શ્રેણી 1^{2} + (1^{2} + 2^{2}) + (1^{2} + 2^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $a_{k} = \sum_{i=1}^{k} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ છે.આનું વિસ્તરણ કરતા,$a_{k} = \frac{2k^{3} + 3k^{2} + k}{6} = \frac{1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n(n+1)^{2}(n+2)}{12}$

Vedclass · Answer

(A) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $a_{k} = \sum_{i=1}^{k} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ છે.આનું વિસ્તરણ કરતા,$a_{k} = \frac{2k^{3} + 3k^{2} + k}{6} = \frac{1}{3}k^{3} + \frac{1}{2}k^{2} + \frac{1}{6}k$ મળે.$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3}k^{3} + \frac{1}{2}k^{2} + \frac{1}{6}k)$ છે.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$,$\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.$\frac{n(n+1)}{12}$ સામાન્ય લેતા:$S_{n} = \frac{n(n+1)}{12} [n(n+1) + (2n+1) + 1] = \frac{n(n+1)}{12} [n^{2} + n + 2n + 2] = \frac{n(n+1)}{12} [n(n+1) + 2(n+1)]$.$S_{n} = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)^{2}(n+2)}{12}$.

શ્રેણી $1^{2} + (1^{2} + 2^{2}) + (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) + \ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{1^{2}+2^{2}}{3} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{4} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}{5} + \dots$ $8$ પદો સુધી $=$

નીચેની શ્રેણીનો $n$ પદો સુધીનો સરવાળો શોધો:
$0.6 + 0.66 + 0.666 + \dots$

જો $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \infty = \frac{\pi^4}{90}$ હોય,તો $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots + \infty$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S_{k} = \frac{1+2+\ldots+k}{k}$ અને $\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$,જ્યાં $A, B, C, D \in \mathbb{N}$ અને $A$ નું મૂલ્ય ન્યૂનતમ છે. તો:

$1 \times 3 \times 5, 3 \times 5 \times 7, 5 \times 7 \times 9, \dots$ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સમાંતર મધ્યક કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module