Partial fractions Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{37x+1}{x^2+1}+\frac{\lambda}{x+5}$
જમણી બાજુના પદોને જોડતા:
$\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{(37x+1)(x+5)+\lambda(x^2+1)}{(x^2+1)(x+5)}$
અંશને સરખાવતા:
$32x^2+186x = (37x^2 + 185x + x + 5) + \lambda x^2 + \lambda$
$32x^2+186x = (37+\lambda)x^2 + 186x + (5+\lambda)$
$x^2$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$37+\lambda = 32 \implies \lambda = -5$
$5+\lambda = 0 \implies \lambda = -5$
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = \frac{-5}{2}$.

(B) આપેલ છે,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
અંશને સરખાવતા:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C = 0, B-A+C+D = 0, A-B+C+D = 0, B+D = 1$.
ઉકેલતા આપણને $A=\frac{1}{2}, B=\frac{1}{2}, C=-\frac{1}{2}, D=\frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C+D = 1$.
તેથી,$\cos^{-1}(A+B+C+D) = \cos^{-1}(1) = 0$.

(C) આપેલ છે $\frac{1}{(x^2-3)^2} = \frac{A_1}{x-\sqrt{3}} + \frac{A_2}{(x-\sqrt{3})^2} + \frac{A_3}{x+\sqrt{3}} + \frac{A_4}{(x+\sqrt{3})^2}$.
$(x^2-3)^2$ વડે ગુણતા,$1 = A_1(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})^2 + A_2(x+\sqrt{3})^2 + A_3(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})^2 + A_4(x-\sqrt{3})^2$ મળે.
$x = \sqrt{3}$ લેતા,$1 = A_2(2\sqrt{3})^2 = 12A_2 \implies A_2 = \frac{1}{12}$.
$x = -\sqrt{3}$ લેતા,$1 = A_4(-2\sqrt{3})^2 = 12A_4 \implies A_4 = \frac{1}{12}$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A_1 + A_3 = 0 \implies A_3 = -A_1$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3}(A_1 - A_3) + A_2 + A_4 = 0$.
$A_3 = -A_1$ હોવાથી,$2\sqrt{3}A_1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = 0 \implies 2\sqrt{3}A_1 = -\frac{1}{6} \implies A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}$.
તેથી,$A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}$.
કિંમતો $A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}, A_2 = \frac{1}{12}, A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}, A_4 = \frac{1}{12}$ છે.
$(i)$ $A_i$ ભિન્ન નથી (સાચું,$A_2=A_4$).
(ii) $A_p^2 = A_q^2$ માટે $p=2, q=4$ (સાચું).
(iii) $\sum A_i = \frac{1}{6}$ (સાચું).
(iv) $\sum A_i = 1$ (ખોટું).
આમ,માત્ર વિધાન (iv) ખોટું છે.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{27x^2+32x+16}{(3x+2)^2(1-x)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{(3x+2)^2} + \frac{C}{1-x}$.
બંને બાજુ $(3x+2)^2(1-x)$ વડે ગુણતા:
$27x^2+32x+16 = A(3x+2)(1-x) + B(1-x) + C(3x+2)^2$.
$x = 1$ લેતા: $27(1)^2 + 32(1) + 16 = C(3(1)+2)^2$ $\Rightarrow 75 = 25C$ $\Rightarrow C = 3$.
$x = -2/3$ લેતા: $27(-2/3)^2 + 32(-2/3) + 16 = B(1 - (-2/3))$ $\Rightarrow 12 - 64/3 + 16 = B(5/3)$ $\Rightarrow 20/3 = 5B/3$ $\Rightarrow B = 4$.
$x = 0$ લેતા: $16 = A(2)(1) + B(1) + C(2)^2$ $\Rightarrow 16 = 2A + 4 + 4(3)$ $\Rightarrow 16 = 2A + 16$ $\Rightarrow A = 0$.
અંતે,$AB + BC + CA = (0)(4) + (4)(3) + (3)(0) = 0 + 12 + 0 = 12$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3 x^4+5 x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2\left(x^2+2\right)}=\frac{A x+B}{x^2+2}+\frac{C x+D}{x^2+1}+\frac{E x+F}{\left(x^2+1\right)^2}$.
બંને બાજુ છેદ વડે ગુણતા: $3 x^4+5 x^2+2 = (A x+B)(x^2+1)^2 + (C x+D)(x^2+1)(x^2+2) + (E x+F)(x^2+2)$.
અહીં માત્ર $x$ ની બેકી ઘાત હોવાથી,$x$ ની એકી ઘાતના સહગુણકો શૂન્ય થશે. તેથી,$A=0, C=0, E=0$.
સમીકરણ સરળ બનતા: $3 x^4+5 x^2+2 = B(x^2+1)^2 + D(x^2+1)(x^2+2) + F(x^2+2)$.
ધારો કે $y = x^2$. તો $3y^2+5y+2 = B(y+1)^2 + D(y+1)(y+2) + F(y+2)$.
$y = -1$ માટે: $3-5+2 = F(1) \Rightarrow F=0$.
$y = -2$ માટે: $3(4)-5(2)+2 = B(-1)^2$ $\Rightarrow 12-10+2 = B$ $\Rightarrow B=4$.
$y^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $3 = B+D$ $\Rightarrow 3 = 4+D$ $\Rightarrow D=-1$.
આપણે $A+2 B+D+4 E = 0 + 2(4) + (-1) + 4(0) = 8-1 = 7$ શોધવાનું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણી પાસે છે,$x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1-x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
ધારો કે $F_1 = x^2+x+1$ અને $F_2 = x^2-x+1$.
તેથી,$\frac{x^3-2x^2+3x-4}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
બંને બાજુ $x^4+x^2+1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x^3-2x^2+3x-4 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^3-2x^2+3x-4 = (A+C)x^3 + (B-A+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
સમાન ઘાતવાળા પદોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 1$
$2) B-A+C+D = -2$
$3) A-B+C+D = 3$
$4) B+D = -4$
આપણે $A+B+C+D$ શોધવું છે. સમીકરણ $(1)$ પરથી,$A+C=1$. સમીકરણ $(4)$ પરથી,$B+D=-4$.
તેથી,$A+B+C+D = (A+C) + (B+D) = 1 + (-4) = -3$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x-2}{(x+1)^2(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+3}$
બંને બાજુ $(x+1)^2(x+3)$ વડે ગુણતા: $3x-2 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$
$x = -1$ લેતા: $3(-1)-2 = B(-1+3)$ $\Rightarrow -5 = 2B$ $\Rightarrow B = -\frac{5}{2}$
$x = -3$ લેતા: $3(-3)-2 = C(-3+1)^2$ $\Rightarrow -11 = 4C$ $\Rightarrow C = -\frac{11}{4}$
બંને બાજુ $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = \frac{11}{4}$
તેથી,$A+B+C = \frac{11}{4} - \frac{5}{2} - \frac{11}{4} = -\frac{5}{2}$

(B) ધારો કે $x-1 = t$,તેથી $x = t+1$. અંશમાં આ કિંમત મૂકતા: $3(t+1)^2 + (t+1) + 1 = 3(t^2+2t+1) + t + 2 = 3t^2 + 7t + 5$.
પદાવલિ $\frac{3t^2+7t+5}{t^4} = \frac{3}{t^2} + \frac{7}{t^3} + \frac{5}{t^4}$ બને છે.
આને $\frac{a}{t} + \frac{b}{t^2} + \frac{c}{t^3} + \frac{d}{t^4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=0, b=3, c=7, d=5$ મળે છે.
આમ,$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}$.

(A) $3x^5-6x^4+2x^3+4x^2-5x+8$ ને $x^2-2x+3$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$1$. $3x^5$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $3x^3$ મળે. $3x^3(x^2-2x+3) = 3x^5-6x^4+9x^3$ થાય. બાદબાકી કરતા $-7x^3+4x^2-5x+8$ મળે.
$2$. $-7x^3$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $-7x$ મળે. $-7x(x^2-2x+3) = -7x^3+14x^2-21x$ થાય. બાદબાકી કરતા $-10x^2+16x+8$ મળે.
$3$. $-10x^2$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $-10$ મળે. $-10(x^2-2x+3) = -10x^2+20x-30$ થાય. બાદબાકી કરતા $-4x+38$ મળે.
આમ,ભાગફળ $3x^3+0x^2-7x-10$ અને શેષ $-4x+38$ છે.
$ax^3+bx^2+cx+d$ અને $px+q$ સાથે સરખાવતા,$a=3, b=0, c=-7, d=-10$ અને $p=-4, q=38$ મળે.
તેથી $ab+cd = (3)(0) + (-7)(-10) = 0 + 70 = 70$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^2+1}{(x+2)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$ છે.
બંને બાજુ $(x+2)(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા,$x^2+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x+2)$ મળે.
$x = -2$ લેતા: $5 = 3A \Rightarrow A = \frac{5}{3}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A + B \Rightarrow B = -\frac{2}{3}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = A + 2C \Rightarrow C = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$A - B + C = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 2$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન:
$\frac{2 x+7}{\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)}=\frac{A x+1}{x^2+4}+\frac{B x+m}{x^2+9}+\frac{C x+n}{x^2+16}$
બંને બાજુઓને $\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)$ વડે ગુણતા:
$2 x+7 = (A x+1)(x^2+9)(x^2+16) + (B x+m)(x^2+4)(x^2+16) + (C x+n)(x^2+4)(x^2+9)$
$x^2 = -4$ લેતા:
$2x + 7 = (Ax + 1)(5)(12) = 60Ax + 60$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $60A = 2 \Rightarrow A = \frac{1}{30}$
$x^2 = -9$ લેતા:
$2x + 7 = (Bx + m)(-5)(7) = -35Bx - 35m$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-35B = 2 \Rightarrow B = -\frac{2}{35}$
$x^2 = -16$ લેતા:
$2x + 7 = (Cx + n)(-12)(-7) = 84Cx + 84n$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $84C = 2 \Rightarrow C = \frac{1}{42}$
હવે,$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{1}{A} = 30$,$\frac{1}{B} = -\frac{35}{2}$,$\frac{1}{C} = 42$
$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 30 - \frac{35}{2} + 42 = 72 - 17.5 = 54.5 = \frac{109}{2}$

(C) બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{x^4+x^3+2x^2-2x+1}{x^3+x^2} = x + \frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)}$.
આને $P(x) + \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P(x) = x$ અને $\frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ મળે છે.
$x^2(x+1)$ વડે ગુણતા,$2x^2-2x+1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$ મળે છે.
$x = 0$ લેતા,$1 = B(1) \Rightarrow B = 1$.
$x = -1$ લેતા,$2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = C(-1)^2$ $\Rightarrow 2+2+1 = C$ $\Rightarrow C = 5$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2 = A + C$ $\Rightarrow 2 = A + 5$ $\Rightarrow A = -3$.
આમ,$A+B+C = -3 + 1 + 5 = 3$.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{2-x}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા: $1-2x = A(2-x) + B(2x+1)$.
$x = 2$ માટે,$B = -\frac{3}{5}$.
$x = -\frac{1}{2}$ માટે,$A = \frac{4}{5}$.
તેથી,$f(x) = \frac{4}{5}(1+2x)^{-1} - \frac{3}{10}(1-\frac{x}{2})^{-1}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^{-1} = 1-u+u^2-u^3+\dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{4}{5}(1 - 2x + 4x^2 - 8x^3) - \frac{3}{10}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8})$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{4}{5}(-8) - \frac{3}{10}(\frac{1}{8}) = -\frac{32}{5} - \frac{3}{80} = -\frac{512+3}{80} = -\frac{515}{80} = -\frac{103}{16}$ થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{(x-3)(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(x-3)(x-2)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x}$.
પદાવલિને આ રીતે લખતા: $\frac{1}{2(1-\frac{x}{2})} - \frac{1}{3(1-\frac{x}{3})}$.
$|y| < 1$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n - \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{3})^n$.
$x^n$ નો સહગુણક $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^n - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{2x^3+8x^2-2x-2}{(1-x)(1+x)(1-2x)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - \frac{2}{1-2x} - \frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x}$.
દ્વિપદી શ્રેણીના વિસ્તરણ મુજબ:
$x^{10}$ નો સહગુણક $l = -2(2^{10}) - 3 + 1 = -2^{11} - 2$.
અચળ પદ $m = 1 - 2 - 3 + 1 = -3$.
તેથી,$lm = (-2^{11}-2)(-3) = 6(2^{10}+1)$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન:
$\frac{x^4+24x^2+28}{(x^2+1)^3} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{(x^2+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)^3}$
બંને બાજુ $(x^2+1)^3$ વડે ગુણતા:
$x^4+24x^2+28 = A(x^2+1)^2 + B(x^2+1) + C$
$x^4+24x^2+28 = A(x^4+2x^2+1) + B(x^2+1) + C$
$x^4+24x^2+28 = Ax^4 + (2A+B)x^2 + (A+B+C)$
$x^4$,$x^2$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1 = A$
$24 = 2A+B$ $\Rightarrow 24 = 2(1)+B$ $\Rightarrow B = 22$
$28 = A+B+C$ $\Rightarrow 28 = 1+22+C$ $\Rightarrow C = 5$
છેલ્લે,$B-2A+C$ ની ગણતરી કરતા:
$B-2A+C = 22 - 2(1) + 5 = 22 - 2 + 5 = 25$

(A) પ્રથમ,આંશિક અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંકને દર્શાવો: $\frac{x-4}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x-3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ માટે પદોને ફરીથી લખો: $2(x-2)^{-1} - (x-3)^{-1} = 2(-2)^{-1}(1-\frac{x}{2})^{-1} - (-3)^{-1}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
આનું સાદું રૂપ: $-(1-\frac{x}{2})^{-1} + \frac{1}{3}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
$(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$-(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots) + \frac{1}{3}(1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \frac{x^3}{27} + \dots)$.
$x^3$ નો સહગુણક $-\frac{1}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{27} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{81}$ છે.
સરવાળો કરતા: $\frac{-81 + 8}{648} = -\frac{73}{648}$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x+2}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$
અંશને સરખાવતા: $3x+2 = A(2x^2+3) + (x+1)(Bx+C)$
$3x+2 = 2Ax^2 + 3A + Bx^2 + Cx + Bx + C$
$3x+2 = (2A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+C)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2A+B = 0$ $(i)$
$B+C = 3$ (ii)
$3A+C = 2$ (iii)
$(i)$ પરથી,$B = -2A$.
(ii) માં મૂકતા: $-2A+C = 3$ (iv)
(iii) માંથી (iv) બાદ કરતા: $(3A+C) - (-2A+C) = 2 - 3 \implies 5A = -1 \implies A = -\frac{1}{5}$
તેથી $B = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$
અને $C = 3 - B = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$
અંતે,$A-B+C = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + \frac{13}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(C) આપણે અપૂર્ણાંકને આ રીતે દર્શાવીએ છીએ: $\frac{3x+1}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$
બંને બાજુ $(x+2)(x-1)^2$ વડે ગુણતા:
$3x+1 = A(x-1)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x+2)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x+1 = (A+B)x^2 + (-2A + B + C)x + (A - 2B + 2C)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A+B = 0 \Rightarrow A = -B$
$2$) $-2A + B + C = 3$
$3$) $A - 2B + 2C = 1$
$A = -B$ ને $(2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$2$) $3B + C = 3$
$3$) $-3B + 2C = 1$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $3C = 4 \Rightarrow C = \frac{4}{3}$
$C = \frac{4}{3}$ ને $3B + C = 3$ માં મૂકતા:
$3B = \frac{5}{3} \Rightarrow B = \frac{5}{9}$
તેથી $A = -\frac{5}{9}$
આમ,વિઘટન $\frac{-5}{9(x+2)} + \frac{5}{9(x-1)} + \frac{4}{3(x-1)^2}$ છે.

(A) $A_r$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $(x+r)$ વડે ગુણીને $x \rightarrow -r$ માટે લક્ષ લઈએ છીએ.
$A_r = \lim_{x \rightarrow -r} \frac{x+r}{x(x+1)(x+2) \ldots(x+n)}$
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1) \ldots (-1) \cdot (1) \cdot (2) \ldots (n-r)}$
છેદમાં $-r$ થી $-1$ સુધીના પદોનો ગુણાકાર $(-1)^r \cdot r!$ થાય છે અને $1$ થી $n-r$ સુધીના પદોનો ગુણાકાર $(n-r)!$ થાય છે.
તેથી,$A_r = \frac{1}{(-1)^r \cdot r! \cdot (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}$.

(C) આપેલ છે $\frac{3x+5}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$.
બંને બાજુ $(x+1)(2x^2+3)$ વડે ગુણતા,$3x+5 = A(2x^2+3) + (Bx+C)(x+1)$ મળે.
$x = -1$ લેતા: $3(-1)+5 = A(2(-1)^2+3) + 0 \implies 2 = 5A \implies A = \frac{2}{5}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = 2A + B \implies B = -2A = -2(\frac{2}{5}) = -\frac{4}{5}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $5 = 3A + C \implies C = 5 - 3(\frac{2}{5}) = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$.
આમ,$f(x) = \frac{2}{5}x^3 - \frac{4}{5}x^2 + 7x + \frac{19}{5}$.
$f'(x) = \frac{6}{5}x^2 - \frac{8}{5}x + 7$.
$f'(-2) = \frac{6}{5}(4) - \frac{8}{5}(-2) + 7 = \frac{24}{5} + \frac{16}{5} + 7 = \frac{40}{5} + 7 = 8 + 7 = 15$.
અંતે,$5C - f'(-2) = 5(\frac{19}{5}) - 15 = 19 - 15 = 4$.

(A) આપેલ છે,$\frac{42-13x}{x^2+x-6} = \frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
તેથી,$\frac{42-13x}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $42-13x = A(x-2) + B(x+3)$.
$x=2$ માટે: $42-26 = 5B \implies 16 = 5B \implies B = \frac{16}{5}$.
$x=-3$ માટે: $42+39 = -5A \implies 81 = -5A \implies A = -\frac{81}{5}$.
$\frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $l=1, m=3, p=1, q=-2$ મળે છે (જે $lm=3>0$ અને $pq=-2 < 0$ નું પાલન કરે છે).
તેથી,$\frac{Alp}{Bmq} = \frac{(-\frac{81}{5}) \times 1 \times 1}{(\frac{16}{5}) \times 3 \times (-2)} = \frac{-81/5}{-96/5} = \frac{81}{96} = \frac{27}{32}$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2+5}{(x^2+1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x-2)$ વડે ગુણતા: $x^2+5 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+5 = Ax^2 + A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ પદોને ગોઠવતા: $x^2+5 = (A+B)x^2 + (C-2B)x + (A-2C)$.
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A+B = 1$
$2$) $C-2B = 0 \Rightarrow C = 2B$
$3$) $A-2C = 5$
સમીકરણ $(3)$ માં $C=2B$ મૂકતા: $A - 2(2B) = 5 \Rightarrow A - 4B = 5$.
હવે સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
$A+B = 1$
$A-4B = 5$
પ્રથમમાંથી બીજું બાદ કરતા: $5B = -4 \Rightarrow B = -\frac{4}{5}$.
તેથી $A = 1 - B = 1 - (-4/5) = 9/5$.
અને $C = 2B = 2(-4/5) = -8/5$.
અંતે,$A+B+C = \frac{9}{5} - \frac{4}{5} - \frac{8}{5} = \frac{9-4-8}{5} = -\frac{3}{5}$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન:
$\frac{x+1}{x^4(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x^4}+\frac{E}{x+2}$
બંને બાજુ $x^4(x+2)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x+1 = Ax^3(x+2) + Bx^2(x+2) + Cx(x+2) + D(x+2) + Ex^4$
$B+D+E$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = -1$ મૂકીએ:
$-1+1 = A(-1)^3(-1+2) + B(-1)^2(-1+2) + C(-1)(-1+2) + D(-1+2) + E(-1)^4$
$0 = A(-1)(1) + B(1)(1) + C(-1)(1) + D(1) + E(1)$
$0 = -A + B - C + D + E$
$B+D+E$ ને અલગ કરતા:
$B+D+E = A+C$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{H(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}=f(x)+\frac{g(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$
બંને બાજુ $(x-1)(x+1)(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$H(x)=(x-1)(x+1)(x-2)f(x)+g(x)$
હવે,$x=-1, 2, 1$ માટે $H(x)$ ની કિંમત મેળવીએ:
$x=-1$ માટે: $H(-1)=( -1-1)( -1+1)( -1-2)f(-1)+g(-1) = 0+g(-1) = g(-1)$
$x=2$ માટે: $H(2)=(2-1)(2+1)(2-2)f(2)+g(2) = 0+g(2) = g(2)$
$x=1$ માટે: $H(1)=(1-1)(1+1)(1-2)f(1)+g(1) = 0+g(1) = g(1)$
આ કિંમતોને $H(-1)+2H(2)-3H(1)$ માં મૂકતા:
$H(-1)+2H(2)-3H(1) = g(-1)+2g(2)-3g(1)$

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિભાજન: $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$.
બંને બાજુ $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ વડે ગુણતા:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ શોધવા માટે,$x = 1$ લેતા: $1 = a(1-2)(1-3) = a(-1)(-2) = 2a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{2}$ લેતા: $1 = b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}b \Rightarrow b = -4$.
$c$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{3}$ લેતા: $1 = c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}c \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
હવે,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5} = \frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
લસાઅ $30$ લેતા: $\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(A) બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{6 x^4+13 x^3+2 x^2-x+3}{2 x^2+3 x-2} = 3 x^2+2 x+1 + \frac{5}{2 x^2+3 x-2}$
છેદના અવયવ પાડતા: $2 x^2+3 x-2 = (2 x-1)(x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{5}{(2 x-1)(x+2)} = \frac{A}{2 x-1} + \frac{B}{x+2}$
$5 = A(x+2) + B(2 x-1)$
$x = \frac{1}{2}$ લેતા: $A = 2$.
$x = -2$ લેતા: $B = -1$.
સરખામણી કરતા: $f(x) = 3 x^2+2 x+1$,$a = 2$,$b = 2$,$A = 2$,$B = -1$.
$f(1)+a \cdot B+b \cdot A = 6 + 2(-1) + 2(2) = 8$.

(A) $\frac{x^5-5}{x^3+x^2}$ નો બહુપદી ભાગાકાર કરતા:
$\frac{x^5-5}{x^3+x^2} = x^2 - x + 1 + \frac{-x^2-5}{x^3+x^2}$
આમ,$f(x) = x^2 - x + 1$ અને $\frac{-x^2-5}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$.
$x^2(x+1)$ વડે ગુણતા:
$-x^2-5 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$
$-x^2-5 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$B = -5$,$A+B = 0 \Rightarrow A = 5$,$A+C = -1 \Rightarrow C = -6$.
આપેલ છે કે $f(K) + A + B + C = 1$:
$(K^2 - K + 1) + 5 - 5 - 6 = 1$
$K^2 - K - 6 = 0$
$(K-3)(K+2) = 0$
$K = 3$ અથવા $K = -2$.
$K$ ની મોટી કિંમત $3$ છે.

(C) આપેલ છે $g(x) = 3x^2 + 4x + 7$. $x=2$ ની આસપાસ ટેલર વિસ્તરણ દ્વારા,આપણી પાસે $g(x) = g(2) + g^{\prime}(2)(x-2) + \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$ છે.
સમીકરણ $\frac{3x^2+4x+7}{(x-2)^3} = \frac{A}{(x-2)^3} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{(x-2)}$ સૂચવે છે કે $3x^2+4x+7 = A + B(x-2) + C(x-2)^2$.
આને ટેલર વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = g(2)$,$B = g^{\prime}(2)$,અને $C = \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}$ મળે છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $g(2) = 3(4)+4(2)+7 = 27$,$g^{\prime}(x) = 6x+4 \Rightarrow g^{\prime}(2) = 16$,$g^{\prime \prime}(x) = 6 \Rightarrow \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = \frac{6}{2} = 3$.
આમ,$A=27, B=16, C=3$.
$A+B+C = 27+16+3 = 46$.
વિકલ્પો તપાસતા: $g(2)+g^{\prime}(2)+\frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = 27+16+3 = 46$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $x-2 = t$,તેથી $x = t+2$. આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3(t+2)^4 - 2(t+2)^2 + 1}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(t^4 + 8t^3 + 24t^2 + 32t + 16) - 2(t^2 + 4t + 4) + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 72t^2 + 96t + 48 - 2t^2 - 8t - 8 + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 70t^2 + 88t + 41$
$t^4$ વડે ભાગતા:
$3 + \frac{24}{t} + \frac{70}{t^2} + \frac{88}{t^3} + \frac{41}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $A=3, B=24, C=70, D=88, E=41$ મળે છે.
હવે,$2A + 3B - C - D + E = 2(3) + 3(24) - 70 - 88 + 41 = 6 + 72 - 70 - 88 + 41 = -39$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6}=\frac{A x+B}{x^2+a}+\frac{C x+D}{a x^2+3}$.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $2 x^4+7 x^2+6 = (x^2+2)(2 x^2+3)$.
આને આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે $a=2$ મેળવીએ છીએ.
હવે,અપૂર્ણાંકને આ રીતે દર્શાવો: $\frac{x^2}{(x^2+2)(2 x^2+3)} = \frac{P}{x^2+2} + \frac{Q}{2 x^2+3}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરતા: $x^2 = P(2 x^2+3) + Q(x^2+2)$.
$x^2 = -2$ માટે: $-2 = P(-4+3) \implies -2 = -P \implies P = 2$.
$x^2 = -3/2$ માટે: $-3/2 = Q(-3/2+2) \implies -3/2 = Q(1/2) \implies Q = -3$.
આમ,$\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6} = \frac{2}{x^2+2} - \frac{3}{2 x^2+3}$.
$\frac{A x+B}{x^2+2} + \frac{C x+D}{2 x^2+3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=0, B=2, C=0, D=-3$ મળે છે.
$A+B+C-2 D = 0+2+0-2(-3) = 2+6 = 8$ ની ગણતરી કરતા.
કારણ કે $a=2$,$4a = 4(2) = 8$.
તેથી,$A+B+C-2 D = 4 a$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)}$ છે.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $x^4 = (x^2+1)(x^2-1) + 1$.
તેથી,$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{(x^2+1)(x^2-1)+1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{x^2-1}{x-2} + \frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$.
વધુમાં,$\frac{x^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4+3}{x-2} = x+2 + \frac{3}{x-2}$.
હવે,$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરતા:
$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{x+2}{x^2+1} \right) = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
આને જોડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = x+2 + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)} = x+2 + \frac{16}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
$f(x) + \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = x+2$,$A = -\frac{1}{5}$,$B = -\frac{2}{5}$,$C = \frac{16}{5}$.
$f(14) + 2A - B = (14+2) + 2(-\frac{1}{5}) - (-\frac{2}{5}) = 16 - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 16$.
કારણ કે $5C = 5 \times \frac{16}{5} = 16$,તેથી જવાબ $5C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$. આને $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1) = x^4+(2-a^2)x^2+1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2-a^2=1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2=1$. તેથી,$a=1$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+ax+1} + \frac{Cx+D}{x^2-ax+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1)$ વડે ગુણતા,આપણને $1 = (Ax+B)(x^2-ax+1) + (Cx+D)(x^2+ax+1)$ મળે છે.
$RHS$ નું વિસ્તરણ કરતા: $1 = (A+C)x^3 + (-aA+B+aC+D)x^2 + (A-aB+C+aD)x + (B+D)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A+C=0 \Rightarrow C=-A$
$2$) $B+D=1$
$3$) $-aA+B+aC+D = 0 \Rightarrow -aA+B-aA+D = 0 \Rightarrow -2aA + (B+D) = 0 \Rightarrow -2aA+1=0 \Rightarrow A = \frac{1}{2a}$. તેથી $C = -\frac{1}{2a}$.
$4$) $A-aB+C+aD = 0 \Rightarrow (A+C) - a(B-D) = 0 \Rightarrow 0 - a(B-D) = 0 \Rightarrow B=D$.
$B+D=1$ અને $B=D$ હોવાથી,આપણને $B=D=\frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,$A+B-C+D = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2a}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{a} + 1$.
$a=1$ હોવાથી,$A+B-C+D = 1+1 = 2 = 2a$.

(D) આપેલ છે $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}=p(x)+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $x^4 = (x^3-6x^2+11x-6)(x+6) + (18x^2-42x+36)$.
તેથી,$p(x) = x+6$.
બાકીના ભાગ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{18x^2-42x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$x=1$ માટે: $12 = 2A \Rightarrow A=6$.
$x=2$ માટે: $24 = -B \Rightarrow B=-24$.
$x=3$ માટે: $72 = 2C \Rightarrow C=36$.
હવે,$p\left(\frac{3}{2}\right) + C = \left(\frac{3}{2} + 6\right) + 36 = \frac{15}{2} + 36 = 43.5$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $48$ છે.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x+1}{\left(x^2+1\right)(x-1)^2}=\frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x-1)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x+1 = (Ax+B)(x-1)^2 + C(x-1)(x^2+1) + D(x^2+1)$.
$x=1$ મૂકતા: $1+1 = D(1^2+1) \Rightarrow 2 = 2D \Rightarrow D=1$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x+1 = (Ax+B)(x^2-2x+1) + C(x^3-x^2+x-1) + D(x^2+1)$
$x+1 = (A+C)x^3 + (-2A+B-C+D)x^2 + (A-2B+C)x + (B-C+D)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A+C = 0 \Rightarrow C = -A$
$2$) $-2A+B-C+D = 0 \Rightarrow -2A+B-(-A)+1 = 0 \Rightarrow -A+B+1 = 0 \Rightarrow B = A-1$
$3$) $A-2B+C = 1 \Rightarrow A-2(A-1)+(-A) = 1 \Rightarrow A-2A+2-A = 1 \Rightarrow -2A = -1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
તેથી $C = -\frac{1}{2}$ અને $B = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$.
અંતે,$A+B+C+D = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2+3}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x^2+2)$ વડે ગુણતા: $x^2+3=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+3=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$.
$x$ ની ઘાત મુજબ પદોને ગોઠવતા: $x^2+3=(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)$.
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C=0$ ($x^3$ નો સહગુણક)
$B+D=1$ ($x^2$ નો સહગુણક)
$2A+C=0$ ($x$ નો સહગુણક)
$2B+D=3$ (અચળ પદ)
$A+C=0$ અને $2A+C=0$ પરથી,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $A=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
$B+D=1$ અને $2B+D=3$ પરથી,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $B=2$ મળે છે. $B=2$ ને $B+D=1$ માં મૂકતા $D=-1$ મળે છે.
આમ,$A=0, B=2, C=0, D=-1$.
તેથી,$A+B+C+D=0+2+0+(-1)=1$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-3x+2}{(x-4)(x-3)^2} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2}$.
બંને બાજુ $(x-4)(x-3)^2$ વડે ગુણતા: $x^2-3x+2 = A(x-3)^2 + B(x-3)(x-4) + C(x-4)$.
$A$ શોધવા માટે,$x=4$ લેતા: $4^2 - 3(4) + 2 = A(4-3)^2 \Rightarrow 16 - 12 + 2 = A(1)^2 \Rightarrow A = 6$.
$C$ શોધવા માટે,$x=3$ લેતા: $3^2 - 3(3) + 2 = C(3-4) \Rightarrow 9 - 9 + 2 = C(-1) \Rightarrow 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
$B$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A + B$. $A=6$ હોવાથી,$1 = 6 + B \Rightarrow B = -5$.
અંતે,$A+B+C = 6 + (-5) + (-2) = 6 - 7 = -1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$(x-1)(x-2)(x-3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $1=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$.
$x=1$ માટે,$1=A(1-2)(1-3) \Rightarrow A=\frac{1}{2}$.
$x=2$ માટે,$1=B(2-1)(2-3) \Rightarrow B=-1$.
$x=3$ માટે,$1=C(3-1)(3-2) \Rightarrow C=\frac{1}{2}$.
તેથી,$A+2B+3C = \frac{1}{2} + 2(-1) + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$.
હવે,$\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{P}{x-1}+\frac{Q}{x-2}+\frac{R}{x-3}$ માટે,આપણને મળે $x=P(x-2)(x-3)+Q(x-1)(x-3)+R(x-1)(x-2)$.
$x=1$ માટે,$1=P(1-2)(1-3) \Rightarrow P=\frac{1}{2}$.
$x=2$ માટે,$2=Q(2-1)(2-3) \Rightarrow Q=-2$.
$x=3$ માટે,$3=R(3-1)(3-2) \Rightarrow R=\frac{3}{2}$.
$P+Q+R = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$ ની ગણતરી કરતા.
બંને પદાવલિઓ $0$ હોવાથી,$A+2B+3C = P+Q+R$.

(D) $\frac{px+q}{(x+a)(x^2+b^2)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ $\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b^2}$ છે.
$\frac{9x-7}{(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ લો.
બંને બાજુ $(x+3)(x^2+1)$ વડે ગુણતા,આપણને $9x-7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+3)$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $9x-7 = Ax^2 + A + Bx^2 + 3Bx + Cx + 3C = (A+B)x^2 + (3B+C)x + (A+3C)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B = 0 \implies B = -A$
$3B+C = 9$
$A+3C = -7$
બીજા સમીકરણમાં $B = -A$ મૂકતા: $3(-A) + C = 9 \implies -3A + C = 9 \implies C = 9 + 3A$.
ત્રીજા સમીકરણમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા: $A + 3(9 + 3A) = -7 \implies A + 27 + 9A = -7 \implies 10A = -34 \implies A = -\frac{34}{10} = -\frac{17}{5}$.
તેથી $B = -A = \frac{17}{5}$ અને $C = 9 + 3(-\frac{17}{5}) = \frac{45-51}{5} = -\frac{6}{5}$.
આ કિંમતો પાછી મૂકતા,આપણને $\frac{-17}{5(x+3)} + \frac{\frac{17}{5}x - \frac{6}{5}}{x^2+1} = \frac{-17}{5(x+3)} + \frac{17x-6}{5(x^2+1)}$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^4+3 x+1}{(x+1)^2(x-1)}=A x+B+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{x-1}$.
પ્રથમ,$x^4+3x+1$ ને $(x+1)^2(x-1) = x^3+x^2-x-1$ વડે ભાગતા,ભાગફળ $(x-1)$ અને શેષ $3x^2+3x$ મળે છે. તેથી,$Ax+B = x-1$,જેનો અર્થ છે $A=1$ અને $B=-1$.
હવે,$\frac{3x^2+3x}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2} + \frac{E}{x-1}$.
બંને બાજુ $(x+1)^2(x-1)$ વડે ગુણતા: $3x^2+3x = C(x+1)(x-1) + D(x-1) + E(x+1)^2$.
$x=1$ લેતા: $3(1)^2+3(1) = E(1+1)^2 \Rightarrow 6 = 4E \Rightarrow E = 3/2$.
$x=-1$ લેતા: $3(-1)^2+3(-1) = D(-1-1) \Rightarrow 0 = -2D \Rightarrow D = 0$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $3 = C + E \Rightarrow 3 = C + 3/2 \Rightarrow C = 3/2$.
આમ,$A=1, B=-1, C=3/2, D=0, E=3/2$.
તેથી,$A+B+C+D+E = 1 - 1 + 3/2 + 0 + 3/2 = 6/2 = 3$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિભાજન:
$\frac{5x^4+4x^2+7}{(x^2+1)(x^4+x^2+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx^3+Dx^2+Ex+F}{x^4+x^2+1}$
બંને બાજુ છેદ $(x^2+1)(x^4+x^2+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$5x^4+4x^2+7 = (Ax+B)(x^4+x^2+1) + (Cx^3+Dx^2+Ex+F)(x^2+1)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$5x^4+4x^2+7 = Ax^5+Ax^3+Ax + Bx^4+Bx^2+B + Cx^5+Cx^3+Dx^4+Dx^2+Ex^3+Ex+Fx^2+F$
$x$ ના સમાન ઘાતાંકોના સહગુણકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$5x^4+4x^2+7 = (A+C)x^5 + (B+D)x^4 + (A+C+E)x^3 + (B+D+F)x^2 + (A+E)x + (B+F)$
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 0$
$2) B+D = 5$
$3) A+C+E = 0$
$4) B+D+F = 4$
$5) A+E = 0$
$6) B+F = 7$
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,$A+C=0$ હોવાથી,આપણને $E=0$ મળે છે.
$(5)$ પરથી,$A+E=0 \implies A=0$,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
$(2)$ પરથી,$B+D=5$. $(4)$ પરથી,$(B+D)+F=4 \implies 5+F=4 \implies F=-1$.
$(6)$ પરથી,$B+F=7 \implies B-1=7 \implies B=8$.
તેથી $D = 5-B = 5-8 = -3$.
આમ,$A=0, B=8, C=0, D=-3, E=0, F=-1$.
પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$B+2(D+F+E)-C \cdot A = 8 + 2(-3-1+0) - 0 \cdot 0 = 8 + 2(-4) - 0 = 8-8 = 0$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2x+1}{(x-1)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+1)$ વડે ગુણતા:
$2x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x+1 = A(x^3-x^2+x-1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$.
$2x+1 = x^3(A+C) + x^2(-A+B-2C+D) + x(A+C-2D) + (-A+B+D)$.
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 0$
$2) -A+B-2C+D = 0$
$3) A+C-2D = 2$
$4) -A+B+D = 1$
$(1)$ પરથી,$C = -A$. $(3)$ માં મૂકતા: $A-A-2D = 2 \Rightarrow -2D = 2 \Rightarrow D = -1$.
$D = -1$ ને $(4)$ માં મૂકતા: $-A+B-1 = 1 \Rightarrow -A+B = 2 \Rightarrow B = A+2$.
$C = -A, D = -1, B = A+2$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $-A+(A+2)-2(-A)+(-1) = 0 \Rightarrow 2A+1 = 0 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$.
તેથી $B = -\frac{1}{2}+2 = \frac{3}{2}$ અને $C = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આમ,$A+B+C+D = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-2}{(x^2+1)(x^2+3)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$.
ધારો કે $y = x^2$. પદાવલિ $\frac{y-2}{(y+1)(y+3)} = \frac{B}{y+1} + \frac{D}{y+3}$ બને છે (કારણ કે $Ax$ અને $Cx$ પદો $0$ હોવા જોઈએ).
$D$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $(y+3)$ વડે ગુણીને $y = -3$ મૂકતા:
$D = \left[ \frac{y-2}{y+1} \right]_{y=-3} = \frac{-3-2}{-3+1} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$.

(C) ધારો કે $y = \frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$.
અચળાંકો માટે ઉકેલતા: $2x+1 = a(x+1)^2 + b(x+1)(x-2) + c(x-2)$.
$x=2$ માટે: $5 = a(3)^2 \Rightarrow a = \frac{5}{9}$.
$x=-1$ માટે: $-1 = c(-3) \Rightarrow c = \frac{1}{3}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = a + b \Rightarrow b = -a = -\frac{5}{9}$.
તેથી,$y = \frac{5/9}{x-2} - \frac{5/9}{x+1} + \frac{1/3}{(x+1)^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{5/9}{(x-2)^2} + \frac{5/9}{(x+1)^2} - \frac{2/3}{(x+1)^3}$.
આને $\frac{A}{(x-2)^2} + \frac{B}{(x+1)^3} + \frac{C}{(x+1)^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{5}{9}$,$B = -\frac{2}{3}$,અને $C = \frac{5}{9}$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C = -\frac{5}{9} - \frac{2}{3} + \frac{5}{9} = -\frac{2}{3}$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3 x^2+ax+3}{(2 x+3)(x^2+2)}=\frac{3}{2 x+3}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$
છેદ સમાન કરીને અંશની સરખામણી કરતા:
$3 x^2+ax+3 = 3(x^2+2) + (Bx+C)(2x+3)$
$3 x^2+ax+3 = 3x^2 + 6 + 2Bx^2 + 3Bx + 2Cx + 3C$
$3 x^2+ax+3 = (3+2B)x^2 + (3B+2C)x + (6+3C)$
$x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \ 3+2B = 3 \implies 2B = 0 \implies B = 0$
$2) \ 3B+2C = a \implies 3(0)+2C = a \implies 2C = a \implies C = \frac{a}{2}$
$3) \ 6+3C = 3 \implies 3C = -3 \implies C = -1$
$C = -1$ ને $C = \frac{a}{2}$ માં મૂકતા:
$-1 = \frac{a}{2} \implies a = -2$
છેલ્લે,$a(B+C)$ ની ગણતરી કરતા:
$a(B+C) = -2(0 + (-1)) = -2(-1) = 2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{2x^2-3x+5}{(x-7)^3}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{(x-7)^2}+\frac{C}{(x-7)^3}$.
બંને બાજુ $(x-7)^3$ વડે ગુણતા:
$2x^2-3x+5 = A(x-7)^2 + B(x-7) + C$
$2x^2-3x+5 = A(x^2-14x+49) + Bx - 7B + C$
$2x^2-3x+5 = Ax^2 + (B-14A)x + (49A-7B+C)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 2$
$B-14A = -3$ $\Rightarrow B-14(2) = -3$ $\Rightarrow B-28 = -3$ $\Rightarrow B = 25$
$49A-7B+C = 5$ $\Rightarrow 49(2)-7(25)+C = 5$ $\Rightarrow 98-175+C = 5$ $\Rightarrow C-77 = 5$ $\Rightarrow C = 82$
હવે,$2A-3B+C$ ની કિંમત શોધતા:
$2(2)-3(25)+82 = 4-75+82 = 11$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.