तीन सिक्कों को उछाला गया है। मान लें $E$ घटना 'तीन चित या तीन पट प्राप्त होना ' और $F$ घटना 'न्यूनतम दो चित प्राप्त होना' और $G$ घटना 'अधिकतम दो पट प्राप्त होना' को निरूपित करते हैं। युग्म $( E , F ),( E , G )$ और $( F , G )$ में कौन-कौन से स्वतंत्र हैं? कौन-कौन से पराश्रित हैं?

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The sample space of the experiment is given by

Clearly      $\mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\}$

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{TTT}\}, \mathrm{F}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

and        $\mathrm{G}=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\}$

Also       $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{HHH}\}, \mathrm{E} \cap \mathrm{G}=\{\mathrm{TTT}\}, \mathrm{F} \cap \mathrm{G}=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

Therefore  $\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{7}{8}$

and          $\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G})=\frac{3}{8}$

Also       $\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{1}{4} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{32}$

and        $\mathrm{P}(\mathrm{F}), \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{1}{2} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{16}$

Thus      $\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})$

$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G}) \neq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})$

and      $\mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G}) \neq \mathrm{P}(\mathrm{F}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G})$

Hence, the events $(E$ and $F)$ are independent, and the events $(E$ and $G)$ and $(F$ and $G) $ are dependent.

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निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए:

$P(A)$ $P(B)$ $P(A \cap B)$ $P (A \cup B)$
$0.35$  ........... $0.25$  $0.6$

एक पासे पर $1,2,3$ लाल रंग से और $4,5,6$ हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उछाला गया। मान लें $A$ घटना 'संख्या सम है' और $B$ घटना 'संख्या लाल रंग से लिखी गई है', को निरूपित करते हैं। क्या $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं?

एक छात्रावास में $60 \%$ विद्यार्थी हींदी का, $40 \%$ अंग्रेज़ी का और $20 \%$ दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छ्या चुना जाता है।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हींदी और न ही अंग्रेज़ी का अखबार पढती है।

एक संस्था के कर्मचारियों में से $5$ कर्मचारियों का चयन प्रबंध समिति के लिए किया गया है। पाँच कर्मचारियों का ब्योरा निम्नलिखित है

क्रम. नाम लिंग आयु ( वर्षो में )
$1.$ हरीश $M$ $30$
$2.$ रोहन $M$ $33$
$3.$ शीतल $F$ $46$
$4.$ ऐलिस $F$ $28$
$5.$ सलीम $M$ $41$

इस समूह से प्रवक्ता पद के लिए यादृच्छ्या एक व्यक्ति का चयन किया गया। प्रवक्ता के पुरुष या $35$ वर्ष से अधिक आयु का होने की क्या प्रायिकता है ?

यदि $A, B, C$ कोई तीन घटनायें हैं। यदि $P (S), S$ के घटाने की प्रायिकता है, तो $P\,(A \cap (B \cup C)) = $