x का मान ज्ञात कीजिए जो log _a x + log _{sqrt | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\log _a x + \log _{a^{1/2}} x + \log _{a^{1/3}} x + \dots + \log _{a^{1/n}} x = \frac{n(n+1)}{2}$ है।गुणधर्म $\log _{a^k} x = \fr

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$x = a$

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(A) दिया गया समीकरण $\log _a x + \log _{a^{1/2}} x + \log _{a^{1/3}} x + \dots + \log _{a^{1/n}} x = \frac{n(n+1)}{2}$ है।गुणधर्म $\log _{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ का उपयोग करने पर:$\log_a x + 2 \log_a x + 3 \log_a x + \dots + n \log_a x = \frac{n(n+1)}{2}$.$\log_a x (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{n(n+1)}{2}$.चूंकि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है,इसलिए:$\log_a x \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$.$\log_a x = 1$.अतः,$x = a^1 = a$.

$x$ का मान ज्ञात कीजिए जो $\log _a x + \log _{\sqrt{a}} x + \log _{\sqrt[3]{a}} x + \dots + \log _{\sqrt[n]{a}} x = \frac{n(n+1)}{2}$ को संतुष्ट करता है।

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