Definition of combinations, Condition combinations Questions in Hindi

(B) $n$ अवयवों वाले समुच्चय के $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $\binom{n}{m}$ होती है।
एक विशिष्ट अवयव $a_{4}$ को समाहित करने वाले $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या,शेष $(n-1)$ अवयवों में से $(m-1)$ अवयवों को चुनने के बराबर है,जो $\binom{n-1}{m-1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\binom{n}{m} = k \times \binom{n-1}{m-1}$.
सर्वसमिका $\binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} = k \binom{n-1}{m-1}$.
दोनों पक्षों को $\binom{n-1}{m-1}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n}{m} = k \Rightarrow n = mk$.

(A) उम्मीदवार को दो भागों $A$ और $B$ से कुल $6$ प्रश्न चुनने हैं,इस शर्त के साथ कि किसी भी भाग से $4$ से अधिक प्रश्न नहीं चुने जा सकते। संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:

भाग $A$	भाग $B$
$4$ प्रश्न	$2$ प्रश्न
$3$ प्रश्न	$3$ प्रश्न
$2$ प्रश्न	$4$ प्रश्न

कुल तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
$Ways = ({ }^{6}C_{4} \times { }^{6}C_{2}) + ({ }^{6}C_{3} \times { }^{6}C_{3}) + ({ }^{6}C_{2} \times { }^{6}C_{4})$
$Ways = (15 \times 15) + (20 \times 20) + (15 \times 15)$
$Ways = 225 + 400 + 225$
$Ways = 850$

(C) $7$ व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनने के तरीके ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
$4$ स्वरों में से $2$ स्वर चुनने के तरीके ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
$5$ अक्षरों को चुनने के कुल तरीके $35 \times 6 = 210$ हैं।
चूंकि इन $5$ चुने गए अक्षरों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए शब्दों की कुल संख्या $210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x+y+z=10$ है,जहाँ $x, y, z \in \mathbb{Z}^+$.
यह समीकरण $x_1+x_2+\dots+x_r=n$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने की समस्या है।
धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ है।
यहाँ,$n=10$ और $r=3$ है।
अतः,हलों की संख्या $= ^{10-1}C_{3-1} = ^{9}C_{2}$.
$^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

(A) हमें $2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं का चयन करना है,जहाँ $n$ वस्तुएं समान हैं और $n$ वस्तुएं भिन्न हैं।
मान लीजिए $k$ चुनी गई भिन्न वस्तुओं की संख्या है,जहाँ $0 \le k \le n$ है।
तब शेष $(n-k)$ वस्तुओं का चयन $n$ समान वस्तुओं में से किया जाना चाहिए।
चूंकि $n$ वस्तुएं समान हैं,इसलिए उन्हें चुनने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,$k=0$ से $n$ तक,भिन्न वस्तुओं को चुनने के तरीके $\binom{n}{k}$ हैं।
कुल तरीकों का योग: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^{n}$.

(C) माना $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ उन $4$ प्रश्नों को दिए गए अंक हैं।
हमें समीकरण दिया गया है: $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 10$,जहाँ $x_{i} \geq 2$ प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए।
माना $y_{i} = x_{i} - 2$. चूँकि $x_{i} \geq 2$,इसलिए $y_{i} \geq 0$.
समीकरण में $x_{i} = y_{i} + 2$ रखने पर:
$(y_{1} + 2) + (y_{2} + 2) + (y_{3} + 2) + (y_{4} + 2) = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + 8 = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} = 2$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n = 2$ और $r = 4$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{2+4-1}{4-1} = \binom{5}{3} = 10$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: ${}^{n}C_{r} + 2 \cdot {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
मध्य पद को विभाजित करने पर:
$= {}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करने पर:
$= ({}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1}) + ({}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2})$
$= {}^{n+1}C_{r+1} + {}^{n+1}C_{r+2}$
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= {}^{n+2}C_{r+2}$

(B) दिया गया है,$\frac{1}{{ }^{5}C_{r}} + \frac{1}{{ }^{6}C_{r}} = \frac{1}{{ }^{4}C_{r}}$
सूत्र ${ }^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{r!(5-r)!}{5!} + \frac{r!(6-r)!}{6!} = \frac{r!(4-r)!}{4!}$
$r!$ से भाग देने और $4!$ से गुणा करने पर:
$\frac{(5-r)!}{5} + \frac{(6-r)(5-r)!}{6 \times 5} = (4-r)!$
$(4-r)!$ से भाग देने पर:
$\frac{(5-r)}{5} + \frac{(6-r)(5-r)}{30} = 1$
$30$ से गुणा करने पर:
$6(5-r) + (6-r)(5-r) = 30$
$30 - 6r + 30 - 11r + r^{2} = 30$
$r^{2} - 17r + 30 = 0$
$(r-2)(r-15) = 0$
चूंकि $r \leq 4$ (क्योंकि ${ }^{4}C_{r}$ परिभाषित है),इसलिए $r = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि ${}^nC_4, {}^nC_5, {}^nC_6$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$2({}^nC_5) = {}^nC_4 + {}^nC_6$।
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
$n!$ से भाग देने और $6!(n-4)!$ से गुणा करने पर:
$2 \times 6(n-4) = 30 + (n-4)(n-5)$
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$
$n^2 - 21n + 98 = 0$
$(n-7)(n-14) = 0$
अतः,$n = 7$ या $n = 14$।

(D) पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n-1}C_r + {}^{n-1}C_{r-1} = {}^{n}C_r$ का उपयोग करते हुए:
${}^{n-1}C_3 + {}^{n-1}C_4 = {}^{n}C_4$.
दी गई असमिका:
${}^{n}C_4 > {}^{n}C_3$.
क्रमचय-संचय का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$.
फैक्टोरियल को सरल करने पर:
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$.
चूंकि $n-3 > 0$,हमें प्राप्त होता है:
$n-3 > 4$,जिसका अर्थ है $n > 7$.
अतः,$n$ का मान $7$ से ठीक बड़ा है।

(D) मान लीजिए कि चार बच्चों को दिए गए संतरों की संख्या $x_1, x_2, x_3, x_4$ है।
चूंकि संतरे समान हैं,हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$ के धनात्मक पूर्णांक हल ज्ञात करने हैं,जहाँ $x_i \geq 1$ है।
$x_i = x_i^{\prime} + 1$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,जहाँ $x_i^{\prime} \geq 0$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x_1^{\prime} + x_2^{\prime} + x_3^{\prime} + x_4^{\prime} = 12$।
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+k-1}{k-1}$ है,जहाँ $n = 12$ और $k = 4$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3}$।
$\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$।

(B) दिया गया समीकरण: $^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
गुणधर्म $^{n}C_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,$^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
यदि $^{35}C_r \neq 0$ है,तो $\frac{36}{r+1} = \frac{6}{k^2-3}$,जो सरल होकर $\frac{6}{r+1} = \frac{1}{k^2-3}$ हो जाता है।
अतः,$k^2-3 = \frac{r+1}{6}$,या $k^2 = \frac{r+1}{6} + 3$.
चूंकि $k \in Z$,$k^2$ एक पूर्ण वर्ग पूर्णांक होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $(r+1)$,$6$ का गुणज होना चाहिए।
$0 \leq r \leq 35$ दिया गया है,इसलिए $1 \leq r+1 \leq 36$ होगा।
$r+1$ के लिए संभावित मान $6, 12, 18, 24, 30, 36$ हैं।
$r+1 = 6$ के लिए,$k^2 = 1+3 = 4 \implies k = \pm 2$. युग्म: $(5, 2), (5, -2)$.
$r+1 = 12$ के लिए,$k^2 = 2+3 = 5$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 18$ के लिए,$k^2 = 3+3 = 6$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 24$ के लिए,$k^2 = 4+3 = 7$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 30$ के लिए,$k^2 = 5+3 = 8$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।
$r+1 = 36$ के लिए,$k^2 = 6+3 = 9 \implies k = \pm 3$. युग्म: $(35, 3), (35, -3)$.
कुल युग्म $(r, k)$ $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ हैं।
इस प्रकार,कुल $4$ अवयव हैं।

(A) खिलाड़ी $A$ के श्रृंखला जीतने के लिए,उन्हें $5$वां गेम जीतना होगा। इसका अर्थ है कि पिछली $n-1$ गेम में,खिलाड़ी $A$ ने $4$ गेम जीती होंगी और खिलाड़ी $B$ ने $n-5$ गेम जीती होंगी।
श्रृंखला $5, 6, 7, 8,$ या $9$ गेम में समाप्त हो सकती है।
यदि श्रृंखला $5$ गेम में समाप्त होती है: $A$ $5$ गेम जीतता है,$B$ $0$ जीतता है। तरीके = $\binom{4}{4} = 1$.
यदि श्रृंखला $6$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $5$ गेम में से $4$ जीतता है और $6$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{5}{4} = 5$.
यदि श्रृंखला $7$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $6$ गेम में से $4$ जीतता है और $7$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{6}{4} = 15$.
यदि श्रृंखला $8$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $7$ गेम में से $4$ जीतता है और $8$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{7}{4} = 35$.
यदि श्रृंखला $9$ गेम में समाप्त होती है: $A$ पहले $8$ गेम में से $4$ जीतता है और $9$वां गेम जीतता है। तरीके = $\binom{8}{4} = 70$.
कुल तरीके = $1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126$.