Thermal Resistance and it's Combination Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $ADB$ ની લંબાઈ $l_1$ છે અને $ACB$ ની લંબાઈ $l_2$ છે. આપેલ છે કે $\frac{l_2}{l_1} = 3$,તેથી $l_2 = 3l_1$. ધારો કે $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
શરૂઆતમાં,બંને ભાગોની ઉષ્માવાહકતા $k$ છે. ઉષ્મીય અવરોધો $R_1 = \frac{l_1}{kA}$ અને $R_2 = \frac{l_2}{kA} = \frac{3l_1}{kA} = 3R_1$ છે.
કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ એ સમાંતર માર્ગોમાંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો છે: $H = H_1 + H_2 = \frac{T_1 - T_2}{R_1} + \frac{T_1 - T_2}{R_2} = (T_1 - T_2) \left( \frac{kA}{l_1} + \frac{kA}{3l_1} \right) = (T_1 - T_2) \frac{4kA}{3l_1}$.
જ્યારે $ADB$ ને $k'$ ઉષ્માવાહકતા ધરાવતી ધાતુ સાથે બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઉષ્મા પ્રવાહ $H' = 2H = 2 \left( \frac{4kA(T_1 - T_2)}{3l_1} \right) = \frac{8kA(T_1 - T_2)}{3l_1}$ થાય છે.
નવો ઉષ્મા પ્રવાહ $H' = \frac{k'A(T_1 - T_2)}{l_1} + \frac{kA(T_1 - T_2)}{3l_1}$ છે.
$H'$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{k'A(T_1 - T_2)}{l_1} + \frac{kA(T_1 - T_2)}{3l_1} = \frac{8kA(T_1 - T_2)}{3l_1}$.
$\frac{A(T_1 - T_2)}{l_1}$ વડે ભાગતા: $k' + \frac{k}{3} = \frac{8k}{3}$.
$k' = \frac{8k}{3} - \frac{k}{3} = \frac{7k}{3}$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. $B$ થી $H$ તરફ વહેતો કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{total} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક ખૂણે $(B)$ થી ઉષ્મા પ્રવેશતી અને સામેના ખૂણે $(H)$ થી બહાર નીકળતી હોય તેવા સમઘન માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = \frac{5R}{6}$ છે.
તેથી,$H_{total} = \frac{100 - 0}{5R/6} = \frac{600}{5R} = \frac{120}{R}$.
જંકશન $B$ પર,ઉષ્મા પ્રવાહ ત્રણ સમાન સળિયાઓમાં ($BA$,$BC$,$BF$) સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,સળિયા $BA$ માંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{BA} = \frac{H_{total}}{3} = \frac{120/R}{3} = \frac{40}{R}$ છે.
સળિયા $BA$ માટે ઉષ્મા પ્રવાહનું સૂત્ર વાપરતા,$H_{BA} = \frac{T_B - T_A}{R}$,જ્યાં $T_B = 100^{\circ}C$.
$\frac{40}{R} = \frac{100 - T_A}{R} \implies 40 = 100 - T_A \implies T_A = 60^{\circ}C$.

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. $B$ અને $C$ વચ્ચેના સળિયા બે સમાંતર માર્ગો બનાવે છે,જેમાં દરેક માર્ગમાં બે સળિયા શ્રેણીમાં છે. દરેક માર્ગનો અવરોધ $R + R = 2R$ છે. આ બે સમાંતર માર્ગોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$ થાય છે.
હવે,આ તંત્રને ત્રણ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે: સળિયો $AB$ (અવરોધ $R$),સમાંતર જોડાણ $BC$ (અવરોધ $R$),અને સળિયો $CD$ (અવરોધ $R$).
$A$ અને $D$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R + R = 3R$ છે.
તંત્રમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{T_A - T_D}{R_{total}} = \frac{200 - 20}{3R} = \frac{180}{3R} = \frac{60}{R}$ છે.
જંકશન $B$ પાસેનું તાપમાન સળિયા $AB$ માંથી વહેતા ઉષ્મા પ્રવાહનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$H = \frac{T_A - T_B}{R} \implies \frac{60}{R} = \frac{200 - T_B}{R}$.
$60 = 200 - T_B \implies T_B = 200 - 60 = 140^{\circ}C$.

(C) ગોળાકાર કવચ માટે ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th} = \frac{1}{4\pi K} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ગોળા માટે $(R_1 = R, R_2 = 2R)$: $R_{th1} = \frac{1}{4\pi K} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = \frac{1}{8\pi KR}$.
બાહ્ય ગોળા માટે $(R_2 = 2R, R_3 = 3R)$: $R_{th2} = \frac{1}{4\pi K} \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{3R} \right) = \frac{1}{24\pi KR}$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ બંને ગોળાઓમાંથી સમાન હોય છે: $H = \frac{T_{int} - 0}{R_{th1}} = \frac{100 - T_{int}}{R_{th2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{int}}{1/(8\pi KR)} = \frac{100 - T_{int}}{1/(24\pi KR)}$.
$T_{int} = 3(100 - T_{int}) \implies 4T_{int} = 300 \implies T_{int} = 75^oC$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો પ્રવાહ (heat current) સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે સળિયાનો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $A$ માટે: $R_1 = \frac{l_1}{K_1 A}$.
સળિયા $B$ માટે: $R_2 = \frac{l_2}{K_2 A}$.
આપેલ છે કે $l_2 = 2l_1$ અને $K_1 = 2K_2$,તેથી $K_2 = \frac{K_1}{2}$ લખી શકાય.
આ કિંમતો $R_2$ માં મૂકતા: $R_2 = \frac{2l_1}{(K_1/2)A} = \frac{4l_1}{K_1 A} = 4R_1$.
સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ સમાન રહેશે:
$H = \frac{100 - \theta}{R_1} = \frac{\theta - 0}{R_2}$.
$R_2 = 4R_1$ મૂકતા:
$\frac{100 - \theta}{R_1} = \frac{\theta}{4R_1}$.
$4(100 - \theta) = \theta$.
$400 - 4\theta = \theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^{\circ}C$.

(A) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{l}{k \cdot A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સળિયા $A$ માટે,જેની ઉષ્મીય વાહકતા $3K$,લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે:
$R_A = \frac{l}{(3K) \cdot A} = \frac{l}{3KA}$
સળિયા $B$ માટે,જેની ઉષ્મીય વાહકતા $K$,લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે:
$R_B = \frac{l}{K \cdot A} = \frac{l}{KA}$
હવે,ઉષ્મીય અવરોધોનો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\frac{l}{3KA}}{\frac{l}{KA}} = \frac{1}{3}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{3}$ થાય.

(A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા સળિયાઓ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$.
આપેલ છે કે બધા સળિયા સમાન લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવે છે,તેથી સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ છે.
આમ,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ:
$R_{eq} = \frac{l}{(K/2)A} + \frac{l}{(5K)A} + \frac{l}{KA} = \frac{l}{A} \left( \frac{2}{K} + \frac{1}{5K} + \frac{1}{K} \right)$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$R_{eq} = \frac{l}{A} \left( \frac{10 + 1 + 5}{5K} \right) = \frac{l}{A} \left( \frac{16}{5K} \right) = \frac{16l}{5KA}$.
કુલ લંબાઈ $3l$ ધરાવતા સંયુક્ત સળિયા માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય વાહકતા $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{eq} = \frac{3l}{K_{eq}A} = \frac{16l}{5KA}$.
$K_{eq}$ માટે ઉકેલતા:
$K_{eq} = \frac{3 \times 5K}{16} = \frac{15K}{16}$.

(A) ઉષ્મીય પરિપથને ઉષ્મીય અવરોધોને ધ્યાનમાં લઈને સમજી શકાય છે. સળિયા $AB$ અને $BC$ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન સળિયા $AC$ સાથે સમાંતરમાં છે.
શ્રેણી શાખા ($AB$ અને $BC$) નો ઉષ્મીય અવરોધ $R_1 = 10 + 10 = 20 \text{ units}$ છે.
સમાંતર શાખા $(AC)$ નો ઉષ્મીય અવરોધ $R_2 = 20 \text{ units}$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$R_{eq} = 10 \text{ units}$.
$A$ થી $C$ સુધીનો કુલ ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dH}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \frac{100 - 0}{10} = 10 \text{ units}$ છે.
શાખા $AB+BC$ નો અવરોધ $20 \text{ units}$ છે અને શાખા $AC$ નો અવરોધ $20 \text{ units}$ હોવાથી,કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ બંને શાખાઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,જંકશન $B$ (જે $AB+BC$ શાખાનો ભાગ છે) માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $\frac{10}{2} = 5 \text{ units}$ છે.

(B) ધારો કે પંચકોણની દરેક બાજુનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
માર્ગ $ABC$ એ શ્રેણીમાં બે બાજુઓ ધરાવે છે,તેથી તેનો અવરોધ $R_1 = R + R = 2R$ છે.
માર્ગ $AEDC$ એ શ્રેણીમાં ત્રણ બાજુઓ ધરાવે છે,તેથી તેનો અવરોધ $R_2 = R + R + R = 3R$ છે.
ધારો કે $H$ એ $A$ આગળ દાખલ થતો કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ છે. ઉષ્મા પ્રવાહ બે સમાંતર માર્ગો $ABC$ અને $AEDC$ માં એવી રીતે વહેંચાય છે કે બંને માર્ગો પર તાપમાનનો તફાવત સમાન $(T_A - T_C)$ રહે.
માર્ગ $ABC$ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_1 = \frac{T_A - T_B}{R} = \frac{T_B - T_C}{R}$. તેથી,$T_A - T_C = (T_A - T_B) + (T_B - T_C) = 2(T_B - T_C)$.
માર્ગ $AEDC$ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_2 = \frac{T_A - T_E}{R} = \frac{T_E - T_D}{R} = \frac{T_D - T_C}{R}$. તેથી,$T_A - T_C = (T_A - T_E) + (T_E - T_D) + (T_D - T_C) = 3(T_D - T_C)$.
તાપમાનના તફાવતોને સરખાવતા: $2(T_B - T_C) = 3(T_D - T_C)$.
$2T_B - 2T_C = 3T_D - 3T_C$.
$3T_C - 2T_C = 3T_D - 2T_B$.
$T_C = 3T_D - 2T_B$.

(D) ધારો કે સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન $T$ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા વહનનો દર $H$ બંને સ્લેબ માટે સમાન હોય છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સ્લેબ માટે (વાહકતા $K$,જાડાઈ $x$): $H_1 = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$.
બીજા સ્લેબ માટે (વાહકતા $2K$,જાડાઈ $4x$): $H_2 = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$.
$H_1 = H_2$ હોવાથી:
$\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$
$T_2 - T = \frac{T - T_1}{2}$
$2T_2 - 2T = T - T_1$
$3T = 2T_2 + T_1 \implies T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$.
$T$ ની કિંમત $H_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$H = \frac{KA}{x} \left( T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3} \right)$
$H = \frac{KA}{x} \left( \frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3} \right)$
$H = \frac{KA}{x} \left( \frac{T_2 - T_1}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{KA(T_2 - T_1)}{x} \right)$.
આને આપેલ સમીકરણ $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = \frac{1}{3} \approx 0.33$ મળે છે.

(D) ધારો કે $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $\ell$ એ દરેક સળિયાની લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બે સળિયાઓને $T_1 = 100^{\circ}C$ અને $T_2 = 0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા બે પાત્રો વચ્ચે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dH}{dt_1} = \frac{KA(T_1-T_2)}{\ell} + \frac{KA(T_1-T_2)}{\ell} = \frac{2KA(T_1-T_2)}{\ell}$ છે.
$q_1 \propto \frac{dH}{dt_1}$ હોવાથી,$q_1 = \frac{2KA(T_1-T_2)}{L_f \ell}$ મળે,જ્યાં $L_f$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે.
બીજા કિસ્સામાં,સળિયાઓને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = \frac{\ell}{KA} + \frac{\ell}{KA} = \frac{2\ell}{KA}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dH}{dt_2} = \frac{T_1-T_2}{R_{eq}} = \frac{KA(T_1-T_2)}{2\ell}$ છે.
આમ,$q_2 = \frac{KA(T_1-T_2)}{2 L_f \ell}$ મળે.
ગુણોત્તર $q_2/q_1 = \frac{KA(T_1-T_2) / (2 L_f \ell)}{2KA(T_1-T_2) / (L_f \ell)} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
$A$ અને $D$ વચ્ચેનો કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 100^\circ C - 0^\circ C = 100^\circ C$ છે.
સમાનતાને કારણે,બિંદુઓ $B$ અને $H$ સમાન સ્થિતિમાન (તાપમાન) પર છે,અને બિંદુઓ $C$ અને $E$ સમાન સ્થિતિમાન પર છે. તેવી જ રીતે,$G$ અને $F$ સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
ઉષ્મીય અવરોધોના પરિપથને સરળ બનાવીને,આપણે સમાંતર શાખાઓને જોડી શકીએ છીએ. $A$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $\frac{7R}{6}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
જો કે,$A$ થી $D$ સુધીના સરળ પરિપથ માર્ગને જોતા,કુલ અવરોધ $\frac{7R}{6}$ છે. $BC$ વિભાગ પર તાપમાનનો ઘટાડો સમતુલ્ય પરિપથમાં પોટેન્શિયલ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે.
$BC$ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_{BC} = \left( \frac{R_{BC}}{R_{total}} \right) \times \Delta T_{AD}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતુલ્ય પરિપથ મુજબ,$B$ અને $C$ વચ્ચેનો અવરોધ $\frac{5R}{6}$ છે અને કુલ અવરોધ $\frac{7R}{6}$ છે.
તેથી,$\Delta T_{BC} = \left( \frac{5R/6}{7R/6} \right) \times 100^\circ C = \frac{5}{7} \times 100^\circ C = \frac{500}{7} \ ^\circ C$.

(D) ધારો કે $K$ વાહકતા ધરાવતા સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{Ka}$ છે.
તેથી,$2K$ વાહકતા ધરાવતા સળિયાનો અવરોધ $R' = \frac{l}{(2K)a} = \frac{R}{2}$ થાય.
સમતુલ્ય પરિપથ આકૃતિ પરથી,ઉપરની શાખા શ્રેણીમાં ત્રણ ભાગોની બનેલી છે:
$1$. $2K$ વાહકતા ધરાવતા બે સળિયા સમાંતરમાં: $R_1 = \frac{(R/2)(R/2)}{(R/2) + (R/2)} = \frac{R}{4}$.
$2$. $K$ વાહકતા ધરાવતા બે સળિયા સમાંતરમાં: $R_2 = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$.
$3$. $2K$ વાહકતા ધરાવતા બે સળિયા સમાંતરમાં: $R_3 = \frac{(R/2)(R/2)}{(R/2) + (R/2)} = \frac{R}{4}$.
ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{upper} = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{R}{4} + \frac{R}{2} + \frac{R}{4} = R$ છે.
નીચેની શાખા $K$ વાહકતા ધરાવતા એક સળિયાની બનેલી છે,તેથી $R_{lower} = R$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ એ ઉપરની અને નીચેની શાખાનું સમાંતર જોડાણ છે:
$R_{eq} = \frac{R_{upper} \cdot R_{lower}}{R_{upper} + R_{lower}} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$.
$R = \frac{l}{Ka}$ મૂકતા,આપણને $R_{eq} = \frac{1}{2} \left( \frac{l}{Ka} \right) = \frac{l}{2Ka}$ મળે છે.

(A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા સંયુક્ત સળિયા માટે,કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધોનો સરવાળો છે.
ઉષ્મીય અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
શ્રેણીમાં રહેલા બે સળિયા માટે: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{l_1 + l_2}{KA} = \frac{l_1}{K_1A} + \frac{l_2}{K_2A}$.
કારણ કે બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે,તેથી તે બંને બાજુથી રદ થઈ જશે.
તેથી,$\frac{l_1 + l_2}{K} = \frac{l_1}{K_1} + \frac{l_2}{K_2}$.

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ક્રમમાં છે. $A$ અને $C$ પરના તાપમાન $T_A = \sqrt{2}\theta$ અને $T_C = \theta$ છે. ધારો કે $B$ અને $D$ પરના તાપમાન $T_B$ અને $T_D$ છે.
સળિયા સમાન હોવાથી,દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ સમાન છે. ઉષ્માનો પ્રવાહ સ્થાયી છે.
બિંદુ $B$ પર,ઉષ્મા પ્રવાહ માટે કિર્ચોફના નિયમ મુજબ: $\frac{T_A - T_B}{R} + \frac{T_C - T_B}{R} = 0$,જે સૂચવે છે કે $T_B = \frac{T_A + T_C}{2} = \frac{\sqrt{2}\theta + \theta}{2}$.
તે જ રીતે,બિંદુ $D$ પર: $\frac{T_A - T_D}{R} + \frac{T_C - T_D}{R} = 0$,જે સૂચવે છે કે $T_D = \frac{T_A + T_C}{2} = \frac{\sqrt{2}\theta + \theta}{2}$.
$T_B = T_D$ હોવાથી,અન્ય બે બિંદુઓ $B$ અને $D$ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $T_B - T_D = 0$ થશે.

(B) ધારો કે જંકશન $B$ આગળનું તાપમાન $T_B$ છે। સળિયા સમાન દ્રવ્ય અને આડછેદના હોવાથી, તેમનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ તેમની લંબાઈ $L$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R = \frac{L}{kA})$.
આપેલ છે કે $AB$ માં ઉષ્માનો પ્રવાહ નથી, તેથી $B$ આગળનું તાપમાન $A$ આગળના તાપમાન જેટલું જ હોવું જોઈએ। તેથી, $T_B = T_A = 20 ^oC$.
$AB$ માં ઉષ્માનો પ્રવાહ ન હોવાથી, $D$ થી $B$ તરફ વહેતી તમામ ઉષ્મા $B$ થી $C$ તરફ વહેવી જોઈએ।
આમ, ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_{DB} = H_{BC}$ થાય।
સૂત્ર $H = \frac{\Delta T}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{T_D - T_B}{R_{BD}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$ મળે।
કિંમતો મૂકતા: $\frac{90 - 20}{R_{BD}} = \frac{20 - 0}{R_{BC}}$.
$\frac{70}{R_{BD}} = \frac{20}{R_{BC}} \implies \frac{R_{BD}}{R_{BC}} = \frac{70}{20} = 3.5$.
$R \propto L$ હોવાથી, લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{R_{BD}}{R_{BC}} = 3.5$ થાય।

(B) સ્તરનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ $R = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ જાડાઈ છે,$K$ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ સ્તર (પાતળા સ્તર) માટે: $R_1 = \frac{1}{K \cdot A}$.
બીજા સ્તર માટે: $R_2 = \frac{4}{3K \cdot A}$.
સ્તરો શ્રેણીમાં હોવાથી,ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ બંને સ્તરોમાંથી સમાન રહેશે. સ્તરની આજુબાજુ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = H \cdot R$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,તાપમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1/K}{4/3K} = \frac{3}{4}$ થશે.
આપેલ છે કે $\Delta T_1 + \Delta T_2 = 50\ ^oC$.
સમીકરણમાં $\Delta T_2 = \frac{4}{3} \Delta T_1$ મૂકતા: $\Delta T_1 + \frac{4}{3} \Delta T_1 = 50$.
$\frac{7}{3} \Delta T_1 = 50 \implies \Delta T_1 = \frac{150}{7}\ ^oC$.

(B) જ્યારે બે સળિયા સમાંતર જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય વાહકતા $K_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$
આપેલ છે:
$A_1 = A, A_2 = 2A$
$K_1 = 2K, K_2 = 3K$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{(2K)(A) + (3K)(2A)}{A + 2A}$
$K_{eq} = \frac{2KA + 6KA}{3A}$
$K_{eq} = \frac{8KA}{3A}$
$K_{eq} = \frac{8K}{3}$

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. આ તંત્રમાં $R$ અવરોધ ધરાવતો સળિયો $AB$ છે,ત્યારબાદ $B$ અને $C$ વચ્ચે બે શાખાઓ સમાંતર જોડાયેલી છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $2R$ છે. આ સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$ થાય છે. અંતે,$R$ અવરોધ ધરાવતો સળિયો $CD$ છે.
આમ,કુલ પરિપથને ત્રણ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે: $R_{AB} = R$,$R_{BC} = R$,અને $R_{CD} = R$. કુલ અવરોધ $3R$ છે.
તંત્રમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{T_A - T_D}{3R} = \frac{200 - 20}{3R} = \frac{180}{3R} = \frac{60}{R}$ છે.
હવે,જંકશન $B$ માટે,$AB$ માંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ બાકીના પરિપથ ($BC$ અને $CD$) માંથી વહેતા ઉષ્મા પ્રવાહ જેટલો હોવો જોઈએ:
$H = \frac{T_A - T_B}{R} = \frac{60}{R}$
$200 - T_B = 60$
$T_B = 200 - 60 = 140^{\circ}C$.

(D) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{l}{KA}$
જ્યાં $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 2 \ m$
ત્રિજ્યા $r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$
ઉષ્મીય વાહકતા $K = 401 \ W/m-K$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (10^{-2})^2 = 3.14 \times 10^{-4} \ m^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2}{401 \times 3.14 \times 10^{-4}}$
$R = \frac{2}{0.125914} \approx 15.88 \ K/W$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $R \approx 15.9 \ K/W$ મળે છે.

(B) ધારો કે $R_A, R_B$ અને $R_C$ એ સળિયા $A, B$ અને $C$ ના ઉષ્મીય અવરોધો છે. ઉષ્મીય અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ છે.
$R_A = \frac{2l}{KA}$
$R_B = \frac{l}{(2K)(2A)} = \frac{l}{4KA}$
$R_C = \frac{l}{(4K)(2A)} = \frac{l}{8KA}$
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે. જંકશન તરફ વહેતા ઉષ્મીય પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ (ઉષ્મા પ્રવાહ માટે કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ):
$\frac{100 - \theta}{R_A} + \frac{50 - \theta}{R_B} + \frac{0 - \theta}{R_C} = 0$
અવરોધોની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100 - \theta}{2l/KA} + \frac{50 - \theta}{l/4KA} + \frac{0 - \theta}{l/8KA} = 0$
$\frac{KA}{l} \left[ \frac{100 - \theta}{2} + 4(50 - \theta) - 8\theta \right] = 0$
$50 - 0.5\theta + 200 - 4\theta - 8\theta = 0$
$250 = 12.5\theta$
$\theta = \frac{250}{12.5} = 20^{\circ}C$

(D) ધારો કે તાંબા અને લોખંડના તારનો ઉષ્મીય અવરોધ અનુક્રમે $R_1$ અને $R_2$ છે. તેથી,
$R_1 = \frac{l}{K_1 A}$ અને $R_2 = \frac{l}{K_2 A}$.
આકૃતિ પરથી,આ ગોઠવણ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી છે. ભુજાઓ $AB$ અને $BC$ તાંબાની છે (દરેકનો અવરોધ $R_1$),અને $AD$ અને $DC$ લોખંડની છે (દરેકનો અવરોધ $R_2$). મધ્યની ભુજા $BD$ માં બે તાર (એક લોખંડ અને એક તાંબુ) સમાંતરમાં છે,પરંતુ બ્રિજની સંમિતિને કારણે,$B$ અને $D$ બિંદુઓનું તાપમાન સમાન રહે છે. તેથી,મધ્યની ભુજા $BD$ માંથી કોઈ ઉષ્મા વહેતી નથી અને તેને દૂર કરી શકાય છે.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક શાખામાં શ્રેણીમાં બે તાંબાના તાર $(R_1 + R_1 = 2R_1)$ અને બીજી શાખામાં શ્રેણીમાં બે લોખંડના તાર $(R_2 + R_2 = 2R_2)$.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{(2R_1)(2R_2)}{2R_1 + 2R_2} = \frac{4R_1 R_2}{2(R_1 + R_2)} = \frac{2R_1 R_2}{R_1 + R_2}$.
$R_1$ અને $R_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$R_{eq} = \frac{2 \left( \frac{l}{K_1 A} \right) \left( \frac{l}{K_2 A} \right)}{\frac{l}{K_1 A} + \frac{l}{K_2 A}} = \frac{2 \frac{l^2}{K_1 K_2 A^2}}{\frac{l(K_1 + K_2)}{K_1 K_2 A}} = \frac{2l}{A(K_1 + K_2)}$.

(A) ધારો કે બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q$ છે. ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $P = \frac{Q}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રયોગ $I$ માટે: $P_1 = \frac{Q}{t_1} = \frac{Q}{20}$.
પ્રયોગ $II$ માટે: $P_2 = \frac{Q}{t_2} = \frac{Q}{80}$.
પ્રયોગ $III$ (શ્રેણી જોડાણ) માટે: સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય. $P = \frac{\Delta T}{R}$ હોવાથી,$\frac{1}{P_{eq}} = \frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2}$ મળે.
$\frac{t_{10}}{Q} = \frac{t_1}{Q} + \frac{t_2}{Q} \Rightarrow t_{10} = t_1 + t_2 = 20 + 80 = 100 \text{ મિનિટ}$.
પ્રયોગ $IV$ (સમાંતર જોડાણ) માટે: સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P_{eq} = P_1 + P_2$.
$\frac{Q}{t_{20}} = \frac{Q}{t_1} + \frac{Q}{t_2} \Rightarrow \frac{1}{t_{20}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{80} = \frac{4+1}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
આમ,$t_{20} = 16 \text{ મિનિટ}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું વિધાન એ છે કે $t_{10} = 100 \text{ મિનિટ}$.

(D) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $A$ માટે: $R_A = \frac{2l}{K \cdot A} = \frac{2l}{KA}$.
સળિયા $B$ માટે: $R_B = \frac{l}{(2K) \cdot (2A)} = \frac{l}{4KA}$.
સળિયા $C$ માટે: $R_C = \frac{l}{(4K) \cdot (2A)} = \frac{l}{8KA}$.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ (ઉષ્મા પ્રવાહ માટે કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ),જંકશન પર ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ: $\frac{100 - \theta}{R_A} + \frac{50 - \theta}{R_B} + \frac{0 - \theta}{R_C} = 0$.
અવરોધની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100 - \theta}{2l/KA} + \frac{50 - \theta}{l/4KA} + \frac{0 - \theta}{l/8KA} = 0$.
$\frac{l}{KA}$ વડે ગુણતા:
$\frac{100 - \theta}{2} + 4(50 - \theta) + 8(0 - \theta) = 0$.
$50 - 0.5\theta + 200 - 4\theta - 8\theta = 0$.
$250 = 12.5\theta$.
$\theta = \frac{250}{12.5} = 20\,^oC$.

(D) દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સળિયા સમાન હોવાથી,ત્રણેય સળિયા માટે ઉષ્મીય અવરોધ $R$ સમાન છે.
જંકશન પર ઉષ્મા પ્રવાહ માટે કિર્ચોફના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જંકશનમાં પ્રવેશતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$i_1 + i_2 + i_3 = 0$
અહીં,$i_1$ એ $30\,^{\circ}C$ ના છેડાથી આવતો ઉષ્મા પ્રવાહ છે,અને $i_2, i_3$ એ $90\,^{\circ}C$ ના બે છેડાઓથી આવતો ઉષ્મા પ્રવાહ છે.
$\frac{30 - \theta}{R} + \frac{90 - \theta}{R} + \frac{90 - \theta}{R} = 0$
$R$ વડે ગુણતા:
$(30 - \theta) + (90 - \theta) + (90 - \theta) = 0$
$30 + 90 + 90 - 3\theta = 0$
$210 = 3\theta$
$\theta = 70\,^{\circ}C$

(B) ત્રણેય કિસ્સાઓમાં,પદાર્થો સમાન બે તાપમાન વચ્ચે શ્રેણીમાં ગોઠવાયેલા છે.
કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ ત્રણેય ગોઠવણીઓ માટે સમાન છે (કારણ કે શ્રેણીમાં અવરોધોનો સરવાળો ક્રમ પર આધારિત નથી),તેથી કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\Delta T_{total}}{R_{eq}}$ પણ ત્રણેય કિસ્સાઓ માટે સમાન છે.
કોઈપણ વ્યક્તિગત પદાર્થ સ્તર માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\Delta T_{layer}}{R_{layer}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $H$ અચળ છે અને ત્રણેય કિસ્સાઓમાં પદાર્થ $1$ નો અવરોધ $R_1$ અચળ છે,તેથી પદાર્થ $1$ ની આસપાસ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_1 = H \times R_1$ થાય છે.
તેથી,$\Delta T_a = \Delta T_b = \Delta T_c$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. આ પરિપથને ઉષ્મીય અવરોધોના શ્રેણી-સમાંતર જોડાણ તરીકે સમજી શકાય છે.
$1$. $B$ અને $C$ વચ્ચેનો ભાગ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે સળિયા શ્રેણીમાં છે. દરેક શાખાનો અવરોધ $R + R = 2R$ છે. $B$ અને $C$ વચ્ચેના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = (2R \times 2R) / (2R + 2R) = R$ થાય.
$2$. પરિપથનો કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{total} = R_{AB} + R_{BC} + R_{CD} = R + R + R = 3R$ છે.
$3$. કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 200^{\circ}C - 20^{\circ}C = 180^{\circ}C$ છે.
$4$. પરિપથમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \Delta T / R_{total} = 180 / 3R = 60/R$ છે.
$5$. $AB$ પર તાપમાનનો ઘટાડો $\Delta T_{AB} = H \times R = (60/R) \times R = 60^{\circ}C$ છે. તેથી,$T_B = 200^{\circ}C - 60^{\circ}C = 140^{\circ}C$.
$6$. $BC$ પર તાપમાનનો ઘટાડો $\Delta T_{BC} = H \times R_{BC} = (60/R) \times R = 60^{\circ}C$ છે. તેથી,$T_C = T_B - 60^{\circ}C = 140^{\circ}C - 60^{\circ}C = 80^{\circ}C$.

(B) ઉષ્માનો પ્રવાહ $\Delta Q = \frac{\Delta T}{R_{eq}} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ છે.
$R$ અવરોધ ધરાવતા બે સમાન સળિયા માટે,જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{s} = R + R = 2R$ થાય છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે બંને કિસ્સામાં ઉષ્મા $\Delta Q$ સમાન છે અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ અચળ છે:
$\Delta Q = \frac{\Delta T}{2R} \times 12 = \frac{\Delta T}{R/2} \times t$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{12}{2R} = \frac{t}{R/2}$
$\frac{6}{R} = \frac{2t}{R}$
$2t = 6$
$t = 3 \, \text{minutes}$.

(B) પદાર્થનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ લંબાઈ છે,$A$ ક્ષેત્રફળ છે અને $K$ ઉષ્મા વાહકતા છે.
$1$. પ્રથમ વિભાગ (ડાબી બાજુ) માટે: અહીં ત્રણ સમાંતર ઈંટો છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A/3$ છે. દરેક ઈંટનો અવરોધ $R_1 = \frac{l}{K(A/3)} = \frac{3l}{KA}$ છે. તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq1}$ એ $\frac{1}{R_{eq1}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_1} = \frac{3}{3l/KA} = \frac{KA}{l}$ થાય. તેથી,$R_{eq1} = \frac{l}{KA}$.
$2$. મધ્ય વિભાગ માટે: અહીં $l$ લંબાઈ અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી એક જ ઈંટ છે. તેનો અવરોધ $R_{eq2} = \frac{l}{KA}$ છે.
$3$. ત્રીજા વિભાગ (જમણી બાજુ) માટે: અહીં બે સમાંતર ઈંટો છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A/2$ છે. દરેક ઈંટનો અવરોધ $R_3 = \frac{l}{K(A/2)} = \frac{2l}{KA}$ છે. તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq3}$ એ $\frac{1}{R_{eq3}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_3} = \frac{2}{R_3} = \frac{2}{2l/KA} = \frac{KA}{l}$ થાય. તેથી,$R_{eq3} = \frac{l}{KA}$.
$4$. આ ત્રણેય વિભાગો શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{total} = R_{eq1} + R_{eq2} + R_{eq3} = \frac{l}{KA} + \frac{l}{KA} + \frac{l}{KA} = \frac{3l}{KA}$ થાય.

(A) ધારો કે ચાપ $ADB$ નો ઉષ્મીય અવરોધ $R_1$ છે અને ચાપ $ACD$ નો ઉષ્મીય અવરોધ $R_2$ છે. કેન્દ્ર આગળ $ADB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $90^\circ$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) છે,અને $ACD$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $270^\circ$ (અથવા $3\pi/2$ રેડિયન) છે.
ચાપની લંબાઈ $L = r\theta$ હોવાથી,$ADB$ ની લંબાઈ $L_1 = r(\pi/2)$ અને $ACD$ ની લંબાઈ $L_2 = r(3\pi/2) = 3L_1$ છે.
ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{KA}$. સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને સમાન પ્રારંભિક વાહકતા $K$ ધારતા:
$R_1 = \frac{L_1}{KA}$ અને $R_2 = \frac{3L_1}{KA} = 3R_1$.
ચાપ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં છે,તેથી કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \Delta T \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) = \Delta T \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{3R_1}\right) = \frac{4\Delta T}{3R_1}$.
જ્યારે $ADB$ ને $K'$ વાહકતા ધરાવતા દ્રવ્ય સાથે બદલવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_1' = \frac{L_1}{K'A} = R_1 \frac{K}{K'}$ થાય.
નવો ઉષ્મા પ્રવાહ $2H = \Delta T \left(\frac{1}{R_1'} + \frac{1}{R_2}\right) = \Delta T \left(\frac{K'}{R_1 K} + \frac{1}{3R_1}\right)$.
$H = \frac{4\Delta T}{3R_1}$ મૂકતા,આપણને મળે $2 \left(\frac{4\Delta T}{3R_1}\right) = \Delta T \left(\frac{K'}{R_1 K} + \frac{1}{3R_1}\right)$.
$\frac{8}{3R_1} = \frac{3K' + K}{3KR_1} \implies 8K = 3K' + K \implies 3K' = 7K \implies \frac{K'}{K} = \frac{7}{3}$.

(A) ધારો કે $L$ લંબાઈના સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_0$ છે. વિભાગ $AP$ (લંબાઈ $L/2$) નો અવરોધ $R_0/2$,વિભાગ $PQ$ (લંબાઈ $L$) નો અવરોધ $R_0$,અને વિભાગ $QB$ (લંબાઈ $L/2$) નો અવરોધ $R_0/2$ છે. વળેલા સળિયા $PQ$ ની કુલ લંબાઈ $3L/2$ છે (બે ઉભા વિભાગો $L/4$ અને એક આડો વિભાગ $L$). તેનો અવરોધ $R_{bent} = R_0/4 + R_0 + R_0/4 = 1.5R_0$ છે. મુખ્ય સળિયાના વિભાગ $PQ$ નો અવરોધ $R_0$ છે. આ બંને સમાંતરમાં હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_0 \times 1.5R_0}{R_0 + 1.5R_0} = \frac{1.5}{2.5}R_0 = 0.6R_0$ થાય. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_{AP} + R_p + R_{QB} = 0.5R_0 + 0.6R_0 + 0.5R_0 = 1.6R_0$ છે. $PQ$ વચ્ચેનો તાપમાનનો ઘટાડો $\Delta T_{PQ} = \Delta T_{total} \times \frac{R_p}{R_{eq}} = 120 \times \frac{0.6R_0}{1.6R_0} = 120 \times \frac{6}{16} = 120 \times 0.375 = 45\,^oC$ થાય.

(D) જ્યારે ઉષ્મા નળાકારોની લંબાઈની દિશામાં વહે છે,ત્યારે બંને નળાકારો સમાંતર ઉષ્મા વાહકો તરીકે કાર્ય કરે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા એ વ્યક્તિગત ઉષ્મા વાહકતાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ઉષ્મા વાહકતા $C = \frac{KA}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
અંદરના નળાકાર માટે,ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2$ છે.
બહારની નળાકાર કવચ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ છે.
તંત્રનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = 4\pi R^2$ છે.
કુલ વાહકતાને વ્યક્તિગત વાહકતાઓના સરવાળા સાથે સરખાવતા:
$\frac{K_{eff} A}{L} = \frac{K_1 A_1}{L} + \frac{K_2 A_2}{L}$
$K_{eff} (4\pi R^2) = K_1 (\pi R^2) + K_2 (3\pi R^2)$
$4 K_{eff} = K_1 + 3 K_2$
$K_{eff} = \frac{K_1 + 3 K_2}{4}$

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા સળિયાઓ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
ઉષ્મીય અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{\ell}{KA}$ છે,જ્યાં $\ell$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને શ્રેણીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{K A} = \frac{\ell_1}{K_1 A} + \frac{\ell_2}{K_2 A}$
કારણ કે બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે,તેથી આપણે બંને બાજુથી $A$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{K} = \frac{\ell_1}{K_1} + \frac{\ell_2}{K_2}$

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલી બે શીટ્સમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $H$ એ ઉષ્મા પ્રવાહનો દર છે.
$H = \frac{\Delta T_1}{R_1} = \frac{\Delta T_2}{R_2}$
તાપમાનની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\theta_1 - \theta}{R_1} = \frac{\theta - \theta_2}{R_2}$
$\theta$ માટે ઉકેલવા માટે ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા:
$(\theta_1 - \theta)R_2 = (\theta - \theta_2)R_1$
$\theta_1 R_2 - \theta R_2 = \theta R_1 - \theta_2 R_1$
$\theta_1 R_2 + \theta_2 R_1 = \theta (R_1 + R_2)$
તેથી,જંકશનનું તાપમાન:
$\theta = \frac{\theta_1 R_2 + \theta_2 R_1}{R_1 + R_2}$

(B) આપેલ છે કે ઉષ્મીય વાહકતા $K_A = 2 K_B$ છે.
બંને સ્તરોની જાડાઈ $d$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી,ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{d}{KA}$ થાય.
તેથી,$R_A = \frac{d}{K_A A} = \frac{d}{2 K_B A} = \frac{R_B}{2}$ મળે.
ધારો કે $R_A = R$,તો $R_B = 2R$ થાય.
સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્તરોમાંથી ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ સમાન રહે છે.
કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 36\,^{\circ}C$ છે.
$H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{36}{R_A + R_B} = \frac{36}{R + 2R} = \frac{36}{3R} = \frac{12}{R}$.
સ્તર $A$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A = H \times R_A = \frac{12}{R} \times R = 12\,^{\circ}C$ થાય.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $K$ છે. વહન પામતી ઉષ્મા $Q$ છે અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે છેડેથી છેડે (શ્રેણીમાં) જોડવામાં આવે,ત્યારે કુલ લંબાઈ $2l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ થાય છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{l}{KA} + \frac{l}{KA} = \frac{2l}{KA}$ છે.
ઉષ્માનો પ્રવાહ $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} \times t_1 = \frac{\Delta \theta \cdot KA}{2l} \times 12 = \frac{6 KA \Delta \theta}{l} \dots (i)$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે લંબાઈની દિશામાં (સમાંતર) જોડવામાં આવે,ત્યારે લંબાઈ $l$ અને કુલ ક્ષેત્રફળ $2A$ થાય છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{KA}{l} + \frac{KA}{l} = \frac{2KA}{l}$,તેથી $R_{eq} = \frac{l}{2KA}$ છે.
ઉષ્માનો પ્રવાહ $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} \times t_2 = \frac{\Delta \theta \cdot 2KA}{l} \times t_2 \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{6 KA \Delta \theta}{l} = \frac{2 KA \Delta \theta}{l} \times t_2$
$6 = 2 t_2 \implies t_2 = 3 \, s$.

(B) આપેલ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવો છે. બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,વચ્ચેના તારમાંથી કોઈ ઉષ્મા વહેતી નથી.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. ઉપરની શાખામાં $l$ લંબાઈના બે કોપરના તાર શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_1 = \frac{l}{k_1 A} + \frac{l}{k_1 A} = \frac{2l}{k_1 A}$ છે.
$2$. નીચેની શાખામાં $l$ લંબાઈના બે સ્ટીલના તાર શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_2 = \frac{l}{k_2 A} + \frac{l}{k_2 A} = \frac{2l}{k_2 A}$ છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{k_1 A}{2l} + \frac{k_2 A}{2l} = \frac{(k_1 + k_2)A}{2l}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{2l}{(k_1 + k_2)A}$.

(B) બે પ્લેટો સમાંતર રીતે જોડાયેલ છે,તેથી ઉષ્મીય અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ સમાંતરમાં છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{\ell}{KA}$,જ્યાં $\ell$ એ જાડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K_{eq}(A_1 + A_2)}{\ell} = \frac{K_1 A_1}{\ell} + \frac{K_2 A_2}{\ell}$
કારણ કે બંને પ્લેટો માટે જાડાઈ $\ell$ સમાન છે,તેથી તે ઉડી જશે:
$K_{eq}(A_1 + A_2) = K_1 A_1 + K_2 A_2$
$K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા સળિયાઓ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{\ell}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને શ્રેણી જોડાણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{KA} = \frac{\ell_1}{K_1 A} + \frac{\ell_2}{K_2 A}$
કારણ કે બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે,તેથી આપણે બંને બાજુથી $A$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ:
$\frac{\ell_1 + \ell_2}{K} = \frac{\ell_1}{K_1} + \frac{\ell_2}{K_2}$

(B) ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ એ બે સળિયાઓના ઉષ્મીય અવરોધો છે. શ્રેણીમાં જોડાયેલા સળિયાઓમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચે મુજબ છે:
$\frac{100 - 0}{R_1 + R_2} = \frac{100 - 70}{R_1} = \frac{70 - 0}{R_2}$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{100}{R_1 + R_2} = \frac{30}{R_1} = \frac{70}{R_2}$
$\frac{30}{R_1} = \frac{70}{R_2}$ પરથી,આપણને $R_2 = \frac{7}{3} R_1$ મળે છે.
આ કિંમતને $\frac{100}{R_1 + R_2} = \frac{30}{R_1}$ માં મૂકતા:
$\frac{100}{R_1 + \frac{7}{3}R_1} = \frac{30}{R_1} \Rightarrow \frac{100}{\frac{10}{3}R_1} = \frac{30}{R_1} \Rightarrow 30 = 30$ (સુસંગત).
જ્યારે સળિયાઓની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું જંકશન તાપમાન $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{100 - T}{R_2} = \frac{T - 0}{R_1}$
$\frac{100 - T}{R_2} = \frac{T}{R_1} \Rightarrow \frac{100 - T}{T} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{7}{3}$
$3(100 - T) = 7T \Rightarrow 300 - 3T = 7T \Rightarrow 10T = 300 \Rightarrow T = 30\,^{\circ}C$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
આકૃતિ $(a)$ માં,સળિયા શ્રેણીમાં છે,તેથી સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq1} = R + R = 2R$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{Q_1}{t_1} = \frac{\Delta T}{R_{eq1}} = \frac{100 - 0}{2R} = \frac{50}{R}$ છે.
આપેલ છે કે $Q_1 = 10 \, cal$ અને $t_1 = 2 \, min$,તેથી $\frac{10}{2} = \frac{50}{R}$,જે $R = 10 \, K/cal \cdot min$ આપે છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,સળિયા સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq2} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{Q_2}{t_2} = \frac{\Delta T}{R_{eq2}} = \frac{100 - 0}{R/2} = \frac{200}{R}$ છે.
સમાન ઉષ્મા $Q_2 = 10 \, cal$ માટે,આપણી પાસે $\frac{10}{t_2} = \frac{200}{R}$ છે.
$R = 10$ મૂકતા,આપણને $\frac{10}{t_2} = \frac{200}{10} = 20$ મળે છે.
આમ,$t_2 = \frac{10}{20} = 0.5 \, min$.

(D) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $k$ છે. ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક ક્ષેત્રફળ $2A$ અને અસરકારક લંબાઈ $l$ થાય છે. ઉષ્મા વહનનો દર $H_p = \frac{k(2A) \Delta T}{l} = \frac{2kA \Delta T}{l}$ છે.
આપેલ છે કે $H_p = \frac{Q}{12}$,તેથી $\frac{Q}{12} = \frac{2kA \Delta T}{l} \implies Q = \frac{24kA \Delta T}{l}$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક લંબાઈ $2l$ અને અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A$ થાય છે. ઉષ્મા વહનનો દર $H_s = \frac{kA \Delta T}{2l}$ છે.
આપેલ છે કે $H_s = \frac{Q}{t}$,તેથી $\frac{Q}{t} = \frac{kA \Delta T}{2l} \implies t = \frac{Q \cdot 2l}{kA \Delta T}$.
કિસ્સો $1$ માંથી $Q$ ની કિંમત કિસ્સા $2$ માં મૂકતા:
$t = \frac{(24kA \Delta T / l) \cdot 2l}{kA \Delta T} = 24 \times 2 = 48 \, s$.

(C) સમાન જાડાઈ $d$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $K_1$ તથા $K_2$ ધરાવતી બે પ્લેટો શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય,ત્યારે કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
$R = \frac{d}{KA}$ હોવાથી,$\frac{2d}{K_{eq}A} = \frac{d}{K_1A} + \frac{d}{K_2A}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$.
આ $K_1$ અને $K_2$ નો હાર્મોનિક મધ્યક છે. બે સંખ્યાઓનો હાર્મોનિક મધ્યક હંમેશા મોટી સંખ્યા કરતા નાનો અને નાની સંખ્યા કરતા મોટો હોય છે. એટલે કે $K_{min} < K_{eq} < K_{max}$.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $K_1 = 10$ અને $K_2 = 2$ હોય,તો $K_{eq} = \frac{2(10)(2)}{10+2} = \frac{40}{12} \approx 3.33$.
અહીં $3.33 > 2$ (નાનું મૂલ્ય). તેથી,વિધાન ખોટું છે.

(N/A) આપેલ છે: $L_{1}=L_{2}=L=0.1 \; m$,$A_{1}=A_{2}=A=0.02 \; m^{2}$,$K_{1}=79 \; W m^{-1} K^{-1}$,$K_{2}=109 \; W m^{-1} K^{-1}$,$T_{1}=373 \; K$,$T_{2}=273 \; K$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,લોખંડના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $(H_{1})$ એ પિત્તળના સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહ $(H_{2})$ જેટલો હોય છે.
$H = H_{1} = H_{2} = \frac{K_{1} A (T_{1}-T_{0})}{L} = \frac{K_{2} A (T_{0}-T_{2})}{L}$
$(i)$ જંકશન તાપમાન $T_{0}$:
$K_{1}(T_{1}-T_{0}) = K_{2}(T_{0}-T_{2})$
$T_{0} = \frac{K_{1} T_{1} + K_{2} T_{2}}{K_{1} + K_{2}} = \frac{(79 \times 373) + (109 \times 273)}{79 + 109} = \frac{29467 + 29757}{188} = \frac{59224}{188} \approx 315 \; K$.
$(ii)$ સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K'$:
શ્રેણી જોડાણ માટે,$\frac{2L}{K'} = \frac{L}{K_{1}} + \frac{L}{K_{2}} \implies \frac{2}{K'} = \frac{1}{K_{1}} + \frac{1}{K_{2}} = \frac{K_{1}+K_{2}}{K_{1} K_{2}}$
$K' = \frac{2 K_{1} K_{2}}{K_{1}+K_{2}} = \frac{2 \times 79 \times 109}{79 + 109} = \frac{17222}{188} \approx 91.6 \; W m^{-1} K^{-1}$.
$(iii)$ ઉષ્મા પ્રવાહ $H$:
$H = \frac{K' A (T_{1}-T_{2})}{2L} = \frac{91.6 \times 0.02 \times (373 - 273)}{2 \times 0.1} = \frac{91.6 \times 0.02 \times 100}{0.2} = \frac{183.2}{0.2} = 916 \; W$.

(N/A) કોંક્રિટની ઉષ્મા વાહકતા,ધાતુઓ કરતા ઘણી ઓછી હોવા છતાં,અસરકારક ઉષ્મા ઇન્સ્યુલેશન પૂરું પાડવા માટે પૂરતી ઓછી નથી. રેતી અથવા ફોમનું પડ ઉમેરવાથી,જે ઉષ્માના મંદ વાહકો (ઇન્સ્યુલેટર) છે,છતનો એકંદર ઉષ્મીય અવરોધ વધે છે. આ બહારના વાતાવરણમાંથી રૂમમાં થતા ઉષ્માના વહનનો દર નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે,જેનાથી ગરમ હવામાનમાં રૂમ ઠંડો રહે છે.

(A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે તાર માટે,ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર સમાન હોવાથી,તેમની લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
શ્રેણી જોડાણનો કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eff}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{eff} = R_{1} + R_{2} = \frac{l}{K_{1}A} + \frac{l}{K_{2}A}$
$2l$ લંબાઈ અને $K_{eq}$ ઉષ્મીય વાહકતા ધરાવતા સમતુલ્ય તાર માટે,અવરોધ છે:
$R_{eff} = \frac{2l}{K_{eq}A}$
$R_{eff}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{2l}{K_{eq}A} = \frac{l}{K_{1}A} + \frac{l}{K_{2}A}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{1}} + \frac{1}{K_{2}} = \frac{K_{1} + K_{2}}{K_{1}K_{2}}$
$K_{eq} = \frac{2K_{1}K_{2}}{K_{1} + K_{2}}$

(C) બે ઇન્સ્યુલેટીંગ શીટ્સ શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને શીટ્સમાંથી ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $(H)$ સમાન હોવો જોઈએ.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{\Delta \theta}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ શીટ (નીચેની) માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\theta - \theta_{1}}{R_{1}}$ છે.
બીજી શીટ (ઉપરની) માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\theta_{2} - \theta}{R_{2}}$ છે.
બંને દરોને સરખાવતા:
$\frac{\theta - \theta_{1}}{R_{1}} = \frac{\theta_{2} - \theta}{R_{2}}$
$R_{2}(\theta - \theta_{1}) = R_{1}(\theta_{2} - \theta)$
$R_{2}\theta - R_{2}\theta_{1} = R_{1}\theta_{2} - R_{1}\theta$
$R_{2}\theta + R_{1}\theta = R_{1}\theta_{2} + R_{2}\theta_{1}$
$\theta(R_{1} + R_{2}) = R_{1}\theta_{2} + R_{2}\theta_{1}$
$\theta = \frac{R_{1}\theta_{2} + R_{2}\theta_{1}}{R_{1} + R_{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સળિયા સમાન હોવાથી,દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{AB} = R_{CD} = 10 \; K/W$ છે.
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી દરેક અડધા ભાગનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{AC} = R_{CB} = 5 \; K/W$ છે.
ધારો કે જંકશન $C$ પરનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહ માટે જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા (દાખલ થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો = બહાર નીકળતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો):
$\frac{200 - T}{5} = \frac{T - 125}{10} + \frac{T - 100}{5}$
આખા સમીકરણને $10$ વડે ગુણતા:
$2(200 - T) = (T - 125) + 2(T - 100)$
$400 - 2T = T - 125 + 2T - 200$
$400 - 2T = 3T - 325$
$5T = 725$
$T = 145^{\circ}C$
સળિયા $CD$ માં ઉષ્મા પ્રવાહ $P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \frac{T - 125}{R_{CD}} = \frac{145 - 125}{10} = \frac{20}{10} = 2 \; W$.
આમ,$P$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \left(\frac{1}{R}\right) \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ઉષ્મીય અવરોધ છે.
$L$ જાડાઈ,$K$ ઉષ્માવાહકતા અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી પ્લેટ માટે,ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{KA}$ છે.
પ્લેટ $A$ માટે: $R_{1} = \frac{L_{1}}{K_{1}A} = \frac{4.0}{K(120)}$.
પ્લેટ $B$ માટે: $R_{2} = \frac{L_{2}}{K_{2}A} = \frac{2.5}{(2K)(120)}$.
પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{\text{eq}} = R_{1} + R_{2}$ થાય.
કુલ જાડાઈ $L_{\text{eq}} = L_{1} + L_{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતી સંયુક્ત પ્લેટ માટે સમતુલ્ય ઉષ્માવાહકતા $K_{\text{eq}}$ નું સૂત્ર $\frac{L_{\text{eq}}}{K_{\text{eq}}A} = \frac{L_{1}}{K_{1}A} + \frac{L_{2}}{K_{2}A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4.0 + 2.5}{K_{\text{eq}}(120)} = \frac{4.0}{K(120)} + \frac{2.5}{2K(120)}$.
$\frac{6.5}{K_{\text{eq}}} = \frac{4}{K} + \frac{1.25}{K} = \frac{5.25}{K} = \frac{21/4}{K} = \frac{21}{4K}$.
તેથી,$K_{\text{eq}} = \frac{6.5 \times 4K}{21} = \frac{26}{21}K = \left(1 + \frac{5}{21}\right)K$.
આને $\left(1 + \frac{5}{\alpha}\right)K$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 21$ મળે છે.

(D) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
સળિયા સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને સમાન લંબાઈ $l$ ધરાવતા હોવાથી,તેમનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{kA}$ બધા સળિયા માટે સમાન છે.
સ્થાયી ઉષ્મા પ્રવાહના સિદ્ધાંત મુજબ,ત્રણ કાંટાવાળા સળિયાઓ દ્વારા કુલ ઉષ્માનો પ્રવાહ ચોથા સળિયા (હેન્ડલ) દ્વારા બહાર નીકળતી ઉષ્મા જેટલો હોવો જોઈએ.
ત્રણ સળિયાઓમાંથી ઉષ્માનો પ્રવાહ = $3 \times \frac{kA}{l}(100 - T)$
ચોથા સળિયા દ્વારા બહાર નીકળતી ઉષ્મા = $\frac{kA}{l}(T - 0)$
બંનેને સરખાવતા:
$3 \frac{kA}{l}(100 - T) = \frac{kA}{l}(T - 0)$
$3(100 - T) = T$
$300 - 3T = T$
$4T = 300$
$T = 75^{\circ} C$