Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(A) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहली गेंद के लिए,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
दूसरी गेंद के लिए,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
यहाँ $u = 40\,m/s$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $H_1 = \frac{1600 \sin^2 \theta}{20} = 80 \sin^2 \theta$ और $H_2 = 80 \cos^2 \theta$.
दिया गया है कि $H_2 - H_1 = 50\,m$,इसलिए $80(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 50$.
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ का उपयोग करने पर,$80 \cos(2\theta) = 50$,इसलिए $\cos(2\theta) = \frac{5}{8} = 0.625$.
चूँकि $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$,इसलिए $2\sin^2 \theta = 1 - 0.625 = 0.375$,अतः $\sin^2 \theta = 0.1875$.
इस प्रकार,$H_1 = 80 \times 0.1875 = 15\,m$.
अतः $H_2 = H_1 + 50 = 15 + 50 = 65\,m$.

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है और $\alpha$ क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण है।
पहले पिंड के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\alpha_1 = \theta$ है। अतः,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
दूसरे पिंड के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है,जिसका अर्थ है कि क्षैतिज के साथ कोण $\alpha_2 = 90^\circ - \theta$ है। अतः,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$।
अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{u^2 \cos^2 \theta / 2g} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$ है।
अतः,अनुपात $\tan^2 \theta : 1$ है।

(A) तात्क्षणिक वेग $v = a \hat{i} + (b - ct) \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
इसे मानक प्रक्षेप्य गति समीकरणों $v_x = u_x$ और $v_y = u_y - gt$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
प्रारंभिक क्षैतिज वेग,$u_x = a$
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग,$u_y = b$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = c$
एक प्रक्षेप्य के लिए,उड़ान का समय $T$ वह समय है जब ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य होता है। उच्चतम बिंदु पर $v_y = 0$ रखने पर,$b - ct = 0 \implies t = b/c$। अतः,कुल उड़ान का समय $T = 2t = 2b/c$ है।
क्षैतिज परास $R$ को $R = u_x \times T$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$R = a \times (2b/c) = 2ab/c$।

(B) कुल क्षैतिज परास $R$ प्रक्षेपण बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी है जहाँ गेंद गिरती है। दीवार $x = 6 \, m$ पर है और गेंद दीवार से $18 \, m$ दूर गिरती है,इसलिए कुल परास $R = 6 + 18 = 24 \, m$ है।
प्रक्षेप्य गति का समीकरण $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$ है।
यहाँ,$x = 6 \, m$ के लिए $y = 3 \, m$ है और $R = 24 \, m$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3 = 6 \tan \theta \left(1 - \frac{6}{24}\right)$
$3 = 6 \tan \theta \left(1 - \frac{1}{4}\right)$
$3 = 6 \tan \theta \left(\frac{3}{4}\right)$
$3 = \frac{18}{4} \tan \theta$
$3 = 4.5 \tan \theta$
$\tan \theta = \frac{3}{4.5} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$।

(B) प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ है।
यहाँ $T = 2 \, s$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{2 u \sin \theta}{g}$,जिसे सरल करने पर $u \sin \theta = g$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$H$ के समीकरण में $u \sin \theta = g$ रखने पर,हमें $H = \frac{(g)^2}{2g} = \frac{g}{2}$ प्राप्त होता है।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,$H = \frac{10}{2} = 5 \, m$ प्राप्त होता है।

(D) प्रक्षेप्य की ऊर्ध्वाधर गति क्षैतिज गति से स्वतंत्र होती है। चूँकि ऊर्ध्वाधर त्वरण $-g$ ही रहता है,इसलिए अधिकतम ऊँचाई $H$ में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
क्षैतिज परास के लिए,प्रारंभिक परास $R = u_x T$ है,जहाँ $T = \frac{2 u_y}{g}$ उड़ान का समय है।
क्षैतिज त्वरण $a_x = \frac{g}{4}$ के साथ नई क्षैतिज परास $R^{\prime}$ इस प्रकार है:
$R^{\prime} = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$
$R = u_x T$ और $T^2 = \frac{4 u_y^2}{g^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$R^{\prime} = R + \frac{1}{2} \left(\frac{g}{4}\right) \left(\frac{4 u_y^2}{g^2}\right)$
चूँकि $H = \frac{u_y^2}{2g}$,इसलिए $u_y^2 = 2gH$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$R^{\prime} = R + \frac{g}{8} \left(\frac{4(2gH)}{g^2}\right) = R + \frac{g}{8} \left(\frac{8gH}{g^2}\right) = R + H$
अतः,नई परास $(R+H)$ और ऊँचाई $H$ होगी।

(B) माना वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \cos \theta$ है (क्योंकि कोण ऊर्ध्वाधर के साथ है)।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन का समीकरण $h = v_y t - \frac{1}{2} g t^2$ है।
$t_1 = 1\,s$ और $t_2 = 3\,s$ समय के लिए:
$h = v_y(1) - \frac{1}{2} g(1)^2$ ... $(1)$
$h = v_y(3) - \frac{1}{2} g(3)^2$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर: $v_y - 0.5g = 3v_y - 4.5g$.
$2v_y = 4g \implies v_y = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6\,m/s$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $H_{max} = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8} = 19.6\,m$ प्राप्त होती है।

(C) दिया गया है कि क्षैतिज परास $R$,अधिकतम ऊँचाई $H$ की चार गुनी है,अर्थात $R = 4H$।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{U^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2U^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{U^2 \sin^2\theta}{2g}$ है।
इन मानों को दी गई शर्त में रखने पर: $\frac{2U^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = 4 \times \frac{U^2 \sin^2\theta}{2g}$।
समीकरण को सरल करने पर: $2 \sin\theta \cos\theta = 2 \sin^2\theta$।
दोनों पक्षों को $2 \sin\theta$ से विभाजित करने पर ($\sin\theta \neq 0$ मानते हुए): $\cos\theta = \sin\theta$।
अतः,$\tan\theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 45^{\circ}$।

(C) गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
$u_x = u \cos 60^{\circ} = 150 \times \frac{1}{2} = 75\, ms^{-1}$.
मान लीजिए कि समय $t$ पर वेग $v$ है। इस समय पर क्षैतिज के साथ कोण $45^{\circ}$ है।
समय $t$ पर वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 45^{\circ}$ है।
चूंकि $v_x = u_x$,इसलिए $v \cos 45^{\circ} = 75$,जिससे $v = \frac{75}{\cos 45^{\circ}} = 75\sqrt{2}\, ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v \sin 45^{\circ} = 75\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 75\, ms^{-1}$ है।
समीकरण $v_y = u_y - gt$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_y = u \sin 60^{\circ} = 150 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\, ms^{-1}$:
$75 = 75\sqrt{3} - 10t$.
$10t = 75(\sqrt{3} - 1)$.
$t = 7.5(\sqrt{3} - 1)\,s$.

(A) उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
हमें $\frac{H}{T^2}$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$\frac{H}{T^2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}}{(\frac{2u \sin \theta}{g})^2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g^2}{4u^2 \sin^2 \theta}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{H}{T^2} = \frac{g}{8}$ प्राप्त होता है।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,अनुपात $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ होता है।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 10\,m/s$.
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0\,m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
समय $t = 1\,s$.
$(A)$ वेग का क्षैतिज घटक $(v_x)$: प्रक्षेप्य गति में,क्षैतिज वेग स्थिर रहता है। अतः,$v_x = u_x = 10\,m/s$. यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(B)$ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$: $v_y = u_y + g_y t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $g_y = g = 10\,m/s^2$. अतः,$v_y = 0 + 10(1) = 10\,m/s$. यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(C)$ क्षैतिज विस्थापन $(x)$: $x = u_x t = 10(1) = 10\,m$. यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(D)$ ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(y)$: $y = u_y t + \frac{1}{2} g t^2 = 0(1) + \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 5\,m$. यह $(p)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A \rightarrow q, B \rightarrow q, C \rightarrow q, D \rightarrow p)$ है।

(D) गेंद के वापस लड़के के हाथ में आने के लिए,गेंद का कुल विस्थापन शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि गेंद का पथ लड़के के सापेक्ष एक सीधी रेखा में होना चाहिए।
यह तभी संभव है जब प्रारंभिक वेग सदिश और कुल त्वरण सदिश एक ही रेखा के अनुदिश हों।
मान लीजिए कि प्रारंभिक वेग $\vec{v}_0$ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर है।
त्वरण का क्षैतिज घटक $a_x = 4\, m/s^2$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $a_y = g = 10\, m/s^2$ (नीचे की ओर) है।
कुल त्वरण सदिश $\vec{a}$ ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण बनाता है,जहाँ $\tan \alpha = \frac{a_x}{a_y} = \frac{4}{10} = 0.4$ है।
चूंकि गेंद को वापस प्रारंभिक बिंदु पर आने के लिए प्रारंभिक वेग को त्वरण की दिशा में ही होना चाहिए,इसलिए ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ का मान $\alpha$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\theta = \tan^{-1} (0.4)$।

(D) प्रक्षेप्य बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर, वेग $v = u \cos \theta$ (क्षैतिज दिशा में) होता है।
प्रक्षेप्य बिंदु से वेग सदिश की लंबवत दूरी अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अतः, $L = m(u \cos \theta) \times H_{\max}$।
$H_{\max}$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $L = m(u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m u^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{2g}$।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं कि $\cos \theta \sin \theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $L = \frac{m u^3 \sin \theta}{2g} \left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right) = \frac{m u^3 \sin \theta \sin 2\theta}{4g}$।

(B) प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास $R$ इस प्रकार दिया जाता है: $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ इस प्रकार दी जाती है: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
$H$ को $R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{H}{R} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$।
अतः,$\frac{R}{H} = \frac{4}{\tan \theta} = 4 \cot \theta$।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण का कोण है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यदि प्रारंभिक वेग को दोगुना कर दिया जाए,तो नया वेग $u' = 2u$ होगा।
नई परास $R'$ होगी:
$R' = \frac{(2u)^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{4u^2 \sin(2\theta)}{g}$
$R' = 4 \times \left( \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} \right) = 4R$
अतः,परास मूल परास की चार गुना हो जाती है।

(A) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ $\theta = 90^{\circ}$ के कोण पर फेंके गए प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र है:
$H = \frac{u^2}{2g}$
इससे,हम प्रारंभिक वेग के वर्ग को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$u^2 = 2gH$
अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ के लिए,प्रक्षेप्य को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर फेंका जाना चाहिए। अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र है:
$R_{\max} = \frac{u^2}{g}$
ऊँचाई के समीकरण से $u^2$ का मान रखने पर:
$R_{\max} = \frac{2gH}{g} = 2H$
अतः,अधिकतम क्षैतिज दूरी $2H$ है।

(A) प्रक्षेप्य के लिए अधिकतम ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दो प्रक्षेपण कोणों $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ के लिए परास $R$ समान होती है,जो $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ द्वारा दी जाती है।
माना $h_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
$h_1$ और $h_2$ का गुणा करने पर:
$h_1 h_2 = \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) \left( \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} \right) = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$.
चूँकि $R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$,इसलिए $R^2 = \frac{u^4 (4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta)}{g^2}$.
अतः,$h_1 h_2 = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2} = \frac{R^2}{16}$.
इसलिए,$R^2 = 16 h_1 h_2$,जिसका अर्थ है $R = 4 \sqrt{h_1 h_2}$.

(A) जब क्षैतिज रूप से उड़ते हुए हवाई जहाज से एक बम गिराया जाता है,तो उसमें छोड़ने के क्षण हवाई जहाज के समान ही क्षैतिज वेग होता है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण,यह नीचे की ओर एक निरंतर त्वरण $(g)$ का अनुभव करता है।
क्षैतिज गति एकसमान (स्थिर वेग) होती है,जबकि ऊर्ध्वाधर गति एकसमान त्वरित होती है।
इन दो स्वतंत्र गतियों के संयोजन के परिणामस्वरूप बम का प्रक्षेप पथ एक परवलय होता है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
पहले प्रक्षेप्य के लिए: $\theta_1 = 60^\circ$। अतः,$R_1 = \frac{u^2 \sin(2 \times 60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(120^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sqrt{3}}{2g}$।
दूसरे प्रक्षेप्य के लिए: $\theta_2 = 30^\circ$। अतः,$R_2 = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sqrt{3}}{2g}$।
चूँकि $\sin(2 \times 60^\circ) = \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \sin(2 \times 30^\circ)$,जब कोणों का योग $90^\circ$ (पूरक कोण) होता है,तो परास समान होती है। इसलिए,उनकी परास समान होगी।

(C) व्यक्ति द्वारा गेंद को पकड़ने के लिए,गेंद के वेग का क्षैतिज घटक व्यक्ति की निरंतर गति के बराबर होना चाहिए।
यह सुनिश्चित करता है कि गेंद पूरी उड़ान के दौरान व्यक्ति के ठीक ऊपर बनी रहे,जिसका अर्थ है कि व्यक्ति के सापेक्ष गेंद की गति केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में है।
गेंद के क्षैतिज वेग को व्यक्ति की गति के बराबर करने पर:
$v_0 \cos \theta = \frac{v_0}{2}$
दोनों पक्षों को $v_0$ से विभाजित करने पर:
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$.
अतः,यदि प्रक्षेपण कोण $60^o$ है तो व्यक्ति गेंद को पकड़ पाएगा।

(D) लड़का $10\, m$ ऊँची इमारत की छत से गेंद फेंकता है। हमें वह क्षैतिज दूरी ज्ञात करनी है जब गेंद जमीन से $10\, m$ की ऊँचाई पर हो।
चूँकि गेंद $10\, m$ की ऊँचाई से फेंकी गई है और हमें वह दूरी ज्ञात करनी है जब वह फिर से $10\, m$ की ऊँचाई पर हो,तो यह प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास (Range) के बराबर है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
दिया गया है:
प्रारंभिक गति $u = 10\, m/s$
प्रक्षेप्य कोण $\theta = 30^o$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$
मान रखने पर:
$R = \frac{(10)^2 \sin(2 \times 30^o)}{10} = \frac{100 \times \sin(60^o)}{10} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\, m$
अतः,गेंद फेंकने के बिंदु से $5\sqrt{3}\, m$ की दूरी पर होगी।

(A) दो इमारतों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 100 \; m$ है। गोलियों को एक-दूसरे की ओर $v = 25 \; m/s$ के क्षैतिज वेग से दागा जाता है।
सापेक्ष क्षैतिज वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = 25 + 25 = 50 \; m/s$ है।
गोलियों के टकराने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{100}{50} = 2 \; s$ है।
इस समय में,दोनों गोलियाँ गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे गिरती हैं। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $s_y = -\frac{1}{2} gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $s_y = -\frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = -5 \times 4 = -20 \; m$।
जमीन से टकराने की ऊँचाई $H_{collision} = H_{initial} + s_y = 200 - 20 = 180 \; m$ है।
अतः,गोलियाँ $2 \; s$ बाद $180 \; m$ की ऊँचाई पर टकराएंगी।

(N/A) $v_{o}$ प्रारंभिक वेग से $\theta_{o}$ कोण पर प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$R = \frac{v_{o}^{2} \sin(2\theta_{o})}{g}$
दो प्रक्षेपण कोणों $\theta_{1} = 45^{\circ} + \alpha$ और $\theta_{2} = 45^{\circ} - \alpha$ पर विचार करें,जहाँ $\alpha$ वह समान मात्रा है जिससे वे $45^{\circ}$ से भिन्न हैं।
$\theta_{1} = 45^{\circ} + \alpha$ के लिए,परास $R_{1}$:
$R_{1} = \frac{v_{o}^{2} \sin(2(45^{\circ} + \alpha))}{g} = \frac{v_{o}^{2} \sin(90^{\circ} + 2\alpha)}{g} = \frac{v_{o}^{2} \cos(2\alpha)}{g}$
$\theta_{2} = 45^{\circ} - \alpha$ के लिए,परास $R_{2}$:
$R_{2} = \frac{v_{o}^{2} \sin(2(45^{\circ} - \alpha))}{g} = \frac{v_{o}^{2} \sin(90^{\circ} - 2\alpha)}{g} = \frac{v_{o}^{2} \cos(2\alpha)}{g}$
चूँकि $R_{1} = R_{2}$,अतः यह सिद्ध होता है कि $45^{\circ}$ से समान मात्रा में अधिक या कम कोणों के लिए परास समान होती है।

(N/A) अधिकतम ऊँचाई $h_{m} = \frac{(v_{0} \sin \theta_{0})^{2}}{2g} = \frac{(28 \sin 30^{\circ})^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{14 \times 14}{19.6} = 10.0 \; m$ द्वारा दी जाती है।
$(b)$ उसी स्तर पर वापस आने में लगा समय (उड्डयन काल) $T_{f} = \frac{2 v_{0} \sin \theta_{0}}{g} = \frac{2 \times 28 \times \sin 30^{\circ}}{9.8} = \frac{28}{9.8} \approx 2.86 \; s$ ($2.9 \; s$ के रूप में)।
$(c)$ क्षैतिज परास $R = \frac{v_{0}^{2} \sin 2\theta_{0}}{g} = \frac{28^{2} \times \sin 60^{\circ}}{9.8} = \frac{784 \times 0.866}{9.8} \approx 69.28 \; m$ ($69 \; m$ के रूप में)।

(A) दिया गया है: गेंद की गति,$u = 40\; m/s$. अधिकतम ऊँचाई,$h = 25\; m$. गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8\; m/s^2$.
प्रक्षेप्य गति में,$\theta$ कोण पर प्रक्षेपित वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का संबंध इस प्रकार है:
$h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
मान रखने पर:
$25 = \frac{(40)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 9.8}$
$25 = \frac{1600 \sin^2 \theta}{19.6}$
$\sin^2 \theta = \frac{25 \times 19.6}{1600} = 0.30625$
$\sin \theta = \sqrt{0.30625} = 0.5534$
$\theta = \sin^{-1}(0.5534) = 33.60^{\circ}$
क्षैतिज परास $R$ इस प्रकार है:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
$R = \frac{(40)^2 \sin(2 \times 33.60^{\circ})}{9.8}$
$R = \frac{1600 \times \sin(67.2^{\circ})}{9.8}$
$R = \frac{1600 \times 0.9219}{9.8} \approx 150.53\; m$.

(B) अधिकतम क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। दिया गया है कि $R = 100 \; m$,इसलिए $\frac{u^2}{g} = 100 \; m$ है।
अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $H$ प्राप्त करने के लिए,गेंद को $90^{\circ}$ के कोण पर सीधे ऊपर की ओर फेंकना होगा।
अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ है।
अब,$\frac{u^2}{g} = 100 \; m$ का मान ऊंचाई के सूत्र में रखने पर:
$H = \frac{1}{2} \times \left( \frac{u^2}{g} \right) = \frac{1}{2} \times 100 \; m = 50 \; m$.
अतः,क्रिकेटर गेंद को अधिकतम $50 \; m$ की ऊंचाई तक फेंक सकता है।

(N/A) चरम स्थिति पर,बॉब का वेग शून्य होता है। यदि इस क्षण डोरी को काट दिया जाए,तो बॉब गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गिरेगा। प्रक्षेप पथ एक सीधी रेखा होगी।
$(b)$ माध्य स्थिति पर,बॉब का वेग क्षैतिज दिशा में $1\; m s^{-1}$ होता है। यदि इस क्षण डोरी को काट दिया जाए,तो बॉब के पास प्रारंभिक क्षैतिज वेग होगा और वह गुरुत्वाकर्षण के अधीन होगा। इसलिए,यह एक परवलयाकार प्रक्षेप पथ का अनुसरण करेगा।

(N/A) प्रक्षेप्य गति: जब किसी वस्तु को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में फेंका जाता है,तो वह स्थिर क्षैतिज वेग और स्थिर ऊर्ध्वाधर त्वरण के साथ गति करती है। ऐसी द्विविमीय गति को प्रक्षेप्य गति कहा जाता है और उस वस्तु को प्रक्षेप्य कहा जाता है।
उदाहरण के लिए,जब हम फुटबॉल को किक मारते हैं,तो यदि हवा के प्रतिरोध को नगण्य माना जाए तो वह प्रक्षेप्य गति करती है।
प्रक्षेप्य क्षैतिज पथ पर एकसमान वेग $(a_x = 0)$ के साथ गति करता है।
प्रक्षेप्य गुरुत्वाकर्षण के तहत ऊर्ध्वाधर पथ पर $g$ के बराबर एकसमान त्वरण $(a_y = -g)$ के साथ गति करता है।
मान लीजिए कि प्रक्षेप्य को $X$-अक्ष के साथ $\theta_0$ कोण पर $\vec{v}_0$ वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। त्वरण $\vec{a} = -g \hat{j}$ है।
प्रारंभिक वेग के घटक हैं:
$v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$
$v_{0y} = v_0 \sin \theta_0$
गति के समीकरण $r = r_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए:
$X$-निर्देशांक के लिए:
$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2 = 0 + (v_0 \cos \theta_0) t + 0 = v_0 \cos \theta_0 t$
$Y$-निर्देशांक के लिए:
$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + (v_0 \sin \theta_0) t - \frac{1}{2} g t^2 = v_0 \sin \theta_0 t - \frac{1}{2} g t^2$
अतः,किसी भी क्षण $t$ पर कण की स्थिति $(x(t), y(t)) = (v_0 \cos \theta_0 t, v_0 \sin \theta_0 t - \frac{1}{2} g t^2)$ द्वारा दी जाती है।

(N/A) परिभाषा: हवा में फेंकी गई कोई वस्तु,जो केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करती है,उसे प्रक्षेप्य कहा जाता है और इसकी गति को प्रक्षेप्य गति कहा जाता है।
व्युत्पत्ति:
मान लीजिए कि एक वस्तु को क्षैतिज के साथ $\theta_0$ कोण पर $v_0$ के प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। प्रारंभिक वेग के घटक $v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$ और $v_{0y} = v_0 \sin \theta_0$ हैं।
समय $t$ पर क्षैतिज स्थिति:
$x = (v_0 \cos \theta_0)t \implies t = \frac{x}{v_0 \cos \theta_0} \quad \dots(1)$
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर स्थिति:
$y = (v_0 \sin \theta_0)t - \frac{1}{2}gt^2 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से $t$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$y = (v_0 \sin \theta_0) \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta_0} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta_0} \right)^2$
सरल करने पर:
$y = x \tan \theta_0 - \frac{g}{2(v_0 \cos \theta_0)^2}x^2$
यह प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण है।

(N/A) परास $(R)$ को प्रक्षेप्य द्वारा उसकी प्रारंभिक स्थिति $(x=0, y=0)$ से अंतिम स्थिति $(x=R, y=0)$ तक तय की गई क्षैतिज दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ वह वापस उसी क्षैतिज स्तर पर आ जाता है।
किसी भी समय $t$ पर,क्षैतिज स्थिति $x = (v_0 \cos \theta_0) t$ द्वारा दी जाती है।
उड्डयन काल $t_F$ पर,क्षैतिज दूरी $R = (v_0 \cos \theta_0) t_F$ होती है।
चूंकि उड्डयन काल $t_F = \frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$ है,इसे परास के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$R = (v_0 \cos \theta_0) \left( \frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g} \right)$
$R = \frac{v_0^2 (2 \sin \theta_0 \cos \theta_0)}{g}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta_0 = 2 \sin \theta_0 \cos \theta_0$ का उपयोग करने पर:
$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta_0}{g}$
अधिकतम परास $(R_{\max})$ के लिए,$\sin 2\theta_0$ का मान अधिकतम,अर्थात $1$ होना चाहिए।
$\sin 2\theta_0 = 1 \implies 2\theta_0 = 90^\circ \implies \theta_0 = 45^\circ$.
$\sin 2\theta_0 = 1$ को परास के सूत्र में रखने पर:
$R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$.

(N/A) प्रक्षेप्य गति (projectile motion) उस गति का रूप है जो किसी वस्तु या कण (प्रक्षेप्य) द्वारा अनुभव की जाती है,जिसे पृथ्वी की सतह के पास प्रक्षेपित किया जाता है और वह केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में एक वक्र पथ पर गति करता है। प्रक्षेप्य द्वारा तय किए गए पथ को उसका प्रक्षेप पथ (trajectory) कहा जाता है।
प्रक्षेप्य कण (projectile particle) कोई भी ऐसी वस्तु है जिसे प्रारंभिक वेग दिया जाता है और फिर उसे केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में अंतरिक्ष में गति करने के लिए छोड़ दिया जाता है। इसके उदाहरणों में हवा में फेंकी गई गेंद,बंदूक से चलाई गई गोली,या किसी एथलीट द्वारा फेंका गया भाला शामिल हैं।

(N/A) प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{v_{0}^2 \sin(2\theta_{0})}{g}$,जहाँ $v_{0}$ प्रारंभिक वेग है,$\theta_{0}$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है $(v_{y} = 0)$।
अतः,अधिकतम ऊँचाई पर प्रक्षेप्य का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है: $v = v_{x} = v_{0} \cos \theta_{0}$।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
परास $R$ को अधिकतम करने के लिए,$\sin(2\theta)$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin(2\theta)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब $2\theta = 90^{\circ}$ हो।
इसलिए,$\theta = 45^{\circ}$।
अतः,अधिकतम परास प्राप्त करने के लिए कण को $45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए।

(N/A) क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $u$ प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$।
$1$. परास $R$ का मान निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
- प्रारंभिक वेग $(u)$: $R$ प्रारंभिक वेग के वर्ग $(u^2)$ के सीधे समानुपाती होता है।
- प्रक्षेपण कोण $(\theta)$: $R$ प्रक्षेपण कोण के दोगुने के ज्या $(\sin(2\theta))$ पर निर्भर करता है।
- गुरुत्वीय त्वरण $(g)$: $R$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$2$. परास का अधिकतम मान $(R_{max})$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
- प्रारंभिक वेग $(u)$: $R_{max} = \frac{u^2}{g}$। अतः,यह प्रारंभिक वेग के वर्ग $(u^2)$ पर निर्भर करता है।
- गुरुत्वीय त्वरण $(g)$: $R_{max}$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(C) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$ $0$ हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक $(v_x)$ स्थिर $(u \cos \theta)$ रहता है।
अतः,परिणामी वेग सदिश पूरी तरह से क्षैतिज दिशा में होता है।
प्रक्षेप्य का त्वरण हमेशा गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ होता है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
चूंकि वेग क्षैतिज है और त्वरण ऊर्ध्वाधर है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(C) दोनों गेंदें जमीन पर एक साथ पहुँचेंगी।
चूँकि दोनों गेंदों को समान ऊँचाई $h$ से छोड़ा जाता है और उनका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक शून्य $(u_y = 0)$ है,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगा समय ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा निर्धारित होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h$ और $g$ दोनों गेंदों के लिए समान हैं,इसलिए दोनों गेंदों के लिए समय $t$ समान होगा।

(B) $(i)$ प्रक्षेप्य की चाल उसके पथ के उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम होती है,जहाँ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ शेष रहता है।
$(ii)$ प्रक्षेपण बिंदु पर और उस बिंदु पर जहाँ प्रक्षेप्य जमीन से टकराता है,चाल अधिकतम होती है,क्योंकि इन बिंदुओं पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक अपने अधिकतम परिमाण पर होता है।

(B) अधिकतम परास प्राप्त करने के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ होना चाहिए।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और प्रक्षेप्य के पास केवल वेग का क्षैतिज घटक शेष रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v_0 \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $v_x = v_0 \cos 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos 45^{\circ} = 1 / \sqrt{2}$,इसलिए अधिकतम ऊँचाई पर वेग $v = v_0 / \sqrt{2}$ होगा।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{g}$ है।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta_0)}{2g}$ है।
दिया गया है कि $R = nH$,अतः सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_0^2 (2 \sin \theta_0 \cos \theta_0)}{g} = n \left( \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \right)$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $v_0^2$,$g$,और $\sin \theta_0$ को हटाने पर:
$2 \cos \theta_0 = n \left( \frac{\sin \theta_0}{2} \right)$.
$\tan \theta_0$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\sin \theta_0}{\cos \theta_0} = \frac{4}{n}$.
अतः,$\tan \theta_0 = \frac{4}{n}$,जिसका अर्थ है कि $\theta_0 = \tan^{-1}(\frac{4}{n})$.

(B) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम ऊँचाई के लिए,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $\sin \theta = 1$ है।
अतः,$H_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = h$ है।
इससे हमें $v_0^2 = 2gh$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम क्षैतिज परास के लिए,$\theta = 45^\circ$,इसलिए $\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$ है।
अतः,$R_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{g}$ है।
$R_{\text{max}}$ के समीकरण में $v_0^2 = 2gh$ रखने पर,हमें $R_{\text{max}} = \frac{2gh}{g} = 2h$ प्राप्त होता है।

(A) प्रक्षेप्य के लिए उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}$ होता है।
$\theta$ कोण पर प्रक्षेपित पहले पिंड के लिए,उड्डयन काल $T_1 = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}$ है।
$(90^\circ - \theta)$ कोण पर प्रक्षेपित दूसरे पिंड के लिए,उड्डयन काल $T_2 = \frac{2 v_0 \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2 v_0 \cos \theta}{g}$ है।
उनके उड्डयन काल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2 v_0 \sin \theta}{g}}{\frac{2 v_0 \cos \theta}{g}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ है।
अतः,अनुपात $\tan \theta : 1$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{v_{0}^{2} \sin(2\theta)}{g}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\theta_{1} = 15^{\circ}$ और $R_{1} = 1.5 \ km$ है।
$1.5 = \frac{v_{0}^{2} \sin(2 \times 15^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin(30^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2}}{2g}$.
अतः,$\frac{v_{0}^{2}}{g} = 1.5 \times 2 = 3.0 \ km$.
दूसरी स्थिति के लिए,$\theta_{2} = 45^{\circ}$ है।
परास $R_{2} = \frac{v_{0}^{2} \sin(2 \times 45^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{v_{0}^{2}}{g}$.
प्रथम स्थिति से $\frac{v_{0}^{2}}{g}$ का मान रखने पर,हमें $R_{2} = 3.0 \ km$ प्राप्त होता है।

(N/A) $v_{x} = \text{वेग का क्षैतिज घटक} = v \cos \theta = \text{स्थिरांक}$
$v_{y} = \text{वेग का ऊर्ध्वाधर घटक} = v \sin \theta$
वेग हमेशा गति की दिशा में वक्र के स्पर्शरेखीय होता है,और त्वरण हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होता है और $g$ के बराबर होता है।

(N/A) फुटपाथ पर खड़े व्यक्ति द्वारा देखी गई गेंद का पथ परवलयाकार (parabolic) होता है।
जब गेंद को उछाला जाता है,तो उसमें वेग के दो घटक होते हैं: उछाल के कारण एक ऊर्ध्वाधर घटक $(u_y)$ और कार के स्थिर वेग के बराबर एक क्षैतिज घटक $(u_x)$।
चूंकि गेंद पर कोई क्षैतिज त्वरण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए पूरी उड़ान के दौरान क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।
साथ ही,गेंद गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होती है,जो नीचे की ओर एक स्थिर त्वरण $(g)$ उत्पन्न करता है।
समान क्षैतिज गति और समान रूप से त्वरित ऊर्ध्वाधर गति के संयोजन के परिणामस्वरूप फुटपाथ पर खड़े स्थिर प्रेक्षक के सापेक्ष गेंद का प्रक्षेप पथ परवलयाकार होता है।

(D) मान लीजिए फील्डर का वेग $\vec{u} = u\hat{i}$ है और फील्डर के सापेक्ष गेंद का वेग $\vec{v}_{rel} = v_{0}\cos\theta\hat{i} + v_{0}\sin\theta\hat{j}$ है।
$(a)$ जमीन के सापेक्ष गेंद का वेग $\vec{v} = (u + v_{0}\cos\theta)\hat{i} + (v_{0}\sin\theta)\hat{j}$ है। प्रभावी कोण $\alpha$ को $\tan\alpha = \frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{u + v_{0}\cos\theta}\right)$।
$(b)$ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_{y} = v_{0}\sin\theta$ है। उड़ान का समय $T = \frac{2v_{y}}{g} = \frac{2v_{0}\sin\theta}{g}$ है।
$(c)$ क्षैतिज परास $R = v_{x}T = (u + v_{0}\cos\theta)\left(\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}\right) = \frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$ है।
$(d)$ $R$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dR}{d\theta} = 0$ रखें: $\frac{d}{d\theta}\left[\frac{2uv_{0}\sin\theta + v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}\right] = 0 \Rightarrow 2uv_{0}\cos\theta + 2v_{0}^{2}\cos(2\theta) = 0 \Rightarrow v_{0}\cos(2\theta) = -u\cos\theta$।
$(e)$ $v_{0}(2\cos^{2}\theta - 1) = -u\cos\theta$ को हल करने पर,हमें $2v_{0}\cos^{2}\theta + u\cos\theta - v_{0} = 0$ प्राप्त होता है। $\cos\theta$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos\theta = \frac{-u + \sqrt{u^{2} + 8v_{0}^{2}}}{4v_{0}}$। जैसे-जैसे $u$ बढ़ता है,$\cos\theta$ घटता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ बढ़ता है।
$(f)$ $u=0$ के लिए,$\theta = 45^{\circ}$। यदि $u > 0$ है,तो अतिरिक्त क्षैतिज वेग $u$ की भरपाई करने के लिए $\theta < 45^{\circ}$ होना चाहिए।

(A) प्रक्षेप्य गति के प्रक्षेप पथ की अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$ शून्य हो जाता है। अतः,$(1)$ का मिलान $(b)$ से होता है।
प्रक्षेप पथ के किसी भी बिंदु पर रेखीय वेग सदिश हमेशा परवलयाकार पथ के स्पर्शरेखीय दिशा में होता है। अतः,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $(1-b, 2-a)$ है।

(A) जब किसी वस्तु को क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है,तो प्रारंभिक वेग सदिश जमीन के समानांतर होता है,इसलिए प्रक्षेपण कोण $\theta = 0^o$ होता है। अतः,$(1)$ का मिलान $(b)$ से होता है।
प्रक्षेप्य गति में,वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। इसलिए,त्वरण का क्षैतिज घटक $0$ होता है। अतः,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
सही मिलान $(1-b, 2-a)$ है।

(C) प्रक्षेप्य गति के दौरान अधिकतम ऊँचाई $(h)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
चूँकि प्रक्षेपण कोण $(\theta)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए अधिकतम ऊँचाई प्रारंभिक वेग $(u)$ के वर्ग के समानुपाती होती है:
$h \propto u^2$
घात फलन के लिए सापेक्ष त्रुटि या प्रतिशत परिवर्तन की अवधारणा का उपयोग करते हुए:
$\frac{\Delta h}{h} \times 100 = 2 \times \left( \frac{\Delta u}{u} \times 100 \right)$
यह दिया गया है कि वेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta u}{u} \times 100 = 2 \%$ है,इसलिए:
$\frac{\Delta h}{h} \times 100 = 2 \times 2 \% = 4 \%$
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई में प्रतिशत परिवर्तन $4 \%$ है।

(A) प्रक्षेपपथ का दिया गया समीकरण $y = \alpha x - \beta x^2$ है।
इसे प्रक्षेप्य प्रक्षेपपथ के मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ के साथ तुलना करने पर।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = \alpha$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} \alpha$।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\beta = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$u^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $u^2 = \frac{g}{2\beta \cos^2 \theta}$ मिलता है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
सूत्र में $u^2$ का मान रखने पर: $H = \frac{g}{2\beta \cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{2g} = \frac{\tan^2 \theta}{4\beta}$।
चूँकि $\tan \theta = \alpha$,इसलिए $H = \frac{\alpha^2}{4\beta}$।

(C) अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
मान रखने पर: $H = \frac{(25)^2 \cdot (\sin 45^{\circ})^2}{2 \times 10} = \frac{625 \times 0.5}{20} = \frac{312.5}{20} = 15.625\, m$.
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगे समय का सूत्र $T = \frac{u \sin \theta}{g}$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{25 \times \sin 45^{\circ}}{10} = \frac{25 \times 0.707}{10} = 2.5 \times 0.707 = 1.7675\, s \approx 1.77\, s$.