Set Based probability Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ અને $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. તેથી,$(i)-(3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. તેથી,$(ii)-(2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. તેથી,$(iii)-(4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. તેથી,$(iv)-(1)$.
આમ,સાચી જોડ $(i)-(3), (ii)-(2), (iii)-(4), (iv)-(1)$ છે.

(D) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ વિદ્યાર્થી પાસ થાય તે ઘટના છે અને $B$ એ બીજા વિદ્યાર્થી પાસ થાય તે ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{2}{5}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંનેમાંથી કોઈ પાસ ન થાય તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ છે.
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
બંનેમાંથી કોઈ પાસ ન થાય તેની સંભાવના = $\frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$.
ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી પાસ થાય તેની સંભાવના = $1 - P(\text{કોઈ પાસ ન થાય}) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$.

(A) આપેલ છે કે,$P(A)=0.4, P(B)=0.3$ અને $P(A \cap B)=0.2$.
આપણે $A$ કે $B$ પૈકી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સૌ પ્રથમ,$P(A \cup B)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.2 = 0.5$.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.5 = 0.5$.

(C) $A =$ ઘટના કે $A$ સત્ય બોલે છે.
$B =$ ઘટના કે $B$ સત્ય બોલે છે.
$P(A) = 4/5 \implies P(A^c) = 1/5$.
$P(B) = 3/4 \implies P(B^c) = 1/4$.
$A$ અને $B$ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરે છે જો એક સત્ય બોલે અને બીજો જૂઠું બોલે.
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \cdot P(B^c) + P(A^c) \cdot P(B)$.
$= (4/5 \times 1/4) + (1/5 \times 3/4)$.
$= 4/20 + 3/20 = 7/20$.

(A) કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $A \cap B = \phi$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = 0$.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{3}{7}$.
આપણે $P(A / A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $A \subset (A \cup B)$,તેથી $A \cap (A \cup B) = A$,એટલે કે $P(A \cap (A \cup B)) = P(A) = \frac{1}{4}$.
વળી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{7} - 0 = \frac{7 + 12}{28} = \frac{19}{28}$.
તેથી,$P(A / A \cup B) = \frac{1/4}{19/28} = \frac{1}{4} \times \frac{28}{19} = \frac{7}{19}$.

(A) $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cap B) = P(B \cap C) = P(C \cap A) = P(A \cap B \cap C) = 0$ થાય.
કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$0 \leq P(E) \leq 1$ થાય.
$1$. $P(A) = \frac{3x+1}{3}$ માટે: $0 \leq \frac{3x+1}{3} \leq 1 \implies -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
$2$. $P(B) = \frac{1-x}{4}$ માટે: $0 \leq \frac{1-x}{4} \leq 1 \implies -3 \leq x \leq 1$.
$3$. $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ માટે: $0 \leq \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ મળે.
વળી,પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ થાય.
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies \frac{13-3x}{12} \leq 1 \implies x \geq \frac{1}{3}$.
આમ,$x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ મળે.

(B) ની જીતવાની સંભાવના $P(C) = p$ ધારો.
$A$ અને $B$ ની જીતવાની સંભાવના $C$ કરતા બમણી હોવાથી,$P(A) = 2p$ અને $P(B) = 2p$ થાય.
બધા શક્ય પરિણામોની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ હોવાથી,$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2p + 2p + p = 1$,જેનો અર્થ છે કે $5p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{5}$.
$B$ અથવા $C$ જીતે તેની સંભાવના $P(B \cup C) = P(B) + P(C)$ થાય (કારણ કે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે).
$P(B \cup C) = 2p + p = 3p = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

(A) આપણે $A$ કે $B$ પૈકી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = 0.58 + 0.32 - 0.28 = 0.62$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.62 = 0.38$.

(D) ધારો કે $i$ નંબર મળવાની સંભાવના $P(i)$ છે.
$P(i) \propto i$ હોવાથી,$P(i) = Ki$ થાય,જ્યાં $K$ અચળાંક છે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum_{i=1}^{6} P(i) = K(1+2+3+4+5+6) = 21K = 1$.
તેથી,$K = \frac{1}{21}$.
એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(1) + P(3) + P(5)$ છે.
$= K(1 + 3 + 5) = 9K$.
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(D) આપેલ છે $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,તેથી $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$,તેથી $P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{2}{4} + P(B) = \frac{1}{2} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
અહીં $P(A) = \frac{3}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$P(A) \neq P(B)$,તેથી તે સમાન સંભવિત નથી.
નિરપેક્ષતા માટે ચકાસણી: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$,જેનો અર્થ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.
આમ,ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે પણ સમાન સંભવિત નથી.

(C) કારણ કે $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
આપેલ છે કે $P(B) = 2 P(C)$,તેથી $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
વળી આપેલ છે કે $P(A) = \frac{2}{3} P(B)$.
આ કિંમતો સરવાળામાં મૂકતા: $\frac{2}{3} P(B) + P(B) + \frac{1}{2} P(B) = 1$.
લસાઅ $(6)$ લેતા: $\frac{4}{6} P(B) + \frac{6}{6} P(B) + \frac{3}{6} P(B) = 1$.
$\frac{13}{6} P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{6}{13}$.
તેથી $P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$ અને $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
$A$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.

(A) ધારો કે $P, Q, R$ એ ઘટનાઓ છે કે $P, Q, R$ લક્ષ્યને વીંધે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(P) = \frac{2}{3}, P(Q) = \frac{3}{5}, P(R) = \frac{5}{7}$ છે.
લક્ષ્ય ન વીંધવાની સંભાવનાઓ $P(P') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,$P(Q') = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$,અને $P(R') = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પણ $R$ દ્વારા નહીં. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $P$ વીંધે,$Q$ ચૂકી જાય,$R$ ચૂકી જાય: $P(P) \times P(Q') \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{8}{105}$.
$2$. $P$ ચૂકી જાય,$Q$ વીંધે,$R$ ચૂકી જાય: $P(P') \times P(Q) \times P(R') = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{105}$.
$3$. $P$ વીંધે,$Q$ વીંધે,$R$ ચૂકી જાય: $P(P) \times P(Q) \times P(R') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{12}{105}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{8}{105} + \frac{6}{105} + \frac{12}{105} = \frac{26}{105}$.

(C) પેટી $P$ માં કુલ દડા $= 1 + 3 + 2 = 6$.
પેટી $Q$ માં કુલ દડા $= 2 + 3 + 4 = 9$.
ધારો કે $W_P, R_P, B_P$ એ પેટી $P$ માંથી સફેદ,લાલ અને કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે,અને $W_Q, R_Q, B_Q$ એ પેટી $Q$ માટેની અનુરૂપ ઘટનાઓ છે.
સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(W_P) = \frac{1}{6}, P(R_P) = \frac{3}{6}, P(B_P) = \frac{2}{6}$
$P(W_Q) = \frac{2}{9}, P(R_Q) = \frac{3}{9}, P(B_Q) = \frac{4}{9}$
બંને દડા સમાન રંગના હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{same}) = P(W_P)P(W_Q) + P(R_P)P(R_Q) + P(B_P)P(B_Q)$
$P(\text{same}) = (\frac{1}{6} \times \frac{2}{9}) + (\frac{3}{6} \times \frac{3}{9}) + (\frac{2}{6} \times \frac{4}{9}) = \frac{2 + 9 + 8}{54} = \frac{19}{54}$
બંને દડા અલગ અલગ રંગના હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{different}) = 1 - P(\text{same}) = 1 - \frac{19}{54} = \frac{35}{54}$

(C) ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ ને પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવાની કુલ રીતો $10 \times 10 = 100$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(x, y)$ શોધવી છે કે જેના માટે $|x^2 - y^2|$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય હોય.
આ શરત $|(x - y)(x + y)|$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય હોવાને સમાન છે.
આપણે $x$ ની કિંમત $1$ થી $10$ સુધી લઈને $y$ એવી રીતે શોધીએ કે જેથી $x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ થાય.
$6$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો આ મુજબ છે: $1^2 \equiv 1, 2^2 \equiv 4, 3^2 \equiv 3, 4^2 \equiv 4, 5^2 \equiv 1, 6^2 \equiv 0, 7^2 \equiv 1, 8^2 \equiv 4, 9^2 \equiv 3, 10^2 \equiv 4$.
કિંમતો મુજબ જૂથ બનાવતા: $0: \{6\}$,$1: \{1, 5, 7\}$,$3: \{3, 9\}$,$4: \{2, 4, 8, 10\}$.
$x^2 \equiv y^2 \pmod{6}$ હોય તેવી જોડીઓની સંખ્યા:
$x^2 \equiv 0$ માટે: $1^2 = 1$ જોડી $(6, 6)$.
$x^2 \equiv 1$ માટે: $3^2 = 9$ જોડીઓ $(\{1, 5, 7\} \times \{1, 5, 7\})$.
$x^2 \equiv 3$ માટે: $2^2 = 4$ જોડીઓ $(\{3, 9\} \times \{3, 9\})$.
$x^2 \equiv 4$ માટે: $4^2 = 16$ જોડીઓ $(\{2, 4, 8, 10\} \times \{2, 4, 8, 10\})$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 9 + 4 + 16 = 30$.
સંભાવના $= \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ ઘટના છે કે $X$ પરીક્ષામાં પાસ થાય છે અને $B$ એ ઘટના છે કે $Y$ પરીક્ષામાં પાસ થાય છે.
$P(A) = \frac{1}{7}$ અને $P(B) = \frac{2}{9}$.
કારણ કે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને પરીક્ષામાં પાસ થાય તેની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(A \cap B) = \frac{1}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{63}$ મળે છે.

(D) જ્યારે ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ બે છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ગણવી સરળ છે,જે ત્રણ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
$E' = \{HHH\}$
$E'$ માં પરિણામોની સંખ્યા $n(E') = 1$ છે.
ત્રણ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{1}{8}$ છે.
વધુમાં વધુ બે છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર $2$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે,એટલે કે $A \in \{2, 4, 6\}$.
ધારો કે $B$ એ બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મેળવવાની ઘટના છે,એટલે કે $B \in \{3, 6\}$.
આપણે એક પાસા પર $2$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
ધારો કે $E$ એ સાનુકૂળ પરિણામોનો સમૂહ છે:
$E = \{(2,3), (4,3), (6,3), (2,6), (4,6), (6,6), (3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4)\}$.
અહીં $(6,6)$ નો સમાવેશ થાય છે કારણ કે તે એક પાસા પર $2$ નો ગુણક અને બીજા પાસા પર $3$ નો ગુણક હોવાની શરત સંતોષે છે.
$E$ માં ઘટકોની સંખ્યા ગણતા,આપણને $n(E) = 11$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ છે.

(B) કુલ કાર્ડની સંખ્યા $n(S) = 27$ છે.
ધારો કે $E$ એ બેકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $1$ થી $27$ વચ્ચેની બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26\}$ છે.
તેથી,$n(E) = 13$.
ધારો કે $F$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{5, 10, 15, 20, 25\}$ છે.
તેથી,$n(F) = 5$.
છેદગણ $E \cap F$ માં એવી સંખ્યાઓ છે જે બેકી પણ છે અને $5$ વડે વિભાજ્ય પણ છે,એટલે કે $10$ ના ગુણકો. આ સંખ્યાઓ $\{10, 20\}$ છે.
તેથી,$n(E \cap F) = 2$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n(E \cup F) = n(E) + n(F) - n(E \cap F) = 13 + 5 - 2 = 16$.
માટે,સંભાવના $P(E \cup F) = \frac{n(E \cup F)}{n(S)} = \frac{16}{27}$ થાય.

(B) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,અને $P(C) = \frac{1}{4}$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B$,અને $C$ દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
તેથી,તેમના દ્વારા સમસ્યા ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાઓ $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,અને $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
સમસ્યા તેમનામાંથી બરાબર એક દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(\text{બરાબર એક}) = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(A) ધારો કે $W_i$ અને $B_i$ એ પેટી $B_i$ માંથી અનુક્રમે સફેદ અને કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$B_1$ માટે: $P(W_1) = \frac{1}{3}, P(B_1) = \frac{2}{3}$
$B_2$ માટે: $P(W_2) = \frac{3}{4}, P(B_2) = \frac{1}{4}$
$B_3$ માટે: $P(W_3) = \frac{2}{5}, P(B_3) = \frac{3}{5}$
આપણે બે કાળા અને એક સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવી છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $(W_1, B_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(B_3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{60}$
$2$. $(B_1, W_2, B_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{60}$
$3$. $(B_1, B_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{60}$
કુલ સંભાવના આ સંભાવનાઓનો સરવાળો છે:
$P = \frac{3}{60} + \frac{18}{60} + \frac{4}{60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

(C) ધારો કે $E$ એ સિક્કા પર છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
ધારો કે $F$ એ પાસા પર એકી સંખ્યા $(1, 3, 5)$ મેળવવાની ઘટના છે.
છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{2}$ છે.
છ બાજુવાળા પાસા પર એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
સિક્કો અને પાસો સ્વતંત્ર હોવાથી,ઘટનાઓ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ છે.
$P(E \cap F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

(D) ધારો કે $P(C) = p$. તો $P(B) = 2p$ અને $P(A) = 2(2p) = 4p$ થાય.
તેમાંથી કોઈ એક જીતશે જ,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$4p + 2p + p = 1$
$7p = 1$
$p = \frac{1}{7}$
તેથી,$P(A) = 4p = 4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$.
$A$ હારે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ થાય.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ વિદ્યાર્થી $A$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે,તેથી $P(A) = \frac{2}{5}$.
ધારો કે $P(B)$ એ વિદ્યાર્થી $B$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે,તેથી $P(B) = \frac{3}{4}$.
વિદ્યાર્થી $A$ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતો નથી તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
વિદ્યાર્થી $B$ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતો નથી તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
પ્રશ્ન ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી તેને ઉકેલે. આ ઘટના એ ઘટનાની પૂરક ઘટના છે કે બંનેમાંથી કોઈ પણ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી.
બંનેમાંથી કોઈ પણ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી તેની સંભાવના = $P(A') \times P(B') = \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$.
પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના = $1 - P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ વ્યક્તિ $A$ દ્વારા કાર્ય પૂર્ણ કરવાની સંભાવના છે,$P(A) = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $P(B)$ એ વ્યક્તિ $B$ દ્વારા કાર્ય પૂર્ણ કરવાની સંભાવના છે,$P(B) = \frac{3}{4}$.
જો તેમનામાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ કાર્ય પૂર્ણ કરે તો કાર્ય પૂર્ણ થયેલું ગણાય.
આ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$.
$12$ નો સામાન્ય છેદ લેતા:
$P(A \cup B) = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{11}{12}$.
આમ,કાર્ય પૂર્ણ થવાની સંભાવના $\frac{11}{12}$ છે.

(C) જેহেতু $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. તેથી,$xy = \frac{1}{6}$.
બંનેમાંથી એક પણ ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x + y - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x + y = \frac{5}{6}$.
$y = \frac{5}{6} - x$ ને $xy = \frac{1}{6}$ માં મૂકતા,આપણને $x(\frac{5}{6} - x) = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $6x^2 - 5x + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(2x - 1)(3x - 1) = 0$ મળે છે.
આમ,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{1}{3}$.
તેથી,$A$ ઉદ્ભવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1}{3}$ છે.

(B) $n$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $X_1, X_2, \ldots, X_n$ માંથી એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(X_1' \cap X_2' \cap \ldots \cap X_n')$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આ $P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n')$ બરાબર થાય છે.
આપેલ છે કે $P(X_r) = \frac{1}{r+1}$,તેથી પૂરક ઘટનાની સંભાવના $P(X_r') = 1 - P(X_r) = 1 - \frac{1}{r+1} = \frac{r}{r+1}$ થાય.
આમ,જરૂરી સંભાવના:
$P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n') = \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots \times \frac{n}{n+1}$
$= \frac{1}{n+1}$.

(A) ધારો કે $P(X), P(Y), P(Z)$ એ અનુક્રમે વિદ્યાર્થીઓ $X, Y, Z$ ના પાસ થવાની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે:
$P(X) = \frac{1}{5} \implies P(X') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$P(Y) = \frac{1}{4} \implies P(Y') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(Z') = \frac{2}{3} \implies P(Z) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
આપણે ઓછામાં ઓછા બે વિદ્યાર્થીઓ પાસ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે બરાબર બે વિદ્યાર્થીઓ પાસ થાય અને ત્રણેય વિદ્યાર્થીઓ પાસ થાય તેની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
$P(\text{ઓછામાં ઓછા 2 પાસ}) = P(X)P(Y)P(Z') + P(X)P(Y')P(Z) + P(X')P(Y)P(Z) + P(X)P(Y)P(Z)$
$= (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$
$= \frac{2}{60} + \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{1}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એકી ત્યારે જ હોય જો બંને સંખ્યાઓ એકી હોય.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
બંને પાસા પર એકી સંખ્યા મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
ગુણાકાર બેકી હોય જો તે એકી ન હોય.
તેથી,અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા જ્યાં ગુણાકાર બેકી હોય તે $36 - 9 = 27$ છે.
બેકી ગુણાકાર મેળવવાની સંભાવના $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ છે.

(B) $A, B, C$ એ પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = P^2$
$P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = P^2$
$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A) = P^2$
આપેલ છે કે તે ત્રણેય એકસાથે બની શકતી નથી,તેથી $P(A \cap B \cap C) = 0$.
ઘટનાઓના સંયોગ માટેના સિદ્ધાંત મુજબ:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$P(A \cup B \cup C) = P + P + P - [P^2 + P^2 + P^2] + 0$
$P(A \cup B \cup C) = 3P - 3P^2 = 3P(1-P)$.

(A) આપેલ છે કે $E_k = \{(a, b) \in S : ab = k\}$ જ્યાં $k \geq 1$ અને $p_k = P(E_k)$.
નિદર્શાવકાશ $S$ માં કુલ $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે,તેથી સંભાવના $p_k = \frac{|E_k|}{36}$ દ્વારા મળે છે.
$k=1$ માટે: $E_1 = \{(1, 1)\}$,તેથી $|E_1| = 1$ અને $p_1 = \frac{1}{36}$.
$k=2$ માટે: $E_2 = \{(1, 2), (2, 1)\}$,તેથી $|E_2| = 2$ અને $p_2 = \frac{2}{36}$.
$k=4$ માટે: $E_4 = \{(1, 4), (4, 1), (2, 2)\}$,તેથી $|E_4| = 3$ અને $p_4 = \frac{3}{36}$.
$k=6$ માટે: $E_6 = \{(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)\}$,તેથી $|E_6| = 4$ અને $p_6 = \frac{4}{36}$.
$k=30$ માટે: $E_{30} = \{(5, 6), (6, 5)\}$,તેથી $|E_{30}| = 2$ અને $p_{30} = \frac{2}{36}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $p_1 = \frac{1}{36}$,$p_{30} = \frac{2}{36}$,$p_4 = \frac{3}{36}$,$p_6 = \frac{4}{36}$.
આમ,$p_1 < p_{30} < p_4 < p_6$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(S) = 100$ છે.
કોઈ સંખ્યા પૂર્ણ ઘન હોય જો તેને કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $k^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપેલ ગણમાં પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,અને $4^3 = 64$ છે. નોંધો કે $5^3 = 125$,જે $100$ કરતા મોટી છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોનો ગણ $A = \{1, 8, 27, 64\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $S$ માટે શક્ય કિંમતો $2$ થી $12$ સુધીની છે.
$2$ થી $12$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય સરવાળા માટેના પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ પરિણામો
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ પરિણામો
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ પરિણામો
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(A) ધારો કે ઘોડા $A$,$B$ અને $C$ ના જીતવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $a$,$b$ અને $c$ છે.
તેમાંથી કોઈ એક જીતશે જ,તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $a + b + c = 1$ થાય ... $(i)$
આપેલ છે કે $a = 2b$ અને $b = 2c$.
$b = 2c$ ને $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a = 2(2c) = 4c$ મળે છે.
હવે,$a = 4c$ અને $b = 2c$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$4c + 2c + c = 1$
$7c = 1$
$c = \frac{1}{7}$
હવે,$b$ અને $a$ શોધો:
$b = 2c = 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$
$a = 2b = 2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$
તેથી,ઘોડા $A$,$B$ અને $C$ ના જીતવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $\frac{4}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ $A$ સમસ્યા ઉકેલે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ $B$ સમસ્યા ઉકેલે છે.
આપેલ છે કે,$P(A) = 0.90$ અને $P(B) = 0.70$.
વ્યક્તિ $A$ સમસ્યા ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.90 = 0.10$ છે.
વ્યક્તિ $B$ સમસ્યા ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - 0.70 = 0.30$ છે.
તે બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.10 \times 0.30 = 0.03$.
તેથી,તે બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $1 - 0.03 = 0.97$ છે.

(B) ધારો કે $E_1$ એ $A$ સત્ય બોલે તે ઘટના છે.
$P(E_1) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$P(\overline{E_1}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
ધારો કે $E_2$ એ $B$ સત્ય બોલે તે ઘટના છે.
$P(E_2) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$P(\overline{E_2}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
તેમના નિવેદનો ત્યારે જ મેળ ન ખાય જો ($A$ સત્ય બોલે અને $B$ જૂઠું બોલે) અથવા ($A$ જૂઠું બોલે અને $B$ સત્ય બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(E_1) \cdot P(\overline{E_2}) + P(\overline{E_1}) \cdot P(E_2)$.
$= (\frac{1}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{4}{5})$.
$= \frac{1}{25} + \frac{16}{25} = \frac{17}{25}$.

(B) ધારો કે $X$ એ બોક્સ $A$ માંથી પસંદ કરેલ નંબર છે અને $Y$ એ બોક્સ $B$ માંથી પસંદ કરેલ નંબર છે. કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $10 \times 10 = 100$ છે.
આપણે સંભાવના $P(X < Y)$ શોધવી છે.
કુલ પરિણામોને ત્રણ કિસ્સાઓમાં વહેંચી શકાય: $X < Y$,$X > Y$,અને $X = Y$.
$X = Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા $10$ છે (જેમ કે $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$).
પરિસ્થિતિ સમાન હોવાથી,$X < Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા $X > Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા જેટલી જ છે.
ધારો કે $N$ એ $X < Y$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા છે. તો $N + N + 10 = 100$.
$2N = 90 \implies N = 45$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{N}{100} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) $III$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટેની કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 3 \times 100 = 300$.
$II$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટેની કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 2 \times 150 = 300$.
$I$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટેની કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 1 \times 200 = 200$.
લોટરીમાં કુલ સ્લિપની સંખ્યા $= 300 + 300 + 200 = 800$.
$III$ વર્ષના વિદ્યાર્થીને રૂમ મળે તેની સંભાવના એ $III$ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓની સ્લિપની સંખ્યા અને કુલ સ્લિપની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{300}{800} = \frac{3}{8}$.

(D) ગણ $S = \{2k \mid -9 \leq k \leq 10\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k$ ની કિંમત $-9$ થી $10$ સુધી હોવાથી,કુલ ઘટકોની સંખ્યા $10 - (-9) + 1 = 20$ છે.
આમ,ગણ $S$ માં કુલ $20$ ઘટકો છે.
$4$ અને $6$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યા તે $\text{lcm}(4, 6) = 12$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$S$ માં $12$ ના ગુણકો $\{-12, 0, 12\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{3}{20}$ છે.

(A) આપેલ છે: $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$,અને $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$.
પ્રથમ,$P(A)$ શોધો:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(\bar{A} \cap B)$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(D) આપેલ અસમતા $x + \frac{10}{x} \leq 11$ છે.
અહીં $x \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ હોવાથી $x$ હંમેશા ધન છે.
$x$ વડે ગુણતા,$x^2 + 10 \leq 11x$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 11x + 10 \leq 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા,$(x - 1)(x - 10) \leq 0$ મળે છે.
આ અસમતા $1 \leq x \leq 10$ માટે સાચી છે.
આ શરતનું પાલન કરતી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
આવી કુલ $10$ સંખ્યાઓ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $50$ છે.
તેથી સંભાવના $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ થાય.

(A) ધારો કે $25$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો $n, n+1, n+2, \dots, n+24$ છે. $n$ એકી હોવાથી,આ શ્રેણીમાં $13$ એકી અને $12$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
$25$ માંથી $3$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{25}{3} = 2300$ છે.
ત્રણ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો:
$1)$ ત્રણેય બેકી હોય: $\binom{12}{3} = 220$.
$2)$ એક બેકી અને બે એકી હોય: $\binom{12}{1} \times \binom{13}{2} = 936$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $220 + 936 = 1156$.
સંભાવના = $\frac{1156}{2300} = \frac{289}{575}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^2 = 36$ છે.
બે સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય છે જો તેમનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ $1$ હોય.
જે પરિણામોમાં સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય નથી (એટલે કે $\text{GCD} > 1$) તે શોધવું સરળ છે.
જે જોડી $(x, y)$ માટે $\text{GCD}(x, y) > 1$ છે તે આ મુજબ છે:
$\{(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,2), (4,4), (4,6), (5,5), (6,2), (6,3), (6,4), (6,6)\}$.
આવા પરિણામોની સંખ્યા $13$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (જ્યાં સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય હોય) $36 - 13 = 23$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{23}{36}$ છે.

(D) ધારો કે કાળીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ છે.
$A$ ત્યારે જીતે છે જો $A$ પ્રથમ,પાંચમા,નવમા,... વારા પર કાળીનું પત્તું ખેંચે.
$A$ જીતે તેની સંભાવના:
$P(A) = p + q^4 p + q^8 p + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = p$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^4$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{p}{1-q^4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A) = \frac{1/4}{1 - (3/4)^4} = \frac{1/4}{1 - 81/256} = \frac{1/4}{175/256} = \frac{1}{4} \times \frac{256}{175} = \frac{64}{175}$.

(C) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે. બંને પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે તેવા પરિણામો $\{(2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5)\}$ છે. આવા $9$ પરિણામો છે.
પ્રથમ ફેંકમાં બંને પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ છે.
પાસા પરની વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{4, 6\}$ છે (નોંધ: $1$ એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય નથી). બંને પાસા પર વિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે તેવા પરિણામો $\{(4,4), (4,6), (6,4), (6,6)\}$ છે. આવા $4$ પરિણામો છે.
બીજી ફેંકમાં બંને પાસા પર વિભાજ્ય સંખ્યાઓ મેળવવાની સંભાવના $P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ છે.
બે ફેંક સ્વતંત્ર હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{36}$ છે.