Parabola Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = r(1 - \cos \theta) = r - r \cos \theta$.
चूँकि $x = r \cos \theta$ और $r = \sqrt{x^2 + y^2}$,इसलिए $l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$ है।
अतः,$\sqrt{x^2 + y^2} = x + l$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 = (x + l)^2 = x^2 + 2lx + l^2$.
सरल करने पर,$y^2 = 2lx + l^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का मानक समीकरण है।

(B) माना परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दूरी $PQ$ को $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$y^2 = 4x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + 4x} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + 4x} = \sqrt{x^2 + 4}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,माना $f(x) = x^2 + 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = 2x$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f''(x) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 0$ पर न्यूनतम है।
न्यूनतम दूरी $PQ = \sqrt{0^2 + 4} = \sqrt{4} = 2$ है।

(B) दिया गया कोण $\theta = \sin^{-1}(\frac{3}{5})$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{4}$। रेखा की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
बिंदु $(-1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{3}{4}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = \frac{3}{4}(x + 1)$ है,जो $4y = 3x + 7$ में सरल होता है।
वक्र $x^2 = 4y - 9$ में $4y = 3x + 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = (3x + 7) - 9$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
अतः,$x = 1$ और $x = 2$।
$x = 1$ के लिए,$4y = 10 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$। बिंदु $A = (1, \frac{5}{2})$।
$x = 2$ के लिए,$4y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{4}$। बिंदु $B = (2, \frac{13}{4})$।
दूरी $|AB| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (\frac{13}{4} - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ इकाई।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}+2 x y+y^{2}-5 x+5 y-5=0$ है।
इसे $(x+y)^{2} = 5x - 5y + 5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $X = x+y$ और $Y = x-y+1$ है।
यह समीकरण $X^{2} = 5Y$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
$(ax+by+c)^2 = k(bx-ay+d)$ के रूप वाले परवलय का अक्ष $ax+by+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x+y=0$ परवलय का अक्ष है।

(C) शांकव का दिया गया समीकरण $x^{2}-6x+4y+1=0$ है।
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^{2}-6x+9)-9+4y+1=0$
$(x-3)^{2}+4y-8=0$
$(x-3)^{2}=-4(y-2)$।
यह $(x-h)^{2}=-4a(y-k)$ के रूप का परवलय है,जहाँ $(h,k)=(3,2)$ और $4a=4$,इसलिए $a=1$ है।
इस परवलय की नाभि $(h, k-a)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $(3, 2-1) = (3,1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $y^{2}+4x+4y+k=0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^{2}+4y+4-4+4x+k=0$
$(y+2)^{2} = -4x+4-k$
$(y+2)^{2} = -4(x - \frac{4-k}{4})$
इसे परवलय के मानक रूप $(y-k')^{2} = -4a(x-h')$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4$ इकाई है।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण: $y^2 + 6x - 2y + 13 = 0$.
$y$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2 - 2y = -6x - 13$.
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y^2 - 2y + 1) = -6x - 13 + 1$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(y - 1)^2 = -6x - 12$.
दाहिनी ओर से $-6$ कॉमन लेने पर: $(y - 1)^2 = -6(x + 2)$.
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है:
यहाँ,$h = -2$ और $k = 1$.
अतः,शीर्ष $(-2, 1)$ है।

(C) दिया गया है कि बिंदु $P$ के निर्देशांक $x = 2t^2 + 4$ और $y = 4t + 6$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$4t = y - 6$,जिसका अर्थ है $t = \frac{y - 6}{4}$।
$t$ के इस मान को $x$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 2\left(\frac{y - 6}{4}\right)^2 + 4$
$x - 4 = 2 \cdot \frac{(y - 6)^2}{16}$
$x - 4 = \frac{(y - 6)^2}{8}$
$(y - 6)^2 = 8(x - 4)$
यह समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2}=4ax$ है।
मान लीजिए परवलय पर बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^{2}, 2at)$ हैं।
नाभि $F$ $(a, 0)$ है और नियता $x = -a$ है।
बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ से नियता $x = -a$ पर डाले गए लंब का पाद $Q$,$(-a, 2at)$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,दूरी $PF$ दूरी $PQ$ के बराबर है।
$PQ = \sqrt{(at^{2} - (-a))^{2} + (2at - 2at)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
$PF = \sqrt{(at^{2}-a)^{2} + (2at-0)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
चूंकि $PQ = PF$,त्रिभुज $\triangle PQF$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle PQF = \angle PFQ$।
अतः,$\tan \angle PQF = \tan \angle PFQ$।
इसलिए,$\frac{\tan \angle PQF}{\tan \angle PFQ} = 1$।

(D) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं। शीर्ष $A$ बिंदु $(0, 0)$ पर है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{2at - 0}{at^2 - 0} = \frac{2}{t}$ है।
चूंकि $BC \perp AB$,इसलिए $BC$ की ढाल $m_{BC} = -\frac{t}{2}$ है।
बिंदु $B(at^2, 2at)$ से गुजरने वाली और $-\frac{t}{2}$ ढाल वाली रेखा $BC$ का समीकरण:
$y - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
परवलय के अक्ष $(y = 0)$ पर बिंदु $C$ ज्ञात करने के लिए:
$0 - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
$4at = t(x - at^2)$
$4a = x - at^2$
$x = 4a + at^2$
अतः,$C$ के निर्देशांक $(4a + at^2, 0)$ हैं।
अक्ष पर $BC$ का प्रक्षेप दूरी $DC$ है,जहाँ $D$ अक्ष पर $B$ का प्रक्षेप है,अर्थात $D(at^2, 0)$।
$DC = |x_C - x_D| = |(4a + at^2) - at^2| = 4a$ इकाई।

(A) माना बिंदुओं के निर्देशांक $P_i(at_i^2, 2at_i)$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3, 4$ है।
चूँकि $P_1 P_2$ और $P_3 P_4$ नाभिलम्ब जीवाएँ हैं,इसलिए $t_1 t_2 = -1$ और $t_3 t_4 = -1$ है।
$P_i$ और $P_j$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $(t_i + t_j)y = 2x + 2at_i t_j$ है।
$P_1 P_3$ के लिए,समीकरण $(t_1 + t_3)y = 2x + 2at_1 t_3$ ... $(1)$ है।
$P_2 P_4$ के लिए,समीकरण $(t_2 + t_4)y = 2x + 2at_2 t_4$ ... $(2)$ है।
$t_2 = -1/t_1$ और $t_4 = -1/t_3$ प्रतिस्थापित करने पर,यह प्राप्त होता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -a$ रेखा पर स्थित है,जो परवलय की नियता है।

(B) परवलय $y^{2}=4ax$ का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।
शीर्ष $O$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $y = x \tan \alpha$ है।
इस रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ को ज्ञात करने के लिए,$y = x \tan \alpha$ को $y^{2}=4ax$ में प्रतिस्थापित करें:
$(x \tan \alpha)^{2} = 4ax$
$x^{2} \tan^{2} \alpha = 4ax$
चूंकि $P$ मूल बिंदु नहीं है,इसलिए $x \neq 0$,जिससे $x \tan^{2} \alpha = 4a$,जो $x = 4a \cot^{2} \alpha$ देता है।
तब $y = (4a \cot^{2} \alpha) \tan \alpha = 4a \cot \alpha$।
अतः,$P$ के निर्देशांक $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ हैं।
जीवा $OP$ की लंबाई $(0,0)$ से $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ तक की दूरी है:
$OP = \sqrt{(4a \cot^{2} \alpha)^{2} + (4a \cot \alpha)^{2}}$
$OP = \sqrt{16a^{2} \cot^{4} \alpha + 16a^{2} \cot^{2} \alpha}$
$OP = 4a \cot \alpha \sqrt{\cot^{2} \alpha + 1}$
$OP = 4a \cot \alpha \operatorname{cosec} \alpha$ (चूंकि $0 < \alpha < 90^{\circ}$,$\cot \alpha > 0$ और $\operatorname{cosec} \alpha > 0$)।

(D) चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है और $P(at^{2}, 2at)$ है,इसलिए $Q$ के निर्देशांक $(\frac{a}{t^{2}}, \frac{-2a}{t})$ होंगे।
$QR$ की ढाल = $\frac{2ar - (-2a/t)}{ar^{2} - a/t^{2}} = \frac{2a(r + 1/t)}{a(r - 1/t)(r + 1/t)} = \frac{2}{r - 1/t} = \frac{2t}{rt - 1}$.
$PK$ की ढाल = $\frac{2at - 0}{at^{2} - 2a} = \frac{2at}{a(t^{2} - 2)} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
चूंकि $PK \parallel QR$,इसलिए उनकी ढाल समान है:
$\frac{2t}{rt - 1} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
$t \neq 0$ मानते हुए,$rt - 1 = t^{2} - 2$.
$rt = t^{2} - 1$.
$r = \frac{t^{2} - 1}{t}$.

(C) $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $R$ से रेखा $PQ$ की दूरी अधिकतम हो।
मान लीजिए $R$ बिंदु $(t^{2}, 2t)$ है। रेखा $PQ$,$P(4, -4)$ और $Q(9, 6)$ से होकर गुजरती है।
$PQ$ की ढाल $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 6 = 2(x - 9) \Rightarrow 2x - y - 12 = 0$ है।
$R(t^{2}, 2t)$ से $2x - y - 12 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2t^{2} - 2t - 12|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|2(t^{2} - t - 6)|}{\sqrt{5}} = \frac{2|t - 3||t + 2|}{\sqrt{5}}$ है।
$R$ के $P$ और $Q$ के बीच के चाप पर होने के लिए,पैरामीटर $t$ को $-2$ और $3$ के बीच होना चाहिए।
मान लीजिए $f(t) = t^{2} - t - 6$ है। दूरी को अधिकतम करने के लिए,हम $f'(t) = 2t - 1 = 0$ रखकर $f(t)$ का क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं,जिससे $t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{1}{2}$ पर,$R$ के निर्देशांक $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}, 2\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{4}, 1\right)$ हैं।

(B) दिए गए समीकरण $x+y=4$ $(i)$ और $x-y=2$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $x=3$ और $y=1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(3, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \tan(\tan^{-1}(3/4)) = 3/4$ ढाल वाली रेखा:
$(y-1) = \frac{3}{4}(x-3) \Rightarrow y = \frac{3x-5}{4}$.
इसे परवलय के समीकरण $y^{2}=4(x-3)$ में रखने पर:
$\left(\frac{3x-5}{4}\right)^{2} = 4(x-3)$
$\frac{9x^{2}-30x+25}{16} = 4x-12$
$9x^{2}-30x+25 = 64x-192$
$9x^{2}-94x+217 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के लिए,$x_{1}+x_{2} = \frac{94}{9}$ और $x_{1}x_{2} = \frac{217}{9}$ है।
अतः $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
$= \sqrt{\left(\frac{94}{9}\right)^{2} - 4\left(\frac{217}{9}\right)}$
$= \sqrt{\frac{8836}{81} - \frac{868}{9}} = \sqrt{\frac{1024}{81}} = \frac{32}{9}$.

(B) परवलय $y^{2}=8x$ का शीर्ष $M(0,0)$ है।
मान लीजिए परवलय पर स्थित दूसरा बिंदु $N(2t^{2}, 4t)$ है,जहाँ $t$ एक प्राचल है।
मान लीजिए $P(x, y)$ जीवा $MN$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{0 + 2t^{2}}{2} = t^{2}$
$y = \frac{0 + 4t}{2} = 2t$
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y}{2}$।
इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = (\frac{y}{2})^{2}$
$x = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4x$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $y^{2}=4x$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,उस पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।
मान लीजिए कि एक नाभिलंब जीवा के दो अंतिम बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
जीवा $PQ$ की ढाल $m = \frac{2at_2 - 2at_1}{at_2^2 - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ है।
चूंकि जीवा नाभि $(a, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए ढाल $m = \frac{2at_1 - 0}{at_1^2 - a} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$ भी है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$।
$t_1^2 - 1 = t_1(t_1 + t_2) = t_1^2 + t_1 t_2$।
$-1 = t_1 t_2$।
अतः,$t_1 t_2 = -1$।

(A) रेखा का समीकरण $y = \sqrt{3}x - 3$ है। ढाल $m = \sqrt{3}$ है,इसलिए $\theta = 60^\circ$।
बिंदु $X(\sqrt{3}, 0)$ से $r$ दूरी पर रेखा पर कोई भी बिंदु $x = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$ और $y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ है।
इन मानों को परवलय $y^2 = x + 2$ में रखने पर:
$(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 = (\sqrt{3} + \frac{r}{2}) + 2$
$3r^2 - 2r - 4(\sqrt{3} + 2) = 0$।
समीकरण के मूल $r_1$ और $r_2$,$XP$ और $XQ$ को दर्शाते हैं।
मूलों का गुणनफल $r_1 r_2 = \frac{-4(\sqrt{3} + 2)}{3}$।
अतः,$XP \cdot XQ = |r_1 r_2| = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{3}$।

(B) परवलय $y^2 = 12x$ है,इसलिए $4a = 12$,जिसका अर्थ है $a = 3$। नाभि $(3, 0)$ है।
आपतित किरण नाभि $(3, 0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \tan(\tan^{-1} \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$ है।
आपतित किरण का समीकरण $y - 0 = \frac{3}{4}(x - 3)$ या $x = \frac{4y}{3} + 3$ है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 12x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 12(\frac{4y}{3} + 3) = 16y + 36$.
$y^2 - 16y - 36 = 0$.
$(y - 18)(y + 2) = 0$.
चूंकि किरण प्रथम चतुर्थांश में जा रही है,हम $y = 18$ लेते हैं।
परवलय का एक गुण यह है कि नाभि से गुजरने वाली कोई भी किरण परवलय की अक्ष के समानांतर परावर्तित होती है।
परवलय $y^2 = 12x$ की अक्ष $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
अतः,परावर्तित किरण $y$-निर्देशांक $18$ वाले बिंदु $P$ से गुजरने वाली एक क्षैतिज रेखा है।
इसलिए परावर्तित किरण का समीकरण $y = 18$ है।

(D) परवलय के नाभिलंब और शीर्ष पर स्पर्श रेखा के बीच की दूरी $a$ होती है,जहाँ $4a$ नाभिलंब की लंबाई है।
दिए गए समीकरण $x+y-8=0$ और $x+y-12=0$ हैं।
इन दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $a = \frac{|-8 - (-12)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a$ है।
लंबाई $= 4 \times (2 \sqrt{2}) = 8 \sqrt{2} \text{ इकाई}$।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(t_{1}^{2}, 2t_{1})$ और $(t_{2}^{2}, 2t_{2})$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त का केंद्र $(\frac{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}{2}, t_{1}+t_{2})$ है।
परवलय $y^{2}=4x$ का अक्ष $x$-अक्ष है,जिसका समीकरण $y=0$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है।
अतः,$r = |t_{1}+t_{2}|$,जिसका अर्थ है $t_{1}+t_{2} = \pm r$.
रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{2t_{2}-2t_{1}}{t_{2}^{2}-t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}+t_{2}}$ है।
$t_{1}+t_{2} = \pm r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें ढाल $m = \pm \frac{2}{r}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A, B) दिया गया परवलय का समीकरण $x^{2}=ay$ है,जिसका अर्थ है $y=\frac{x^{2}}{a}$।
रेखा का समीकरण $y=2x+1$ है।
परवलय के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $\frac{x^{2}}{a}=2x+1 \Rightarrow x^{2}-2ax-a=0$।
माना मूल $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। तो $x_{1}+x_{2}=2a$ और $x_{1}x_{2}=-a$।
अंतर $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \sqrt{4a^{2}+4a} = 2\sqrt{a^{2}+a}$।
चूंकि बिंदु $y=2x+1$ पर स्थित हैं,$(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ है।
चूंकि $y_{2}-y_{1} = 2(x_{2}-x_{1})$,इसलिए $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+4(x_{2}-x_{1})^{2}} = |x_{2}-x_{1}|\sqrt{5}$।
दिया गया है कि $d=\sqrt{40}$,इसलिए $\sqrt{40} = 2\sqrt{a^{2}+a} \cdot \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{40} = \sqrt{20(a^{2}+a)}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $40 = 20(a^{2}+a) \Rightarrow a^{2}+a-2=0$।
$(a+2)(a-1)=0$,इसलिए $a=1$ या $a=-2$।

(A) चूंकि $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है और $O$ शीर्ष $(0,0)$ है,परवलय का अक्ष ($x$-अक्ष) $\angle AOB$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,$OA$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $30^{\circ}$ है।
$OA$ की ढाल $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $OA$ का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ है।
$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ को परवलय $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4ax \Rightarrow \frac{x^2}{3} = 4ax$.
बिंदु $A$ के लिए $x \neq 0$ है,इसलिए $x = 12a$.
तब $y = \frac{12a}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}a$.
बिंदु $A$ $(12a, 4\sqrt{3}a)$ है।
चूंकि $AB$,$x$-अक्ष के लंबवत है,लंबाई $AB = 2y_A = 2(4\sqrt{3}a) = 8\sqrt{3}a$.
$\triangle OAB$ समबाहु है,इसलिए भुजा की लंबाई $8\sqrt{3}a$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt = x + at^2$ है।
यहाँ,$4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$।
स्पर्श रेखा $(4, 10)$ से गुजरती है,इसलिए $10t = 4 + \frac{9}{4}t^2$।
$4$ से गुणा करने पर,$40t = 16 + 9t^2$,या $9t^2 - 40t + 16 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(9t - 4)(t - 4) = 0$,जिससे $t = 4$ या $t = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{t} = \tan \theta$ है।
दिया गया है कि $\tan \theta > 2$,इसलिए $\frac{1}{t} > 2$,जिसका अर्थ है $t < \frac{1}{2}$।
अतः,$t = \frac{4}{9}$ सही पैरामीटर है।
स्पर्श बिंदु $(at^2, 2at) = \left(\frac{9}{4} \times \left(\frac{4}{9}\right)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times \frac{4}{9}\right) = \left(\frac{4}{9}, 2\right)$ है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है। $y=0$ रखने पर,$x = -at^2$ प्राप्त होता है,अतः $T = (-at^2, 0)$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। $y=0$ रखने पर,$x = 2a + at^2$ प्राप्त होता है,अतः $G = (2a + at^2, 0)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा और अभिलंब परस्पर लंबवत होते हैं,$\angle PTG = 90^\circ$,जिसका अर्थ है कि $TG$ उस वृत्त का व्यास है जो $P, T$ और $G$ से होकर गुजरता है।
व्यास $TG$ की लंबाई $= |(2a + at^2) - (-at^2)| = |2a + 2at^2| = 2a(1+t^2)$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $\frac{1}{2} TG = a(1+t^2)$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है।
चूंकि बिंदु $(1,1)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $1 = a(1)^2 + b(1) + c$,जिससे $a + b + c = 1$ ...$(1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(-1,0)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$,जिससे $a - b + c = 0$ ...$(2)$ प्राप्त होता है।
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,$2b = 1$,अतः $b = \frac{1}{2}$।
$b = \frac{1}{2}$ को $(1)$ में रखने पर,$a + c = \frac{1}{2}$ ...$(3)$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x,y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $2a(1) + b = 2a + b$ है।
रेखा $y=x$ की ढाल $1$ है,इसलिए $2a + b = 1$।
$b = \frac{1}{2}$ रखने पर,$2a + \frac{1}{2} = 1$,जिससे $2a = \frac{1}{2}$,अर्थात $a = \frac{1}{4}$।
$(3)$ से,$c = \frac{1}{2} - a = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।
अतः,$a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{4}$।

(B) दिया गया समीकरण $y^{2}-4y=4x-4a$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y-2)^{2}-4=4x-4a$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(y-2)^{2}=4(x-(a-1))$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $(a-1, 2)$ है।
शीर्ष रेखाओं $L_1: x+y-3=0$ और $L_2: 2x+2y-1=0$ के बीच स्थित है।
इसलिए,$(a-1+2-3)(2(a-1)+2(2)-1) < 0$।
$(a-2)(2a+1) < 0$।
इस असमिका को हल करने पर,$a \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=12$,अतः $a=3$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $y=4x+3$ की ढाल $m=4$ है।
परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब की ढाल $m_{n} = -\frac{y_{1}}{2a}$ होती है।
चूंकि अभिलंब रेखा $y=4x+3$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $4$ होगी। अतः,$-\frac{y_{1}}{2(3)} = 4$,जिससे $y_{1} = -24$ प्राप्त होता है।
$y_{1} = -24$ को परवलय के समीकरण में रखने पर,$(-24)^{2} = 12x$,अतः $576 = 12x$,जिससे $x_{1} = 48$ प्राप्त होता है।
परवलय पर बिंदु $(48, -24)$ है।
$(48, -24)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-24) = 4(x - 48)$ है,जो $4x - y - 216 = 0$ हो जाता है।
दी गई रेखा $4x - y + 3 = 0$ है।
दो समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_{1} = 0$ और $Ax + By + C_{2} = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_{1} - C_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|3 - (-216)|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|3 + 216|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{219}{\sqrt{17}}$।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $y^{2} = 64x$ $(i)$ है।
परवलय पर स्थित वह बिंदु जो रेखा $4x + 3y + 35 = 0$ के सबसे निकट है,वह बिंदु है जहाँ स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समानांतर होती है।
रेखा $4x + 3y + 35 = 0$ की ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 64$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{32}{y}$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$\frac{32}{y} = -\frac{4}{3} \Rightarrow y = -24$.
$y = -24$ को $(i)$ में रखने पर:
$(-24)^{2} = 64x$ $\Rightarrow 576 = 64x$ $\Rightarrow x = 9$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(9, -24)$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $f(x) = x^{2} + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b$ है।
परवलय $y = f(x)$ का शीर्ष $x = -\frac{b}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$ पर स्थित होता है।
अब,$f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{dy}{dx} = 2x + b$.
बिंदु $x = \frac{\alpha + \beta}{2} = -\frac{b}{2}$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$f'\left(-\frac{b}{2}\right) = 2\left(-\frac{b}{2}\right) + b = -b + b = 0$.
ढाल $0$ होने का अर्थ है कि स्पर्श रेखा क्षैतिज है,अर्थात यह $x$-अक्ष के समानांतर है।
इसलिए,स्पर्श रेखा और $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण $0^{\circ}$ है।

(A) दिए गए परवलय $y = x^{2}$ और $y = -(x-2)^{2}$ हैं।
$y = x^{2}$ की स्पर्श रेखा $y = mx - \frac{m^{2}}{4}$ है।
यह रेखा $y = -(x-2)^{2}$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसे $(y-0) = -1(x-2)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के $y = a(x-h)^{2} + k$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = k - \frac{m^{2}}{4a}$ है।
यहाँ,$a = -1, h = 2, k = 0$ है। अतः,$c = 0 - \frac{m^{2}}{4(-1)} = \frac{m^{2}}{4}$।
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-\frac{m^{2}}{4} = \frac{m^{2}}{4}$ $\Rightarrow \frac{m^{2}}{2} = 0$ $\Rightarrow m = 0$।
$m = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 0$ है।
चूंकि $m$ का केवल एक ही मान है,इसलिए केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(C) परवलयों के समीकरण $y^2=4ax$ और $x^2=4by$ हैं।
$y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ है।
$x^2=4by$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx+2b+\frac{b}{m^2}$ है।
उभयनिष्ठ अभिलंब के लिए,समीकरण समान होने चाहिए,इसलिए $-2am-am^3 = 2b+\frac{b}{m^2}$।
$m^2$ से गुणा करने पर,हमें $-2am^3-am^5 = 2bm^2+b$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$am^5+2am^3+2bm^2+b=0$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह $m$ में $5$ घात का बहुपद समीकरण है,इसलिए $m$ के अधिकतम $5$ वास्तविक मूल हो सकते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ अभिलंबों की अधिकतम संख्या $5$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = x$ है,जो $y^{2} = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{4}$ है।
परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए,किसी बिंदु $(h, k)$ से तीन भिन्न अभिलंब खींचे जाने की शर्त $h > 2a$ है।
यहाँ,बिंदु $(d, 0)$ है,इसलिए $h = d$ है।
मान रखने पर,हमें $d > 2 \times \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$d > \frac{1}{2}$।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ की नियता (directrix) $x = -a$ अर्थात $x = -1$ है।
दिया गया बिंदु $(-1, -6)$ है।
चूँकि बिंदु का $x$-निर्देशांक $-1$ है,इसलिए यह बिंदु परवलय की नियता पर स्थित है।
परवलय के गुणधर्म के अनुसार,नियता पर स्थित किसी भी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं।
अतः,दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\pi / 2$ है।

(C) मान लीजिए परवलय $y^{2}=4x$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(t^{2}, 2t)$ और $(m^{2}, 2m)$ हैं। परवलय का शीर्ष $X(0, 0)$ है।
चूंकि $PQ$ शीर्ष $X$ पर समकोण बनाता है,इसलिए $XP$ और $XQ$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$XP$ की प्रवणता $= \frac{2t-0}{t^{2}-0} = \frac{2}{t}$.
$XQ$ की प्रवणता $= \frac{2m-0}{m^{2}-0} = \frac{2}{m}$.
दिया है,$(\frac{2}{t}) \times (\frac{2}{m}) = -1 \Rightarrow tm = -4$.
$(t^{2}, 2t)$ और $(m^{2}, 2m)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण है:
$y - 2t = \frac{2m-2t}{m^{2}-t^{2}}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2(m-t)}{(m-t)(m+t)}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2}{m+t}(x - t^{2})$.
चूंकि $PQ$ परवलय के अक्ष ($x$-अक्ष) को $R(\alpha, 0)$ पर काटता है,इसलिए $y=0$ और $x=\alpha$ रखने पर:
$0 - 2t = \frac{2}{m+t}(\alpha - t^{2})$
$-t(m+t) = \alpha - t^{2}$
$-tm - t^{2} = \alpha - t^{2}$
$\alpha = -tm$.
चूंकि $tm = -4$,इसलिए $\alpha = -(-4) = 4$.
अतः,शीर्ष $X(0, 0)$ से $R(4, 0)$ की दूरी $4$ है।

(D) परवलय $x^2=8y$ का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
मान लीजिए बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं। चूँकि $Q$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $x_1^2 = 8y_1$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
विभाजन सूत्र के अनुसार,चूँकि $P$,$OQ$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$h = \frac{1 \cdot x_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{x_1}{4} \Rightarrow x_1 = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{y_1}{4} \Rightarrow y_1 = 4k$
इन मानों को परवलय के समीकरण $x_1^2 = 8y_1$ में रखने पर:
$(4h)^2 = 8(4k)$
$16h^2 = 32k$
$h^2 = 2k$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2 = 2y$ है।

(D) मान लीजिए परवलय $(y - 6)^2 = 2(x - 4)$ पर बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(4 + \frac{t^2}{2}, 6 + t)$ हैं।
दिया गया है $P = (2, 0)$।
मान लीजिए $PQ$ का मध्य-बिंदु $R(h, k)$ है।
तब $h = \frac{2 + 4 + \frac{t^2}{2}}{2} = 3 + \frac{t^2}{4}$ और $k = \frac{0 + 6 + t}{2} = 3 + \frac{t}{2}$।
दूसरे समीकरण से,$\frac{t}{2} = k - 3$,इसलिए $t = 2(k - 3)$।
$h$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$h = 3 + \frac{(2(k - 3))^2}{4} = 3 + \frac{4(k - 3)^2}{4} = 3 + (k - 3)^2$।
$h - 3 = (k - 3)^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $(y - 3)^2 = x - 3$ प्राप्त होता है।
$y^2 - 6y + 9 = x - 3$।
$y^2 - 6y - x + 12 = 0$।

(A) दिया गया समीकरण $6y = 2a^3x^2 + 3a^2x - 12a$ है।
$2a^3$ से विभाजित करने पर,$x^2 + \frac{3}{2a}x = \frac{6y + 12a}{2a^3}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x + \frac{3}{4a})^2 = \frac{48y + 105a}{16a^3}$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $(h, k)$ के लिए $h = -\frac{3}{4a}$ और $k = -\frac{35a}{16}$ है।
$h = -\frac{3}{4a}$ से,$a = -\frac{3}{4h}$ प्राप्त होता है।
$k$ में $a$ का मान रखने पर: $k = \frac{105}{64h}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $xy = \frac{105}{64}$ है।

(D) माना जीवा शीर्ष $V(0, 0)$ से गुजरती है और परवलय $y^{2}=4ax$ को $P(at^{2}, 2at)$ पर काटती है।
माना $(h, k)$ जीवा $VP$ का मध्य-बिंदु है।
तब,$h = \frac{at^{2}+0}{2} = \frac{at^{2}}{2}$ और $k = \frac{2at+0}{2} = at$ है।
$k = at$ से,हमें $t = \frac{k}{a}$ प्राप्त होता है।
$h$ के व्यंजक में $t$ का मान रखने पर: $h = \frac{a}{2} \left(\frac{k}{a}\right)^{2} = \frac{k^{2}}{2a}$।
अतः,$k^{2} = 2ah$ है।
मध्य-बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $y^{2} = 2ax$ है।
इसे $(y-0)^{2} = 4\left(\frac{a}{2}\right)(x-0)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय $Y^{2} = 4AX$ के लिए,नियता $X = -A$ होती है।
यहाँ,$A = \frac{a}{2}$ है,इसलिए नियता $x = -\frac{a}{2}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(7x+5)^{2}+(7y+3)^{2}=\lambda^{2}(4x+3y-24)^{2}$ है।
यह $SP^{2} = \lambda^{2} PM^{2}$ के रूप में है,जहाँ $S$ नाभि है और $PM$ नियता से लंबवत दूरी है।
परवलय के लिए उत्केंद्रता $e = 1$ होनी चाहिए।
यहाँ,$e = \lambda \cdot \frac{\sqrt{4^2+3^2}}{7} = \lambda \cdot \frac{5}{7}$ है।
परवलय के लिए $e = 1$ होने पर,$\lambda \cdot \frac{5}{7} = 1$ होगा।
अतः,$\lambda = \pm \frac{7}{5}$।

(C) माना शीर्ष $(0, 0)$ से गुजरने वाली जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
जीवा का समीकरण $y = \frac{k}{h}x$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ में मान रखने पर,हमें $k^2 = 2ah$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $y^2 = 2ax$ है,जो एक परवलय है।

(B) परवलय $y^{2}=8x$ है,अतः $4a=8 \Rightarrow a=2$. नाभि $A$ $(2,0)$ है।
माना बिंदु $B$ और $C$ क्रमशः $(2t_{1}^{2}, 4t_{1})$ और $(2t_{2}^{2}, 4t_{2})$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{2t_{1}^{2}+2t_{2}^{2}+2}{3}, \frac{4t_{1}+4t_{2}+0}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{4}{3})$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+1) = 7 \Rightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = \frac{5}{2}$.
$4(t_{1}+t_{2}) = 4 \Rightarrow t_{1}+t_{2} = 1$.
अब,$(t_{1}-t_{2})^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 4t_{1}t_{2}$.
चूँकि $t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$,इसलिए $1 - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2t_{1}t_{2} = -\frac{3}{2}$ $\Rightarrow t_{1}t_{2} = -\frac{3}{4}$.
अतः,$(t_{1}-t_{2})^{2} = 1 - 4(-\frac{3}{4}) = 1+3 = 4$.
$(BC)^{2} = (2t_{1}^{2}-2t_{2}^{2})^{2} + (4t_{1}-4t_{2})^{2} = 4(t_{1}^{2}-t_{2}^{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2}$.
$(BC)^{2} = 4(t_{1}+t_{2})^{2}(t_{1}-t_{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2} = 4(1)^{2}(4) + 16(4) = 16 + 64 = 80$.

(C) परवलय $x^2 = 4y$ पर प्राचल बिंदु $P(2t, t^2)$ है।
रेखा $x - y - 1 = 0$ में $P$ का प्रतिबिंब $Q(h, k)$ है।
प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{h - 2t}{1} = \frac{k - t^2}{-1} = -2 \frac{2t - t^2 - 1}{2} = t^2 - 2t + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = t^2 + 1$ और $k = 2t - 1$ है।
$k = 2t - 1$ से $t = \frac{k + 1}{2}$ प्राप्त होता है।
$h = t^2 + 1$ में $t$ का मान रखने पर,$h = (\frac{k + 1}{2})^2 + 1$ प्राप्त होता है।
$h - 1 = \frac{(k + 1)^2}{4} \implies (k + 1)^2 = 4(h - 1)$ है।
अतः,प्रतिबिंब परवलय का समीकरण $(y + 1)^2 = 4(x - 1)$ है।
तुलना करने पर $a = 1, b = 4, c = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a + b + c = 1 + 4 + 1 = 6$।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=16x$ है,जो $y^{2}=4ax$ के रूप में है,जहाँ $a=4$ है।
मान लीजिए बिंदु $A$ के निर्देशांक $(at_{1}^{2}, 2at_{1}) = (16, 16)$ हैं।
अतः,$2(4)t_{1} = 16 \Rightarrow t_{1}=2$.
चूंकि $AB$ एक नाभीय जीवा है,इसके अंत बिंदुओं के प्राचलों का गुणनफल $t_{1}t_{2}=-1$ होता है।
इसलिए,$2t_{2}=-1 \Rightarrow t_{2}=-\frac{1}{2}$.
बिंदु $B$ के निर्देशांक $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (4(-\frac{1}{2})^{2}, 2(4)(-\frac{1}{2})) = (1, -4)$ हैं।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ जीवा $AB$ को $5:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
स्थिति $1$: $P$,$AB$ को $5:2$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$\alpha = \frac{5(1) + 2(16)}{5+2} = \frac{37}{7}$,$\beta = \frac{5(-4) + 2(16)}{5+2} = \frac{12}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{37+12}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
स्थिति $2$: $P$,$BA$ को $5:2$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$\alpha = \frac{5(16) + 2(1)}{5+2} = \frac{82}{7}$,$\beta = \frac{5(16) + 2(-4)}{5+2} = \frac{72}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{82+72}{7} = \frac{154}{7} = 22$.
$\alpha+\beta$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(C) परवलय $y^{2}=12x$ है,इसलिए $4a=12 \Rightarrow a=3$ है। परवलय पर कोई बिंदु $P(3t^{2}, 6t)$ है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{2}{t}$ है।
$\angle OPA=90^{\circ}$ होने के कारण,$OP \perp PA$,इसलिए $PA$ की ढाल $m_{PA} = -\frac{t}{2}$ है।
रेखा $PA$ का समीकरण $y-6t = -\frac{t}{2}(x-3t^{2})$ है।
$x$-अक्ष पर बिंदु $A$ के लिए,$y=0$ रखने पर: $x = 3t^{2}+12$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = (3t^{2}+12, 0)$ है।
$\triangle OPA$ के केंद्रक $G(h, k)$ के लिए:
$h = \frac{6t^{2}+12}{3} = 2t^{2}+4$ और $k = \frac{6t}{3} = 2t$ है।
$t = \frac{k}{2}$ रखने पर,$h = 2(\frac{k}{2})^{2}+4 = \frac{k^{2}}{2}+4$ प्राप्त होता है।
$2h = k^{2}+8 \Rightarrow k^{2} = 2h-8$ है।
अतः,बिंदु पथ $y^{2} = 2x-8$ या $y^{2}-2x+8=0$ है।

(B) मान लीजिए परवलय $y^2=4x$ है। परवलय पर कोई भी बिंदु $P(t^2, 2t)$ है।
जीवा मूल बिंदु $O(0,0)$ और $P(t^2, 2t)$ से गुजरती है।
जीवा $OP$ का मध्य-बिंदु $M(h, k)$,$h = \frac{t^2+0}{2} = \frac{t^2}{2}$ और $k = \frac{2t+0}{2} = t$ द्वारा दिया जाता है।
$t=k$ को $h = \frac{t^2}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h = \frac{k^2}{2}$ मिलता है,इसलिए $k^2=2h$।
बिंदु पथ $S$,$y^2=2x$ है।
मान लीजिए $P(x_0, y_0)$,$S$ पर एक बिंदु है,इसलिए $y_0^2=2x_0$। चूंकि $P$,$S$ पर है,हम $P$ को $(2t^2, 2t)$ के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि $(2t)^2 = 2(2t^2)$।
मान लीजिए $R(x, y)$ वह बिंदु है जो $OP$ को $3:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{3(2t^2) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t^2}{4} = \frac{3t^2}{2}$
$y = \frac{3(2t) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t}{4} = \frac{3t}{2}$
$y = \frac{3t}{2}$ से,हमें $t = \frac{2y}{3}$ मिलता है।
$t$ का मान $x = \frac{3t^2}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{3}{2} \left(\frac{2y}{3}\right)^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4y^2}{9} = \frac{2y^2}{3}$
इस प्रकार,$3x = 2y^2$,या $2y^2=3x$।

(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 12$,अतः $a = 3$ है। परवलय पर स्थित बिंदु $P_{1}(3t_{1}^{2}, 6t_{1})$ और $P_{2}(3t_{2}^{2}, 6t_{2})$ हैं।
चूंकि जीवा $P_{1}P_{2}$ शीर्ष $(0, 0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए $OP_{1}$ और $OP_{2}$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होगा।
प्रवणता $m_{1} = \frac{6t_{1}}{3t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}}$ और $m_{2} = \frac{6t_{2}}{3t_{2}^{2}} = \frac{2}{t_{2}}$ है।
अतः,$(\frac{2}{t_{1}})(\frac{2}{t_{2}}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -4$.
अब,$x_{1}x_{2} = (3t_{1}^{2})(3t_{2}^{2}) = 9(t_{1}t_{2})^{2} = 9(-4)^{2} = 9(16) = 144$.
और $y_{1}y_{2} = (6t_{1})(6t_{2}) = 36(t_{1}t_{2}) = 36(-4) = -144$.
इसलिए,$x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} = 144 - (-144) = 144 + 144 = 288$.