Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(B) बनाए जा सकने वाले संकेतों की संख्या $8$ अलग-अलग झंडों में से $5$ झंडों को चुनकर की गई व्यवस्थाओं की संख्या है।
यह क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 5$ है।
अतः,संकेतों की संख्या = $^8P_5 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$.

(B) $6$ पत्र और $3$ डाक-पेटियाँ हैं।
प्रत्येक पत्र को $3$ डाक-पेटियों में से किसी में भी डाला जा सकता है।
पहले पत्र के लिए $3$ विकल्प हैं।
दूसरे पत्र के लिए $3$ विकल्प हैं।
यह प्रक्रिया सभी $6$ पत्रों के लिए जारी रहती है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$ है।

(A) $MISSISSIPPI$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
सबसे पहले,$S$ को छोड़कर अन्य अक्षरों $M, I, I, I, I, P, P$ को व्यवस्थित करते हैं,जिनकी संख्या $7$ है।
इन $7$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{7!}{4! \times 2!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{2} = 105$ हैं।
ध्यान दें कि $105 = 7 \times 3 \times 5 = 7 \times ^6C_4$ है।
अब,यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $S$ एक साथ न हों,हम $4$ $S$ को $7$ अक्षरों द्वारा बनाई गई $8$ रिक्तियों (सिरों सहित) में रखते हैं।
$8$ रिक्तियों में से $4$ रिक्तियों को चुनने के तरीके $^8C_4$ हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $7 \times ^6C_4 \times ^8C_4$ है।

(D) $SACHIN$ शब्द के अक्षरों को वर्णमाला के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, C, H, I, N, S$ प्राप्त होते हैं।
$S$ से पहले आने वाले अक्षर $A, C, H, I, N$ हैं।
प्रत्येक अक्षर से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या $5!$ है।
अतः,$S$ से पहले आने वाले कुल शब्द = $5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$ हैं।
इसके बाद आने वाला अगला शब्द $SACHIN$ स्वयं है।
इसलिए,$SACHIN$ का स्थान $600 + 1 = 601$ है।

(C) $EAMCET$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $E, A, M, C, E, T$।
स्वर $3$ हैं $(E, A, E)$ और व्यंजन $3$ हैं $(M, C, T)$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो स्वर एक साथ न हों,पहले $3$ व्यंजनों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
यह $4$ रिक्त स्थान बनाता है: $\_ C \_ C \_ C \_$।
इन $4$ स्थानों में $3$ स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीके $^4P_3 = 24$ हैं।
चूंकि दो स्वर $(E, E)$ समान हैं,इसलिए हम $2!$ से विभाजित करेंगे।
कुल व्यवस्था = $3! \times \frac{^4P_3}{2!} = 6 \times 12 = 72$।

(C) $TRIANGLE$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $T, R, I, A, N, G, L, E$.
इसमें $3$ स्वर $(I, A, E)$ और $5$ व्यंजन $(T, R, N, G, L)$ हैं।
पहले,$5$ व्यंजनों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित करें: $5! = 120$।
ये $5$ व्यंजन $6$ रिक्त स्थान बनाते हैं जहाँ $3$ स्वरों को रखा जा सकता है: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
$6$ स्थानों में से $3$ स्वरों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ हैं।
कुल व्यवस्था = $120 \times 120 = 14400$।

(C) संख्या में $2$ समान अंकों के जोड़े और $2$ भिन्न अंक होते हैं।
चरण $1$: $4$ उपलब्ध अंकों में से $2$ अंक चुनें जो जोड़े बनाएंगे: $^4C_2 = 6$ तरीके।
चरण $2$: शेष $2$ अंकों में से $2$ भिन्न अंक चुनें: $^2C_2 = 1$ तरीका।
चरण $3$: इन $6$ अंकों की व्यवस्था (जहाँ $2$ जोड़े समान हैं): $\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{4} = 180$ तरीके।
कुल संख्या = $6 \times 1 \times 180 = 1080$।

(A) एकांतर व्यवस्था के लिए दो संभावित पैटर्न हैं:
$1$. $B G B G B G B G B G$
$2$. $G B G B G B G B G B$
पहले पैटर्न में,$5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
पहले पैटर्न के लिए कुल व्यवस्था $= 5! \times 5!$.
इसी प्रकार,दूसरे पैटर्न के लिए कुल व्यवस्था $= 5! \times 5!$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 5! \times 5! + 5! \times 5! = 2 \times (5!)^2$.

(A) $BANANA$ शब्द में कुल $6$ अक्षर हैं,जिसमें $A$ तीन बार,$N$ दो बार और $B$ एक बार आता है।
क्रमचयों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\frac{n!}{p!q!r!}$ है।
यहाँ,$n = 6$,$p = 3$ ($A$ के लिए) और $q = 2$ ($N$ के लिए)।
कुल क्रमचयों की संख्या $= \frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60$.

(D) दिया गया समीकरण: $4 \times ^{15}P_r = 3 \times ^{16}P_{r-1}$
सूत्र $^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$4 \times \frac{15!}{(15-r)!} = 3 \times \frac{16!}{(17-r)!}$
$4 \times \frac{15!}{(15-r)!} = 3 \times \frac{16 \times 15!}{(17-r)(16-r)(15-r)!}$
दोनों पक्षों को $15!$ से विभाजित करने पर:
$4 = \frac{48}{(17-r)(16-r)}$
$(17-r)(16-r) = 12$
$(17-r)(16-r) = 4 \times 3$
तुलना करने पर,$r = 13$ प्राप्त होता है।

(C) क्रमचय (permutation) का सूत्र $_{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
दिया गया है $_{12}P_r = 1320$.
हम जानते हैं कि $_{12}P_r = 12 \times 11 \times 10 \times \dots \times (12-r+1)$.
$12$ से शुरू होने वाले क्रमिक पूर्णांकों का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$12 \times 11 = 132$
$12 \times 11 \times 10 = 1320$
चूंकि $3$ पदों का गुणनफल $1320$ है,इसलिए $r = 3$।

(C) $EAMCET$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $E, A, M, C, E, T$।
यहाँ $3$ स्वर $(E, A, E)$ और $3$ व्यंजन $(M, C, T)$ हैं।
पहले $3$ व्यंजनों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इन व्यंजनों के बीच और सिरों पर कुल $4$ स्थान बनते हैं: $\_ M \_ C \_ T \_$।
हमें $3$ स्वरों को इन $4$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो स्वर एक साथ न हों।
$4$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^4C_3 = 4$ हैं।
चूंकि $3$ स्वरों $(E, A, E)$ में $2$ स्वर समान हैं,इसलिए उन्हें व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
कुल व्यवस्था = $3! \times ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} = 6 \times 4 \times 3 = 72$।

(A) $COURTESY$ शब्द में $8$ भिन्न अक्षर हैं: $C, O, U, R, T, E, S, Y$.
चूंकि पहला अक्षर $C$ और अंतिम अक्षर $Y$ निश्चित है,इसलिए ये दो स्थान स्थिर हैं.
हमारे पास शेष $6$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के लिए $6$ अक्षर बचे हैं.
$6$ भिन्न अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $6!$ है.

(A) $UNIVERSAL$ शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$।
$3$ अक्षरों का शब्द बनाने के लिए,हमें $9$ में से $3$ अक्षरों को चुनकर व्यवस्थित करना होगा।
$n$ अलग वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है।
शब्दों की कुल संख्या $= P(9, 3) = 9 \times 8 \times 7 = 504$।

(C) $RACHIT$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम है: $A, C, H, I, R, T$.
$A$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या: $5! = 120$
$C$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या: $5! = 120$
$H$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या: $5! = 120$
$I$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या: $5! = 120$
इसके बाद,$R$ से शुरू होने वाले शब्द आते हैं। $R$ से शुरू होने वाला पहला शब्द $RACHIT$ है।
अतः,$RACHIT$ शब्द का रैंक $(4 \times 120) + 1 = 480 + 1 = 481$ है।

(A) यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य है,तो वह पूरी संख्या $4$ से विभाज्य होती है।
${1, 2, 3, 4, 5}$ अंकों का उपयोग करके $4$ से विभाज्य $2$ अंकों की संभावित संख्याएँ हैं:
$12, 24, 32, 52$.
ऐसी $4$ जोड़ियाँ हैं।
प्रत्येक जोड़ी के लिए,शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल संख्याएँ = $(\text{जोड़ियों की संख्या}) \times (3!) = 4 \times 6 = 24$.

(B) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक साथ लेने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या $n!$ होती है।
यहाँ,$n = 3$ (अक्षर $A, B, C$)।
अतः,क्रमचयों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
संभावित क्रमचय हैं: $ABC, ACB, BCA, BAC, CBA, CAB$।

(B) चरण $1$: $6$ व्यंजन में से $4$ व्यंजन चुनने के तरीके: $\binom{6}{4} = 15$.
चरण $2$: $5$ स्वर में से $3$ स्वर चुनने के तरीके: $\binom{5}{3} = 10$.
चरण $3$: अक्षरों को चुनने के कुल तरीके = $15 \times 10 = 150$.
चरण $4$: इन $7$ चुने गए अक्षरों को $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$7! = 5040$.
चरण $5$: कुल शब्दों की संख्या = $150 \times 5040 = 756000$.

(A) $5000$ और $10000$ के बीच की संख्याएँ $4$ अंकों की होती हैं।
हजार के स्थान को $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ में से किसी भी अंक द्वारा भरा जा सकता है,जो $5$ विकल्प देता है।
चूंकि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होती है,इसलिए शेष $3$ स्थानों को भरने के लिए हमारे पास $8$ अंक शेष हैं।
$8$ अंकों का उपयोग करके शेष $3$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $^8P_3$ है।
अतः,ऐसी कुल संख्याएँ $5 \times ^8P_3$ हैं।

(A) प्रत्येक $5$ पुरस्कार $4$ लड़कों में से किसी को भी दिया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पुरस्कार $4$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है,इसलिए $5$ पुरस्कारों को वितरित करने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ हैं।
$4^5 = 1024$.

(B) $ARRANGE$ शब्द में अक्षर $A, A, R, R, N, G, E$ हैं। कुल अक्षर = $7$ हैं। अक्षरों की आवृत्ति $A: 2, R: 2, N: 1, G: 1, E: 1$ है।
शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, A, E, G, N, R, R$।
गणना करने पर,$ARRANGE$ शब्द का स्थान $341$ प्राप्त होता है।

(A) $10$ भिन्न अक्षरों का उपयोग करके (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $5$ अक्षरों वाले शब्दों की कुल संख्या = $10^5 = 100000$.
बिना किसी पुनरावृत्ति के $10$ भिन्न अक्षरों से बनने वाले $5$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या = $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$.
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या = कुल शब्द - बिना पुनरावृत्ति वाले शब्द।
अभीष्ट शब्दों की संख्या = $100000 - 30240 = 69760$.

(B) भौतिकी की छात्रवृत्ति $3$ आवेदकों में से किसी एक को दी जा सकती है,जिसे $3$ तरीकों से किया जा सकता है।
गणित की छात्रवृत्ति $5$ आवेदकों में से किसी एक को दी जा सकती है,जिसे $5$ तरीकों से किया जा सकता है।
रसायन विज्ञान की छात्रवृत्ति $4$ आवेदकों में से किसी एक को दी जा सकती है,जिसे $4$ तरीकों से किया जा सकता है।
चूंकि हमें प्रत्येक विषय में एक छात्रवृत्ति प्रदान करनी है,इसलिए हम गुणन के मूलभूत सिद्धांत का उपयोग करते हैं।
कुल तरीके $= 3 \times 5 \times 4 = 60$.

(B) कुल अंकों की संख्या $5$ है,जिसमें $5$ अंक $2$ बार दोहराया गया है।
क्रमचय की संख्या ज्ञात करने का सूत्र:
$N = \frac{n!}{p!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

(C) $GARDEN$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $G, A, R, D, E, N$.
शब्द में स्वर $A$ और $E$ हैं।
$6$ अक्षरों के कुल विन्यास $6! = 720$ हैं।
किसी भी विन्यास में,स्वरों $A$ और $E$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है: $(A, E)$ या $(E, A)$।
चूंकि हमें स्वरों को वर्णानुक्रम में रखना है,इसलिए हम केवल उस स्थिति पर विचार करेंगे जिसमें $A, E$ से पहले आता है।
समरूपता के अनुसार,कुल विन्यासों में से आधे में $A, E$ से पहले आएगा और बाकी आधे में $E, A$ से पहले आएगा।
अतः,उन विन्यासों की संख्या जिनमें $A, E$ से पहले आता है,$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।

(A) विशेष अतिथि को विशेष कुर्सी पर बैठना होगा,जो $1$ तरीके से किया जा सकता है।
अब,$8$ कुर्सियाँ और $5$ लोग शेष बचते हैं।
$8$ कुर्सियों में $5$ लोगों को बैठाने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 5$ है।
कुल तरीके = $P(8, 5) = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ तरीके।

(C) हमें ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$ अंकों का उपयोग करके $4$ अंकों की संख्याएँ बनानी हैं।
$6$ अंकों में से $4$ अंकों के कुल क्रमचय $^6P_4 = \frac{6!}{2!} = 360$ हैं।
हालाँकि,$4$ अंकों की संख्या में हजार के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता है।
हजार के स्थान पर $0$ वाले क्रमचयों की संख्या $^5P_3 = \frac{5!}{2!} = 60$ है।
अतः,कुल मान्य $4$ अंकों की संख्याएँ $360 - 60 = 300$ हैं।

(B) दिया गया है कि $a = {}^{x+2}P_{x+2} = (x+2)!$
$b = {}^{x}P_{11} = \frac{x!}{(x-11)!}$
$c = {}^{x-11}P_{x-11} = (x-11)!$
समीकरण $a = 182bc$ के अनुसार:
$(x+2)! = 182 \times \frac{x!}{(x-11)!} \times (x-11)!$
$(x+2)(x+1)x! = 182 \times x!$
$(x+2)(x+1) = 182$
चूंकि $182 = 14 \times 13$,इसलिए $(x+2)(x+1) = 14 \times 13$.
तुलना करने पर,$x+2 = 14$ या $x+1 = 13$.
अतः,$x = 12$.

(B) पुस्तकों की कुल संख्या $n = a + 2 + 3 + 1 = a + 6$ है।
चूंकि $a$ पुस्तकें प्रकार $A$ की,$2$ समान पुस्तकें प्रकार $B$ की,$3$ समान पुस्तकें प्रकार $C$ की और $1$ पुस्तक प्रकार $D$ की है,इसलिए कुल व्यवस्थाओं की संख्या:
$P = \frac{n!}{n_1! n_2! n_3! n_4!} = \frac{(a + 6)!}{a! 2! 3! 1!}$ होगी।
अतः,सही उत्तर $\frac{(a + 6)!}{a! 2! 3!}$ है।

(A) गेंदों की कुल संख्या $5 + 4 + 1 = 10$ है।
चूंकि $5$ लाल,$4$ नीली और $1$ हरी गेंद है,इसलिए व्यवस्थित करने के कुल तरीके:
$\frac{10!}{5! \times 4! \times 1!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 1260$.

(A) $3000$ और $4000$ के बीच की संख्या के लिए,हजार के स्थान पर $3$ होना चाहिए।
$5$ से विभाज्य संख्या के लिए,इकाई के स्थान पर $0$ या $5$ होना चाहिए। दिए गए अंकों में $0$ नहीं है,इसलिए इकाई के स्थान पर $5$ होना चाहिए।
अतः,हजार का स्थान $3$ और इकाई का स्थान $5$ निश्चित है।
शेष दो स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को शेष $4$ अंकों $(4, 6, 7, 8)$ का उपयोग करके बिना दोहराव के भरना है।
इन $2$ स्थानों को भरने के तरीके $^4P_2$ हैं।
$^4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$.
इसलिए,कुल $12$ संख्याएँ प्राप्त होंगी।

(D) $MATHEMATICS$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$। इसमें $3$ जोड़े समान अक्षरों के $(M, A, T)$ और $5$ अलग-अलग अक्षर $(H, E, I, C, S)$ हैं।
स्थिति $I$: दो अक्षर एक प्रकार के और दो दूसरे प्रकार के।
तरीकों की संख्या $= ^3C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $II$: दो अक्षर एक प्रकार के और दो अलग-अलग।
तरीकों की संख्या $= ^3C_1 \times ^7C_2 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 21 \times 12 = 756$।
स्थिति $III$: चारों अक्षर अलग-अलग हों।
तरीकों की संख्या $= ^8C_4 \times 4! = 70 \times 24 = 1680$।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 18 + 756 + 1680 = 2454$।

(A) $BANANA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $3$ $A$,$2$ $N$ और $1$ $B$।
कुल विन्यासों की संख्या $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ है।
जब दोनों $N$ एक साथ हों,तो उन्हें एक इकाई $(NN)$ के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ होती हैं: $(NN), A, A, A, B$।
ऐसे विन्यासों की संख्या $\frac{5!}{3!1!} = \frac{120}{6} = 20$ है।
अतः,वे विन्यास जिनमें दोनों $N$ एक साथ न हों,उनकी संख्या $= 60 - 20 = 40$ है।

(B) $5$ बड़े जानवरों को $6$ बड़े पिंजरों में रखा जाना चाहिए। यह $_6P_5$ तरीकों से किया जा सकता है।
इसके बाद,शेष $5$ जानवरों के लिए $4$ छोटे और $1$ बड़ा पिंजरा बचा है,यानी कुल $5$ पिंजरे,जिन्हें $5!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,कुल तरीके = $_6P_5 \times 5!$.
$_6P_5 = 720$ और $5! = 120$.
कुल तरीके = $720 \times 120 = 86400$.

(A) $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों में से बिना पुनरावृत्ति के $4$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें $7$ में से $4$ अंकों का चयन करके उन्हें व्यवस्थित करना होगा।
$7$ में से $4$ अंकों के चयन और व्यवस्था की संख्या क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 7$ और $r = 4$ है।
तरीकों की संख्या = $^7P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$
सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} \times \frac{(54-(r+3))!}{54!} = 30800$
$\frac{56!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\frac{56 \times 55 \times 54!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)(50-r)!}{54!} = 30800$
$56 \times 55 \times (51-r) = 30800$
$3080 \times (51-r) = 30800$
$51-r = \frac{30800}{3080}$
$51-r = 10$
$r = 51 - 10 = 41$

(B) समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ से भिन्न अंकों वाली $8$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता है।
पहले अंक के लिए $9$ विकल्प हैं ($1$ से $9$ तक के अंक)।
शेष $7$ स्थानों के लिए,हमें शेष $9$ उपलब्ध अंकों (जिसमें $0$ शामिल है) में से $7$ अंकों को चुनकर व्यवस्थित करना होगा।
शेष $7$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $^9P_7$ है।
अतः,$8$ अंकों की कुल संख्या $9 \times ^9P_7$ है।
गणना: $9 \times \frac{9!}{(9-7)!} = 9 \times \frac{9!}{2!} = \frac{9 \times 9!}{2}$.

(D) $1$ और $2$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $5$ अंकों की कुल संख्याएँ $2^5 = 32$ हैं।
वे संख्याएँ जिनमें सभी अंक समान हैं,वे $(1, 1, 1, 1, 1)$ और $(2, 2, 2, 2, 2)$ हैं।
हमें ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनमें केवल एक अंक भिन्न हो। इसका अर्थ है कि $4$ अंक समान हैं और $1$ अंक भिन्न है।
स्थिति $1$: चार $1$ और एक $2$। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{4!1!} = 5$ है।
स्थिति $2$: चार $2$ और एक $1$। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{4!1!} = 5$ है।
कुल ऐसी संख्याएँ = $5 + 5 = 10$।

(C) $COCHIN$ शब्द के अक्षर $\{C, C, H, I, N, O\}$ हैं।
कुल क्रमचयों की संख्या = $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
$COCHIN$ से पहले आने वाले शब्दों को खोजने के लिए,अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करें: $C, C, H, I, N, O$.
$1$. $C$ से शुरू होने वाले शब्द (उसके बाद $C$): शेष अक्षर $\{H, I, N, O\}$ हैं। शब्दों की संख्या = $4! = 24$.
$2$. $CH$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $\{C, I, N, O\}$ हैं। शब्दों की संख्या = $4! = 24$.
$3$. $CI$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $\{C, H, N, O\}$ हैं। शब्दों की संख्या = $4! = 24$.
$4$. $CN$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $\{C, H, I, O\}$ हैं। शब्दों की संख्या = $4! = 24$.
$COCHIN$ से पहले कुल शब्द = $24 + 24 + 24 + 24 = 96$.

(B) $MOBILE$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M, O, B, I, L, E$.
व्यंजन $M, B, L$ ($3$ अक्षर) हैं और स्वर $O, I, E$ ($3$ अक्षर) हैं।
कुल $6$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$।
विषम स्थान $1, 3, 5$ हैं ($3$ स्थान) और सम स्थान $2, 4, 6$ हैं ($3$ स्थान)।
व्यंजन विषम स्थानों पर होने चाहिए,जिसे $3!$ तरीकों से किया जा सकता है।
स्वर शेष सम स्थानों पर होने चाहिए,जिसे $3!$ तरीकों से किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या $= 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$।

(B) $10000$ से छोटी संख्याएँ $1, 2, 3,$ या $4$ अंकों की हो सकती हैं।
$1$ अंक की संख्याएँ: अंक $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हो सकते हैं। कुल $= 7$.
$2$ अंकों की संख्याएँ: पहला स्थान $7$ तरीकों से और दूसरा स्थान $8$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 7 \times 8 = 56$.
$3$ अंकों की संख्याएँ: पहला स्थान $7$ तरीकों से और बाकी दो स्थान $8$ तरीकों से भरे जा सकते हैं। कुल $= 7 \times 8 \times 8 = 448$.
$4$ अंकों की संख्याएँ: पहला स्थान $7$ तरीकों से और बाकी तीन स्थान $8$ तरीकों से भरे जा सकते हैं। कुल $= 7 \times 8 \times 8 \times 8 = 3584$.
कुल संख्याएँ $= 7 + 56 + 448 + 3584 = 4095$.

(C) दिया गया अनुपात $^nP_4 : ^nP_5 = 1 : 2$ है।
सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-4)!} \div \frac{n!}{(n-5)!} = \frac{1}{2}$
$\frac{n!}{(n-4)!} \times \frac{(n-5)!}{n!} = \frac{1}{2}$
$\frac{(n-5)!}{(n-4)(n-5)!} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{n-4} = \frac{1}{2}$
$n - 4 = 2$
$n = 6$

(B) $10$ लाख से बड़ी संख्या में कम से कम $7$ अंक होने चाहिए।
हमारे पास कुल $7$ अंक $(2, 3, 0, 3, 4, 2, 3)$ हैं,इसलिए इन सभी अंकों का उपयोग करके बनने वाली प्रत्येक $7$ अंकों की संख्या $10$ लाख से बड़ी होगी,बशर्ते पहला अंक $0$ न हो।
कुल क्रमचय (permutations) $= \frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{5040}{12} = 420$.
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ (जो $6$ अंकों की मानी जाएँगी) $= \frac{6!}{2! \times 3!} = \frac{720}{12} = 60$.
अतः,अभीष्ट संख्या $= 420 - 60 = 360$.

(C) हम जानते हैं कि क्रमचय (permutation) का सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
व्यंजक $(n - r + 1) \times ^nP_{r - 1}$ पर विचार करें।
सूत्र का उपयोग करते हुए,$^nP_{r-1} = \frac{n!}{(n - (r - 1))!} = \frac{n!}{(n - r + 1)!}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$(n - r + 1) \times \frac{n!}{(n - r + 1)!} = (n - r + 1) \times \frac{n!}{(n - r + 1) \times (n - r)!}$।
अंश और हर से $(n - r + 1)$ पद को काटने पर:
$= \frac{n!}{(n - r)!} = ^nP_r$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) उपलब्ध विषम अंक $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं। कुल $5$ अंक हैं।
$6$ अंकों की संख्या बनाने के लिए जिसमें सभी विषम अंक कम से कम एक बार आएँ,एक अंक की पुनरावृत्ति आवश्यक है।
चरण $1$: $5$ विषम अंकों में से दोहराए जाने वाले अंक को चुनने के तरीके = $^5C_1 = 5$।
चरण $2$: इन $6$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके (जहाँ एक अंक दो बार आता है) = $\frac{6!}{2!}$।
कुल संख्या = $5 \times \frac{6!}{2!} = 1800$।

(B) कुल अक्षरों की संख्या $6$ $(a, b, c, d, e, f)$ है। स्वर $a, e$ ($2$ स्वर) हैं और व्यंजन $b, c, d, f$ ($4$ व्यंजन) हैं।
$6$ अक्षरों में से $3$ अक्षरों के बिना पुनरावृत्ति वाले कुल विन्यास $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
बिना किसी स्वर वाले विन्यास (अर्थात तीनों व्यंजन हों) $= ^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
अतः,कम से कम एक स्वर वाले विन्यास की संख्या $= 120 - 24 = 96$.

(B) $ARTICLE$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $A, R, T, I, C, L, E$.
इसमें $3$ स्वर $(A, I, E)$ और $4$ व्यंजन $(R, T, C, L)$ हैं।
$7$ अक्षरों वाले शब्द में,सम स्थान $2, 4, 6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
$3$ स्वरों को इन $3$ सम स्थानों पर $^3P_3 = 3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $4$ व्यंजनों को $4$ विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7)$ पर $^4P_4 = 4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$।