Set Based probability Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: $P(A) = \frac{2}{5}$ અને $P(B) = \frac{4}{7}$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાંથી બરાબર એકની પસંદગી થાય.
આ માટેનું સૂત્ર છે: $P(\text{બરાબર એક}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B)$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B') = P(A) \times P(B')$ અને $P(A' \cap B) = P(A') \times P(B)$.
અહીં,$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ અને $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(\text{બરાબર એક}) = \left(\frac{2}{5} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}\right)$
$= \frac{6}{35} + \frac{12}{35}$
$= \frac{18}{35}$.

(B) ધારો કે $P(A), P(B),$ અને $P(C)$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B,$ અને $C$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$
પ્રશ્ન કોઈના દ્વારા ઉકેલાતો નથી તેની સંભાવના એ છે કે ત્રણેય વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્ન ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય.
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,કોઈ પણ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી તેની સંભાવના:
$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના એ પ્રશ્ન ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાની પૂરક ઘટના છે:
$P(\text{ઉકેલાય}) = 1 - P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(A) ધારો કે $P(A)$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ ગણિતમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{20}{100} = 0.2$ અને $P(B) = \frac{10}{100} = 0.1$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે તેમ ધારતા,ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$.
તેથી,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.28$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$0.28 \times 100 = 28 \%$.

(D) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જે બેકી અને અવિભાજ્ય બંને હોય. એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
દરેક પાસા માટે,$2$ નંબર મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
બે પાસાઓ સ્વતંત્ર રીતે ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,દરેક પાસા પર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પરની બેકી સંખ્યા $2, 4,$ અથવા $6$ હોઈ શકે છે.
તેથી,દરેક પાસા માટે $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
બંને પાસા પર બેકી સંખ્યા આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(B) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જે બેકી અને અવિભાજ્ય બંને હોય. એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
દરેક પાસા માટે,$2$ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
પાસા ફેંકવાની ક્રિયાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને પાસા પર $2$ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે પાસાની એક જોડ ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા $2, 4,$ અથવા $6$ હોઈ શકે છે. આમ,દરેક પાસા માટે $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
બંને પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(B) આપેલ છે,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{3}$.
તેથી,સમસ્યા ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાઓ $P(\bar{A}) = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = \frac{3}{4}, P(\bar{C}) = \frac{2}{3}$ છે.
સમસ્યા બરાબર બે વ્યક્તિઓ દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $= P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$.
$= (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$.
$= \frac{2}{24} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. આપણે $S > 5$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
$S \leq 5$ હોય તેની સંભાવના ગણવી સરળ છે.
$S \leq 5$ હોય તેવા પરિણામો:
$S=2: (1,1)$
$S=3: (1,2), (2,1)$
$S=4: (1,3), (2,2), (3,1)$
$S=5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
$S \leq 5$ હોય તેવા કુલ પરિણામો $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ છે.
તેથી,$S > 5$ હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $36 - 10 = 26$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P(S > 5) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ છે.

(C) કારણ કે $A, B, C$ એ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
આપેલ છે કે $P(A) = 2P(B) = 3P(C)$,તેથી આપણે $P(A)$ અને $P(C)$ ને $P(B)$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
$P(A) = 2P(B)$
$P(C) = \frac{2P(B)}{3}$
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2P(B) + P(B) + \frac{2P(B)}{3} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$6P(B) + 3P(B) + 2P(B) = 3$
$11P(B) = 3$
$P(B) = \frac{3}{11}$

(B) લાલ લખોટાની કુલ સંખ્યા $6$ છે $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$.
સફેદ લખોટાની કુલ સંખ્યા $4$ છે $(12, 13, 14, 15)$.
બોક્સમાં કુલ લખોટાની સંખ્યા $6 + 4 = 10$ છે.
આપણે એવો લખોટો શોધવાનો છે જે સફેદ હોય અને એકી નંબરનો હોય.
સફેદ લખોટાઓ ${12, 13, 14, 15}$ છે.
તેમાંથી,એકી નંબર ધરાવતા લખોટા $13$ અને $15$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(C) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
કુલ સ્કોર $5$ મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની જોડીઓ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), \text{ અને } (3, 2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$ અને $P(B) = 1 - P(B^{\prime})$.
અહીં $P(A^{\prime}) = \frac{2}{3}$ આપેલ છે,તેથી $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
અહીં $P(B^{\prime}) = \frac{2}{7}$ આપેલ છે,તેથી $P(B) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
જ્યારે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય,ત્યારે $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$.

(C) બધા પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\frac{1}{6} + a + b + c + \frac{1}{12} = 1$.
$a + b + c = \frac{3}{4}$.
$12a + 12b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{1}{12}$.
તેથી $c = \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{3}$.

(B) પાસા પરની કુલ બાજુઓની સંખ્યા $2 + 3 + 1 = 6$ છે.
$1$ મેળવવાની સંભાવના $P(1) = \frac{2}{6}$ છે.
$3$ મેળવવાની સંભાવના $P(3) = \frac{1}{6}$ છે.
ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(1 \text{ or } 3) = P(1) + P(3) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે,$P(A)=0.59, P(B)=0.30$ અને $P(A \cap B)=0.21$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.59 + 0.30 - 0.21 = 0.89 - 0.21 = 0.68$.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.68 = 0.32$.

(C) આપેલ છે: $P(A) = 0.5$ અને $P(B) = 0.3$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = 0$.
$A$ અથવા $B$ બનવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.3 - 0 = 0.8$ છે.
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$ છે.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - 0.8 = 0.2$.

(C) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે $7$ થી વધુ સરવાળો મળવાની સંભાવના શોધવાની છે.
$7$ થી વધુ સરવાળો ધરાવતા પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો)
સરવાળો $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12$: $(6,6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(C) આપણને વિધેય $f(x) = x^2 - 5x + 4$ આપેલ છે. આપણે $x \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ માટે $f(x) > 10$ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
અસમતા $x^2 - 5x + 4 > 10$ ઉકેલતા:
$x^2 - 5x - 6 > 0$
$(x - 6)(x + 1) > 0$
$x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$x + 1$ હંમેશા ધન છે. તેથી,આપણે $x - 6 > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $x > 6$.
$1$ થી $20$ સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ જે $x > 6$ નું સમાધાન કરે છે તે $\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ છે.
આવી સંખ્યાઓ કુલ $14$ છે.
કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $20$ છે.
તેથી સંભાવના $\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$ થાય.

(C) $p$ અને $q$ માટે શક્ય કિંમતોનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ જોડીઓ $(p, q)$ ની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે $p/q$ સ્વરૂપની ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
ભિન્ન કિંમતો: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/2, 3/4, 3/5, 4/3, 4/5, 5/2, 5/3, 5/4, 5/6, 6/5\}$.
આ કુલ $23$ ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ છે.
શુદ્ધ અપૂર્ણાંક એટલે એવી સંખ્યા જેમાં $p < q$ હોય.
શુદ્ધ અપૂર્ણાંકો: $\{1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/4, 3/5, 4/5, 5/6\}$.
આવા કુલ $11$ શુદ્ધ અપૂર્ણાંકો છે.
તેથી,સંભાવના $11/23$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $S$ માટે શક્ય કિંમતો $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ છે.
ઘટના $A$ એ છે કે સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે: $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$.
ઘટના $B$ એ છે કે સરવાળો $8$ કરતા મોટો છે: $B = \{9, 10, 11, 12\}$.
આપણે $P(A \cap \overline{B})$ શોધવાની જરૂર છે,જે ઘટના $A$ બને અને $B$ ન બને તેની સંભાવના છે.
આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય અને સરવાળો $8$ કે તેથી ઓછો હોય.
$A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\}$.
હવે,દરેક સરવાળા માટે પરિણામોની સંખ્યા ગણીએ:
સરવાળો $= 2: (1,1) \rightarrow 1$ પરિણામ
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1) \rightarrow 2$ પરિણામો
સરવાળો $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \rightarrow 4$ પરિણામો
સરવાળો $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \rightarrow 6$ પરિણામો
$A \cap \overline{B}$ માટે કુલ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 = 13$.
તેથી,$P(A \cap \overline{B}) = \frac{13}{36}$.

(C) ત્રણ પાસા ફેંકતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામો $6^3 = 216$ છે.
ત્રણ પાસાઓ સાથે સરવાળો $S$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $n(S)$ છે.
સરવાળો $S = 13$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $n(13) = 21$ છે.
સરવાળો $S > 13$ મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $n(14) + n(15) + n(16) + n(17) + n(18)$ છે.
$n(14) = 15, n(15) = 10, n(16) = 6, n(17) = 3, n(18) = 1$.
તેમનો સરવાળો: $15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35$.
તેથી,$B$ ને $13$ કરતા વધુ સરવાળો મળે તેની સંભાવના $\frac{35}{216}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $10$ હોય તેવા પરિણામો $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ છે.
સરવાળો $11$ હોય તેવા પરિણામો $(5, 6), (6, 5)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 2 = 5$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{5}{36}$ છે.

(A) ધારો કે $S$ એ $n$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. દરેક ઘટક $x \in S$ માટે ચાર શક્યતાઓ છે:
$1. x \in A$ અને $x \in B$
$2. x \in A$ અને $x \notin B$
$3. x \notin A$ અને $x \in B$
$4. x \notin A$ અને $x \notin B$
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $4^n$ છે.
શરત $A \cap B = \phi$ અને $A \cup B = S$ મુજબ,દરેક ઘટક કાં તો $A$ માં હોય અથવા $B$ માં,પણ બંનેમાં નહીં.
આથી દરેક ઘટક માટે $2$ વિકલ્પો છે.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^n$ છે.
સંભાવના $= \frac{2^n}{4^n} = \frac{1}{2^n}$.

(A) ત્રણ વાર સિક્કો ઉછાળતા નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો મળે છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
ઘટના $A$ (ત્રણ છાપ મેળવવી) = $\{HHH\}$,તેથી $P(A) = \frac{1}{8}$.
ઘટના $B$ (પ્રથમ ઉછાળ પર છાપ મેળવવી) = $\{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,તેથી $P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
છેદગણ $A \cap B = \{HHH\}$,તેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવા માટે,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ હોવું જોઈએ.
અહીં $P(A) \times P(B) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.
$P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{16}$ હોવાથી,આ ઘટનાઓ પરસ્પરાવલંબી છે.

(D) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 30$.
$1$ થી $30$ ની વચ્ચે $3$ ના ગુણકો: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ (કુલ $10$).
$1$ થી $30$ ની વચ્ચે $5$ ના ગુણકો: $5, 10, 15, 20, 25, 30$ (કુલ $6$).
$3$ અને $5$ બંનેના ગુણકો (એટલે કે $15$ ના ગુણકો): $15, 30$ (કુલ $2$).
સાપેક્ષ પરિણામોની સંખ્યા $= 10 + 6 - 2 = 14$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$.

(A) સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળતા મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
જો બધા જ ઉછાળમાં સમાન પરિણામ મળે તો છોકરો જીતે છે,જે ઘટનાઓ $\{HHH, TTT\}$ છે.
જીતવાના પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
હારવાના પરિણામોની સંખ્યા $8 - 2 = 6$ છે. આ પરિણામો $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ છે.
છોકરો રમત હારી જાય તેની સંભાવના $P(\text{Lose}) = \frac{\text{હારવાના પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ છે.

(A) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાના દિવસ બરાબર છે.
$52$ અઠવાડિયા હોવાથી,તેમાં ચોક્કસપણે $52$ રવિવાર હોય છે.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,વધારાનો દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
વધારાના દિવસ માટે શક્ય પરિણામોનો સમૂહ $\{ \text{સોમવાર}, \text{મંગળવાર}, \text{બુધવાર}, \text{ગુરુવાર}, \text{શુક્રવાર}, \text{શનિવાર}, \text{રવિવાર} \}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (દિવસ રવિવાર હોય) $= 1$.
તેથી,સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{7}$.

(D) કુલ ટિકિટની સંખ્યા = $35$.
ઇનામ વાળી ટિકિટની સંખ્યા = $10$.
ઇનામ વગરની ટિકિટની સંખ્યા = $35 - 10 = 25$.
ઇનામ ન મળવાની સંભાવના = $\frac{\text{ઇનામ વગરની ટિકિટની સંખ્યા}}{\text{કુલ ટિકિટની સંખ્યા}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 7 + 5 = 12$.
પ્રથમ લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{7}{12}$.
દડા પાછા મૂકવામાં ન આવતા હોવાથી,બાકી રહેલા લીલા દડા $6$ છે અને કુલ દડા $11$ છે.
બીજો લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{6}{11}$.
બે લીલા દડા પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલા લીલા દડા $5$ છે અને કુલ દડા $10$ છે.
ત્રીજો લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
ત્રણેય દડા લીલા હોવાની સંભાવના આ વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{7 \times 6 \times 5}{12 \times 11 \times 10} = \frac{210}{1320} = \frac{7}{44}$.

(D) $x$ માટેનો ગણ $\{1, 2, 3, 4\}$ છે અને $y$ માટેનો ગણ $\{5, 6, 7\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ છે.
ગુણાકાર $xy$ બેકી હોય જો $x$ અથવા $y$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી હોય.
વૈકલ્પિક રીતે,$xy$ એકી હોય જો $x$ અને $y$ બંને એકી હોય.
$x$ માં એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3\}$ છે (સંખ્યા = $2$).
$y$ માં એકી સંખ્યાઓ $\{5, 7\}$ છે (સંખ્યા = $2$).
$xy$ એકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા = $2 \times 2 = 4$.
$xy$ બેકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા = $\text{કુલ પરિણામો} - \text{એકી પરિણામો} = 12 - 4 = 8$.
$xy$ બેકી હોય તેની સંભાવના = $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(C) તે નોંધવું જોઈએ કે જો દડો લાલ કે લીલો ન હોય,તો તે વાદળી જ હોવો જોઈએ.
વાદળી દડાની સંખ્યા $= 7$.
કુલ દડાની સંખ્યા $= 8 + 7 + 6 = 21$.
આમ,વાદળી દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ છે.

(D) ધારો કે કુલ રકમ $S = 20000$ છે. $X$ અને $Y$ એ કર્મચારીઓને મળેલી રકમ છે.
આપેલ છે કે $X + Y = 20000$ અને $X > Y$.
$X$ મોટો ભાગ હોવાથી,$X$ ની કિંમત $(10000, 20000]$ ની વચ્ચે હશે.
$X$ માટેના નિદર્શાવકાશની કુલ લંબાઈ $20000 - 10000 = 10000$ છે.
આપણે $X \geq 2Y$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
$Y = 20000 - X$ મૂકતા,$X \geq 2(20000 - X)$ મળે.
$X \geq 40000 - 2X \Rightarrow 3X \geq 40000 \Rightarrow X \geq 40000/3$.
$X$ ની મહત્તમ કિંમત $20000$ હોવાથી,સાનુકૂળ અંતરાલ $[40000/3, 20000]$ છે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $20000 - 40000/3 = 20000/3$ છે.
સંભાવના $\frac{20000/3}{10000} = \frac{2}{3}$ થાય.

(C) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જે જોડીઓનો સરવાળો $9$ થાય છે તે $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સરવાળો $9$ મળવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(\text{સરવાળો } 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
કુલ સ્કોર $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
આ સરવાળા મેળવવા માટેના પરિણામો:
સરવાળો $= 2: (1,1)$
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$
સરવાળો $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
સરવાળો $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$
સરવાળો $= 11: (5,6), (6,5)$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ છે.
સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(A) જ્યારે પાસાને $4$ વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^4 = 1296$ છે.
દરેક ઉછાળ માટે,ન્યૂનતમ $\ge 2$ અને મહત્તમ $\le 5$ ની શરત સંતોષવા માટે અંક $\{2, 3, 4, 5\}$ ના ગણમાં હોવો જોઈએ.
દરેક ઉછાળ માટે આવા $4$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
$4$ ઉછાળ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4^4 = 256$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{4^4}{6^4} = \left(\frac{4}{6}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ છે.

(C) કુલ કાર્ડ્સ $= 30$.
સફેદ કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 17$.
લીલા કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 30 - 17 = 13$.
$IMPORTANT$ કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 4 + 5 = 9$.
લીલા અને $IMPORTANT$ બંને હોય તેવા કાર્ડ્સની સંખ્યા $= 5$.
ધારો કે $G$ એ લીલું કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $I$ એ $IMPORTANT$ કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
આપણે $P(G \cup I) = P(G) + P(I) - P(G \cap I)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(G) = \frac{13}{30}$,$P(I) = \frac{9}{30}$,$P(G \cap I) = \frac{5}{30}$.
$P(G \cup I) = \frac{13}{30} + \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{17}{30}$.

(A) ગણમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(S) = 100$ છે.
$1$ થી $100$ ની વચ્ચેની પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,અને $4^3 = 64$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોનો ગણ $E = \{1, 8, 27, 64\}$ છે,એટલે કે $n(E) = 4$.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ છે.

(C) કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 2 + 5 = 10$.
લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા = $3$ (સફેદ) + $2$ (વાદળી) = $5$.
લાલ ન હોય તેવો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{\text{લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(B) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
એક પેકમાં $4$ ગુલામ,$4$ રાણી અને $4$ રાજા હોય છે.
ફેસ કાર્ડની કુલ સંખ્યા = $4 + 4 + 4 = 12$.
ફેસ કાર્ડ ખેંચવાની સંભાવના એ ફેસ કાર્ડની સંખ્યા અને કુલ પત્તાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{Face Card}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

(C) ધારો કે $A$ એ રોડ કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની ઘટના છે અને $B$ એ બિલ્ડિંગ કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{2}{9}$,$P(B) = \frac{5}{9}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
આપણે એક પણ કોન્ટ્રાક્ટ ન મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$ છે.
પ્રથમ,ઓછામાં ઓછો એક કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની સંભાવના શોધો:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} - \frac{1}{6} = \frac{7}{9} - \frac{1}{6}$
છેદ સમાન કરતા $(18)$:
$P(A \cup B) = \frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$.
હવે,એક પણ કોન્ટ્રાક્ટ ન મળવાની સંભાવના:
$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$.
આમ,સંભાવના $\frac{7}{18}$ છે.

(C) આપેલ છે,$P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}, P(A \cup B)=\frac{1}{2}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.
નિરપેક્ષતા માટે: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$. તેથી $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{1/4} = \frac{1}{3}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$P(A^C \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$. (વિકલ્પ $C$ ખોટો છે).
$P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
આમ,ખોટું વિધાન $P(A^C \cap B) = \frac{1}{3}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$.
આપણે $P(A^C) + P(B^C)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A^C) = 1 - P(A)$ અને $P(B^C) = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B) = 0.8$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2 - 0.8 = 1.2$ મળે છે.

(C) ગણ $S$ માં $x^2+bx+c=0$ પ્રકારના સમીકરણો છે જ્યાં $b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
કુલ સમીકરણોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય જો વિવેચક $D = b^2-4ac \geq 0$ હોય.
અહીં $a=1$ હોવાથી,શરત $b^2 \geq 4c$ બને છે.
$b$ ની કિંમતો $1$ થી $6$ માટે તપાસતા:
જો $b=1$,$1 \geq 4c$ (કોઈ ઉકેલ નથી)
જો $b=2$,$4 \geq 4c \implies c \leq 1$ ($c=1$,$1$ કિસ્સો)
જો $b=3$,$9 \geq 4c \implies c \leq 2.25$ ($c=1, 2$,$2$ કિસ્સા)
જો $b=4$,$16 \geq 4c \implies c \leq 4$ ($c=1, 2, 3, 4$,$4$ કિસ્સા)
જો $b=5$,$25 \geq 4c \implies c \leq 6.25$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ કિસ્સા)
જો $b=6$,$36 \geq 4c \implies c \leq 9$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ કિસ્સા)
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(E) = 0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{19}{36}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $3 + 5 + 8 = 16$.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા = $5$.
વાદળી દડો મળવાની સંભાવના,$P(B) = \frac{5}{16}$.
વાદળી દડો ન મળે તેની સંભાવના,$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.9$ અને $P(B) = 0.8$,તેથી $P(A \cup B) = 1.7 - P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) \geq 0.7$,તેથી $P(A \cup B) \leq 1.7 - 0.7 = 1.0$.
કોઈપણ સંભાવના માટે $P(A \cup B) \leq 1$ હોવું જરૂરી છે,તેથી આ સ્થિતિ હંમેશા સાચી છે.

(B) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે.
$365 = 52 \times 7 + 1$.
આનો અર્થ એ છે કે બિન-લીપ વર્ષમાં $52$ સંપૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે.
આ વધારાના દિવસ માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{\text{સોમવાર, મંગળવાર, બુધવાર, ગુરુવાર, શુક્રવાર, શનિવાર, રવિવાર}\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 7$.
વર્ષમાં $53$ સોમવાર હોવા માટે,વધારાનો દિવસ સોમવાર હોવો જોઈએ.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 1$.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{7}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $6$ આવે છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જે એવી ઘટના છે કે જેમાં કોઈ પણ પાસા પર $6$ ન આવે.
જો કોઈ પાસા પર $6$ ન આવે,તો દરેક પાસો $1$ થી $5$ સુધીની કોઈપણ સંખ્યા દર્શાવી શકે છે.
આમ,$E'$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $5 \times 5 = 25$ છે.
$E'$ ની સંભાવના $P(E') = \frac{25}{36}$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ છે.

(A) કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,સંભાવના $P(E)$ એ $0 \leq P(E) \leq 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \leq 1$.
પગલું $1$: વ્યક્તિગત સંભાવનાઓ પરની મર્યાદાઓ:
$0 \leq \frac{1+3P}{3} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{2}{3}$.
$0 \leq \frac{1-2P}{2} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq P \leq \frac{1}{2}$.
પગલું $2$: પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટેની શરત:
$P(A) + P(B) \leq 1
$ $\Rightarrow \frac{1+3P}{3} + \frac{1-2P}{2} \leq 1
$ $\Rightarrow 5 \leq 6$.
આ હંમેશા સાચું છે.
પગલું $3$: તમામ અંતરાલોનો છેદગણ:
$P \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.