 = 6 \times 4 = 24 \, rad/s$.

(D) दिया गया है: कोणीय त्वरण $\alpha = \pi \, rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ और समय $t = 10 \, s$ है।
कोणीय विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$।
मान रखने पर: $\theta = 0 \cdot (10) + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (10)^2$।
$\theta = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 100 = 50\pi \, rad$।
चूंकि एक चक्कर $2\pi \, rad$ के बराबर होता है,इसलिए चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
$n = \frac{50\pi}{2\pi} = 25$।
अतः,कण $25$ चक्कर लगाएगा।

(C) विरामावस्था से एकसमान कोणीय त्वरण $\alpha$ के साथ गति शुरू करने वाली वस्तु के लिए कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ द्वारा दिया जाता है।
पहले $t_1 = 2 \ s$ के लिए,घूमा गया कोण $\theta = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2 \alpha$ है।
इसका अर्थ है कि $\alpha = \frac{\theta}{2}$।
कुल समय $t_2 = 2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ के लिए,कुल घूमा गया कोण $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8 \alpha$ है।
अगले $2 \ s$ में घूमा गया कोण $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta = 8 \alpha - 2 \alpha = 6 \alpha$ होगा।
$\alpha = \frac{\theta}{2}$ का मान रखने पर,हमें $\Delta \theta = 6 \left( \frac{\theta}{2} \right) = 3 \theta$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,प्रारंभिक और अंतिम वेग को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$u = 18 \times \frac{5}{18} = 5\,m/s$
$v = 36 \times \frac{5}{18} = 10\,m/s$
सूत्र $a = \frac{v-u}{t}$ का उपयोग करके रैखिक त्वरण $a$ की गणना करें:
$a = \frac{10 - 5}{5} = \frac{5}{5} = 1\,m/s^2$
पहिये की त्रिज्या $r$ व्यास की आधी होती है:
$r = \frac{0.8}{2} = 0.4\,m$
कोणीय त्वरण $\alpha$ रैखिक त्वरण $a$ से $\alpha = \frac{a}{r}$ सूत्र द्वारा संबंधित है:
$\alpha = \frac{1}{0.4} = 2.5\,rad/s^2$

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a_c = k^2rt^2$ दिया गया है।
चूंकि $a_c = \frac{v^2}{r}$,इसलिए $\frac{v^2}{r} = k^2rt^2$ होगा।
$v$ के लिए हल करने पर,$v^2 = k^2r^2t^2$,जिसका अर्थ है $v = krt$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ गति में परिवर्तन की दर है: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$।
गति में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार स्पर्शरेखीय बल $F_t = m a_t = mkr$ है।
कण को दी गई शक्ति $P = F_t \cdot v$ है।
मान रखने पर,$P = (mkr) \cdot (krt) = mk^2r^2t$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $t=0$ पर $A, B$ और $C$ की कोणीय स्थितियाँ $\theta_A(0) = 0$,$\theta_B(0) = \pi/2$,और $\theta_C(0) = \pi$ हैं।
कोणीय वेग $\omega_A = v_A/r = \pi \, rad/s$,$\omega_B = v_B/r = 2.5\pi \, rad/s$,और $\omega_C = v_C/r = 2\pi \, rad/s$ हैं।
समय $t$ पर कोणीय स्थितियाँ $\theta_A(t) = \pi t$,$\theta_B(t) = \pi/2 + 2.5\pi t$,और $\theta_C(t) = \pi + 2\pi t$ हैं।
कणों के मिलने के लिए,उनकी कोणीय स्थितियाँ $2\pi$ के मापांक (modulo) में समान होनी चाहिए। मान लीजिए $\theta_A(t) = \theta_B(t) + 2n\pi$ और $\theta_B(t) = \theta_C(t) + 2m\pi$.
$\pi t = \pi/2 + 2.5\pi t + 2n\pi \implies -1.5t = 0.5 + 2n \implies t = -(2n + 0.5)/1.5$.
$\pi/2 + 2.5\pi t = \pi + 2\pi t + 2m\pi \implies 0.5t = 0.5 + 2m \implies t = 1 + 4m$.
$t$ को बराबर करने पर: $1 + 4m = -(2n + 0.5)/1.5 \implies 1.5 + 6m = -2n - 0.5 \implies 2n + 6m = -2 \implies n + 3m = -1$.
पहली मुलाकात के लिए,$m = -1$ लेने पर,$n = 2$ प्राप्त होता है। अतः $t = 1 + 4(-1) = -3$ (परिमाण $t=3s$ लेने पर)।
दूरी $s_B = v_B t = 2.5 \times 3 = 7.5 \, m$.
दूरी $s_C = v_C t = 2 \times 3 = 6 \, m$.
अनुपात $s_B : s_C = 7.5 : 6 = 5 : 4$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = \frac{20}{\pi} \, m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 0$,और कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2 \times (2 \pi) = 4 \pi \, rad$ (क्योंकि यह दो चक्कर पूरे करता है)।
अंतिम रैखिक वेग $v = 80 \, m/s$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = \frac{v}{r} = \frac{80}{20/\pi} = 4 \pi \, rad/s$ है।
घूर्णी गति के समीकरण $\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha \theta$ का उपयोग करने पर:
$(4 \pi)^2 = 0^2 + 2 \alpha (4 \pi)$
$16 \pi^2 = 8 \pi \alpha$
$\alpha = 2 \pi \, rad/s^2$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha = \left( \frac{20}{\pi} \right) \times (2 \pi) = 40 \, m/s^2$ है।

(D) कोणीय विस्थापन $\theta = 2t^3 + 0.5$ द्वारा दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ को समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$.
$t$ के सापेक्ष $\theta$ का अवकलन करने पर: $\omega = \frac{d}{dt}(2t^3 + 0.5) = 6t^2$.
$t = 2$ सेकंड के बाद कोणीय वेग ज्ञात करने के लिए,$\omega$ के व्यंजक में $t = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega = 6(2)^2 = 6 \times 4 = 24 \ rad/sec$.

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय गति,$\omega_0 = 2.00\, rad/s$
कोणीय त्वरण,$\alpha = 3.0\, rad/s^2$
समय,$t = 2\, s$
कोणीय विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = (2.00)(2) + \frac{1}{2}(3.0)(2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2}(3.0)(4)$
$\theta = 4 + 6 = 10\, rad$
अतः,पहिया $10\, rad$ के कोण से घूम जाएगा।

(C) कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{0} = 0$ है।
$n$ चक्करों के बाद,कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2 \pi n$ है।
अंतिम रेखीय वेग $V_{0}$ है,इसलिए अंतिम कोणीय वेग $\omega = \frac{V_{0}}{r}$ है।
गति के समीकरण $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha \theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \theta} = \frac{(V_{0}/r)^{2} - 0}{2(2 \pi n)} = \frac{V_{0}^{2}/r^{2}}{4 \pi n} = \frac{V_{0}^{2}}{4 \pi n r^{2}} \; rad/s^{2}$.

(N/A) कोणीय त्वरण $\alpha$ एकसमान है,इसलिए समय $t$ के सापेक्ष कोणीय वेग $\omega$ के परिवर्तन की दर स्थिर है:
$\frac{d\omega}{dt} = \alpha$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$d\omega = \alpha dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int d\omega = \int \alpha dt$
$\omega = \alpha t + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।
प्रारंभिक स्थिति लागू करने पर: $t = 0$ पर,$\omega = \omega_{0}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\omega_{0} = \alpha(0) + c \implies c = \omega_{0}$
$c$ का मान समाकलित समीकरण में वापस रखने पर:
$\omega = \omega_{0} + \alpha t$.

(N/A) $(i)$ हम समीकरण $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ का उपयोग करेंगे।
प्रारंभिक कोणीय चाल $\omega_{0} = \frac{2 \pi \times 1200}{60} \; rad/s = 40 \pi \; rad/s$.
अंतिम कोणीय चाल $\omega = \frac{2 \pi \times 3120}{60} \; rad/s = 104 \pi \; rad/s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega - \omega_{0}}{t} = \frac{104 \pi - 40 \pi}{16} = \frac{64 \pi}{16} = 4 \pi \; rad/s^{2}$.
$(ii)$ कोणीय विस्थापन $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\theta = \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2}$.
$\theta = (40 \pi \times 16) + \frac{1}{2} \times (4 \pi) \times (16)^{2} = 640 \pi + 512 \pi = 1152 \pi \; rad$.
चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{1152 \pi}{2 \pi} = 576$.

(A) घूर्णन गति में किसी कण के रैखिक त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक $a_{T} = r\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
चूंकि दृढ़ वस्तु एक स्थिर कोणीय वेग से घूम रही है,इसलिए कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 0$ है।
अतः,रैखिक त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक $a_{T} = r \times 0 = 0$ होगा।

(B) स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ वेग के परिमाण में परिवर्तन की दर है,जिसे $a_t = \frac{dv}{dt} = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
यदि कोणीय गति $\omega$ स्थिर है,तो कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 0$ होता है।
इसलिए,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ केवल तभी शून्य होता है जब कण एकसमान वृत्तीय गति कर रहा हो,जिसका अर्थ है कि कोणीय गति स्थिर रहती है।

(A) सेकंड की सुई की लंबाई वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है,$R = 0.1\, m$.
सेकंड की सुई के लिए आवर्तकाल $T = 60\, s$ है।
कोणीय वेग $\omega$ इस प्रकार है: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} \approx 0.105\, rad/s$.
सुई के सिरे का अभिकेंद्र त्वरण $a$,$a = \omega^2 R$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = (0.105)^2 \times 0.1$.
$a \approx 0.011025 \times 0.1 = 0.0011025\, m/s^2$.
इसे $1.1 \times 10^{-3}\, m/s^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,औसत त्वरण $10^{-3}$ की कोटि का है।

(B) प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 360 \; rpm = 360 \times \frac{2\pi}{60} \; rad/s = 12\pi \; rad/s$.
अंतिम कोणीय गति $\omega = 1200 \; rpm = 1200 \times \frac{2\pi}{60} \; rad/s = 40\pi \; rad/s$.
लिया गया समय $t = 14 \; s$.
घूर्णी गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$40\pi = 12\pi + \alpha(14)$.
$28\pi = 14\alpha$.
$\alpha = \frac{28\pi}{14} = 2\pi \; rad/s^2$.

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय गति,$\omega_1 = 900 \, rpm = \frac{900}{60} \, rev/s = 15 \, rev/s$.
अंतिम कोणीय गति,$\omega_2 = 2460 \, rpm = \frac{2460}{60} \, rev/s = 41 \, rev/s$.
समय अंतराल,$t = 26 \, s$.
चूंकि कोणीय त्वरण एकसमान है,औसत कोणीय गति $\omega_{avg} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ होगी।
$\omega_{avg} = \frac{15 + 41}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, rev/s$.
कुल चक्करों की संख्या $N$,औसत कोणीय गति और समय का गुणनफल होती है:
$N = \omega_{avg} \times t = 28 \, rev/s \times 26 \, s = 728 \, \text{चक्कर}$.

(D) प्रारंभिक कोणीय गति,$\omega_0 = 600 \, rpm = 10 \, rev/s$ है।
अंतिम कोणीय गति,$\omega_f = 1800 \, rpm = 30 \, rev/s$ है।
लिया गया समय,$t = 10 \, s$ है।
चूंकि त्वरण समान है,औसत कोणीय गति $\omega_{avg} = \frac{\omega_0 + \omega_f}{2} = \frac{10 + 30}{2} = 20 \, rev/s$ होगी।
कुल घूर्णनों (चक्करों) की संख्या $\theta = \omega_{avg} \times t$ है।
$\theta = 20 \, rev/s \times 10 \, s = 200 \, rev$।

(A) एकसमान कोणीय त्वरण के तहत कोणीय वेग का सूत्र $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ है।
यहाँ, प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_{0} = 1200\,rpm$ और अंतिम कोणीय गति $\omega = 3120\,rpm$ है।
समय अंतराल $t = 16\,s$ है।
सबसे पहले, $1\,rpm = \frac{2\pi}{60}\,rad/s$ के संबंध का उपयोग करके कोणीय गति को $rpm$ से $rad/s$ में बदलें।
कोणीय गति में परिवर्तन $\Delta\omega = 3120 - 1200 = 1920\,rpm$ है।
इसे $rad/s$ में बदलने पर: $\Delta\omega = 1920 \times \frac{2\pi}{60} = 32 \times 2\pi = 64\pi\,rad/s$ प्राप्त होता है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\Delta\omega}{t} = \frac{64\pi}{16} = 4\pi\,rad/s^{2}$ है।

(B) दिया गया कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 6t^2 - 2t$ है।
कोणीय वेग $\omega$ ज्ञात करने के लिए $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{10}^{\omega} d\omega = \int_{0}^{t} (6t^2 - 2t) dt$
$\omega - 10 = [2t^3 - t^2]_0^t$
$\omega = 2t^3 - t^2 + 10$.
अब,$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 2t^3 - t^2 + 10$.
कोणीय स्थिति $\theta$ ज्ञात करने के लिए $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{4}^{\theta} d\theta = \int_{0}^{t} (2t^3 - t^2 + 10) dt$
$\theta - 4 = [\frac{2t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + 10t]_0^t$
$\theta - 4 = \frac{t^4}{2} - \frac{t^3}{3} + 10t$
$\theta = \frac{t^4}{2} - \frac{t^3}{3} + 10t + 4$.

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = \omega^2 r$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $r$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है।
चूँकि कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f$ होता है,जहाँ $f$ आवृत्ति है,हम इसे त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$a_c = (2 \pi f)^2 r = 4 \pi^2 f^2 r$.
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि त्वरण आवृत्ति के वर्ग के सीधे समानुपाती है: $a_c \propto f^2$.
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना $(f' = 2f)$ कर दिया जाए,तो नया त्वरण $a_c'$ होगा:
$a_c' \propto (2f)^2 = 4f^2$.
अतः,त्वरण मूल मान का $4$ गुना हो जाता है।

(D) कोणीय त्वरण $(\alpha)$ को समय के सापेक्ष कोणीय वेग $(\omega)$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
चूंकि कण एक नियत कोणीय चाल से घूम रहा है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ समय के साथ नहीं बदलता है।
अतः,कोणीय वेग में परिवर्तन की दर शून्य है,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 0 \, rad/s^2$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \text{ rad/s}$ (क्योंकि यह विरामावस्था से शुरू होता है)।
कोणीय विस्थापन $\theta = 100 \pi \text{ rad}$.
समय $t = 5 \text{ s}$.
घूर्णी गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
मान रखने पर: $100 \pi = 0 + \frac{1}{2} \alpha (5)^2$.
$100 \pi = \frac{25}{2} \alpha$.
$\alpha = \frac{200 \pi}{25} = 8 \pi \text{ rad/s}^2$.
अब,घूर्णी गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$\omega = 0 + (8 \pi) \times 5 = 40 \pi \text{ rad/s}$.
अतः,$5 \text{ s}$ के अंत में कोणीय गति $40 \pi \text{ rad/s}$ है।

(A) कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$ को समय के सापेक्ष कोणीय वेग $(\vec{\omega})$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्ताकार पथ में गति करने वाले पिंड के लिए कोणीय वेग सदिश $(\vec{\omega})$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है, इसलिए इस सदिश के परिवर्तन की दर, जो कि कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$ है, भी उसी घूर्णन अक्ष के अनुदिश कार्य करती है।

(C) सेकंड की सुई की लंबाई $r_s = 75 \ cm = 0.75 \ m$ है। मिनट की सुई की लंबाई $r_m = 60 \ cm = 0.60 \ m$ है।
$30$ मिनट में,सेकंड की सुई $30$ पूर्ण चक्कर लगाती है। सेकंड की सुई की नोक द्वारा तय की गई दूरी $d_s = 30 \times (2 \pi r_s) = 30 \times 2 \times 3.14 \times 0.75 = 141.3 \ m$ है।
$30$ मिनट में,मिनट की सुई $0.5$ चक्कर (आधा वृत्त) पूरा करती है। मिनट की सुई की नोक द्वारा तय की गई दूरी $d_m = 0.5 \times (2 \pi r_m) = \pi r_m = 3.14 \times 0.60 = 1.884 \ m$ है।
दूरी में अंतर $x = d_s - d_m = 141.3 - 1.884 = 139.416 \ m$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$x \approx 139.4 \ m$ प्राप्त होता है।

(A) कण विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है,जो $2 \pi r$ है।
दो चक्करों में तय की गई कुल दूरी $s = 2 \times 2 \pi r = 4 \pi r$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a$ स्पर्शरेखीय त्वरण है:
$v^2 - 0^2 = 2 \times a \times (4 \pi r)$
$v^2 = 8 \pi r a$
अतः,स्पर्शरेखीय त्वरण $a = \frac{v^2}{8 \pi r}$ है।

(D) कोणीय विस्थापन के लिए घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,$\omega_0 = 0$,इसलिए:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$
समय $t$ के लिए हल करने पर:
$t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}} \quad ...(i)$
$\theta$ कोणीय विस्थापन के लिए कण द्वारा तय की गई रैखिक दूरी (चाप की लंबाई) है:
$s = r \theta \quad ...(ii)$
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। छोटे विस्थापन $\theta$ के लिए,विस्थापन का परिमाण लगभग चाप की लंबाई $s$ के बराबर होता है:
$V_{\text{average}} = \frac{s}{t} = \frac{r \theta}{\sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}}$
$V_{\text{average}} = r \theta \cdot \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta^2}{2 \theta}} = \frac{r}{\sqrt{2}} \sqrt{\alpha \theta}$

(B) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 + 2as$.
चूंकि गति विराम अवस्था से शुरू होती है,$u = 0$,इसलिए $v^2 = 2 a_t s$.
अतः,$a_t = \frac{v^2}{2s}$.
तीसरे चक्कर के अंत तक,तय की गई कुल दूरी $s = 3 \times (2 \pi r) = 6 \pi r$ है।
$s$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a_t = \frac{v^2}{2 \times 6 \pi r} = \frac{v^2}{12 \pi r}$.
दी गई गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2$ से,हमें $v^2 = \frac{2E}{m}$ प्राप्त होता है।
$v^2$ का मान $a_t$ के व्यंजक में रखने पर: $a_t = \frac{2E}{m \times 12 \pi r} = \frac{E}{6 \pi rm}$.

(D) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{\pi}{2} \ m$ है।
$x$ चक्करों में कण द्वारा तय की गई कुल दूरी $d = x \times (2\pi r)$ होती है।
$r$ का मान रखने पर: $d = x \times (2\pi \times \frac{\pi}{2}) = x \times \pi^2 = \pi^2 x \ m$.
स्पर्शरेखीय वेग $v$ को तय की गई कुल दूरी और लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $v = \frac{d}{t}$.
अतः,$v = \frac{\pi^2 x}{t} \ m/s$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \text{ g} = 10^{-2} \text{ kg}$, त्रिज्या $r = 6.4 \text{ cm} = 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}$, गतिज ऊर्जा $K = 8 \times 10^{-4} \text{ J}$।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है, इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
दो चक्करों में तय की गई दूरी $s = 2 \times (2 \pi r) = 4 \pi r$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखीय बल $F_t$ द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = F_t \cdot s = \Delta K$
चूंकि $F_t = m a_t$, हमें प्राप्त होता है:
$m a_t \cdot (4 \pi r) = K - 0$
$a_t = \frac{K}{m \cdot 4 \pi r}$
मान रखने पर:
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4} \text{ J}}{10^{-2} \text{ kg} \times 4 \times 3.14 \times 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{25.6 \pi \times 10^{-4}} = \frac{8}{25.6 \times 3.14} \approx 0.1 \text{ m/s}^2$।

(B) कण समान वृत्तीय गति $(U.C.M.)$ कर रहा है।
$x$ चक्करों में तय किया गया कुल कोण $\theta = 2 \pi x$ रेडियन है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{2 \pi x}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय वेग $v$ और कोणीय वेग के बीच संबंध $v = \omega R$ है।
यहाँ त्रिज्या $R = \frac{\pi}{2} \ m$ दी गई है।
मान रखने पर,$v = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \times \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^2 x}{t} \ m/s$।

(D) कोणीय विस्थापन $\theta = 5 \sin \frac{\pi t}{6}$ दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\theta$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\omega = \frac{d}{dt} \left( 5 \sin \frac{\pi t}{6} \right) = 5 \cdot \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right) \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right)$.
$t = 3 \ s$ पर:
$\omega = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi \times 3}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए $\omega = \frac{5\pi}{6} \times 0 = 0 \ rad/s$.

(D) परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{x}{t}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय वेग $\omega$ और आवृत्ति के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi x}{t}$ है।
स्पर्शरेखीय वेग $V$ और कोणीय वेग के बीच संबंध $V = \omega r$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = \frac{\pi}{2} \ m$ दी गई है।
मान रखने पर: $V = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^{2} x}{t}$.

(A) कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
चूंकि $\omega_0 = 0$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$,जिससे $t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}$ प्राप्त होता है।
$\theta$ कोणीय विस्थापन के लिए कण का रेखीय विस्थापन जीवा की लंबाई $d = 2r \sin(\theta/2)$ है। छोटे $\theta$ के लिए,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$,अतः $d \approx r \theta$.
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{r \theta}{t}$ के रूप में परिभाषित है।
$t$ का मान रखने पर: $v_{avg} = \frac{r \theta}{\sqrt{2 \theta / \alpha}} = r \theta \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$.
अतः,सही विकल्प $r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$ है,जो विकल्प $A$ के समान है।

(B) माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ और अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = 3E$ है।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$,इसलिए $E \propto \omega^2$ है।
अतः,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = 3$,जिसका अर्थ है $\omega_2^2 = 3\omega_1^2$।
माना प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है,तो $\omega_f^2 = 3\omega_0^2$ होगा।
घूर्णी गति के समीकरण $\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi$ रेडियन है।
$3\omega_0^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(6\pi) \implies 2\omega_0^2 = 12\alpha\pi \implies \alpha = \frac{\omega_0^2}{6\pi}$।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mr^2\omega_0^2$,इसलिए $\omega_0^2 = \frac{2E}{mr^2}$ है।
$\alpha$ के समीकरण में $\omega_0^2$ का मान रखने पर: $\alpha = \frac{2E}{mr^2} \cdot \frac{1}{6\pi} = \frac{E}{3\pi mr^2}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r\alpha = r \cdot \frac{E}{3\pi mr^2} = \frac{E}{3\pi mr}$ होगा।

(C) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{0} = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 40\pi \text{ rad/s}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
कोणीय मंदन $\alpha = 4 \text{ rad/s}^{2}$.
गति के समीकरण $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (40\pi)^{2} - 2(4)\theta$
$8\theta = 1600\pi^{2}$
$\theta = 200\pi^{2} \text{ rad}$.
चूंकि कुल कोण $\theta = 2\pi n$ है,जहाँ $n$ चक्करों की संख्या है:
$2\pi n = 200\pi^{2}$
$n = 100\pi = 100 \times 3.14159 \approx 314 \text{ चक्कर}$.

(C) कोणीय चाल $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
मिनट की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_{\min} = 60 \text{ मिनट}$ है। अतः,$\omega_{\min} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/min}$.
घंटे की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_{hr} = 12 \text{ घंटे} = 12 \times 60 \text{ मिनट}$ है। अतः,$\omega_{hr} = \frac{2\pi}{12 \times 60} \text{ rad/min}$.
कोणीय चाल का अनुपात $\frac{\omega_{\min}}{\omega_{hr}} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / (12 \times 60)} = \frac{12 \times 60}{60} = 12$ है।
अतः,अनुपात $12: 1$ है।

(D) विरामावस्था से निरंतर कोणीय त्वरण $\alpha$ के साथ गति करने वाली वस्तु के लिए कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ द्वारा दिया जाता है।
पहले $2 \ s$ के लिए $(t_1 = 2 \ s)$: $\theta_1 = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2\alpha$।
कुल $4 \ s$ समय के लिए $(t_2 = 2 + 2 = 4 \ s)$: $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8\alpha$।
अगले $2 \ s$ में तय किया गया कोण $\theta_2 = \theta_{total} - \theta_1 = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$ है।
अतः,अनुपात $\theta_1 : \theta_2 = 2\alpha : 6\alpha = 1 : 3$ है।

(C) घूर्णी गति के लिए $n^{\text{th}}$ सेकंड में तय किया गया कोणीय विस्थापन $\theta_n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\theta_n = \omega_0 + \frac{\alpha}{2}(2n - 1)$.
यह दिया गया है कि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
$P^{\text{th}}$ सेकंड में कोणीय विस्थापन $\beta$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\beta = 0 + \frac{\alpha}{2}(2P - 1)$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\alpha = \frac{2 \beta}{(2P - 1)}$.

(C) सही विकल्प $C$ है।
अवधारणा: कोणीय चाल $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ द्वारा दी जाती है।
सापेक्ष कोणीय चाल $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h}$ द्वारा दी जाती है।
सेकंड की सुई की कोणीय चाल $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{60} = \frac{\pi}{30} \ rad/s$ है।
घंटे की सुई की कोणीय चाल $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{43200} = \frac{\pi}{21600} \ rad/s$ है।
अतः,सापेक्ष कोणीय चाल $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h} = \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{21600}$ है।
हर समान करने पर: $\omega_{rel} = \frac{720 \pi - \pi}{21600} = \frac{719 \pi}{21600} \ rad/s$।

(B) घंटे की सुई की कोणीय चाल $(\omega_h)$ एक पूर्ण चक्कर ($2 \pi$ रेडियन) में लगने वाले समय $(12 \text{ घंटे} = 12 \times 3600 \text{ सेकंड})$ से प्राप्त होती है: $\omega_h = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$.
मिनट की सुई की कोणीय चाल $(\omega_m)$ एक पूर्ण चक्कर ($2 \pi$ रेडियन) में लगने वाले समय $(1 \text{ घंटा} = 3600 \text{ सेकंड})$ से प्राप्त होती है: $\omega_m = \frac{2 \pi}{3600} \text{ rad/s}$.
सापेक्ष कोणीय चाल दोनों सुइयों की कोणीय चाल का अंतर है: $\Delta \omega = \omega_m - \omega_h$.
मान रखने पर: $\Delta \omega = \frac{2 \pi}{3600} - \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{3600} \left(1 - \frac{1}{12}\right) = \frac{2 \pi}{3600} \left(\frac{11}{12}\right) = \frac{22 \pi}{43200} = \frac{11 \pi}{21600} \text{ rad/s}$.

(C) दिया गया है: कोणीय त्वरण $\alpha = 4 \ rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
अभिकेंद्री त्वरण $a_c = r\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r\alpha$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि $a_c = a_t$,इसलिए $r\omega^2 = r\alpha$ होगा।
यह $\omega^2 = \alpha$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\alpha} = \sqrt{4} = 2 \ rad/s$।
घूर्णी गति के लिए गतिज समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega = \omega_0 + \alpha t$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = 0 + 4t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = 2/4 = 1/2 \ s$।