Kinematics Circular Motion (Uniform Angular Accelaration) Questions in Hindi

(B) घंटे वाली सुई की कोणीय चाल $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{T_{h}} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$ है।
सेकंड वाली सुई की कोणीय चाल $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{T_{s}} = \frac{2 \pi}{60} \text{ rad/s}$ है।
सापेक्ष कोणीय चाल $\omega_{rel} = |\omega_{s} - \omega_{h}|$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_{rel} = \left| \frac{2 \pi}{60} - \frac{2 \pi}{43200} \right| = 2 \pi \left( \frac{720 - 1}{43200} \right)$.
$\omega_{rel} = 2 \pi \left( \frac{719}{43200} \right) = \frac{719 \pi}{21600} \text{ rad/s}$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad \ s^{-1}$,अंतिम कोणीय वेग $\omega = 24 \ rad \ s^{-1}$,और समय $t = 8 \ s$ है।
सबसे पहले,सूत्र $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$ का उपयोग करके नियत कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना करें।
$\alpha = \frac{24 - 0}{8} = 3 \ rad \ s^{-2}$।
अब,गति के समीकरण $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ का उपयोग करके कुल कोणीय विस्थापन $\theta$ की गणना करें।
$\theta = 0 \times 8 + \frac{1}{2} \times 3 \times (8)^2$।
$\theta = \frac{1}{2} \times 3 \times 64 = 3 \times 32 = 96 \ rad$।

(C) दिया गया है कि,कोणीय त्वरण $\alpha = 4 \ rad/s^2$ और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
अभिकेंद्री (त्रिज्यीय) त्वरण $a_r = r \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि अभिकेंद्री और स्पर्शरेखीय त्वरण के परिमाण बराबर हैं,इसलिए $a_r = a_t$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r \omega^2 = r \alpha$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $r$ से विभाजित करने पर,$\omega^2 = \alpha = 4$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\omega = 2 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
घूर्णी गति के लिए गतिज समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega = \omega_0 + \alpha t$ है।
चूंकि $\omega_0 = 0$,इसलिए $\omega = \alpha t$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$2 = 4t$ है।
अतः,$t = 2/4 = 1/2 \ s$।

(C) प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_{1} = 1800 \ rpm = \frac{1800 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 60\pi \ rad \ s^{-1}$.
अंतिम कोणीय गति $\omega_{2} = 3000 \ rpm = \frac{3000 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 100\pi \ rad \ s^{-1}$.
समय अंतराल $t = 20 \ s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{t}$.
$\alpha = \frac{100\pi - 60\pi}{20} = \frac{40\pi}{20} = 2\pi \ rad \ s^{-2}$.

(A) सेकंड वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_s = 60 \text{ s}$ है।
अतः,कोणीय चाल $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s}$ है।
घंटे वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_h = 12 \text{ घंटे} = 12 \times 60 \times 60 \text{ s} = 43200 \text{ s}$ है।
अतः,कोणीय चाल $\omega_h = \frac{2\pi}{T_h} = \frac{2\pi}{43200} \text{ rad/s}$ है।
सेकंड वाली सुई और घंटे वाली सुई की कोणीय चाल का अनुपात $\frac{\omega_s}{\omega_h} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / 43200} = \frac{43200}{60} = 720$ है।
अतः,अनुपात $720: 1$ है।

(A) वेग सदिश $\vec{v}(t) = A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}$ है।
बल $\vec{F}$ ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलन करते हैं:
$\vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \frac{d}{dt} [A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}]$
$\vec{F} = m A [-k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}] = -mkA [\sin(kt) \hat{i} + \cos(kt) \hat{j}]$.
अब,$\vec{F}$ और $\vec{v}$ का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें:
$\vec{F} \cdot \vec{v} = (-mkA [\sin(kt) \hat{i} + \cos(kt) \hat{j}]) \cdot (A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j})$
$\vec{F} \cdot \vec{v} = -mkA^2 [\sin(kt)\cos(kt) - \cos(kt)\sin(kt)] = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए बल $\vec{F}$ और वेग $\vec{v}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 300 \text{ rpm} = \frac{300 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 10\pi \text{ rad/s}$.
अंतिम कोणीय गति $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
लिया गया समय $t = 80 \text{ s}$.
गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करके,हम कोणीय मंदन $\alpha$ ज्ञात करते हैं:
$0 = 10\pi + \alpha(80) \Rightarrow \alpha = -\frac{10\pi}{80} = -\frac{\pi}{8} \text{ rad/s}^2$.
कुल कोणीय विस्थापन $\theta$,$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ द्वारा दिया जाता है:
$\theta = (10\pi)(80) + \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{8}\right) (80)^2 = 800\pi - \frac{\pi}{16} (6400) = 800\pi - 400\pi = 400\pi \text{ rad}$.
चक्करों की संख्या $n$,$n = \frac{\theta}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{400\pi}{2\pi} = 200$.

(A) कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ या $\omega = 2\pi n$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूमने के लिए,$T = 24 \ h = 86400 \ s$।
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$।
$2$. घड़ी की घंटे की सुई के लिए,$T = 12 \ h = 43200 \ s$।
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$।
$3$. घड़ी की सेकंड की सुई के लिए,$T = 60 \ s$।
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$।
$4$. फ्लाईव्हील के लिए,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$।
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$।
मानों की तुलना करने पर: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $1, 2, 3, 4$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad/s$,कोणीय त्वरण $\alpha = \pi \ rad/s^2$,और समय $t = 6 \ s$.
कोणीय विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
मान रखने पर: $\theta = 0 \times 6 + \frac{1}{2} \times \pi \times (6)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times \pi \times 36 = 18\pi \ rad$.
चक्करों की संख्या $n$ का मान $n = \frac{\theta}{2\pi}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$n = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ चक्कर।

(A) अभिलंब त्वरण $a_n = \frac{v^2}{R} = k t^\alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
इससे,वेग का वर्ग $v^2 = R k t^\alpha$ प्राप्त होता है।
वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m R k t^\alpha$ है।
सभी बलों द्वारा विकसित शक्ति $P$,गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर के बराबर होती है,अर्थात् $P = \frac{dK}{dt}$.
$P = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m R k t^\alpha \right) = \frac{1}{2} m R k \alpha t^{\alpha-1}$.
चूँकि $m$,$R$,$k$,और $\alpha$ नियतांक हैं,इसलिए $P \propto t^{\alpha-1}$ प्राप्त होता है।

(A) कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ या $\omega = 2\pi n$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. पृथ्वी अपनी धुरी पर घूम रही है,$T = 24 \ h = 86400 \ s$:
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
$2$. घड़ी की घंटे की सुई,$T = 12 \ h = 43200 \ s$:
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$.
$3$. घड़ी की सेकंड की सुई,$T = 60 \ s$:
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$.
$4$. फ्लाईव्हील के लिए,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$:
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$.
मानों की तुलना करने पर: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $1, 2, 3, 4$ है।

(A) वृत्तीय गति के गतिज समीकरणों से,हमारे पास $\omega = \omega_0 + \alpha t$ है।
दिया गया है कि $t=0$ पर $\omega_0 = 0$,और $t=2 \ s$ पर $\omega = 5 \ rad/s$ है।
$5 = 0 + \alpha \times 2 \Rightarrow \alpha = 2.5 \ rad/s^2$।
$t=0 \ s$ से $t=20 \ s$ के अंतराल के लिए,कोणीय विस्थापन $\theta_1$ है:
$\theta_1 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (20)^2 = 500 \ rad$।
$t=20 \ s$ पर कोणीय वेग $\omega_{20} = \omega_0 + \alpha \times 20 = 0 + 2.5 \times 20 = 50 \ rad/s$ है।
$t=20 \ s$ से $t=50 \ s$ के अंतराल के लिए,त्वरण शून्य है,इसलिए कोणीय वेग $50 \ rad/s$ पर स्थिर रहता है।
कोणीय विस्थापन $\theta_2$ है:
$\theta_2 = \omega_{20} \times \Delta t = 50 \times (50 - 20) = 50 \times 30 = 1500 \ rad$।
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = \theta_1 + \theta_2 = 500 + 1500 = 2000 \ rad$।
चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi}$।

(B) चूंकि कोणीय त्वरण $\alpha$ स्थिर है और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है,इसलिए $t$ समय में तय किया गया कोण $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t$ समय में $\theta = 15^{\circ}$,इसलिए $15^{\circ} = \frac{1}{2} \alpha t^2$ (समीकरण $1$)।
अब,हमें अगले $2t \ s$ समय में तय किया गया कोण ज्ञात करना है। कुल समय $t + 2t = 3t \ s$ है।
$3t$ समय में कुल कोण $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (3t)^2 = 9 \times (\frac{1}{2} \alpha t^2)$ होगा।
समीकरण $1$ का मान रखने पर,$\theta_{total} = 9 \times 15^{\circ} = 135^{\circ}$।
अतः,अगले $2t \ s$ समय में कोण में वृद्धि $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta = 135^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$ है।

(C) कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{5t^4}{40} - \frac{t^3}{3} = \frac{t^4}{8} - \frac{t^3}{3}$ दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^4}{8} - \frac{t^3}{3}) = \frac{4t^3}{8} - \frac{3t^2}{3} = 0.5t^3 - t^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(0.5t^3 - t^2) = 1.5t^2 - 2t$.
$t = 10 \text{ s}$ पर,$\alpha$ के व्यंजक में $t$ का मान रखने पर:
$\alpha = 1.5(10)^2 - 2(10) = 1.5(100) - 20 = 150 - 20 = 130 \text{ rad/s}^2$.

(B) कोणीय विस्थापन का सूत्र $\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2$ है,जहाँ $\alpha$ एकसमान कोणीय त्वरण है और $t$ समय है।
पहले $2 \text{ s}$ $(t = 2 \text{ s})$ के लिए,कोणीय विस्थापन $\theta_1 = \frac{1}{2}\alpha (2)^2 = 2\alpha$ है।
कुल $4 \text{ s}$ $(t = 4 \text{ s})$ के समय के लिए,कुल कोणीय विस्थापन $\theta_{\text{total}} = \frac{1}{2}\alpha (4)^2 = 8\alpha$ है।
अगले $2 \text{ s}$ में कोणीय विस्थापन $\theta_2 = \theta_{\text{total}} - \theta_1 = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{6\alpha}{2\alpha} = 3$ है।

(D) प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_i = 600 \text{ rpm} = \frac{600 \times 2\pi}{60} = 20\pi \text{ rad/s}$.
अंतिम कोणीय गति $\omega_f = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} = 40\pi \text{ rad/s}$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{40\pi - 20\pi}{10} = 2\pi \text{ rad/s}^2$.
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = (20\pi)(10) + \frac{1}{2}(2\pi)(10^2) = 200\pi + 100\pi = 300\pi \text{ rad}$.
चक्करों की संख्या $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{300\pi}{2\pi} = 150$.