Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R,$ जहाँ $R$ त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है।
इसका अर्थ है $\sin A = \frac{a}{2R}$ और $\sin B = \frac{b}{2R}.$
इन मानों को दिए गए समीकरण $a \sin A = b \sin B$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a \left( \frac{a}{2R} \right) = b \left( \frac{b}{2R} \right)$
$\frac{a^2}{2R} = \frac{b^2}{2R}$
$a^2 = b^2$
चूंकि $a$ और $b$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,वे धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $a = b.$
अतः,त्रिभुज समद्विबाहु है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,$\cos A + \cos B + \cos C$ का अधिकतम मान $\frac{3}{2}$ होता है,जो केवल तभी प्राप्त होता है जब $A = B = C = 60^{\circ}$ हो।
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{3}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2}) = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
जेन्सेन की असमिका के अनुसार,$\sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ का अधिकतम मान $\frac{1}{8}$ है,इसलिए यह समानता केवल तभी संभव है जब $A = B = C = 60^{\circ}$ हो।
अतः,त्रिभुज समबाहु है।

(D) दिया गया है कि भुजाएँ $AB$ और $AC$ लंबवत हैं,इसलिए $\angle A = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।
किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ या $\pi$ होता है।
चूँकि $A = 90^{\circ}$ है,इसलिए $B + C = 90^{\circ}$ होगा,जिसका अर्थ है $C = 90^{\circ} - B$।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan C = \tan(90^{\circ} - B)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,$\tan C = \cot B$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cot B = \frac{1}{\tan B}$ है,इसलिए $\tan C = \frac{1}{\tan B}$ होगा।
अतः,$\tan B \cdot \tan C = 1$।

(B) त्रिभुज $ABC$ में,अर्ध-परिमाप $s$ को $s = \frac{a+b+c}{2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\tan \left( \frac{A}{2} \right)$ के लिए अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan \left( \frac{A}{2} \right) = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) त्रिभुज $ABC$ में,$AD = b \sin C = c \sin B$.
दिया गया है $AD = \frac{abc}{b^2 - c^2}$,अतः $AD(b^2 - c^2) = abc$.
सरल करने पर,$\sin(B-C) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः $B - C = 90^\circ$.
$B = 90^\circ + 23^\circ = 113^\circ$.

(D) ज्या (Sine) के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
$\sin B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin B = \frac{b \sin A}{a}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sin B = \frac{4\sqrt{3} \sin 60^\circ}{5} = \frac{4\sqrt{3} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})}{5} = \frac{4 \times 3}{2 \times 5} = \frac{6}{5} = 1.2$.
चूंकि $\sin B$ का मान $\le 1$ होना चाहिए,इसलिए $1.2$ अमान्य है।
अतः,ऐसा कोई त्रिभुज संभव नहीं है,और सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $\Delta = a^2 - (b - c)^2 = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$.
चूँकि $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$,इसलिए $a^2 - b^2 - c^2 = -2bc \cos A$.
अतः,$\Delta = 2bc - 2bc \cos A = 2bc(1 - \cos A) = 4bc \sin^2 \frac{A}{2}$ .....$(i)$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A = bc \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ है .....$(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$1 = 4 \tan \frac{A}{2} \implies \tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$.
सूत्र $\tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan A = \frac{2(\frac{1}{4})}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{8}{15}$.

(B) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हमें $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ प्राप्त होता है।
अतः,${p_1}^{-2} + {p_2}^{-2} + {p_3}^{-2} = \frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{a^2}{4\Delta^2} + \frac{b^2}{4\Delta^2} + \frac{c^2}{4\Delta^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4\Delta^2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $AD$,$BC$ भुजा पर $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है। हमें दिया गया है कि $AD \perp AB$,अतः $\angle DAB = 90^{\circ}$ है।
$CN \perp AB$ (बढ़ाई गई) खींचिए। $\Delta BCN$ में,$AD \parallel CN$ है क्योंकि दोनों $AB$ पर लंब हैं।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,अतः इंटरसेप्ट प्रमेय के अनुसार,$A$,$BN$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AB = AN$ है।
$\Delta ACN$ में,$\angle CAN = \alpha$ है। तब $\angle CAB = 180^{\circ} - \alpha$,इसलिए $\tan A = \tan(180^{\circ} - \alpha) = -\tan \alpha$ है।
$\Delta ACN$ में,$\tan \alpha = \frac{CN}{AN}$ है।
$\Delta ABD$ में,$\tan B = \frac{AD}{AB}$ है।
चूंकि $AD = \frac{1}{2}CN$ और $AB = AN$ है,इसलिए हमें $\tan \alpha = \frac{2AD}{AB} = 2\tan B$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan A = -2\tan B$,जिसका अर्थ है कि $\tan A + 2\tan B = 0$।

(B) दिया गया है $s - a = 3$ और $s - c = 2$,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$.
$s - a = \frac{b+c-a}{2} = 3 \Rightarrow b+c-a = 6$ ... $(i)$
$s - c = \frac{a+b-c}{2} = 2 \Rightarrow a+b-c = 4$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2b = 10 \Rightarrow b = 5$ प्राप्त होता है।
चूँकि त्रिभुज $B$ पर समकोण है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार $a^2 + c^2 = b^2 = 25$ ... $(iii)$.
$(i)$ से,$c - a = 6 - b = 6 - 5 = 1 \Rightarrow c = a + 1$.
$(iii)$ में मान रखने पर: $a^2 + (a+1)^2 = 25$ $\Rightarrow 2a^2 + 2a - 24 = 0$ $\Rightarrow a^2 + a - 12 = 0$.
$(a+4)(a-3) = 0$. चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$.
अतः $c = a + 1 = 4$.
इस प्रकार,$a = 3$ और $c = 4$ है।

(A) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ है।
$\sin C$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin C = \frac{c}{b} \sin B$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त $b < c \sin B$ को ध्यान में रखते हुए,हम इसे $\frac{c}{b} \sin B > 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sin C > 1$,जो असंभव है क्योंकि ज्या फलन (sine function) का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता है।
इसलिए,कोई त्रिभुज संभव नहीं है।

(B) कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।
इसे $b$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $b^2 - (2c \cos A)b + (c^2 - a^2) = 0$।
दिया गया है कि $b_1$ और $b_2$ इस समीकरण के मूल हैं,इसलिए $b_1 + b_2 = 2c \cos A$ और $b_1 b_2 = c^2 - a^2$।
चूंकि $b_2 = 2b_1$,हमें $3b_1 = 2c \cos A \Rightarrow b_1 = \frac{2c \cos A}{3}$ और $2b_1^2 = c^2 - a^2$ प्राप्त होता है।
$b_1$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $2(\frac{2c \cos A}{3})^2 = c^2 - a^2$।
$2(\frac{4c^2 \cos^2 A}{9}) = c^2 - a^2 \Rightarrow 8c^2 \cos^2 A = 9(c^2 - a^2)$।
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ का उपयोग करते हुए,$8c^2(1 - \sin^2 A) = 9c^2 - 9a^2$।
$8c^2 - 8c^2 \sin^2 A = 9c^2 - 9a^2 \Rightarrow 8c^2 \sin^2 A = 9a^2 - c^2$।
अतः,$\sin A = \sqrt{\frac{9a^2 - c^2}{8c^2}}$।

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{c^2 + b^2 - a^2}{2bc}$ है।
इसे $c$ में द्विघात समीकरण के रूप में लिखने पर: $c^2 - (2b \cos A)c + (b^2 - a^2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c_1$ और $c_2$ इस समीकरण के मूल हैं,इसलिए $c_1 + c_2 = 2b \cos A$ और $c_1 c_2 = b^2 - a^2$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}ab \sin C$ होता है।
दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग $S = \frac{1}{2}ab(\sin C_1 + \sin C_2)$ है।
साइन नियम के अनुसार,$\sin C = \frac{c \sin A}{a}$ है।
अतः,$\sin C_1 + \sin C_2 = \frac{(c_1 + c_2) \sin A}{a} = \frac{(2b \cos A) \sin A}{a} = \frac{b \sin 2A}{a}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$S = \frac{1}{2}ab \left( \frac{b \sin 2A}{a} \right) = \frac{1}{2}b^2 \sin 2A$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \cos A = \sin B \csc C$
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,इसलिए $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c}$.
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $2 \cos A = \frac{b}{c}$.
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
$\cos A$ का मान समीकरण में रखने पर: $2 \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right) = \frac{b}{c}$.
$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} = \frac{b}{c}$.
दोनों पक्षों को $bc$ से गुणा करने पर: $b^2 + c^2 - a^2 = b^2$.
$c^2 - a^2 = 0 \Rightarrow c^2 = a^2$.
अतः $c = a$ प्राप्त होता है।

(B) माना भुजाएँ $a = 3$,$b = 5$,और $c = 7$ हैं।
त्रिभुज की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सबसे बड़े कोण का कोसाइन ज्ञात करते हैं,जो सबसे बड़ी भुजा $(c = 7)$ के सम्मुख है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{34 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos C = -\frac{1}{2}$,इसलिए कोण $C = 120^{\circ}$ है।
चूँकि $C > 90^{\circ}$,त्रिभुज में एक कोण अधिककोण है।

(B) दिया गया है कि $\sin P, \sin Q, \sin R$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin P} = \frac{b}{\sin Q} = \frac{c}{\sin R} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इसका अर्थ है कि $\sin P = \frac{a}{2R}, \sin Q = \frac{b}{2R}, \sin R = \frac{c}{2R}$।
अतः $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
माना $p_1, p_2, p_3$ क्रमशः शीर्ष $P, Q, R$ से डाले गए शीर्षलंब हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इसलिए,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$।
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होंगे।
$2\Delta$ से गुणा करने पर,$\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः $p_1, p_2, p_3$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (B - C)}$.
ज्या नियम (sine rule) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a}{c} = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\sin B \cos C - \cos B \sin C}$ प्राप्त होता है।
प्रोजेक्शन सूत्र का उपयोग करके सरल करने पर $ab \cos C + bc \cos A = 2ac \cos B$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करके मान रखने पर,$2b^2 = a^2 + c^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं।

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $b$ में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $b^2 - (2c \cos A)b + (c^2 - a^2) = 0$.
चूंकि $c \sin A < a < c$,द्विघात समीकरण के दो अलग-अलग धनात्मक मूल $b_1$ और $b_2$ प्राप्त होते हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $b$ के गुणांक का ऋणात्मक भाग $b^2$ का गुणांक होता है।
अतः,$b_1 + b_2 = 2c \cos A$.

(C) दिया है,${a^2} + {b^2} + {c^2} = ac + ab\sqrt{3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ac - ab\sqrt{3} = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: ${\left(\frac{a}{2} - c\right)^2} + {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - b\right)^2} = 0$
वर्गों का योग शून्य होने के लिए,प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$a = 2c$ और $b = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
भुजाओं के बीच संबंध की जाँच करने पर: ${b^2} + {c^2} = {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} + {\left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = {a^2}$
अतः,त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।

(C) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C$।
दिया गया है कि $a = 1$,$b = 2$ और $\angle C = 60^\circ$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin 60^\circ$।
चूंकि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\text{Area} = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) दिया गया है $b + c = 2a$ .....$(i)$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
चूंकि $\angle A = 60^\circ$,हमारे पास है $\frac{1}{2} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$bc = b^2 + c^2 - a^2$
$a^2 = b^2 + c^2 - bc$
$(i)$ से,$a = \frac{b+c}{2}$,इसलिए $a^2 = \frac{(b+c)^2}{4} = \frac{b^2 + c^2 + 2bc}{4}$
$a^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{b^2 + c^2 + 2bc}{4} = b^2 + c^2 - bc$
$b^2 + c^2 + 2bc = 4b^2 + 4c^2 - 4bc$
$3b^2 + 3c^2 - 6bc = 0$
$3(b - c)^2 = 0$
अतः,$b = c$.
$b = c$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$2b = 2a \implies b = a$.
चूंकि $a = b = c$,त्रिभुज समबाहु है।

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ से शीर्षलंब क्रमशः $h_a, h_b, h_c$ हैं।
हम जानते हैं कि $h_a = \frac{2\Delta}{a}$,$h_b = \frac{2\Delta}{b}$,और $h_c = \frac{2\Delta}{c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि $h_a, h_b, h_c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ $H.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $H.P.$ में हैं।
अतः,$a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ है।
अतः,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2R \sin A, 2R \sin B, 2R \sin C$ भी $A.P.$ में होंगे।
अतः,$\sin A, \sin B, \sin C$ $A.P.$ में हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $a^4 + b^4 + c^4 = 2c^2(a^2 + b^2)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 = 0$
दोनों पक्षों में $2a^2b^2$ जोड़ने पर: $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 + 2a^2b^2 = 2a^2b^2$
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(a^2 + b^2 - c^2)^2 = 2a^2b^2$
वर्गमूल लेने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = \pm \sqrt{2}ab$
$2ab$ से भाग देने पर: $\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \pm \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,इसलिए $\cos C = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$C = 45^\circ$ या $C = 135^\circ$.

(A) दी गई भुजाएँ $a = 3, b = 5, c = 4$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करने पर:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 5 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s - a)(s - c)}{ac}} = \sqrt{\frac{(6 - 3)(6 - 4)}{3 \times 4}} = \sqrt{\frac{6}{12}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s - b)}{ac}} = \sqrt{\frac{6(6 - 5)}{3 \times 4}} = \sqrt{\frac{6}{12}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\sin \frac{B}{2} + \cos \frac{B}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
अतः,$a = k\sin A$,$b = k\sin B$,और $c = k\sin C$.
व्यंजक $\frac{b - c}{a} = \frac{\sin B - \sin C}{\sin A}$ पर विचार करें।
सूत्र $\sin B - \sin C = 2\sin \frac{B - C}{2} \cos \frac{B + C}{2}$ का उपयोग करते हुए।
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\frac{B + C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$,अतः $\cos \frac{B + C}{2} = \sin \frac{A}{2}$.
साथ ही,$\sin A = 2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b - c}{a} = \frac{2\sin \frac{B - C}{2} \sin \frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\sin \frac{B - C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$.
अतः,$(b - c)\cos \frac{A}{2} = a\sin \frac{B - C}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) $\triangle ABC$ में,$\angle B = 90^\circ$ है और यह समद्विबाहु है,इसलिए $\angle CAB = \angle ACB = 45^\circ$ है।
दिया गया है कि $\angle DCB = 15^\circ$,इसलिए $\angle ACD = \angle ACB - \angle DCB = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$ है।
$\triangle DBC$ में,$\angle B = 90^\circ$ और $\angle DCB = 15^\circ$ है,इसलिए $\angle BDC = 75^\circ$ है।
माना $BC = h$ है। चूंकि $\triangle ABC$ समद्विबाहु है,$AB = BC = h$ है।
अतः $BD = AB - AD = h - 35$ है।
$\triangle DBC$ में,$\tan(15^\circ) = \frac{BD}{BC} = \frac{h - 35}{h}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$ है।
$h(2 - \sqrt{3}) = h - 35 \implies h(1 - \sqrt{3}) = -35 \implies h = \frac{35}{\sqrt{3} - 1} = \frac{35(\sqrt{3} + 1)}{2}$ है।
अब,$\triangle DBC$ में,$\cos(15^\circ) = \frac{BC}{CD} \implies CD = \frac{BC}{\cos(15^\circ)} = \frac{h}{\cos(15^\circ)}$ है।
$\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ का उपयोग करने पर,$CD = \frac{35(\sqrt{3} + 1)}{2} \times \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{70(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{70}{\sqrt{2}} = 35\sqrt{2} \, cm$ है।

(D) दिया गया है $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
$a=5, b=4$ और $A = \frac{\pi}{2} + B$ रखने पर:
$\frac{5}{\sin(\frac{\pi}{2} + B)} = \frac{4}{\sin B} \implies \frac{5}{\cos B} = \frac{4}{\sin B}$.
अतः,$\tan B = \frac{4}{5}$.
चूंकि $A = \frac{\pi}{2} + B$,$\tan A = \tan(\frac{\pi}{2} + B) = -\cot B = -\frac{5}{4}$.
$\triangle ABC$ में,$C = \pi - (A + B)$.
$\tan C = \tan(\pi - (A + B)) = -\tan(A + B) = -\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
मान रखने पर: $\tan C = -\frac{-\frac{5}{4} + \frac{4}{5}}{1 - (-\frac{5}{4})(\frac{4}{5})} = -\frac{-\frac{25}{20} + \frac{16}{20}}{1 + 1} = -\frac{-\frac{9}{20}}{2} = \frac{9}{40}$.
सर्वसमिका $2\tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ का उपयोग करते हुए,$2\tan^{-1}(\frac{1}{9}) = \tan^{-1}(\frac{2/9}{1 - 1/81}) = \tan^{-1}(\frac{9}{40})$.
अतः,$C = 2\tan^{-1}(\frac{1}{9})$.

(C) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{1}{2R}$.
अतः,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2R^2 \sin A \sin B \sin C = 2R^2 \left( \frac{a}{2R} \right) \left( \frac{b}{2R} \right) \left( \frac{c}{2R} \right)$
$= 2R^2 \left( \frac{abc}{8R^3} \right)$
$= \frac{abc}{4R}$.
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{abc}{4R}$ होता है,इसलिए यह व्यंजक $\Delta$ के बराबर है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 3k, b = 7k, c = 8k$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3k + 7k + 8k}{2} = 9k$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{abc}{4\Delta} \times \frac{s}{\Delta} = \frac{abc \cdot s}{4\Delta^2}$।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) = 9k(9k-3k)(9k-7k)(9k-8k) = 9k(6k)(2k)(k) = 108k^4$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R}{r} = \frac{(3k)(7k)(8k)(9k)}{4(108k^4)} = \frac{1512k^4}{432k^4} = \frac{7}{2}$।
इसलिए,$R : r = 7 : 2$।

(A) त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s = \frac{3 + 5 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)} = \sqrt{7 \times 4 \times 2 \times 1} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{56}}{7} = \sqrt{\frac{56}{49}} = \sqrt{\frac{8}{7}}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a \cot A + b \cot B + c \cot C = 2R \sin A \cot A + 2R \sin B \cot B + 2R \sin C \cot C$
$= 2R (\cos A + \cos B + \cos C)$
सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ और $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2R \left( 1 + \frac{r}{R} \right)$
$= 2(R + r)$.

(D) माना $R$,$\Delta PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या है। दिया गया है कि $R = PQ = PR$ है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$R = \frac{PQ}{2 \sin R} = \frac{PR}{2 \sin Q} = \frac{QR}{2 \sin P}$ है।
चूंकि $R = PQ$,इसलिए $PQ = \frac{PQ}{2 \sin R}$,जिसका अर्थ है कि $\sin R = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\angle R = \frac{\pi}{6}$ है।
चूंकि $PQ = PR$,त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए $\angle Q = \angle R = \frac{\pi}{6}$ है।
त्रिभुज के कोणों का योग $\pi$ होता है। इसलिए,$\angle P = \pi - (\angle Q + \angle R) = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(B) भुजा लंबाई वाले नियमित $n$-भुज के लिए,अंतःत्रिज्या $r$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ इस प्रकार हैं:
$r = \frac{a}{2} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)$
$R = \frac{a}{2} \csc \left( \frac{\pi}{n} \right)$
योग $= r + R = \frac{a}{2} \left( \cot \frac{\pi}{n} + \csc \frac{\pi}{n} \right)$
सर्वसमिका $\cot \theta + \csc \theta = \cot \left( \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
योग $= \frac{a}{2} \cot \left( \frac{\pi}{2n} \right)$.

(A) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,${r_1} < {r_2} < {r_3}$ है।
असमिका का व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{r_1} > \frac{1}{r_2} > \frac{1}{r_3}$ प्राप्त होता है।
बहिःत्रिज्या (exradii) के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,और $\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है और $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\frac{s-a}{\Delta} > \frac{s-b}{\Delta} > \frac{s-c}{\Delta}$।
$\Delta$ से गुणा करने पर (चूंकि $\Delta > 0$):
$s - a > s - b > s - c$।
सभी पदों से $s$ घटाने पर:
$-a > -b > -c$।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका के चिह्न बदल जाएंगे:
$a < b < c$।

(B) हम जानते हैं कि $a = 2R\sin A$,$b = 2R\sin B$,और $c = 2R\sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a\cos A + b\cos B + c\cos C}{a + b + c} = \frac{2R\sin A \cos A + 2R\sin B \cos B + 2R\sin C \cos C}{2R\sin A + 2R\sin B + 2R\sin C}$
$= \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{2(\sin A + \sin B + \sin C)}$
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C$ और $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos(A/2)\cos(B/2)\cos(C/2)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{4\sin A \sin B \sin C}{2(4\cos(A/2)\cos(B/2)\cos(C/2))}$
$= \frac{4(2\sin(A/2)\cos(A/2))(2\sin(B/2)\cos(B/2))(2\sin(C/2)\cos(C/2))}{8\cos(A/2)\cos(B/2)\cos(C/2)}$
$= 8\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)$
चूंकि $r = 4R\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)$,इसलिए $4\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2) = r/R$ है।
अतः,व्यंजक का मान $r/R$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी असमिका सत्य नहीं है,हम एक विशिष्ट त्रिभुज के साथ जाँच कर सकते हैं। मान लीजिए भुजाएँ $a = 2, b = 3, c = 4$ हैं। ये त्रिभुज असमिका $(2+3 > 4)$ को संतुष्ट करती हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $8(2)(3)(4) = 192$ और $(2+3)(3+4)(4+2) = 5 \times 7 \times 6 = 210$। चूँकि $192 \le 210$,यह सत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: $3(2)(3)(4) = 72$ और $2^3 + 3^3 + 4^3 = 8 + 27 + 64 = 99$। चूँकि $72 \le 99$,यह सत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: $6(2)(3)(4) = 144$ और $3(4)(3+4) + 4(2)(4+2) + 2(3)(2+3) = 12(7) + 8(6) + 6(5) = 84 + 48 + 30 = 162$। चूँकि $144 \le 162$,यह सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए: $abc = 24$ और $(2+3-4)(3+4-2)(4+2-3) = (1)(5)(3) = 15$। चूँकि $24 \not\le 15$,यह असमिका सत्य नहीं है।

(B) प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(b\cos C - c\cos B) = a \left( b \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) \right)$
$= a \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} \right)$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)}{2}$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2}$
$= \frac{2b^2 - 2c^2}{2}$
$= b^2 - c^2$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s - a)}{bc}}$।
दिया है $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{b + c}{2c}}$,इसलिए:
$\sqrt{\frac{s(s - a)}{bc}} = \sqrt{\frac{b + c}{2c}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{s(s - a)}{bc} = \frac{b + c}{2c}$
$\frac{s(s - a)}{b} = \frac{b + c}{2}$
$2s(s - a) = b(b + c)$
$2s = a + b + c$ और $s - a = \frac{b + c - a}{2}$ रखने पर:
$(a + b + c) \left( \frac{b + c - a}{2} \right) = b^2 + bc$
$((b + c) + a)((b + c) - a) = 2(b^2 + bc)$
$(b + c)^2 - a^2 = 2b^2 + 2bc$
$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = 2b^2 + 2bc$
$c^2 - a^2 = b^2$
$c^2 = a^2 + b^2$.

(B) दिया है: $(\sin A + \sin B + \sin C)(\sin A + \sin B - \sin C) = 3\sin A\sin B$
सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर:
$(\sin A + \sin B)^2 - \sin^2 C = 3\sin A\sin B$
$\sin^2 A + \sin^2 B + 2\sin A\sin B - \sin^2 C = 3\sin A\sin B$
$\sin^2 A + \sin^2 B - \sin^2 C = \sin A\sin B$
ज्या नियम (Sine Rule) से,$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$। इन मानों को रखने पर:
$\frac{a^2}{4R^2} + \frac{b^2}{4R^2} - \frac{c^2}{4R^2} = \frac{a}{2R} \cdot \frac{b}{2R}$
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$
$2ab$ से भाग देने पर:
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
कोज्या नियम (Cosine Rule) से,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
अतः,$\cos C = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$।
इस प्रकार,$\angle C = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिया गया है $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमें $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$
$\cot A = \cot B = \cot C$
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C$ होगा।
अतः,यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(C) माना त्रिभुज के कोण $A, B, C$ $A.P.$ में हैं। $A + B + C = 180^{\circ}$ और $2B = A + C$ होने के कारण,$3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
दी गई भुजाएँ $10 \, cm$ और $9 \, cm$ हैं। $B = 60^{\circ}$ मध्य कोण है,इसलिए इसके सामने की भुजा $b$ मध्य भुजा होगी। अतः $b = 9 \, cm$ और सबसे बड़ी भुजा $a = 10 \, cm$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
मान रखने पर: $\cos 60^{\circ} = \frac{10^2 + c^2 - 9^2}{2(10)(c)} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{100 + c^2 - 81}{20c}$।
$10c = 19 + c^2 \Rightarrow c^2 - 10c + 19 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $c = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 76}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} = 5 \pm \sqrt{6}$।
दोनों मान धनात्मक हैं और त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करते हैं,इसलिए तीसरी भुजा $5 - \sqrt{6}$ या $5 + \sqrt{6}$ हो सकती है।

(D) $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
अतः,$a = k \sin 45^\circ = k \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $c = k \sin 60^\circ = k \frac{\sqrt{3}}{2}$.
हमें $a + c\sqrt{2} = k \frac{1}{\sqrt{2}} + k \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} = k \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) = k \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $b = k \sin 75^\circ = k \sin(45^\circ + 30^\circ) = k \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) = k \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$2b = 2k \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = k \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$a + c\sqrt{2} = 2b$.

(A) दिया गया है $\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6} = k$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$a = 4\lambda$,$b = 5\lambda$,और $c = 6\lambda$.
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{3}{4}$,$\cos B = \frac{9}{16}$,और $\cos C = \frac{1}{8}$.
योग करने पर: $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{1}{8} = \frac{23}{16} = \frac{69}{48}$.
अतः सही विकल्प $A$ है.

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C$ है।
दिया गया है कि $a = 2x,$ $b = 2y,$ और $\angle C = 120^\circ.$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} \times (2x) \times (2y) \times \sin(120^\circ)$
चूंकि $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2},$
$\Delta = \frac{1}{2} \times 4xy \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Delta = 2xy \times \frac{\sqrt{3}}{2} = xy\sqrt{3}.$

(B) माना भुजाएँ $a = x^2 + x + 1$,$b = 2x + 1$,और $c = x^2 - 1$ हैं।
सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण सबसे बड़ा होता है। $x > 1$ के लिए,$x^2 + x + 1$ सबसे बड़ी भुजा है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
गणना करने पर,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 120^o$।

(B) हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}.$
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \times \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}.$
दिया गया है $3a = b + c,$ दोनों पक्षों में $a$ जोड़ने पर $a + b + c = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2s = 4a,$ अतः $s = 2a.$
$s = 2a$ का मान रखने पर,$\frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2.$

(A) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A,$ $b = 2R \sin B,$ और $c = 2R \sin C.$
इन मानों को दिए गए समीकरण $8R^2 = a^2 + b^2 + c^2$ में रखने पर,
$8R^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2$
$8R^2 = 4R^2(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)$
$2 = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,
$2 = (1 - \cos^2 A) + (1 - \cos^2 B) + \sin^2 C$
$2 = 2 - \cos^2 A - \cos^2 B + \sin^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 C = 1 - \cos^2 C$
$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1$
सर्वसमिका $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \cos A \cos B \cos C$ का उपयोग करने पर,
$1 = 1 - 2 \cos A \cos B \cos C$
$2 \cos A \cos B \cos C = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos A = 0$ या $\cos B = 0$ या $\cos C = 0.$
अतः,$A = \frac{\pi}{2}$ या $B = \frac{\pi}{2}$ या $C = \frac{\pi}{2}.$
इस प्रकार,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है.

(B) माना $\Delta$ त्रिभुज $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल है और $p_1, p_2, p_3$ क्रमशः $A, B, C$ से डाले गए शीर्षलंब हैं।
हम जानते हैं कि $\Delta = \frac{1}{2} p_1 a = \frac{1}{2} p_2 b = \frac{1}{2} p_3 c$.
अतः,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
दिया है कि $p_1, p_2, p_3$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,
इसलिए $\frac{1}{p_1}, \frac{1}{p_2}, \frac{1}{p_3}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
मान रखने पर,$\frac{a}{2\Delta}, \frac{b}{2\Delta}, \frac{c}{2\Delta}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसका अर्थ है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमारे पास $a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$ है।
अतः,$2R \sin A, 2R \sin B, 2R \sin C$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$\sin A, \sin B, \sin C$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$3 \sin P + 4 \cos Q = 6$ $(1)$
$4 \sin Q + 3 \cos P = 1$ $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin P + 4 \cos Q)^2 + (4 \sin Q + 3 \cos P)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 P + 16 \cos^2 Q + 24 \sin P \cos Q + 16 \sin^2 Q + 9 \cos^2 P + 24 \sin Q \cos P = 37$
$9(\sin^2 P + \cos^2 P) + 16(\sin^2 Q + \cos^2 Q) + 24 \sin(P + Q) = 37$
$25 + 24 \sin(P + Q) = 37$
$\sin(P + Q) = \frac{1}{2}$
चूंकि $P + Q + R = \pi$,इसलिए $\sin(P + Q) = \sin R = \frac{1}{2}$.
अतः $R = \frac{\pi}{6}$ या $R = \frac{5\pi}{6}$.
यदि $R = \frac{5\pi}{6}$ है,तो $P + Q = \frac{\pi}{6}$,जो समीकरण $(1)$ को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,$R = \frac{\pi}{6}$।

(C) माना भुजाएँ $a = \sin \alpha$,$b = \cos \alpha$,और $c = \sqrt{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$ हैं।
चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,$\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ दोनों धनात्मक हैं,और $c$ सबसे बड़ी भुजा है क्योंकि $c^2 = 1 + \sin \alpha \cos \alpha > \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos C = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - (1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
$\cos C = \frac{1 - 1 - \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
$\cos C = \frac{-\sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{1}{2}$
अतः,$\cos C = -\frac{1}{2}$ होने के कारण,कोण $C = 120^\circ$ है।