$1$ से $100$ तक के उन पूर्णांकों का योग क्या है जो $3$ या $5$ से विभाज्य नहीं हैं?

एक तीन अंकों की संख्या $N = 100x + 10y + z$ पर विचार करें,जहाँ $x, y, z$ क्रमशः सैकड़े,दहाई और इकाई के स्थान पर अंक हैं। यह संख्या निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करती है:
$I$. यदि इसके इकाई और दहाई के स्थान के अंकों को आपस में बदल दिया जाए,तो संख्या $36$ बढ़ जाती है।
$II$. यदि इसके इकाई और सैकड़े के स्थान के अंकों को आपस में बदल दिया जाए,तो संख्या $198$ कम हो जाती है।
यदि दहाई और सैकड़े के स्थान के अंकों को आपस में बदल दिया जाए,तो संख्या:

समुच्चय $A$ और $B$ में क्रमशः $3$ और $6$ अवयव हैं। $A \cup B$ में अवयवों की न्यूनतम संख्या क्या हो सकती है?

यदि $X$ और $Y$ दो ऐसे समुच्चय हैं कि $X \cup Y$ में $50$ अवयव हैं,$X$ में $28$ अवयव हैं और $Y$ में $32$ अवयव हैं,तो $X \cap Y$ में कितने अवयव हैं?

मान लीजिए $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{30}$ $30$ समुच्चय हैं जिनमें से प्रत्येक में $5$ अवयव हैं और $B_1, B_2, \dots, B_n$ $n$ समुच्चय हैं जिनमें से प्रत्येक में $3$ अवयव हैं। मान लीजिए $\bigcup_{i=1}^{30} A_i = \bigcup_{j=1}^n B_j = S$ और $S$ का प्रत्येक अवयव ठीक $10$ $A_i$ में और ठीक $9$ $B_j$ में आता है। तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

समुच्चय $\{ n \in \mathbb{N} : 10 \leq n \leq 100 \text{ और } 3^n - 3, 7 \text{ का एक गुणज है } \}$ में अवयवों की संख्या $........$ है।