Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है।
इससे हमें $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ प्राप्त होता है।
अतः,$p_1^{-1} + p_2^{-1} - p_3^{-1} = \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = \frac{a}{2\Delta} + \frac{b}{2\Delta} - \frac{c}{2\Delta}$ होगा।
यह $\frac{a + b - c}{2\Delta}$ के बराबर है।
चूंकि अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2}$ है,इसलिए $a + b + c = 2s$,जिससे $a + b - c = (a + b + c) - 2c = 2s - 2c = 2(s - c)$ प्राप्त होता है।
इस मान को रखने पर,$\frac{2(s - c)}{2\Delta} = \frac{s - c}{\Delta}$ प्राप्त होता है।

(D) $\Delta ABC$ में,ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ होता है।
विकल्प $(a)$ के लिए: $a, \sin A, \sin B$ दिए गए हैं। $\frac{a}{\sin A} = 2R$ से,हमें $R$ प्राप्त होता है। फिर $b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C = 2R \sin(180^{\circ} - (A+B)) = 2R \sin(A+B)$ प्राप्त होता है। अतः,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित है।
विकल्प $(b)$ के लिए: $a, b, c$ दिए गए हैं। $SSS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित है।
विकल्प $(c)$ के लिए: $a, \sin B, R$ दिए गए हैं। हमारे पास $b = 2R \sin B$ है। अब हमारे पास दो भुजाएँ $a, b$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ हैं। चूँकि $\sin A = \frac{a}{2R}$,इसलिए कोण $A$ निर्धारित हो जाता है। अतः,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित है।
विकल्प $(d)$ के लिए: $a, \sin A, R$ दिए गए हैं। हमारे पास $\frac{a}{\sin A} = 2R$ है। यह एक सर्वसमिका है जो किसी भी त्रिभुज के लिए सत्य है। यह अन्य भुजाओं या कोणों को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं देता है। इसलिए,त्रिभुज विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है।

(B) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
इसे $c$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $c^2 - (2b\cos A)c + (b^2 - a^2) = 0$.
मान लीजिए $c_1$ और $c_2$ इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
तब,मूलों का योग $c_1 + c_2 = 2b\cos A$ और मूलों का गुणनफल $c_1 c_2 = b^2 - a^2$ है।
मूलों के बीच का अंतर $|c_1 - c_2| = \sqrt{(c_1 + c_2)^2 - 4c_1 c_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $|c_1 - c_2| = \sqrt{(2b\cos A)^2 - 4(b^2 - a^2)}$.
$|c_1 - c_2| = \sqrt{4b^2\cos^2 A - 4b^2 + 4a^2} = \sqrt{4a^2 - 4b^2(1 - \cos^2 A)}$.
चूंकि $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$,इसलिए $|c_1 - c_2| = \sqrt{4a^2 - 4b^2\sin^2 A} = 2\sqrt{a^2 - b^2\sin^2 A}$.

(A) ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ है,जिसका अर्थ है $a \sin B = b \sin A$।
विकल्प $(A)$ से,$b \sin A = a$,इसलिए $a \sin B = a$,जो $\sin B = 1$ देता है,जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $A < \frac{\pi}{2}$,कोणों का योग $A + B < \pi$ है,इसलिए त्रिभुज $ABC$ संभव है।
विकल्प $(B)$ से,$b \sin A > a$,जिसका अर्थ है $a \sin B > a$,या $\sin B > 1$,जो असंभव है।
इसी प्रकार,विकल्प $(C)$ के लिए,$b \sin A > a$ का परिणाम $\sin B > 1$ होता है,जो कि असंभव है।

(A) दी गई परिधि के लिए,एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम होता है।
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। परिधि $2s = a + b + c$ है,इसलिए अर्ध-परिधि $s$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$a = b = c = \frac{2s}{3}$।
अधिकतम क्षेत्रफल $A_{max} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2s}{3}\right)^2 = \frac{s^2}{3\sqrt{3}}$।
चूंकि $2s$ परिधि वाले किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल $A \le A_{max}$ होता है,इसलिए $A \le \frac{s^2}{3\sqrt{3}}$।

(A) व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(a + b)^2 \sin^2 \frac{C}{2} + (a - b)^2 \cos^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2}$
$= a^2(\sin^2 \frac{C}{2} + \cos^2 \frac{C}{2}) + b^2(\sin^2 \frac{C}{2} + \cos^2 \frac{C}{2}) + 2ab(\sin^2 \frac{C}{2} - \cos^2 \frac{C}{2})$
$= a^2 + b^2 - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ होता है।
अतः,व्यंजक का मान $c^2$ है।

(A) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$LHS = \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2R \sin A + 2R \sin B + 2R \sin C}$
$= \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{2(\sin A + \sin B + \sin C)}$
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ और $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$LHS = \frac{4 \sin A \sin B \sin C}{2(4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2})}$
$= \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{r}{R}$.

(C) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ आदि का उपयोग करते हुए,व्यंजक को सरल करने पर $R = k(4R)$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 1/4$।

(C) दिया गया है $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$.
त्रिभुज में $A+B+C = \pi$ का उपयोग करते हुए,$\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1 - 4 \sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2} = 1$.
इसका अर्थ है $4 \sin \frac{3A}{2} \sin \frac{3B}{2} \sin \frac{3C}{2} = 0$.
अतः $\sin \frac{3A}{2} = 0$ या $\sin \frac{3B}{2} = 0$ या $\sin \frac{3C}{2} = 0$.
$\sin \frac{3A}{2} = 0$ के लिए,$\frac{3A}{2} = \pi \Rightarrow A = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$.
चूंकि एक कोण $120^\circ$ है,जो $90^\circ$ से अधिक है,इसलिए त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज है।

(C) हम जानते हैं कि $cot\, \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $cot\, \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ होता है।
इनका गुणा करने पर:
$cot\, \frac{B}{2} \cdot cot\, \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
दिया गया है कि $b + c = 3a$,अतः परिमाप $2s = a + b + c = a + 3a = 4a$,जिससे $s = 2a$ प्राप्त होता है।
$s = 2a$ का मान रखने पर:
$\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(A) मान लीजिए $R$ $\Delta ABC$ की परित्रिज्या है। परिकेंद्र से भुजा $a$ पर लंब की दूरी $f = R \cos A$ है।
इसी प्रकार,$g = R \cos B$ और $h = R \cos C$ है।
हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
अतः,$\frac{a}{f} = \frac{2R \sin A}{R \cos A} = 2 \tan A$ है।
इसी प्रकार,$\frac{b}{g} = 2 \tan B$ और $\frac{c}{h} = 2 \tan C$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर: $2 \tan A + 2 \tan B + 2 \tan C = \lambda \frac{(2R \sin A)(2R \sin B)(2R \sin C)}{(R \cos A)(R \cos B)(R \cos C)}$।
$2(\tan A + \tan B + \tan C) = \lambda \cdot 8 \tan A \tan B \tan C$।
किसी भी त्रिभुज में,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
इसलिए,$2(\tan A \tan B \tan C) = 8 \lambda (\tan A \tan B \tan C)$।
$2 = 8 \lambda \Rightarrow \lambda = 1/4$।

(D) दिया गया है $b = a(\sqrt{3} - 1)$ और $\angle C = 30^o$।
चूंकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^o$,इसलिए $\angle A + \angle B = 150^o$।
नेपियर के सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan\left(\frac{A - B}{2}\right) = \frac{a - b}{a + b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$।
$b = a(\sqrt{3} - 1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a - a(\sqrt{3} - 1)}{a + a(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$।
साथ ही,$\cot(15^o) = 2 + \sqrt{3}$।
अतः,$\tan\left(\frac{A - B}{2}\right) = \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)(2 + \sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस प्रकार,$\frac{A - B}{2} = 30^o$,जिसका अर्थ है $A - B = 60^o$।
$A + B = 150^o$ और $A - B = 60^o$ को हल करने पर,$2A = 210^o$,इसलिए $A = 105^o$।

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\cot A = \cot B = \cot C$ हो जाता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसका अर्थ है कि $A = B = C$ है।
अतः,त्रिभुज समबाहु है।

(A) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (B - C)}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
किसी भी त्रिभुज में $A + B + C = \pi$ होता है,इसलिए $\sin A = \sin(B + C)$ और $\sin C = \sin(A + B)$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin(B + C)}{\sin(A + B)} = \frac{\sin(A - B)}{\sin(B - C)}$
$\sin(B + C) \sin(B - C) = \sin(A + B) \sin(A - B)$
$\sin^2 B - \sin^2 C = \sin^2 A - \sin^2 B$
$2 \sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 C$
$(2R)^2$ से गुणा करने पर:
$2b^2 = a^2 + c^2$
अतः,$a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं।

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$\frac{2(b^2+c^2-a^2)}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{2(a^2+b^2-c^2)}{2abc} = \frac{a^2+b^2}{abc}$
$2abc$ से गुणा करने पर:
$2(b^2+c^2-a^2) + (a^2+c^2-b^2) + 2(a^2+b^2-c^2) = 2(a^2+b^2)$
$2b^2 + 2c^2 - 2a^2 + a^2 + c^2 - b^2 + 2a^2 + 2b^2 - 2c^2 = 2a^2 + 2b^2$
$3b^2 + c^2 + a^2 = 2a^2 + 2b^2$
$b^2 + c^2 = a^2$
चूंकि $b^2 + c^2 = a^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\angle A = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया है $r_1 = 2r_2 = 2r_3$।
बहिःत्रिज्याओं के सूत्रों का उपयोग करने पर,$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{2\Delta}{s-c}$।
$2r_2 = 2r_3$ से,हमें $s-b = s-c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = c$।
$r_1 = 2r_2$ से,हमारे पास $\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b}$ है,इसलिए $s-b = 2(s-a)$।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ और $b=c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a+c-b}{2} = 2(\frac{b+c-a}{2})$।
चूंकि $b=c$,इसे सरल करने पर $\frac{a}{2} = 2(\frac{2b-a}{2}) = 2b-a$ प्राप्त होता है।
$a = 4b - 2a$,जो $3a = 4b$ देता है।

(C) हम जानते हैं कि बहिर्वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$,$r_2 = s \tan \frac{B}{2}$,और $r_3 = s \tan \frac{C}{2}$ होती हैं।
त्रिज्याओं का योग: $\sum r_1 = s(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2})$।
साथ ही,$\sum r_1 r_2 = s^2(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2})$।
किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए सर्वसमिका $\sum \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum r_1 r_2 = s^2(1) = s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\sum r_1}{\sqrt{\sum r_1 r_2}} = \frac{s \sum \tan \frac{A}{2}}{\sqrt{s^2}} = \sum \tan \frac{A}{2}$।

(B) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(a(2R) + b(2R) + c(2R)) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ हो जाता है।
$= 2R(a + b + c) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$।
चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $2R(2s) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = 4Rs \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{r}{4R}$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या (inradius) है।
इसका मान रखने पर,$4Rs \left( \frac{r}{4R} \right) = rs$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\Delta = rs$,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण $\Delta$ है।

(B) माना त्रिभुज के कोण $A, B,$ और $C$ हैं। दिया गया है $\sin A = \frac{5}{13}$ और $\sin B = \frac{99}{101}$।
चूँकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$।
इसी प्रकार,$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \frac{9801}{10201}} = \frac{20}{101}$।
त्रिभुज में,$A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $C = 180^{\circ} - (A + B)$।
अतः,$\cos C = \cos(180^{\circ} - (A + B)) = -\cos(A + B)$।
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos C = \sin A \sin B - \cos A \cos B$।
मान रखने पर:
$\cos C = \left(\frac{5}{13} \times \frac{99}{101}\right) - \left(\frac{12}{13} \times \frac{20}{101}\right) = \frac{495}{1313} - \frac{240}{1313} = \frac{255}{1313}$।

(B) माना शीर्षों $A, B, C$ के सम्मुख भुजाएँ क्रमशः $a, b, c$ हैं। यहाँ $a = 6, b = 5, c = 4$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{2} c h_3$ है।
अतः,$h_1 = \frac{2\Delta}{a}, h_2 = \frac{2\Delta}{b}, h_3 = \frac{2\Delta}{c}$ है।
व्यंजक में मान रखने पर: $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} - \frac{1}{h_3} = \frac{a+b-c}{2\Delta}$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर,अर्ध-परिमाप $s = 7.5$ और क्षेत्रफल $\Delta = \frac{15\sqrt{7}}{4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{6+5-4}{2 \times \frac{15\sqrt{7}}{4}} = \frac{7}{\frac{15\sqrt{7}}{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{15}$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,भुजा $a$ ज्ञात करने के लिए कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हैं:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2)(\sqrt{3}) \cos(\frac{\pi}{6})$
$a^2 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2 = 7 - 6 = 1$
$a = 1$
अब,परिवृत्त त्रिज्या $R$ के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$R = \frac{a}{2 \sin A}$
$R = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{6})}$
$R = \frac{1}{2 \times (1/2)} = 1$

(A) माना चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ है जिसमें भुजाएँ $AB=5$,$AD=2$,$BC=3$ और $\angle DAB = 60^{\circ}$ हैं।
$\triangle ABD$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$BD^{2} = AB^{2} + AD^{2} - 2(AB)(AD)\cos(60^{\circ})$
$BD^{2} = 5^{2} + 2^{2} - 2(5)(2)(\frac{1}{2})$
$BD^{2} = 25 + 4 - 10 = 19$.
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle BCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
$\triangle BCD$ में,माना $CD = x$ है। कोज्या नियम के अनुसार:
$BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} - 2(BC)(CD)\cos(120^{\circ})$
$19 = 3^{2} + x^{2} - 2(3)(x)(-\frac{1}{2})$
$19 = 9 + x^{2} + 3x$
$x^{2} + 3x - 10 = 0$
$(x+5)(x-2) = 0$
चूँकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 2$।

(A) दिया गया है $8 \Delta = (b + c)(bc + 1)$.
चूँकि $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$,हमारे पास $8 \cdot \frac{1}{2} bc \sin A = (b + c)(bc + 1)$ है।
$4 bc \sin A = (b + c)(bc + 1)$.
$bc$ से विभाजित करने पर,$4 \sin A = (b + c) \left(1 + \frac{1}{bc}\right) = b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$b + \frac{1}{b} \ge 2$ और $c + \frac{1}{c} \ge 2$,इसलिए $b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c} \ge 4$.
चूँकि $\sin A \le 1$,$4 \sin A \le 4$.
अतः,समानता केवल तब होती है जब $b = 1, c = 1$ और $\sin A = 1$,जिसका अर्थ है $A = 90^\circ$.
इस स्थिति में,भुजाएँ $b = 1, c = 1$ हैं,और $a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $\Delta = \frac{1}{2}$,हमारे पास $\sqrt{\Delta} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,$R = \sqrt{\Delta}$.

(A) माना $AB = c = 13$,$AC = b = 15$,और $BC = a$ है। त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 84$ है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से,$\Delta = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin(A)$,अतः $84 = \frac{1}{2} \times 15 \times 13 \times \sin(A)$.
$\sin(A) = \frac{168}{195} = \frac{56}{65}$.
$\cos(A) = \pm \sqrt{1 - (\frac{56}{65})^2} = \pm \frac{33}{65}$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) = 394 - 390 \cos(A)$.
स्थिति $1$: $\cos(A) = \frac{33}{65}$,$a^2 = 196$,अतः $a = 14$.
स्थिति $2$: $\cos(A) = -\frac{33}{65}$,$a^2 = 592$,अतः $a = 4\sqrt{37}$.
विकल्पों के अनुसार,$14$ $BC$ के लिए एक संभावित मान है।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
दिया गया है $b = 2$,$c = \sqrt{3}$,और $\angle A = \frac{\pi}{6}$:
$a^2 = (2)^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2)(\sqrt{3}) \cos(\frac{\pi}{6})$
$a^2 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2 = 7 - 6 = 1$
$a = 1$
साइन नियम का उपयोग करते हुए: $R = \frac{a}{2 \sin A}$
$R = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{1}{2 \cdot (1/2)} = 1$

(A) माना $r$ अंतःत्रिज्या है और $r_a$ शीर्ष $A$ के विपरीत बाह्यत्रिज्या है। हमें $r = 3$ और $r_a = 4$ दिया गया है।
सूत्रों $r = \frac{\Delta}{s}$ और $r_a = \frac{\Delta}{s-a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta}{s} = 3$ और $\frac{\Delta}{s-a} = 4$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,$\frac{s-a}{s} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 - \frac{a}{s} = \frac{3}{4}$,इसलिए $\frac{a}{s} = \frac{1}{4}$.
क्षेत्रफल के सूत्र $\Delta = \frac{1}{2} a h_a$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h_a$ शीर्ष $A$ से शीर्षलंब है,हमें $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{a h_a}{2s} = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $h_a = \frac{6s}{a}$.
चूँकि $\frac{s}{a} = 4$ है,इसलिए $h_a = 6 \times 4 = 24$ इकाई होगा।

(A) बाह्य-त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $\Delta$ क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
दिया गया है $r_1 > r_2 > r_3$,इसलिए:
$\frac{\Delta}{s-a} > \frac{\Delta}{s-b} > \frac{\Delta}{s-c}$
चूँकि $\Delta > 0$,व्युत्क्रम लेने पर असमिका उलट जाती है:
$s-a < s-b < s-c$
सभी पदों से $s$ घटाने पर:
$-a < -b < -c$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका फिर से उलट जाती है:
$a > b > c$

(C) त्रिभुज में शीर्ष $A$ से लंबकेंद्र $H$ की दूरी का सूत्र $AH = 2R \cos A$ होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,जिसका अर्थ है कि $2R = \frac{a}{\sin A}$।
इस मान को $AH$ के सूत्र में रखने पर,हमें $AH = \frac{a}{\sin A} \times \cos A = a \cot A$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a = 8 \text{ cm}$ और $\angle A = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $AH = 8 \times \cot(30^\circ)$।
चूंकि $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$,इसलिए $AH = 8\sqrt{3} \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $E = \frac{b \sin(C - A)}{c^2 - a^2} + \frac{c \sin(A - B)}{a^2 - b^2}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमारे पास $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
हर (denominator) में मान रखने पर $c^2 - a^2 = 4R^2(\sin^2 C - \sin^2 A) = 4R^2 \sin(C - A) \sin(C + A)$.
चूंकि $A + B + C = \pi$,$\sin(C + A) = \sin(\pi - B) = \sin B$.
अतः,$c^2 - a^2 = 4R^2 \sin(C - A) \sin B$.
पहले पद में मान रखने पर: $\frac{b \sin(C - A)}{4R^2 \sin(C - A) \sin B} = \frac{2R \sin B \sin(C - A)}{4R^2 \sin(C - A) \sin B} = \frac{1}{2R}$.
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए: $\frac{c \sin(A - B)}{a^2 - b^2} = \frac{2R \sin C \sin(A - B)}{4R^2 \sin(A - B) \sin C} = \frac{1}{2R}$.
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{1}{R}$.

(D) दिया गया है कि परिमाप $a+b+c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
समीकरण में मान रखने पर: $2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$।
इसका अर्थ है $2R = 2$,अतः $R = 1$ है।
चूँकि $a = 2R \sin A$ और $a = 1$,इसलिए $1 = 2(1) \sin A$ है।
अतः,$\sin A = \frac{1}{2}$,जिससे $\angle A = \frac{\pi}{6}$ (या $30^{\circ}$) प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{s-b}{s}$ होता है।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
दोनों पक्षों में $b$ जोड़ने पर,$3b = a + b + c = 2s$,अतः $b = \frac{2s}{3}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{s - \frac{2s}{3}}{s} = \frac{\frac{s}{3}}{s} = \frac{1}{3}$.

(B) दिया गया है कि $\angle C = 90^{\circ}$,$\Delta ABC$ में,$a = c \sin A$ और $b = c \sin B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \sin(A - B) = \frac{c^{2} \sin^{2} A + c^{2} \sin^{2} B}{c^{2} \sin^{2} A - c^{2} \sin^{2} B} \sin(A - B)$
$= \frac{\sin^{2} A + \sin^{2} B}{\sin^{2} A - \sin^{2} B} \sin(A - B)$
सर्वसमिका $\sin^{2} A - \sin^{2} B = \sin(A + B) \sin(A - B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin^{2} A + \sin^{2} B}{\sin(A + B) \sin(A - B)} \sin(A - B)$
चूंकि $A + B = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin(A + B) = \sin 90^{\circ} = 1$ और $\sin A = \cos B$ होता है:
$= \frac{\cos^{2} B + \sin^{2} B}{1} = 1$.

(C) दिया है $A : B : C = 3 : 5 : 4$। त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3x + 5x + 4x = 180^{\circ}$,जिससे $12x = 180^{\circ}$ और $x = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 45^{\circ}, B = 75^{\circ}, C = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 75^{\circ}} = \frac{c}{\sin 60^{\circ}} = K$।
तब $a = \frac{K}{\sqrt{2}}$,$b = K \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right)$,और $c = K \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अब,$a + b + c \sqrt{2} = \frac{K}{\sqrt{2}} + K \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right) + K \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3K(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{2}}$।
अतः,$a + b + c \sqrt{2} = 3b$।

(B) दिया गया है $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \sin^{2} C = 2$.
$\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \cos^{2} A) + \sin^{2} B + \sin^{2} C = 2$
$\sin^{2} B + \sin^{2} C - \cos^{2} A = 1$
सर्वसमिका $\sin^{2} B + \sin^{2} C = 1 - \cos(B+C)\cos(B-C)$ और $\cos A = -\cos(B+C)$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos(B+C)\cos(B-C) - \cos^{2} A = 1$
$-\cos(B+C)\cos(B-C) - \cos^{2} A = 0$
$\cos A \cos(B-C) - \cos^{2} A = 0$
$\cos A [\cos(B-C) - \cos A] = 0$
$\cos A [\cos(B-C) + \cos(B+C)] = 0$
$\cos A [2 \cos B \cos C] = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos A = 0$ या $\cos B = 0$ या $\cos C = 0$ है।
अतः,कोई एक कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।

(C) $\Delta ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है। दिया गया है कि $\angle B = 120^{\circ}$ और $\angle C = \angle A = \theta$,इसलिए $120^{\circ} + 2\theta = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $2\theta = 60^{\circ}$,यानी $\theta = 30^{\circ}$।
$B$ से $AC$ पर लंब $BM$ खींचिए। चूंकि $\Delta ABC$ समद्विबाहु त्रिभुज है,$M$,$AC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $CM = 5 \, m$।
समकोण $\Delta BMC$ में,$\cos 30^{\circ} = \frac{CM}{BC}$।
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{a}$।
$a = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} \, m$।
चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,$a = c = \frac{10 \sqrt{3}}{3} \, m$।

(A) दिया गया है $\frac{a}{b} = 2 + \sqrt{3}$ और $\angle C = 60^\circ$।
टैंजेंट नियम का उपयोग करने पर: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$।
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{(2+\sqrt{3})b - b}{(2+\sqrt{3})b + b} = \frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$\cot\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = \cot(30^\circ) = \sqrt{3}$।
अतः,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$।
$\frac{A-B}{2} = 45^\circ \implies A-B = 90^\circ$।
चूंकि $A+B+C = 180^\circ$ और $C = 60^\circ$,इसलिए $A+B = 120^\circ$।
$A-B = 90^\circ$ और $A+B = 120^\circ$ को हल करने पर,$2A = 210^\circ \implies A = 105^\circ$ और $B = 15^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(105^\circ, 15^\circ)$ है।

(B) माना त्रिभुज $ABC$ में $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=K$ है।
$\Rightarrow b+c=11K, c+a=12K, a+b=13K$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2(a+b+c) = 36K \Rightarrow a+b+c = 18K$.
प्रत्येक समीकरण को योग से घटाने पर:
$a = 18K - 11K = 7K$.
$b = 18K - 12K = 6K$.
$c = 18K - 13K = 5K$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर:
$\cos A = \frac{(6K)^2 + (5K)^2 - (7K)^2}{2(6K)(5K)} = \frac{36K^2 + 25K^2 - 49K^2}{60K^2} = \frac{12K^2}{60K^2} = \frac{1}{5}$.

(A) दिया है $\angle A + \angle B = 120^{\circ}$ और $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}$.
चूंकि $\angle B = 120^{\circ} - A$,इसलिए $\frac{\sin A}{\sin(120^{\circ}-A)} = 2+\sqrt{3}$.
इस समीकरण को हल करने पर,$\cot A = \sqrt{3}-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 105^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ है।
इसलिए,अनुपात $A : B = 105^{\circ} : 15^{\circ} = 7 : 1$ है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b,$ और $c$ हैं। दिया है $a + b = x$ और $ab = y$.
शर्त $x^2 - c^2 = y$ में $x = a + b$ रखने पर:
$(a + b)^2 - c^2 = ab$
$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = ab$
$a^2 + b^2 - c^2 = -ab$
$2ab$ से भाग देने पर:
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = -\frac{1}{2}$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,इसलिए $\cos C = -\frac{1}{2}$.
अतः,$C = 120^\circ$ या $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन।
तब $\sin C = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
साइन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{c}{\sin C} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त त्रिज्या है:
$R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{c}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{c}{\sqrt{3}}$.

(A) माना $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
योग करने पर $2(a+b+c) = 36k$,अतः $a+b+c = 18k$.
प्रत्येक समीकरण को घटाने पर:
$a = 7k, b = 6k, c = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर $\cos A = \frac{1}{5}, \cos B = \frac{19}{35}, \cos C = \frac{5}{7}$.
चूंकि $\frac{\cos A}{\alpha} = \frac{\cos B}{\beta} = \frac{\cos C}{\gamma}$ है,
$\alpha : \beta : \gamma = 7 : 19 : 25$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें भुजाएँ $a, b, c$ शीर्षों $A, B, C$ के सम्मुख हैं। शीर्ष $B$ से भुजा $AC$ पर एक लंब $BD$ खींचिए। माना $D$,$AC$ पर एक बिंदु है ताकि $BD \perp AC$ हो।
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,हमारे पास है:
$AD = c \cos A$
$BD = c \sin A$
चूँकि $AC = b$,इसलिए लंबाई $CD = AC - AD = b - c \cos A$ होगी।
अब,समकोण त्रिभुज $BDC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BC^{2} = BD^{2} + CD^{2}$
$a^{2} = (c \sin A)^{2} + (b - c \cos A)^{2}$
पदों का विस्तार करने पर:
$a^{2} = c^{2} \sin^{2} A + b^{2} + c^{2} \cos^{2} A - 2bc \cos A$
सर्वसमिका $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$ का उपयोग करने पर:
$a^{2} = b^{2} + c^{2}(\sin^{2} A + \cos^{2} A) - 2bc \cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos A$
$\cos A$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2bc \cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$
$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$

(A) दिया गया है $\frac{a+b}{7} = \frac{b+c}{8} = \frac{c+a}{9} = \lambda$.
अतः $a+b = 7\lambda$,$b+c = 8\lambda$,और $c+a = 9\lambda$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 24\lambda$,जिससे $a+b+c = 12\lambda$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों से $c = 5\lambda$,$a = 4\lambda$,और $b = 3\lambda$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a^2 + b^2 = (4\lambda)^2 + (3\lambda)^2 = 25\lambda^2 = c^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2} = \frac{5\lambda}{2}$ और अंतःत्रिज्या $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{4\lambda+3\lambda-5\lambda}{2} = \lambda$ होती है।
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{5\lambda/2}{\lambda} = \frac{5}{2}$.

(C) मान लीजिए $\angle ABC = \theta$,तो $\angle ACB = 2\theta$ है। मान लीजिए $\angle BAC = 180^{\circ} - 3\theta$ और $BC = x$ है।
$\triangle ABC$ में ज्या नियम (sine rule) के अनुसार:
$\frac{9}{\sin \theta} = \frac{15}{\sin 2\theta} = \frac{x}{\sin 3\theta}$
$\frac{9}{\sin \theta} = \frac{15}{2 \sin \theta \cos \theta}$ से,$\cos \theta = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर,$x = 9 \cdot \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta} = 9(3 - 4 \sin^2 \theta)$।
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$,इसलिए $x = 9(3 - 4 \cdot \frac{11}{36}) = 9(3 - \frac{11}{9}) = 27 - 11 = 16$।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$,$BC$ को $AB:AC = 15:9 = 5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$BD = \frac{5}{5+3} \cdot BC = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10$।

(B) माना $AB = c$ और $AD = x$ है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}$,अतः $\frac{c}{2} = \frac{x}{1}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{c}{2}$।
$\triangle BCD$ में,कोसाइन नियम के अनुसार,$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD) \cos C$।
$\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2^2 + 1^2 - 2(2)(1) \cos C \implies \frac{9}{2} = 5 - 4 \cos C \implies 4 \cos C = \frac{1}{2} \implies \cos C = \frac{1}{8}$।
$\triangle ABC$ में,कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2(BC)(AC) \cos C$।
$c^2 = 2^2 + (x+1)^2 - 2(2)(x+1) \left(\frac{1}{8}\right)$।
$x = \frac{c}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$c^2 = 4 + (\frac{c}{2}+1)^2 - (\frac{c}{2}+1) = 4 + \frac{c^2}{4} + c + 1 - \frac{c}{2} - 1 = \frac{c^2}{4} + \frac{c}{2} + 4$।
$\frac{3c^2}{4} - \frac{c}{2} - 4 = 0 \implies 3c^2 - 2c - 16 = 0$।
$(3c - 8)(c + 2) = 0$। चूँकि $c > 0$,$c = \frac{8}{3}$।
स्टुअर्ट प्रमेय का उपयोग करने पर $c=3$ प्राप्त होता है,अतः परिमाप $= 3 + 2 + (1.5 + 1) = 7.5 = \frac{15}{2}$।

(B) मान लीजिए $AD$ भुजा $BC$ पर माध्यिका है। अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $a = BC = 8$ दिया गया है,इसलिए $BD = DC = 4$ है। साथ ही $m = AD = 6$ है।
मान लीजिए $AC = b$ और $AB = c$ है। दिया गया है कि $b - c = 2$,इसलिए $c = b - 2$ है।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$(b - 2)^2 + b^2 = 2(6^2 + 4^2)$
$b^2 - 4b + 4 + b^2 = 2(36 + 16)$
$2b^2 - 4b + 4 = 104$
$b^2 - 2b - 50 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $b = 1 + \sqrt{51} \approx 8.14$ प्राप्त होता है।
अतः $b$ का निकटतम पूर्णांक $8$ है।

(C) मान लीजिए $BC = 4x$ है। चूँकि $BX = 3XC$ और $BC = BX + XC$,इसलिए $BX = 3x$ और $XC = x$ है।
दिया है $AB = BC$,इसलिए $AB = 4x$ है।
चूँकि $F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BF = AF = 2x$ है।
$\triangle BFX$ में,$\angle BFX = 90^\circ$ है। अतः,$\cos B = \frac{BF}{BX} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$ है।
$\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2(AB)(BC)}$
$\frac{2}{3} = \frac{(4x)^2 + (4x)^2 - AC^2}{2(4x)(4x)}$
$\frac{2}{3} = \frac{32x^2 - AC^2}{32x^2}$
$64x^2 = 3(32x^2 - AC^2)$
$64x^2 = 96x^2 - 3AC^2$
$3AC^2 = 32x^2$
$AC^2 = \frac{32x^2}{3}$
$AC = \sqrt{\frac{32}{3}}x = 4x \sqrt{\frac{2}{3}}$
अतः,$\frac{BC}{AC} = \frac{4x}{4x \sqrt{\frac{2}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$।

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $AB = AD$ है।
चूंकि $AB = AD$,इसलिए $\angle B = \angle ADB$ होगा।
मान लीजिए $\angle ADB = B$ है। तब $\angle ADC = \pi - B$ होगा। मान लीजिए $\angle ADC = \theta$,तो $\theta = \pi - B$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = DC = 1$ (अनुपात $m:n = 1:1$ लेने पर)।
$\triangle ABC$ में कोटैंजेंट प्रमेय का उपयोग करने पर:
$(m+n) \cot \theta = n \cot B - m \cot C$
$m=1, n=1$ और $\theta = \pi - B$ रखने पर:
$(1+1) \cot(\pi - B) = 1 \cdot \cot B - 1 \cdot \cot C$
$2(-\cot B) = \cot B - \cot C$
$-2 \cot B = \cot B - \cot C$
$\cot C = 3 \cot B$
$\frac{1}{\tan C} = \frac{3}{\tan B}$
$\frac{\tan B}{\tan C} = 3$.

(A) माना $\angle BAD = \angle DAE = \angle EAC = \theta$. अतः,$\angle A = 3\theta$.
चूंकि $AD$ शीर्षलंब है,$\triangle ABD$ और $\triangle ADC$ में $D$ पर समकोण है।
$\triangle ABD$ में,$\tan \theta = \frac{BD}{AD}$.
$\triangle ADE$ में,$\tan \theta = \frac{DE}{AD}$.
चूंकि $\tan \theta = \tan \theta$,इसलिए $BD = DE$ है। माना $BD = DE = x$.
चूंकि $AE$ माध्यिका है,$BE = EC = 14$ है। अतः,$DE = BE - BD = 14 - x$.
$DE$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $x = 14 - x$ $\Rightarrow 2x = 14$ $\Rightarrow x = 7$.
अतः,$BD = 7$ और $DE = 7$.
$\triangle ADC$ में,$\angle DAC = 2\theta$,इसलिए $\tan 2\theta = \frac{DC}{AD} = \frac{DE+EC}{AD} = \frac{7+14}{AD} = \frac{21}{AD}$.
$\triangle ABD$ में,$\tan \theta = \frac{BD}{AD} = \frac{7}{AD}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\tan 2\theta}{\tan \theta} = \frac{21}{7} = 3$.
सर्वसमिका $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2}{1-\tan^2 \theta} = 3$ प्राप्त होता है।
$2 = 3 - 3\tan^2 \theta$ $\Rightarrow 3\tan^2 \theta = 1$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$.
$\triangle ABD$ में,$\sin 30^{\circ} = \frac{BD}{AB} = \frac{7}{AB} \Rightarrow AB = \frac{7}{1/2} = 14$.
$\triangle ADC$ में,$\angle DAC = 60^{\circ}$,इसलिए $\sin 60^{\circ} = \frac{DC}{AC} = \frac{21}{AC}$ $\Rightarrow AC = \frac{21}{\sqrt{3}/2} = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}$.
$AB + AC = 14 + 14\sqrt{3} = 14(1 + 1.732) = 14(2.732) = 38.248$.
निकटतम पूर्णांक $38$ है।

(C) दिया गया है $AB=c=4, BC=a=5, CA=b=6$। बिंदु $D, E, F$ भुजाओं $AB, BC, CA$ पर इस प्रकार हैं कि $AD=2, BE=2, CF=2$ है।
यहाँ $BD = AB - AD = 4 - 2 = 2$,$CE = BC - BE = 5 - 2 = 3$,$AF = AC - CF = 6 - 2 = 4$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\Delta$।
$\triangle ADF$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AF \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin A = 4 \sin A$।
चूंकि $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A = 12 \sin A$,इसलिए $\sin A = \frac{\Delta}{12}$।
अतः,$\triangle ADF$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{3} \Delta$।
इसी प्रकार,$\triangle BED$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{5} \Delta$ और $\triangle CFE$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{5} \Delta$ है।
$\triangle DEF$ का क्षेत्रफल = $\Delta - (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}) \Delta = \frac{4}{15} \Delta$।
अतः,अनुपात $\frac{4}{15}$ है।