Multinomial theorem, Number of divisors Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $d(n)$,$n$ के धनात्मक भाजकों की संख्या को दर्शाता है।
एक अभाज्य संख्या $P$ के लिए,$P^7$ के भाजक $P^0, P^1, P^2, P^3, P^4, P^5, P^6, P^7$ हैं। अतः,$d(P^7) = 8$.
अब,हम $d(8)$ ज्ञात करते हैं। चूंकि $8 = 2^3$,भाजकों की संख्या $3 + 1 = 4$ है। अतः,$d(8) = 4$.
अंत में,हम $d(4)$ ज्ञात करते हैं। चूंकि $4 = 2^2$,भाजकों की संख्या $2 + 1 = 3$ है। अतः,$d(4) = 3$.
इसलिए,$d(d(d(P^7))) = 3$.

(C) $n!$ में अंतिम शून्यों की संख्या लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी जाती है: $E_5(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor$
हमें $E_5(n!) = 1000$ चाहिए।
विकल्प $C$ $(n=4009)$ की जाँच करने पर:
$E_5(4009!) = \lfloor \frac{4009}{5} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{25} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{125} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{625} \rfloor + \lfloor \frac{4009}{3125} \rfloor$
$= 801 + 160 + 32 + 6 + 1 = 1000$
अतः,$n=4009$ सही उत्तर है।

(D) $9$ छात्रवृत्तियों को $3$ छात्रों के बीच इस प्रकार वितरित करने के लिए कि प्रत्येक छात्र को $3$ छात्रवृत्तियाँ मिलें,हम मल्टीनोमियल गुणांक की अवधारणा का उपयोग करते हैं।
तरीकों की संख्या इस सूत्र द्वारा दी गई है:
$\frac{9!}{3! \times 3! \times 3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $1680$ है।

(D) सबसे पहले,हम $7!$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं।
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
किसी संख्या $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \times p_4^{d}$ के भाजकों की संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=4, b=2, c=1, d=1$ है।
भाजकों की संख्या $= (4+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60$।

(B) सबसे पहले,$1080$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$1080 = 108 \times 10 = (12 \times 9) \times (2 \times 5) = (2^2 \times 3^1 \times 3^2) \times (2^1 \times 5^1) = 2^3 \times 3^3 \times 5^1$.
यदि किसी संख्या $N$ को $p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो धनात्मक भाजकों की संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=3, b=3, c=1$.
भाजकों की संख्या $= (3+1)(3+1)(1+1) = 4 \times 4 \times 2 = 32$.

(C) सबसे पहले,$67500$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$67500 = 675 \times 100 = (25 \times 27) \times (4 \times 25) = 5^2 \times 3^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 3^3 \times 5^4$.
विषम धनात्मक भाजकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम केवल विषम अभाज्य गुणनखंडों पर विचार करते हैं,जो $3$ और $5$ हैं।
विषम भाजक $3^a \times 5^b$ के रूप में होते हैं,जहाँ $0 \le a \le 3$ और $0 \le b \le 4$ है।
$a$ के लिए विकल्पों की संख्या $(3+1) = 4$ है।
$b$ के लिए विकल्पों की संख्या $(4+1) = 5$ है।
अतः,विषम धनात्मक भाजकों की कुल संख्या $4 \times 5 = 20$ है।

(D) सबसे पहले,$6300$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$6300 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$.
कुल भाजकों की संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की (घात $+ 1$) के गुणनफल द्वारा प्राप्त होती है:
कुल भाजक $= (2+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 54$.
विषम भाजक $2$ को छोड़कर प्राप्त होते हैं:
विषम भाजक $= (2+1)(2+1)(1+1) = 18$.
अतः,सम भाजकों की संख्या कुल भाजकों में से विषम भाजकों को घटाने पर प्राप्त होती है:
सम भाजक $= 54 - 18 = 36$.

(C) चूंकि $15 = 3 \times 5$,$47!$ में $15$ का घातांक $5$ के घातांक द्वारा निर्धारित होता है क्योंकि $47!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$,$3$ की तुलना में कम बार आता है।
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,$n!$ में अभाज्य $p$ का घातांक $E_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^i} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
$p=5$ और $n=47$ के लिए:
$E_5(47!) = \left[ \frac{47}{5} \right] + \left[ \frac{47}{25} \right] = 9 + 1 = 10$.
अतः,$47!$ को विभाजित करने वाली $15$ की उच्चतम घात $15^{10}$ है।
इसलिए,$k = 10$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) $m!$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{m}{p^k} \right]$.
यहाँ,$m = 16$ और $p = 2$ है।
$n = \left[ \frac{16}{2} \right] + \left[ \frac{16}{4} \right] + \left[ \frac{16}{8} \right] + \left[ \frac{16}{16} \right]$.
$n = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$.
अतः,$n$ का मान $15$ है।

(B) चूंकि $30^{r}$,$30!$ को विभाजित करता है,और $30 = 2 \times 3 \times 5$ है।
$30^{r} = 2^{r} \times 3^{r} \times 5^{r}$ है,इसलिए $r$ को $30!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $2, 3$ और $5$ के घातांकों में न्यूनतम होना चाहिए।
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,$n!$ में अभाज्य $p$ का घातांक $E_{p}(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^{k}} \rfloor$ है।
$p=5$ के लिए: $E_{5}(30!) = \lfloor \frac{30}{5} \rfloor + \lfloor \frac{30}{25} \rfloor = 6 + 1 = 7$.
$p=3$ के लिए: $E_{3}(30!) = \lfloor \frac{30}{3} \rfloor + \lfloor \frac{30}{9} \rfloor + \lfloor \frac{30}{27} \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14$.
$p=2$ के लिए: $E_{2}(30!) = \lfloor \frac{30}{2} \rfloor + \lfloor \frac{30}{4} \rfloor + \lfloor \frac{30}{8} \rfloor + \lfloor \frac{30}{16} \rfloor = 15 + 7 + 3 + 1 = 26$.
सबसे बड़ा पूर्णांक $r = \min(26, 14, 7) = 7$ है।

(C) दी गई संख्या $N = 2^{\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5} \cdot 3^{\alpha_2+\alpha_5} \cdot 5^{\alpha_4}$ है।
गैर-तुच्छ सम भाजकों की संख्या $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ है,अतः कथन $I$ गलत है।
गैर-तुच्छ विषम भाजकों की संख्या $(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1 = \alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ है,अतः कथन $II$ सही है।

(A) $(x + \frac{2}{x} - 5)^{12}$ के विस्तार में सामान्य पद बहुपदीय प्रमेय (multinomial theorem) द्वारा इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{12!}{a!b!c!} (x)^a (\frac{2}{x})^b (-5)^c$,जहाँ $a+b+c = 12$.
यह सरल होकर $\frac{12!}{a!b!c!} 2^b (-5)^c x^{a-b}$ हो जाता है।
हमें $x^{10}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $a-b = 10$.
$a = b+10$ को $a+b+c = 12$ में रखने पर,हमें $(b+10) + b + c = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2b + c = 2$.
$(a, b, c)$ के लिए संभावित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल हैं:
$1$) यदि $b=0$,तो $c=2$ और $a=10$. पद $\frac{12!}{10!0!2!} (2)^0 (-5)^2 = 66 \times 25 = 1650$ है।
$2$) यदि $b=1$,तो $c=0$ और $a=11$. पद $\frac{12!}{11!1!0!} (2)^1 (-5)^0 = 12 \times 2 = 24$ है।
इनका योग करने पर,गुणांक $1650 + 24 = 1674$ प्राप्त होता है।

(D) $(3+x+x^2)^6$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार $\frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^q \cdot (x^2)^r = \frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^{q+2r}$ है,जहाँ $p+q+r=6$ है।
हमें $x^5$ का गुणांक ज्ञात करना है,इसलिए $q+2r=5$ रखने पर,जिसका अर्थ है $q=5-2r$।
$q$ का मान $p+q+r=6$ में रखने पर,हमें $p+(5-2r)+r=6$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $p=1+r$ हो जाता है।
चूँकि $p, q, r \ge 0$ है,$r$ के लिए संभावित मानों की जाँच करने पर:
$1$) यदि $r=0$,तो $p=1$ और $q=5$। पद $\frac{6!}{1!5!0!} 3^1 = 6 \times 3 = 18$ है।
$2$) यदि $r=1$,तो $p=2$ और $q=3$। पद $\frac{6!}{2!3!1!} 3^2 = 60 \times 9 = 540$ है।
$3$) यदि $r=2$,तो $p=3$ और $q=1$। पद $\frac{6!}{3!1!2!} 3^3 = 60 \times 27 = 1620$ है।
इन गुणांकों का योग करने पर,हमें $18 + 540 + 1620 = 2178$ प्राप्त होता है।

(D) $(1+x^2-x^3)^8$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय द्वारा $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x^2)^{n_2} (-x^3)^{n_3}$ है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ है।
यह $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (-1)^{n_3} x^{2n_2 + 3n_3}$ में सरल होता है।
हमें $x^{10}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $2n_2 + 3n_3 = 10$ रखें।
$(n_2, n_3)$ के लिए संभावित हल:
$1$) यदि $n_3 = 0$,तो $2n_2 = 10 \implies n_2 = 5$. तब $n_1 = 3$. पद $\frac{8!}{3! 5! 0!} (-1)^0 = 56$ है।
$2$) यदि $n_3 = 2$,तो $2n_2 = 4 \implies n_2 = 2$. तब $n_1 = 4$. पद $\frac{8!}{4! 2! 2!} (-1)^2 = 420$ है।
कुल गुणांक: $56 + 420 = 476$।

(B) माना पाँच प्राकृतिक संख्याएँ $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ हैं जहाँ $n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5 = \alpha$ है। दिया गया है कि $n_5 - n_1 = 10$,अतः $n_1 = \alpha - 10$ है।
चूंकि संख्याएँ प्राकृतिक हैं,$n_1 \ge 1$,इसलिए $\alpha \ge 11$ है।
पाँचों संख्याओं का योग $5 \times 40 = 200$ है।
अतः,$(\alpha - 10) + n_2 + n_3 + n_4 + \alpha = 200$,जिसका अर्थ है $n_2 + n_3 + n_4 = 210 - 2\alpha$ है।
चूंकि $n_1 \le n_2 \le n_3 \le n_4 \le n_5$,इसलिए $3n_1 \le n_2 + n_3 + n_4 \le 3n_5$ होगा।
मान रखने पर: $3(\alpha - 10) \le 210 - 2\alpha \le 3\alpha$ है।
$3\alpha - 30 \le 210 - 2\alpha$ से,हमें $5\alpha \le 240$ मिलता है,अर्थात $\alpha \le 48$ है।
$210 - 2\alpha \le 3\alpha$ से,हमें $5\alpha \ge 210$ मिलता है,अर्थात $\alpha \ge 42$ है।
$\alpha$ का अधिकतम मान $48$ है।
$48$ का अभाज्य गुणनखंड $2^4 \times 3^1$ है।
धनात्मक पूर्णांक भाजकों की संख्या $(4+1)(1+1) = 5 \times 2 = 10$ है।

(A) $72!$ में $6$ का घातांक ज्ञात करने के लिए,हमें इसके अभाज्य गुणनखंडों $2$ और $3$ के घातांक ज्ञात करने होंगे।
लेजेंड्रे के सूत्र के अनुसार,$n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
$p=2$ के लिए: $E_2(72!) = \left[ \frac{72}{2} \right] + \left[ \frac{72}{4} \right] + \left[ \frac{72}{8} \right] + \left[ \frac{72}{16} \right] + \left[ \frac{72}{32} \right] + \left[ \frac{72}{64} \right] = 36 + 18 + 9 + 4 + 2 + 1 = 70$.
$p=3$ के लिए: $E_3(72!) = \left[ \frac{72}{3} \right] + \left[ \frac{72}{9} \right] + \left[ \frac{72}{27} \right] = 24 + 8 + 2 = 34$.
चूंकि $6 = 2 \times 3$,इसलिए $72!$ में $6$ का घातांक $\min(E_2(72!), E_3(72!)) = \min(70, 34) = 34$ होगा।

(B) सबसे पहले,हम $13!$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं:
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
$13!$ को $100$ $(2^2 \times 5^2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{13!}{100} = \frac{2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1}{2^2 \times 5^2} = 2^8 \times 3^5 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
कुल भाजकों की संख्या $(8+1)(5+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 9 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2 = 432$ है।
उचित भाजकों की संख्या कुल भाजकों में से संख्या स्वयं और $1$ को घटाकर प्राप्त होती है,इसलिए हम $2$ घटाएंगे:
$432 - 2 = 430$.

(A) सबसे पहले,$360$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$.
भाजक को $3$ का गुणज होने के लिए,इसमें कम से कम एक $3$ का गुणनखंड होना चाहिए।
मान लीजिए भाजक $2^a \times 3^b \times 5^c$ के रूप में है,जहाँ $0 \le a \le 3$,$1 \le b \le 2$,और $0 \le c \le 1$ है।
$a$ के लिए विकल्पों की संख्या $4$ है (अर्थात $0, 1, 2, 3$)।
$b$ के लिए विकल्पों की संख्या $2$ है (अर्थात $1, 2$)।
$c$ के लिए विकल्पों की संख्या $2$ है (अर्थात $0, 1$)।
कुल भाजकों की संख्या = $4 \times 2 \times 2 = 16$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दी गई संख्या $10800$ है।
$10800$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^4 \times 3^3 \times 5^2$ है।
कुल भाजकों की संख्या $(4+1)(3+1)(2+1) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ है।
विषम भाजकों की संख्या केवल विषम अभाज्य गुणनखंडों पर विचार करके प्राप्त की जाती है: $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$।
अतः,$b = 12$।
सम भाजकों की संख्या कुल भाजकों में से विषम भाजकों की संख्या घटाने पर प्राप्त होती है: $a = 60 - 12 = 48$।
इसलिए,$2a + 3b = 2(48) + 3(12) = 96 + 36 = 132$।

(A) सबसे पहले,$216$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$216 = 2^3 \times 3^3$.
एक विषम भाजक में $2$ का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
इसलिए,विषम भाजक केवल $3$ की घातों से बनते हैं।
$3^3$ के गुणनखंड $3^0, 3^1, 3^2, 3^3$ हैं।
ऐसे भाजकों की संख्या $3$ की घात में $1$ जोड़ने पर प्राप्त होती है,जो $3 + 1 = 4$ है।
विषम भाजक $1, 3, 9, 27$ हैं।

(D) सबसे पहले,$831600$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$831600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$.
दो गुणनखंडों के परस्पर अभाज्य होने के लिए,प्रत्येक अभाज्य घात गुणनखंड (जैसे $2^4, 3^3, 5^2, 7^1, 11^1$) को पूरी तरह से दो गुणनखंडों में से एक में होना चाहिए।
यहाँ $5$ अलग-अलग अभाज्य घात गुणनखंड हैं।
इनमें से प्रत्येक $5$ गुणनखंड को या तो पहले गुणनखंड में या दूसरे गुणनखंड में रखा जा सकता है,जिससे $2^5 = 32$ तरीके मिलते हैं।
चूंकि दो गुणनखंडों का क्रम मायने नहीं रखता (क्योंकि $A$ और $B$ में विभाजित करना $B$ और $A$ में विभाजित करने के समान है),इसलिए हम $2!$ से विभाजित करते हैं।
तरीकों की संख्या $= \frac{2^5}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(A) $12600$ का अभाज्य गुणनखंडन $12600 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$ है।
$n_1$ के लिए ($3$ के गुणज वाले भाजक):
एक भाजक $3$ का गुणज तब होता है जब उसमें कम से कम एक $3$ का गुणनखंड हो।
$2$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(3+1) = 4$ है।
$3$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $2$ है ($1$ या $2$)।
$5$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
$7$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(1+1) = 2$ है।
अतः,$n_1 = 4 \times 2 \times 3 \times 2 = 48$।
$n_2$ के लिए ($14$ के गुणज वाले भाजक):
एक भाजक $14 = 2^1 \times 7^1$ का गुणज तब होता है जब उसमें कम से कम एक $2$ और एक $7$ का गुणनखंड हो।
$2$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $3$ है ($1, 2,$ या $3$)।
$3$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
$5$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
$7$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $1$ है $(1)$।
अतः,$n_2 = 3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$।
इसलिए,$n_1 + n_2 = 48 + 27 = 75$।

(D) दी गई संख्या $n = (210)^2(360)(143)$ है।
सबसे पहले,हम $n$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं:
$n = (2 \times 3 \times 5 \times 7)^2 \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = (2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2) \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = 2^5 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11^1 \times 13^1$
$n$ के कुल गुणनखंडों की संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की (घात + $1$) के गुणनफल द्वारा प्राप्त होती है:
कुल गुणनखंड $= (5+1)(4+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)$
कुल गुणनखंड $= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 1440$
तुच्छ गुणनखंड $1$ और $n$ स्वयं हैं।
इसलिए,गैर-तुच्छ गुणनखंडों की संख्या $1440 - 2 = 1438$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) $n!$ के अंत में शून्यों की संख्या $5$ के उस उच्चतम घात द्वारा निर्धारित होती है जो $n!$ को विभाजित करता है,क्योंकि $n!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ की तुलना में $2$ के गुणनखंड हमेशा अधिक होते हैं।
$100!$ में $5$ का घात ज्ञात करने के लिए हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$K = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{5^2} \rfloor$
$K = \lfloor 20 \rfloor + \lfloor 4 \rfloor$
$K = 20 + 4 = 24$.
अतः,$100!$ के अंत में $24$ लगातार शून्य हैं।

(B) $(x+y+z)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या का सूत्र $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ या $^{n+k-1}C_{k-1}$ है,जहाँ $n=5$ और $k=3$ है।
पदों की कुल संख्या $p = {}^{5+3-1}C_{3-1} = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
अतः,$p = 21$.
मल्टीनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x-2y+3z)^5$ में $x^2 y^1 z^2$ का गुणांक $q = \frac{5!}{2!1!2!} (1)^2 (-2)^1 (3)^2$ है।
$q = \frac{120}{4} \times (-2) \times 9 = 30 \times (-18) = -540$.
इसलिए,$\frac{q}{p} = \frac{-540}{21} = -\frac{180}{7}$.

(B) हमारे पास बहुपदीय विस्तार का सूत्र है:
$(x y+y z+z x)^6 = \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} (x y)^r (y z)^s (z x)^t$
$= \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} x^{r+t} y^{r+s} z^{s+t}$
$x^3 y^4 z^5$ पद के लिए,घातांकों की तुलना करने पर:
$r+t=3$
$r+s=4$
$s+t=5$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(r+s+t) = 12 \implies r+s+t = 6$।
समीकरणों को हल करने पर:
$s = 6 - 3 = 3$
$t = 6 - 4 = 2$
$r = 6 - 5 = 1$
अतः,गुणांक $\frac{6!}{1! 3! 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2025}$ है।
इसे $\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2025}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $xy - 2025x - 2025y = 0$.
दोनों पक्षों में $2025^2$ जोड़ने पर,हमें $xy - 2025x - 2025y + 2025^2 = 2025^2$ प्राप्त होता है।
इसके गुणनखंड $(x - 2025)(y - 2025) = 2025^2$ होते हैं।
मान लीजिए $X = x - 2025$ और $Y = y - 2025$. तो $XY = 2025^2$.
चूंकि $2025 = 3^4 \times 5^2$,इसलिए $2025^2 = 3^8 \times 5^4$ है।
$2025^2$ के भाजकों की संख्या $(8+1)(4+1) = 9 \times 5 = 45$ है।
चूंकि $x, y > 0$,इसलिए $x > 2025$ और $y > 2025$ होना चाहिए,अतः $X, Y > 0$.
इस प्रकार,धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $45$ है।

(B) माना $f(n) = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$। यह तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य है। अतः,$\alpha = 6$।
माना $g(n) = 2n(n^2+2) = 2n^3 + 4n$।
$n=1$ के लिए,$g(1) = 2(1)(1+2) = 6$।
$n=2$ के लिए,$g(2) = 2(2)(4+2) = 24$।
$n=3$ के लिए,$g(3) = 2(3)(9+2) = 66$।
इन मानों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $\beta = 6$ है।
अतः,$\alpha \beta = 6 \times 6 = 36$।

(A) $2520$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ है।
कुल भाजकों की संख्या $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48$ है।
उचित भाजकों की संख्या $48 - 2 = 46$ है।
विषम भाजकों की संख्या $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ है।
इन $12$ भाजकों में $1$ भी शामिल है,जो उचित भाजकों में गिना जाता है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{12-1}{46} = \frac{11}{46}$ है।

(A) $N!$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(N!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{N}{p^k} \right]$.
यहाँ,$N = 1000$ और $p = 3$ है।
$E_3(1000!) = \left[ \frac{1000}{3} \right] + \left[ \frac{1000}{9} \right] + \left[ \frac{1000}{27} \right] + \left[ \frac{1000}{81} \right] + \left[ \frac{1000}{243} \right] + \left[ \frac{1000}{729} \right]$.
प्रत्येक पद की गणना:
$333 + 111 + 37 + 12 + 4 + 1 = 498$.
अतः,$n = 498$.

(D) $100!$ के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $5$ की उच्चतम घात का घातांक ज्ञात करना होगा जो $100!$ को विभाजित करती है,जिसे $E_5(100!)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$.
$n = 100$ और $p = 5$ के लिए:
$E_5(100!) = \left[ \frac{100}{5} \right] + \left[ \frac{100}{25} \right] + \left[ \frac{100}{125} \right]$
$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 = 24$.
अतः,$100!$ के अंत में $24$ शून्य हैं।

(C) $n = p_1^{a} \times p_2^{b} \times \dots$ के लिए भाजकों की संख्या $d(n) = (a+1)(b+1) \dots$ द्वारा दी जाती है। \\ $225 = 3^2 \times 5^2 \Rightarrow d(225) = (2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ \\ $1125 = 3^2 \times 5^3 \Rightarrow d(1125) = (2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$ \\ $640 = 2^7 \times 5^1 \Rightarrow d(640) = (7+1)(1+1) = 8 \times 2 = 16$ \\ अनुक्रम $9, 12, 16$ है। \\ $GP$ के लिए जाँच: $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ और $\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$। \\ चूँकि सार्व अनुपात समान है,इसलिए $9, 12, 16$ $GP$ में हैं।

(C) $(bc + ca + ab)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार है: $\frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} (bc)^{n_1} (ca)^{n_2} (ab)^{n_3} = \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} a^{n_2+n_3} b^{n_1+n_3} c^{n_1+n_2}$,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 10$ है।
हमें $a^{10} b^7 c^3$ का गुणांक चाहिए। घातों की तुलना करने पर:
$n_2 + n_3 = 10$
$n_1 + n_3 = 7$
$n_1 + n_2 = 3$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2(n_1 + n_2 + n_3) = 20$,जो $n_1 + n_2 + n_3 = 10$ के साथ संगत है।
$n_1, n_2, n_3$ के लिए हल करने पर:
$n_1 + n_2 + n_3 = 10$ और $n_2 + n_3 = 10$ से,हमें $n_1 = 0$ प्राप्त होता है।
$n_1 = 0$ को $n_1 + n_2 = 3$ में रखने पर,हमें $n_2 = 3$ प्राप्त होता है।
$n_2 = 3$ को $n_2 + n_3 = 10$ में रखने पर,हमें $n_3 = 7$ प्राप्त होता है।
गुणांक $\frac{10!}{0! 3! 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ है।

(C) $(bc + ca + ab)^{6}$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय द्वारा $\frac{6!}{p! q! r!} (bc)^{p} (ca)^{q} (ab)^{r} = \frac{6!}{p! q! r!} a^{q+r} b^{p+r} c^{p+q}$ है।
हमें $a^{3} b^{4} c^{5}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए घातों की तुलना करने पर:
$q + r = 3$
$p + r = 4$
$p + q = 5$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(p + q + r) = 12$,अतः $p + q + r = 6$.
प्रत्येक समीकरण को योग से घटाने पर:
$p = 3, q = 2, r = 1$
गुणांक $\frac{6!}{3! 2! 1!} = 60$ है।

(D) हमें $n$ का वह सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $40^n$,$60!$ को विभाजित करता है।
$40^n = (2^3 \times 5)^n = 2^{3n} \times 5^n$.
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,$m!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{m}{p^k} \rfloor$ है।
$p=2$ के लिए: $E_2(60!) = \lfloor \frac{60}{2} \rfloor + \lfloor \frac{60}{4} \rfloor + \lfloor \frac{60}{8} \rfloor + \lfloor \frac{60}{16} \rfloor + \lfloor \frac{60}{32} \rfloor = 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56$.
$p=5$ के लिए: $E_5(60!) = \lfloor \frac{60}{5} \rfloor + \lfloor \frac{60}{25} \rfloor = 12 + 2 = 14$.
हमें $3n \le 56$ और $n \le 14$ की आवश्यकता है।
$3n \le 56$ से,हमें $n \le \lfloor \frac{56}{3} \rfloor = 18$ प्राप्त होता है।
$n \le 14$ से,सीमित मान $n = 14$ है।

(A) दिया गया सर्वसमिका $(1-x^3)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$ है।
हम जानते हैं कि $(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)$ होता है।
अतः,$(1-x^3)^{10} = (1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10}$।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1-x)^{10} (1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{30-2r}$।
दोनों पक्षों को $(1-x)^{10}$ से विभाजित करने पर,हमें $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{10} a_r x^r (1-x)^{20-2r}$ प्राप्त होता है।
$r=10$ के लिए,पद $a_{10} x^{10} (1-x)^0 = a_{10} x^{10}$ है। $(1+x+x^2)^{10}$ में $x^{10}$ का गुणांक $a_{10}$ है।
मल्टिनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x+x^2)^{10}$ में $x^{10}$ का गुणांक $\sum \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!}$ है जहाँ $n_1+n_2+n_3=10$ और $n_2+2n_3=10$ है।
$a_9$ के लिए,हम विस्तार में $x^9$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
गुणांकों की गणना करने के बाद,हमें $a_{10} = 1$ और $a_9 = 1/9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{9a_9}{a_{10}} = \frac{9(1/9)}{1} = 1$।