Kinematics Circular Motion (Uniform Angular Accelaration) Questions in Hindi

(D) सेकंड की सुई की लंबाई $r = 1 \, cm$ है। सेकंड की सुई का आवर्तकाल $T = 60 \, s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \, rad/s$ है।
सुई के सिरे का रैखिक वेग $v = r\omega = 1 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{30} \, cm/s$ है।
$15 \, s$ में,सेकंड की सुई $\theta = \omega t = \frac{\pi}{30} \times 15 = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$ का कोण घूमती है।
वेग में परिवर्तन $\Delta v = |\vec{v}_f - \vec{v}_i| = 2v \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta v = 2 \times \left(\frac{\pi}{30}\right) \sin(90^\circ/2) = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \sin(45^\circ)$.
$\Delta v = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{30} \, cm/s$.

(B) घूमते हुए तारे की भूमध्य रेखा पर किसी वस्तु का त्वरण अभिकेंद्री त्वरण होता है,जिसे $a = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई आवृत्ति $n = 1 \, rev/sec$ है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi \, rad/sec$ है।
त्रिज्या $r = 20 \, km = 20 \times 10^3 \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = (2\pi \times 1)^2 \times (20 \times 10^3)$
$a = 4\pi^2 \times 20 \times 10^3$
$\pi^2 \approx 10$ लेने पर:
$a \approx 4 \times 10 \times 20 \times 10^3 = 800 \times 10^3 = 8 \times 10^5 \, m/sec^2$.

(B) ब्लेड के सिरे पर स्थित बिंदु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण है,जो $a = \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,कोणीय वेग को $r.p.m.$ से $rad/s$ में परिवर्तित करें:
$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{1200}{60} = 40 \pi \, rad/s$.
त्रिज्या $R = 30 \, cm = 0.3 \, m$ दी गई है।
अब,त्वरण की गणना करें:
$a = (40 \pi)^2 \times 0.3$
$a = 1600 \times \pi^2 \times 0.3$
$\pi^2 \approx 9.87$ का उपयोग करते हुए:
$a = 1600 \times 9.87 \times 0.3 = 4737.6 \, m/s^2$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $a \approx 4740 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(C) कोणीय त्वरण $\alpha$ को समय $t$ के सापेक्ष कोणीय वेग $\omega$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$।
चूंकि पिंड नियत कोणीय वेग से गति कर रहा है,इसलिए $\omega = \text{नियत}$।
अतः,एक नियतांक का अवकलन शून्य होता है,इसलिए $\alpha = 0$।

(B) रैखिक वेग $(v)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = r \times \omega$
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $0.5\, m$
कोणीय वेग $(\omega)$ = $70\, rad/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = 0.5\, m \times 70\, rad/s = 35\, m/s$
अतः,पहिये का रैखिक वेग $35\, m/s$ है।

(D) घड़ी की सेकंड वाली सुई का आवर्तकाल $T = 60 \, s$ होता है।
कोणीय वेग $\omega$ का मान $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14159}{60} \approx 0.1047 \, rad/s$ है।
सुई की लंबाई $r = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$ है।
सिरे का रैखिक वेग $v$ ज्ञात करने के लिए $v = \omega r$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$v = 0.1047 \times 3 \times 10^{-2} = 0.00314 \, m/s$।

(C) दिया गया है कि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग ${\omega _0} = 0$ है। मान लीजिए कि एकसमान कोणीय त्वरण $\alpha$ है।
कोणीय विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = {\omega _0}t + \frac{1}{2}\alpha {t^2}$.
पहले $2 \ s$ के लिए $(t = 2 \ s)$: ${\theta _1} = 0 + \frac{1}{2}\alpha {(2)^2} = 2\alpha$ ... $(i)$.
कुल $4 \ s$ समय के लिए $(t = 2 + 2 = 4 \ s)$: ${\theta _1} + {\theta _2} = 0 + \frac{1}{2}\alpha {(4)^2} = 8\alpha$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर: ${\theta _2} = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$.
अब,अनुपात $\frac{{\theta _2}}{{\theta _1}} = \frac{6\alpha}{2\alpha} = 3$ है।

(D) पिंड की कोणीय स्थिति $\theta = \theta_0 + \theta_1 t + \theta_2 t^2$ द्वारा दी गई है।
कोणीय वेग $\omega$,कोणीय स्थिति का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(\theta_0 + \theta_1 t + \theta_2 t^2) = \theta_1 + 2\theta_2 t$.
कोणीय त्वरण $\alpha$,कोणीय वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(\theta_1 + 2\theta_2 t) = 2\theta_2$.
अतः,पिंड का कोणीय त्वरण $2\theta_2$ है।

(B) दिया गया अभिकेंद्र त्वरण $a_c = k^2 r t^2$ है।
हम जानते हैं कि $a_c = \frac{v^2}{r}$,जहाँ $v$ कण की चाल है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{v^2}{r} = k^2 r t^2$।
इससे $v^2 = k^2 r^2 t^2$ प्राप्त होता है,अतः $v = krt$।
स्पर्शीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$ है।
कण पर कार्य करने वाला स्पर्शीय बल $F_t = m a_t = mkr$ है।
कण को दी गई शक्ति $P$ स्पर्शीय बल और वेग का गुणनफल है: $P = F_t \cdot v = (mkr) \cdot (krt) = m k^2 r^2 t$।

(D) कोणीय विस्थापन $\theta = 0.025t^2 - 0.1t$ द्वारा दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$,समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन का प्रथम अवकलज है:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(0.025t^2 - 0.1t) = 0.05t - 0.1 \, rad/s$.
कोणीय त्वरण $\alpha$,समय के सापेक्ष कोणीय वेग का अवकलज है:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(0.05t - 0.1) = 0.05 \, rad/s^2$.
चूंकि परिणाम समय $t$ से स्वतंत्र है,इसलिए कोणीय त्वरण $0.05 \, rad/s^2$ पर स्थिर है।

(D) प्रारंभिक कोणीय गति,$\omega_1 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय गति,$\omega_2 = 4500 \ rpm = \frac{4500 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 150\pi \ rad/s$.
समय अंतराल,$t = 10 \ s$.
कोणीय त्वरण,$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{150\pi - 40\pi}{10} = \frac{110\pi}{10} = 11\pi \ rad/s^2$.
$rad/s^2$ को $deg/s^2$ में बदलने के लिए,$\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\alpha = 11\pi \times \frac{180}{\pi} = 11 \times 180 = 1980 \ deg/s^2$.

(D) कोणीय वेग $\omega$,कोणीय विस्थापन $\theta$ का समय $t$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन है:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(at + bt^2 + ct^3) = a + 2bt + 3ct^2$.
कोणीय त्वरण $\alpha$,कोणीय वेग $\omega$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(a + 2bt + 3ct^2) = 0 + 2b + 6ct$.
अतः,कोणीय त्वरण $2b + 6ct$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 0 \ rad/sec$,अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 60 \ rad/sec$,और समय $t = 5 \ sec$ है।
सबसे पहले,$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t}$ सूत्र का उपयोग करके कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना करें।
$\alpha = \frac{60 - 0}{5} = 12 \ rad/sec^2$.
अब,गति के समीकरण $\theta = \omega_1 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ का उपयोग करके कुल कोणीय विस्थापन $\theta$ की गणना करें।
$\theta = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 12 \times (5)^2$.
$\theta = 6 \times 25 = 150 \ rad$.

(C) दिया गया है कि पहिया विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग ${\omega _0} = 0$ है। मान लीजिए कि एक समान कोणीय त्वरण $\alpha$ है।
कोणीय विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = {\omega _0}t + \frac{1}{2}\alpha {t^2}$.
पहले $1 \ s$ के लिए $(t = 1 \ s)$: ${\theta _1} = 0(1) + \frac{1}{2}\alpha {(1)^2} = \frac{\alpha }{2}$ ......$(i)$.
कुल $2 \ s$ समय के लिए $(t = 2 \ s)$: कुल कोणीय विस्थापन ${\theta _{total}} = {\theta _1} + {\theta _2}$ है।
${\theta _1} + {\theta _2} = 0(2) + \frac{1}{2}\alpha {(2)^2} = 2\alpha$ ......$(ii)$.
${\theta _2}$ ज्ञात करने के लिए समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
${\theta _2} = 2\alpha - \frac{\alpha }{2} = \frac{{3\alpha }}{2}$.
अब,अनुपात $\frac{{{\theta _2}}}{{{\theta _1}}}$ की गणना करने पर:
$\frac{{{\theta _2}}}{{{\theta _1}}} = \frac{{3\alpha / 2}}{{\alpha / 2}} = 3$.

(D) चक्करों की संख्या कोणीय वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होती है।
यह ग्राफ एक समलंब (trapezium) है,जिसकी समानांतर भुजाएँ $t_1 = 3.5 \text{ min}$ ($t=0$ से $t=3.5$ तक) और $t_2 = 2.5 \text{ min}$ ($t=1$ से $t=3.5$ तक) हैं,और ऊँचाई $h = 3000 \text{ rev/min}$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम क्षेत्रफल की गणना एक त्रिभुज,एक आयत और दूसरे त्रिभुज के योग के रूप में कर सकते हैं:
क्षेत्रफल = ($0$ से $1$ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल) + ($1$ से $3.5$ तक के आयत का क्षेत्रफल) + ($3.5$ से $5$ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल)
क्षेत्रफल = $(\frac{1}{2} \times 1 \times 3000) + (2.5 \times 3000) + (\frac{1}{2} \times 1.5 \times 3000)$
क्षेत्रफल = $1500 + 7500 + 2250 = 11250 \text{ चक्कर}$.

(A) कण का रेखीय वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$
यहाँ $\vec{r} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}) \text{ m}$ और $\vec{\omega} = (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) \text{ rad/s}$ दिया गया है।
सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$\vec{v} = \hat{i}(4 \times 2 - 0 \times 1) - \hat{j}(3 \times 2 - 0 \times 0) + \hat{k}(3 \times 1 - 4 \times 0)$
$\vec{v} = \hat{i}(8 - 0) - \hat{j}(6 - 0) + \hat{k}(3 - 0)$
$\vec{v} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k} \text{ m/s}$.

(B) पहिये की त्रिज्या $r = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है।
प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 2 \ rev/s = 2 \times 2\pi \ rad/s = 4\pi \ rad/s$ है।
बेल्ट की गुजरी हुई लंबाई $s = 25 \ m$ है।
कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{s}{r} = \frac{25}{0.3} = 83.33 \ rad$ है।
चूंकि पहिया स्थिर हो जाता है,इसलिए अंतिम कोणीय गति $\omega = 0$ है।
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (4\pi)^2 + 2 \times \alpha \times 83.33$.
$\alpha = -\frac{16\pi^2}{166.66} \approx -\frac{157.91}{166.66} \approx -0.947 \ rad \ s^{-2}$.
अतः,कोणीय मंदन $-0.95 \ rad \ s^{-2}$ है।

(D) कुल चक्करों की संख्या $\omega-t$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
यह ग्राफ एक समलंब (trapezoid) है जिसकी समांतर भुजाओं की लंबाई $t_1 = (3.5 - 1) = 2.5 \text{ min}$ और $t_2 = 5 \text{ min}$ है,और ऊँचाई $h = 3000 \text{ rev/min}$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (2.5 + 5) \times 3000$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 7.5 \times 3000$
क्षेत्रफल = $7.5 \times 1500 = 11250 \text{ चक्कर}$.

(D) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 40\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 4500 \ rpm = \frac{4500 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 150\pi \ rad/s$.
समय अंतराल $\Delta t = 10 \ s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t} = \frac{150\pi - 40\pi}{10} = \frac{110\pi}{10} = 11\pi \ rad/s^2$.
डिग्री प्रति सेकंड$^2$ $(deg/s^2)$ में बदलने के लिए,$\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\alpha = 11\pi \times \frac{180}{\pi} = 11 \times 180 = 1980 \ deg/s^2$.

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_0 = 2 \ rad \ s^{-1}$
कोणीय त्वरण,$\alpha = 3 \ rad \ s^{-2}$
समय,$t = 2 \ s$
घूर्णन गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
मान रखने पर:
$\theta = (2)(2) + \frac{1}{2}(3)(2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2}(3)(4)$
$\theta = 4 + 6 = 10 \ rad$

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_0 = 2 \ rad/s$
कोणीय त्वरण,$\alpha = 3 \ rad/s^2$
समय,$t = 2 \ s$
घूर्णी गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
मान रखने पर:
$\theta = (2)(2) + \frac{1}{2} (3) (2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2} (3) (4)$
$\theta = 4 + 6$
$\theta = 10 \ rad$
अतः,कोणीय विस्थापन $10 \ rad$ है।

(C) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 1200 \ rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 40\pi \ rad \ s^{-1}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0 \ rad \ s^{-1}$.
कोणीय त्वरण $\alpha = -4 \ rad \ s^{-2}$.
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (40\pi)^2 + 2(-4)\theta$
$8\theta = 1600\pi^2$
$\theta = 200\pi^2 \ rad$.
चूंकि एक चक्कर $2\pi \ rad$ के बराबर होता है,इसलिए चक्करों की संख्या $N$ होगी:
$N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{200\pi^2}{2\pi} = 100\pi$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$N = 100 \times 3.14 = 314$ चक्कर।

(D) मान लीजिए कि अवलोकन की शुरुआत में कोणीय वेग $\omega_0$ है। दिया गया कोणीय त्वरण $\alpha = 3.0 \ rad/s^2$,समयांतराल $t = 4.0 \ s$,और कोणीय विस्थापन $\theta = 120 \ rad$ है।
गति के समीकरण $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ का उपयोग करते हुए:
$120 = \omega_0(4) + \frac{1}{2}(3)(4)^2$
$120 = 4\omega_0 + 24$
$4\omega_0 = 96 \implies \omega_0 = 24 \ rad/s$.
पहिया विरामावस्था $(\omega_{initial} = 0)$ से $3.0 \ rad/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ शुरू हुआ था। मान लीजिए कि अवलोकन शुरू होने से पहले बीता हुआ समय $T$ है।
$\omega_0 = \omega_{initial} + \alpha T$ का उपयोग करते हुए:
$24 = 0 + 3T$
$T = \frac{24}{3} = 8 \ s$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 120 \ rev/min = 2 \ rev/s$. प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 2\pi n_1 = 2\pi(2) = 4\pi \ rad/s$. अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$. कोणीय मंदन $\alpha = -2 \ rad \ s^{-2}$.
गति के समीकरण $\omega = \omega_0 + \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$0 = 4\pi + (-2)t \implies 2t = 4\pi \implies t = 2\pi \ s$.
अब,चक्करों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल कोणीय विस्थापन $\theta$ ज्ञात करते हैं:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = (4\pi)(2\pi) + \frac{1}{2}(-2)(2\pi)^2 = 8\pi^2 - 4\pi^2 = 4\pi^2 \ rad$.
चक्करों की संख्या $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{4\pi^2}{2\pi} = 2\pi$ चक्कर।

(B) रैखिक चाल $v$,त्रिज्या $r$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = r\omega$ है।
यहाँ रैखिक चाल $v_2 = 4v_1$ और कोणीय वेग $\omega_2 = 2\omega_1$ हो जाती है।
संबंध $r = \frac{v}{\omega}$ का उपयोग करते हुए,नई त्रिज्या $r_2$ है:
$r_2 = \frac{v_2}{\omega_2} = \frac{4v_1}{2\omega_1} = 2 \left( \frac{v_1}{\omega_1} \right) = 2r_1$.
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = r\omega^2$ है।
इसलिए,नए अभिकेंद्र त्वरण $a_{c2}$ और प्रारंभिक अभिकेंद्र त्वरण $a_{c1}$ का अनुपात है:
$\frac{a_{c2}}{a_{c1}} = \frac{r_2 \omega_2^2}{r_1 \omega_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right) \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$.
मान $r_2 = 2r_1$ और $\omega_2 = 2\omega_1$ रखने पर:
$\frac{a_{c2}}{a_{c1}} = (2) \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8$.
अतः,अभिकेंद्र त्वरण प्रारंभिक मान का $8$ गुना हो जाता है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = \frac{20}{\pi} \ m$,अंतिम वेग $v = 80 \ m/s$,चक्करों की संख्या $n = 2$.
प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$.
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2 \pi \times n = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r} = \frac{80}{20/\pi} = 4 \pi \ rad/s$.
कोणीय गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$ का उपयोग करने पर:
$(4 \pi)^2 = 0^2 + 2 \alpha (4 \pi)$
$16 \pi^2 = 8 \pi \alpha$
$\alpha = \frac{16 \pi^2}{8 \pi} = 2 \pi \ rad/s^2$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha = \left( \frac{20}{\pi} \right) \times (2 \pi) = 40 \ m/s^2$.

(C) पहले $3$ सेकंड में तय किया गया कोण $\theta_{3s} = 10 \times 2\pi = 20\pi \text{ rad}$ है।
गति के समीकरण $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है:
$20\pi = 0 + \frac{1}{2} \alpha (3)^2 \Rightarrow 20\pi = \frac{9}{2} \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{40\pi}{9} \text{ rad/s}^2$.
अब,$6$ सेकंड ($t = 6$ s) में तय किया गया कुल कोण:
$\theta_{6s} = \frac{1}{2} \alpha (6)^2 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{40\pi}{9} \right) \times 36 = 80\pi \text{ rad}$.
अगले $3$ सेकंड ($t = 3$ s से $t = 6$ s तक) में तय किया गया कोण:
$\Delta \theta = \theta_{6s} - \theta_{3s} = 80\pi - 20\pi = 60\pi \text{ rad}$.
अगले $3$ सेकंड में चक्करों की संख्या $n = \frac{\Delta \theta}{2\pi} = \frac{60\pi}{2\pi} = 30$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0 \ rad/s$,कोणीय त्वरण $\alpha = 2.0 \ rad/s^2$,और समय $t = 10 \ s$।
कोणीय विस्थापन के लिए घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$।
मान रखने पर: $\theta = (0)(10) + \frac{1}{2}(2.0)(10)^2 = 100 \ rad$।
चक्करों की संख्या $n$,$n = \frac{\theta}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
$n = \frac{100}{2 \times 3.14} = \frac{100}{6.28} \approx 15.92$।
निकटतम पूर्णांक में,चक्करों की संख्या $16$ है।

(A) कोणीय गति $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
मिनट की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_m = 60 \text{ मिनट} = 1 \text{ घंटा}$ है।
अतः,$\omega_m = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad/hr}$।
घंटे की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_h = 12 \text{ घंटे}$ है।
अतः,$\omega_h = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \text{ rad/hr}$।
मिनट की सुई और घंटे की सुई की कोणीय गति का अनुपात $\frac{\omega_m}{\omega_h} = \frac{2\pi}{\pi/6} = 2 \times 6 = 12$ है।
अतः,अनुपात $12:1$ है।

(D) प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_1 = 600 \, rpm = \frac{600 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 20\pi \, rad/s$ है।
अंतिम कोणीय गति $\omega_2 = 1200 \, rpm = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 40\pi \, rad/s$ है।
लिया गया समय $t = 10 \, s$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ का सूत्र $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t}$ है।
मान रखने पर: $\alpha = \frac{40\pi - 20\pi}{10} = \frac{20\pi}{10} = 2\pi \, rad/s^2$.

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.20 \ m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,कोणीय त्वरण $\alpha = 1 \ rad/s^2$,और कोणीय विस्थापन $\theta = 90^o = \pi/2 \ rad$ है।
घूर्णन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$।
मान रखने पर: $\omega^2 = 0^2 + 2 \times 1 \times (\pi/2) = \pi \ rad^2/s^2$।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = \omega^2 r$ है।
मान रखने पर: $a_c = \pi \times 0.20 = 0.2 \ \pi \ m/s^2$।

(B) कोणीय वेग $\omega = 1.5t - 3t^2 + 2$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ कोणीय वेग के समय के सापेक्ष परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$.
दिए गए समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\alpha = \frac{d}{dt}(1.5t - 3t^2 + 2) = 1.5 - 6t$.
वह समय ज्ञात करने के लिए जब कोणीय त्वरण शून्य हो जाता है,$\alpha = 0$ रखें: $0 = 1.5 - 6t$.
$t$ के लिए हल करने पर: $6t = 1.5$,जिससे $t = \frac{1.5}{6} = 0.25 \; sec$ प्राप्त होता है।

(C) कोणीय विस्थापन का सूत्र $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ है।
चूंकि प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है,इसलिए सूत्र $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ हो जाता है।
पहले $2 \, s$ के लिए $(t = 2 \, s)$:
${\theta _1} = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2 \alpha$.
कुल $4 \, s$ समय के लिए $(t = 2 + 2 = 4 \, s)$:
${\theta _1} + {\theta _2} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8 \alpha$.
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर:
${\theta _2} = 8 \alpha - 2 \alpha = 6 \alpha$.
अतः,अनुपात $\frac{{\theta _1}}{{\theta _2}} = \frac{2 \alpha}{6 \alpha} = \frac{1}{3}$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 0 \, rad/s$, अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 20 \, rad/s$, समय $t = 5 \, s$.
सबसे पहले, कोणीय त्वरण $\alpha$ की गणना $\omega_2 = \omega_1 + \alpha t$ सूत्र का उपयोग करके करें:
$\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t} = \frac{20 - 0}{5} = 4 \, rad/s^2$.
इसके बाद, कुल कोणीय विस्थापन $\theta$ की गणना $\theta = \omega_1 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ सूत्र का उपयोग करके करें:
$\theta = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times (5)^2 = 2 \times 25 = 50 \, rad$.
चूंकि $1 \, \text{चक्कर }= 2\pi \, rad$, इसलिए चक्करों की संख्या $n$ इस प्रकार होगी:
$n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{50}{2\pi} = \frac{25}{\pi} \, \text{चक्कर}$.

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 600 \, rev/min = 10 \, rev/sec$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 0$ है।
चक्करों की संख्या $\theta = 60 \, rev$ है।
गतिकीय समीकरण $\omega_2^2 = \omega_1^2 - 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (10)^2 - 2 \times \alpha \times 60$
$120\alpha = 100 \implies \alpha = \frac{100}{120} = \frac{5}{6} \, rev/sec^2$ प्राप्त होता है।
अब,$\omega_2 = \omega_1 - \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$0 = 10 - (\frac{5}{6})t$
$t = \frac{10 \times 6}{5} = 12 \, sec$।

(B) वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v}$ को सदिश अंतर $\vec{v}_2 - \vec{v}_1$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि चाल अचर है,वेग का परिमाण $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$ है।
वेग सदिशों के बीच का कोण केंद्र पर अंतरित कोण के बराबर होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\theta/2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 90^{\circ}$ रखने पर:
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(90^{\circ}/2) = 2v \sin(45^{\circ})$.
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$|\Delta \vec{v}| = 2v \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}v$.

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड की चाल समय के साथ स्थिर रहती है।
स्पर्शरेखीय त्वरण को समय के सापेक्ष वेग के परिमाण (चाल) में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $a_t = \frac{dv}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि चाल $v$ एकसमान (स्थिर) है,इसलिए $\frac{dv}{dt} = 0$ होगा।
अतः,स्पर्शरेखीय त्वरण $0$ है।

(D) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 1200 \, rpm = \frac{1200}{60} \, rev/s = 20 \, rev/s$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 4500 \, rpm = \frac{4500}{60} \, rev/s = 75 \, rev/s$ है।
कोणीय वेग में परिवर्तन $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 = 75 - 20 = 55 \, rev/s$ है।
लिया गया समय $t = 10 \, s$ है।
$rev/s^2$ में कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\Delta \omega}{t} = \frac{55}{10} = 5.5 \, rev/s^2$ है।
इसे $deg/s^2$ में बदलने के लिए,हम $360^\circ$ से गुणा करेंगे (चूंकि $1 \, rev = 360^\circ$):
$\alpha = 5.5 \times 360 \, deg/s^2 = 1980 \, deg/s^2$.

(A) प्रारंभिक रेखीय वेग $v = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$ है।
यदि हम पहिये की त्रिज्या $r = 0.25 \, m$ (प्रश्न के अनुसार) लें,तो प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = \frac{v}{r} = \frac{20}{0.25} = 80 \, rad/s$ होगा।
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$ और कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2\pi \times 20 = 40\pi \, rad$ है।
समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (80)^2 + 2 \times \alpha \times 40\pi$
$\alpha = -\frac{6400}{80\pi} = -\frac{80}{\pi} \approx -25.46 \, rad/s^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है: कोणीय त्वरण $\alpha = 2.0 \ rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,समय $t = 10 \ s$।
घूर्णी गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$।
मान रखने पर: $\theta = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (10)^2 = 100 \ rad$।
चक्करों की संख्या $n$,$n = \frac{\theta}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
$n = \frac{100}{2 \times 3.14} \approx \frac{100}{6.28} \approx 15.92$।
निकटतम पूर्णांक में,चक्करों की संख्या लगभग $16$ है।

(A) कोणीय त्वरण $\vec{\alpha}$ को कोणीय वेग $\vec{\omega}$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$।
चूंकि पिंड कागज के तल में वृत्ताकार गति कर रहा है,इसलिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ कागज के तल के लंबवत (घूर्णन अक्ष के अनुदिश) होता है।
परिणामस्वरूप,कोणीय वेग में परिवर्तन $d\vec{\omega}$ भी घूर्णन अक्ष के अनुदिश ही होता है।
अतः,कोणीय त्वरण $\vec{\alpha}$ की दिशा भी कागज के तल के लंबवत होती है।

(C) पहले $3$ सेकंड में तय किया गया कोणीय विस्थापन $\theta_{3s} = 10 \times 2\pi = 20\pi \text{ rad}$ है।
समीकरण $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\omega_0 = 0$:
$20\pi = 0 + \frac{1}{2} \alpha (3)^2 \implies 20\pi = \frac{9}{2}\alpha \implies \alpha = \frac{40\pi}{9} \text{ rad/s}^2$.
अब,$6$ सेकंड में कुल तय किया गया कोणीय विस्थापन:
$\theta_{6s} = \frac{1}{2} \alpha (6)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{40\pi}{9}\right) \times 36 = 80\pi \text{ rad}$.
अगले $3$ सेकंड में ($t=3$ से $t=6$ तक) तय किया गया कोणीय विस्थापन:
$\Delta\theta = \theta_{6s} - \theta_{3s} = 80\pi - 20\pi = 60\pi \text{ rad}$.
अगले $3$ सेकंड में चक्करों की संख्या $n = \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac{60\pi}{2\pi} = 30$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 0 \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 240 \ rpm = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
लिया गया समय $t = 10 \ s$.
कोणीय त्वरण $\alpha$ का सूत्र $\alpha = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t}$ है।
मान रखने पर: $\alpha = \frac{8\pi - 0}{10} = 0.8\pi \ rad/s^2$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,हमें $\alpha = 0.8 \times 3.14159 \approx 2.513 \ rad/s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि कोणीय वेग $\omega = \theta^2 + 2\theta$ है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ को $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चेन नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\alpha = \frac{d\omega}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt}$।
चूंकि $\frac{d\theta}{dt} = \omega$,इसलिए $\alpha = \omega \frac{d\omega}{d\theta}$ होता है।
सबसे पहले,$\frac{d\omega}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\theta^2 + 2\theta) = 2\theta + 2$ की गणना करें।
अब,$\alpha$ के व्यंजक में $\omega$ और $\frac{d\omega}{d\theta}$ का मान रखने पर:
$\alpha = (\theta^2 + 2\theta)(2\theta + 2)$।
$\theta = 1 \text{ rad}$ पर:
$\alpha = (1^2 + 2(1))(2(1) + 2) = (1 + 2)(2 + 2) = 3 \times 4 = 12 \text{ rad/sec}^2$।

(C) पिंड $A$ के लिए,$\theta_A = k_1 t^2$ है। चूँकि यह $\sqrt{\pi} \ s$ में $1$ चक्कर ($2\pi$ रेडियन) पूरा करता है,इसलिए $2\pi = k_1 (\sqrt{\pi})^2 = k_1 \pi$,जिससे $k_1 = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$\theta_A = 2t^2$ है। कोणीय वेग $\omega_A = \frac{d\theta_A}{dt} = 4t$ है। $t = 5 \ s$ पर,$\omega_A = 4(5) = 20 \ rad/s$ है।
पिंड $B$ के लिए,$\theta_B = k_2 t$ है। चूँकि यह $4\pi \ s$ में आधा चक्कर ($\pi$ रेडियन) पूरा करता है,इसलिए $\pi = k_2 (4\pi)$,जिससे $k_2 = 1/4$ प्राप्त होता है। अतः,$\theta_B = \frac{1}{4}t$ है। कोणीय वेग $\omega_B = \frac{d\theta_B}{dt} = 1/4 \ rad/s$ है।
अनुपात $\omega_A : \omega_B = 20 : (1/4) = 80 : 1$ है।

(D) मान लीजिए कि ट्रैक पर कैमरे के सबसे निकटतम बिंदु से कार की दूरी $x$ है। कैमरे से ट्रैक की लंबवत दूरी $d = 30\ m$ है।
ज्यामिति से,हमारे पास $x = d \tan \theta = 30 \tan \theta$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dt} = 30 \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$
यहाँ,$\frac{dx}{dt} = v_{\text{car}} = 40\ m/s$ और $\frac{d\theta}{dt} = \omega$ (कैमरे की कोणीय गति) है।
अतः,$40 = 30 \sec^2 \theta \cdot \omega$.
दी गई स्थिति में,$\theta = 30^\circ$ है। इसलिए,$\sec 30^\circ = \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
इस प्रकार,$\sec^2 30^\circ = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$40 = 30 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \omega$
$40 = 40 \cdot \omega$
$\omega = 1\ rad/s$.

(A) पहिये का व्यास $d = 1 \ m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.5 \ m$ है।
घूर्णन की आवृत्ति $f = 30 \ \text{rev/s}$ है।
कोणीय वेग $\omega$ का मान $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 30 = 60 \pi \ \text{rad/s}$ होता है।
परिधि पर स्थित बिंदु की रैखिक गति $v$ को $v = r \omega$ संबंध द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $v = 0.5 \times 60 \pi = 30 \pi \ m/s$ प्राप्त होता है।

(B) रैखिक चाल $v$,त्रिज्या $R$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = R\omega$ होता है।
यहाँ $v = 8 \ m/s$ और $R = 2 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$8 = 2 \times \omega$
$\omega = 4 \ rad/s$.
$\omega$ के लिए दिए गए समीकरण में मान रखने पर:
$t^2 - 4t + 8 = 4$
$t^2 - 4t + 4 = 0$
$(t - 2)^2 = 0$
$t = 2 \ \sec$.

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{i} = 900 \, r.p.m. = \frac{900 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 30\pi \, rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_{f} = 0 \, rad/s$.
लिया गया समय $t = 1 \, minute = 60 \, s$.
गति के समीकरण $\omega_{f} = \omega_{i} + \alpha t$ का उपयोग करने पर:
$0 = 30\pi + \alpha(60)$.
$\alpha = -\frac{30\pi}{60} = -\frac{\pi}{2} \, rad/s^2$.
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है।
अतः,कोणीय मंदन $\frac{\pi}{2} \, rad/s^2$ है।

(C) कोणीय विस्थापन $\theta(t) = 2t^3 + 0.5$ द्वारा दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ को समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$.
$t$ के सापेक्ष $\theta$ का अवकलन करने पर: $\omega = \frac{d}{dt}(2t^3 + 0.5) = 6t^2$.
$t = 2 \ s$ पर कोणीय वेग ज्ञात करने के लिए,$\omega$ के व्यंजक में $t = 2$ प्रतिस्थापित करें:
$\omega = 6(2)^2 = 6 \times 4 = 24 \ rad/s$.