Thermal Resistance and it's Combination Questions in Gujarati

(C) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે. સળિયાઓ સમાન દ્રવ્ય,આડછેદ અને લંબાઈના હોવાથી,તેમનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ સમાન છે.
સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{\Delta T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જંકશન પર,ઉષ્મા વહનના દરોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ (સ્થાયી અવસ્થા):
$\frac{90 - \theta}{R} + \frac{60 - \theta}{R} + \frac{30 - \theta}{R} + \frac{0 - \theta}{R} = 0$
$R$ વડે ગુણતા:
$(90 - \theta) + (60 - \theta) + (30 - \theta) + (0 - \theta) = 0$
$180 - 4\theta = 0$
$4\theta = 180$
$\theta = 45^{\circ}C$.

(C) ગોઠવણી $(a)$ માટે,સળિયા શ્રેણીમાં છે. ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{KA}$ છે.
શ્રેણીમાં અસરકારક અવરોધ $R_{\text{eff}, a} = R_{Al} + R_{Cu} + R_{Al} = \frac{L}{A} \left( \frac{1}{K_{Al}} + \frac{1}{K_{Cu}} + \frac{1}{K_{Al}} \right) = \frac{L}{A} \left( \frac{2}{200} + \frac{1}{400} \right) = \frac{L}{A} \left( \frac{4+1}{400} \right) = \frac{5L}{400A} = \frac{L}{80A}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_1 = \frac{\Delta T}{R_{\text{eff}, a}} = \frac{\Delta T}{L/(80A)} = 80 \frac{A \Delta T}{L} = 40 \, W$,તેથી $\frac{A \Delta T}{L} = 0.5$ મળે.
ગોઠવણી $(b)$ માટે,સળિયા સમાંતરમાં છે. અસરકારક અવરોધ $\frac{1}{R_{\text{eff}, b}} = \frac{1}{R_{Al}} + \frac{1}{R_{Cu}} + \frac{1}{R_{Al}} = \frac{A}{L} (K_{Al} + K_{Cu} + K_{Al}) = \frac{A}{L} (200 + 400 + 200) = \frac{800A}{L}$ છે.
તેથી,$R_{\text{eff}, b} = \frac{L}{800A}$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_2 = \frac{\Delta T}{R_{\text{eff}, b}} = \frac{\Delta T}{L/(800A)} = 800 \frac{A \Delta T}{L} = 800 \times 0.5 = 400 \, W$.

(B) ધારો કે જંકશન $O$ નું તાપમાન $\theta$ છે.
સ્થાયી ઉષ્મા વહનના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા ઉષ્મા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$.
ધારો કે ઉષ્મા $30^{\circ} C$ ના છેડાથી જંકશન તરફ વહે છે અને ત્યારબાદ $20^{\circ} C$ અને $10^{\circ} C$ ના છેડાઓ તરફ બહાર નીકળે છે:
$\frac{KA}{30}(30 - \theta) = \frac{KA}{20}(\theta - 20) + \frac{KA}{10}(\theta - 10)$
બંને બાજુ $KA$ વડે ભાગતા:
$\frac{30 - \theta}{30} = \frac{\theta - 20}{20} + \frac{\theta - 10}{10}$
સાદુરૂપ આપવા માટે $60$ વડે ગુણતા:
$2(30 - \theta) = 3(\theta - 20) + 6(\theta - 10)$
$60 - 2\theta = 3\theta - 60 + 6\theta - 60$
$60 - 2\theta = 9\theta - 120$
$180 = 11\theta$
$\theta = \frac{180}{11} \approx 16.36^{\circ} C$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $16.4^{\circ} C$ મળે છે.

(A) ધારો કે ચોરસના ચાર ખૂણાઓ $A, B, C,$ અને $D$ ક્રમમાં છે. ધારો કે $A$ અને $C$ પરનું તાપમાન $T_A = 40^{\circ} C$ અને $T_C = 10^{\circ} C$ છે.
ચાર સળિયા સમાન હોવાથી,દરેક સળિયો $R = \frac{L}{kA}$ જેટલો ઉષ્મીય અવરોધ ધરાવે છે.
ચાર સળિયાઓની ગોઠવણી વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી છે,જ્યાં ઉષ્મા $A$ થી $C$ તરફ બે સમાંતર માર્ગો દ્વારા વહે છે: $A \rightarrow B \rightarrow C$ અને $A \rightarrow D \rightarrow C$.
પરિપથની સંમિતિ અને સળિયાઓના સમાન ગુણધર્મોને કારણે,$B$ અને $D$ પરનું તાપમાન સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$T_B = T_D$ હોવાથી,બાકીના બે ખૂણાઓ $B$ અને $D$ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $T_B - T_D = 0^{\circ} C$ થશે.

(C) સ્લેબનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$k$ ઉષ્મીય વાહકતા છે,અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. ધારો કે $b$ એ સ્લેબની પહોળાઈ છે.
$R_A = \frac{L}{2K(4Lb)} = \frac{R_0}{8}$,$R_B = \frac{4R_0}{3}$,$R_C = \frac{R_0}{2}$,$R_D = \frac{4R_0}{5}$,$R_E = \frac{R_0}{24}$
$(i)$ સ્લેબ $A$ અને $E$ એ $B, C, D$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $Q$ એ $A$ અને $E$ બંનેમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,$A$ અને $E$ માંથી વહેતી ઉષ્મા સમાન છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(ii)$ સ્લેબની આસપાસ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = Q \cdot R$ છે. $R_E$ સૌથી નાનો અવરોધ હોવાથી,$E$ ની આસપાસ તાપમાનનો તફાવત સૌથી ઓછો છે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(iii)$ સમાંતર વિભાગ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $Q$ એ $i_B, i_C, i_D$ માં વિભાજિત થાય છે. સમાંતર હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta T_{BCD}$ બધા માટે સમાન છે. તેથી $i = \frac{\Delta T}{R}$.
$i_C = \frac{2\Delta T}{R_0}$,$i_B = \frac{3\Delta T}{4R_0}$,$i_D = \frac{5\Delta T}{4R_0}$.
$i_B + i_D = \frac{3\Delta T}{4R_0} + \frac{5\Delta T}{4R_0} = \frac{2\Delta T}{R_0} = i_C$. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,$(A, C, D)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે દરેક બ્લોકની લંબાઈ $L$ છે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે,અને $k$ વાહકતા ધરાવતા બ્લોકનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ છે. તો $2k$ વાહકતા ધરાવતા બ્લોકનો અવરોધ $R' = \frac{L}{2kA} = \frac{R}{2}$ થશે.
કન્ફિગ્યુરેશન $I$ (શ્રેણી): બ્લોક્સ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq,I} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહ $H_I = \frac{\Delta T}{R_{eq,I}} = \frac{2\Delta T}{3R}$.
કન્ફિગ્યુરેશન $II$ (સમાંતર): બ્લોક્સ સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $\frac{1}{R_{eq,II}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R/2} = \frac{1}{R} + \frac{2}{R} = \frac{3}{R}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$R_{eq,II} = \frac{R}{3}$.
ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{II} = \frac{\Delta T}{R_{eq,II}} = \frac{3\Delta T}{R}$.
ઉષ્માનો જથ્થો $Q$ સમાન હોવાથી,$Q = H_I t_I = H_{II} t_{II}$.
$t_{II} = t_I \times \frac{H_I}{H_{II}} = 9 \times \frac{2\Delta T / 3R}{3\Delta T / R} = 9 \times \frac{2}{9} = 2.0 \ s$.

(C) ધારો કે દરેક વાહકની લંબાઈ $L$ છે અને $1^{\text{st}}$ તથા $2^{\text{nd}}$ વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. તેથી $3^{\text{rd}}$ વાહકનું ક્ષેત્રફળ $2A$ થશે.
ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1 = \frac{L}{k_1 A} = \frac{L}{60A}$,$R_2 = \frac{L}{k_2 A} = \frac{L}{120A}$,$R_3 = \frac{L}{k_3 (2A)} = \frac{L}{135 \times 2A} = \frac{L}{270A}$.
વાહક $1$ અને $2$ સમાંતરમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{12}$ છે:
$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{60A}{L} + \frac{120A}{L} = \frac{180A}{L} \implies R_{12} = \frac{L}{180A}$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,સંયોજનમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ અચળ રહે છે:
$H = \frac{100 - \theta}{R_{12}} = \frac{\theta - 0}{R_3}$
$\frac{100 - \theta}{L / 180A} = \frac{\theta}{L / 270A}$
$180(100 - \theta) = 270\theta$
$2(100 - \theta) = 3\theta$
$200 - 2\theta = 3\theta$
$5\theta = 200 \implies \theta = 40^{\circ}C$.

(C) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$K$ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A = \pi r^2$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સળિયાઓ માટે,સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ સમાન હોય છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R} = \frac{400 - T}{R_A} = \frac{T - 200}{R_B}$
$\frac{400 - T}{T - 200} = \frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \left( \frac{K_B}{K_A} \right) \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$
આપેલ છે કે $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$,$\frac{K_A}{K_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{K_B}{K_A} = 2$,અને $\frac{r_A}{r_B} = 2 \implies \frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2) \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
હવે,$\frac{400 - T}{T - 200} = \frac{1}{4}$
$4(400 - T) = T - 200$
$1600 - 4T = T - 200$
$5T = 1800$
$T = 360 \ K$

(B) કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $I = 150 \ J/s$ જંકશનમાં પ્રવેશે છે. આ માર્ગ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે: સીધો માર્ગ અને વળેલો માર્ગ.
ધારો કે સીધા માર્ગની લંબાઈ $L_2 = 60 \ cm$ છે અને વળેલા માર્ગની લંબાઈ $L_1 = 30 + 60 + 30 = 120 \ cm$ છે.
ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ હોવાથી,અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ તથા ઉષ્મીય વાહકતા $k$ સમાન હોવાનું ધારતા,$R \propto L$ મળે.
આમ,$R_2 \propto 60$ અને $R_1 \propto 120$.
વળેલા માર્ગમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $I_1$ ઉષ્મીય પરિપથો માટેના કરંટ ડિવાઈડર નિયમ દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 150 \times \frac{60}{120 + 60} = 150 \times \frac{60}{180} = 150 \times \frac{1}{3} = 50 \ J/s$.

(D) આ સિસ્ટમને સમતુલ્ય થર્મલ સર્કિટ તરીકે મોડેલ કરી શકાય છે. દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
બિંદુ $B$ અને $C$ ની વચ્ચે,બે સમાંતર માર્ગો છે,જેમાંથી દરેક બે શ્રેણીબદ્ધ સળિયાઓનો બનેલો છે. દરેક માર્ગનો અવરોધ $R + R = 2R$ છે.
આ બે સમાંતર માર્ગોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC}$ એ $\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $R_{BC} = R$.
$A$ થી $D$ સુધીના સર્કિટનો કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{AD} = R_{AB} + R_{BC} + R_{CD} = R + R + R = 3R$ છે.
સર્કિટમાંથી વહેતો સ્થાયી ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{100 - 10}{3R} = \frac{90}{3R} = \frac{30}{R}$ છે.
જંકશન $C$ પરનું તાપમાન સળિયા $CD$ માંથી વહેતા ઉષ્મા પ્રવાહનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$H = \frac{T_C - 10}{R}$
$\frac{30}{R} = \frac{T_C - 10}{R}$
$30 = T_C - 10$
$T_C = 40^{\circ} C$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $\ell$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $K$ છે. વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{KA \Delta T}{L_{eq}} \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: શ્રેણી જોડાણ (છેડેથી છેડે).
સમતુલ્ય લંબાઈ $L_{eq} = \ell + \ell = 2\ell$ છે. સમતુલ્ય ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
$Q = \frac{KA \Delta T}{2\ell} \times 12 \quad \dots (1)$
કિસ્સો $2$: સમાંતર જોડાણ (તેમની લંબાઈની સાથે).
સમતુલ્ય લંબાઈ $L_{eq} = \ell$ છે. સમતુલ્ય ક્ષેત્રફળ $A_{eq} = A + A = 2A$ છે.
$Q = \frac{K(2A) \Delta T}{\ell} \times t \quad \dots (2)$
બંને કિસ્સામાં ઉષ્મા $Q$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ સમાન હોવાથી,આપણે $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવીએ છીએ:
$\frac{KA \Delta T}{2\ell} \times 12 = \frac{2KA \Delta T}{\ell} \times t$
$\frac{12}{2} = 2t$
$6 = 2t$
$t = 3 \ s$.

(B) ધારો કે વહન પામતી ઉષ્મા $Q$ છે.
જ્યારે સળિયાઓ છેડેથી છેડે જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R + R = 2R$ થાય,જ્યાં $R = \frac{l}{KA}$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t_1} = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{2 \frac{l}{KA}} = \frac{KA \Delta \theta}{2l}$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 12 \ s$,તેથી $Q = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12 \dots (i)$.
જ્યારે સળિયાઓ લંબાઈની દિશામાં (સમાંતર) જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R'_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય,જ્યાં $R = \frac{l}{KA}$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t_2} = \frac{\Delta \theta}{R'_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{R/2} = \frac{2KA \Delta \theta}{l}$ છે.
તેથી,$Q = \frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12$
$2 t_2 = \frac{12}{2}$
$4 t_2 = 12$
$t_2 = 3 \ s$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા પદાર્થોમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $H = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$,જ્યાં $T$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
બીજા પદાર્થ માટે: $H = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$.
$2(T_2 - T) = T - T_1 \implies 2T_2 - 2T = T - T_1 \implies 3T = 2T_2 + T_1 \implies T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$.
$T$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $H = \frac{KA}{x} (T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3}) = \frac{KA}{x} (\frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3}) = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] f$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = 1/3$ મળે છે.

(A) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે,એટલે કે $A_A = A_B = A$.
ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
બંને સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ સમાન હોવાથી,$R_A = R_B$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{l_A}{K_A A} = \frac{l_B}{K_B A}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{K_A}{K_B}$ મળે.
આપેલ ગુણોત્તર કિંમત મૂકતા,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{3}{2}$ થાય.

(A) પ્રથમ સ્લેબમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $\dot{Q}_1 = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા સ્લેબ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $\dot{Q}_2 = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$ છે.
જેમ કે સ્લેબ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,બંનેમાંથી સમાન ઉષ્મા પ્રવાહ વહે છે,તેથી $\dot{Q}_1 = \dot{Q}_2$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$.
બંને બાજુથી $A$ દૂર કરતા: $\frac{K_1 (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 (T - T_2)}{d_2}$.
ગુણાકાર કરતા: $K_1 d_2 (T_1 - T) = K_2 d_1 (T - T_2)$.
વિસ્તરણ કરતા: $K_1 d_2 T_1 - K_1 d_2 T = K_2 d_1 T - K_2 d_1 T_2$.
$T$ માટે ગોઠવતા: $K_1 d_2 T_1 + K_2 d_1 T_2 = T (K_1 d_2 + K_2 d_1)$.
આમ,$T = \frac{K_1 T_1 d_2 + K_2 T_2 d_1}{K_1 d_2 + K_2 d_1}$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{s} = R + R = 2R$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta T}{R_{s}} \times t_{s} = \frac{\Delta T}{2R} \times 8 = \frac{4 \Delta T}{R}$ છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta T}{R_{p}} \times t_{p} = \frac{\Delta T}{R/2} \times t_{p} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$ છે.
બંને કિસ્સામાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q$ સમાન હોવાથી,આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{4 \Delta T}{R} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$.
$t_{p}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t_{p} = \frac{4}{2} = 2 \ s$ મળે છે.

(B) ઉષ્મીય અવરોધ $(R_{th})$ એ તાપમાનના તફાવત $(\Delta T)$ અને ઉષ્માના વહન દર ($H$ અથવા ઉષ્મીય પ્રવાહ) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $R_{th} = \frac{\Delta T}{H}$
આપેલ છે:
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 28^{\circ} C$
ઉષ્માના વહનનો દર $H = 1400 \ cal s^{-1}$
ગણતરી:
$R_{th} = \frac{28}{1400} \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
$R_{th} = 0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
તેથી, ઉષ્મીય અવરોધ $0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$ છે.

(A) આપેલ છે:
ઉષ્માના વહનનો દર (conduction rate) $P_{\text{cond}} = 1600 \text{ cal/s}$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 40^{\circ} C$.
ઉષ્મીય અવરોધ $R_T$ નું સૂત્ર તાપમાનના તફાવત અને ઉષ્માના વહન દરના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_T = \frac{\Delta T}{P_{\text{cond}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$R_T = \frac{40}{1600}$
$R_T = \frac{1}{40} = 0.025^{\circ} C s/cal$.
આમ,ઉષ્મીય અવરોધ $0.025^{\circ} C s/cal$ છે.

(D) સ્લેબનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ $R = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ જાડાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $R_1 = \frac{x}{KA}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$.
સ્લેબ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R_{eq}} = \frac{T_2 - T_1}{\frac{3x}{KA}} = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$.
આપેલ સમીકરણ $\left[\frac{A(T_2 - T_1)K}{x}\right] \cdot f$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$f = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે અને જંકશનનું તાપમાન $T_X$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતી કુલ ઉષ્મા એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતી કુલ ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં,$90^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતી બે સળિયાઓમાંથી ઉષ્મા જંકશન $X$ તરફ વહે છે,અને ત્યારબાદ જંકશન $X$ થી $0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતી સળિયા તરફ વહે છે.
ધારો કે $H_1$ અને $H_2$ એ $90^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતી બે સળિયાઓમાંથી આવતો ઉષ્મા પ્રવાહ છે,અને $H$ એ $0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા છેડા તરફ જતો ઉષ્મા પ્રવાહ છે.
$H = H_1 + H_2$
ઉષ્મા પ્રવાહના સૂત્ર $H = \frac{\Delta T}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{T_X - 0}{R} = \frac{90 - T_X}{R} + \frac{90 - T_X}{R}$
સળિયાઓ સમાન હોવાથી,ઉષ્મીય અવરોધ $R$ બધા માટે સમાન છે.
$T_X = (90 - T_X) + (90 - T_X)$
$T_X = 180 - 2T_X$
$3T_X = 180$
$T_X = 60^{\circ} C$
આમ,જંકશન $X$ પરનું તાપમાન $60^{\circ} C$ છે.

(B) વાહકનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th} = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$K$ ઉષ્મીય વાહકતા છે,અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. વાહકો સમાન હોવાથી,$L$ અને $A$ બધા માટે સમાન છે.
ધારો કે $R_0 = \frac{L}{KA}$. તો ઉષ્મીય અવરોધો નીચે મુજબ છે:
$R_A = \frac{L}{KA} = R_0$
$R_B = \frac{L}{(2K)A} = \frac{R_0}{2}$
$R_C = \frac{L}{(K/2)A} = 2R_0$
સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણી જોડાણમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ અચળ રહે છે:
$H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{100 - 0}{R_A + R_B + R_C} = \frac{100}{R_0 + \frac{R_0}{2} + 2R_0} = \frac{100}{3.5 R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
ધારો કે $A$ અને $B$ ના જંકશનનું તાપમાન $T'$ છે. $A$ માંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ:
$H = \frac{100 - T'}{R_A} = \frac{100 - T'}{R_0}$
$H$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{100 - T'}{R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
$100 - T' = \frac{200}{7}$
$T' = 100 - 28.57 = 71.43^{\circ} C$
આમ,તાપમાન આશરે $71^{\circ} C$ છે.

(A) આપેલ છે કે સળિયા સમાન છે,તેથી દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{area}$ ધારો.
ધારો કે $K_{A}, K_{B}, K_{C}$ એ અનુક્રમે સળિયા $A, B, C$ ની ઉષ્મા વાહકતા છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$K_{B} = \frac{1}{2} K_{A}$
$K_{B} = 3 K_{C} \implies K_{C} = \frac{K_{B}}{3} = \frac{K_{A}}{6}$
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_{A} + R_{B} + R_{C}$
$\frac{3l}{K_{eq} A_{area}} = \frac{l}{K_{A} A_{area}} + \frac{l}{K_{B} A_{area}} + \frac{l}{K_{C} A_{area}}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{A}} + \frac{1}{K_{A}/2} + \frac{1}{K_{A}/6}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{A}} + \frac{2}{K_{A}} + \frac{6}{K_{A}}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{9}{K_{A}}$
$K_{eq} = \frac{3 K_{A}}{9} = \frac{1}{3} K_{A}$

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્તરોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
ધારો કે દરેક સ્તરની જાડાઈ $l$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
ધારો કે સ્તર $A$ અને $B$ ની ઉષ્મીય વાહકતા અનુક્રમે $K_A$ અને $K_B$ છે.
આપેલ છે: $K_A = 2K_B$.
ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $H$ બંને સ્તરો માટે અચળ છે:
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{l} = \frac{K_B A \Delta T_B}{l}$
જ્યાં $\Delta T_A$ અને $\Delta T_B$ એ અનુક્રમે સ્તર $A$ અને $B$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત છે.
બંને બાજુથી $A$ અને $l$ ને દૂર કરતા:
$K_A \Delta T_A = K_B \Delta T_B$
$K_A = 2K_B$ મૂકતા:
$2K_B \Delta T_A = K_B \Delta T_B \Rightarrow \Delta T_B = 2 \Delta T_A$
દીવાલની આરપાર કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 24^{\circ} C$ છે.
સમીકરણમાં $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ મૂકતા:
$\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 24^{\circ} C$
$3 \Delta T_A = 24^{\circ} C \Rightarrow \Delta T_A = 8^{\circ} C$.
તેથી,સ્તર $B$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત:
$\Delta T_B = 2 \times 8^{\circ} C = 16^{\circ} C$.

(D) આ સિસ્ટમ શ્રેણીમાં ત્રણ સ્તરો ધરાવે છે: કાચ, હવા અને કાચ। સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R = \frac{l}{kA}$।
આપેલ છે: $l_1 = l_3 = 1 \,cm = 0.01 \,m$, $l_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$, $A = 2.6 \,m^2$, $k_{glass} = 0.8 \,Wm^{-1} K^{-1}$, $k_{air} = 0.08 \,Wm^{-1} K^{-1}$.
$R_1 = R_3 = \frac{0.01}{0.8 \times 2.6} = \frac{0.01}{2.08} \approx 0.0048 \,K/W$.
$R_2 = \frac{0.05}{0.08 \times 2.6} = \frac{0.05}{0.208} \approx 0.2404 \,K/W$.
$R_{eq} = 2 \times \left(\frac{0.01}{2.08}\right) + \frac{0.05}{0.208} = \frac{0.02}{2.08} + \frac{0.5}{2.08} = \frac{0.52}{2.08} = 0.25 \,K/W$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \frac{18 - (-2)}{0.25} = \frac{20}{0.25} = 80 \,W$.

(B) ધારો કે જંકશન $B$ પરનું તાપમાન $T_B$ છે. સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા સળિયા સમાન દ્રવ્ય $(k)$ અને સમાન આડછેદ $(A)$ ધરાવતા હોવાથી,ઉષ્મીય અવરોધ લંબાઈ $(L)$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(R \propto L)$.
ધારો કે $R_{AB}, R_{BC}, R_{BD}$ એ અનુક્રમે સળિયા $AB, BC, BD$ ના અવરોધો છે.
આપેલ છે કે $AB$ માં ઉષ્માનો પ્રવાહ નથી,તેથી $B$ પરનું તાપમાન $A$ પરના તાપમાન જેટલું હોવું જોઈએ. તેથી,$T_B = T_A = 20^{\circ} C$.
$AB$ માં ઉષ્માનો પ્રવાહ ન હોવાથી,$D$ થી $B$ તરફ વહેતી તમામ ઉષ્મા $B$ થી $C$ તરફ વહેવી જોઈએ. આમ,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{DB} = H_{BC}$.
$H = \frac{\Delta T}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_D - T_B}{R_{BD}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{90 - 20}{R_{BD}} = \frac{20 - 0}{R_{BC}}$.
$\frac{70}{R_{BD}} = \frac{20}{R_{BC}}$.
$\frac{R_{BD}}{R_{BC}} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$.
$R \propto L$ હોવાથી,$\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{7}{2}$.

(C) ધારો કે તાંબા અને લોખંડના જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી અને સપાટીઓ ઉષ્મીય રીતે અવાહક હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હશે.
ધારો કે $K_1 = 386.4 \ W/m-K$ (તાંબુ),$l_1 = 0.75 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$.
ધારો કે $K_2 = 48.46 \ W/m-K$ (લોખંડ),$l_2 = 1.25 \ m$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
બંને માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મા વહનના દરને સરખાવતા: $\frac{K_1 A (T_1 - \theta)}{l_1} = \frac{K_2 A (\theta - T_2)}{l_2}$.
$\frac{386.4 (100 - \theta)}{0.75} = \frac{48.46 (\theta - 0)}{1.25}$.
$515.2 (100 - \theta) = 38.768 \theta$.
$51520 - 515.2 \theta = 38.768 \theta$.
$553.968 \theta = 51520$.
$\theta = \frac{51520}{553.968} \approx 93^{\circ} C$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્લેબમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
$H = \frac{k_1 A (\Delta T_A)}{L} = \frac{k_2 A (\Delta T_B)}{L}$
બંને સ્લેબ માટે જાડાઈ $(L)$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$k_1 (\Delta T_A) = k_2 (\Delta T_B)$
આપેલ છે કે $k_1 = \frac{k_2}{2}$,તેથી $k_2 = 2k_1$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$k_1 (\Delta T_A) = 2k_1 (\Delta T_B)$
$\Delta T_A = 2 \Delta T_B$
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ તાપમાન તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 12^{\circ} C$ છે.
$\Delta T_A = 2 \Delta T_B$ ને કુલ તાપમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \Delta T_B + \Delta T_B = 12^{\circ} C$
$3 \Delta T_B = 12^{\circ} C \implies \Delta T_B = 4^{\circ} C$
તેથી,સ્લેબ $A$ ની આજુબાજુનો તાપમાન તફાવત:
$\Delta T_A = 12^{\circ} C - 4^{\circ} C = 8^{\circ} C$ થાય.

(A) ધારો કે સ્લેબ $B$ ની જાડાઈ $d$ છે અને તેની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ છે. તો,સ્લેબ $A$ માટે,જાડાઈ $2d$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $2K$ છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટી પરનું તાપમાન $T$ છે.
સ્લેબ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને સ્લેબમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હશે:
$H = \frac{K_A A (T_1 - T)}{d_A} = \frac{K_B A (T - T_2)}{d_B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2K \cdot A (100 - T)}{2d} = \frac{K \cdot A (T - 25)}{d}$
$(100 - T) = (T - 25)$
$2T = 125$
$T = 62.5^{\circ} C$

(B) ધારો કે સંગમબિંદુ $B$ આગળનું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા $BC$ અને $BD$ તેમના બહારના છેડાઓ પર સમાન તાપમાન $(80^{\circ} C)$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાંતર ઉષ્મીય અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
સળિયા $BC$ અને $BD$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થશે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયા $AB$ માંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ એ સળિયા $BC$ અને $BD$ માંથી વહેતા ઉષ્મા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ઉષ્મા પ્રવાહના સૂત્ર $\frac{Q}{t} = \frac{\Delta T}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\theta - 20}{R} = \frac{80 - \theta}{R/2}$
$\theta - 20 = 2(80 - \theta)$
$\theta - 20 = 160 - 2\theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ} C$
આમ,સંગમબિંદુ $B$ આગળનું તાપમાન $60^{\circ} C$ છે.

(A) જ્યારે બે સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{kA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સળિયા માટે: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
$\frac{l_1+l_2}{k A} = \frac{l_1}{k_1 A} + \frac{l_2}{k_2 A}$.
બંને બાજુથી ક્ષેત્રફળ $A$ ને દૂર કરતા:
$\frac{l_1+l_2}{k} = \frac{l_1}{k_1} + \frac{l_2}{k_2}$.
$\frac{l_1+l_2}{k} = \frac{k_2 l_1 + k_1 l_2}{k_1 k_2}$.
તેથી,$k = \frac{(l_1+l_2) k_1 k_2}{k_2 l_1 + k_1 l_2}$.

(A) સમાન લંબાઈ $\ell$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા બે સળિયાઓને શ્રેણીમાં જોડતા,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$R_{eq} = R_1 + R_2$
$R = \frac{\ell}{KA}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2\ell}{K_{eff} A} = \frac{\ell}{K_1 A} + \frac{\ell}{K_2 A}$
બંને બાજુથી $\frac{\ell}{A}$ દૂર કરતા:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
અહીં $K_1 = 3$ અને $K_2 = 4$ આપેલ છે:
$\frac{2}{K_{eff}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$
$K_{eff} = \frac{24}{7} \approx 3.43$ એકમ.

(A) ધારો કે સળિયા $x$ નો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{\ell}{k_x A}$ છે. સળિયા $x$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $y$ કરતા $3$ ગણી હોવાથી $(k_x = 3k_y)$,સળિયા $y$ નો ઉષ્મીય અવરોધ $3R$ થશે.
આકૃતિ પરથી,$B$ અને $E$ વચ્ચેનું નેટવર્ક બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે: એક શાખામાં $y$ અને $y$ સળિયા છે (કુલ અવરોધ $3R + 3R = 6R$) અને બીજી શાખામાં $x$ અને $x$ સળિયા છે (કુલ અવરોધ $R + R = 2R$).
$B$ અને $E$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BE}$ માટે $\frac{1}{R_{BE}} = \frac{1}{6R} + \frac{1}{2R} = \frac{1+3}{6R} = \frac{4}{6R} = \frac{2}{3R}$,તેથી $R_{BE} = 1.5R$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{AB} + R_{BE} + R_{EF} = R + 1.5R + 3R = 5.5R = \frac{11R}{2}$ છે.
કુલ ઉષ્મીય પ્રવાહ $H = \frac{100 - 40}{5.5R} = \frac{60}{5.5R} = \frac{120}{11R}$.
હવે,$T_B = 100 - H \cdot R = 100 - \frac{120}{11R} \cdot R = 100 - 10.91 \approx 89.09^{\circ}C$.
અને $T_E = 40 + H \cdot (3R) = 40 + \frac{120}{11R} \cdot 3R = 40 + 32.73 \approx 72.73^{\circ}C$.
આમ,$T_B \approx 89^{\circ}C$ અને $T_E \approx 73^{\circ}C$.