Thermal Resistance and it's Combination Questions in Gujarati

(A) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ છે.
આકૃતિ $(i)$ માં,સળિયા શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_S = R + R = 2R$ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{Q}{t_S} = \frac{\Delta \theta}{R_S} = \frac{\Delta \theta}{2R}$ છે.
આપેલ છે કે $t_S = 4 \text{ મિનિટ}$,તેથી $\frac{Q}{4} = \frac{\Delta \theta}{2R} \implies Q = \frac{2 \Delta \theta}{R}$.
આકૃતિ $(ii)$ માં,સળિયા સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_P = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{Q}{t_P} = \frac{\Delta \theta}{R_P} = \frac{\Delta \theta}{R/2} = \frac{2 \Delta \theta}{R}$ છે.
ઉષ્માનો જથ્થો $Q$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ સમાન હોવાથી,આપણે દરોને સરખાવીએ:
$\frac{Q}{t_P} = \frac{Q}{t_S} \times \frac{R_S}{R_P} \implies t_P = t_S \times \frac{R_P}{R_S} = 4 \times \frac{R/2}{2R} = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \text{ મિનિટ}$.

(D) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયાઓના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે $(A_1 = A_2 = A)$ અને ઉષ્મીય અવરોધ સમાન છે $(R_1 = R_2 = R)$,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$R_1 = \frac{l_1}{K_1 A}$ અને $R_2 = \frac{l_2}{K_2 A}$.
$R_1 = R_2$ હોવાથી,$\frac{l_1}{K_1 A} = \frac{l_2}{K_2 A}$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{l_1}{l_2} = \frac{K_1}{K_2}$ મળે છે.
ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{5}{4}$ આપેલ હોવાથી,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \frac{5}{4}$ થશે.

(A) ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
લંબાઈ $l$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $= [L]$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $= [L^2]$.
ઉષ્મીય વાહકતા $K$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $= [MLT^{-3}K^{-1}]$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{[L]}{[MLT^{-3}K^{-1}] \times [L^2]} = \frac{[L]}{[ML^3T^{-3}K^{-1}]} = [M^{-1}L^{-2}T^3K]$.

(B) ધારો કે દ્રવ્યની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ છે, દરેક સળિયાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને લંબાઈ $l$ છે. તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ છે。
કિસ્સો $1$: જ્યારે છેડેથી છેડે જોડવામાં આવે, ત્યારે કુલ લંબાઈ $2l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ થાય છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq1} = \frac{2l}{KA}$ છે。
વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq1}} \times t_1 = \frac{\Delta \theta \cdot KA}{2l} \times 12 = \frac{6KA\Delta \theta}{l}$ થાય。
કિસ્સો $2$: જ્યારે લંબાઈની દિશામાં (સમાંતર) જોડવામાં આવે, ત્યારે લંબાઈ $l$ અને કુલ ક્ષેત્રફળ $2A$ થાય છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq2} = \frac{l}{K(2A)} = \frac{l}{2KA}$ છે。
વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq2}} \times t_2 = \frac{\Delta \theta \cdot 2KA}{l} \times t_2$ થાય。
બંને કિસ્સાઓમાં ઉષ્મા $Q$ ને સરખાવતા:
$\frac{6KA\Delta \theta}{l} = \frac{2KA\Delta \theta}{l} \times t_2$
$6 = 2t_2$
$t_2 = 3 \text{ s}$.

(B) જ્યારે સમાન જાડાઈ $d$ અને ઉષ્મા વાહકતા $K_1$ અને $K_2$ ધરાવતી બે પ્લેટોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$
અહીં $K_1 = 2$ અને $K_2 = 3$ આપેલ છે:
$K_{eq} = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 + 3} = \frac{12}{5} = 2.4$
આમ,સંયુક્ત પ્લેટની ઉષ્મા વાહકતા $2.4$ થશે.

(B) નળાકારો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને નળાકારોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $K_P = 2K$ અને $K_Q = 3K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ દરેક નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળાકાર $P$ માટે: $H_P = \frac{2KA(100 - \theta)}{L}$.
નળાકાર $Q$ માટે: $H_Q = \frac{3KA(\theta - 0)}{L}$.
$H_P = H_Q$ હોવાથી:
$\frac{2KA(100 - \theta)}{L} = \frac{3KA(\theta - 0)}{L}$.
$2(100 - \theta) = 3\theta$.
$200 - 2\theta = 3\theta$.
$5\theta = 200$.
$\theta = 40^{\circ}C$.

(B) સમાન જાડાઈના બે સ્તરો જ્યારે સમાંતરમાં ગોઠવાયેલા હોય,ત્યારે કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રફળો $A_1$ અને $A_2$ નો સરવાળો છે. સ્તરોની જાડાઈ સમાન હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે $A_1 = A_2 = A/2$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય ઉષ્મીય વાહકતા $K$ એ ક્ષેત્રફળના આધારે વાહકતાની ભારિત સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$
$A_1 = A_2 = A/2$ મૂકતા:
$K = \frac{K_1 (A/2) + K_2 (A/2)}{A/2 + A/2} = \frac{(K_1 + K_2)(A/2)}{A} = \frac{K_1 + K_2}{2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સમાન જાડાઈ $d$ અને ઉષ્મા વાહકતા $K_1$ અને $K_2$ ધરાવતા બે પદાર્થોના શ્રેણી જોડાણવાળા સંયુક્ત સ્લેબ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$
અહીં $K_1 = K$ અને $K_2 = 2K$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{2(K)(2K)}{K + 2K}$
$K_{eq} = \frac{4K^2}{3K}$
$K_{eq} = \frac{4}{3}K$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે ઉષ્મા વાહકતા $K_1 = 5K$ અને $K_2 = 3K$ છે.
ધારો કે લંબાઈ $L_1 = L_2 = L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = A_2 = A$ છે.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,$H_1 = H_2$.
$\frac{K_1 A (100 - \theta)}{L} = \frac{K_2 A (\theta - 20)}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $5K(100 - \theta) = 3K(\theta - 20)$.
$500 - 5\theta = 3\theta - 60$.
$8\theta = 560$.
$\theta = \frac{560}{8} = 70^{\circ}C$.

(B) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણાંક છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો માટે ઉષ્મીય અવરોધ $R$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે,તેથી:
$R_1 = R_2$
$\frac{l_1}{K_1 A_1} = \frac{l_2}{K_2 A_2}$
કારણ કે $A_1 = A_2$,સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$\frac{l_1}{K_1} = \frac{l_2}{K_2}$
લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{K_1}{K_2}$
ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{5}{3}$ આપેલ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{5}{3}$
તેથી,લંબાઈનો ગુણોત્તર $5:3$ છે.

(B) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા $B$ અને $C$ એ સળિયા $A$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,આપણે $B$ અને $C$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ ગણી શકીએ છીએ.
ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
સળિયા $B$ અને $C$ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ એ $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_p = \frac{R}{2}$.
હવે,આ તંત્ર બે અવરોધો $R$ અને $\frac{R}{2}$ ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે વર્તે છે.
જંકશનમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $\frac{dQ}{dt}$ સંરક્ષિત રહેવો જોઈએ.
આમ,$90^{\circ}C$ ના છેડાઓમાંથી સમાંતર જોડાણ દ્વારા વહેતી ઉષ્મા એ $0^{\circ}C$ ના છેડા તરફ સળિયા $A$ માંથી વહેતી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
$\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{90 - \theta}{R/2} = \frac{\theta - 0}{R}$
$2(90 - \theta) = \theta$
$180 - 2\theta = \theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ}C$.

(B) ધારો કે $K_{\text{Ni}} = K$. તો $K_{\text{Al}} = 3K$ અને $K_{\text{Cu}} = 2K_{\text{Al}} = 6K$.
સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ દરેક ભાગ માટે સમાન છે.
દરેક ભાગનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ છે.
$R_{\text{Cu}} = \frac{25}{6KA}$,$R_{\text{Ni}} = \frac{10}{KA}$,$R_{\text{Al}} = \frac{15}{3KA} = \frac{5}{KA}$.
કુલ અવરોધ $R_{\text{eq}} = R_{\text{Cu}} + R_{\text{Ni}} + R_{\text{Al}} = \frac{1}{KA} (\frac{25}{6} + 10 + 5) = \frac{95}{6KA}$.
કુલ તાપમાનનો તફાવત $100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{100}{R_{\text{eq}}} = \frac{600KA}{95} = \frac{120KA}{19}$.
$\text{Cu-Ni}$ જંકશનના તાપમાન $\theta_1$ માટે: $\frac{100 - \theta_1}{R_{\text{Cu}}} = \frac{dQ}{dt} \Rightarrow 100 - \theta_1 = \frac{120KA}{19} \cdot \frac{25}{6KA} = \frac{500}{19} \approx 26.32^{\circ}C$.
$\theta_1 = 100 - 26.32 = 73.68^{\circ}C$.
આપેલ વિકલ્પ $B$ મુજબ,સાચો જવાબ $B$ છે.

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બરફ પીગળવાનો દર $q = \frac{1}{L} \frac{dQ}{dt}$ છે,જ્યાં $L$ એ બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે.
કિસ્સો $1$: સળિયાઓને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_1 = \frac{100 - 0}{R/2} = \frac{200}{R}$ છે.
આમ,$q_1 = \frac{H_1}{L} = \frac{200}{RL}$ થાય.
કિસ્સો $2$: સળિયાઓને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_2 = \frac{100 - 0}{2R} = \frac{100}{2R} = \frac{50}{R}$ છે.
આમ,$q_2 = \frac{H_2}{L} = \frac{50}{RL}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{q_1}{q_2} = \frac{200/RL}{50/RL} = \frac{200}{50} = \frac{4}{1}$.

(C) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H$ એ $H = \frac{\Delta \theta}{R_{th}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{th} = \frac{l}{KA}$ એ ઉષ્મીય અવરોધ છે.
$PRQ$ માર્ગ માટે,${K_1}$ અને ${K_2}$ વાહકતા ધરાવતા સળિયા શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{PRQ} = \frac{l}{{K_1}A} + \frac{l}{{K_2}A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{{K_1}} + \frac{1}{{K_2}} \right) = \frac{l}{A} \left( \frac{{K_1} + {K_2}}{{K_1}{K_2}} \right)$ છે.
$PQ$ માર્ગ માટે,${K_3}$ વાહકતા ધરાવતા સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{PQ} = \frac{l}{{K_3}A}$ છે.
આપેલ છે કે બંને માર્ગો પર ઉષ્મા સમાન દરે વહે છે,તેથી ઉષ્મીય અવરોધ સમાન હોવા જોઈએ: $R_{PRQ} = R_{PQ}$.
તેથી,$\frac{l}{A} \left( \frac{{K_1} + {K_2}}{{K_1}{K_2}} \right) = \frac{l}{{K_3}A}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{{K_3}} = \frac{{K_1} + {K_2}}{{K_1}{K_2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે ${K_3} = \frac{{{K_1}{K_2}}}{{{K_1} + {K_2}}}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $100^{\circ}C$ છે,જેથી $\theta_A > \theta_B$ થાય.
ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ એ $A$ થી $B$ તરફ બે સમાંતર માર્ગો $ACB$ અને $ADB$ દ્વારા વહે છે.
તમામ ચાર સળિયા સમાન હોવાથી,દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ સમાન છે.
માર્ગ $ACB$ માટે,કુલ અવરોધ $2R$ છે. માર્ગ $ADB$ માટે પણ કુલ અવરોધ $2R$ છે.
માર્ગો સમાંતર હોવાથી અને સમાન અવરોધ ધરાવતા હોવાથી,ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે: $H/2$ એ $ACB$ માંથી અને $H/2$ એ $ADB$ માંથી વહે છે.
દરેક સળિયા પર તાપમાનનો ઘટાડો $\Delta \theta = (H/2) \times R$ છે.
આમ,$\theta_A - \theta_C = \theta_A - \theta_D$,જે સૂચવે છે કે $\theta_C = \theta_D$.
તેથી,બિંદુઓ $C$ અને $D$ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $\theta_C - \theta_D = 0^{\circ}C$ થશે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે પદાર્થોના સંયુક્ત સ્લેબમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1 = \frac{x}{KA}$ અને $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$ છે.
કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$ છે.
તેથી,ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{\frac{3x}{KA}} = \frac{1}{3} \frac{AK(T_2 - T_1)}{x}$ થાય છે.
આને આપેલ સમીકરણ $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{T_1 - T_2}{R}$,જ્યાં $R$ એ ઉષ્મીય અવરોધ છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $R = \frac{\Delta T}{dQ/dt}$.
તાપમાનના તફાવત $(\Delta T)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[\theta]$ છે.
ઉષ્મા $(dQ)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
સમય $(dt)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
તેથી,$R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર: $[R] = \frac{[\theta]}{[M L^2 T^{-2}] / [T]} = \frac{[\theta]}{[M L^2 T^{-3}]} = [M^{-1} L^{-2} T^3 \theta^1]$.

(B) સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. ઉષ્મીય અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
ધારો કે બંને સળિયાની લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે,તો કુલ લંબાઈ $2l$ માટે સમતુલ્ય ઉષ્માવાહકતા $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{2l}{K_{eq}A} = \frac{l}{K_1A} + \frac{l}{K_2A}$
બંને બાજુ $\frac{l}{A}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$

(B) સળિયાની ઉષ્મા અવરોધકતા $R_{th}$ નું સૂત્ર $R_{th} = \frac{\ell}{KA}$ છે,જ્યાં $\ell$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઉષ્મા અવરોધકતા સમાન છે,તેથી $(R_{th})_1 = (R_{th})_2$.
સમાન જાડાઈ હોવાથી,બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહેશે.
તેથી,$\frac{\ell_1}{K_1 A} = \frac{\ell_2}{K_2 A}$.
આના પરથી $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{K_1}{K_2}$ મળે છે.
ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{5}{3}$ આપેલ હોવાથી,લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{5}{3}$ થશે.

(A) ધારો કે કોપરની ઉષ્મીય વાહકતા $k_1$ અને બ્રાસની $k_2$ છે. આપેલ છે કે $k_1 : k_2 = 1 : 4$,તેથી $k_2 = 4k_1$.
સ્તરો શ્રેણીમાં હોવાથી અને સમાન જાડાઈ $d$ ધરાવતા હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને સ્તરોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હશે.
$H = \frac{k_1 A (\theta - 0)}{d} = \frac{k_2 A (100 - \theta)}{d}$
અહીં,$\theta$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
બંને બાજુથી $A$ અને $d$ ને દૂર કરતા: $k_1 \theta = k_2 (100 - \theta)$.
$k_2 = 4k_1$ મૂકતા: $k_1 \theta = 4k_1 (100 - \theta)$.
$\theta = 400 - 4\theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^{\circ}C$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલી બંને દિવાલોમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન હોય છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટી પરનું તાપમાન $\theta$ છે.
$\frac{dQ}{dt} = \frac{k_1 A (T_1 - \theta)}{d_1} = \frac{k_2 A (\theta - T_2)}{d_2}$
બંને બાજુથી ક્ષેત્રફળ $A$ ને દૂર કરતા:
$\frac{k_1 (T_1 - \theta)}{d_1} = \frac{k_2 (\theta - T_2)}{d_2}$
$k_1 d_2 (T_1 - \theta) = k_2 d_1 (\theta - T_2)$
$k_1 d_2 T_1 - k_1 d_2 \theta = k_2 d_1 \theta - k_2 d_1 T_2$
$k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2 = \theta (k_1 d_2 + k_2 d_1)$
$\theta = \frac{k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2}{k_1 d_2 + k_2 d_1}$

(A) ધારો કે ચાર સમાન સળીયાઓ એક ચોરસ $ABCD$ બનાવે છે,જ્યાં $AC$ અને $BD$ વિકર્ણો છે.
ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું તાપમાન $T_{A} = T^{\circ}C$ છે અને બિંદુ $C$ પરનું તાપમાન $T_{C} = T + 100^{\circ}C$ છે.
સળીયાઓ સમાન હોવાથી,દરેક સળીયાનો ઉષ્મીય અવરોધ સમાન છે,ધારો કે $R$.
ઉષ્મા $A$ થી $C$ તરફ બે સમાંતર માર્ગો દ્વારા વહે છે: માર્ગ $ABC$ અને માર્ગ $ADC$.
માર્ગ $ABC$ માટે,$B$ પરનું તાપમાન $A$ અને $C$ વચ્ચેના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનું મધ્યબિંદુ છે કારણ કે $AB$ અને $BC$ ના અવરોધો સમાન છે.
$T_{B} = \frac{T_{A} + T_{C}}{2} = \frac{T + (T + 100)}{2} = T + 50^{\circ}C$.
તે જ રીતે,માર્ગ $ADC$ માટે,$D$ પરનું તાપમાન $A$ અને $C$ વચ્ચેના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનું મધ્યબિંદુ છે.
$T_{D} = \frac{T_{A} + T_{C}}{2} = \frac{T + (T + 100)}{2} = T + 50^{\circ}C$.
વિકર્ણ $BD$ પર તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_{BD} = |T_{B} - T_{D}| = |(T + 50) - (T + 50)| = 0^{\circ}C$ થશે.

(B) સમાન જાડાઈ $d$ ધરાવતા બે પદાર્થોના શ્રેણી જોડાણવાળા સંયુક્ત સ્લેબ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
$R = \frac{d}{KA}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{2d}{K_{eq}A} = \frac{d}{K_1A} + \frac{d}{K_2A}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$,જે સૂત્ર $K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$ તરફ દોરી જાય છે.
અહીં $K_1 = K$ અને $K_2 = 2K$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{2 \times K \times 2K}{K + 2K} = \frac{4K^2}{3K} = \frac{4}{3}K$.

(D) સ્લેબનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th} = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સ્લેબ માટે,કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય.
$R_1 = \frac{x}{KA}$ અને $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$.
ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R_{eq}} = \frac{T_2 - T_1}{3x / KA} = \frac{1}{3} \frac{KA(T_2 - T_1)}{x}$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $f \left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = 1/3$ મળે છે.

(A) આ તંત્રમાં,બંને પદાર્થો ઉષ્માના વહનની દિશામાં સમાંતર રીતે ગોઠવાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્માવાહકતા $K_{eq}$ નું સૂત્ર $K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$ છે.
અંદરના નળાકારનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2$ છે.
બહારની નળાકાર કવચનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2}$.
$K_{eq} = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$.

(A) ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta\theta}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
કિસ્સા $(a)$ માટે,સળીયાઓ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય લંબાઈ $L_{eq} = L + L = 2L$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે. ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th,a} = \frac{2L}{KA}$ છે.
તેથી,$H_a = \frac{\Delta\theta}{R_{th,a}} = \frac{\Delta\theta KA}{2L}$.
આપેલ છે કે $H_a = \frac{Q}{t_a} = \frac{20}{4} = 5 \text{ cal/min}$.
કિસ્સા $(b)$ માટે,સળીયાઓ સમાંતરમાં છે. લંબાઈ $L$ છે અને સમતુલ્ય ક્ષેત્રફળ $A_{eq} = A + A = 2A$ છે. ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th,b} = \frac{L}{K(2A)} = \frac{L}{2KA}$ છે.
તેથી,$H_b = \frac{\Delta\theta}{R_{th,b}} = \frac{\Delta\theta 2KA}{L} = 4 \times H_a$.
કારણ કે $H_b = 4 \times H_a$,સમાન ઉષ્મા $Q$ માટે લાગતો સમય $t_b = \frac{t_a}{4} = \frac{4}{4} = 1 \text{ મિનિટ}$ થશે.

(A) ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t} = \frac{kA\Delta T}{L} = \frac{\Delta T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = \frac{L}{kA}$ એ ઉષ્મીય અવરોધ છે.
અહીં $Q$ અને $\Delta T$ અચળ હોવાથી,$t \propto R$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સામાં (શ્રેણી જોડાણ),કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ છે.
બીજા કિસ્સામાં (સમાંતર જોડાણ),કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે $t_s = 4 \ min$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{t_p}{t_s} = \frac{R_p}{R_s} = \frac{R/2}{2R} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$t_p = \frac{1}{4} \times t_s = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \ min$.

(D) ધારો કે $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\ell$ એ દરેક સળિયાની લંબાઈ છે. ઉષ્મા પ્રવાહનો દર એ પીગળવાના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $Q \propto \frac{dH}{dt}$.
કિસ્સો $1$: સમાંતર જોડાણ.
સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_p = \frac{R}{2} = \frac{\ell}{2KA}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_p = \frac{\Delta T}{R_p} = \frac{2KA \Delta T}{\ell}$ છે. તેથી,$Q_1 \propto \frac{2KA \Delta T}{\ell}$.
કિસ્સો $2$: શ્રેણી જોડાણ.
સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_s = R + R = \frac{2\ell}{KA}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_s = \frac{\Delta T}{R_s} = \frac{KA \Delta T}{2\ell}$ છે. તેથી,$Q_2 \propto \frac{KA \Delta T}{2\ell}$.
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{KA \Delta T / 2\ell}{2KA \Delta T / \ell} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(D) અહીં બંને નળાકાર સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,કુલ ઉષ્મીય વાહકતા એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય વાહકતાનો સરવાળો થાય છે.
ઉષ્મીય વાહકતા $C = \frac{kA}{l}$.
સમાંતર જોડાણ માટે,$C_{eq} = C_1 + C_2$.
$\frac{k_{eq} A_{total}}{l} = \frac{k_1 A_1}{l} + \frac{k_2 A_2}{l}$.
બંનેની લંબાઈ $l$ સમાન હોવાથી,$k_{eq} A_{total} = k_1 A_1 + k_2 A_2$.
અહીં,$A_1 = \pi r^2$ અને $A_2 = \pi ((2r)^2 - r^2) = 3\pi r^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{total} = A_1 + A_2 = 4\pi r^2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $k_{eq} (4\pi r^2) = k_1 (\pi r^2) + k_2 (3\pi r^2)$.
$4 k_{eq} = k_1 + 3k_2$.
$k_{eq} = \frac{1}{4} (k_1 + 3k_2)$.

(A) મધ્યમાં રહેલા સળીયા ($C$ અને $D$ ને જોડતા) માંથી ઉષ્માનું વહન ન થાય તે માટે,$C$ અને $D$ ના તાપમાન સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\theta_C = \theta_D$.
ઉપરના માર્ગ $ACB$ માટે,ઉષ્માના વહનનો દર:
$\left( \frac{Q}{t} \right)_{AC} = \left( \frac{Q}{t} \right)_{CB} \implies \frac{k_1 A (\theta_A - \theta_C)}{\ell} = \frac{k_2 A (\theta_C - \theta_B)}{\ell}$
$\implies \frac{\theta_A - \theta_C}{\theta_C - \theta_B} = \frac{k_2}{k_1} \quad \dots(i)$
નીચેના માર્ગ $ADB$ માટે,ઉષ્માના વહનનો દર:
$\left( \frac{Q}{t} \right)_{AD} = \left( \frac{Q}{t} \right)_{DB} \implies \frac{k_3 A (\theta_A - \theta_D)}{\ell} = \frac{k_4 A (\theta_D - \theta_B)}{\ell}$
$\implies \frac{\theta_A - \theta_D}{\theta_D - \theta_B} = \frac{k_4}{k_3} \quad \dots(ii)$
કારણ કે $\theta_C = \theta_D$,સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની ડાબી બાજુ સમાન છે.
તેથી,$\frac{k_2}{k_1} = \frac{k_4}{k_3} \implies k_1 k_4 = k_2 k_3$.

(B) એક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = l/KA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શાખા $A-B-C$ માટે,શ્રેણીમાં બે કૉપરના સળિયા છે,તેથી ઉષ્મીય અવરોધ $R_1 = l/(K_1 A) + l/(K_1 A) = 2l/(K_1 A)$.
શાખા $A-D-C$ માટે,શ્રેણીમાં બે સ્ટીલના સળિયા છે,તેથી ઉષ્મીય અવરોધ $R_2 = l/(K_2 A) + l/(K_2 A) = 2l/(K_2 A)$.
શાખાઓ $A-B-C$ અને $A-D-C$ બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 = (K_1 A)/(2l) + (K_2 A)/(2l) = A(K_1 + K_2)/(2l)$.
તેથી,$R_{eq} = 2l / (A(K_1 + K_2))$.

(B) શ્રેણીમાં રહેલી પ્લેટોમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચે મુજબ છે:
$\frac{Q}{t} = \frac{K_1 A (\theta_1 - \theta)}{L_1} = \frac{K_2 A (\theta - \theta_2)}{L_2}$
પ્લેટો સમાન પદાર્થની હોવાથી,$K_1 = K_2 = K$. તેમજ,ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
આપેલ છે: $\theta_1 = -20^{\circ}C$,$\theta_2 = 20^{\circ}C$,$L_1 = 2 \, cm$,$L_2 = 5 \, cm$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{K A (-20 - \theta)}{2} = \frac{K A (\theta - 20)}{5}$
$\frac{-20 - \theta}{2} = \frac{\theta - 20}{5}$
$5(-20 - \theta) = 2(\theta - 20)$
$-100 - 5\theta = 2\theta - 40$
$7\theta = -60$
$\theta = -\frac{60}{7} \approx -8.6^{\circ}C$
આમ,સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $-8.6^{\circ}C$ છે.

(C) જ્યારે સમાન જાડાઈ $l$ અને અલગ-અલગ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A_1$ અને $A_2$ ધરાવતી બે પ્લેટો સમાંતરમાં જોડાયેલી હોય,ત્યારે કુલ ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ એ દરેક પ્લેટમાંથી પસાર થતા ઉષ્મા વહન દરના સરવાળા જેટલો હોય છે.
કોઈ પ્લેટમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = k A \frac{(T_1 - T_2)}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ ઉષ્મા વહન દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{dQ_1}{dt} + \frac{dQ_2}{dt}$ થાય.
દરેક માટે પદો મૂકતા:
$k (A_1 + A_2) \frac{(T_1 - T_2)}{l} = k_1 A_1 \frac{(T_1 - T_2)}{l} + k_2 A_2 \frac{(T_1 - T_2)}{l}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\frac{(T_1 - T_2)}{l}$ ને દૂર કરતા:
$k (A_1 + A_2) = k_1 A_1 + k_2 A_2$.
તેથી,સમતુલ્ય ઉષ્માવાહકતા $k$:
$k = \frac{k_1 A_1 + k_2 A_2}{A_1 + A_2}$.

(B) ધારો કે દરેક પડની જાડાઈ $x$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. જો $B$ ની ઉષ્માવાહકતા $K$ હોય,તો $A$ ની ઉષ્માવાહકતા $2K$ થશે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને પડમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે: $\frac{Q}{t} = \frac{K_A A (\Delta T_A)}{x} = \frac{K_B A (\Delta T_B)}{x}$.
ક્ષેત્રફળ અને જાડાઈ સમાન હોવાથી,$K_A (\Delta T_A) = K_B (\Delta T_B)$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $(2K) (\Delta T_A) = K (\Delta T_B) \Rightarrow \Delta T_B = 2 \Delta T_A$.
કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 36^{\circ}C$ છે.
$\Delta T_B$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 36^{\circ}C \Rightarrow 3 \Delta T_A = 36^{\circ}C$.
તેથી,$\Delta T_A = 12^{\circ}C$.

(C) સ્થાયી ઉષ્મા અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે તાંબા અને સ્ટીલની ઉષ્માવાહકતા અનુક્રમે $k_1$ અને $k_2$ છે. આપેલ છે કે $k_1 = 9k_2$.
તાંબાના સળિયાની લંબાઈ $L_1 = 18 \ cm$ અને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $L_2 = 6 \ cm$ છે.
ધારો કે જંકશન પાસેનું તાપમાન $T_x$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{kA(T_H - T_L)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,$H_{copper} = H_{steel}$.
$\frac{k_1 A (100 - T_x)}{L_1} = \frac{k_2 A (T_x - 0)}{L_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{9k_2 (100 - T_x)}{18} = \frac{k_2 (T_x)}{6}$.
$\frac{100 - T_x}{2} = T_x$.
$100 - T_x = 2T_x$.
$3T_x = 100$.
$T_x = \frac{100}{3} \approx 33.33 \ ^\circ C$.

(B) પ્લેટનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th} = \frac{\ell}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ જાડાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્લેટો શ્રેણીમાં જોડાયેલી હોવાથી,કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
ધારો કે દરેક પ્લેટની જાડાઈ $\ell$ છે. સંયુક્ત પ્લેટની કુલ જાડાઈ $2\ell$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2\ell}{K_{eq} A} = \frac{\ell}{K_1 A} + \frac{\ell}{K_2 A}$.
બંને બાજુથી $\frac{\ell}{A}$ દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$.
તેથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય વાહકતા $K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ થાય.

(C) ધારો કે દરેક ચોસલાની જાડાઈ $L$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
બંને ચોસલા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના સરવાળા જેટલો થાય.
$R_{eq} = R_1 + R_2$
$R = \frac{L}{KA}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2L}{K_{eq}A} = \frac{L}{KA} + \frac{L}{2KA}$
બંને બાજુ $\frac{L}{A}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{2K}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{2+1}{2K} = \frac{3}{2K}$
$K_{eq} = \frac{4}{3} K$

(A) ઉષ્મીય અવરોધ $R_H$ નું સૂત્ર $R_H = \frac{L}{kA}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ,$k$ એ ઉષ્મા વાહકતા અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{k_1}{k_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{1}$.
ઉષ્મીય અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{k_1 A_1} \times \frac{k_2 A_2}{L_2} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{k_2}{k_1} \right) \times \left( \frac{A_2}{A_1} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.
આમ,તેમના ઉષ્મીય અવરોધનો ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(B) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે. ઉષ્મા વહનના સ્થાયી અવસ્થાના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશન પર મળતા ઉષ્મા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
ધારો કે સળિયા $A$,$B$ અને $C$ માં ઉષ્મા પ્રવાહ અનુક્રમે $H_A$,$H_B$ અને $H_C$ છે.
$H_A + H_B + H_C = 0$
બધા સળિયા સમાન દ્રવ્ય $(K)$,લંબાઈ $(L)$ અને ક્ષેત્રફળ $(A)$ ધરાવતા હોવાથી,તેમનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{KA}$ સમાન થશે.
$\frac{\theta - 0}{R} + \frac{\theta - 90}{R} + \frac{\theta - 90}{R} = 0$
$\theta + \theta - 90 + \theta - 90 = 0$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^oC$.

(C) સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માપ્રવાહ $H = \frac{KA\Delta \theta}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $PQ$ માટે,જેની ઉષ્મા વાહકતા $K_3$,લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે,ઉષ્માપ્રવાહનો દર:
$H_{PQ} = \frac{K_3 A \Delta \theta}{l} \quad ...(i)$
માર્ગ $PRQ$ માટે,સળિયા $PR$ અને $RQ$ શ્રેણીમાં છે. કુલ લંબાઈ $2l$ માટે તેમની સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_s$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{2l}{K_s A} = \frac{l}{K_1 A} + \frac{l}{K_2 A} \Rightarrow K_s = \frac{2K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
$PRQ$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માપ્રવાહ:
$H_{PRQ} = \frac{K_s A \Delta \theta}{2l} = \left( \frac{2K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right) \frac{A \Delta \theta}{2l} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \frac{A \Delta \theta}{l} \quad ...(ii)$
આપેલ છે કે $H_{PQ} = H_{PRQ}$,તેથી સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{K_3 A \Delta \theta}{l} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \frac{A \Delta \theta}{l}$
આમ,${K_3} = \frac{{{K_1}{K_2}}}{{{K_1} + {K_2}}}$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સ્તરોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{\Delta \theta}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્તર $A$ માટે (અવરોધ $R_1$ અને તાપમાન $\theta$ અને $\theta_1$): $H = \frac{\theta - \theta_1}{R_1}$.
સ્તર $B$ માટે (અવરોધ $R_2$ અને તાપમાન $\theta_2$ અને $\theta$): $H = \frac{\theta_2 - \theta}{R_2}$.
બંને દરોને સરખાવતા: $\frac{\theta - \theta_1}{R_1} = \frac{\theta_2 - \theta}{R_2}$.
$R_2(\theta - \theta_1) = R_1(\theta_2 - \theta)$.
$R_2\theta - R_2\theta_1 = R_1\theta_2 - R_1\theta$.
$\theta(R_1 + R_2) = R_1\theta_2 + R_2\theta_1$.
$\theta = \frac{R_1\theta_2 + R_2\theta_1}{R_1 + R_2}$.

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે.
પરિપથમાં $R$ અવરોધ ધરાવતો સળિયો $AB$ એ $B$ અને $C$ વચ્ચેની બે શાખાઓના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેની દરેક શાખામાં બે સળિયા શ્રેણીમાં છે,તેથી દરેક શાખાનો અવરોધ $R + R = 2R$ થાય.
$B$ અને $C$ વચ્ચેની બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$ થાય.
અંતે,શ્રેણીમાં $R$ અવરોધ ધરાવતો સળિયો $CD$ છે.
$A$ અને $D$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_{AB} + R_{BC} + R_{CD} = R + R + R = 3R$ છે.
તંત્રમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{T_A - T_D}{R_{eq}} = \frac{200 - 20}{3R} = \frac{180}{3R} = \frac{60}{R}$ છે.
જંકશન $B$ પાસેનું તાપમાન સળિયા $AB$ પરના તાપમાનના ઘટાડાનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$H = \frac{T_A - T_B}{R_{AB}} \Rightarrow \frac{60}{R} = \frac{200 - T_B}{R} \Rightarrow 60 = 200 - T_B \Rightarrow T_B = 140^oC$.

(D) દીવાલ ઉષ્માના પ્રવાહની દિશા (ડાબેથી જમણે) ની સાપેક્ષમાં સમાંતર રીતે ગોઠવાયેલા બ્લોક્સની બનેલી છે. દરેક બ્લોકની લંબાઈ $d$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બ્લોક્સ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_{eq}$ એ તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળના આધારે વ્યક્તિગત વાહકતાની ભારિત સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{eq} = \frac{\sum K_i A_i}{\sum A_i}$
આ ગોઠવણીમાં,$K_1$ વાહકતા ધરાવતા ત્રણ બ્લોક્સ અને $K_2$ વાહકતા ધરાવતા ત્રણ બ્લોક્સ છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $6A$ છે.
$K_{eq} = \frac{K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A}{A + A + A + A + A + A}$
$K_{eq} = \frac{3K_1 A + 3K_2 A}{6A} = \frac{3(K_1 + K_2)A}{6A} = \frac{K_1 + K_2}{2}$
આમ,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણાંક $\frac{K_1 + K_2}{2}$ છે.

(D) આપેલ આકૃતિમાં,બે સળિયા સમાંતર જોડાણમાં છે કારણ કે તેઓ સમાન લંબાઈ $d$ પર સમાન તાપમાનનો તફાવત $(T_1 - T_2)$ ધરાવે છે.
ધારો કે દરેક સળિયાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_0$ છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = A_0 + A_0 = 2A_0$ થશે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા સળિયા માટે સમતુલ્ય ઉષ્મીય વાહકતા $K$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{K_1A_1 + K_2A_2}{A_1 + A_2}$
$A_1 = A_0$ અને $A_2 = A_0$ મૂકતા:
$K = \frac{K_1A_0 + K_2A_0}{A_0 + A_0} = \frac{(K_1 + K_2)A_0}{2A_0} = \frac{K_1 + K_2}{2}$

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. આપેલ ગોઠવણીમાં એક સળિયો $AB$ શ્રેણીમાં છે અને તેની સાથે બે શાખાઓનું સમાંતર જોડાણ છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે સળિયા શ્રેણીમાં છે.
$1$. ઉપરની શાખાનો ઉષ્મીય અવરોધ (બે સળિયા શ્રેણીમાં) $R + R = 2R$ છે.
$2$. નીચેની શાખાનો ઉષ્મીય અવરોધ (બે સળિયા શ્રેણીમાં) $R + R = 2R$ છે.
$3$. આ બે શાખાઓ જંકશન $B$ અને બિંદુ $C$ ની વચ્ચે સમાંતર છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$,તેથી $R_{BC} = R$.
$4$. હવે,આ તંત્ર $A$ અને $C$ ની વચ્ચે બે અવરોધ $R_{AB} = R$ અને $R_{BC} = R$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવું છે.
$5$. શ્રેણી જોડાણમાં વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ અચળ રહે છે: $H = \frac{T_A - T_B}{R_{AB}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{120 - \theta}{R} = \frac{\theta - 20}{R}$.
$7$. $\theta$ માટે ઉકેલતા: $120 - \theta = \theta - 20 \implies 2\theta = 140 \implies \theta = 70^\circ C$.

(D) શ્રેણીમાં જોડાયેલી બે અવાહક શીટ્સ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H$ બંનેમાંથી સમાન રહે છે.
$H_1 = H_2$
$H = \frac{\Delta T}{R_{th}}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{100 - \theta}{R} = \frac{\theta - 20}{3R}$
બંને બાજુ $3R$ વડે ગુણતા:
$3(100 - \theta) = \theta - 20$
$300 - 3\theta = \theta - 20$
$320 = 4\theta$
$\theta = 80 ^oC$

(A) ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ એ $H = \frac{\Delta \theta}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ઉષ્મીય અવરોધ છે.
સળિયા માટે,ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ છે.
ધારો કે $R_A = \frac{l}{(3K)A}$ અને $R_B = \frac{l}{KA}$.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_S = R_A + R_B = \frac{l}{3KA} + \frac{l}{KA} = \frac{l + 3l}{3KA} = \frac{4l}{3KA}$ છે.
શ્રેણીમાં ઉષ્મા પ્રવાહ $H_S = \frac{\Delta \theta}{R_S} = \frac{\Delta \theta \cdot 3KA}{4l}$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_P = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{(\frac{l}{3KA})(\frac{l}{KA})}{\frac{l}{3KA} + \frac{l}{KA}} = \frac{\frac{l^2}{3K^2 A^2}}{\frac{4l}{3KA}} = \frac{l}{4KA}$ છે.
સમાંતરમાં ઉષ્મા પ્રવાહ $H_P = \frac{\Delta \theta}{R_P} = \frac{\Delta \theta \cdot 4KA}{l}$ છે.
સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણમાં ઉષ્મા પ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{H_P}{H_S} = \frac{\frac{\Delta \theta \cdot 4KA}{l}}{\frac{\Delta \theta \cdot 3KA}{4l}} = \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ થાય.

(B) ધારો કે સ્તર $B$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $k$ છે અને સ્તર $A$ ની $2k$ છે. ધારો કે દરેક સ્તરની જાડાઈ $x$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્તરોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હોય છે.
$H = \frac{A(\Delta T)_A}{R_A} = \frac{A(\Delta T)_B}{R_B}$
$R = \frac{x}{kA}$ હોવાથી,$R_A = \frac{x}{(2k)A}$ અને $R_B = \frac{x}{kA}$ મળે.
આમ,$R_B = 2R_A$ થાય.
કુલ તાપમાનનો તફાવત $(\Delta T)_A + (\Delta T)_B = 60 \ K$ છે.
$H$ અચળ હોવાથી,$(\Delta T)_A / R_A = (\Delta T)_B / R_B$,જેનો અર્થ છે કે $(\Delta T)_B = (\Delta T)_A \times (R_B / R_A) = 2(\Delta T)_A$.
આ કિંમતને કુલ તાપમાનના તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\Delta T)_A + 2(\Delta T)_A = 60 \ K$
$3(\Delta T)_A = 60 \ K$
$(\Delta T)_A = 20 \ K$.

(C) ધારો કે $A_1$ અને $A_2$ એ અનુક્રમે આંતરિક નળાકાર અને બાહ્ય કવચના આડછેદના ક્ષેત્રફળ છે.
$A_1 = \pi R^2$
$A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = 4\pi R^2$.
તંત્રના બંને છેડાઓ અલગ-અલગ તાપમાને હોવાથી અને તંત્ર સ્થાયી અવસ્થામાં હોવાથી,બંને ભાગોમાંથી ઉષ્માનું વહન સમાંતર રીતે થાય છે.
સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ માટે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ થાય.
$R = \frac{l}{kA}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{kA}{l} = \frac{k_1 A_1}{l} + \frac{k_2 A_2}{l}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા:
$k(4\pi R^2) = k_1(\pi R^2) + k_2(3\pi R^2)$
$4k = k_1 + 3k_2$
$k = \frac{k_1 + 3k_2}{4}$