Partial fractions Questions in Gujarati

(C) $2x^4-x^3+3x^2-x+4$ ને $x^2-3x+2$ વડે ભાગતા:
ભાગફળ $f(x) = 2x^2+5x+14$ મળે છે.
શેષ $31x-28$ મળે છે.
આમ,$\frac{2x^4-x^3+3x^2-x+4}{x^2-3x+2} = 2x^2+5x+14 + \frac{31x-28}{(x-1)(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{31x-28}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
$31x-28 = A(x-2) + B(x-1)$.
$x=1$ લેતા: $3 = -A \Rightarrow A = -3$.
$x=2$ લેતા: $34 = B \Rightarrow B = 34$.
$A+B = -3+34 = 31$.
તેથી,$f(x) = 2x^2+5x+14$ અને $A+B = 31$.

(B) સંમેય પદાવલિ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ને અનુચિત અપૂર્ણાંક કહેવાય છે જો અંશ $P(x)$ ની ઘાત એ છેદ $Q(x)$ ની ઘાત કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
અહીં,અંશ $x^4$ ની ઘાત $4$ છે અને છેદ $x^3-3x+2$ ની ઘાત $3$ છે.
કારણ કે $4 \geq 3$,તેથી આ પદાવલિ એક અનુચિત અપૂર્ણાંક છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = A + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$
બંને બાજુ $(x+1)^2$ વડે ગુણતા:
$x^2+x+1 = A(x+1)^2 + B(x+1) + C$
$x^2+x+1 = A(x^2+2x+1) + Bx + B + C$
$x^2+x+1 = Ax^2 + (2A+B)x + (A+B+C)$
$x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 1$
$2A+B = 1$ $\Rightarrow 2(1)+B = 1$ $\Rightarrow B = -1$
$A+B+C = 1$ $\Rightarrow 1-1+C = 1$ $\Rightarrow C = 1$
હવે,$A-B$ ની ગણતરી કરતા:
$A-B = 1 - (-1) = 2$
કારણ કે $C = 1$,તેથી $2 = 2C$.
આમ,$A-B = 2C$.

(D) ભાગફળ શોધવા માટે,આપણે $x^3-5x^2+2x+7$ નો $(x-1)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ પદ $x^3$ ને $x$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ ને $(x-1)$ વડે ગુણતા $x^3-x^2$ મળે છે. તેને મૂળ બહુપદીમાંથી બાદ કરતા $-4x^2+2x+7$ મળે છે.
$3$. $-4x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4x$ મળે છે.
$4$. $-4x$ ને $(x-1)$ વડે ગુણતા $-4x^2+4x$ મળે છે. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા $-2x+7$ મળે છે.
$5$. $-2x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે.
$6$. $-2$ ને $(x-1)$ વડે ગુણતા $-2x+2$ મળે છે. તેને $-2x+7$ માંથી બાદ કરતા શેષ $5$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^2-4x-2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) આપણી પાસે છે,$\frac{x^3}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{x^3}{2x^3-5x^2+4x-1}$.
ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^3}{2x^3-5x^2+4x-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{5x^2-4x+1}{(2x-1)(x-1)^2} \right) \dots (i)$.
ધારો કે $\frac{5x^2-4x+1}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x-1} + \frac{D}{(x-1)^2}$.
$5x^2-4x+1 = B(x-1)^2 + C(x-1)(2x-1) + D(2x-1)$.
$x=1$ મુકતા,$D=2$ મળે છે.
$x=1/2$ મુકતા,$B=1$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $5 = B + 2C$ $\Rightarrow 5 = 1 + 2C$ $\Rightarrow C=2$.
આ કિંમતો $(i)$ માં મુકતા:
$\frac{x^3}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{1}{2} + \frac{1/2}{2x-1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$.
સરખામણી કરતા $A=1/2, B=1/2, C=1, D=1$.
તેથી,$2A - 3B + 4C + 5D = 2(1/2) - 3(1/2) + 4(1) + 5(1) = 1 - 1.5 + 4 + 5 = 8.5 = \frac{17}{2}$.

(B) આપેલ છે,$\frac{x^2+5x+7}{(x-3)^3} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)^3}$.
બંને બાજુ $(x-3)^3$ વડે ગુણતા:
$x^2+5x+7 = A(x-3)^2 + B(x-3) + C$ --- $(i)$
$x=3$ મૂકતા:
$C = 31$.
$x=0$ મૂકતા:
$3A - B = -8$ --- (ii)
$x=1$ મૂકતા:
$2A - B = -9$ --- (iii)
(ii) અને (iii) ઉકેલતા,$A=1$ અને $B=11$ મળે છે.
તેથી,$A=1$ ઢાળ અને $(11, 31)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા:
$y - 31 = 1(x - 11) \Rightarrow x - y + 20 = 0$.

(C) આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{3x^2-5x+3}{(x-1)(2x+1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x+1} + \frac{C}{x+3}$.
સહગુણકો માટે ઉકેલતા: $3x^2-5x+3 = A(2x+1)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(2x+1)$.
$x=1$ માટે: $3-5+3 = A(3)(4) \implies 1 = 12A \implies A = \frac{1}{12}$.
$x=-1/2$ માટે: $3(1/4) + 5/2 + 3 = B(-3/2)(5/2) \implies 3/4 + 10/4 + 12/4 = -\frac{15}{4}B \implies 25 = -15B \implies B = -\frac{5}{3}$.
$x=-3$ માટે: $3(9) + 15 + 3 = C(-4)(-5) \implies 45 = 20C \implies C = \frac{9}{4}$.
આમ,$f(x) = -\frac{1}{12}(1-x)^{-1} - \frac{5}{3}(1+2x)^{-1} + \frac{3}{4}(1+x/3)^{-1}$.
$x^4$ નો સહગુણક $-\frac{1}{12}(1)^4 - \frac{5}{3}(-2)^4 + \frac{3}{4}(-1/3)^4 = -\frac{1}{12} - \frac{80}{3} + \frac{1}{108}$ છે.
$= \frac{-9 - 2880 + 1}{108} = -\frac{2888}{108} = -\frac{722}{27}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{-2}{x^2+1} + \frac{4}{x^2+2}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-2(1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots) + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{8} + \dots)$.
$x^4$ નો સહગુણક $= -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
$x^6$ નો સહગુણક $= 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
તફાવતનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $= |-\frac{3}{2} - \frac{7}{4}| = |-\frac{13}{4}| = \frac{13}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x^4}{(x+1)(x-2)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$.
અચળાંકો શોધતા,$1 = A(x-2) + B(x+1)$.
$x = -1$ માટે,$A = -\frac{1}{3}$ અને $x = 2$ માટે,$B = \frac{1}{3}$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^4}{3} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1} \right)$.
$|x| < 1$ માટે પાવર શ્રેણીમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1+x)^{-1} \right]$
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots) - (1 - x + x^2 - \dots) \right]$.
આ વિસ્તરણમાં $x$ ની સૌથી નાની ઘાત $x^4$ છે. તેથી,$x^0$,$x^1$ અને $x^2$ ના સહગુણકો $0$ છે.

(A) આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $A = \frac{2}{5}$ અને $B = \frac{3}{5}$ મળે છે.
આમ,$\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{2}{5(x+3)} + \frac{3}{5(x-2)} = \frac{2}{15(1 + x/3)} - \frac{3}{10(1 - x/2)}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^{-1} = 1 - u + u^2 - u^3 + \dots$ અને $(1-u)^{-1} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$= \frac{2}{15} \left(1 - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{27} + \dots \right) - \frac{3}{10} \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots \right)$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{2}{15} \times (-\frac{1}{27}) - \frac{3}{10} \times \frac{1}{8} = -\frac{2}{405} - \frac{3}{80} = -\frac{32 + 243}{6480} = -\frac{275}{6480} = -\frac{55}{1296}$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x^2-1}{(x^2+1)(x^2+2)}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1}{2} (x^2-1) (1+x^2)^{-1} (1+\frac{x^2}{2})^{-1}$
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1+x^2)^{-1} = 1-x^2+x^4 - \dots$
$(1+\frac{x^2}{2})^{-1} = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4} - \dots$
બંને શ્રેણીનો ગુણાકાર:
$(1-x^2+x^4)(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}) = 1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4$
હવે $\frac{1}{2}(x^2-1)$ સાથે ગુણતા:
$\frac{1}{2}(x^2-1)(1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4) = \frac{1}{2} [-1 + \frac{5}{2}x^2 - \frac{13}{4}x^4]$
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $\frac{1}{2} \times (-\frac{13}{4}) = -\frac{13}{8}$ મળે છે.

(B) આપેલ $\frac{x^4}{(x-1)^2(x+1)}$ માટે બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $x+1 + \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)}$ મળે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા $A=1, B=1, P=\frac{3}{2}, Q=0, R=\frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી $2AP-BQ+R = 2(1)(\frac{3}{2}) - (1)(0) + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2}$.
અચળાંકો શોધતા: $x = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2$.
$x=1$ માટે: $1 = B(1-2) \implies B = -1$.
$x=2$ માટે: $2 = C(2-1)^2 \implies C = 2$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $0 = A + C \implies A = -2$.
તેથી,$f(x) = \frac{-2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{1-x} - \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x/2}$.
વિસ્તરણ: $2(1+x+x^2+\dots+x^n+\dots) - (1+2x+3x^2+\dots+(n+1)x^n+\dots) - (1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\dots+\frac{x^n}{2^n}+\dots)$.
$x^n$ નો સહગુણક: $2 - (n+1) - \frac{1}{2^n} = 1 - n - \frac{1}{2^n}$.
આ વિસ્તરણ $|x| < 1$ માટે માન્ય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \frac{3x}{(x-2)(x-1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3x}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા: $3x = A(x-1) + B(x-2)$.
$x=1$ માટે,$3 = B(-1) \Rightarrow B = -3$.
$x=2$ માટે,$6 = A(1) \Rightarrow A = 6$.
તેથી,$f(x) = \frac{6}{x-2} - \frac{3}{x-1} = -\frac{6}{2(1-x/2)} + \frac{3}{1-x} = -3(1-x/2)^{-1} + 3(1-x)^{-1}$.
$(1-u)^{-1}$ નું વિસ્તરણ $|u| < 1$ માટે માન્ય છે.
$-3(1-x/2)^{-1}$ માટે,આપણને $|x/2| < 1 \Rightarrow |x| < 2$ ની જરૂર છે.
$3(1-x)^{-1}$ માટે,આપણને $|x| < 1$ ની જરૂર છે.
વિસ્તરણ આ અંતરાલોના છેદગણમાં માન્ય છે: $|x| < 2$ અને $|x| < 1$,જે $|x| < 1$ અથવા $-1 < x < 1$ છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{3x}{(x-2)(x+1)}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે આ રીતે લખી શકાય: $\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \quad (i)$
$3x = A(x+1) + B(x-2)$
$x = 2$ લેતા,$3(2) = A(2+1)$ $\Rightarrow 6 = 3A$ $\Rightarrow A = 2$.
$x = -1$ લેતા,$3(-1) = B(-1-2)$ $\Rightarrow -3 = -3B$ $\Rightarrow B = 1$.
$A$ અને $B$ ની કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{-2(1 - \frac{x}{2})} + \frac{1}{1+x} = -(1 - \frac{x}{2})^{-1} + (1+x)^{-1}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + y^5 + \dots$ અને $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + y^4 - y^5 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -[1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^3 + (\frac{x}{2})^4 + (\frac{x}{2})^5 + \dots] + [1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots]$
$x^5$ નો સહગુણક $-(\frac{1}{2})^5 - 1 = -\frac{1}{32} - 1 = -\frac{33}{32}$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)}$ છે.
પ્રથમ,બહુપદી ભાગાકાર અથવા બીજગણિતીય સાદુરૂપ આપો.
નોંધો કે $x^4+1 = (x^4-1) + 2 = (x^2-1)(x^2+1) + 2$.
તેથી,$\frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1) + 2}{(x^2+1)(x-1)} = (x+1) + \frac{2}{(x^2+1)(x-1)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{x-1} = -(1+x+x^2+x^3+...)$ અને $\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+...$.
આમ,$\frac{2}{(x^2+1)(x-1)} = 2(1-x^2+x^4-...) \times -(1+x+x^2+x^3+...)$.
$= -2(1+x+0x^2+0x^3+...)$.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $0$ છે.

(A) ધારો કે $a_r = \frac{r+2}{r(r+1)(r+3)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે મેળવીએ છીએ કે $a_r = \frac{2}{3r} - \frac{1}{2(r+1)} - \frac{1}{6(r+3)}$.
સરવાળો $S_n$ ની મર્યાદા $n \rightarrow \infty$ લેતા,આપણને $\frac{29}{36}$ મળે છે.

(B) આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x+1)\ldots(x+n)} = \sum_{r=0}^{n} \frac{A_r}{x+r}$.
$A_r$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $(x+r)$ વડે ગુણીને $x \to -r$ લેતા:
$A_r = \lim_{x \to -r} \frac{x+r}{x(x+1)\ldots(x+n)}$.
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1)\ldots(-1) \cdot (1)(2)\ldots(n-r)}$.
છેદમાં પ્રથમ ભાગમાં $r$ ઋણ પદો છે,જે $(-1)^r \cdot r!$ આપે છે,અને બીજો ભાગ $(n-r)!$ છે.
તેથી,$A_r = \frac{1}{(-1)^r r! (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r! (n-r)!}$.

(B) યોગ્ય અપૂર્ણાંક એ સંમેય પદાવલિ $\frac{f(x)}{g(x)}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યાં અંશ $f(x)$ ની ઘાત એ છેદ $g(x)$ ની ઘાત કરતા ઓછી હોય છે.
આ અપૂર્ણાંકને આંશિક અપૂર્ણાંકોમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે છેદ $g(x)$ ને સુરેખ અથવા અવિભાજ્ય દ્વિઘાત અવયવોમાં અવયવીકરણ કરવું પડે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનું સ્વરૂપ સંપૂર્ણપણે $g(x)$ ના અવયવોના પ્રકાર પર આધારિત છે.
તેથી,આ ઘટાડો માત્ર $g(x)$ ના અવયવીકરણ પર આધાર રાખે છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{x^2+x+1} = f_1(x) - f_2(x)$.
આના પરથી,આપણે $f_1(x) = \frac{1}{x-1}$ અને $f_2(x) = \frac{x+2}{x^2+x+1}$ મેળવીએ છીએ.
હવે,આ કિંમતોને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x+1}{(x-1)^2(x^2+x+1)} = A \left(\frac{1}{x-1}\right) + (B + \frac{D}{x-1}) \left(\frac{x+2}{x^2+x+1}\right) + \frac{C}{(x-1)^2}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા:
$x+1 = A(x-1)(x^2+x+1) + (B(x-1) + D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
$x+1 = A(x^3-1) + (Bx-B+D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^3$ નો સહગુણક: $A + B = 0$.
$x^2$ નો સહગુણક: $B + C = 0$.
આમ,$A+B+C+D = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = x+k+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
પ્રથમ,બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6} = x+6 + \frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
સરખાવતા,આપણને $k=6$ મળે છે.
હવે,શેષનું આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજન કરતા: $\frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$A$ માટે: $A = \frac{31(1)^2-72(1)+36}{(1-2)(1-3)} = \frac{31-72+36}{2} = \frac{-5}{2}$.
$B$ માટે: $B = \frac{31(2)^2-72(2)+36}{(2-1)(2-3)} = \frac{124-144+36}{-1} = \frac{16}{-1} = -16$.
$C$ માટે: $C = \frac{31(3)^2-72(3)+36}{(3-1)(3-2)} = \frac{279-216+36}{2} = \frac{99}{2}$.
તેથી,$k+A-B+C = 6 + (-\frac{5}{2}) - (-16) + \frac{99}{2} = 6 - 2.5 + 16 + 49.5 = 69$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3 x+2}{(x+1)(2 x^2+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{2 x^2+3}$
બંને બાજુ $(x+1)(2 x^2+3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $3 x+2=A(2 x^2+3)+(B x+C)(x+1)$
$A$ શોધવા માટે,$x=-1$ મૂકો: $3(-1)+2=A(2(-1)^2+3) \Rightarrow -1=A(5) \Rightarrow A=-\frac{1}{5}$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3 x+2=2 A x^2+3 A+B x^2+B x+C x+C$
$3 x+2=(2 A+B) x^2+(B+C) x+(3 A+C)$
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2 A+B=0 \Rightarrow B=-2 A=-2(-\frac{1}{5})=\frac{2}{5}$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $B+C=3 \Rightarrow C=3-B=3-\frac{2}{5}=\frac{13}{5}$
અંતે,$A+C-B$ ની ગણતરી કરતા: $-\frac{1}{5}+\frac{13}{5}-\frac{2}{5}=\frac{13-2-1}{5}=\frac{10}{5}=2$

(C) આપેલ છે કે,$\frac{x+1}{(2 x-1)(3 x+1)}=\frac{A}{(2 x-1)}+\frac{B}{(3 x+1)}$
બંને બાજુ $(2x-1)(3x+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$(x+1) = A(3x+1) + B(2x-1)$
$(x+1) = x(3A+2B) + (A-B)$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે:
$3A + 2B = 1$ ... $(i)$
$A - B = 1$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$A = B + 1$. આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(B+1) + 2B = 1$
$3B + 3 + 2B = 1$
$5B = -2 \Rightarrow B = -\frac{2}{5}$
હવે,$A = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}$
આપણે $16A + 9B$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$16A + 9B = 16\left(\frac{3}{5}\right) + 9\left(-\frac{2}{5}\right)$
$= \frac{48}{5} - \frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$

(B) આપેલ છે કે $\frac{x^2-7 x+2}{x^4+3 x^2+4}=\frac{A x+B}{x^2+a x+2}+\frac{C x+D}{x^2+b x+2}$ ...$(i)$
છેદના અવયવ પાડતા: $x^4+3 x^2+4 = (x^2+2)^2 - x^2 = (x^2+x+2)(x^2-x+2)$.
તેથી,$\frac{x^2-7 x+2}{(x^2+x+2)(x^2-x+2)} = \frac{Px+Q}{x^2+x+2} + \frac{Rx+S}{x^2-x+2}$.
અંશને સરખાવતા: $x^2-7x+2 = (Px+Q)(x^2-x+2) + (Rx+S)(x^2+x+2)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2-7x+2 = x^3(P+R) + x^2(-P+Q+R+S) + x(2P-Q+2R+S) + (2Q+2S)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$P+R=0$
$-P+Q+R+S=1$
$2P-Q+2R+S=-7$
$2Q+2S=2 \Rightarrow Q+S=1$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $P=0, Q=4, R=0, S=-3$ મળે છે.
તેથી,$\frac{x^2-7x+2}{x^4+3x^2+4} = \frac{4}{x^2+x+2} + \frac{-3}{x^2-x+2}$.
સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-1$ (કારણ કે $a>b$),$A=0, B=4, C=0, D=-3$ મળે છે.
તેથી $B+D = 4-3 = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા: $2a+b = 2(1) + (-1) = 1$.
તેથી,$B+D = 2a+b$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{x^4+1}=\frac{A x+B}{x^2+\sqrt{2} x+1}+\frac{C x+D}{x^2-\sqrt{2} x+1}$.
બંને બાજુ $(x^4+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $(A x+B)(x^2-\sqrt{2} x+1)+(C x+D)(x^2+\sqrt{2} x+1)=1$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^3$ માટે: $A+C=0 \Rightarrow C=-A$.
$x^0$ (અચળ પદ) માટે: $B+D=1$.
$x^2$ માટે: $B-\sqrt{2} A+D+\sqrt{2} C=0 \Rightarrow (B+D)-\sqrt{2}(A-C)=0$.
$B+D=1$ અને $C=-A$ હોવાથી,$1-\sqrt{2}(2A)=0 \Rightarrow A=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ અને $C=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$x^1$ માટે: $A-\sqrt{2} B+C+\sqrt{2} D=0 \Rightarrow (A+C)+\sqrt{2}(D-B)=0$.
$A+C=0$ હોવાથી,$\sqrt{2}(D-B)=0 \Rightarrow D=B$.
$B+D=1$ હોવાથી,$2B=1 \Rightarrow B=\frac{1}{2}$ અને $D=\frac{1}{2}$.
હવે,$B D-A C = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}})(-\frac{1}{2\sqrt{2}}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{A}{x-a}+\frac{B x+C}{x^2+b^2}=\frac{1}{(x-a)(x^2+b^2)}$
બંને બાજુ $(x-a)(x^2+b^2)$ વડે ગુણતા:
$A(x^2+b^2)+(B x+C)(x-a)=1$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A+B)x^2+(C-a B)x+(A b^2-a C)=1$
બંને બાજુ $x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B=0$ ....$(i)$
$C-a B=0$ ....$(ii)$
$A b^2-a C=1$ ....$(iii)$
$(i)$ પરથી,$B=-A$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$C-a(-A)=0 \Rightarrow C+a A=0 \Rightarrow A=\frac{-C}{a}$
$A=\frac{-C}{a}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$(\frac{-C}{a})b^2-a C=1$
$-C(\frac{b^2+a^2}{a})=1$
$C=\frac{-a}{a^2+b^2}$

(D) આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું વિઘટન કરીએ છીએ:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^2)(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{A'}{x} + \frac{B'}{x^2} + \frac{C'x+D'}{x^2+1} + \frac{E'x+F'}{x^2+2} + \frac{G'x+H'}{x^2+3}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરીને અને સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલીને,આપણને મળે છે:
$A' = \frac{1}{6}, B' = \frac{1}{3}, C' = -\frac{1}{2}, D' = -1, E' = \frac{1}{2}, F' = 1, G' = -\frac{1}{6}, H' = -\frac{1}{3}$.
આ કિંમતો પાછી મૂકીને,આપણે પ્રશ્નમાં આપેલા સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાવા માટે પદોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^4+x^2)(x^2+2)} = \frac{-\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}}{x^2+3} + \frac{\frac{1}{2}x + 1}{x^2+2} + \frac{-\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{6}x + \frac{1}{3}}{x^4+x^2}$.
આને આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,આપણે ઓળખીએ છીએ:
$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{2}, D = 1, E = -\frac{1}{3}, F = -\frac{2}{3}, G = \frac{1}{6}, H = \frac{1}{3}$.
અંતે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરતા:
$(E+F)(C+D)(A) = (-\frac{1}{3} - \frac{2}{3})(\frac{1}{2} + 1)(-\frac{1}{6}) = (-1)(\frac{3}{2})(-\frac{1}{6}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A}{2x+5} + \frac{B}{x+6}$
જમણી બાજુના પદોને જોડતા: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A(x+6) + B(2x+5)}{(2x+5)(x+6)}$
છેદ સમાન હોવાથી,અંશને સરખાવતા: $13x + 43 = A(x+6) + B(2x+5)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $13x + 43 = (A + 2B)x + (6A + 5B)$
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$A + 2B = 13$ ... $(i)$
$6A + 5B = 43$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$A = 13 - 2B$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$6(13 - 2B) + 5B = 43$
$78 - 12B + 5B = 43$
$-7B = 43 - 78$
$-7B = -35 \Rightarrow B = 5$
$B = 5$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$A + 2(5) = 13 \Rightarrow A + 10 = 13 \Rightarrow A = 3$
તેથી,$A + B = 3 + 5 = 8$.

(C) ધારો કે $x-2 = t$,તેથી $x = t+2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $4(t+2)^2 + 5 = 4(t^2 + 4t + 4) + 5 = 4t^2 + 16t + 21$.
હવે,$\frac{4t^2 + 16t + 21}{t^4} = \frac{4}{t^2} + \frac{16}{t^3} + \frac{21}{t^4}$.
આને $\frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t^3} + \frac{D}{t^4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = 0$,$B = 4$,$C = 16$,અને $D = 21$.
હવે,$\sqrt{\frac{A+B+D}{C}} = \sqrt{\frac{0+4+21}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{2 x^2+5 x+6}{(x+2)^3}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{(x+2)^2}+\frac{c}{(x+2)^3}$
બંને બાજુ $(x+2)^3$ વડે ગુણતા:
$2 x^2+5 x+6 = a(x+2)^2 + b(x+2) + c$
ધારો કે $x+2 = t$,તેથી $x = t-2$. આ કિંમત મૂકતા:
$2(t-2)^2 + 5(t-2) + 6 = a t^2 + b t + c$
$2(t^2 - 4t + 4) + 5t - 10 + 6 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 8t + 8 + 5t - 4 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 3t + 4 = a t^2 + b t + c$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a = 2, b = -3, c = 4$
હવે,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ ની ગણતરી કરતા:
$a \cdot b = 2 \cdot (-3) = -6$
$b \cdot c = (-3) \cdot 4 = -12$
$c \cdot a = 4 \cdot 2 = 8$
સરવાળો $= -6 - 12 + 8 = -10$

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{-x^2+6x+1}{(x-1)^2(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx-3}{x^2+2}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+2)$ વડે ગુણતા:
$-x^2+6x+1 = A(x-1)(x^2+2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા: $-1+6+1 = B(1+2) \Rightarrow 6 = 3B \Rightarrow B=2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $-x^2+6x+1 = A(x^3-x^2+2x-2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x^2-2x+1)$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + C \Rightarrow C = -A$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-1 = -A + B + (-2C - 3) = -A + 2 - 2C - 3 = -A - 2C - 1$.
આમ,$A + 2C = 0$. કારણ કે $C = -A$,તેથી $A - 2A = 0 \Rightarrow -A = 0 \Rightarrow A = 0$.
તેથી,$C = -A = 0$.
અંતે,$A+B+C = 0 + 2 + 0 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = f(x) + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
બહુપદીના લાંબા ભાગાકાર દ્વારા,આપણે $x^{4}$ ને $(x - 1)(x - 2) = x^{2} - 3x + 2$ વડે ભાગીએ છીએ.
$x^{4} = (x^{2} - 3x + 2)(x^{2} + 3x + 7) + (15x - 14)$.
આમ,$\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = x^{2} + 3x + 7 + \frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$.
આપણે $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવીએ છીએ: $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
$15x - 14 = A(x - 2) + B(x - 1)$.
$x = 1$ માટે: $15(1) - 14 = A(1 - 2) \Rightarrow 1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x = 2$ માટે: $15(2) - 14 = B(2 - 1) \Rightarrow 16 = B$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$f(x) = x^{2} + 3x + 7$,$A = -1$,અને $B = 16$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $f(x) = x^{2} + 3x + 7$ એ વિકલ્પ $B$ છે,અને $A + B = -1 + 16 = 15$ (જે $17$ નથી),$A - B = -1 - 16 = -17$ (જે $-18$ નથી).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x^{2} + 4x + 4)} = \frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}} = \frac{A}{3x + 5} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^{2}}$.
બંને બાજુ $(3x + 5)(x + 2)^{2}$ વડે ગુણતા:
$-x^{2} + 6x + 13 = A(x + 2)^{2} + B(x + 2)(3x + 5) + C(3x + 5)$.
$C$ શોધવા માટે $x = -2$ મૂકતા:
$-(-2)^{2} + 6(-2) + 13 = C(3(-2) + 5) \Rightarrow -4 - 12 + 13 = C(-1) \Rightarrow -3 = -C \Rightarrow C = 3$.
$A$ શોધવા માટે $x = -\frac{5}{3}$ મૂકતા:
$-(-\frac{5}{3})^{2} + 6(-\frac{5}{3}) + 13 = A(-\frac{5}{3} + 2)^{2} \Rightarrow -\frac{25}{9} - 10 + 13 = A(\frac{1}{3})^{2} \Rightarrow \frac{2}{9} = A(\frac{1}{9}) \Rightarrow A = 2$.
$B$ શોધવા માટે $x^{2}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-1 = A + 3B \Rightarrow -1 = 2 + 3B \Rightarrow -3 = 3B \Rightarrow B = -1$.
આમ,આંશિક અપૂર્ણાંક $\frac{2}{3x + 5} - \frac{1}{x + 2} + \frac{3}{(x + 2)^{2}}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2 x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$
બંને બાજુ $(2x-1)(x+2)(x-3)$ વડે ગુણતા:
$x^3 = A(2 x-1)(x+2)(x-3) + B(x+2)(x-3) + C(x-3)(2 x-1) + D(2 x-1)(x+2)$
$A$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ.
છેદનું વિસ્તરણ: $(2x-1)(x+2)(x-3) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન $(3)$ હોવાથી,$A$ એ અગ્ર સહગુણકોનો ગુણોત્તર છે:
$A = \frac{1}{2}$
વૈકલ્પિક રીતે,કિંમતો મૂકતા:
$x=3$ માટે: $27 = D(5)(5) \Rightarrow D = \frac{27}{25}$
$x=-2$ માટે: $-8 = C(-5)(-5) \Rightarrow C = -8/25$
$x=1/2$ માટે: $1/8 = B(5/2)(-5/2) \Rightarrow B = -1/50$
$x=0$ માટે: $0 = 6A - 6B + 3C - 2D$
$6A = 6(-1/50) - 3(-8/25) + 2(27/25) = 3$
$A = 1/2$

(B) આપેલ છે,$\frac{1}{(3-5 x)(2+3 x)}=\frac{A}{3-5 x}+\frac{B}{2+3 x}$
અંશને સરખાવતા:
$1 = A(2+3x) + B(3-5x)$
$1 = (2A + 3B) + x(3A - 5B)$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોને સરખાવતા:
$3A - 5B = 0$ ...$(i)$
$2A + 3B = 1$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$9A - 15B = 0$
$10A + 15B = 5$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$19A = 5 \implies A = \frac{5}{19}$
$A$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(\frac{5}{19}) - 5B = 0 \implies 5B = \frac{15}{19} \implies B = \frac{3}{19}$
તેથી,$A+B = \frac{5}{19} + \frac{3}{19} = \frac{8}{19}$

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{6 x^3+7 x^2+6 x-3}{(x-1)(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
બંને બાજુ છેદ $(x-1)(x+3)(x^2+1)$ વડે ગુણતા:
$6x^3 + 7x^2 + 6x - 3 = A(x+3)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+3)$.
$x=1$ માટે: $6(1)^3 + 7(1)^2 + 6(1) - 3 = A(1+3)(1^2+1) \Rightarrow 16 = 8A \Rightarrow A=2$.
$x=-3$ માટે: $6(-3)^3 + 7(-3)^2 + 6(-3) - 3 = B(-3-1)((-3)^2+1) \Rightarrow -162 + 63 - 18 - 3 = B(-4)(10) \Rightarrow -120 = -40B \Rightarrow B=3$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા ($x=0$ મૂકતા): $-3 = A(3)(1) + B(-1)(1) + D(-1)(3) \Rightarrow -3 = 3A - B - 3D$.
$A=2$ અને $B=3$ મૂકતા: $-3 = 3(2) - 3 - 3D \Rightarrow -3 = 3 - 3D \Rightarrow 3D = 6 \Rightarrow D=2$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $6 = A + B + C \Rightarrow 6 = 2 + 3 + C \Rightarrow C=1$.
આમ,$n = A+B+C+D = 2+3+1+2 = 8$.
આપેલ છે કે ${}^{50}C_n = {}^{50}C_r$,આપણે જાણીએ છીએ કે $r=n$ અથવા $r=50-n$ થાય.
અહીં $r=n=8$ વિકલ્પમાં નથી,તેથી $r = 50-8 = 42$ મળે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x}{(1+x^2)(3-2x)} = \frac{Bx+C}{1+x^2} + \frac{A}{3-2x}$.
બંને બાજુ $(1+x^2)(3-2x)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x = (Bx+C)(3-2x) + A(1+x^2)$
$x = 3Bx - 2Bx^2 + 3C - 2Cx + A + Ax^2$
$x = (A-2B)x^2 + (3B-2C)x + (A+3C)$
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A - 2B = 0 \Rightarrow A = 2B$
$2$) $3B - 2C = 1$
$3$) $A + 3C = 0 \Rightarrow A = -3C$
$A = 2B$ અને $A = -3C$ પરથી,$2B = -3C \Rightarrow B = -\frac{3}{2}C$.
$B$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{3}{2}C) - 2C = 1$
$-\frac{9}{2}C - 2C = 1$
$-\frac{13}{2}C = 1$
$C = -\frac{2}{13}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^2}{x^2+3x-4}$ છે.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 - \frac{3x-4}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)}$.
ધારો કે $\frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4}$.
તેથી $-3x+4 = A(x+4) + B(x-1)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B = -3$ અને $4A-B = 4$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$A$ ની કિંમત $A+B = -3$ માં મૂકતા: $\frac{1}{5} + B = -3 \Rightarrow B = -3 - \frac{1}{5} = -\frac{16}{5}$.
આમ,$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{1}{5(x-1)} - \frac{16}{5(x+4)}$.

(D) આપેલ પદાવલિ:
$\frac{x^4}{(x-a)(x-b)(x-c)}=P(x)+\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}$
અંશની ઘાત $4$ છે અને છેદની ઘાત $3$ છે,તેથી $P(x)$ એ $P(x) = x+k$ સ્વરૂપની સુરેખ બહુપદી હશે.
બંને બાજુ $x^4$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$P(x) = x+k$ મળે છે.
$(x-a)(x-b)(x-c)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x^4 = (x-a)(x-b)(x-c)P(x) + A(x-b)(x-c) + B(x-a)(x-c) + C(x-a)(x-b)$
$x=a$ લેતા,$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$ મળે છે.
આમ,$A(a-b)(a-c) = a^4$.
$P(0)$ શોધવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા:
$\frac{0}{(-a)(-b)(-c)} = P(0) + \frac{A}{-a} + \frac{B}{-b} + \frac{C}{-c}$
$0 = P(0) - (\frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c})$
$P(0) = \frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c}$.
$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$,$B = \frac{b^4}{(b-a)(b-c)}$,અને $C = \frac{c^4}{(c-a)(c-b)}$ કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P(0) = a+b+c$ મળે છે.
તેથી,$P(0) + A(a-b)(a-c) = (a+b+c) + a^4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{8}{(x+3)^2(x-2)}=\frac{Ax+B}{(x+3)^2}+\frac{C}{x-2}$
બંને બાજુ $(x+3)^2(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$8 = (Ax+B)(x-2) + C(x+3)^2$
$x=2$ લેતા:
$8 = 0 + C(2+3)^2 \Rightarrow 8 = 25C \Rightarrow C = \frac{8}{25}$
$x=-3$ લેતા:
$8 = (A(-3)+B)(-3-2) + 0 \Rightarrow 8 = (-3A+B)(-5) \Rightarrow 8 = 15A - 5B$
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$0 = A + C \Rightarrow A = -C = -\frac{8}{25}$
$A$ ની કિંમત $8 = 15A - 5B$ માં મૂકતા:
$8 = 15(-\frac{8}{25}) - 5B \Rightarrow 8 = -\frac{24}{5} - 5B \Rightarrow 5B = -\frac{24}{5} - 8 = -\frac{64}{5} \Rightarrow B = -\frac{64}{25}$
હવે,$25(B+8C-A)$ ની ગણતરી કરતા:
$25(-\frac{64}{25} + 8(\frac{8}{25}) - (-\frac{8}{25})) = 25(-\frac{64}{25} + \frac{64}{25} + \frac{8}{25}) = 25(\frac{8}{25}) = 8$

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન:
$\frac{3x^2+1}{(x^2+1)(x^2+2)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2} + \frac{Ex+F}{(x^2+2)^2}$
બંને બાજુ છેદ $(x^2+1)(x^2+2)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3x^2+1 = (Ax+B)(x^2+2)^2 + (Cx+D)(x^2+1)(x^2+2) + (Ex+F)(x^2+1)$
અહીં $3x^2+1$ માં ફક્ત $x$ ની બેકી ઘાત છે,તેથી $x$ ની તમામ એકી ઘાત (જેમ કે $x^5, x^3, x^1$) ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(Ax+B)(x^4+4x^2+4) = Ax^5 + 4Ax^3 + 4Ax + Bx^4 + 4Bx^2 + 4B$
$(Cx+D)(x^4+3x^2+2) = Cx^5 + 3Cx^3 + 2Cx + Dx^4 + 3Dx^2 + 2D$
$(Ex+F)(x^2+1) = Ex^3 + Ex + Fx^2 + F$
$x^5$ ના સહગુણકો સરખાવતા:
$A + C = 0$
$x^3$ ના સહગુણકો સરખાવતા:
$4A + 3C + E = 0$
$A+C=0$ હોવાથી,$C = -A$ મળે. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$4A + 3(-A) + E = 0 \Rightarrow A + E = 0$
આમ,$A=0, C=0, E=0$.
તેથી,$A+C+E = 0+0+0 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^4+24x^2+28}{(x^2+1)^3} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{(x^2+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)^3}$
બંને બાજુ $(x^2+1)^3$ વડે ગુણતા:
$x^4+24x^2+28 = A(x^2+1)^2 + B(x^2+1) + C$
ધારો કે $y = x^2+1$,તેથી $x^2 = y-1$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y-1)^2 + 24(y-1) + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 - 2y + 1 + 24y - 24 + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 + 22y + 5 = Ay^2 + By + C$
$y^2$,$y$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 1$
$B = 22$
$C = 5$
આપણે $A+C$ શોધવાનું છે:
$A+C = 1 + 5 = 6$

(C) આપેલ છે,$\frac{x^3}{(2x - 1)(x - 1)^2} = A + \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા,$\frac{x^3}{2x^3 - 5x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2}$.
અહીં $A = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,$\frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2} = \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$ લેતા.
$x = 1$ મુકતા,$D = 1$ મળે છે.
$x = \frac{1}{2}$ મુકતા,$B = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$C = 1$ મળે છે.
તેથી,$2A - 3B + 4C + 5D = 2(\frac{1}{2}) - 3(\frac{1}{2}) + 4(1) + 5(1) = 1 - 1.5 + 9 = 8.5 = \frac{17}{2}$.

(D) સંમેય અપૂર્ણાંક $\frac{p(x)}{q(x)}$ ને અશુદ્ધ સંમેય અપૂર્ણાંક કહેવાય છે જો અંશ $p(x)$ ની ઘાત એ છેદ $q(x)$ ની ઘાત કરતા મોટી અથવા સમાન હોય.
$(a)$ $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+x+1)}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 4$ છે. $2 < 4$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(b)$ $\frac{x^2+1}{(x+3)(x^2-x+1)}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 3$ છે. $2 < 3$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(c)$ $\frac{x}{x^2+3x+1}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 1$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 2$ છે. $1 < 2$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(d)$ $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 2$ છે. અંશની ઘાત અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આ એક અશુદ્ધ સંમેય અપૂર્ણાંક છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = ax+b+\frac{A}{px-2}+\frac{B}{2x+q}$ છે.
$2x^3+1$ ને $2x^2-x-6$ વડે ભાગતા:
$\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = (x + \frac{1}{2}) + \frac{\frac{17}{2}x+4}{2x^2-x-6}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $2x^2-x-6 = (x-2)(2x+3)$.
$\frac{\frac{17}{2}x+4}{(x-2)(2x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{2x+3}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા.
$A = \frac{17}{7}$ અને $B = \frac{23}{14}$ મળે છે.
સરખામણી કરતા $a=1, b=\frac{1}{2}, p=1, q=3, A=\frac{17}{7}, B=\frac{23}{14}$ મળે છે.
$51apB = 51 \times 1 \times 1 \times \frac{23}{14} = \frac{1173}{14}$.
$23bqA = 23 \times \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{17}{7} = \frac{1173}{14}$.
આમ,$51apB = 23bqA$.