Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,परास अधिकतम ऊँचाई की दोगुनी है,इसलिए $R = 2H$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$।
समीकरण को सरल करने पर: $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$।
दोनों पक्षों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $\sin \theta \neq 0$): $2 \cos \theta = \sin \theta$।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$।
इस प्रकार,प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}(2)$ है।

(D) उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u_y}{g}$ है,जहाँ $u_y$ प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक है।
दिया गया है $T = 3\,s$ और $g = 10\,m/s^2$,अतः $3 = \frac{2u_y}{10}$।
$u_y$ के लिए हल करने पर,हमें $u_y = \frac{3 \times 10}{2} = 15\,m/s$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g}$ है।
मान रखने पर,$H = \frac{(15)^2}{2 \times 10} = \frac{225}{20} = 11.25\,m$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ है,जहाँ $\alpha$ प्रक्षेपण कोण है।
दिया गया है कि $\theta$ और $2\theta$ कोणों के लिए परास समान है,इसलिए:
$\sin(2\theta) = \sin(2(2\theta)) = \sin(4\theta)$.
$\sin(A) = \sin(B)$ के लिए,सामान्य समाधान $A = 180^{\circ} - B$ होता है।
अतः,$2\theta = 180^{\circ} - 4\theta$.
$6\theta = 180^{\circ}$.
$\theta = 30^{\circ}$.

(A) गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ है।
चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए गेंद का क्षैतिज वेग उसकी पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।
गेंद को पकड़ने के लिए,लड़के को समान समय में गेंद के बराबर ही क्षैतिज दूरी तय करनी होगी।
इसलिए,लड़के को गेंद के क्षैतिज वेग के बराबर एक स्थिर क्षैतिज वेग से दौड़ना चाहिए।
अतः,लड़के का आवश्यक वेग $v = u \cos \theta$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
चूंकि तीनों गेंदों के लिए प्रारंभिक गति $u$ समान है,इसलिए परास $\sin(2\theta)$ पर निर्भर करती है।
$\theta_1 = 30^{\circ}$ के लिए,$R_1 \propto \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
$\theta_2 = 45^{\circ}$ के लिए,$R_2 \propto \sin(90^{\circ}) = 1$.
$\theta_3 = 60^{\circ}$ के लिए,$R_3 \propto \sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
चूंकि $30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$ है,पूरक कोणों के लिए परास समान होती है,इसलिए $R_1 = R_3$.
चूंकि $\sin(90^{\circ})$ साइन फलन का अधिकतम मान है,इसलिए $R_2$ अधिकतम परास है।
अतः,$R_1 = R_3 < R_2$.

(B) दिया गया है:
परास $R = 200\,m$
उड्डयन काल $T = 5\,s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
$1$. वेग का क्षैतिज घटक $(u_x)$:
क्षैतिज परास का सूत्र $R = u_x \times T$ है।
अतः,$u_x = \frac{R}{T} = \frac{200}{5} = 40\,m/s$.
$2$. अधिकतम ऊँचाई $(H)$:
उड्डयन काल का सूत्र $T = \frac{2u_y}{g}$ है,जहाँ $u_y$ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक है।
$5 = \frac{2u_y}{10} \implies 2u_y = 50 \implies u_y = 25\,m/s$.
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g}$ है।
$H = \frac{(25)^2}{2 \times 10} = \frac{625}{20} = 31.25\,m$.
अतः,वेग का क्षैतिज घटक $40\,m/s$ और अधिकतम ऊँचाई $31.25\,m$ है।

(A) क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
अधिकतम परास के लिए,$\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 160 \ m$ है।
अतः,$u^2 = 160g$ है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है $\theta = 30^{\circ}$,इसलिए $\sin 30^{\circ} = 0.5$ है।
मान रखने पर: $H = \frac{160g \times (\sin 30^{\circ})^2}{2g} = \frac{160 \times (0.5)^2}{2} = \frac{160 \times 0.25}{2} = \frac{40}{2} = 20 \ m$।

(A) दो प्रक्षेप्यों के लिए समान प्रक्षेप पथ का अनुसरण करने हेतु,उनकी अधिकतम ऊँचाई $(H)$ और क्षैतिज परास $(R)$ समान होनी चाहिए।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि प्रक्षेप पथ समान हैं,इसलिए दोनों के लिए प्रक्षेपण कोण $\theta$ समान है।
ऊँचाइयों की तुलना करने पर: $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta}{2g_1} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta}{2g_2}$.
दिए गए मानों को रखने पर ($u_1 = 10 \, m/s$,$u_2 = 5 \, m/s$,और $g_1 = 10 \, m/s^2$):
$\frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{5^2}{2 \times g_2}$.
$\frac{100}{20} = \frac{25}{2g_2}$.
$5 = \frac{12.5}{g_2}$.
$g_2 = \frac{12.5}{5} = 2.5 \, m/s^2$.

(D) गोली क्षैतिज रूप से यात्रा करती है,इसलिए इसका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है।
दिया गया है: क्षैतिज दूरी $S_x = 100\,m$,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = 10\,cm = 0.1\,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$।
ऊर्ध्वाधर दिशा में गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$।
चूंकि $u_y = 0$,इसलिए $h = \frac{1}{2} g t^2$।
मान रखने पर: $0.1 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$।
$0.1 = 5 t^2 \implies t^2 = 0.02 \implies t = \sqrt{0.02} \approx 0.1414\,s$।
क्षैतिज दिशा में,वेग $v_x$ स्थिर रहता है: $v_x = \frac{S_x}{t}$।
$v_x = \frac{100}{0.1414} \approx 707\,m/s$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $700\,m/s$ है।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 19.6 \sqrt{2} \ m/s$ और कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos(45^{\circ}) = 19.6 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 19.6 \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin(45^{\circ}) = 19.6 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 19.6 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ समय के बाद,क्षैतिज वेग स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 19.6 \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y - gt = 19.6 - (9.8 \times 2) = 19.6 - 19.6 = 0 \ m/s$ होता है।
चूंकि वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0 \ m/s$ है,इसलिए वेग सदिश पूरी तरह से क्षैतिज है।
अतः,क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 0^{\circ}$ है।

(A) पिंड का प्रारंभिक संवेग $p = mv$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ प्रारंभिक वेग है।
गति के दौरान क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण न होने के कारण वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
वेग का प्रारंभिक क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 30^{\circ} = v \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और पिंड का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है,अर्थात $v_h = v_x = v \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,उच्चतम बिंदु पर संवेग $p' = m v_h = m (v \frac{\sqrt{3}}{2}) = p \frac{\sqrt{3}}{2}$ होगा।

(C) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूँकि प्रक्षेपण कोण $\theta$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर हैं,इसलिए $H \propto u^2$ है।
यदि $H$ में $10\,\%$ की वृद्धि होती है,तो $H' = 1.10 H$ होगा।
चूँकि $H' / H = (u' / u)^2$,इसलिए $(u' / u)^2 = 1.10$,जिसका अर्थ है $u' / u = \sqrt{1.10} \approx 1.0488$।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
यहाँ भी $\theta$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto u^2$ है।
अतः,परास में प्रतिशत वृद्धि $H$ में हुई प्रतिशत वृद्धि के समान ही होगी,जो कि $10\,\%$ है।

(B) प्रक्षेप्य की परास $R$ और अधिकतम ऊँचाई $H$ इस प्रकार दी जाती है:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$
$H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
अनुपात $R/H$ लेने पर:
$\frac{R}{H} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} \times \frac{2g}{u^2 \sin^2\theta} = 4 \cot\theta$
अतः,$\frac{R}{H} = 4 \cot\theta$ या $\tan\theta = \frac{4H}{R}$.
$A. R/H = 1$ के लिए: $1 = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = 4 \implies \theta = \tan^{-1}(4) = 76^o$ ($4$ से मेल खाता है)।
$B. R/H = 4$ के लिए: $4 = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = 1 \implies \theta = 45^o$ ($3$ से मेल खाता है)।
$C. R/H = 4\sqrt{3}$ के लिए: $4\sqrt{3} = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = 1/\sqrt{3} \implies \theta = 30^o$ ($2$ से मेल खाता है)।
$D. R/H = 4/\sqrt{3}$ के लिए: $4/\sqrt{3} = 4 \cot\theta \implies \tan\theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^o$ ($1$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान $A-4, B-3, C-2, D-1$ है।

(B) कोणीय संवेग $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} \times m\overrightarrow{v}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है,और वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो $v_x = v \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}v}{2}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ का क्षैतिज घटक आधे समय की क्षैतिज दूरी के बराबर होता है,लेकिन सदिश गुणनफल $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}$ का मान $L = m \cdot v_x \cdot h$ हो जाता है।
अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{v^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{v^2 (1/4)}{2g} = \frac{v^2}{8g}$ है।
इन मानों को कोणीय संवेग के सूत्र में रखने पर:
$L = m \cdot \left( \frac{\sqrt{3}v}{2} \right) \cdot \left( \frac{v^2}{8g} \right) = \frac{\sqrt{3}mv^3}{16g}$.

(C) क्षैतिज स्थिति $x = u_x t$ द्वारा दी जाती है। $t = 2\,s$ पर $x = 40\,m$ दिया गया है,इसलिए $40 = u_x \times 2$,जिससे $u_x = 20\,m/s$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दी जाती है। $t = 2\,s$ पर $y = 50\,m$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $50 = u_y(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$।
$50 = 2u_y - 20$,जिसका अर्थ है $2u_y = 70$,इसलिए $u_y = 35\,m/s$।
प्रक्षेपण कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{u_y}{u_x}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\frac{7}{4})$।

(C) माना कि गोली को लक्ष्य तक पहुँचने में लगा समय $t$ है।
क्षैतिज दूरी $d = 700 \; m$ और क्षैतिज वेग $v_x = 630 \; m/s$ है।
चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए $t = \frac{d}{v_x} = \frac{700}{630} = \frac{10}{9} \; s$.
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,गोली गुरुत्वाकर्षण के अधीन है। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h$ (नीचे की ओर गिरावट) $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है,इसलिए $h = \frac{1}{2} g t^2$.
मान रखने पर: $h = \frac{1}{2} \times 10 \times \left( \frac{10}{9} \right)^2$.
$h = 5 \times \frac{100}{81} = \frac{500}{81} \approx 6.17 \; m$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाली गिरावट की भरपाई के लिए राइफल को लक्ष्य के केंद्र से $6.17 \; m$ ऊपर निशाना लगाना चाहिए।

(B) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण इस प्रकार है: $y = x \tan \theta \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$,जहाँ $R$ क्षैतिज परास (Range) है।
दिया गया है: $\theta = 45^o$,$x = 4 \, m$ (प्रक्षेपण बिंदु से दीवार की दूरी),और कुल परास $R = 4 \, m + 6 \, m = 10 \, m$ है।
इन मानों को प्रक्षेप पथ के समीकरण में रखने पर:
$y = 4 \tan(45^o) \left( 1 - \frac{4}{10} \right)$
$y = 4 \times 1 \times (1 - 0.4)$
$y = 4 \times 0.6 = 2.4 \, m$.
अतः,दीवार की ऊँचाई $2.4 \, m$ है।

(A) $v$ गति से दागे गए प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास $R$ का मान $R = \frac{v^2}{g}$ होता है।
चूंकि गोलियां सभी संभावित दिशाओं में दागी जाती हैं,इसलिए जमीन पर कवर किया गया क्षेत्र $A$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $R$ है।
अतः,क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 = \frac{\pi v^4}{g^2}$ होगा।
इसका अर्थ है कि क्षेत्रफल $A \propto v^4$ है।
दी गई गतियां $v_A = 1 \ km/s$ और $v_B = 2 \ km/s$ हैं।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_A}{A_B} = \left( \frac{v_A}{v_B} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$ है।
इसलिए,अनुपात $1:16$ है।

(B) प्रारंभिक वेग के घटक: $u_x = 10 \cos 60^\circ = 5\,ms^{-1}$ और $u_y = 10 \sin 60^\circ = 5\sqrt{3}\,ms^{-1}$ हैं।
$t = 1\,s$ पर,वेग के घटक:
$v_x = u_x = 5\,ms^{-1}$
$v_y = u_y - gt = 5\sqrt{3} - 10(1) = 5\sqrt{3} - 10\,ms^{-1}$ हैं।
$t = 1\,s$ पर चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3} - 10)^2} = \sqrt{25 + (75 + 100 - 100\sqrt{3})} = \sqrt{200 - 100\sqrt{3}} \approx \sqrt{26.8} \approx 5.17\,ms^{-1}$ है।
वक्रता त्रिज्या $R = \frac{v^2}{a_{\perp}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_{\perp}$ वेग के लंबवत त्वरण का घटक है।
वेग सदिश द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है: $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{5\sqrt{3} - 10}{5} = \sqrt{3} - 2 \approx -0.268$। अतः,$\theta \approx -15^\circ$ है।
त्वरण $g$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। वेग के लंबवत $g$ का घटक $a_{\perp} = g \cos \theta$ है।
$R = \frac{v^2}{g \cos \theta} = \frac{200 - 100\sqrt{3}}{10 \cos(-15^\circ)} = \frac{26.8}{10 \times 0.966} \approx 2.77\,m \approx 2.8\,m$।

(A) प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta_0 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0}$ है।
दिए गए समीकरण $y = 2x - 9x^2$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. $\tan \theta_0 = 2$. अतः $\cos \theta_0 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ और $\sin \theta_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$2$. $\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} = 9$.
$g = 10$ और $\cos^2 \theta_0 = \frac{1}{5}$ रखने पर:
$\frac{10}{2 v_0^2 (1/5)} = 9 \implies \frac{25}{v_0^2} = 9 \implies v_0^2 = \frac{25}{9} \implies v_0 = \frac{5}{3} \, ms^{-1}$.
अतः,$\theta_0 = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ और $v_0 = \frac{5}{3} \, ms^{-1}$ प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(C) समान परास $R$ के लिए,प्रक्षेपण कोण पूरक होने चाहिए,अर्थात $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$।
परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$।
दोनों कणों के लिए अधिकतम ऊंचाइयां हैं:
$h_1 = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g}$
$h_1$ और $h_2$ का गुणा करने पर:
$h_1 h_2 = \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right) \left( \frac{u^2 \cos^2\theta}{2g} \right) = \frac{u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{4g^2}$
$h_1 h_2 = \frac{1}{16} \left( \frac{4u^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}{g^2} \right) = \frac{1}{16} R^2$
अतः,$R^2 = 16 h_1 h_2$।

(B) प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ का समीकरण $y = 12x - \frac{3}{4}x^2$ दिया गया है।
प्रक्षेप्य की परास $R$ वह क्षैतिज दूरी है जो प्रक्षेप्य द्वारा जमीन पर वापस आने पर तय की जाती है,अर्थात जब ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$0 = 12x - \frac{3}{4}x^2$
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$0 = x(12 - \frac{3}{4}x)$
चूंकि $x = 0$ प्रारंभिक बिंदु को दर्शाता है,इसलिए परास शून्य से भिन्न हल के अनुरूप है:
$12 - \frac{3}{4}x = 0$
$\frac{3}{4}x = 12$
$x = 12 \times \frac{4}{3}$
$x = 16\,m$
अतः,प्रक्षेप्य की परास $16\,m$ है।

(C) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर है। क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ है।
जब कण एक ऐसे बिंदु पर होता है जहाँ उसका वेग $v$ क्षैतिज के साथ $\phi$ कोण पर है,तो इस वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \phi$ होता है।
चूंकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है,इसलिए $v_x = u_x$ होगा।
अतः,$v \cos \phi = u \cos \theta$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \frac{u \cos \theta}{\cos \phi} = u \cos \theta \sec \phi$ प्राप्त होता है।

(D) अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। चूँकि $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $R = \frac{u^2}{g}$।
दिया गया है $R = 100 \, km = 10^5 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$,अतः $u^2 = gR = 10 \times 10^5 = 10^6 \, m^2/s^2$,जिससे $u = 1000 \, m/s$ प्राप्त होता है।
कुल उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 1000 \times \sin(45^{\circ})}{10} = 200 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \, s$ है।
मिसाइल का पता उसके आधे रास्ते (क्षैतिज दूरी के संदर्भ में) पर चलता है,जो उसके प्रक्षेप पथ का उच्चतम बिंदु है।
उच्चतम बिंदु से जमीन तक पहुँचने का समय $t = \frac{u \sin \theta}{g} = \frac{1000 \times (1/\sqrt{2})}{10} = \frac{100}{\sqrt{2}} \, s$ है।

(C) अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है। परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{u^2}{g} = 10^5 \, m$ है। अतः,$u^2 = gR = 10 \times 10^5 = 10^6$,जिससे $u = 1000 \, m/s$ प्राप्त होता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos(45^{\circ}) = 1000 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 500\sqrt{2} \, m/s$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,ऊर्ध्वाधर घटक $0$ होता है। परास के आधे रास्ते पर,मिसाइल अपनी अधिकतम ऊँचाई पर होती है। इसलिए,पहचाने जाने के समय मिसाइल की गति उसके क्षैतिज घटक के बराबर यानी $500\sqrt{2} \, m/s$ होती है।

(A) अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ होता है। परास $R = 100\, km = 10^5\, m$ दिया गया है।
परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। चूँकि $\sin(90^\circ) = 1$,इसलिए $R = \frac{u^2}{g}$,जिससे $u^2 = Rg$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$u^2 = Rg$ और $\theta = 45^\circ$ $(\sin^2 45^\circ = 1/2)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$H = \frac{(Rg) \times (1/2)}{2g} = \frac{R}{4}$.
चूँकि $R = 10^5\, m$ दिया गया है,इसलिए $H = \frac{10^5}{4} = 2.5 \times 10^4\, m$ प्राप्त होता है।

(C) प्रक्षेप्य प्रक्षेप्य बिंदु से $x = \sqrt{3} H$ की क्षैतिज दूरी पर अपनी अधिकतम ऊँचाई $H$ तक पहुँचता है।
एक प्रक्षेप्य के लिए,अधिकतम ऊँचाई तक की क्षैतिज दूरी परास (Range) की आधी होती है,अर्थात $x = R/2$।
हम परास $R$ और अधिकतम ऊँचाई $H$ के सूत्र जानते हैं:
$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$
दिया गया है $x = R/2 = \sqrt{3} H$,अतः:
$\frac{R}{2H} = \sqrt{3}$
$R$ और $H$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{\frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g}}{2 \left(\frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}\right)} = \sqrt{3}$
$\frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \cdot \frac{g}{v_0^2 \sin^2 \theta} = \sqrt{3}$
$2 \cot \theta = \sqrt{3}$
$\cot \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\,kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (4 \hat{i} + 4 \hat{j})\,m/s$,बल $\vec{F} = -20 \hat{j}\,N$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-20 \hat{j}}{2} = -10 \hat{j}\,m/s^2$.
$y$-गति के लिए: $u_y = 4\,m/s$,$a_y = -10\,m/s^2$,प्रारंभिक $y_0 = 0$। $y$-निर्देशांक शून्य होता है जब विस्थापन $y = 0$ हो।
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करने पर,$0 = 4t - 5t^2$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t(4 - 5t) = 0$। चूंकि $t \neq 0$,इसलिए $t = \frac{4}{5} = 0.8\,s$।
$x$-गति के लिए: $u_x = 4\,m/s$,$a_x = 0$।
$x$-निर्देशांक $x = u_x t = 4 \times 0.8 = 3.2\,m$ होगा।

(B) वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 20 \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,m/s$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,m/s$ है।
$x = 10\,m$ की दूरी पर दीवार तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{x}{u_x} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,s$ है।
वह ऊँचाई $y$ जिस पर गेंद दीवार से टकराएगी,प्रक्षेप्य पथ के समीकरण द्वारा दी जाती है: $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
मान रखने पर ($g = 10\,m/s^2$ लेते हुए): $y = (10\sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
$y = 10 - 5 \times \frac{1}{2} = 10 - 2.5 = 7.5\,m$.

(A) मान लीजिए कि क्षैतिज दिशा $x$-अक्ष है और ऊर्ध्वाधर दिशा $y$-अक्ष है।
समय $t$ पर,पहले कण का वेग सदिश $\vec{v}_1 = u_1 \hat{i} - gt \hat{j}$ है।
दूसरे कण का वेग सदिश $\vec{v}_2 = -u_2 \hat{i} - gt \hat{j}$ है।
चूंकि वेग परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
$(u_1 \hat{i} - gt \hat{j}) \cdot (-u_2 \hat{i} - gt \hat{j}) = 0$.
$-u_1 u_2 + g^2 t^2 = 0$.
$g^2 t^2 = u_1 u_2$.
$t = \frac{\sqrt{u_1 u_2}}{g}$.

(C) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = a \hat{i} + b \hat{j}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $u_x = a$ और $u_y = b$ है।
प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,परास अधिकतम ऊँचाई की दोगुनी है: $R = 2H$.
$R$ और $H$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
चूँकि $b \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $b/g$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2a = b$ या $b = 2a$ प्राप्त होता है।

(D) पहली गेंद को लंबवत ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए इसकी अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी गेंद को क्षैतिज से $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए इसकी अधिकतम ऊँचाई $h' = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{u^2}{2g} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \times \frac{u^2}{2g} = \frac{h}{4}$ द्वारा दी जाती है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ होती है।
उनकी स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{mgh}{mgh'} = \frac{h}{h/4} = \frac{4}{1}$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रक्षेप्य $A$ को $v_1$ वेग से क्षैतिज के साथ $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर फेंका जाता है।
प्रक्षेप्य $A$ द्वारा अपनी अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \frac{v_1 \sin \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,प्रक्षेप्य $A$ का ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है,और इसके पास केवल क्षैतिज वेग घटक $v_x = v_1 \cos \theta$ बचता है।
दो प्रक्षेप्यों के टकराने के लिए,उन्हें एक ही समय पर एक ही बिंदु पर पहुँचना चाहिए। चूँकि $B$ को $A$ की अधिकतम ऊँचाई के ठीक नीचे स्थित बिंदु $Q$ से फेंका जाता है,इसलिए उनके बीच की क्षैतिज दूरी $A$ द्वारा $t$ समय में तय की जाती है।
$A$ की अधिकतम ऊँचाई पर टक्कर होने के लिए,$t$ समय में $B$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $A$ की अधिकतम ऊँचाई $H$ के बराबर होना चाहिए।
$A$ की अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य $B$ के लिए,$t$ समय में विस्थापन $y = v_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ है।
$t = \frac{v_1 \sin \theta}{g}$ को $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = v_2 \left( \frac{v_1 \sin \theta}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_1 \sin \theta}{g} \right)^2 = \frac{v_2 v_1 \sin \theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$y = H$ रखने पर:
$\frac{v_2 v_1 \sin \theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$\frac{v_2 v_1 \sin \theta}{g} = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{g}$.
$v_2 = v_1 \sin \theta$.
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $v_2 = v_1 \sin 30^{\circ} = v_1 \left( \frac{1}{2} \right)$.
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{2}$.

(A) प्रक्षेप्य पथ का समीकरण $y = Ax - Bx^2$ द्वारा दिया गया है।
क्षैतिज परास $R$ पर,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ का मान $0$ होता है।
समीकरण में $y = 0$ और $x = R$ रखने पर:
$0 = AR - BR^2$
$0 = R(A - BR)$
चूँकि $R \neq 0$ लैंडिंग बिंदु के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$A - BR = 0$
$BR = A$
$R = A/B$
अतः,प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $A/B$ है।

(A) वेग सदिश $\vec{v} = a\hat{i} + (b - ct)\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
इसे $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $v_x = a$ और $v_y = b - ct$ प्राप्त होता है।
कण को एक क्षैतिज तल से प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए जमीन पर वापस आते समय इसका ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य होता है।
उड्डयन काल $T$ वह समय है जब कण क्षैतिज तल पर वापस आता है,जो तब होता है जब ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 0$ हो।
समय के सापेक्ष $v_y$ का समाकलन करने पर: $y = \int (b - ct) dt = bt - \frac{1}{2}ct^2$।
$y = 0$ रखने पर,हमें $t(b - \frac{1}{2}ct) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$T = \frac{2b}{c}$।
परास $R$ समय $T$ में तय की गई क्षैतिज दूरी है: $R = v_x \times T = a \times \frac{2b}{c} = \frac{2ab}{c}$।

(A) क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिया गया है कि अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 16 \ km$ है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2(\theta)}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य कोण $\theta = 30^o$ दिया गया है,मान रखने पर:
$H = \frac{u^2 \sin^2(30^o)}{2g} = \frac{u^2}{2g} \times (\frac{1}{2})^2$.
$H = \frac{u^2}{2g} \times \frac{1}{4} = \frac{u^2}{8g}$.
चूँकि $\frac{u^2}{g} = 16 \ km$ है,इसलिए $H = \frac{16}{8} \ km = 2 \ km$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 30\,m/s$,कोण $\theta_0 = \tan^{-1}(3/4)$।
$\tan\theta_0 = 3/4$ से,हमें $\sin\theta_0 = 3/5$ और $\cos\theta_0 = 4/5$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos\theta_0 = 30 \times (4/5) = 24\,m/s$।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin\theta_0 = 30 \times (3/5) = 18\,m/s$।
$t = 1\,s$ के बाद,क्षैतिज वेग स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 24\,m/s$।
गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर वेग बदलता है: $v_y = u_y - gt = 18 - (10 \times 1) = 8\,m/s$।
क्षैतिज के साथ कोण $\theta$,$\tan\theta = v_y / v_x$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan\theta = 8 / 24 = 1/3$।

(C) क्षैतिज प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक $(v_x)$ पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।
दिया गया है,प्रारंभिक क्षैतिज वेग $v_x = 18 \, m s^{-1}$ है।
मान लीजिए कि जब वस्तु जमीन से टकराती है तो वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ है।
क्षैतिज के साथ प्रभाव का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{18}$।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{v_y}{18}$।
अतः,$v_y = 18 \, m s^{-1}$।

(C) मान लीजिए $H$ अधिकतम ऊँचाई है और $R$ प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास है।
प्रक्षेप पथ की ज्यामिति से,उच्चतम बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से $R/2$ की क्षैतिज दूरी पर स्थित है।
उन्नयन कोण $\phi$ वह कोण है जिसका टेंजेंट अधिकतम ऊँचाई और प्रक्षेपण बिंदु से उच्चतम बिंदु की क्षैतिज दूरी का अनुपात है।
इसलिए,$\tan \phi = \frac{H}{R/2}$.
मानक सूत्रों $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \phi = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{(u^2 \sin 2\theta / g) / 2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{u^2 \sin 2\theta / 2g} = \frac{\sin^2 \theta}{\sin 2\theta}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\tan \phi = \frac{\sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{2} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{2} \tan \theta$.

(B) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम क्षैतिज परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ होना चाहिए।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और क्षैतिज घटक $v_x = v \cos(\theta)$ होता है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $v_x = v \cos(45^{\circ}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2}mv_x^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right)^2$ होगी।
$K' = \frac{1}{2}m\left(\frac{v^2}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{K}{2} = 0.5K$.

(C) क्षैतिज वेग $u_x = u \cos \theta$ उस वेग के बराबर है जो $a = 3 \, ms^{-2}$ के त्वरण के साथ $t = 0.5 \, minutes = 30 \, s$ समय में विरामावस्था से प्राप्त किया जाता है।
$u_x = a \times t = 3 \times 30 = 90 \, ms^{-1}$.
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g}$ है,जहाँ $u_y = u \sin \theta$ है।
$80 = \frac{(u \sin \theta)^2}{2 \times 10} \implies (u \sin \theta)^2 = 1600 \implies u_y = 40 \, ms^{-1}$.
प्रक्षेपण कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x}$ होता है।
$\tan \theta = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(4/9)$।

(C) प्रक्षेप्य की गतिज ऊर्जा प्रक्षेपण बिंदु पर और जमीन पर अधिकतम होती है (जहाँ गति $v$ है),और उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम होती है (जहाँ गति $v \cos \theta$ है)।
दिया गया है $\frac{K_{\max}}{K_{\min}} = 9$,अतः $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2 \cos^2 \theta} = 9$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\cos^2 \theta} = 9$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{3}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{3}$,हम पाते हैं $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2}$.
परास $R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ और अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अनुपात $\frac{R}{H} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta / g}{v^2 \sin^2 \theta / 2g} = 4 \cot \theta$.
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ रखने पर,$\frac{R}{H} = 4 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = u \cos \theta \cdot T$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है,जिसका अर्थ है $u \sin \theta = \frac{gT}{2}$।
ऊर्ध्वाधर घटक को क्षैतिज घटक से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{gT/2}{R/T} = \frac{gT^2}{2R}$।
अतः,प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{gT^2}{2R} \right)$ होगा।

(B) माना कण $B$ का क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\alpha$ है।
कण $B$ को जमीन पर गति कर रहे कण $A$ से टकराने के लिए,$B$ के वेग का क्षैतिज घटक $A$ के वेग के बराबर होना चाहिए (क्योंकि $A$ क्षैतिज सतह पर $v$ की स्थिर गति से चलता है)।
अतः,$v_B \cos \alpha = v$.
यहाँ $v_B = \frac{2v}{\sqrt{3}}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2v}{\sqrt{3}} \cos \alpha = v$.
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए,क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 30^{\circ}$ है।
प्रश्न में ऊर्ध्वाधर के साथ प्रक्षेपण कोण पूछा गया है।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण = $90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u_0 \hat{i} + v_0 \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
यहाँ,वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u_0$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = v_0$ है।
$x$-दिशा में त्वरण $a_x = 0$ है और $y$-दिशा में त्वरण $a_y = -g$ है।
उड़ान का समय $T$ वह समय है जब ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य हो जाता है: $y = u_y T - \frac{1}{2} g T^2 = 0$.
$v_0 T - \frac{1}{2} g T^2 = 0 \implies T = \frac{2v_0}{g}$.
$x$-दिशा में अधिकतम विस्थापन (क्षैतिज परास $R$) $R = u_x \times T$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$R = u_0 \times \left( \frac{2v_0}{g} \right) = \frac{2u_0v_0}{g}$.

(D) प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h(t) = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u_y$ प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है।
कुल उड़ान का समय $T$ दिया गया है,इसलिए $T = \frac{2 u_y}{g}$,जिसका अर्थ है $u_y = \frac{g T}{2}$।
$t_A = \frac{T}{3}$ पर,ऊँचाई $h_A$ है:
$h_A = \left(\frac{g T}{2}\right) \left(\frac{T}{3}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{T}{3}\right)^2 = \frac{g T^2}{6} - \frac{g T^2}{18} = \frac{3 g T^2 - g T^2}{18} = \frac{2 g T^2}{18} = \frac{g T^2}{9}$।
$t_B = \frac{5T}{6}$ पर,ऊँचाई $h_B$ है:
$h_B = \left(\frac{g T}{2}\right) \left(\frac{5T}{6}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{5T}{6}\right)^2 = \frac{5 g T^2}{12} - \frac{25 g T^2}{72} = \frac{30 g T^2 - 25 g T^2}{72} = \frac{5 g T^2}{72}$।
ऊँचाइयों का अंतर $H = h_A - h_B = \frac{g T^2}{9} - \frac{5 g T^2}{72} = \frac{8 g T^2 - 5 g T^2}{72} = \frac{3 g T^2}{72} = \frac{g T^2}{24}$।

(C) गाड़ी द्वारा $80\,m$ की दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{d}{v} = \frac{80}{30} = \frac{8}{3}\,s$ है।
प्रक्षेप्य के गाड़ी पर उसी बिंदु पर वापस आने के लिए,इसे गाड़ी के सापेक्ष लंबवत ऊपर की ओर दागा जाना चाहिए। कुल उड़ान का समय $T$ गाड़ी द्वारा $80\,m$ की दूरी तय करने में लगे समय के बराबर होना चाहिए,इसलिए $T = \frac{8}{3}\,s$।
अधिकतम ऊंचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_h = \frac{T}{2} = \frac{8/3}{2} = \frac{4}{3}\,s$ है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अधिकतम ऊंचाई पर $v = 0$,$a = -g = -10\,m/s^2$,और $t = \frac{4}{3}\,s$ है:
$0 = u - 10 \times \frac{4}{3}$
$u = \frac{40}{3}\,m/s$।
अतः,प्रक्षेप्य को गाड़ी के सापेक्ष $\frac{40}{3}\,m/s$ के वेग से दागा जाना चाहिए।

(B) अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^o$ होना चाहिए।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 = 1000\,J$ है।
उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है,इसलिए वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = v \cos(45^o) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ के बराबर होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{2}) = \frac{1}{2} KE_i$ होगी।
अतः,$KE_f = \frac{1000}{2} = 500\,J$।

(B) प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u} = 1\hat{i} + 2\hat{j} \, m/s$ है।
इसे $\vec{u} = u_x\hat{i} + u_y\hat{j}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $u_x = 1 \, m/s$ और $u_y = 2 \, m/s$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 1 \, m/s$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 2 \, m/s$ है।
प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{2}{1} = 2$ और $u \cos \theta = u_x = 1$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$y = x(2) - \frac{10 \cdot x^2}{2(1)^2}$.
$y = 2x - \frac{10x^2}{2}$.
$y = 2x - 5x^2$.