Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(B) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના $m$-ઘટકવાળા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $\binom{n}{m}$ છે.
ચોક્કસ ઘટક $a_{4}$ ધરાવતા $m$-ઘટકવાળા ઉપગણોની સંખ્યા એ બાકીના $(n-1)$ ઘટકોમાંથી $(m-1)$ ઘટકો પસંદ કરવા જેટલી છે,જે $\binom{n-1}{m-1}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$\binom{n}{m} = k \times \binom{n-1}{m-1}$.
નિત્યસમ $\binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} = k \binom{n-1}{m-1}$.
બંને બાજુ $\binom{n-1}{m-1}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{n}{m} = k \Rightarrow n = mk$.

(A) ઉમેદવારે બે ભાગ $A$ અને $B$ માંથી કુલ $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં શરત છે કે કોઈપણ ભાગમાંથી $4$ થી વધુ પ્રશ્નો પસંદ કરી શકાતા નથી. શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:

ભાગ $A$	ભાગ $B$
$4$ પ્રશ્નો	$2$ પ્રશ્નો
$3$ પ્રશ્નો	$3$ પ્રશ્નો
$2$ પ્રશ્નો	$4$ પ્રશ્નો

કુલ રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$Ways = ({ }^{6}C_{4} \times { }^{6}C_{2}) + ({ }^{6}C_{3} \times { }^{6}C_{3}) + ({ }^{6}C_{2} \times { }^{6}C_{4})$
$Ways = (15 \times 15) + (20 \times 20) + (15 \times 15)$
$Ways = 225 + 400 + 225$
$Ways = 850$

(C) $7$ વ્યંજનોમાંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
$4$ સ્વરોમાંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$5$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $35 \times 6 = 210$ છે.
આ $5$ પસંદ કરેલા અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,તેથી કુલ શબ્દોની સંખ્યા $210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $x+y+z=10$ છે,જ્યાં $x, y, z \in \mathbb{Z}^+$.
આ પ્રશ્ન સમીકરણ $x_1+x_2+\dots+x_r=n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવાનો છે.
ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n=10$ અને $r=3$ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $= ^{10-1}C_{3-1} = ^{9}C_{2}$.
$^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

(A) આપણે $2n$ વસ્તુઓમાંથી $n$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની છે,જ્યાં $n$ વસ્તુઓ સમાન છે અને $n$ વસ્તુઓ ભિન્ન છે.
ધારો કે $k$ એ પસંદ કરેલી ભિન્ન વસ્તુઓની સંખ્યા છે,જ્યાં $0 \le k \le n$.
તો બાકીની $(n-k)$ વસ્તુઓ $n$ સમાન વસ્તુઓમાંથી પસંદ કરવી પડશે.
સમાન વસ્તુઓ હોવાથી,તેમને પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
આમ,$k=0$ થી $n$ માટે,ભિન્ન વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{n}{k}$ છે.
કુલ રીતોનો સરવાળો: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^{n}$.

(C) ધારો કે $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ એ $4$ પ્રશ્નોને ફાળવેલ ગુણ છે.
આપણને સમીકરણ આપેલ છે: $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 10$,જ્યાં $x_{i} \geq 2$ દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે.
ધારો કે $y_{i} = x_{i} - 2$. કારણ કે $x_{i} \geq 2$,તેથી $y_{i} \geq 0$.
સમીકરણમાં $x_{i} = y_{i} + 2$ મૂકતા:
$(y_{1} + 2) + (y_{2} + 2) + (y_{3} + 2) + (y_{4} + 2) = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + 8 = 10$
$y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} = 2$.
અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 2$ અને $r = 4$.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{2+4-1}{4-1} = \binom{5}{3} = 10$.

(C) આપેલ પદાવલિ: ${}^{n}C_{r} + 2 \cdot {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
વચ્ચેના પદને વિભાજિત કરતા:
$= {}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2}$
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= ({}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1}) + ({}^{n}C_{r+1} + {}^{n}C_{r+2})$
$= {}^{n+1}C_{r+1} + {}^{n+1}C_{r+2}$
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= {}^{n+2}C_{r+2}$

(B) આપેલ છે,$\frac{1}{{ }^{5}C_{r}} + \frac{1}{{ }^{6}C_{r}} = \frac{1}{{ }^{4}C_{r}}$
સૂત્ર ${ }^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{r!(5-r)!}{5!} + \frac{r!(6-r)!}{6!} = \frac{r!(4-r)!}{4!}$
$r!$ વડે ભાગતા અને $4!$ વડે ગુણતા:
$\frac{(5-r)!}{5} + \frac{(6-r)(5-r)!}{6 \times 5} = (4-r)!$
$(4-r)!$ વડે ભાગતા:
$\frac{(5-r)}{5} + \frac{(6-r)(5-r)}{30} = 1$
$30$ વડે ગુણતા:
$6(5-r) + (6-r)(5-r) = 30$
$30 - 6r + 30 - 11r + r^{2} = 30$
$r^{2} - 17r + 30 = 0$
$(r-2)(r-15) = 0$
અહીં $r \leq 4$ હોવાથી (કારણ કે ${ }^{4}C_{r}$ વ્યાખ્યાયિત છે),$r = 2$ મળે.

(A) આપેલ છે કે ${}^nC_4, {}^nC_5, {}^nC_6$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2({}^nC_5) = {}^nC_4 + {}^nC_6$.
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
$n!$ વડે ભાગતા અને $6!(n-4)!$ વડે ગુણતા:
$2 \times 6(n-4) = 30 + (n-4)(n-5)$
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$
$n^2 - 21n + 98 = 0$
$(n-7)(n-14) = 0$
આમ,$n = 7$ અથવા $n = 14$.

(D) પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n-1}C_r + {}^{n-1}C_{r-1} = {}^{n}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n-1}C_3 + {}^{n-1}C_4 = {}^{n}C_4$.
આપેલ અસમતા:
${}^{n}C_4 > {}^{n}C_3$.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$.
ફેક્ટોરિયલનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$.
$n-3 > 0$ હોવાથી:
$n-3 > 4$,જે દર્શાવે છે કે $n > 7$.
આમ,$n$ એ $7$ કરતા સહેજ મોટો છે.

(D) ધારો કે ચાર બાળકોને આપવામાં આવતી નારંગીઓની સંખ્યા $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
નારંગીઓ સમાન હોવાથી,આપણે સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા પડશે,જ્યાં $x_i \geq 1$.
$x_i = x_i^{\prime} + 1$ આદેશ લેતા,જ્યાં $x_i^{\prime} \geq 0$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$x_1^{\prime} + x_2^{\prime} + x_3^{\prime} + x_4^{\prime} = 12$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+k-1}{k-1}$ છે,જ્યાં $n = 12$ અને $k = 4$.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3}$.
$\binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.
જો $^{35}C_r \neq 0$ હોય,તો $\frac{36}{r+1} = \frac{6}{k^2-3}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{6}{r+1} = \frac{1}{k^2-3}$ થાય.
તેથી,$k^2-3 = \frac{r+1}{6}$,અથવા $k^2 = \frac{r+1}{6} + 3$.
$k \in Z$ હોવાથી,$k^2$ એ પૂર્ણવર્ગ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $(r+1)$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \leq r \leq 35$ આપેલ હોવાથી,$1 \leq r+1 \leq 36$ મળે.
$r+1$ માટે શક્ય કિંમતો $6, 12, 18, 24, 30, 36$ છે.
$r+1 = 6$ માટે,$k^2 = 1+3 = 4 \implies k = \pm 2$. જોડ: $(5, 2), (5, -2)$.
$r+1 = 12$ માટે,$k^2 = 2+3 = 5$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 18$ માટે,$k^2 = 3+3 = 6$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 24$ માટે,$k^2 = 4+3 = 7$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 30$ માટે,$k^2 = 5+3 = 8$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$r+1 = 36$ માટે,$k^2 = 6+3 = 9 \implies k = \pm 3$. જોડ: $(35, 3), (35, -3)$.
કુલ જોડ $(r, k)$ એ $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ છે.
આમ,કુલ $4$ ઘટકો મળે છે.

(A) ખેલાડી $A$ શ્રેણી જીતે તે માટે,તેમણે $5$મી ગેમ જીતવી જ પડે. આનો અર્થ એ છે કે અગાઉની $n-1$ ગેમમાં,ખેલાડી $A$ એ બરાબર $4$ ગેમ જીતી હોવી જોઈએ અને ખેલાડી $B$ એ $n-5$ ગેમ જીતી હોવી જોઈએ.
શ્રેણી $5, 6, 7, 8,$ અથવા $9$ ગેમમાં પૂરી થઈ શકે છે.
જો શ્રેણી $5$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ $5$ ગેમ જીતે,$B$ $0$ જીતે. પ્રકારો = $\binom{4}{4} = 1$.
જો શ્રેણી $6$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $5$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $6$ઠ્ઠી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{5}{4} = 5$.
જો શ્રેણી $7$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $6$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $7$મી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{6}{4} = 15$.
જો શ્રેણી $8$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $7$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $8$મી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{7}{4} = 35$.
જો શ્રેણી $9$ ગેમમાં પૂરી થાય: $A$ પ્રથમ $8$ ગેમમાંથી $4$ જીતે અને $9$મી ગેમ જીતે. પ્રકારો = $\binom{8}{4} = 70$.
કુલ પ્રકારો = $1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126$.