Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Hindi

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{7} \sin^4 \frac{k\pi}{8}$.
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$,$\sin \frac{6\pi}{8} = \sin \frac{2\pi}{8}$,और $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8}$.
अतः,$S = 2(\sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{2\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8}) + \sin^4 \frac{4\pi}{8}$.
चूँकि $\sin \frac{2\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{4\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$,इसलिए $\sin^4 \frac{2\pi}{8} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 = \frac{1}{4}$ और $\sin^4 \frac{4\pi}{8} = 1^4 = 1$ है।
अब,$\sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} = \sin^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{\pi}{8} = (\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8})^2 - 2\sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$S = 2(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + 1 = 2(1) + 1 = 3$.

(D) दिया गया है: $x=\frac{\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta}$ और $y=\frac{\cos^3 \theta}{\sin^2 \theta}$.
हमें $x+y$ का मान ज्ञात करना है.
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$.
गणना करने पर $x+y = \frac{79}{18}$ प्राप्त होता है.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$\sec \theta \cosh y = \operatorname{cosec} x \implies \cos \theta = \sin x \cosh y \quad (i)$
$\operatorname{cosec} \theta \sinh y = \sec x \implies \sin \theta = \cos x \sinh y \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = (\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2$
$1 = \sin ^2 x \cosh ^2 y + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
चूंकि $\cosh ^2 y = 1 + \sinh ^2 y$,इसलिए:
$1 = \sin ^2 x (1 + \sinh ^2 y) + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
$1 = \sin ^2 x + \sin ^2 x \sinh ^2 y + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
$1 = \sin ^2 x + \sinh ^2 y (\sin ^2 x + \cos ^2 x)$
$1 = \sin ^2 x + \sinh ^2 y (1)$
$\sinh ^2 y = 1 - \sin ^2 x$
$\sinh ^2 y = \cos ^2 x$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\sin x \cosh y = \cos \theta$
$(2)$ $\cos x \sinh y = \sin \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(1)$ $\sin^2 x \cosh^2 y = \cos^2 \theta$
$(2)$ $\cos^2 x \sinh^2 y = \sin^2 \theta$
हम जानते हैं कि $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$,इसलिए $\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$.
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) = \cos^2 \theta$
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y = \cos^2 \theta$
$(2)$ से,$\sin^2 \theta = \cos^2 x \sinh^2 y$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y = 1 - \cos^2 x \sinh^2 y$
$\sinh^2 y (\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 - \sin^2 x$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ और $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ है:
$\sinh^2 y = \cos^2 x$.

(B) माना $x = \cot 70^{\circ} + 4 \cos 70^{\circ}$.
इसे $x = \frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} + 4 \cos 70^{\circ} = \frac{\cos 70^{\circ} + 4 \sin 70^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$x = \frac{\cos 70^{\circ} + 2 \sin 140^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 140^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 40^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$,इसलिए $x = \frac{\cos 70^{\circ} + 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\cos 70^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sin 20^{\circ} + 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{\sin 20^{\circ} + \sin 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin 20^{\circ} + \sin 40^{\circ} = 2 \sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} = 2 \times \frac{1}{2} \times \cos 10^{\circ} = \cos 10^{\circ}$.
अतः,$x = \frac{\cos 10^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{\sin 80^{\circ} + \sin 40^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$.
$\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \sqrt{3}$.

(B) दिया गया है:
$\sin \theta + \cos \theta = p$ --- $(i)$
$\tan \theta + \cot \theta = q$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$,इसलिए:
$1 + \sin 2\theta = p^2$
$\sin 2\theta = p^2 - 1$ --- $(iii)$
अब,समीकरण $(ii)$ को सरल करने पर:
$\tan \theta + \cot \theta = q$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = q$
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = q$
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = q$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{2}{2 \sin \theta \cos \theta} = q$
$\frac{2}{\sin 2\theta} = q$
$\sin 2\theta = \frac{2}{q}$ --- $(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर:
$p^2 - 1 = \frac{2}{q}$
$q(p^2 - 1) = 2$

(A) हम सर्वसमिका $2 \cot 2A + \tan A = \cot A$ ... $(i)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$.
$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \left[ \tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} \right]$.
सर्वसमिका $(i)$ में $A = \frac{2 \pi}{5}$ रखने पर,$\tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{2 \pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5}$.
पुनः सर्वसमिका $(i)$ में $A = \frac{\pi}{5}$ रखने पर,$\tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $\cot \frac{\pi}{5}$ है।

(D) दिया गया है,$\cos x = \tan y$,$\cot y = \tan z$ और $\cot z = \tan x$।
दिए गए समीकरणों से,$\tan y = \cos x$।
चूंकि $\cot y = \tan z$,इसलिए $\frac{1}{\tan y} = \tan z$,जिसका अर्थ है $\tan z = \frac{1}{\cos x}$।
साथ ही,$\cot z = \tan x$,इसलिए $\frac{1}{\tan z} = \tan x$।
$\tan z = \frac{1}{\cos x}$ को $\cot z = \tan x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos x = \tan x$ प्राप्त होता है।
$\cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \cos^2 x = \sin x$।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$1 - \sin^2 x = \sin x$,या $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $\sin x$ के लिए हल करने पर: $\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए हम ऋणात्मक मान $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < -1$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$।

(D) माना $\theta = \frac{\pi}{20}$ है। व्यंजक $E = (4 \cos^2 \theta - 1)(4 \cos^2 3\theta - 1)(4 \cos^2 5\theta + 1)(4 \cos^2 7\theta - 1)(4 \cos^2 9\theta - 1)$ है।
$4 \cos^2 \theta - 1 = \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करते हुए:
$E = \left(\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}\right) \left(\frac{\sin 9\theta}{\sin 3\theta}\right) (4 \cos^2 5\theta + 1) \left(\frac{\sin 21\theta}{\sin 7\theta}\right) \left(\frac{\sin 27\theta}{\sin 9\theta}\right)$.
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{20}$,$5\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $4 \cos^2 5\theta + 1 = 4(\frac{1}{2}) + 1 = 3$ है।
साथ ही,$\sin 21\theta = \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ और $\sin 27\theta = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\theta) = -\cos 3\theta$ है।
गुणनफल को सरल करने पर: $E = \frac{\sin 9\theta}{\sin \theta} \cdot 3 \cdot \frac{-\sin \theta}{\sin 7\theta} \cdot \frac{-\cos 3\theta}{\sin 9\theta} = 3 \cdot \frac{\cos 3\theta}{\sin 7\theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $7\theta = \frac{7\pi}{20}$ और $3\theta = \frac{3\pi}{20}$,$7\theta + 3\theta = \frac{10\pi}{20} = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin 7\theta = \cos 3\theta$ है।
अतः,$E = 3 \cdot \frac{\cos 3\theta}{\cos 3\theta} = 3$।

(C) माना $E = \sin ^2 76^{\circ}+\sin ^2 16^{\circ}-\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$ है।
सर्वसमिका $2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [ (1 - \cos 152^{\circ}) + (1 - \cos 32^{\circ}) ] - \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$
$E = 1 - \frac{1}{2} [ \cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} ] - \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cos 60^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = \cos 92^{\circ}$
साथ ही,$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} = \frac{1}{2} [ \cos 60^{\circ} - \cos 92^{\circ} ] = \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} - \cos 92^{\circ} ] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ}$
इन मानों को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 - \frac{1}{2} [ \cos 92^{\circ} ] - [ \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} ]$
$E = 1 - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(A) दिया गया है $3 \sin (\alpha-\beta)=5 \cos (\alpha+\beta)$.
पदों का विस्तार करने पर,$3(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 5(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin \alpha(3 \cos \beta + 5 \sin \beta) = \cos \alpha(5 \cos \beta + 3 \sin \beta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{5 \cos \beta + 3 \sin \beta}{3 \cos \beta + 5 \sin \beta} = \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}$.
अब,$\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 + \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}}{1 - \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}} = \frac{8(1 + \tan \beta)}{-2(1 - \tan \beta)} = -4 \tan \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)$.
इसलिए,$\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + 4 \tan \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = 0$.

(C) दिया गया है $\sin x + \sin y = \alpha$ और $\cos x + \cos y = \beta$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \alpha$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \beta$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{\alpha}{\beta}$
सर्वसमिका $\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x+y) = \frac{2(\alpha/\beta)}{1 + (\alpha/\beta)^2} = \frac{2 \alpha \beta}{\beta^2 + \alpha^2}$
अतः,$\operatorname{cosec}(x+y) = \frac{1}{\sin(x+y)} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2 \alpha \beta}$।

(A) दिया गया समीकरण: $(1+\sqrt{1+a})=(1+\sqrt{1-a}) \cot \alpha$
इसे इस प्रकार लिखें: $(1+\sqrt{1+a}) \sin \alpha = (1+\sqrt{1-a}) \cos \alpha$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin \alpha - \cos \alpha) = \sqrt{1-a} \cos \alpha - \sqrt{1+a} \sin \alpha$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\sqrt{1-a} \cos \alpha - \sqrt{1+a} \sin \alpha)^2$
$1 - \sin 2 \alpha = (1-a) \cos^2 \alpha + (1+a) \sin^2 \alpha - 2\sqrt{1-a^2} \sin \alpha \cos \alpha$
$1 - \sin 2 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + a(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) - \sqrt{1-a^2} \sin 2 \alpha$
$1 - \sin 2 \alpha = 1 - a \cos 2 \alpha - \sqrt{1-a^2} \sin 2 \alpha$
$a \cos 2 \alpha - \sin 2 \alpha = -\sqrt{1-a^2} \sin 2 \alpha$
पुनः वर्ग करने पर: $a^2 \cos^2 2 \alpha + \sin^2 2 \alpha - 2a \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha = (1-a^2) \sin^2 2 \alpha$
$a^2 \cos^2 2 \alpha + \sin^2 2 \alpha - a \sin 4 \alpha = \sin^2 2 \alpha - a^2 \sin^2 2 \alpha$
$a^2 \cos^2 2 \alpha + a^2 \sin^2 2 \alpha = a \sin 4 \alpha$
$a^2(1) = a \sin 4 \alpha$
अतः,$\sin 4 \alpha = a$.

(D) चूंकि $\sec (\theta+\alpha), \sec \theta, \sec (\theta-\alpha)$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए:
$2 \sec \theta = \sec (\theta+\alpha) + \sec (\theta-\alpha)$
$\Rightarrow \frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)} + \frac{1}{\cos (\theta-\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta+\alpha)}{\cos (\theta+\alpha) \cos (\theta-\alpha)}$
$\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta - \sin^2 \alpha = \cos^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$\Rightarrow \cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$
$\cos^2 \theta = 1 + \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (1 + \cos \alpha) = -\cos \alpha$

(C) दी गई श्रेणी के योग का सूत्र: $\sum_{k=0}^{n-1} \cos(A+kB) = \cos \left(\frac{2 A+(n-1) B}{2}\right) \sin \frac{n B}{2} \operatorname{cosec} \frac{B}{2}$.
हमें $S = \cos \frac{\pi}{19}+\cos \frac{3 \pi}{19}+\cos \frac{5 \pi}{19}+\ldots+\cos \frac{17 \pi}{19}$ का मान ज्ञात करना है.
यहाँ कोण एक समांतर श्रेणी में हैं जहाँ $A = \frac{\pi}{19}$,सार्व अंतर $B = \frac{2 \pi}{19}$,और पदों की संख्या $n = 9$ है.
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$S = \cos \left(\frac{2(\frac{\pi}{19}) + (9-1)(\frac{2 \pi}{19})}{2}\right) \sin \left(\frac{9 \times \frac{2 \pi}{19}}{2}\right) \operatorname{cosec} \left(\frac{2 \pi}{2 \times 19}\right)$
$S = \cos \left(\frac{9 \pi}{19}\right) \sin \left(\frac{9 \pi}{19}\right) \operatorname{cosec} \left(\frac{\pi}{19}\right)$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2 \theta)$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{18 \pi}{19}\right) \operatorname{cosec} \left(\frac{\pi}{19}\right)$
चूंकि $\sin \left(\frac{18 \pi}{19}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{19}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{19}\right)$:
$S = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{19}\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{19}\right)} = \frac{1}{2}$.

(C) हम सर्वसमिका $\cos \theta \cos(60^{\circ}-\theta) \cos(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति $P = (\cos 12^{\circ} \cos 48^{\circ} \cos 84^{\circ}) \cdot (\cos 24^{\circ} \cos 72^{\circ} \cos 36^{\circ})$ है।
पहले भाग के लिए: $\cos 12^{\circ} \cos(60^{\circ}-12^{\circ}) \cos(60^{\circ}+12^{\circ}) = \frac{1}{4} \cos(3 \times 12^{\circ}) = \frac{1}{4} \cos 36^{\circ}$।
दूसरे भाग के लिए: $\cos 24^{\circ} \cos(60^{\circ}-24^{\circ}) \cos(60^{\circ}+24^{\circ}) = \frac{1}{4} \cos(3 \times 24^{\circ}) = \frac{1}{4} \cos 72^{\circ}$।
अतः,$P = (\frac{1}{4} \cos 36^{\circ}) \cdot (\frac{1}{4} \cos 72^{\circ}) = \frac{1}{16} \cos 36^{\circ} \cos 72^{\circ}$।
$\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{16} \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right) \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) = \frac{1}{16} \left( \frac{5-1}{16} \right) = \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{16} = \frac{1}{64}$।

(D) माना $x = 16^{\circ}, y = 44^{\circ}, z = 76^{\circ}$ है।
दी गई अभिव्यक्ति का मान $3$ है।

(D) दिया गया है $\sin (\alpha+\beta)=5 \sin (\alpha-\beta)$।
विस्तार सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = 5(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = 5 \sin \alpha \cos \beta - 5 \cos \alpha \sin \beta$।
$6 \cos \alpha \sin \beta = 4 \sin \alpha \cos \beta$।
$2 \cos \alpha \cos \beta$ से विभाजित करने पर,हमें $3 \tan \beta = 2 \tan \alpha$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\frac{\sin 2 \beta}{5-\cos 2 \beta}$ पर विचार करें।
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin 2 \beta = \frac{2 \tan \beta}{1+\tan^2 \beta}$ और $\cos 2 \beta = \frac{1-\tan^2 \beta}{1+\tan^2 \beta}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\frac{2 \tan \beta}{1+\tan^2 \beta}}{5 - \frac{1-\tan^2 \beta}{1+\tan^2 \beta}} = \frac{2 \tan \beta}{5(1+\tan^2 \beta) - (1-\tan^2 \beta)} = \frac{2 \tan \beta}{5 + 5 \tan^2 \beta - 1 + \tan^2 \beta} = \frac{2 \tan \beta}{4 + 6 \tan^2 \beta} = \frac{\tan \beta}{2 + 3 \tan^2 \beta}$।
चूंकि $3 \tan \beta = 2 \tan \alpha$,हम $3 \tan \beta$ को $2 \tan \alpha$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \tan (\alpha - \beta)$।

(A) दिया गया है: $\sin \alpha+\sin \beta = -\frac{21}{65}$ और $\cos \alpha+\cos \beta = -\frac{27}{65}$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \alpha+\sin \beta)^2 + (\cos \alpha+\cos \beta)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$2 + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = \frac{441 + 729}{4225} = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$.
$2 + 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{18}{65} \implies 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{18}{65} - 2 = -\frac{112}{65}$.
$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{56}{65}$.
सर्वसमिका $\cos(\alpha - \beta) = 2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - 1 = -\frac{56}{65} \implies 2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1 - \frac{56}{65} = \frac{9}{65}$.
$\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{9}{130}$.
चूंकि $\pi < \alpha - \beta < 3\pi$,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ है।
इस अंतराल में,$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ ऋणात्मक है।
$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = -\sqrt{\frac{9}{130}} = -\frac{3}{\sqrt{130}}$।

(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$ है।
$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+2k)-(45^{\circ}+2k))}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+2k) - \cot(46^{\circ}+2k))$
योग का विस्तार करने पर:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 47^{\circ} - \cot 48^{\circ}) + \ldots + (\cot 133^{\circ} - \cot 134^{\circ})]$
चूंकि $\cot(180^{\circ}-\theta) = -\cot \theta$,इसलिए $\cot 133^{\circ} = -\cot 47^{\circ}$ और $\cot 134^{\circ} = -\cot 46^{\circ}$ है।
इन मानों को रखने पर,पद कट जाते हैं:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
दिया गया है $\frac{1}{\sin(n^{\circ})} = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$,अतः $n = 1$।

(A) दिया है,$\tan \beta = \frac{\tan \alpha + \tan \gamma}{1 + \tan \alpha \tan \gamma} = \frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\cos(\alpha - \gamma)} \dots (1)$
अब,व्यंजक $E = \frac{\sin 2 \alpha + \sin 2 \gamma}{1 + \sin 2 \alpha \sin 2 \gamma} = \frac{2 \sin(\alpha + \gamma) \cos(\alpha - \gamma)}{\cos^2(\alpha - \gamma) + \sin^2(\alpha + \gamma)}$
$= \frac{2 \frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\cos(\alpha - \gamma)}}{1 + \left(\frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\cos(\alpha - \gamma)}\right)^2}$
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर,यह $\frac{2 \tan \beta}{1 + \tan^2 \beta} = \sin 2 \beta$ है।

(D) दिया गया है $\sec ^{2018} \theta + \operatorname{cosec}^{2018} \alpha = 2$।
चूंकि $\sec ^{2018} \theta \geq 1$ और $\operatorname{cosec}^{2018} \alpha \geq 1$ होता है,इसलिए योग $2$ तभी संभव है जब $\sec ^{2018} \theta = 1$ और $\operatorname{cosec}^{2018} \alpha = 1$ हो।
अतः $\theta = 0$ और $\alpha = \pi/2$ लेने पर:
$\cos ^{2020} \theta + \sin ^{2022} \alpha = \cos ^{2020} (0) + \sin ^{2022} (\pi/2) = 1 + 1 = 2$।

(D) दी गई व्यंजक: $\cos ^2 10^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ}-\sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ}$
सर्वसमिका $2 \cos ^2 A = 1 + \cos 2A$ और $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [ (1 + \cos 20^{\circ}) + (1 + \cos 100^{\circ}) - (\cos(40^{\circ}-80^{\circ}) - \cos(40^{\circ}+80^{\circ})) ]$
$= \frac{1}{2} [ 2 + \cos 20^{\circ} + \cos 100^{\circ} - \cos(-40^{\circ}) + \cos 120^{\circ} ]$
चूँकि $\cos(-\theta) = \cos \theta$ और $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [ 2 + \cos 20^{\circ} + \cos 100^{\circ} - \cos 40^{\circ} - \frac{1}{2} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + (\cos 100^{\circ} + \cos 20^{\circ}) - \cos 40^{\circ} ]$
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + 2 \cos 60^{\circ} \cos 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} ]$
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{2}) \cos 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} + \cos 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} ] = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

(B) सबसे पहले,आवर्तता का उपयोग करके कोणों को सरल करें:
$\tan 348^{\circ} = \tan(360^{\circ} - 12^{\circ}) = -\tan 12^{\circ}$
$\cot 417^{\circ} = \cot(360^{\circ} + 57^{\circ}) = \cot 57^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 57^{\circ}) = \tan 33^{\circ}$
अब,व्यंजक $(1 - (-\tan 12^{\circ}))(1 + \tan 33^{\circ}) = (1 + \tan 12^{\circ})(1 + \tan 33^{\circ})$ है।
$= 1 + \tan 33^{\circ} + \tan 12^{\circ} + \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}$
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,$\tan(12^{\circ} + 33^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$
$\Rightarrow \frac{\tan 12^{\circ} + \tan 33^{\circ}}{1 - \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}} = 1$
$\Rightarrow \tan 12^{\circ} + \tan 33^{\circ} = 1 - \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}$
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= 1 + (1 - \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}) + \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}$
$= 1 + 1 = 2$

(A) हम सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हैं।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \frac{1 + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3}) + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})]$
सूत्र $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x \cos(\frac{2\pi}{3})]$
चूंकि $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x(-\frac{1}{2})]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x - \cos 2x] = \frac{3}{2}$

(D) दिया गया है कि किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\cos (x+\alpha)+\cos (x+\beta)+\cos (x+\gamma)=0$ है।
यह सम्मिश्र तल में इकाई लंबाई के तीन सदिशों के योग को दर्शाता है,जो एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
अतः,कोणों को $\frac{2\pi}{3}$ के सार्व अंतर के साथ समांतर श्रेणी में होना चाहिए।
मान लीजिए $\beta - \alpha = \frac{2\pi}{3}$ और $\gamma - \beta = \frac{2\pi}{3}$ है।
तब $\gamma - \alpha = (\gamma - \beta) + (\beta - \alpha) = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ है।
अतः,$\tan(\gamma - \alpha) = \tan(\frac{4\pi}{3}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।

(D) दिया गया है: $\tan A - \tan B = x$ और $\cot A - \cot B = y$.
हम जानते हैं कि $\tan A - \tan B = \frac{1}{\cot A} - \frac{1}{\cot B} = \frac{\cot B - \cot A}{\cot A \cot B} = x$.
चूंकि $\cot A - \cot B = y$,इसलिए $\cot B - \cot A = -y$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{-y}{\cot A \cot B} = x$,जिसका अर्थ है $\cot A \cot B = -\frac{y}{x}$.
अब,सूत्र $\cot (A - B) = \frac{\cot A \cot B + 1}{\cot B - \cot A}$ का उपयोग करने पर:
$\cot (A - B) = \frac{-\frac{y}{x} + 1}{-y} = \frac{\frac{x - y}{x}}{-y} = \frac{y - x}{xy}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) दिया गया है: $\sin x + \sin y = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$ और $\cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \implies \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{4} \quad (i)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \implies \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{4} \quad (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = 2+\sqrt{3}$.
अतः,$\tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = (2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}$.
$(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \implies \sec^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = 2$.
अतः,$\tan^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = 2-1 = 1$.
इसलिए,$\tan^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = 1 + 7 + 4\sqrt{3} = 8+4\sqrt{3}$.

(D) दिया है,$\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{y}{2}\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)$
सूत्र $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1+\tan \frac{y}{2}}{1-\tan \frac{y}{2}} = \left(\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right)^3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1+\sin y}{1-\sin y} = \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^3$
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{2}{2 \sin y} = \frac{(1+\sin x)^3 + (1-\sin x)^3}{(1+\sin x)^3 - (1-\sin x)^3}$
$\frac{1}{\sin y} = \frac{1+3 \sin ^2 x}{3 \sin x + \sin ^3 x}$
अतः,$\sin y = \frac{3 \sin x + \sin ^3 x}{1+3 \sin ^2 x}$.

(C) हमारे पास $x=\log _e \left[\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right]$ है।
कथन $I$ के लिए:
$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{2}$
$= \frac{\frac{\cos(\pi/4+\theta)}{\sin(\pi/4+\theta)} + \frac{\sin(\pi/4+\theta)}{\cos(\pi/4+\theta)}}{2} = \frac{\cos^2(\pi/4+\theta) + \sin^2(\pi/4+\theta)}{2 \sin(\pi/4+\theta) \cos(\pi/4+\theta)}$
$= \frac{1}{\sin(2(\pi/4+\theta))} = \frac{1}{\sin(\pi/2+2\theta)} = \frac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$.
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए:
$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) - \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{2}$
$= \frac{\frac{\cos^2(\pi/4+\theta) - \sin^2(\pi/4+\theta)}{\sin(\pi/4+\theta) \cos(\pi/4+\theta)}}{2} = \frac{\cos(2(\pi/4+\theta))}{\sin(2(\pi/4+\theta))}$
$= \cot(\pi/2+2\theta) = -\tan 2\theta$.
अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

(B) माना $P = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{2 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{4 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{6 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$.
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$,$\cos \frac{6\pi}{8} = -\cos \frac{2\pi}{8}$,और $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ है।
साथ ही,$\cos \frac{4\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)(1+0)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{2 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)$.
पदों को समूहित करने पर:
$P = \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{4}\right)$.
$P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{3 \pi}{8} \cdot \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{4}\right)$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$P = \left(\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2}\right) \left(\frac{1-\cos \frac{3\pi}{4}}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)$.
$P = \left(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right) \left(\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1-\frac{1}{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \sqrt{4 \sin^4 \theta + \sin^2 2 \theta} + 4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$.
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के पद को सरल करें:
$4 \sin^4 \theta + \sin^2 2 \theta = 4 \sin^4 \theta + (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = 4 \sin^4 \theta + 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 4 \sin^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 4 \sin^2 \theta$.
अतः,$\sqrt{4 \sin^2 \theta} = 2 |\sin \theta|$.
चूंकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sin \theta < 0$,इसलिए $2 |\sin \theta| = -2 \sin \theta$.
अब,दूसरे पद को सरल करें:
$4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = 2 \left[2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right] = 2 \left[1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right] = 2 (1 + \sin \theta) = 2 + 2 \sin \theta$.
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$E = -2 \sin \theta + 2 + 2 \sin \theta = 2$.

(D) दिया गया है कि $\sec(\theta+\alpha)$,$\sec\theta$,और $\sec(\theta-\alpha)$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
अतः,$2 \sec\theta = \sec(\theta+\alpha) + \sec(\theta-\alpha)$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos(\theta+\alpha)} + \frac{1}{\cos(\theta-\alpha)}$.
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{\cos(\theta-\alpha) + \cos(\theta+\alpha)}{\cos(\theta+\alpha)\cos(\theta-\alpha)}$.
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{2\cos\theta \cos\alpha}{\cos^2\theta - \sin^2\alpha}$.
$\cos^2\theta - \sin^2\alpha = \cos^2\theta \cos\alpha$.
$\cos^2\theta(1 - \cos\alpha) = \sin^2\alpha$.
$\cos^2\theta(2\sin^2\frac{\alpha}{2}) = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}$.
अतः,$\cos^2\theta = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$.
वर्गमूल लेने पर,$\cos\theta = \pm \sqrt{2} \cos\frac{\alpha}{2}$.
इसलिए,$\cos\theta \cdot \sec\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{2}$.

(C) माना $\theta_1 = \frac{\pi}{12}$,$\theta_2 = \frac{5\pi}{12}$,$\theta_3 = \frac{7\pi}{12}$,और $\theta_4 = \frac{11\pi}{12}$ है।
यहाँ $\theta_3 = \pi - \theta_2$ और $\theta_4 = \pi - \theta_1$ है।
चूँकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^4(\pi - x) = \cos^4 x$ होगा।
अतः,व्यंजक $2(\cos^4 \frac{\pi}{12} + \cos^4 \frac{5\pi}{12})$ बन जाता है।
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{12}$ के लिए,$\cos^4 \frac{\pi}{12} = \frac{3.5 + 2\sqrt{3}}{8}$।
$x = \frac{5\pi}{12}$ के लिए,$\cos^4 \frac{5\pi}{12} = \frac{3.5 - 2\sqrt{3}}{8}$।
योग करने पर: $2 \times (\frac{7}{8}) = \frac{7}{4}$।

(A) दिया गया है $\frac{\tan (\alpha+\beta-\gamma)}{\tan (\alpha-\beta+\gamma)}=\frac{\tan \gamma}{\tan \beta}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan (\alpha+\beta-\gamma)+\tan (\alpha-\beta+\gamma)}{\tan (\alpha+\beta-\gamma)-\tan (\alpha-\beta+\gamma)}=\frac{\tan \gamma+\tan \beta}{\tan \gamma-\tan \beta}$.
$\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ और $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(2\beta-2\gamma)} = \frac{\sin(\gamma+\beta)}{\sin(\gamma-\beta)}$.
$\sin(2\alpha) = \frac{\sin(\gamma+\beta) \sin(2\beta-2\gamma)}{\sin(\gamma-\beta)} = -2 \sin(\beta+\gamma) \cos(\beta-\gamma)$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(2\alpha) = -(\sin(2\beta) + \sin(2\gamma))$.
अतः,$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 0$.

(B) दिया गया है $\cos \alpha + \cos \beta = a$ और $\sin \alpha + \sin \beta = b$।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2 = a^2 + b^2$
$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\alpha - \beta) = a^2 + b^2$
$2 + 2 \cos(2 \theta) = a^2 + b^2$
$2(1 + \cos 2 \theta) = a^2 + b^2$
$2(2 \cos^2 \theta) = a^2 + b^2$
$4 \cos^2 \theta = a^2 + b^2$
$\cos^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{4}$।
अब,$\frac{\cos 3 \theta}{\cos \theta} = \frac{4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta}{\cos \theta} = 4 \cos^2 \theta - 3$।
$\cos^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \left( \frac{a^2 + b^2}{4} \right) - 3 = a^2 + b^2 - 3$।

(A) हम जानते हैं कि सर्वसमिका: $\tan \theta \cdot \tan \left(60^{\circ}-\theta\right) \cdot \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) = \tan 3\theta$ होती है।
दिया गया व्यंजक: $\tan \theta \cdot \tan \left(120^{\circ}-\theta\right) \cdot \tan \left(120^{\circ}+\theta\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
सर्वसमिका $\tan(180^{\circ} - A) = -\tan A$ का उपयोग करते हुए,$\tan(120^{\circ} - \theta) = -\tan(60^{\circ} + \theta)$ और $\tan(120^{\circ} + \theta) = -\tan(60^{\circ} - \theta)$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \theta \cdot [-\tan(60^{\circ} + \theta)] \cdot [-\tan(60^{\circ} - \theta)] = \tan \theta \cdot \tan(60^{\circ} + \theta) \cdot \tan(60^{\circ} - \theta) = \tan 3\theta$।
अतः,$\tan 3\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $\tan 3\theta = \tan \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए व्यापक हल $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{6}$ होगा।
$3$ से भाग देने पर,$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}, n \in Z$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास व्यंजक है: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
सर्वसमिका $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} = \frac{\sin(81^{\circ}+9^{\circ})}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{1}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{2}{\sin 18^{\circ}}$
इसी प्रकार,$\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ} = \frac{\sin(63^{\circ}+27^{\circ})}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{1}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
अब,व्यंजक बनता है $\frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}} = 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ} \sin 54^{\circ}} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ} = 2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}$
अतः,$2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ}} \right) = 2 \times 2 = 4$

(C) हम सर्वसमिका $\cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए समीकरण $\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}$ में सर्वसमिका रखने पर:
$\frac{1}{4} \cos 3x = \frac{1}{4}$
$\cos 3x = 1$
$x \in (0, 2\pi)$ के लिए,$3x$ अंतराल $(0, 6\pi)$ में स्थित है।
$\cos 3x = 1$ के लिए हल $3x = 2\pi, 4\pi$ हैं।
अतः,$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$।
हलों का योग $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ है।

(B) हमें दिया गया है $\lambda = \frac{\cos x}{\cos (x-2 y)}$.
व्यंजक $\tan (x-y) \tan y = \frac{\sin (x-y) \sin y}{\cos (x-y) \cos y}$ पर विचार करें।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2 \sin (x-y) \sin y}{2 \cos (x-y) \cos y}$ प्राप्त होता है।
गुणनफल-से-योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\tan (x-y) \tan y = \frac{\cos(x-2y) - \cos x}{\cos(x-2y) + \cos x}$.
अंश और हर को $\cos(x-2y)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 - \frac{\cos x}{\cos(x-2y)}}{1 + \frac{\cos x}{\cos(x-2y)}} = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}$.

(A) दिया है,$\sin A+\sin B=\sqrt{3}(\cos B-\cos A)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin A+\sqrt{3}\cos A=\sqrt{3}\cos B-\sin B$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2}\sin A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\frac{1}{2}\sin B$ प्राप्त होता है।
इसे $\sin A \cos \frac{\pi}{3}+\cos A \sin \frac{\pi}{3}=\sin \frac{\pi}{3} \cos B-\cos \frac{\pi}{3} \sin B$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सूत्र $\sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$ और $\sin(x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$ का उपयोग करने पर,$\sin(A+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3}-B)$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-B$,जिसका अर्थ है $A=-B$.
अब,$\sin 3A+\sin 3B = \sin 3(-B)+\sin 3B = -\sin 3B+\sin 3B = 0$.

(A) माना $x = \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}$.
चूंकि $\frac{14 \pi}{15} = \pi - \frac{\pi}{15}$,इसलिए $\cos \frac{14 \pi}{15} = -\cos \frac{\pi}{15}$ है।
साथ ही,$\frac{2 \pi}{15} = 24^{\circ}$,$\frac{4 \pi}{15} = 48^{\circ}$,$\frac{8 \pi}{15} = 96^{\circ}$,और $\frac{\pi}{15} = 12^{\circ}$ है।
अतः,$x = -\cos 12^{\circ} \cos 24^{\circ} \cos 48^{\circ} \cos 96^{\circ}$.
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$x = -\left( \frac{\sin(2^4 \times 12^{\circ})}{2^4 \sin 12^{\circ}} \right) = -\frac{\sin 192^{\circ}}{16 \sin 12^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 192^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 12^{\circ}) = -\sin 12^{\circ}$,
इसलिए $x = -\frac{-\sin 12^{\circ}}{16 \sin 12^{\circ}} = \frac{1}{16}$.

(B) हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\tan (60^{\circ}-A) \tan A \tan (60^{\circ}+A) = \tan 3A$.
दी गई अभिव्यक्ति: $E = \tan 6^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 66^{\circ} \tan 78^{\circ}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E = (\tan 6^{\circ} \tan 66^{\circ}) \times (\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ})$.
सर्वसमिका $\tan (60^{\circ}-A) \tan (60^{\circ}+A) = \frac{\tan 3A}{\tan A}$ का उपयोग करते हुए:
पहले भाग के लिए: $\tan 6^{\circ} \tan 66^{\circ} = \tan 6^{\circ} \tan (60^{\circ}+6^{\circ}) = \frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 54^{\circ}}$.
दूसरे भाग के लिए: $\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ} = \tan (60^{\circ}-18^{\circ}) \tan (60^{\circ}+18^{\circ}) = \frac{\tan 54^{\circ}}{\tan 18^{\circ}}$.
इनका गुणा करने पर: $E = \left( \frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 54^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\tan 54^{\circ}}{\tan 18^{\circ}} \right) = 1$.