Bisectors of the angle between the lines, Point of intersection of the lines Questions in Hindi

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2-11xy+10y^2-7x+13y+k=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=3, h=-\frac{11}{2}, b=10, g=-\frac{7}{2}, f=\frac{13}{2}$.
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ और $y = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
सबसे पहले,हर (denominator) की गणना करें: $ab-h^2 = (3)(10) - (-\frac{11}{2})^2 = 30 - \frac{121}{4} = \frac{120-121}{4} = -\frac{1}{4}$.
अब,$x$ के लिए अंश (numerator) की गणना करें: $hf-bg = (-\frac{11}{2})(\frac{13}{2}) - (10)(-\frac{7}{2}) = -\frac{143}{4} + 35 = \frac{-143+140}{4} = -\frac{3}{4}$.
अतः,$x = \frac{-3/4}{-1/4} = 3$.
अब,$y$ के लिए अंश की गणना करें: $gh-af = (-\frac{7}{2})(-\frac{11}{2}) - (3)(\frac{13}{2}) = \frac{77}{4} - \frac{39}{2} = \frac{77-78}{4} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$y = \frac{-1/4}{-1/4} = 1$.
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $y^3-4x^2y=0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y(y^2-4x^2)=0$
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $y(y-2x)(y+2x)=0$
इससे तीन रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $L_1: y=0$,$L_2: y=2x$,और $L_3: y=-2x$।
ये तीनों रेखाएँ मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती हैं।
चूंकि तीनों रेखाएँ एक सामान्य बिंदु $(0,0)$ पर मिलती हैं,इसलिए वे संगामी रेखाएँ हैं।

(D) रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ होता है।
प्रथम युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,$a=1, b=-1, h=-p$ है।
कोण समद्विभाजक $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ हैं,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ अर्थात $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि यह समद्विभाजक युग्म दूसरे युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ के समान है,इसलिए गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{p} = -2 q$ प्राप्त होता है।
अतः,$p q = -1$।

(C) रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाओं के युग्म $x^2-2pxy-y^2=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, h=-p, b=-1$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ है,जो सरल होकर $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ या $x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि यह समद्विभाजकों का युग्म रेखाओं के युग्म $x^2-2qxy-y^2=0$ के समान है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{2}{p} = -2q$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $pq = -1$,या $pq+1=0$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $x^2-y^2+2y-1=0$ है।
इसे $x^2-(y-1)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका गुणनखंड $(x-y+1)(x+y-1)=0$ है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: x+y-1=0$ हैं।
इन रेखाओं के कोणीय समद्विभाजक $\frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो सरल होकर $x-y+1 = \pm(x+y-1)$ हो जाते हैं।
स्थिति $1$: $x-y+1 = x+y-1$ $\Rightarrow 2y=2$ $\Rightarrow y=1$.
स्थिति $2$: $x-y+1 = -(x+y-1)$ $\Rightarrow x-y+1 = -x-y+1$ $\Rightarrow 2x=0$ $\Rightarrow x=0$.
त्रिभुज रेखा $x+y=3$ और रेखाओं $x=0$ तथा $y=1$ द्वारा निर्मित होता है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x=0$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,1)$ है।
$2$. $x=0$ और $x+y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,3)$ है।
$3$. $y=1$ और $x+y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,1)$ है।
शीर्ष $(0,1), (0,3),$ और $(2,1)$ हैं।
$y$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $|3-1|=2$ इकाई है।
शीर्ष $(2,1)$ से $y$-अक्ष तक त्रिभुज की ऊँचाई $|2-0|=2$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया रेखाओं का युग्म $x^2-y^2+2y-1=0$ है।
$x^2 = y^2-2y+1$
$\Rightarrow x^2 = (y-1)^2$
$\Rightarrow x^2 - (y-1)^2 = 0$
$\Rightarrow (x+y-1)(x-y+1) = 0$
अतः,रेखाएँ $l_1: x+y-1=0$ और $l_2: x-y+1=0$ हैं।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $\frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \pm \frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\Rightarrow x+y-1 = \pm(x-y+1)$.
स्थिति $1$: $x+y-1 = x-y+1$ $\Rightarrow 2y = 2$ $\Rightarrow y=1$.
स्थिति $2$: $x+y-1 = -(x-y+1)$ $\Rightarrow x+y-1 = -x+y-1$ $\Rightarrow 2x = 0$ $\Rightarrow x=0$.
कोण समद्विभाजक रेखाएँ $x=0$ ($Y$-अक्ष) और $y=1$ हैं।
त्रिभुज रेखाओं $x+y=4$,$x=0$,और $y=1$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज के शीर्ष हैं:
$1$. $x=0$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$2$. $x=0$ और $x+y=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 4)$ है।
$3$. $y=1$ और $x+y=4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।
$x=0$ पर त्रिभुज का आधार $|4-1| = 3$ है।
$x=0$ से $x=3$ तक त्रिभुज की ऊँचाई $3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया समीकरण $3 x^2-5 x y+4 y^2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=3$,$2 h=-5$,और $b=4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच के कोण के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ है।
मान रखने पर,$\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{x y}{-5/2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2 x y}{-5}$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $-5$ से गुणा करने पर,हमें $5(x^2-y^2) = 2 x y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2-2 m x y-y^2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, h=-m, b=-1$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{x y}{-m}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{x y}{-m}$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $-m(x^2-y^2) = 2 x y$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $m x^2 + 2 x y - m y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$m$ से विभाजित करने पर ($m \neq 0$ मानते हुए),हमें $x^2 + \frac{2}{m} x y - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समद्विभाजक समीकरण $x^2-2 n x y-y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-2n = \frac{2}{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-n = \frac{1}{m}$,जो $mn = -1$ या $mn+1=0$ देता है।

(B) सरल रेखाओं के युग्म $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
युग्म $x^2-2 p x y-y^2=0$ के लिए,हमारे पास $a=1, b=-1, h=-p$ है।
समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ है।
यह $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $-p(x^2-y^2)=2xy$,या $p x^2+2 x y-p y^2=0$ है।
$p$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि यह युग्म $x^2-2 q x y-y^2=0$ है।
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$-2 q = \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-p q = 1$,जिससे $p q = -1$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजकों के युग्म का समीकरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण: $x^2+4xy-y^2=0$ है।
इसे $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$b=-1$,और $h=2$ प्राप्त होता है।
द्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{2} \Rightarrow x^2-xy-y^2=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y=mx$ एक द्विभाजक है,इसलिए $x^2-x(mx)-(mx)^2=0$ होगा।
अतः $m^2+m-1=0$।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$m = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
इसलिए,$2m = -1 \pm \sqrt{5}$।

(A) माना कि दिए गए समीकरण हैं:
$x^2-16pxy-y^2=0 \quad (i)$
$x^2-16qxy-y^2=0 \quad (ii)$
रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(i)$ के लिए,$a=1, b=-1, h=-8p$. समद्विभाजक हैं $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8p} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8p} \implies -8px^2-2xy+8py^2=0 \quad (iii)$.
समीकरण $(ii)$ के लिए,$a=1, b=-1, h=-8q$. समद्विभाजक हैं $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8q} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8q} \implies -8qx^2-2xy+8qy^2=0 \quad (iv)$.
चूंकि प्रत्येक युग्म दूसरे युग्म के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए समीकरण $(i)$ को समीकरण $(iv)$ के समान होना चाहिए और समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(iii)$ के समान होना चाहिए।
$(i)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर: $\frac{1}{-8q} = \frac{-16p}{-2} = \frac{-1}{8q}$. इससे $1 = -64pq$ प्राप्त होता है,अतः $pq = \frac{-1}{64}$.

(C) दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy-2ay^2+3x+15y-9=0$ है।
चूंकि रेखाएं $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए आंशिक अवकलज $f_x$ और $f_y$ बिंदु $(1,1)$ पर शून्य होंगे।
$f_x = 2ax+2hy+3 = 0 \implies 2a+2h+3=0$
$f_y = 2hx-4ay+15 = 0 \implies 2h-4a+15=0$
इन समीकरणों को हल करने पर,$a=2$ और $h=-3.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$ah = 2 \times (-3.5) = -7$.

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 2hxy + 2y^2 - x + y - 1 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2h'xy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$h' = h$,$b = 2$,$g = -1/2$,$f = 1/2$,और $c = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = 3/4$ दिया गया है,इसलिए $3/4 = |\frac{2\sqrt{h^2 - 4}}{2 + 2}| = \frac{\sqrt{h^2 - 4}}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9/16 = (h^2 - 4)/4$,जिससे $h^2 = 25/4$ प्राप्त होता है,अर्थात $h = 5/2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करने के लिए $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ को हल करें।
$4x + 5y - 1 = 0$ और $5x + 4y + 1 = 0$।
इन समीकरणों को हल करने पर $x = -1$ और $y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।

(D) दिया गया समीकरण $3x^2+7xy+2y^2+2gx+2fy+2=0$ रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है,अतः शर्त $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ के अनुसार:
$6f^2 + 4g^2 - 14fg = -25$ ---$(i)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरण का $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$6x+7y+2g = 0$ ---(ii)
$7x+4y+2f = 0$ ---(iii)
इन समीकरणों को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{8g-14f}{25}, \frac{12f-14g}{25}\right)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से दूरी का वर्ग $\frac{2}{5}$ होने के कारण:
$\left(\frac{8g-14f}{25}\right)^2 + \left(\frac{12f-14g}{25}\right)^2 = \frac{2}{5}$
सरल करने पर $26g^2 + 34f^2 - 56fg = 25$ प्राप्त होता है। ---(iv)
समीकरण $(i)$ और (iv) को हल करने पर:
$10g^2 + 10f^2 = 125$
अतः,$f^2 + g^2 = \frac{25}{2}$

(C) समीकरण $2x^2 + 4xy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ के गुणनखंड करने पर $(2x - 2y + 1)(x + 3y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों रेखाओं $2x - 2y + 1 = 0$ और $x + 3y + 1 = 0$ को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(-\frac{5}{8}, -\frac{1}{8}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है। इसे $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ सूत्र $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ है।
चूंकि रेखाएँ संगामी हैं,यह बिंदु $5x+ky-8=0$ को संतुष्ट करेगा।
$5(\frac{4}{3}) + k(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2k}{3} = 8$.
$20 + 2k = 24$.
$2k = 4 \Rightarrow k = 2$.

(D) रेखाओं के युग्म $f(x, y) = x^2+xy+2y^2-3x+2y+4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $f(x, y)$ का $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करके ज्ञात किया जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3 = 0 \quad \dots (i)$
$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y + 2 = 0 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ से,$y = 3 - 2x$.
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 4(3 - 2x) + 2 = 0$
$x + 12 - 8x + 2 = 0$
$-7x + 14 = 0 \implies x = 2$
$x = 2$ को $y = 3 - 2x$ में रखने पर:
$y = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1)$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
चूंकि रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ को रेखा $5x+\lambda y-8=0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$.
$3$ से गुणा करने पर: $20 + 2\lambda - 24 = 0$.
$2\lambda - 4 = 0$.
$2\lambda = 4$.
$\lambda = 2$.

(A) दूसरी रेखाओं का युग्म $2x^2+xy-6y^2=0$ है। इसके गुणनखंड करने पर,$(2x-3y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है। रेखाएँ $2x-3y=0$ और $x+2y=0$ हैं।
चूँकि प्रथम युग्म $ax^2-7xy-3y^2=0$ में एक रेखा उभयनिष्ठ है,इसलिए $2x-3y=0$ या $x+2y=0$ को $ax^2-7xy-3y^2=0$ का गुणनखंड होना चाहिए।
यदि $2x-3y=0$ गुणनखंड है,तो $y = \frac{2}{3}x$ रखने पर,$a=6$ प्राप्त होता है।
यदि $x+2y=0$ गुणनखंड है,तो $a = -\frac{11}{4}$ प्राप्त होता है जो पूर्णांक नहीं है।
अतः $a=6$। समीकरण $6x^2-7xy-3y^2=0$ है।
समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{A-C} = \frac{xy}{B/2}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$7x^2+18xy-7y^2=0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई सरल रेखाओं का युग्म: $3x^2+7xy+2y^2+5x+5y+2=0$.
गुणनखंड करने पर,$(3x+y+2)(x+2y+1)=0$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ $L_1: 3x+y+2=0$ और $L_2: x+2y+1=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3/5, -1/5)$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{5x+3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{5y+1}{\sqrt{5}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$7(5x+3)^2-2(5x+3)(5y+1)-7(5y+1)^2=0$ प्राप्त होता है।

(C) नई स्थिति में रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक उनकी पुरानी स्थिति के बीच के कोण के समद्विभाजकों के समान ही रहते हैं।
अतः,अभीष्ट समीकरण है:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-h}$
$\Rightarrow hx^2-hy^2 = -2xy$
$\Rightarrow hx^2-hy^2+2xy = 0$

(D) दिया गया समीकरण रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है: $f(x, y) = 2x^2 + 5xy - 3y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$.
सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ को आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ को हल करके प्राप्त किया जाता है।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x + 5y + 2g = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$4(-1) + 5(-1) + 2g = 0 \implies -4 - 5 + 2g = 0 \implies 2g = 9 \implies g = 4.5$.
$\frac{\partial f}{\partial y} = 5x - 6y + 2f = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$5(-1) - 6(-1) + 2f = 0 \implies -5 + 6 + 2f = 0 \implies 1 + 2f = 0 \implies f = -0.5$.
अतः,$g + f = 4.5 + (-0.5) = 4$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-y^2-x+3y-2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x-y+1)(x+y-2)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएँ $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: x+y-2=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात करने के लिए:
समीकरणों को जोड़ने पर: $(x-y+1) + (x+y-2) = 2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$.
$x=\frac{1}{2}$ को $x+y-2=0$ में रखने पर,$y=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.
$\alpha$ मूल बिंदु $(0,0)$ से $P$ तक की दूरी का वर्ग है:
$\alpha = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
$\beta$ मूल बिंदु से $L_1$ और $L_2$ पर लंबवत दूरियों का गुणनफल है:
$d_1 = \frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$d_2 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$\beta = d_1 \times d_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1$.
इसलिए,$\alpha \beta = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}$.

(A) माना $f(x, y) = 2x^2+axy+3y^2+bx+cy-3=0$. चूँकि $(2,-1)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है,आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x}$ और $\frac{\partial f}{\partial y}$ बिंदु $(2,-1)$ पर शून्य होंगे।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+ay+b = 0 \implies 4(2)+a(-1)+b = 0 \implies a-b=8$....$(i)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = ax+6y+c = 0 \implies a(2)+6(-1)+c = 0 \implies 2a+c=6$....(ii)
साथ ही,बिंदु $(2,-1)$ मूल समीकरण को संतुष्ट करता है:
$8-2a+3+2b-c-3 = 0 \implies 2a-2b+c = 8$....(iii)
$(i)$ से,$b = a-8$. (iii) में रखने पर:
$2a-2(a-8)+c = 8 \implies c = -8$.
(ii) में $c=-8$ रखने पर:
$2a-8 = 6 \implies a = 7$.
$(i)$ से,$b = 7-8 = -1$.
अतः,$3a+2b+c = 3(7)+2(-1)+(-8) = 21-2-8 = 11$.

(A) माना रेखाओं के युग्म का समीकरण $f(x, y) = 2x^2 - 13xy - 7y^2 + x + 23y - 6 = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 13y + 1 = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = -13x - 14y + 23 = 0$ को हल करते हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ प्राप्त होता है।
रेखा $L: x+y-1=0$,$O(0,0)$ और $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
अनुपात $-\frac{L(O)}{L(P)} = -\frac{0+0-1}{\frac{19}{15} + \frac{7}{15} - 1} = \frac{15}{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $15:11$ है।

(C) दिए गए समीकरण की तुलना $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ से करने पर,$a=2, b=2 \lambda, h=-5, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है,इसलिए सारणिक शर्त:
$\left|\begin{array}{ccc} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right|=0$ $\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 2 \lambda & -8 \\ 5/2 & -8 & -3 \end{array}\right|=0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(-6 \lambda-64)+5(15+20)+\frac{5}{2}(40-5 \lambda)=0$.
$-12 \lambda-128+175+100-12.5 \lambda=0$ $\Rightarrow -24.5 \lambda = -147$ $\Rightarrow \lambda=6$.
अब,$b=2 \lambda = 12$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y) = \left(\frac{b g-f h}{h^2-a b}, \frac{a f-g h}{h^2-a b}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
हर $h^2-a b = (-5)^2 - (2)(12) = 25-24=1$.
$x = \frac{(12)(5/2) - (-8)(-5)}{1} = 30-40 = -10$.
$y = \frac{(2)(-8) - (5/2)(-5)}{1} = -16 + 12.5 = -3.5 = \frac{-7}{2}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(-10, \frac{-7}{2}\right)$ है।

(C) सरल रेखाओं के युग्म $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ के लिए,आंशिक अवकलन का उपयोग करने पर:
$ax+hy+g=0$
$hx+by+f=0$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ और $y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2}$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु से दूरी का वर्ग $D^2 = x_0^2 + y_0^2$ है।
मान रखने और सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D^2 = \frac{c(a+b)-f^2-g^2}{ab-h^2}$.

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $xy-x-y+1=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x(y-1)-1(y-1)=0$,जो $(x-1)(y-1)=0$ देता है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x=1$ और $y=1$।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चूंकि रेखाएं $ax+2y-3a=0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ को रेखा $ax+2y-3a=0$ के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
$x=1$ और $y=1$ को समीकरण में रखने पर: $a(1)+2(1)-3a=0$।
$a+2-3a=0$।
$-2a+2=0$।
$2a=2$।
$a=1$।