System of co-ordinates, Distance between two points, Section formulae Questions in Hindi

(C) माना $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(x, 0)$ है।
दिया गया है कि $P(x, 0)$ और $(2, 3)$ के बीच की दूरी $c$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x-2)^2 + (0-3)^2} = c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-2)^2 + 9 = c^2$.
चूँकि $c < 3$,इसलिए $c^2 < 9$ है।
अतः,$(x-2)^2 = c^2 - 9$.
चूँकि $c^2 < 9$,इसलिए $c^2 - 9 < 0$ होगा।
चूँकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,ऐसे बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(B) माना कि बिंदु $P(8, 4)$,बिंदुओं $A(5, -2)$ और $B(9, 6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{k(9) + 1(5)}{k + 1}, \frac{k(6) + 1(-2)}{k + 1} \right)$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$8 = \frac{9k + 5}{k + 1}$
$8(k + 1) = 9k + 5$
$8k + 8 = 9k + 5$
$8 - 5 = 9k - 8k$
$k = 3$
अतः,अनुपात $k : 1$ का मान $3 : 1$ है।

(D) बिंदु $P, Q$ और $R$ रेखाखंड $AB$ को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं। अतः,अनुपात $AR:RB$ का मान $3:1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,यदि कोई बिंदु $(x, y)$ बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो निर्देशांक होंगे:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
बिंदु $R$ के लिए,$m=3$ और $n=1$,जहाँ $A(-6, 8)$ और $B(8, -6)$ हैं:
$x = \frac{3(8) + 1(-6)}{3+1} = \frac{24 - 6}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
$y = \frac{3(-6) + 1(8)}{3+1} = \frac{-18 + 8}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$
अतः,$R$ के निर्देशांक $(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})$ हैं।

(C) किसी बिंदु $(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी उसके $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान $|y|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(6, 8)$ में,$x$-निर्देशांक $6$ है और $y$-निर्देशांक $8$ है।
अतः,$x$-अक्ष से दूरी $|8| = 8$ इकाई है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु का सूत्र है:
$P = (\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n})$
यहाँ $(x_1, y_1) = (-3, -4)$,$(x_2, y_2) = (-8, 7)$ और $m : n = 7 : 5$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{7(-8) - 5(-3)}{7 - 5} = \frac{-56 + 15}{2} = \frac{-41}{2}$
$y = \frac{7(7) - 5(-4)}{7 - 5} = \frac{49 + 20}{2} = \frac{69}{2}$
अतः,निर्देशांक $(-41/2, 69/2)$ हैं।

(A) माना बिंदु $P(-3, 4)$ है।
$P(-3, 4)$ से $x$-अक्ष पर लंब की दूरी $|y| = |4| = 4$ है।
$P(-3, 4)$ से $y$-अक्ष पर लंब की दूरी $|x| = |-3| = 3$ है।
इन लंबाइयों के वर्गों का योग $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ है।
इस योग का वर्गमूल $\sqrt{25} = 5$ है।

(C) ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta) = (2, \pi /4)$ दिए गए हैं।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ को कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ में बदलने के लिए,हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 2 \cos(\pi /4) = 2 \times (1 / \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$y = 2 \sin(\pi /4) = 2 \times (1 / \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
अतः,कार्तीय निर्देशांक $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ हैं।

(C) $AC = 2BC$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\frac{AC}{BC} = \frac{2}{1}$।
यदि $C$ रेखा $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो आंतरिक विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2(2) + 1(-3)}{2+1} = \frac{1}{3}$
$y = \frac{2(1) + 1(4)}{2+1} = 2$
हालाँकि,यदि $C$ रेखा $AB$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है,तो:
$x = \frac{2(2) - 1(-3)}{2-1} = 7$
$y = \frac{2(1) - 1(4)}{2-1} = -2$
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
सबसे पहले,$(0, 0)$ और $(3, 4)$ के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके कर्ण की लंबाई ज्ञात करें:
$L = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
कर्ण पर माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी है:
$\text{Median} = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$.

(C) विभाजन सूत्र का उपयोग करके बिंदु $A$ के निर्देशांक $\left( \frac{3k - 5}{k + 1}, \frac{5k + 1}{k + 1} \right)$ हैं।
दिया है $B = (1, 5)$ और $C = (7, -2)$,त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 2$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \left| \frac{3k - 5}{k + 1}(5 - (-2)) + 1(-2 - \frac{5k + 1}{k + 1}) + 7(\frac{5k + 1}{k + 1} - 5) \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{7(3k - 5) - (2k + 2 + 5k + 1) + 7(5k + 1 - 5k - 5)}{k + 1} \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{21k - 35 - 7k - 3 - 28}{k + 1} \right| = 2$.
$|14k - 66| = 4|k + 1|$.
स्थिति $1$: $14k - 66 = 4k + 4$ $\Rightarrow 10k = 70$ $\Rightarrow k = 7$.
स्थिति $2$: $14k - 66 = -4k - 4$ $\Rightarrow 18k = 62$ $\Rightarrow k = 31/9$.

(C) दिया गया है कि $AC = 2 BC$,इसलिए $\frac{AC}{BC} = \frac{2}{1}$ है।
चूंकि $C$,$AB$ रेखा पर बाहर की ओर स्थित है,इसलिए $C$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}\right)$ होते हैं।
मान रखने पर: $(x_1, y_1) = (-3, 4)$,$(x_2, y_2) = (2, 1)$,$m = 2$,$n = 1$:
$x = \frac{2(2) - 1(-3)}{2-1} = 7$
$y = \frac{2(1) - 1(4)}{2-1} = -2$
अतः,$C$ के निर्देशांक $(7, -2)$ हैं।

(A) दिए गए बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ हैं।
जब $PQ$,$y$-अक्ष के समांतर होता है,तो $x$-निर्देशांक समान होते हैं,इसलिए $x_{1} = x_{2}$।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ है।
सूत्र में $x_{1} = x_{2}$ रखने पर,हमें $d = \sqrt{(x_{2}-x_{2})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ प्राप्त होता है।
$d = \sqrt{0^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$।
$d = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}} = |y_{2}-y_{1}|$।

(A) दिए गए बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2})$ हैं।
चूंकि $PQ$,$x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान होंगे,अर्थात $y_{1} = y_{2}$।
दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ है।
सूत्र में $y_{2} = y_{1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{1}-y_{1})^2}$ प्राप्त होता है।
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + 0^2}$.
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2} = |x_{2}-x_{1}|$.

(A) माना $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(a, 0)$ है जो बिंदुओं $P(7, 6)$ और $Q(3, 4)$ से समदूरस्थ है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$(a, 0)$ से $(7, 6)$ की दूरी,$(a, 0)$ से $(3, 4)$ की दूरी के बराबर है।
$\sqrt{(7-a)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{(3-a)^2 + (4-0)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(7-a)^2 + 36 = (3-a)^2 + 16$
$(49 - 14a + a^2) + 36 = (9 - 6a + a^2) + 16$
$85 - 14a = 25 - 6a$
$85 - 25 = 14a - 6a$
$60 = 8a$
$a = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$
अतः,$x$-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु $(\frac{15}{2}, 0)$ है।

(B) $P(0, -4)$ और $B(8, 0)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$\left(\frac{0+8}{2}, \frac{-4+0}{2}\right) = (4, -2)$.
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर गुजरने वाली रेखा की ढाल $(m)$ का सूत्र है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
रेखा मूल-बिंदु $(0, 0)$ और मध्य-बिंदु $(4, -2)$ से होकर गुजरती है।
इन मानों को ढाल के सूत्र में रखने पर:
$m = \frac{-2 - 0}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
अतः,रेखा की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।

(A) $x$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है।
अतः,$x$-अक्ष का समीकरण $y=0$ है।
$y$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होता है।
अतः,$y$-अक्ष का समीकरण $x=0$ है।

(C) दो बिंदुओं $A(a_1, a_2)$ और $B(b_1, b_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $a_1, a_2, b_1, b_2$ पूर्णांक हैं,मान लें $x = |b_1 - a_1|$ और $y = |b_2 - a_2|$,जहाँ $x$ और $y$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
अतः,$d^2 = x^2 + y^2$.
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: \sqrt{65} = \sqrt{8^2 + 1^2}$,जो संभव है।
$B: \sqrt{74} = \sqrt{7^2 + 5^2}$,जो संभव है।
$C: \sqrt{83}$। हम जाँचते हैं कि क्या $83$ को दो वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। $83$ से छोटे वर्ग $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$ हैं। इनमें से किन्हीं भी दो का योग $83$ नहीं है।
$D: \sqrt{97} = \sqrt{9^2 + 4^2}$,जो संभव है।
अतः,$\sqrt{83}$ एक संभावित मान नहीं है।

(A) दिया गया है कि समुच्चय $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ है और समुच्चय $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2^m - 2^n = 56$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7$.
$2$ की घातों की तुलना करने पर,$2^n = 2^3$,जिसका अर्थ है $n = 3$.
साथ ही,$2^{m-n} - 1 = 7$,इसलिए $2^{m-n} = 8 = 2^3$.
अतः,$m - n = 3$,और $n = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m = 6$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(6, 3)$ और $Q(-2, -3)$ हैं।
दूरी $PQ = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना $P = (x_1, y_1) = (-\sin(\beta - \alpha), -\cos \beta)$ और $Q = (x_2, y_2) = (\cos(\beta - \alpha), \sin \beta)$ है।
हम देखते हैं कि $R = (\cos(\beta - \alpha + \theta), \sin(\beta - \theta))$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$\cos(\beta - \alpha + \theta) = \cos(\beta - \alpha)\cos \theta - \sin(\beta - \alpha)\sin \theta = x_2 \cos \theta + x_1 \sin \theta$ है।
इसी प्रकार,$\sin(\beta - \theta) = \sin \beta \cos \theta - \cos \beta \sin \theta = y_2 \cos \theta + y_1 \sin \theta$ है।
अतः,$R = (x_2 \cos \theta + x_1 \sin \theta, y_2 \cos \theta + y_1 \sin \theta)$ है।
यह दर्शाता है कि $R$,रेखाखंड $PQ$ को $\sin \theta : \cos \theta$ के अनुपात में अंतःविभाजित करता है।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,$\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $R$ रेखाखंड $QP$ पर स्थित है।

(B) माना बिंदु $A(1, 1)$ और $B(2, 4)$ हैं। बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{3(2) + 2(1)}{3+2} = \frac{8}{5}$ और $y = \frac{3(4) + 2(1)}{3+2} = \frac{14}{5}$.
बिंदु $P(\frac{8}{5}, \frac{14}{5})$ रेखा $2x + y = k$ पर स्थित है।
अतः,$2(\frac{8}{5}) + \frac{14}{5} = k \implies k = \frac{30}{5} = 6$.
अब,$(k+1):(k-1) = (6+1):(6-1) = 7:5$ अर्थात $\frac{7}{5}$।

(D) ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ और कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ है।
यहाँ $r = \sqrt{2}$ और $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
$x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
$y = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
अतः,कार्तीय निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(A) ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ और कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ है।
यहाँ $r = 2$ और $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
अतः,कार्तीय निर्देशांक $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.
चूंकि बिंदु $(-2, -2)$ $III$ चतुर्थांश में स्थित है,कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-2}{-2} = 1$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $III$ चतुर्थांश में है,$\theta = \pi + \tan^{-1}(1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5 \pi}{4}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ $(2 \sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4})$ हैं।

(A) $P, Q, R$ बिंदु रेखाखंड $AB$ को $4$ समान भागों में विभाजित करते हैं। अतः,$AP = PQ = QR = RB = k$ (माना)।
$Q, AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए इसके निर्देशांक $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{-7+5}{2} \right) = (4, -1)$ हैं।
$P, AQ$ का मध्य-बिंदु है। $A(2, -7)$ और $Q(4, -1)$ के साथ,$P$ के निर्देशांक $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{-7-1}{2} \right) = (3, -4)$ हैं।
$R, QB$ का मध्य-बिंदु है। $Q(4, -1)$ और $B(6, 5)$ के साथ,$R$ के निर्देशांक $= \left( \frac{4+6}{2}, \frac{-1+5}{2} \right) = (5, 2)$ हैं।
$PR$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{3+5}{2}, \frac{-4+2}{2} \right) = (4, -1)$ है।

(C) माना कि रेखा $3x + 4y = 6$ बिंदुओं $P(2, -1)$ और $Q(1, 1)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{2+k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु रेखा $3x + 4y = 6$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3\left(\frac{2+k}{k+1}\right) + 4\left(\frac{k-1}{k+1}\right) = 6$.
$(k+1)$ से गुणा करने पर:
$3(2+k) + 4(k-1) = 6(k+1)$.
$6 + 3k + 4k - 4 = 6k + 6$.
$7k + 2 = 6k + 6$.
$k = 4$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(A) बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $a:b$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक $\left(\frac{-2a + b}{a + b}, \frac{a + 2b}{a + b}\right)$ हैं।
चूंकि $C$,रेखा $2x + y - 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$2\left(\frac{-2a + b}{a + b}\right) + \left(\frac{a + 2b}{a + b}\right) - 3 = 0$
$-4a + 2b + a + 2b - 3(a + b) = 0$
$-3a + 4b - 3a - 3b = 0$
$b = 6a \Rightarrow \frac{b}{a} = 6$.
अब,$\frac{b}{a} = 6$ को $P$ और $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = \left(\frac{6}{3}, -3\right) = (2, -3)$
$Q = \left(-3, -\frac{6}{3}\right) = (-3, -2)$
बिंदु $C$ है $\left(\frac{-2a + 6a}{a + 6a}, \frac{a + 12a}{a + 6a}\right) = \left(\frac{4a}{7a}, \frac{13a}{7a}\right) = \left(\frac{4}{7}, \frac{13}{7}\right)$।
मान लीजिए कि $C$,$PQ$ को $p:q$ के अनुपात में विभाजित करता है। $x$-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{-3p + 2q}{p + q} = \frac{4}{7}$
$-21p + 14q = 4p + 4q$
$10q = 25p \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
अतः,$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{2}{5} + \frac{5}{2} = \frac{4 + 25}{10} = \frac{29}{10}$।

(A) माना बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{3m - 2n}{m + n}, \frac{-2m + 3n}{m + n}\right)$ हैं।
चूंकि $P$ रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{3m - 2n}{m + n}\right) - 3\left(\frac{-2m + 3n}{m + n}\right) + 4 = 0$ है।
$(m + n)$ से गुणा करने पर,$6m - 4n + 6m - 9n + 4m + 4n = 0$,जो $16m - 9n = 0$ में सरल होता है,अतः $\frac{m}{n} = \frac{9}{16}$ है।
हमें $AB$ को $k = \frac{-4m}{3n} = \frac{-4}{3} \times \frac{9}{16} = -\frac{3}{4}$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात करना है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$x = -17$ और $y = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(-17, 18)$ है।

(A) माना $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(2, 3)$ रेखाखंड $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot a}{2 + 3}, \frac{2 \cdot b + 3 \cdot 0}{2 + 3}\right) = \left(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना $(2, 3)$ से करने पर:
$\frac{3a}{5} = 2$ $\Rightarrow 3a = 10$ $\Rightarrow a = \frac{10}{3}$.
$\frac{2b}{5} = 3$ $\Rightarrow 2b = 15$ $\Rightarrow b = \frac{15}{2}$.
अंतःखंडों का गुणनफल $a \cdot b = \left(\frac{10}{3}\right) \cdot \left(\frac{15}{2}\right) = 5 \cdot 5 = 25$.

(C) बिंदु $N(x, y)$ रेखाखंड $AB$ को $b: a$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$N$ के निर्देशांक हैं:
$x = \frac{b(a \cos \beta) - a(b \cos \alpha)}{b - a} = \frac{ab(\cos \beta - \cos \alpha)}{b - a}$
$y = \frac{b(a \sin \beta) - a(b \sin \alpha)}{b - a} = \frac{ab(\sin \beta - \sin \alpha)}{b - a}$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{ab} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{b - a} \implies \frac{b - a}{ab} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{x}$
$\frac{y}{ab} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{b - a} \implies \frac{b - a}{ab} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{y}$
$\frac{b - a}{ab}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\cos \beta - \cos \alpha}{x} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{y}$
$y(\cos \beta - \cos \alpha) = x(\sin \beta - \sin \alpha)$
त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने पर:
$y \left( -2 \sin \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right) = x \left( 2 \cos \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right)$
$2 \sin \frac{\beta - \alpha}{2}$ से विभाजित करने पर:
$-y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = x \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$
$x \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = 0$

(A) माना बिंदु $A = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ और $B = (a \cos \phi, a \sin \phi)$ हैं।
दी गई दूरी $AB = 2a$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$AB^2 = (a \cos \theta - a \cos \phi)^2 + (a \sin \theta - a \sin \phi)^2 = (2a)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \cos^2 \phi - 2 \cos \theta \cos \phi + \sin^2 \theta + \sin^2 \phi - 2 \sin \theta \sin \phi) = 4a^2$
$a^2(2 - 2(\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)) = 4a^2$
$2 - 2 \cos(\theta - \phi) = 4$
$-2 \cos(\theta - \phi) = 2$
$\cos(\theta - \phi) = -1$
चूंकि $\cos(\theta - \phi) = -1$,इसलिए $\theta - \phi = (2n + 1)\pi = 2n\pi + \pi$,जहाँ $n \in Z$ है।
अतः,$\theta = 2n\pi + \pi + \phi$.

(D) माना अनुपात $m:n = k:1$ है। बिंदु $(a, b)$ बिंदुओं $(2, -1)$ और $(1, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$a = \frac{k(1) + 1(2)}{k+1} = \frac{k+2}{k+1}$ और $b = \frac{k(-4) + 1(-1)}{k+1} = \frac{-4k-1}{k+1}$।
चूंकि $(a, b)$ रेखा $2x - y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2(\frac{k+2}{k+1}) - (\frac{-4k-1}{k+1}) - 4 = 0$।
$(k+1)$ से गुणा करने पर,$2k + 4 + 4k + 1 - 4(k+1) = 0$,जो $6k + 5 - 4k - 4 = 0$ में सरल होता है,अतः $2k + 1 = 0$,जिससे $k = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$।
$k = -\frac{1}{2}$ को निर्देशांकों में रखने पर: $a = \frac{-0.5+2}{-0.5+1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$ और $b = \frac{-4(-0.5)-1}{-0.5+1} = \frac{2-1}{0.5} = 2$।
अंत में,$4(a - b(\frac{m}{n})^2) = 4(3 - 2(-\frac{1}{2})^2) = 4(3 - 2(\frac{1}{4})) = 4(3 - 0.5) = 4(2.5) = 10$।

(D) माना बिंदु $A(3, 5)$ और $B(4, 6)$ हैं। रेखा $L \equiv 6x + 3y + k = 0$,$AB$ को $-5: 4$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $Q = \left( \frac{-5(4) + 4(3)}{-5 + 4}, \frac{-5(6) + 4(5)}{-5 + 4} \right) = (8, 10)$ है।
चूंकि $Q(8, 10)$,$L = 0$ पर स्थित है,इसलिए $6(8) + 3(10) + k = 0 \implies k = -78$ है।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $2x + y - 26 = 0$ है।
बिंदु $P(g, h)$,$2x + y = 26$ और $x - y = -1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $3x = 25 \implies g = \frac{25}{3}$ है।
$x - y = -1$ में $g$ का मान रखने पर: $h = g + 1 = \frac{28}{3}$ है।
अतः,$h = g + 1$।

(A) दो कणों के बीच की दूरी $PQ$ को दूरी सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$PQ = \sqrt{((t+1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि सभी वास्तविक $t$ के लिए $(10t - 3)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $(10t - 3)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है जब $10t - 3 = 0$,अर्थात $t = 0.3$।
अतः,न्यूनतम दूरी $\sqrt{1 + 0} = 1$ है।

(A) बिंदु $P$ के ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ दिए गए हैं।
चूंकि रेखाखंड $PQ$ प्रारंभिक रेखा ($X$-अक्ष) द्वारा लंबवत समद्विभाजित होता है,इसलिए बिंदु $Q$,$X$-अक्ष पर $P$ का प्रतिबिंब होना चाहिए।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ में,किसी बिंदु का प्रारंभिक रेखा पर प्रतिबिंब लेने पर कोण $\theta$ का चिह्न बदल जाता है और $r$ समान रहता है।
इसलिए,$\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ का $X$-अक्ष पर प्रतिबिंब $\left(2, -\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ होगा।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ हैं।

(A) दिया है $A(b \cos \alpha, b \sin \alpha)$ और $B(a \cos \beta, a \sin \beta)$.
चूंकि $M(x, y)$ रेखा $AB$ को $b : a$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है,विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{ab(\cos \beta - \cos \alpha)}{b - a}$
$y = \frac{ab(\sin \beta - \sin \alpha)}{b - a}$
अब,$x \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + y \sin \frac{\alpha+\beta}{2}$ में मान रखने पर:
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि रेखा $3x + y - 9 = 0$,बिंदुओं $A(1, 3)$ और $B(2, 7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{7k+3}{k+1})$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि यह बिंदु रेखा $3x + y = 9$ पर स्थित है,इसलिए:
$3(\frac{2k+1}{k+1}) + (\frac{7k+3}{k+1}) = 9$
$6k + 3 + 7k + 3 = 9(k + 1)$
$13k + 6 = 9k + 9$
$4k = 3$
$k = \frac{3}{4}$।
चूंकि $k > 0$ है,इसलिए विभाजन $3: 4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से होता है।

(C) दिया गया है $A \equiv (2, 4)$।
चूंकि $C$,$x$-अक्ष में $A$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $C$ के निर्देशांक $(2, -4)$ होंगे।
चूंकि $B$,$y$-अक्ष में $C$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $B$ के निर्देशांक $(-2, -4)$ होंगे।
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके $|AB|$ की गणना करते हैं:
$|AB| = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - (-4))^2}$
$|AB| = \sqrt{(2 + 2)^2 + (4 + 4)^2}$
$|AB| = \sqrt{4^2 + 8^2}$
$|AB| = \sqrt{16 + 64}$
$|AB| = \sqrt{80}$
$|AB| = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5}$

(A) दिया गया है कि $C$,$A(-3, 4)$ और $B(2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $AC : BC = 2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(-3)}{2 + 1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(1) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$
अतः,$C$ के निर्देशांक $\left(\frac{1}{3}, 2\right)$ हैं।