Partial fractions Questions in Gujarati

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-x+1}{(x^2+1)(x^2+x+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}$
બંને બાજુ $(x^2+1)(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા:
$x^2-x+1 = (Ax+B)(x^2+x+1) + (Cx+D)(x^2+1)$
$x^2-x+1 = (A+C)x^3 + (A+B+D)x^2 + (A+B+C)x + (B+D)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 0$
$2) A+B+D = 1$
$3) A+B+C = -1$
$4) B+D = 1$
$(1)$ પરથી,$C = -A$. $(3)$ માં મૂકતા: $A+B-A = -1 \Rightarrow B = -1$.
$(4)$ માં $B = -1$ મૂકતા: $-1+D = 1 \Rightarrow D = 2$.
$(2)$ માં $B = -1$ અને $D = 2$ મૂકતા: $A-1+2 = 1 \Rightarrow A = 0$.
તેથી $C = -A = 0$.
આમ,$A=0, B=-1, C=0, D=2$.
$A+2B+C+2D = 0 + 2(-1) + 0 + 2(2) = -2 + 4 = 2$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x-2}{x^2(2x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{2x-3}$.
બંને બાજુ $x^2(2x-3)$ વડે ગુણતા: $x-2 = Ax(2x-3) + B(2x-3) + Cx^2$.
$x = 0$ લેતા: $-2 = B(-3) \Rightarrow B = \frac{2}{3}$.
$x = \frac{3}{2}$ લેતા: $\frac{3}{2} - 2 = C(\frac{3}{2})^2$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} = C(\frac{9}{4})$ $\Rightarrow C = -\frac{2}{9}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = 2A + C$ $\Rightarrow 2A = -C = \frac{2}{9}$ $\Rightarrow A = \frac{1}{9}$.
હવે,$2(A-C) = 2(\frac{1}{9} - (-\frac{2}{9})) = 2(\frac{1+2}{9}) = 2(\frac{3}{9}) = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $B = \frac{2}{3}$,તેથી $2(A-C) = B$.

(B) આપેલ છે,$\frac{9x-7}{(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
અંશને સરખાવતા:
$9x-7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+3)$
$9x-7 = (A+B)x^2 + (3B+C)x + (A+3C)$
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B = 0$
$3B+C = 9$
$A+3C = -7$
સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -\frac{17}{5}, B = \frac{17}{5}, C = -\frac{6}{5}$
તેથી,$A+B+C = -\frac{17}{5} + \frac{17}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{6}{5}$

(D) ધારો કે $x-3 = y$,તેથી $x = y+3$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(y+3)^3+3}{y^3} = \frac{y^3+9y^2+27y+27+3}{y^3} = \frac{y^3+9y^2+27y+30}{y^3} = 1 + \frac{9}{y} + \frac{27}{y^2} + \frac{30}{y^3}$.
આને $a + \frac{b}{y} + \frac{c}{y^2} + \frac{d}{y^3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 1, b = 9, c = 27, d = 30$.
હવે,$(a+d)-(b+c)$ ની ગણતરી કરતા:
$(1+30) - (9+27) = 31 - 36 = -5$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-3}{(x+2)(x^2+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x+2)(x^2+1)$ વડે ગુણતા: $x^2-3 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+2)$.
$A$ શોધવા માટે,$x = -2$ લેતા: $(-2)^2 - 3 = A((-2)^2 + 1) \implies 4-3 = A(4+1) \implies 1 = 5A \implies A = \frac{1}{5}$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2-3 = (A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C)$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 1 \implies \frac{1}{5} + B = 1 \implies B = \frac{4}{5}$.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2B+C = 0 \implies 2(\frac{4}{5}) + C = 0 \implies C = -\frac{8}{5}$.
હવે $3A+2B-C = 3(\frac{1}{5}) + 2(\frac{4}{5}) - (-\frac{8}{5}) = \frac{3}{5} + \frac{8}{5} + \frac{8}{5} = \frac{19}{5}$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x+3}{(x+1)(x^2+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2+2}$.
બંને બાજુ $(x+1)(x^2+2)$ વડે ગુણતા: $x+3 = a(x^2+2) + (bx+c)(x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x+3 = ax^2 + 2a + bx^2 + bx + cx + c$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ પદોને ગોઠવતા: $x+3 = (a+b)x^2 + (b+c)x + (2a+c)$.
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $a+b = 0 \implies b = -a$
$2$) $b+c = 1$
$3$) $2a+c = 3$
$(2)$ માં $b = -a$ મૂકતા: $-a+c = 1 \implies c = a+1$.
$(3)$ માં $c = a+1$ મૂકતા: $2a + (a+1) = 3 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$.
તેથી $b = -\frac{2}{3}$ અને $c = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
અંતે,$a-b+c = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(B) ધારો કે $y = x^2$. પદાવલિ $\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{Ay+B}{y+2} + \frac{Cy+D}{y+3}$ બને છે.
$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{P}{y+2} + \frac{Q}{y+3}$.
$y+1 = P(y+3) + Q(y+2)$.
$y = -2$ માટે,$-2+1 = P(-2+3) \implies P = -1$.
$y = -3$ માટે,$-3+1 = Q(-3+2) \implies -2 = -Q \implies Q = 2$.
તેથી,$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{-1}{y+2} + \frac{2}{y+3}$.
$y = x^2$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{-1}{x^2+2} + \frac{2}{x^2+3}$ મળે છે.
આને $\frac{Ax+B}{x^2+2} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ સાથે સરખાવતા,$A=0, B=-1, C=0, D=2$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C+D = 0 + (-1) + 0 + 2 = 1$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x+1}{x^3(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3} + \frac{d}{x-1}$.
બંને બાજુ $x^3(x-1)$ વડે ગુણતા: $x+1 = ax^2(x-1) + bx(x-1) + c(x-1) + dx^3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x+1 = a(x^3 - x^2) + b(x^2 - x) + c(x-1) + dx^3$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ ગોઠવતા: $x+1 = (a+d)x^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
અચળ પદ: $-c = 1 \implies c = -1$.
$x$ નો સહગુણક: $c - b = 1 \implies -1 - b = 1 \implies b = -2$.
$x^2$ નો સહગુણક: $b - a = 0 \implies a = b = -2$.
$x^3$ નો સહગુણક: $a + d = 0 \implies d = -a = 2$.
કિંમતો તપાસતા: $a = -2, b = -2, c = -1, d = 2$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a = b = 2c = -d$ કારણ કે $-2 = -2 = 2(-1) = -(2)$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x+1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+1)$ વડે ગુણતા: $3x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા: $3(1)+1 = B(1^2+1) \implies 4 = 2B \implies B=2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x+1 = A(x^3-x^2+x-1) + 2(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A+C \implies C = -A$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = -A+2+D-2C = -A+2+D+2A = A+D+2 \implies D = -A-2$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = -A+2+D \implies -A+D = -1$.
$D = -A-2$ મૂકતા: $-A-A-2 = -1 \implies -2A = 1 \implies A = -1/2$.
તેથી $C = 1/2$ અને $D = -(-1/2)-2 = 1/2-2 = -3/2$.
આપણે $2(A-C+B+D) = 2(-1/2 - 1/2 + 2 - 3/2) = 2(-1 + 2 - 1.5) = 2(-0.5) = -1$ ની ગણતરી કરવાની છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{2x^3+x^2-5}{x^4-25}=\frac{Ax+B}{x^2-5}+\frac{Cx+1}{x^2+5}$
$x^4-25 = (x^2-5)(x^2+5)$ હોવાથી,
$2x^3+x^2-5 = (Ax+B)(x^2+5) + (Cx+1)(x^2-5)$
$2x^3+x^2-5 = Ax^3 + 5Ax + Bx^2 + 5B + Cx^3 - 5Cx + x^2 - 5$
$2x^3+x^2-5 = x^3(A+C) + x^2(B+1) + x(5A-5C) + (5B-5)$
સહગુણકોને સરખાવતા:
$1) A+C = 2$
$2) B+1 = 1 \Rightarrow B = 0$
$3) 5A-5C = 0 \Rightarrow A = C$
$A=C$ ને $A+C=2$ માં મૂકતા,$2C=2$,તેથી $C=1$ અને $A=1$.
આમ,$(A, B, C) = (1, 0, 1)$.

(B) આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું વિભાજન કરી શકીએ: $\frac{2}{(1-x)(2-x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{2-x}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા: $2 = A(2-x) + B(1-x)$.
$x=1$ માટે,$2 = A(1) \implies A=2$.
$x=2$ માટે,$2 = B(-1) \implies B=-2$.
તેથી,$\frac{2}{(1-x)(2-x)} = \frac{2}{1-x} - \frac{2}{2-x} = 2(1-x)^{-1} - (1-\frac{x}{2})^{-1}$.
દ્વિપદી શ્રેણી $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$2(1 + x + x^2 + x^3 + \dots) - (1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots)$.
$x^3$ નો સહગુણક $2(1) - \frac{1}{8} = 2 - \frac{1}{8} = \frac{16-1}{8} = \frac{15}{8}$ છે.