Multinomial theorem, Number of divisors Questions in Hindi

(C) $9600$ के भाजकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$9600 = 96 \times 100 = (32 \times 3) \times (4 \times 25) = (2^5 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^7 \times 3^1 \times 5^2$.
यदि किसी संख्या $N$ को $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो भाजकों की कुल संख्या $(a + 1)(b + 1)(c + 1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 7$,$b = 1$,और $c = 2$ है।
अतः,भाजकों की संख्या $= (7 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 8 \times 2 \times 3 = 48$.

(D) दी गई संख्या $N = a^1 b^2 c^2 d^1 e^1$ है।
चूंकि $a, b, c, d, e$ अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $N$ के कुल भाजकों की संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के (घात + $1$) का गुणनफल होती है।
कुल भाजकों की संख्या $= (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 72$.
हमें $1$ को एक गुणनखंड के रूप में छोड़कर भाजकों की संख्या ज्ञात करनी है।
$1$ को छोड़कर भाजकों की संख्या $= 72 - 1 = 71$.

(A) $960$ का अभाज्य गुणनखंडन $960 = 2^6 \times 3^1 \times 5^1$ है।
किसी संख्या $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times p_3^{a_3}$ के सभी धनात्मक भाजकों का योग ज्ञात करने का सूत्र $\left( \frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \right) \left( \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \right) \left( \frac{p_3^{a_3+1}-1}{p_3-1} \right)$ है।
मान $p_1=2, a_1=6, p_2=3, a_2=1, p_3=5, a_3=1$ रखने पर:
योग $= \left( \frac{2^{6+1}-1}{2-1} \right) \times \left( \frac{3^{1+1}-1}{3-1} \right) \times \left( \frac{5^{1+1}-1}{5-1} \right)$
योग $= 127 \times 4 \times 6 = 3048$.

(C) $n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$।
यहाँ,$n = 100$ और $p = 3$ है।
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{3^4} \rfloor$
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor$
$E_3(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$।
अतः,$100!$ में $3$ का घातांक $48$ है।

(A) माना $N = 111...1$ ($91$ बार)।
$N = \sum_{k=0}^{90} 10^k = \frac{10^{91}-1}{10-1} = \frac{10^{91}-1}{9}$।
चूंकि $91 = 7 \times 13$,हम $10^{91}-1 = (10^7)^{13}-1$ लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $x^n-1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1)$ का उपयोग करने पर:
$10^{91}-1 = (10^7-1)((10^7)^{12} + (10^7)^{11} + ... + 1)$।
अतः,$N = \frac{10^7-1}{9} \times ((10^7)^{12} + (10^7)^{11} + ... + 1)$।
चूंकि $\frac{10^7-1}{9} = 1111111$ और दूसरा गुणनखंड $1$ से बड़ा है,इसलिए $N$ दो ऐसी संख्याओं का गुणनफल है जो $1$ से बड़ी हैं।
अतः,$N$ एक भाज्य संख्या है,जिसका अर्थ है कि यह एक अभाज्य संख्या नहीं है।

(A) फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार,यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है,तो किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$n^p \equiv n \pmod{p}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $n^p - n$ किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $p$ से विभाज्य है।
चूंकि दिए गए विकल्प प्राकृत संख्याओं के समूह पर केंद्रित हैं,इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृत संख्या $n \geq 1$ के लिए सत्य है।
उदाहरण के लिए,मान लीजिए $n = 2$ और $p = 3$:
$2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$,जो $3$ से विभाज्य है।

(A) सबसे पहले,$n = 38808$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$38808 = 8 \times 4851 = 2^3 \times 3^2 \times 7^2 \times 11^1$.
भाजकों की कुल संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है,जहाँ $a, b, c, d$ अभाज्य गुणनखंडों के घातांक हैं:
कुल भाजक $= (3+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 3 \times 2 = 72$.
चूंकि प्रश्न में $1$ और $n$ को छोड़कर भाजकों की संख्या पूछी गई है,इसलिए हम कुल संख्या में से $2$ घटा देंगे:
आवश्यक भाजकों की संख्या $= 72 - 2 = 70$.

(A) $n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का उच्चतम घात ज्ञात करने के लिए लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग किया जाता है: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
यहाँ,$n = 100$ और $p = 3$ है।
$E_3(100!) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor + \lfloor \frac{100}{9} \rfloor + \lfloor \frac{100}{27} \rfloor + \lfloor \frac{100}{81} \rfloor$.
$E_3(100!) = 33 + 11 + 3 + 1 = 48$.

(A) $9000$ का अभाज्य गुणनखंडन:
$9000 = 2^3 \times 3^2 \times 5^3$.
भाजकों के योग का सूत्र:
$S = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \times (3^0 + 3^1 + 3^2) \times (5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3)$.
$S = (1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3 + 9) \times (1 + 5 + 25 + 125)$.
$S = (15) \times (13) \times (156) = 30420$.

(C) $9600$ के भाजकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$9600 = 96 \times 100 = (32 \times 3) \times (10^2) = (2^5 \times 3^1) \times (2^2 \times 5^2) = 2^7 \times 3^1 \times 5^2$.
यदि किसी संख्या $N$ को $p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो भाजकों की कुल संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=7$,$b=1$,और $c=2$ है।
भाजकों की कुल संख्या = $(7+1)(1+1)(2+1) = 8 \times 2 \times 3 = 48$।

(A) सबसे पहले,$38808$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$38808 = 8 \times 4851 = 8 \times 9 \times 539 = 8 \times 9 \times 7 \times 77 = 8 \times 9 \times 7 \times 7 \times 11 = 2^3 \times 3^2 \times 7^2 \times 11^1$.
भाजकों की कुल संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के घातांक में $1$ जोड़कर उनका गुणनफल करने से प्राप्त होती है:
कुल भाजक = $(3+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 3 \times 2 = 72$.
चूंकि हमें $1$ और $n$ (स्वयं संख्या) को छोड़ना है,इसलिए हम कुल संख्या में से $2$ घटाएंगे:
$1$ और $n$ को छोड़कर भाजकों की संख्या = $72 - 2 = 70$.

(B) बहुपद $(a_1 + a_2 + \dots + a_k)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $(1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2})^n$ के लिए,$k=3$ पद हैं।
अतः,पदों की संख्या $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{(n+2)(n+1)}{2} = 28$,इसलिए $(n+2)(n+1) = 56$ है।
चूंकि $8 \times 7 = 56$,हमें $n+2 = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 6$।
विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए चर के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित किया जाता है।
गुणांकों का योग $= (1 - 2 + 4)^n = (3)^n$ है।
$n = 6$ के लिए,योग $3^6 = 729$ है।

(D) $843^{843}$ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम $3^{843}$ का इकाई अंक देखते हैं। $3$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81$.
$843 \div 4$ करने पर शेषफल $3$ बचता है,इसलिए $3^{843}$ का इकाई अंक $3^3$ यानी $7$ है।
$492^{295}$ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम $2^{295}$ का इकाई अंक देखते हैं। $2$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16$.
$295 \div 4$ करने पर शेषफल $3$ बचता है,इसलिए $2^{295}$ का इकाई अंक $2^3$ यानी $8$ है।
योग का इकाई अंक $(7 + 8) = 15$ का इकाई अंक यानी $5$ है।

(C) $n!$ को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या $p$ की उच्चतम घात ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n=33$ और $p=2$ के लिए,$33!$ में $2$ का घातांक है:
$E_2(33!) = \lfloor \frac{33}{2} \rfloor + \lfloor \frac{33}{4} \rfloor + \lfloor \frac{33}{8} \rfloor + \lfloor \frac{33}{16} \rfloor + \lfloor \frac{33}{32} \rfloor$
$E_2(33!) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$.
अतः,$33!$,$n \in \{1, 2, 3, \ldots, 31\}$ के सभी मानों के लिए $2^n$ से विभाज्य है।
$n$ के सभी संभावित मानों का योग प्रथम $31$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
$S = \frac{31(31+1)}{2} = \frac{31 \times 32}{2} = 31 \times 16 = 496$.

(C) क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $xy = n$ और $n$,$72$ का एक गुणनखंड है,हमें उन युग्मों $(x, y)$ को खोजना होगा जिनका गुणनफल $72$ को विभाजित करता है।
$72 = 2^3 \times 3^2$.
हमें $(x, y)$ के ऐसे युग्म खोजने हैं कि $xy = 2^a 3^b$ हो,जहाँ $0 \le a \le 3$ और $0 \le b \le 2$.
माना $x = 2^{a_1} 3^{b_1}$ और $y = 2^{a_2} 3^{b_2}$.
तब $xy = 2^{a_1+a_2} 3^{b_1+b_2} = 2^a 3^b$.
एक निश्चित $n = 2^a 3^b$ के लिए,$a_1 + a_2 = a$ के हलों की संख्या $(a+1)$ है और $b_1 + b_2 = b$ के हलों की संख्या $(b+1)$ है।
कुल युग्म = $\sum_{a=0}^{3} \sum_{b=0}^{2} (a+1)(b+1) = (1+2+3+4)(1+2+3) = 10 \times 6 = 60$.

(D) व्यंजक $N = n(n+1)(n+2)(n+3)$ चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
किन्हीं भी चार क्रमागत पूर्णांकों में,एक $4$ से विभाज्य होता है,दूसरा $2$ से विभाज्य होता है,और कम से कम एक $3$ से विभाज्य होता है।
अतः,$N$ हमेशा $4 \times 2 \times 3 = 24$ से विभाज्य होता है।
हम $N$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$N = [n(n+3)] \times [(n+1)(n+2)]$
$N = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)$
मान लीजिए $x = n^2 + 3n$ है। तब $N = x(x+2) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ है।
चूंकि $N = (n^2 + 3n + 1)^2 - 1$,$N$ एक पूर्ण वर्ग से एक कम है।
किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \ge 1$ के लिए,$N > 0$ है। चूंकि $N$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए $N$ के भाजकों की संख्या $d$ हमेशा सम होगी (क्योंकि एक गैर-पूर्ण वर्ग के भाजक हमेशा जोड़े $(a, b)$ में आते हैं जैसे कि $ab = N$ और $a \neq b$)।

(A) दिया गया समीकरण $xyz = 2^5 \times 3^2 \times 5^2$ है।
माना $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,और $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$,जहाँ $a_i, b_i, c_i \ge 0$ है।
घातांकों के लिए:
$a_1 + a_2 + a_3 = 5$
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$
$c_1 + c_2 + c_3 = 2$
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ है।
$a_1 + a_2 + a_3 = 5$ के लिए: $\binom{7}{2} = 21$ है।
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$ के लिए: $\binom{4}{2} = 6$ है।
$c_1 + c_2 + c_3 = 2$ के लिए: $\binom{4}{2} = 6$ है।
कुल हलों की संख्या $21 \times 6 \times 6 = 756$ है।

(B) $2^5 \times 3^4 \times 5^2$ का कोई भी भाजक $2^a \times 3^b \times 5^c$ के रूप में होता है,जहाँ $0 \le a \le 5$,$0 \le b \le 4$,और $0 \le c \le 2$ है।
भाजकों का योग प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए गुणोत्तर श्रेणी के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
योग $= (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) \times (1 + 5 + 5^2)$
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करते हुए:
योग $= \left( \frac{2^6 - 1}{2 - 1} \right) \times \left( \frac{3^5 - 1}{3 - 1} \right) \times \left( \frac{5^3 - 1}{5 - 1} \right)$
योग $= 63 \times 121 \times 31 = 3^2 \times 7^1 \times 11^2 \times 31$.

(A) सबसे पहले,$480$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$480 = 2^5 \times 3^1 \times 5^1$.
$480$ का कोई भी भाजक $d = 2^a \times 3^b \times 5^c$ के रूप में होता है,जहाँ $0 \leq a \leq 5$,$0 \leq b \leq 1$,और $0 \leq c \leq 1$ है।
हम चाहते हैं कि भाजक $4n + 2$ के रूप में हो,जिसका अर्थ है कि $d$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए लेकिन $4$ से नहीं।
इसका मतलब है कि $a$ का मान $1$ होना चाहिए।
$b$ के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं ($0$ या $1$)।
$c$ के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं ($0$ या $1$)।
ऐसे कुल भाजकों की संख्या = $1 \times 2 \times 2 = 4$।

(B) दी गई व्यंजक $(1 + x^n + x^{253})^{10}$ है।
मल्टीनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए,सामान्य पद $\frac{10!}{a!b!c!} (1)^a (x^n)^b (x^{253})^c$ है,जहाँ $a + b + c = 10$ है।
हमें $x^{1012}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $x$ का घातांक $1012$ रखते हैं:
$nb + 253c = 1012$।
चूँकि $c \leq 10$ और $253 \times 4 = 1012$ है,हम $c$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
यदि $c = 4$ है,तो $nb = 1012 - 253(4) = 0$। चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$b = 0$ होना चाहिए।
तब $a = 10 - b - c = 10 - 0 - 4 = 6$।
गुणांक $\frac{10!}{6!0!4!} = ^{10}C_4$ है।
यदि $c < 4$ है,तो $nb = 253(4-c)$। $c=3$ के लिए,$nb = 253$,जो $n \leq 22$ और $b \leq 10$ के लिए संभव नहीं है।
अतः,एकमात्र समाधान $a=6, b=0, c=4$ है।
गुणांक $^{10}C_4$ है।

(D) दिया गया है $y+z=5$ और $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}$।
दूसरे समीकरण से,$\frac{y+z}{yz} = \frac{5}{6}$।
$y+z=5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{5}{yz} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $yz = 6$।
हमारे पास $y+z=5$ और $yz=6$ है। द्विघात समीकरण $t^2 - 5t + 6 = 0$ के मूल $t=2$ और $t=3$ हैं।
चूँकि $y > z$ है,इसलिए $y=3$ और $z=2$ है।
संख्या $n = 2^{x} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ है।
$n$ का एक विषम भाजक $3^{a} \cdot 5^{b}$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $0 \le a \le 3$ और $0 \le b \le 2$ है।
$a$ के लिए विकल्पों की संख्या $(3+1) = 4$ है।
$b$ के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
विषम भाजकों की कुल संख्या $= 4 \times 3 = 12$।

(A) माना $N$ एक $4$-अंकों की संख्या है जिसके लिए $\gcd(N, 18) = 3$ है।
चूँकि $\gcd(N, 18) = 3$,$N$ को $3$ का गुणज होना चाहिए लेकिन $2$ का गुणज नहीं (क्योंकि $18 = 2 \times 3^2$) और $9$ का गुणज भी नहीं होना चाहिए।
अतः,$N$ को $3$ का एक विषम गुणज होना चाहिए जो $9$ से विभाज्य न हो।
पहले,$4$-अंकों के $3$ के विषम गुणजों की संख्या ज्ञात करें:
सबसे छोटी संख्या $1005$ और सबसे बड़ी $9999$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है: $1005, 1011, \dots, 9999$।
पदों की संख्या $\frac{9999 - 1005}{6} + 1 = 1500$ है।
अब,$4$-अंकों के $9$ के विषम गुणजों की संख्या ज्ञात करें:
सबसे छोटी संख्या $1017$ और सबसे बड़ी $9999$ है।
पदों की संख्या $\frac{9999 - 1017}{18} + 1 = 500$ है।
अतः,ऐसी संख्याओं $N$ की कुल संख्या $1500 - 500 = 1000$ है।

(A) दी गई संख्या $N = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 11^{11} \cdot 13^{13}$ है।
भाजक $d = 2^a \cdot 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d$ के रूप में है,जहाँ $0 \le a \le 10, 0 \le b \le 10, 0 \le c \le 11, 0 \le d \le 13$ है।
$4n+1$ रूप के लिए $d$ विषम होना चाहिए,अतः $a=0$ होगा।
$d = 5^b \cdot 11^c \cdot 13^d \equiv (-1)^c \pmod{4}$ होगा।
$d \equiv 1 \pmod{4}$ के लिए $c$ सम होना चाहिए।
$c$ के लिए $6$ विकल्प,$b$ के लिए $11$ विकल्प और $d$ के लिए $14$ विकल्प हैं।
कुल भाजकों की संख्या $11 \times 6 \times 14 = 924$ है।

(D) बहुपद विस्तार का सामान्य पद:
$T_{r_1, r_2, r_3} = \frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (3)^{r_1} (-2)^{r_2} (5)^{r_3} x^{3r_1 + 2r_2 - 5r_3}$
अचर पद के लिए $x$ का घात $0$ होना चाहिए:
$3r_1 + 2r_2 - 5r_3 = 0$ और $r_1 + r_2 + r_3 = 10$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $(r_1, r_2, r_3) = (1, 6, 3)$ प्राप्त होता है।
अचर पद $= \frac{10!}{1! 6! 3!} (3)^1 (-2)^6 (5)^3$
$= 840 \times 3 \times 64 \times 125 = 2^9 \times (3^2 \times 5^4 \times 7^1)$
यहाँ $l = 3^2 \times 5^4 \times 7^1$ एक विषम पूर्णांक है।
अतः,$k = 9$.

(B) मान लीजिए कि तीनों खिलाड़ियों द्वारा जीते गए खेलों की संख्या क्रमशः $x, y,$ और $z$ है।
हमें दिया गया है कि खेलों की कुल संख्या $x + y + z = 9$ है।
अंत में प्रत्येक खिलाड़ी का कुल स्कोर शून्य होना चाहिए।
जो खिलाड़ी $x$ खेल जीतता है और शेष $(9-x)$ खेल हारता है,उसका कुल स्कोर $2x - 1(9-x) = 3x - 9$ होता है।
स्कोर को शून्य करने के लिए,हमें $3x - 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$।
इसी प्रकार,$y = 3$ और $z = 3$।
अतः,प्रत्येक खिलाड़ी को $9$ में से ठीक $3$ खेल जीतने होंगे।
तीन खिलाड़ियों के बीच जीत को वितरित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$।

(A) मान लीजिए संख्या $N$ है। जब $N$ के बाद एक गैर-शून्य अंक $c$ जोड़ा जाता है,तो नई संख्या $10N + c$ होती है।
यह दिया गया है कि $10N + c$ सभी $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए $c$ से विभाज्य है।
इसका अर्थ है कि $10N$ को सभी $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसलिए,$10N$ को अंकों $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ का गुणज होना चाहिए।
$LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
अतः,$10N$ को $2520$ का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $N$ को $252$ का गुणज होना चाहिए।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $N = 252$ है।
$N$ के अंकों का योग $2 + 5 + 2 = 9$ है।

(B) एक भिन्न $\frac{1}{n}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि हर $n$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^a \times 5^b$ के रूप में हो,जहाँ $a, b \ge 0$ और $a+b > 0$ है।
हमें $n \in \{2, 3, \ldots, 200\}$ के लिए $2^a \times 5^b$ के रूप वाले पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करनी है।
संभावित मान:
- $2^a$: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$
- $5^b$: $5, 25, 125$
- $2^a \times 5^b$: $10, 20, 40, 80, 160, 50, 100, 200$
सभी मानों की सूची: $2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 128, 160, 200$.
इस प्रकार,कुल $18$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) $n$ से कम और $n$ के साथ सह-अभाज्य पूर्णांकों की संख्या यूलर के टॉटिएंट फलन $\phi(n)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $n = p_1 \times p_2$,जहाँ $p_1$ और $p_2$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $\phi(n) = (p_1-1)(p_2-1)$ सूत्र का उपयोग होता है।
हमें $\phi(43361) = 42900$ दिया गया है।
अतः,$(p_1-1)(p_2-1) = 42900$.
इसका विस्तार करने पर,$p_1 p_2 - p_1 - p_2 + 1 = 42900$.
चूँकि $p_1 p_2 = 43361$,इसलिए $43361 - (p_1+p_2) + 1 = 42900$.
$43362 - (p_1+p_2) = 42900$.
$p_1+p_2 = 43362 - 42900 = 462$.
इस प्रकार,दो अभाज्य गुणनखंडों का योग $462$ है।

(B) वह सबसे बड़ा $k$ ज्ञात करने के लिए जिसके लिए $24^k$,$13!$ को विभाजित करता है,हम पहले $13!$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13$.
हमारे पास $24^k = (2^3 \times 3)^k = 2^{3k} \times 3^k$ है।
$24^k$ को $13!$ से विभाजित होने के लिए,हमारे पास $3k \le 10$ और $k \le 5$ होना चाहिए।
$3k \le 10$ से,हमें $k \le \frac{10}{3} \approx 3.33$ प्राप्त होता है।
$k \le 5$ से,हमें $k \le 5$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों को पूरा करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $k = 3$ है।

(C) $6$-अंकीय संख्या $ababab$ रूप की है।
$ababab = 10^5 a + 10^4 b + 10^3 a + 10^2 b + 10a + b$
$= 10101(10a + b)$
$= (3 \times 7 \times 13 \times 37)(10a + b)$
संख्या के ठीक $6$ भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होने के लिए,$(10a + b)$ को $2$ भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होना चाहिए और वे अभाज्य संख्याएँ $\{3, 7, 13, 37\}$ में नहीं होनी चाहिए।
ऐसी संभावनाओं की जाँच करने पर कुल $13$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{m}{12} = \frac{12}{n}$ है।
दोनों पक्षों का गुणा करने पर,हमें $mn = 144$ प्राप्त होता है।
$144$ का अभाज्य गुणनखंड $2^4 \times 3^2$ है।
$144$ के धनात्मक भाजकों की संख्या $(4+1)(2+1) = 5 \times 3 = 15$ है।
चूंकि $m$ और $n$ पूर्णांक हैं,वे या तो दोनों धनात्मक हो सकते हैं या दोनों ऋणात्मक।
यदि $m, n > 0$ हैं,तो $15$ संभावित युग्म $(m, n)$ हैं।
यदि $m, n < 0$ हैं,तो भी $15$ संभावित युग्म $(m, n)$ हैं।
अतः,$(m, n)$ के कुल क्रमित युग्मों की संख्या $15 + 15 = 30$ है।

(C) हमें दिया गया है कि $(n+3)$,$(n^3-3)$ को विभाजित करता है।
बहुपद विभाजन का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{n^3-3}{n+3} = \frac{n^3+27-30}{n+3} = (n^2-3n+9) - \frac{30}{n+3}$.
व्यंजक के पूर्णांक होने के लिए,$(n+3)$ को $30$ का भाजक होना चाहिए।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$n \ge 1$,इसलिए $n+3 \ge 4$ होगा।
$30$ के भाजक $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ हैं।
शर्त $n+3 \ge 4$ को ध्यान में रखते हुए,$(n+3)$ के संभावित मान $5, 6, 10, 15, 30$ हैं।
प्रत्येक स्थिति के लिए $n$ का मान:
$n+3 = 5 \Rightarrow n = 2$
$n+3 = 6 \Rightarrow n = 3$
$n+3 = 10 \Rightarrow n = 7$
$n+3 = 15 \Rightarrow n = 12$
$n+3 = 30 \Rightarrow n = 27$
अतः,ऐसे $5$ धनात्मक पूर्णांक $n$ हैं।

(B) $\frac{1}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होने के लिए,$q$ को $2^m 5^n$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $m, n \in \mathbb{W}$ है।
$\sqrt{q}$ के परिमेय होने के लिए,$q$ को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यदि $q = 2^m 5^n$ एक पूर्ण वर्ग है,तो $m$ और $n$ दोनों सम होने चाहिए।
माना $m = 2a$ और $n = 2b$ जहाँ $a, b \in \mathbb{W}$ है।
तब $q = 2^{2a} 5^{2b} = (2^a 5^b)^2$ है।
हमें $1 \leq q \leq 2021$ दिया गया है,इसलिए $1 \leq (2^a 5^b)^2 \leq 2021$,जिसका अर्थ है $1 \leq 2^a 5^b \leq \sqrt{2021} \approx 44.95$ है।
$2^a 5^b \leq 44$ के लिए संभावित मान:
यदि $b=0$: $2^a \leq 44 \Rightarrow a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ (मान: $1, 2, 4, 8, 16, 32$)
यदि $b=1$: $2^a \cdot 5 \leq 44$ $\Rightarrow 2^a \leq 8.8$ $\Rightarrow a \in \{0, 1, 2, 3\}$ (मान: $5, 10, 20, 40$)
यदि $b=2$: $2^a \cdot 25 \leq 44$ $\Rightarrow 2^a \leq 1.76$ $\Rightarrow a = 0$ (मान: $25$)
$2^a 5^b$ के लिए कुल मान $6 + 4 + 1 = 11$ हैं।
अतः,ऐसे $11$ पूर्णांक $q$ हैं।

(B) मल्टीनोमियल विस्तार में सामान्य पद $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} (2x)^{n_1} (x^{-7})^{n_2} (3x^2)^{n_3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ है।
यह $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} 2^{n_1} 3^{n_3} x^{n_1 - 7n_2 + 2n_3}$ में सरल हो जाता है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $n_1 - 7n_2 + 2n_3 = 0$ है।
चूंकि $n_1 + n_2 + n_3 = 5$,हम $n_1 = 5 - n_2 - n_3$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(5 - n_2 - n_3) - 7n_2 + 2n_3 = 0$ $\Rightarrow 5 - 8n_2 + n_3 = 0$ $\Rightarrow n_3 = 8n_2 - 5$।
यदि $n_2 = 1$ है,तो $n_3 = 3$,जिसका अर्थ है कि $n_1 = 5 - 1 - 3 = 1$ है।
इन मानों को गुणांक के सूत्र में रखने पर:
$\frac{5!}{1! 1! 3!} (2)^1 (3)^3 = \frac{120}{6} \times 2 \times 27 = 20 \times 54 = 1080$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^n + \lambda$ है।
दिए गए मानों का उपयोग करने पर:
$f(4) = 2(4^n) + \lambda = 133$ --- $(1)$
$f(5) = 2(5^n) + \lambda = 255$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$2(5^n - 4^n) = 255 - 133 = 122$
$5^n - 4^n = 61$
$n \in N$ के लिए मानों की जाँच करने पर:
$n = 3$ के लिए,$5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61$. अतः,$n = 3$.
$n = 3$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(4^3) + \lambda = 133$
$2(64) + \lambda = 133$
$128 + \lambda = 133 \Rightarrow \lambda = 5$.
अब,$f(3) - f(2)$ की गणना करने पर:
$f(3) = 2(3^3) + 5 = 2(27) + 5 = 59$
$f(2) = 2(2^3) + 5 = 2(8) + 5 = 21$
$f(3) - f(2) = 59 - 21 = 38$.
$38$ के विभाजक $1, 2, 19, 38$ हैं।
इन विभाजकों का योग $1 + 2 + 19 + 38 = 60$ है।

(A) माना $N$ एक $4$-अंकीय संख्या है। हमें दिया गया है कि $\gcd(N, 54) = 2$ है।
चूंकि $54 = 2 \times 3^3$,इसलिए $\gcd(N, 54) = 2$ का अर्थ है कि $N$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए लेकिन $3$ से नहीं।
$4$-अंकों की कुल संख्याएँ $1000$ से $9999$ तक हैं,यानी कुल $9000$ संख्याएँ हैं।
$2$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $\lfloor \frac{9999}{2} \rfloor - \lfloor \frac{999}{2} \rfloor = 4500$ है।
$6$ से विभाज्य ($2$ और $3$ दोनों से विभाज्य) $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $\lfloor \frac{9999}{6} \rfloor - \lfloor \frac{999}{6} \rfloor = 1500$ है।
अतः,$2$ से विभाज्य लेकिन $3$ से विभाज्य न होने वाली $4$-अंकीय संख्याएँ $4500 - 1500 = 3000$ हैं।

(B) $n!$ को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या $p$ की सबसे बड़ी घात ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
यहाँ,$n = 66$ और $p = 3$ है।
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{3^2} \right] + \left[ \frac{66}{3^3} \right]$
$E_3(66!) = \left[ \frac{66}{3} \right] + \left[ \frac{66}{9} \right] + \left[ \frac{66}{27} \right]$
$E_3(66!) = 22 + 7 + 2 = 31$.
अतः,सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या $n$,$31$ है।

(A) $(1-x+2x^3)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{10!}{r_1! r_2! r_3!} (-1)^{r_2} (2)^{r_3} x^{r_2+3r_3}$ है।
यहाँ $r_1+r_2+r_3=10$ और $r_2+3r_3=7$ होना चाहिए।
संभावित हल $(r_1, r_2, r_3)$:
$1$. $r_3=0 \Rightarrow r_2=7, r_1=3$.
$2$. $r_3=1 \Rightarrow r_2=4, r_1=5$.
$3$. $r_3=2 \Rightarrow r_2=1, r_1=7$.
गुणांकों का योग:
स्थिति $1$: $\frac{10!}{3! 7! 0!} (-1)^7 (2)^0 = -120$.
स्थिति $2$: $\frac{10!}{5! 4! 1!} (-1)^4 (2)^1 = 2520$.
स्थिति $3$: $\frac{10!}{7! 1! 2!} (-1)^1 (2)^2 = -1440$.
कुल योग: $-120 + 2520 - 1440 = 960$.

(C) $3$-अंकों की कुल संख्याएँ $999 - 99 = 900$ हैं।
कोई संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है यदि वह $\text{lcm}(2, 3) = 6$ से विभाज्य है।
$6$ से विभाज्य $3$-अंकों की संख्याएँ $\frac{900}{6} = 150$ हैं।
कोई संख्या $4$ और $9$ दोनों से विभाज्य है यदि वह $\text{lcm}(4, 9) = 36$ से विभाज्य है।
$36$ से विभाज्य $3$-अंकों की संख्याएँ $\frac{900}{36} = 25$ हैं।
चूंकि $36$ से विभाज्य प्रत्येक संख्या $6$ से भी विभाज्य होती है,इसलिए $2$ और $3$ से विभाज्य लेकिन $4$ और $9$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $150 - 25 = 125$ हैं।

(B) $50!$ को $3^n$ द्वारा विभाजित करने वाली सबसे बड़ी घात $n$ ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{m}{p^k} \right]$.
यहाँ,$m = 50$ और $p = 3$ है।
$n = \left[ \frac{50}{3} \right] + \left[ \frac{50}{3^2} \right] + \left[ \frac{50}{3^3} \right] + \left[ \frac{50}{3^4} \right]$
$n = 16 + 5 + 1 + 0$
$n = 22$.
अतः,$n$ का अधिकतम मान $22$ है।

(C) हमें $0, 1, 2$ अंकों का उपयोग करके $10$ पदों का एक अनुक्रम बनाना है जिसमें ठीक पाँच $1$,तीन $2$ और शेष दो $0$ $(10 - 5 - 3 = 2)$ हों।
यह बहुसमुच्चय (multiset) के क्रमचय का प्रश्न है।
$5$ एक,$3$ दो और $2$ शून्य को व्यवस्थित करने के तरीके:
$\text{अनुक्रमों की संख्या} = \frac{10!}{5! \times 3! \times 2!}$
गणना:
$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 6 \times 2} = 2520$.

(B) माना कि $3$-अंकों की संख्या $n$ है। दिया गया है कि $\text{gcd}(n, 36) = 2$ है।
चूंकि $36 = 2^2 \times 3^2$,शर्त $\text{gcd}(n, 36) = 2$ का अर्थ है कि $n$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए लेकिन $4$ से नहीं,और $n$ को $3$ से विभाज्य नहीं होना चाहिए।
माना $n = 2k$ है। तब $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $k$,$2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है।
$3$-अंकों की संख्याएँ $[100, 999]$ की सीमा में हैं।
अतः,$100 \le 2k \le 999 \implies 50 \le k \le 499.5$ है।
इस प्रकार,$k \in \{50, 51, \dots, 499\}$ है।
$k$ के कुल मानों की संख्या $450$ है।
हमें $k$ के उन मानों को घटाना होगा जो $2$ या $3$ से विभाज्य हैं।
$S = \{50, 51, \dots, 499\}$ लें।
$S$ में $2$ के गुणज: $225$ हैं।
$S$ में $3$ के गुणज: $150$ हैं।
$S$ में $6$ के गुणज: $75$ हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा,$2$ या $3$ से विभाज्य $k$ की संख्या $225 + 150 - 75 = 300$ है।
अतः,$\text{gcd}(k, 6) = 1$ होने वाले $k$ की संख्या $450 - 300 = 150$ है।

(D) मान लीजिए कि $d$ एक संयुक्त संख्या $a$ का सबसे छोटा भाजक है ताकि $1 < d < a$ हो।
यदि $d > \sqrt{a}$ है,तो दूसरा भाजक $a/d$ भी $\sqrt{a}$ से बड़ा होना चाहिए क्योंकि $a/d < a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$ है।
यह दर्शाता है कि $a/d$ एक भाजक है जो $d$ से छोटा है,जो इस धारणा का खंडन करता है कि $d$,$1$ से बड़ा सबसे छोटा भाजक है।
इसलिए,सबसे छोटा भाजक $d$ को $d \leq \sqrt{a}$ को संतुष्ट करना चाहिए।

(C) हम जानते हैं कि,यदि $a = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot p_{3}^{\alpha_{3}} \dots$
तो $a$ के धनात्मक भाजकों की कुल संख्या $T(a) = (\alpha_{1} + 1)(\alpha_{2} + 1)(\alpha_{3} + 1) \dots$ है।
दिया गया है,$252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7^{1}$
यहाँ,$\alpha_{1} = 2, \alpha_{2} = 2, \alpha_{3} = 1$
$\therefore T(252) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)$
$= 3 \cdot 3 \cdot 2$
$= 18$

(B) महत्तम समापवर्तक $(24, 92)$ ज्ञात करने के लिए,हम यूक्लिड एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
$92 = 3 \times 24 + 20$
$24 = 1 \times 20 + 4$
$20 = 5 \times 4 + 0$
अतः,$(24, 92) = 4$ है।
अब,$4$ को $24$ और $92$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करें:
$4 = 24 - 1 \times 20$
$20 = 92 - 3 \times 24$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = 24 - 1 \times (92 - 3 \times 24)$
$4 = 24 - 92 + 3 \times 24$
$4 = 4 \times 24 - 1 \times 92$
इसे $24m + 92n = 4$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 4$ और $n = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(m, n) = (4, -1)$।

(A) $7^{886}$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $7$ की घातों के अंतिम अंकों का पैटर्न देखते हैं:
$7^{1} = 7$
$7^{2} = 49$ (अंतिम अंक $9$)
$7^{3} = 343$ (अंतिम अंक $3$)
$7^{4} = 2401$ (अंतिम अंक $1$)
अंतिम अंकों का चक्र $(7, 9, 3, 1)$ है,जिसका आवर्तकाल $4$ है।
हम घातांक $886$ को $4$ से विभाजित करते हैं:
$886 = 4 \times 221 + 2$
अतः,$7^{886} = (7^{4})^{221} \times 7^{2}$।
$(7^{4})^{221}$ का अंतिम अंक $1^{221} = 1$ है।
$7^{2}$ का अंतिम अंक $9$ है।
इसलिए,$7^{886}$ का अंतिम अंक $1 \times 9 = 9$ है।

(A) $242$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 11^2$ है।
$242$ के भाजक $1, 2, 11, 22, 121, 242$ हैं।
$1$ और $242$ को छोड़कर भाजक $2, 11, 22, 121$ हैं।
इन भाजकों का योग $2 + 11 + 22 + 121 = 156$ है।

(D) हम $5$ की घातों का अवलोकन करते हैं:
$5^{1} = 5$
$5^{2} = 25$
$5^{3} = 125$
$5^{4} = 625$
यह स्पष्ट है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^{n}$ का इकाई अंक हमेशा $5$ होता है।
अतः,$5^{834}$ के इकाई के स्थान पर $5$ है।

(A) $(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\binom{10+3-1}{3-1} = \binom{12}{2}$।
मान की गणना करने पर: $\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$।

(C) प्रतिबंध $a \equiv b \pmod{x}$ का अर्थ है कि $x$,$(a - b)$ का एक भाजक है।
प्रथम सर्वांगसमता के लिए: $21 \equiv 385 \pmod{x}$,अतः $x$,$(385 - 21) = 364$ को विभाजित करता है।
$364$ के भाजक $1, 2, 4, 7, 13, 14, 26, 28, 52, 91, 182, 364$ हैं।
दूसरी सर्वांगसमता के लिए: $587 \equiv 167 \pmod{x}$,अतः $x$,$(587 - 167) = 420$ को विभाजित करता है।
$420$ के भाजक $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420$ हैं।
$364$ और $420$ का महत्तम समापवर्तक $gcd(364, 420) = 28$ है।
अतः,$x$ का अधिकतम मान $28$ है।