Set Based probability Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીએ $NCC$ પસંદ કર્યું છે અને $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીએ $NSS$ પસંદ કર્યું છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 60$.
$NCC$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા,$n(A) = 30$.
$NSS$ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા,$n(B) = 32$.
$NCC$ અને $NSS$ બંને પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા,$n(A \cap B) = 24$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થીએ $NSS$ પસંદ કર્યું છે પણ $NCC$ નથી કર્યું,જે $P(B - A)$ છે.
$NSS$ પસંદ કર્યું હોય પણ $NCC$ ન કર્યું હોય તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$n(B - A) = 32 - 24 = 8$.
સંભાવના $P(B - A) = \frac{n(B - A)}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ}} = \frac{8}{60}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ મળે છે.

(C) પાસા પરની કુલ બાજુઓની સંખ્યા $= 6$.
$2$ અંક ધરાવતી બાજુઓની સંખ્યા $= 3$.
સંભાવના $P(2) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) પાસા પરની કુલ બાજુઓની સંખ્યા $6$ છે.
$1$ અંક ધરાવતી બાજુઓની સંખ્યા $2$ છે.
$3$ અંક ધરાવતી બાજુઓની સંખ્યા $1$ છે.
$1$ અથવા $3$ મેળવવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(1 \text{ અથવા } 3) = P(1) + P(3) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) પાસા પરની કુલ બાજુઓની સંખ્યા $= 6$.
નંબર $3$ ધરાવતી બાજુઓની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,$3$ મેળવવાની સંભાવના $P(3) = \frac{1}{6}$ છે.
આમ,$3$ ન મેળવવાની સંભાવના $P(\text{not } 3) = 1 - P(3) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.

(B) વેચાયેલી કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 10,000$.
આપવામાં આવેલા ઇનામોની સંખ્યા $= 10$.
જો આપણે એક ટિકિટ ખરીદીએ,તો ઇનામ જીતવાની સંભાવના $P(\text{winning}) = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000}$ છે.
ઇનામ ન મળવાની સંભાવના $P(\text{not winning}) = 1 - P(\text{winning})$ છે.
$P(\text{not winning}) = 1 - \frac{1}{1000} = \frac{999}{1000}$.

(A) ધારો કે બે વિભાગો $S_1$ ($40$ ની સંખ્યા) અને $S_2$ ($60$ ની સંખ્યા) છે.
બંને વિદ્યાર્થીઓ એક જ વિભાગમાં હોય તેની સંભાવના:
$S_1$ માં બંને હોય તેની સંભાવના $= \frac{40}{100} \times \frac{39}{99} = \frac{26}{165}$.
$S_2$ માં બંને હોય તેની સંભાવના $= \frac{60}{100} \times \frac{59}{99} = \frac{59}{165}$.
બંને એક જ વિભાગમાં હોય તેની કુલ સંભાવના $= \frac{26}{165} + \frac{59}{165} = \frac{85}{165} = \frac{17}{33}$.
બંને અલગ-અલગ વિભાગમાં હોય તેની સંભાવના $= 1 - \frac{17}{33} = \frac{16}{33}$.

(A) આપેલ છે કે $P(A)=0.54$,$P(B)=0.69$,અને $P(A \cap B)=0.35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટના $A$ બને અને $B$ ન બને તેની સંભાવનાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(A \cap B^{\prime}) = P(A) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cap B^{\prime}) = 0.54 - 0.35$.
$P(A \cap B^{\prime}) = 0.19$.

(A) આપેલ છે કે $P(A)=0.54$,$P(B)=0.69$,અને $P(A \cap B)=0.35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટના $B$ બને પણ $A$ ન બને તેની સંભાવના $P(B \cap A^{\prime}) = P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(B \cap A^{\prime}) = 0.69 - 0.35$.
તેથી,$P(B \cap A^{\prime}) = 0.34$.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. $S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{5} = 32$ છે.
બે ઉપગણો $A$ અને $B$ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી કુલ જોડીઓની સંખ્યા $32 \times 32 = 2^{10}$ છે.
દરેક ઘટક $x \in S$ માટે,$A$ અને $B$ માં તેની હાજરી માટે $4$ શક્યતાઓ છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં બરાબર $2$ ઘટકો હોય તે માટે,$5$ માંથી $2$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
બાકીના $3$ ઘટકો માટે,દરેક ઘટક માટે $3$ શક્યતાઓ છે,તેથી કુલ $3^{3} = 27$ રીતો મળે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10 \times 27 = 270$ છે.
સંભાવના $\frac{270}{2^{10}} = \frac{135}{2^{9}}$ થાય.

(B) ધારો કે વિરુદ્ધ સપાટીઓની જોડી $(a, b)$ છે જ્યાં $a+b=7$ છે. $a$ મેળવવાની સંભાવના $P(a) = \frac{1}{6}-x$ છે અને $P(b) = \frac{1}{6}+x$ છે. વિરુદ્ધ સપાટીઓની અન્ય બે જોડીઓ માટે,દરેક સપાટીની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
બે પાસાનો સરવાળો $7$ થાય જો પરિણામો $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$ હોય.
સરવાળો $7$ હોવાની સંભાવના $= 2[P(1)P(6) + P(2)P(5) + P(3)P(4)]$.
ધારો કે $(1,6)$ એ સપાટીઓ છે જેની સંભાવનાઓ $\frac{1}{6}-x$ અને $\frac{1}{6}+x$ છે,તો $P(2)=P(5)=\frac{1}{6}$ અને $P(3)=P(4)=\frac{1}{6}$ થશે.
સરવાળાની સંભાવના $= 2[(\frac{1}{6}-x)(\frac{1}{6}+x) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6})] = \frac{13}{96}$.
$2[(\frac{1}{36}-x^2) + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}] = \frac{13}{96}$.
$2[\frac{3}{36}-x^2] = \frac{13}{96} \Rightarrow \frac{1}{6}-2x^2 = \frac{13}{96}$.
$2x^2 = \frac{1}{6}-\frac{13}{96} = \frac{16-13}{96} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32}$.
$x^2 = \frac{1}{64} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$.

(A) $2$-અંકની કુલ સંખ્યાઓ $90$ છે ($10$ થી $99$ સુધી).
આપણે ચકાસવું છે કે ક્યારે $(2^{n}-2)$ એ $3$ નો ગુણક છે.
$3$ ના મોડ્યુલોમાં પદાવલિને ધ્યાનમાં લો:
$2 \equiv -1 \pmod{3}$
તેથી,$2^{n}-2 \equiv (-1)^{n}-2 \pmod{3}$.
જો $n$ બેકી હોય,તો $(-1)^{n}-2 = 1-2 = -1 \equiv 2 \pmod{3}$.
જો $n$ એકી હોય,તો $(-1)^{n}-2 = -1-2 = -3 \equiv 0 \pmod{3}$.
આમ,$(2^{n}-2)$ એ $3$ નો ગુણક ત્યારે જ હોય જો $n$ એકી સંખ્યા હોય.
$2$-અંકની સંખ્યાઓના ગણ ${10, 11, 12, \dots, 99}$ માં,એકી સંખ્યાઓ ${11, 13, 15, \dots, 99}$ છે.
આ શ્રેણીમાં એકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $\frac{99-11}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$.

(B) આ પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$,$2y+x=6$ અને $5x-6y=30$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $B(0, 3)$,$C(0, -5)$ અને $A(6, 0)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
રેખા $y=1$ એ $2y+x=6$ ને $D(4, 1)$ પર અને $y$-અક્ષને $E(0, 1)$ પર છેદે છે.
$y < 1$ હોય તેવો પ્રદેશ ચતુષ્કોણ $ADEC$ છે.
$\triangle BDE$ નું ક્ષેત્રફળ (જ્યાં $y \ge 1$) $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$.
જરૂરી સંભાવના $= 1 - \frac{\text{Area}(\triangle BDE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = 1 - \frac{4}{24} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

(B) કોઈપણ ઘટના $E_{i}$ માટે,$0 \leq P(E_{i}) \leq 1$.
$P(E_{1}) = \frac{2+3p}{6}$ માટે,$0 \leq 2+3p \leq 6 \implies -\frac{2}{3} \leq p \leq \frac{4}{3}$.
$P(E_{2}) = \frac{2-p}{8}$ માટે,$0 \leq 2-p \leq 8 \implies -6 \leq p \leq 2$.
$P(E_{3}) = \frac{1-p}{2}$ માટે,$0 \leq 1-p \leq 2 \implies -1 \leq p \leq 1$.
$E_{1}, E_{2}, E_{3}$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(E_{1}) + P(E_{2}) + P(E_{3}) \leq 1$.
$\frac{2+3p}{6} + \frac{2-p}{8} + \frac{1-p}{2} \leq 1$.
$24$ વડે ગુણતા: $4(2+3p) + 3(2-p) + 12(1-p) \leq 24$.
$26 - 3p \leq 24 \implies p \geq \frac{2}{3}$.
બધી શરતોને જોડતા: $p \in [\frac{2}{3}, 1]$.
તેથી,$p_{1} = 1$ અને $p_{2} = \frac{2}{3}$.
$p_{1} + p_{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ $n(S) = 9 \times 10^4 = 90000$ છે.
ધારો કે $A$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જે $7$ નો ગુણક છે પરંતુ $5$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$7$ વડે વિભાજ્ય સૌથી નાની $5$ અંકની સંખ્યા $10003$ છે.
$7$ વડે વિભાજ્ય સૌથી મોટી $5$ અંકની સંખ્યા $99995$ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$99995 = 10003 + (n-1)7$,જે $n = 12857$ આપે છે.
હવે,$7$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધો,એટલે કે $35$ વડે વિભાજ્ય.
$35$ વડે વિભાજ્ય સૌથી નાની $5$ અંકની સંખ્યા $10010$ છે.
$35$ વડે વિભાજ્ય સૌથી મોટી $5$ અંકની સંખ્યા $99995$ છે.
$99995 = 10010 + (P-1)35$,જે $P = 2572$ આપે છે.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $12857 - 2572 = 10285$ છે.
સંભાવના $p = \frac{10285}{90000}$ છે.
તેથી,$9p = 9 \times \frac{10285}{90000} = \frac{10285}{10000} = 1.0285$.

(C) ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ $32$ વ્યક્તિઓ બેઠેલા છે. $X_1$ નું સ્થાન નિશ્ચિત કરો. $X_3$ ને બેસાડવા માટે $31$ બાકીની બેઠકો છે,જેમાંથી દરેકની સંભાવના $\frac{1}{31}$ છે.
$X_1$ અને $X_3$ એકબીજાના અવાજની પહોંચમાં ત્યારે ગણાય જો તેમની વચ્ચે લઘુચાપ પર વધુમાં વધુ $3$ વ્યક્તિઓ હોય. ધારો કે $k$ એ $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચેની વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે.
જો $k=0$ હોય,તો $X_3$ એ $X_1$ ની બાજુમાં છે. આવા $2$ સ્થાનો છે (ડાબે અથવા જમણે).
જો $k=1$ હોય,તો $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચે $1$ વ્યક્તિ છે. આવા $2$ સ્થાનો છે.
જો $k=2$ હોય,તો $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચે $2$ વ્યક્તિઓ છે. આવા $2$ સ્થાનો છે.
જો $k=3$ હોય,તો $X_1$ અને $X_3$ વચ્ચે $3$ વ્યક્તિઓ છે. આવા $2$ સ્થાનો છે.
$X_3$ માટે કુલ સાનુકૂળ સ્થાનો $= 2 + 2 + 2 + 2 = 8$.
$X_3$ માટે કુલ શક્ય સ્થાનો $= 31$.
તેથી,સંભાવના $\frac{8}{31}$ છે.

(C) આપણી પાસે $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
સરવાળાની શ્રેણી $S_1=1, S_2=3, S_3=6, S_4=10, S_5=15, S_6=21, S_7=28, S_8=36, \ldots$ છે.
$S_n$ ની એકી-બેકી સ્થિતિ તપાસતા:
$S_1$ (એકી),$S_2$ (એકી),$S_3$ (બેકી),$S_4$ (બેકી),$S_5$ (એકી),$S_6$ (એકી),$S_7$ (બેકી),$S_8$ (બેકી),...
આ ભાત દર $4$ પદો પછી પુનરાવર્તિત થાય છે: (એકી,એકી,બેકી,બેકી).
ગણ ${S_1, S_2, \ldots, S_{99}}$ માં કુલ $99$ પદો છે.
$99 = 4 \times 24 + 3$ હોવાથી,આપણી પાસે (એકી,એકી,બેકી,બેકી) ના $24$ પૂર્ણ ચક્ર છે અને પછીના ચક્રના પ્રથમ $3$ પદો (એકી,એકી,બેકી) છે.
બેકી સંખ્યાઓનું કુલ પદ = $24 \times 2 + 1 = 49$.
કુલ કાર્ડની સંખ્યા = $99$.
બેકી સંખ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{\text{બેકી પદોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પદોની સંખ્યા}} = \frac{49}{99}$.

(C) ખેલાડી $A$ પાસે $\{3, 5, 6\}$ કાર્ડ છે. બે કાર્ડના સંભવિત ગુણાકાર:
$(3 \times 5) = 15$,$(3 \times 6) = 18$,$(5 \times 6) = 30$.
દરેક ગુણાકારની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
ખેલાડી $B$ પાસે $\{8, 9, 10\}$ કાર્ડ છે. બે કાર્ડના સંભવિત સરવાળા:
$(8 + 9) = 17$,$(8 + 10) = 18$,$(9 + 10) = 19$.
દરેક સરવાળાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
જો ગુણાકાર સરવાળા કરતા મોટો હોય તો $A$ જીતે છે.
જો $P_A = 15$ (સંભાવના $\frac{1}{3}$): $A$ જીતે જો $S_B < 15$. કોઈ પરિણામ મળતું નથી.
જો $P_A = 18$ (સંભાવના $\frac{1}{3}$): $A$ જીતે જો $S_B < 18$. માત્ર $S_B = 17$ શક્ય છે (સંભાવના $\frac{1}{3}$). સંભાવના = $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
જો $P_A = 30$ (સંભાવના $\frac{1}{3}$): $A$ જીતે જો $S_B < 30$. બધા $S_B$ મૂલ્યો $(17, 18, 19)$ શક્ય છે (સંભાવના $1$). સંભાવના = $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$.

(C) સંભાવના સિદ્ધાંતમાં,નિદર્શ અવકાશ $\Omega$ અને ઘટના $A \subseteq \Omega$ માટે:
$1$. જો $P(A) = 0$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે ઘટના $A$ એ અશક્ય ઘટના છે,એટલે કે $A = \phi$. તેથી,$(S1)$ સત્ય છે.
$2$. જો $P(A) = 1$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે ઘટના $A$ એ ચોક્કસ ઘટના છે,એટલે કે $A = \Omega$. તેથી,$(S2)$ સત્ય છે.
આમ,બંને વિધાનો $(S1)$ અને $(S2)$ સત્ય છે.

(B) બે પૂર્ણાંકો $x$ અને $66-x$ નો ગુણાકાર $f(x) = x(66-x)$ છે.
આ એક નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેની મહત્તમ કિંમત $x = 33$ પર મળે છે.
તેથી,$M = 33 \times 33 = 1089$.
આપણે $x(66-x) \geq \frac{5}{9} \times 1089 = 5 \times 121 = 605$ ની જરૂર છે.
$66x - x^2 \geq 605 \implies x^2 - 66x + 605 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x^2 - 66x + 605 = 0$ ઉકેલતા: $x = \frac{66 \pm \sqrt{4356 - 2420}}{2} = \frac{66 \pm 44}{2}$.
તેથી,$x_1 = 11$ અને $x_2 = 55$.
ગણ $S = \{11, 12, \ldots, 55\}$,તેથી સભ્યોની સંખ્યા $n(S) = 55 - 11 + 1 = 45$.
ઘટના $A$ માં $S$ ના $3$ ના ગુણકો છે: $A = \{12, 15, 18, \ldots, 54\}$.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 12$,$l = 54$,અને $d = 3$.
$54 = 12 + (n-1)3 \implies 42 = (n-1)3 \implies n = 15$.
તેથી,$n(A) = 15$.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

(B) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
આપેલ છે કે $N - 2, \sqrt{3N}, N + 2$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી મધ્યમ પદનો વર્ગ એ અંતિમ પદોના ગુણાકાર જેટલો હોવો જોઈએ:
$(\sqrt{3N})^2 = (N - 2)(N + 2)$
$3N = N^2 - 4$
$N^2 - 3N - 4 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(N - 4)(N + 1) = 0$
$N$ એ બે પાસાનો સરવાળો હોવાથી,$N \geq 2$,તેથી $N = 4$ એ એકમાત્ર માન્ય ઉકેલ છે.
સરવાળો $N = 4$ મળે તેવા પરિણામો: $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ છે.
આપણને $P(A) = \frac{k}{48}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{k}{48} = \frac{1}{12}$
$k = \frac{48}{12} = 4$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $0 \le x, y \le 60$. નમૂના અવકાશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $60 \times 60 = 3600$ છે.
શરત છે $|x - y| \le a$,જેનો અર્થ છે $-a \le x - y \le a$.
$|x - y| > a$ હોય તેવા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $(60 - a)$ બાજુવાળા બે કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$|x - y| > a$ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}(60 - a)^2 + \frac{1}{2}(60 - a)^2 = (60 - a)^2$.
તેથી,$|x - y| \le a$ હોય તેવા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $3600 - (60 - a)^2$ છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{3600 - (60 - a)^2}{3600} = \frac{11}{36}$.
$3600$ વડે ગુણતા,આપણને $3600 - (60 - a)^2 = 1100$ મળે છે.
$(60 - a)^2 = 3600 - 1100 = 2500$.
$60 - a = 50 \Rightarrow a = 10$.

(A) ધારો કે બે પાસાઓના પરિણામો $(x, y)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$: $x < y$. પરિણામોની સંખ્યા $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ છે.
ઘટના $B$: $x \in \{2, 4, 6\}$ અને $y \in \{1, 3, 5\}$. પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
ઘટના $C$: $x \in \{1, 3, 5\}$ અને $y \in \{2, 4, 6\}$. પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
હવે,$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
$B \cap C$: $x$ બેકી અને એકી બંને હોય,જે અશક્ય છે,તેથી $B \cap C = \emptyset$.
$A \cap C$: $x < y$ અને $x \in \{1, 3, 5\}, y \in \{2, 4, 6\}$.
જો $x=1$,$y \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ કિસ્સાઓ).
જો $x=3$,$y \in \{4, 6\}$ ($2$ કિસ્સાઓ).
જો $x=5$,$y \in \{6\}$ ($1$ કિસ્સો).
$A \cap C$ માટે કુલ કિસ્સાઓ $3 + 2 + 1 = 6$ છે.
આમ,$(A \cup B) \cap C$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 + 0 = 6$ છે.

(A) ધારો કે $N$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $N$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, \dots, 12$ છે.
આપણે $2^{N} < N!$ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
દરેક $N$ માટે $2^{N} < N!$ શરત તપાસીએ:
$N=2$ માટે: $2^2 = 4, 2! = 2$. $4 < 2$ ખોટું છે.
$N=3$ માટે: $2^3 = 8, 3! = 6$. $8 < 6$ ખોટું છે.
$N=4$ માટે: $2^4 = 16, 4! = 24$. $16 < 24$ સાચું છે.
$N=5$ માટે: $2^5 = 32, 5! = 120$. $32 < 120$ સાચું છે.
$N \geq 4$ માટે,શરત $2^N < N!$ સાચી છે.
તેથી,આપણે $N \geq 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
$P(N \geq 4) = 1 - P(N < 4) = 1 - (P(N=2) + P(N=3))$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$P(N=2) = \frac{1}{36}$ (પરિણામો: $(1,1)$).
$P(N=3) = \frac{2}{36}$ (પરિણામો: $(1,2), (2,1)$).
$P(N < 4) = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
તેથી,$P(N \geq 4) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
અહીં,$m = 11$ અને $n = 12$. $11$ અને $12$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$4m - 3n = 4(11) - 3(12) = 44 - 36 = 8$.

(A) ગણ $\{0, 1, 2, \ldots, 10\}$ માંથી $x$ અને $y$ ને પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવાની કુલ રીતો $11 \times 11 = 121$ છે.
આપણે $|x-y| > 5$ હોય તેવી જોડી $(x, y)$ શોધવી છે.
કિસ્સો $1$: $x - y > 5 \implies x - y \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
જો $x=6, y=0$; જો $x=7, y=0, 1$; જો $x=8, y=0, 1, 2$; જો $x=9, y=0, 1, 2, 3$; જો $x=10, y=0, 1, 2, 3, 4$.
આવી જોડીઓની સંખ્યા $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ છે.
કિસ્સો $2$: $y - x > 5 \implies y - x \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
સમાનતા મુજબ,આવી જોડીઓની સંખ્યા પણ $15$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15 + 15 = 30$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{30}{121}$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ અજય પરીક્ષામાં હાજર રહેવાની ઘટના છે અને $V$ એ વિજય પરીક્ષામાં હાજર રહેવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(\overline{A}) = \frac{2}{7}$,તેથી $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
આપેલ છે: $P(A \cap V) = \frac{1}{5}$.
આપણે અજય હાજર રહે અને વિજય હાજર ન રહે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A \cap \overline{V})$ છે.
ગણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(A) = P(A \cap V) + P(A \cap \overline{V})$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{7} = \frac{1}{5} + P(A \cap \overline{V})$.
$P(A \cap \overline{V}) = \frac{5}{7} - \frac{1}{5} = \frac{25 - 7}{35} = \frac{18}{35}$.

(D) ધારો કે બે ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x+y=24$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{N}$.
ગુણાકાર $P = xy$. $AM-GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$,તેથી $\sqrt{xy} \leq 12$,જેનો અર્થ છે કે $xy \leq 144$. મહત્તમ ધન ગુણાકાર $144$ છે (જ્યારે $x=12, y=12$).
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે $xy \geq \frac{3}{4} \times 144$,એટલે કે $xy \geq 108$.
$y = 24-x$ હોવાથી,આપણને મળે $x(24-x) \geq 108$,અથવા $24x - x^2 \geq 108$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 24x + 108 \leq 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x^2 - 24x + 108 = 0$ ઉકેલતા: $x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2}$.
આમ,$x = 6$ અથવા $x = 18$. અસમતા $6 \leq x \leq 18$ માટે સાચી છે.
$x$ માટે શક્ય કિંમતો ${6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}$ છે.
આવી કુલ $13$ કિંમતો છે.
$x+y=24$ માટે $(x, y)$ ની કુલ જોડીઓની સંખ્યા $23$ છે (કારણ કે $x$ એ $1$ થી $23$ સુધી હોઈ શકે છે).
સંભાવના $\frac{13}{23} = \frac{m}{n}$ છે.
આમ,$m=13$ અને $n=23$. તેથી $n-m = 23-13 = 10$.

(B) $x+y+z=n$ માટે અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k=3$ અને $n=10$ છે.
કુલ ઉકેલો $= \binom{10+3-1}{3-1} = \binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66$.
$z$ યુગ્મ હોય તે માટે,$z \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ લો.
જો $z=k$ હોય,તો $x+y=10-k$. $x+y=m$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા $m+1$ છે.
$z=0$ માટે,$x+y=10$,ઉકેલો $= 11$.
$z=2$ માટે,$x+y=8$,ઉકેલો $= 9$.
$z=4$ માટે,$x+y=6$,ઉકેલો $= 7$.
$z=6$ માટે,$x+y=4$,ઉકેલો $= 5$.
$z=8$ માટે,$x+y=2$,ઉકેલો $= 3$.
$z=10$ માટે,$x+y=0$,ઉકેલો $= 1$.
કુલ સાનુકૂળ ઉકેલો $= 11+9+7+5+3+1 = 36$.
સંભાવના $P = \frac{36}{66} = \frac{6}{11}$.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{3}{4}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{8}$ એ સમસ્યાને યોગ્ય રીતે ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
સમસ્યા કોઈના દ્વારા ઉકેલાતી નથી તેની સંભાવના $P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C}) \times P(\overline{D})$ છે.
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(\overline{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
$P(\text{કોઈ ઉકેલતું નથી}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{7}{8} = \frac{21}{256}$
સમસ્યા ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ ઉકેલતું નથી}) = 1 - \frac{21}{256} = \frac{235}{256}$ છે.

(C) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ છે.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
$53$ શનિવાર હોવાની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{7}$ છે અને $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{7}$ છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$53$ શનિવાર અથવા $53$ રવિવાર હોવાની સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ થાય.

(A) દરેક $3$ વ્યક્તિઓ સ્વતંત્ર રીતે $3$ મકાનોમાંથી કોઈપણ એક પસંદ કરી શકે છે.
$3$ વ્યક્તિઓ દ્વારા મકાન પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= 3 \times 3 \times 3 = 27$.
ત્રણેય વ્યક્તિઓ એક જ મકાન માટે અરજી કરે તે માટે,તેઓએ કાં તો મકાન $1$,અથવા મકાન $2$,અથવા મકાન $3$ પસંદ કરવું પડે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$.

(A) આપેલ છે કે,બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} \dots (i)$
$A$ અથવા $B$ બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = \frac{1}{2} \dots (ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે બરાબર એક ઘટના બનવાની સંભાવના $P(A \cup B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} - P(A \cap B) = \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$

(C) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ઉપરની સપાટી પરના અંકોનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો $9$ હોય,જેનો અર્થ છે કે સરવાળો $9, 10, 11,$ અથવા $12$ હોઈ શકે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે:
સરવાળો $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$
સરવાળો $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$
સરવાળો $= 12: (6, 6)$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ ઘટના છે કે ટિકિટ પરનો નંબર પૂર્ણ વર્ગ છે.
$\therefore X = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$
$\therefore n(X) = 10$
$\text{તેમજ, } n(S) = 100$
$\therefore \text{જરૂરી સંભાવના} = \frac{n(X)}{n(S)} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $n(S) = 52$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ કાળું પત્તું ખેંચવાની છે અને ઘટના $B$ એ મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની છે.
કાળા પત્તાની સંખ્યા $n(A) = 26$.
મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની સંખ્યા $n(B) = 12$.
કાળા મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની સંખ્યા $n(A \cap B) = 6$ (કારણ કે બે કાળા રંગના પ્રકારોમાં દરેકના $3$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે).
કાળું પત્તું અથવા મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}$.

(A) નિદર્શાવકાશ $S$ માં તમામ શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$.
દરેક પાસા પર $6$ સપાટી હોવાથી,કુલ પરિણામો $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
સાધ્ય પરિણામો: $(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (2,5), (2,11), (3,2), (5,2), (11,2)$.
તેથી,$n(A) = 9$.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે $B$ છોકરાને અને $G$ છોકરીને દર્શાવે છે. $3$ બાળકો ધરાવતા પરિવાર માટે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું બાળક સમાન લિંગના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે:
$E = \{BBB, BGB, GBG, GGG\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય સરવાળો $2$ થી $12$ સુધીનો છે. આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2: (1, 1) \rightarrow 1 \text{ પરિણામ}$
સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2 \text{ પરિણામો}$
સરવાળો $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4 \text{ પરિણામો}$
સરવાળો $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6 \text{ પરિણામો}$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2 \text{ પરિણામો}$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(D) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ ડબલેટ મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે,તેથી $n(A) = 6$.
ધારો કે $B$ એ સરવાળો $10$ મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $(4,6), (5,5), (6,4)$ છે,તેથી $n(B) = 3$.
છેદગણ $A \cap B$ એ પરિણામ $(5,5)$ છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$.
ડબલેટ અથવા $10$ નો સરવાળો મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 3 - 1 = 8$ છે.
ડબલેટ પણ ન હોય અને સરવાળો $10$ પણ ન હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $36 - 8 = 28$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{28}{36} = \frac{7}{9}$ છે.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ મેળવવાની ઘટના છે અને $D$ એ પાસા પર $4$ થી મોટી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
$P(H) = \frac{1}{2}$.
પાસા પર $4$ થી મોટી સંખ્યાઓ ${5, 6}$ છે,તેથી $P(D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(H \cap D) = P(H) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
આપણે $H \cup D$ ની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(H \cup D) = P(H) + P(D) - P(H \cap D)$ દ્વારા મળે છે.
$P(H \cup D) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગગણની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{5}{6} - P(A \cap B)$
આનો અર્થ એ છે કે $P(A \cap B) = 0$.
જેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.

(B) કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
એક્કાની સંખ્યા $= 4$.
કાળા રાજાની સંખ્યા (કાળીનો રાજા અને ફુલ્લીનો રાજા) $= 2$.
લાલની રાણીની સંખ્યા $= 1$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 4 + 2 + 1 = 7$.
$\therefore$ જરૂરી સંભાવના $= \frac{7}{52}$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય સરવાળો $2$ થી $12$ સુધીનો છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો:
સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ - $1$ કિસ્સો
સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ - $2$ કિસ્સા
સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ - $4$ કિસ્સા
સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ - $6$ કિસ્સા
સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ - $2$ કિસ્સા
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(A) ઘટનાઓ $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.2$.
તેથી,બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $0.6 - 0.2 = 0.4$ થાય.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે પ્રથમ પાસાનું પરિણામ $x$ અને બીજા પાસાનું પરિણામ $y$ છે. આપણે $x < y$ હોય તેવી સંભાવના શોધવી છે.
$x < y$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$x=1$ માટે,$y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ પરિણામો).
$x=2$ માટે,$y \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ પરિણામો).
$x=3$ માટે,$y \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ પરિણામો).
$x=4$ માટે,$y \in \{5, 6\}$ ($2$ પરિણામો).
$x=5$ માટે,$y \in \{6\}$ ($1$ પરિણામ).
$x=6$ માટે,$y$ ની કોઈ શક્ય કિંમત નથી.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ થાય.

(A) જેহেতু $A$,$B$,અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ અને $P(C) = \frac{1}{2} P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} P(A) = \frac{3}{4} P(A)$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{3}{4} P(A) = 1$
છેદ $4$ લેતા:
$\frac{4 P(A) + 6 P(A) + 3 P(A)}{4} = 1$
$\frac{13 P(A)}{4} = 1$
$P(A) = \frac{4}{13}$

(D) જ્યારે બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
શક્ય સરવાળા $2$ થી $12$ સુધીના છે.
$2$ વડે વિભાજ્ય સરવાળા: $2, 4, 6, 8, 10, 12$.
$3$ વડે વિભાજ્ય સરવાળા: $3, 6, 9, 12$.
આમ,$2$ અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય સરવાળા: $2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12$ છે.
દરેક સરવાળા માટે પરિણામોની ગણતરી કરતા:
સરવાળો $2: (1,1) - 1$ પરિણામ
સરવાળો $3: (1,2), (2,1) - 2$ પરિણામો
સરવાળો $4: (1,3), (2,2), (3,1) - 3$ પરિણામો
સરવાળો $6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 5$ પરિણામો
સરવાળો $8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - 5$ પરિણામો
સરવાળો $9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - 4$ પરિણામો
સરવાળો $10: (4,6), (5,5), (6,4) - 3$ પરિણામો
સરવાળો $12: (6,6) - 1$ પરિણામ
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 1 + 2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 24$.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે $W$ સફેદ દડો અને $B$ કાળો દડો દર્શાવે છે. બોક્સની સામગ્રી નીચે મુજબ છે:
બોક્સ $I$: $3W, 1B$ (કુલ $4$ દડા)
બોક્સ $II$: $2W, 2B$ (કુલ $4$ દડા)
બોક્સ $III$: $1W, 3B$ (કુલ $4$ દડા)
આપણે $2$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો મેળવવો છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. બોક્સ $I$ માંથી $B$,બોક્સ $II$ માંથી $W$,બોક્સ $III$ માંથી $W$
$2$. બોક્સ $I$ માંથી $W$,બોક્સ $II$ માંથી $B$,બોક્સ $III$ માંથી $W$
$3$. બોક્સ $I$ માંથી $W$,બોક્સ $II$ માંથી $W$,બોક્સ $III$ માંથી $B$
જરૂરી સંભાવના:
$P = P(B_I)P(W_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(B_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(W_{II})P(B_{III})$
$P = (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4})$
$P = \frac{2}{64} + \frac{6}{64} + \frac{18}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$

(B) ધારો કે $H$ એ પતિની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $W$ એ પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(H) = \frac{1}{7}$ અને $P(W) = \frac{1}{5}$.
પતિની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ છે.
પત્નીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
માત્ર એકની જ પસંદગી થાય તેની સંભાવના $P(\text{માત્ર } H) + P(\text{માત્ર } W)$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{માત્ર } H) = P(H) \times P(W') = \frac{1}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{35}$.
$P(\text{માત્ર } W) = P(W) \times P(H') = \frac{1}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{35}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ છે.

(D) ધારો કે $A, B, C,$ અને $D$ એ ઘટનાઓ છે કે ચાર વ્યક્તિઓ લક્ષ્યને હિટ કરે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{5}$ છે.
લક્ષ્ય કોઈના દ્વારા હિટ ન થાય તેની સંભાવના એ છે કે ચારેય વ્યક્તિઓ લક્ષ્યને ચૂકી જાય.
$P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(D') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ લક્ષ્યને હિટ ન કરે તેની સંભાવના:
$P(\text{કોઈ હિટ ન કરે}) = P(A') \times P(B') \times P(C') \times P(D') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
લક્ષ્ય ઓછામાં ઓછી એક વાર હિટ થાય તેની સંભાવના:
$P(\text{લક્ષ્ય હિટ થાય}) = 1 - P(\text{કોઈ હિટ ન કરે}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.