$2, 3, 5, 9, 8, 7, 6, 5, 7, 4, 3$ प्रेक्षणों का परिसर (range) = . . . . . . .

मान लीजिए $n \geq 3$ है। संख्याओं की एक सूची $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का माध्य $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ है। संख्याओं की एक नई सूची $y_1, y_2, \ldots, y_n$ इस प्रकार बनाई जाती है: $y_1 = \frac{x_1+x_2}{2}$,$y_2 = \frac{x_1+x_2}{2}$ और $j = 3, 4, \ldots, n$ के लिए $y_j = x_j$ है। नई सूची का माध्य और मानक विचलन $\hat{\mu}$ और $\hat{\sigma}$ हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा अनिवार्य रूप से सत्य है?

$2n$ अलग अवलोकनों के एक समूह में,माध्यिका से नीचे के प्रत्येक अवलोकन में $5$ की वृद्धि की जाती है और शेष प्रत्येक अवलोकन में $3$ की कमी की जाती है। तो अवलोकनों के नए समूह का माध्य

$100$ प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः $40$ और $5.1$ है। गलती से एक प्रेक्षण को $40$ के बजाय $50$ ले लिया गया है। यदि सही माध्य और सही मानक विचलन क्रमशः $\mu$ और $\sigma$ हैं,तो $10(\mu+\sigma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि समुच्चय $A$ और $B$ में प्रत्येक में $5$ तत्व हैं। मान लीजिए कि समुच्चय $A$ और $B$ के तत्वों का माध्य क्रमशः $5$ और $8$ है और समुच्चय $A$ और $B$ के तत्वों का प्रसरण क्रमशः $12$ और $20$ है। $A$ के प्रत्येक तत्व से $3$ घटाकर और $B$ के प्रत्येक तत्व में $2$ जोड़कर $10$ तत्वों का एक नया समुच्चय $C$ बनाया जाता है। तो $C$ के तत्वों के माध्य और प्रसरण का योग $.......$ है।

यदि $50$ प्रेक्षणों का $30$ से विचलनों का योग $50$ है,तो इन प्रेक्षणों का माध्य क्या है?