14.ProbabilityMedium

एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें $A$ घटना 'सिक्के पर चित प्रकट होता है' और $B$ घटना 'पासे पर संख्या $3$ प्रकट होती है' को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं या नहीं?

Solution

If a fair coin and an unbiased die are tossed, then the sample space $S$ is given by,

$S=\left\{\begin{array}{l}(H, 1),(H, 2),(H, 3),(H, 4),(H, 5),(H, 6) \\ (T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\end{array}\right\}$

Let $A:$ Head appears on the coin

$A=\{(H, 1),(H, 2),(H, 3),(H, 4),(H, 5),(H, 6)\}$

$\Rightarrow $ $P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{B}: 3$ on die $=\{(\mathrm{H}, 3),(\mathrm{T}, 3)\}$

$P(B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

$\therefore $ $A \cap B=\{(H, 3)\}$

$P(A \cap B)=\frac{1}{12}$

$P(A)\, P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}=P(A \cap B)$

Therefore, $A$ and $B$ are independent events.

एक अनभिनत (unbiased) पासे को दो बार उछाला गया। मान लें $A$ घटना 'पहली उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना' और $B$ घटना 'द्वितीय उछाल पर विषम संख्या प्राप्त होना ' दर्शाते हैं। घटनाओं $A$ और $B$ के स्वातंत्र्य का परीक्षण कीजिए।

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