तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। घटनाओं $E$: 'तीन चित या तीन पट',$F$: 'कम से कम दो चित' और $G$: 'अधिकतम दो चित' पर विचार करें। युग्मों $(E, F)$,$(E, G)$ और $(F, G)$ में से कौन से स्वतंत्र हैं और कौन से आश्रित हैं?

(A) तीन सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$,इसलिए $n(S) = 8$.
घटनाएँ हैं:
$E = \{HHH, TTT\} \implies P(E) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$F = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \implies P(F) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$G = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} \implies P(G) = \frac{7}{8}$
सर्वनिष्ठ (Intersection):
$E \cap F = \{HHH\} \implies P(E \cap F) = \frac{1}{8}$
$E \cap G = \{TTT\} \implies P(E \cap G) = \frac{1}{8}$
$F \cap G = \{HHT, HTH, THH\} \implies P(F \cap G) = \frac{3}{8}$
स्वतंत्रता की जाँच $(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B))$:
$1$. $(E, F)$ के लिए: $P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = P(E \cap F)$. अतः,$(E, F)$ स्वतंत्र हैं।
$2$. $(E, G)$ के लिए: $P(E) \cdot P(G) = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{32} \neq P(E \cap G) = \frac{1}{8}$. अतः,$(E, G)$ आश्रित हैं।
$3$. $(F, G)$ के लिए: $P(F) \cdot P(G) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{16} \neq P(F \cap G) = \frac{3}{8}$. अतः,$(F, G)$ आश्रित हैं।