Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(A) माना चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ है जिसकी भुजाएँ $AB = 2$,$BC = 5$,$CD = 3$,और $DA = d$ हैं। कोण $\angle ABC = 60^o$ है।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^o$ होता है,इसलिए $\angle ADC = 180^o - 60^o = 120^o$ है।
$\triangle ABC$ में विकर्ण $AC$ के लिए कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(60^o) = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5)(0.5) = 4 + 25 - 10 = 19$.
$\triangle ADC$ में विकर्ण $AC$ के लिए कोज्या नियम का उपयोग करने पर:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos(120^o) = d^2 + 3^2 - 2(d)(3)(-0.5) = d^2 + 9 + 3d$.
$AC^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$d^2 + 3d + 9 = 19 \Rightarrow d^2 + 3d - 10 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(d + 5)(d - 2) = 0$.
चूँकि भुजा की लंबाई $d$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $d = 2$।

(A) कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
दिया गया है $a = 4$,$b = 3$,और $A = 60^\circ$,अतः:
$\cos 60^\circ = \frac{3^2 + c^2 - 4^2}{2(3)(c)}$
$\frac{1}{2} = \frac{9 + c^2 - 16}{6c}$
$\frac{1}{2} = \frac{c^2 - 7}{6c}$
$6c = 2(c^2 - 7)$
$6c = 2c^2 - 14$
$2c^2 - 6c - 14 = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$c^2 - 3c - 7 = 0$.

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 5^2}{2(2)(3)}$.
$\cos C = \frac{4 + 9 - 25}{12} = \frac{13 - 25}{12} = \frac{-12}{12} = -1$.
चूंकि $\cos C = -1$,इसलिए $C = 180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन है।
हालाँकि,एक त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए $(a + b > c)$।
यहाँ,$2 + 3 = 5$,जिसका अर्थ है कि $a + b = c$ है।
यह इंगित करता है कि बिंदु $A, B, C$ संरेख हैं और एक त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $A = 30^{\circ}$,$a = 7$,और $b = 8$।
$b \sin A = 8 \sin 30^{\circ} = 8 \times 0.5 = 4$ की गणना करें।
चूंकि $b \sin A < a < b$ (अर्थात $4 < 7 < 8$),त्रिभुज अस्पष्ट स्थिति (ambiguous case) की शर्त को पूरा करता है।
इसलिए,कोण $B$ के दो संभावित मान हैं,जिसका अर्थ है कि दो हल मौजूद हैं।

(D) दिया गया है $b = 3, c = 4$ और $B = \frac{\pi}{3}$।
हम $c \sin B = 4 \sin \frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ की गणना करते हैं।
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$,इसलिए $2\sqrt{3} \approx 3.464$ है।
$b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c \sin B = 2\sqrt{3} > 3 = b$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b < c \sin B$,भुजा $b$ त्रिभुज की तीसरी भुजा तक पहुँचने के लिए बहुत छोटी है।
अतः,कोई भी त्रिभुज निर्मित नहीं किया जा सकता है।

(C) दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b^2 = a^2 + c^2$ है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को $A.P.$ की शर्त में रखने पर: $2(2R \sin B)^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin C)^2$।
यह सरल होकर $2 \sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 C$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\sin^2 B - \sin^2 A = \sin^2 C - \sin^2 B$।
सर्वसमिका $\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x+y)\sin(x-y)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(B+A)\sin(B-A) = \sin(C+B)\sin(C-B)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+A) = \sin C$ और $\sin(C+B) = \sin A$ है।
अतः,$\sin C \sin(B-A) = \sin A \sin(C-B)$।
इसका विस्तार करने पर,$\sin C(\sin B \cos A - \cos B \sin A) = \sin A(\sin C \cos B - \cos C \sin B)$।
दोनों पक्षों को $\sin A \sin B \sin C$ से विभाजित करने पर,हमें $\cot A - \cot B = \cot B - \cot C$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cot A, \cot B, \cot C$ $A.P.$ में हैं।

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = n$,$b = n + 1$,और $c = n + 2$ हैं,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।
चूँकि $c > b > a$,कोण $C$ सबसे बड़ा और $A$ सबसे छोटा है। दिया है $C = 2A$।
ज्या नियम (Sine Rule) से,$\sin A = \frac{a}{2R}$ और $\sin C = \frac{c}{2R}$।
$C = 2A$ होने के कारण,$\sin C = 2 \sin A \cos A$,जिससे $\cos A = \frac{c}{2a}$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम (Cosine Rule) से,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{c}{2a} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \implies c^2 b = a(b^2 + c^2 - a^2)$।
मान रखने पर: $(n + 1)(n + 2)^2 = n((n + 1)^2 + (n + 2)^2 - n^2)$।
सरल करने पर: $(n + 1)(n^2 + 4n + 4) = n(n^2 + 6n + 5) = n(n + 1)(n + 5)$।
$n+1$ को काटने पर: $(n + 2)^2 = n(n + 5) \implies n^2 + 4n + 4 = n^2 + 5n \implies n = 4$।
अतः भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं।

(A) $\Delta ABC$ का परिमाप $a + b + c$ है। इसके कोणों के ज्या का समांतर माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दिया है: $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C$,जहाँ $k = 2R$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $k(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
चूंकि त्रिभुज के लिए $\sin A + \sin B + \sin C \neq 0$,इसलिए $k = 2$ है।
$a = 1$ दिया है,अतः $a = k \sin A$ का उपयोग करने पर:
$1 = 2 \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
अतः,$A = \frac{\pi}{6}$।

(C) माना $BD = DE = EC = k$ है। अतः $BE = 2k$,$DC = 2k$,$BC = 3k$ है।
$\Delta ABD$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin x}{BD} = \frac{\sin B}{AD} \implies \frac{AD}{\sin B} = \frac{k}{\sin x}$।
$\Delta ABE$ में,$\frac{\sin(x + y)}{BE} = \frac{\sin B}{AE} \implies \frac{AE}{\sin B} = \frac{2k}{\sin(x + y)}$।
$\Delta AEC$ में,$\frac{\sin z}{EC} = \frac{\sin C}{AE} \implies \frac{AE}{\sin C} = \frac{k}{\sin z}$।
$\Delta ADC$ में,$\frac{\sin(y + z)}{DC} = \frac{\sin C}{AD} \implies \frac{AD}{\sin C} = \frac{2k}{\sin(y + z)}$।
अब,अनुपात $\frac{\sin(x + y)\sin(y + z)}{\sin x \sin z} = \left( \frac{\sin(x + y)}{\sin x} \right) \left( \frac{\sin(y + z)}{\sin z} \right) = \left( \frac{2AD}{AE} \right) \left( \frac{2AE}{AD} \right) = 4$।

(A) दिया है: $\cos A + 2\cos B + \cos C = 2$
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos A + \cos C = 2\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A-C}{2}\right)$
चूंकि $A+B+C = \pi$,हमारे पास $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$ है,इसलिए $\cos\left(\frac{A+C}{2}\right) = \sin\left(\frac{B}{2}\right)$
साथ ही,$2\cos B = 2(1 - 2\sin^2\frac{B}{2}) = 2 - 4\sin^2\frac{B}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) + 2 - 4\sin^2\left(\frac{B}{2}\right) = 2$
$2\sin\left(\frac{B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{B}{2}\right)$
$2\sin\left(\frac{B}{2}\right)$ से विभाजित करने पर: $\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{B}{2}\right)$
$\sin\left(\frac{B}{2}\right) = \cos\left(\frac{A+C}{2}\right)$ रखने पर: $\cos\left(\frac{A-C}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)$
इसे सरल करने पर $a+c = 2b$ प्राप्त होता है,अतः $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।

(C) दिया गया है $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$.
त्रिभुज में $A+B+C = 180^o$ के लिए $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1 - 4\sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर।
इसे $1$ के बराबर रखने पर,हमें $1 - 4\sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $4\sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2} = 0$.
अतः,$\sin \frac{3A}{2} = 0$ या $\sin \frac{3B}{2} = 0$ या $\sin \frac{3C}{2} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{3A}{2} = 180^o$ या $\frac{3B}{2} = 180^o$ या $\frac{3C}{2} = 180^o$.
इस प्रकार,$A = 120^o$ या $B = 120^o$ या $C = 120^o$।

(D) दिया गया है $AB = c$ और $BC = a$। चूंकि $AB = 2BC$,इसलिए $c = 2a$ है।
नेपियर की सादृश्यता (Napier's Analogy) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\tan \frac{C - A}{2} = \frac{c - a}{c + a} \cot \frac{B}{2}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\tan (B/2)}{\cot ((C - A)/2)} = \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C - A}{2}$ प्राप्त होता है।
$\tan \frac{C - A}{2}$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \frac{B}{2} \left( \frac{c - a}{c + a} \cot \frac{B}{2} \right) = \frac{c - a}{c + a}$ प्राप्त होता है।
$c = 2a$ रखने पर,हमें $\frac{2a - a}{2a + a} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(B) दिया गया है: $a = 2$,$B = 60^\circ$,$C = 75^\circ$।
किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर: $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$।
मान रखने पर: $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin 45^\circ}$।
$b = \frac{2 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$।

(C) $\triangle ABC$ में ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin B}{8} = \frac{\sin 30^\circ}{6}$
चूँकि $\sin 30^\circ = 1/2$:
$\sin B = \frac{8 \times (1/2)}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
अतः,$B = \sin^{-1}(2/3)$,जिसका अर्थ है कि $x = 2/3$.

(C) ज्या (Sine) नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\sin B = \frac{b \sin C}{c} = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$B = 45^\circ$.
अब,$A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$.
पुनः ज्या नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{6} \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \sqrt{3} + 1$.

(A) नेपियर के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(A - B)}{1 + \cos(A - B)}} = \sqrt{\frac{1 - 31/32}{1 + 31/32}} = \frac{1}{\sqrt{63}} = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
नेपियर के सूत्र के अनुसार,$\frac{a - b}{a + b} \cot \frac{C}{2} = \tan \left( \frac{A - B}{2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{5 - 4}{5 + 4} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{3\sqrt{7}}$ $\Rightarrow \frac{1}{9} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{3\sqrt{7}}$ $\Rightarrow \cot \frac{C}{2} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
अतः,$\tan \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
$\cos C = \frac{1 - \tan^2(C/2)}{1 + \tan^2(C/2)} = \frac{1 - 7/9}{1 + 7/9} = \frac{2/9}{16/9} = \frac{1}{8}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4) \left( \frac{1}{8} \right) = 41 - 5 = 36$.
अतः,$c = \sqrt{36} = 6$.

(B) नेपियर सादृश्य (Napier's Analogy) का उपयोग करते हुए: $\tan \left( \frac{C - B}{2} \right) = \frac{c - b}{c + b} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
दिया है $A = 30^o$,$b = 2$,$c = \sqrt{3} + 1$.
$\frac{A}{2} = 15^o$.
$\cot(15^o) = 2 + \sqrt{3}$.
मान रखने पर:
$\tan \left( \frac{C - B}{2} \right) = \frac{(\sqrt{3} + 1) - 2}{(\sqrt{3} + 1) + 2} \times (2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\frac{C - B}{2} = 30^o$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6 + 2\sqrt{3}$,$b = 4\sqrt{3}$,और $c = 2\sqrt{6}$ हैं।
यहाँ $c$ सबसे छोटी भुजा है,इसलिए सबसे छोटा कोण $C$ होगा।
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{(48 + 24\sqrt{3}) + 48 - 24}{2(6 + 2\sqrt{3})(4\sqrt{3})} = \frac{72 + 24\sqrt{3}}{16\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})} = \frac{24(3 + \sqrt{3})}{16\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$C = \frac{\pi}{6}$।

(B) दिया गया है कि $C = 90^\circ$,अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a = \frac{c \sin A}{\sin C}$।
$a = \frac{7\sqrt{3} \sin 30^\circ}{\sin 90^\circ}$।
चूंकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ और $\sin 90^\circ = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{7\sqrt{3} \times (1/2)}{1} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$।

(A) माना त्रिभुज के कोण $2x, 3x$ और $7x$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$,जिससे $12x = 180^{\circ}$ और $x = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
कोण $A = 30^{\circ}, B = 45^{\circ}$ और $C = 105^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाओं का अनुपात $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ होता है।
$a : b : c = \sin 30^{\circ} : \sin 45^{\circ} : \sin 105^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
$2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$a : b : c = \sqrt{2} : 2 : (\sqrt{3} + 1)$ प्राप्त होता है।

(B) माना भुजाएँ $a = 2$,$b = \sqrt{6}$,और $c = \sqrt{3} + 1$ हैं।
हम जानते हैं कि सबसे छोटा कोण सबसे छोटी भुजा के सामने होता है।
मानों की तुलना करने पर: $a = 2 \approx 2$,$b = \sqrt{6} \approx 2.45$,और $c = \sqrt{3} + 1 \approx 2.732$.
सबसे छोटी भुजा $a = 2$ है।
कोण $A$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
$\cos A = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 - 2^2}{2(\sqrt{6})(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6 + (3 + 1 + 2\sqrt{3}) - 4}{2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}$.
$\cos A = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{2\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $A = 45^o$।

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan \frac{A}{2} - \tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} - \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}}{\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} + \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}}$
$= \frac{(s-b) - (s-a)}{(s-b) + (s-a)} = \frac{a-b}{2s-a-b}$.
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-a-b = c$.
अतः,व्यंजक का मान $\frac{a-b}{c}$ है।

(B) दिया है: $a = \sqrt{3} + 1$,$\angle B = 30^\circ$,$\angle C = 45^\circ$.
त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $\angle A = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\sin A = \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
मान रखने पर: $\Delta = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 45^\circ}{2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \text{ cm}^2$.

(A) माना समकोण त्रिभुज $\Delta AOB$ है जिसमें $O$ पर समकोण है। माना $OC$ शीर्ष $O$ से कर्ण $AB$ पर खींचा गया लंब है,जिसकी लंबाई $OC = x$ है।
माना $\angle OBA = \theta$ है। तब $\angle OAB = 90^o - \theta$ होगा।
$\Delta OCB$ में,$OC = OB \sin \theta \Rightarrow OB = \frac{x}{\sin \theta}$.
$\Delta OCA$ में,$OC = OA \cos \theta \Rightarrow OA = \frac{x}{\cos \theta}$.
$\Delta AOB$ में,कर्ण $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{\frac{x^2}{\cos^2 \theta} + \frac{x^2}{\sin^2 \theta}} = x \sqrt{\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}} = \frac{x}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2x}{\sin 2\theta}$.
दिया गया है कि कर्ण लंब की लंबाई का $4$ गुना है,इसलिए $AB = 4x$.
अतः,$\frac{2x}{\sin 2\theta} = 4x \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin 2\theta = \sin 30^o$,इसलिए $2\theta = 30^o$,जिससे $\theta = 15^o$ प्राप्त होता है।
दूसरा न्यून कोण $90^o - 15^o = 75^o$ है।

(B) दिया है: $\angle A = 45^\circ, \angle C = 60^\circ$.
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है,$\angle B = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,इसलिए $a = k\sin A, c = k\sin C, b = k\sin B$.
हमें $a + c\sqrt{2} = k\sin 45^\circ + k\sqrt{2}\sin 60^\circ$ का मान ज्ञात करना है।
$a + c\sqrt{2} = k\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + k\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = k\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$.
ध्यान दें कि $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
अतः,$a + c\sqrt{2} = k(2 \sin 75^\circ) = 2k \sin B = 2b$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 3, b = 5$ और $c = 7$ हैं।
चूँकि सबसे बड़ी भुजा $c = 7$ है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $\angle C$ होगा।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
मान रखने पर: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5}$
$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\cos C = -\frac{1}{2},$ इसलिए $\angle C = \frac{2\pi}{3}$ होगा।

(A) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sin B}{8} = \frac{5/13}{3}$.
यह $\sin B = \frac{40}{39}$ में सरल होता है।
चूंकि $\frac{40}{39} \approx 1.025 > 1$ है,और $\sin B$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए ऐसा कोई कोण $B$ संभव नहीं है।
अतः,दी गई शर्तों के अनुसार कोई भी त्रिभुज $ABC$ नहीं बनाया जा सकता है।

(B) हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ में,$A + B + C = \pi,$ इसलिए $A + C = \pi - B.$
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{A - B + C}{2} = \frac{(A + C) - B}{2} = \frac{(\pi - B) - B}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2} - B.$
अतः,$2ac \sin \left( \frac{\pi}{2} - B \right) = 2ac \cos B.$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$
इसलिए,$2ac \cos B = 2ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) = a^2 + c^2 - b^2.$

(D) दिया गया है कि त्रिभुज $ABC$ में $C$ पर समकोण है।
मान लीजिए $a, b$ और $c$ भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ की लंबाई हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में:
$\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$
$\tan B = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$
इसलिए,$\tan A + \tan B = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$= \frac{a^2 + b^2}{ab}$
चूँकि $a^2 + b^2 = c^2$,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{c^2}{ab}$

(C) दिया गया है $A:B:C = 3:5:4.$ माना $A = 3x, B = 5x, C = 4x.$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ},$ इसलिए $12x = 180^{\circ},$ अर्थात $x = 15^{\circ}.$
अतः,$A = 45^{\circ}, B = 75^{\circ}, C = 60^{\circ}.$
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 75^{\circ}} = \frac{c}{\sin 60^{\circ}} = K.$
अतः $a = \frac{K}{\sqrt{2}}, b = \frac{K(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}}, c = \frac{K\sqrt{3}}{2}.$
अब,$a + b + c\sqrt{2} = \frac{K}{\sqrt{2}} + \frac{K(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}} + \frac{K\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3K(1 + \sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = 3b.$

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\cos C + \cos A}{c + a} + \frac{\cos B}{b}$
उभयनिष्ठ हर $b(c + a)$ लेने पर:
$= \frac{b(\cos C + \cos A) + \cos B(c + a)}{b(c + a)}$
$= \frac{b \cos C + b \cos A + c \cos B + a \cos B}{b(c + a)}$
प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करने पर,हम जानते हैं कि $b \cos C + c \cos B = a$ और $b \cos A + a \cos B = c$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{(b \cos C + c \cos B) + (b \cos A + a \cos B)}{b(c + a)}$
$= \frac{a + c}{b(c + a)}$
$= \frac{1}{b}$.

(A) माना त्रिभुज के कोण $x$,$3x$ और $5x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन होता है,इसलिए:
$x + 3x + 5x = \pi$
$9x = \pi$
$x = \frac{\pi}{9}$
सबसे बड़ा कोण $5x = 5 \times \frac{\pi}{9} = \frac{5\pi}{9}$ है।

(D) $\triangle ABC$ में,$\triangle ABC$ में कोण $B$ पर कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \times 2 \times 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$.
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = 2$.
$\triangle ABD$ में कोज्या नियम लागू करने पर:
$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos B$
$AD^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \times \frac{11}{16}$
$AD^2 = 4 + 4 - 8 \times \frac{11}{16}$
$AD^2 = 8 - \frac{11}{2} = 8 - 5.5 = 2.5$.
अतः,$AD^2 = 2.5$.

(B) दिया गया है कि $\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसका अर्थ है $2 \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2}$।
$\cot \frac{A}{2} = \frac{s-a}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें $2b = a+c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
समबाहु त्रिभुज के लिए जहाँ $A=B=C=60^{\circ}$ है,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $(b)$ सही है।

(A) सबसे छोटा कोण सबसे छोटी भुजा के विपरीत होता है। भुजाओं की तुलना करने पर: $a = 7$,$b = 4\sqrt{3} \approx 6.928$,और $c = \sqrt{13} \approx 3.605$.
चूंकि $c < b < a$,इसलिए सबसे छोटा कोण $C$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$.
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}} = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होने के कारण,$C = 30^o$ है।

(B) माना $\frac{b + c}{11} = \frac{c + a}{12} = \frac{a + b}{13} = \lambda.$
तब $b + c = 11\lambda$ $(i), c + a = 12\lambda$ $(ii),$ और $a + b = 13\lambda$ $(iii).$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2(a + b + c) = 36\lambda,$ अतः $a + b + c = 18\lambda$ $(iv).$
$(iv)$ में से $(i)$ घटाने पर,$a = 7\lambda.$
$(iv)$ में से $(ii)$ घटाने पर,$b = 6\lambda.$
$(iv)$ में से $(iii)$ घटाने पर,$c = 5\lambda.$
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$
मान रखने पर,$\cos C = \frac{(7\lambda)^2 + (6\lambda)^2 - (5\lambda)^2}{2(7\lambda)(6\lambda)} = \frac{49\lambda^2 + 36\lambda^2 - 25\lambda^2}{84\lambda^2} = \frac{60\lambda^2}{84\lambda^2} = \frac{5}{7}.$

(B) दिया है: $b = 20, c = 21, \sin A = 3/5$.
चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,इसलिए $\cos A = \pm \sqrt{1 - (3/5)^2} = \pm 4/5$.
मान लीजिए कि $A$ एक न्यून कोण है,अतः $\cos A = 4/5$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$a^2 = 20^2 + 21^2 - 2(20)(21)(4/5)$.
$a^2 = 400 + 441 - 840(4/5) = 841 - 672 = 169$.
अतः,$a = \sqrt{169} = 13$.

(B) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज $ADC$ की भुजा की लंबाई $x$ है। अतः,$DC = AD = AC = x$.
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $BD = DC = x$,अतः $BC = a = 2x$.
$\triangle ADC$ में,सभी कोण $60^\circ$ हैं। चूंकि $\angle ADC = 60^\circ$,इसलिए आसन्न कोण $\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ है।
$\triangle ABD$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2(BD)(AD) \cos(120^\circ)$
$c^2 = x^2 + x^2 - 2(x)(x)(-1/2)$
$c^2 = 2x^2 + x^2 = 3x^2$.
हमारे पास $a = 2x$,$b = AC = x$,और $c^2 = 3x^2$ है।
इसलिए,$a^2 : b^2 : c^2 = (2x)^2 : x^2 : 3x^2 = 4x^2 : x^2 : 3x^2 = 4:1:3$.

(D) भुजाओं का अनुपात $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$ दिया गया है।
माना $a = \lambda$,$b = \sqrt{3}\lambda$,और $c = 2\lambda$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3\lambda^2 + 4\lambda^2 - \lambda^2}{2(\sqrt{3}\lambda)(2\lambda)} = \frac{6\lambda^2}{4\sqrt{3}\lambda^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$A = 30^\circ$ है।
इसी प्रकार,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{\lambda^2 + 4\lambda^2 - 3\lambda^2}{2(\lambda)(2\lambda)} = \frac{2\lambda^2}{4\lambda^2} = \frac{1}{2}$।
अतः,$B = 60^\circ$ है।
अंत में,$C = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$ है।
इस प्रकार,$A:B:C = 30^\circ:60^\circ:90^\circ = 1:2:3$।

(D) दिया गया है: $b = \sqrt{3}$,$c = 1$,और $\angle A = 30^\circ$।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।
मान रखने पर: $\cos 30^\circ = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - a^2}{2(\sqrt{3})(1)}$।
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 1 - a^2}{2\sqrt{3}}$।
$3 = 4 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 1$ $\Rightarrow a = 1$।
चूंकि $b = \sqrt{3} \approx 1.732$ और $a = c = 1$ है,इसलिए भुजा $b$ सबसे बड़ी भुजा है।
सबसे बड़ा कोण सबसे बड़ी भुजा के सामने वाला कोण होता है,जो $\angle B$ है।
$\angle B$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2(1)(1)} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\cos B = -\frac{1}{2}$ होने के कारण $B = 120^\circ$ है।

(C) माना भुजाएँ $a = \alpha - \beta$,$b = \alpha + \beta$,और $c = \sqrt{3\alpha^2 + \beta^2}$ हैं।
यहाँ $c$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए इसके सामने का कोण $C$ सबसे बड़ा कोण होगा।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{(\alpha - \beta)^2 + (\alpha + \beta)^2 - (3\alpha^2 + \beta^2)}{2(\alpha^2 - \beta^2)}$.
$\cos C = \frac{2\alpha^2 + 2\beta^2 - 3\alpha^2 - \beta^2}{2(\alpha^2 - \beta^2)} = \frac{\beta^2 - \alpha^2}{2(\alpha^2 - \beta^2)} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$C = \frac{2\pi}{3}$.

(B) हम त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्र जानते हैं:
$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s - a)}{bc}$
$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s - b)(s - c)}{bc}$
इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{s(s - a)}{bc} - \frac{(s - b)(s - c)}{bc} = \cos^2 \frac{A}{2} - \sin^2 \frac{A}{2}$
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos^2 \frac{A}{2} - \sin^2 \frac{A}{2} = \cos \left( 2 \times \frac{A}{2} \right) = \cos A$

(C) दिया गया है: $a = 2$,$b = 4$ और $\angle C = 60^\circ$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos 60^\circ = \frac{2^2 + 4^2 - c^2}{2(2)(4)} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{4 + 16 - c^2}{16}$.
$8 = 20 - c^2$ $\Rightarrow c^2 = 12$ $\Rightarrow c = 2\sqrt{3}$.
साइन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ $\Rightarrow \sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{2 \sin 60^\circ}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\angle A = 30^\circ$.
चूँकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$,इसलिए $30^\circ + \angle B + 60^\circ = 180^\circ$.
अतः,$\angle B = 90^\circ$.

(B) एक त्रिभुज $ABC$ जिसका भुजाएँ $a, b, c$ और कोण $A, B, C$ हैं,का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से सही व्यंजक $\frac{1}{2}bc \sin A$ है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 1 : 2 : 3$।
माना $a = x$,$b = 2x$,और $c = 3x$।
दिया है $b = 4 \, \text{cm}$,इसलिए $2x = 4$,जिसका अर्थ है $x = 2 \, \text{cm}$।
अतः,$a = 2 \, \text{cm}$,$b = 4 \, \text{cm}$,और $c = 6 \, \text{cm}$।
त्रिभुज का परिमाप $a + b + c = 2 + 4 + 6 = 12 \, \text{cm}$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $5x, 12x, 13x$ हैं।
चूँकि $5^2 + 12^2 = 13^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (5x) \times (12x)$ होता है।
दिया गया है कि $\Delta = 270 \text{ cm}^2$,अतः $30x^2 = 270$।
$x^2 = 9$,जिसका अर्थ है $x = 3$।
अतः,भुजाएँ $5(3), 12(3), 13(3)$ अर्थात $15 \text{ cm}, 36 \text{ cm}, 39 \text{ cm}$ हैं।

(B) दिया गया है $\cos A = \frac{\sin B}{2\sin C}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\sin B = \frac{b}{2R}$ और $\sin C = \frac{c}{2R}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\cos A = \frac{b/2R}{2(c/2R)} = \frac{b}{2c}$.
कोज्या नियम (Cosine Rule) के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{2c}$.
दोनों पक्षों को $2bc$ से गुणा करने पर:
$b^2 + c^2 - a^2 = b^2$.
$c^2 - a^2 = 0$ $\Rightarrow c^2 = a^2$ $\Rightarrow c = a$.
चूंकि दो भुजाएं बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।

(B) दो भुजाओं $b$ और $c$ तथा उनके बीच के कोण $A$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta = 9 \, cm^2$ और $b = c = 6 \, cm$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $9 = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin A$.
$9 = 18 \sin A$.
$\sin A = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin A = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $A = 30^\circ$ है।

(A) माना भुजाएँ $a = 6$,$b = 10$,और $c = 14$ हैं।
त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम सबसे बड़ी भुजा $c = 14$ के सम्मुख कोण $\theta$ को ज्ञात करने के लिए कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हैं।
$\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos \theta = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 6 \times 10}$
$\cos \theta = \frac{36 + 100 - 196}{120} = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 120^\circ$।
चूँकि एक कोण $90^\circ$ से अधिक है,इसलिए यह एक अधिककोण त्रिभुज है।

(B) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण $a \cos B = b \cos A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2R \sin A) \cos B = (2R \sin B) \cos A$
$\sin A \cos B = \sin B \cos A$
$\sin A \cos B - \cos A \sin B = 0$
$\sin(A - B) = 0$
चूंकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं,$A - B = 0$,जिसका अर्थ है $A = B$।
अतः,त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।