Parabola Questions in Hindi

(D) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $a=1$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
यदि यह अभिलंब $(9,6)$ से गुजरता है,तो $6 = -9t + 2(1)t + (1)t^3$ होगा।
$6 = -7t + t^3 \Rightarrow t^3 - 7t - 6 = 0$।
मानों की जाँच करने पर,$t=-1$ एक मूल है: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$।
$(t+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(t+1)(t^2 - t - 6) = 0 \Rightarrow (t+1)(t-3)(t+2) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $t = -1, 3, -2$ हैं।
चूँकि $t$ के लिए $3$ भिन्न वास्तविक मान हैं,इसलिए बिंदु $(9,6)$ से परवलय पर $3$ भिन्न अभिलंब खींचे जा सकते हैं।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 9$,अतः $a = \frac{9}{4}$.
बिंदु $P(9, 9)$ पर,प्राचल $t_1$ मान लें। तब $2at_1 = 9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t_1 = 9$ $\Rightarrow t_1 = 2$.
$t_1$ पर अभिलंब परवलय को $t_2$ पर मिलता है,जहाँ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$.
$Q(a, b)$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (\frac{9}{4} \times (-3)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times (-3)) = (\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ हैं।
अतः,$a = \frac{81}{4}$ और $b = -\frac{27}{2}$.
$2a + b = 2(\frac{81}{4}) + (-\frac{27}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{27}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

(D) परवलय $y^2=4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
परवलय $y^2=4x$ के लिए $a=1$ है,अतः समीकरण $y=mx-2m-m^3$ होगा।
चूंकि अभिलंब $(5,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=5$ और $y=0$ रखने पर:
$0 = m(5) - 2m - m^3$
$0 = 3m - m^3$
$m(3 - m^2) = 0$
अतः,ढाल $m=0$ और $m=\pm\sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।
$m=\sqrt{3}$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $y=\sqrt{3}(x-5)$ अर्थात $\sqrt{3}x-y-5\sqrt{3}=0$ है।

(B) दिया गया परवलय $y^2=12x$ है,इसलिए $4a=12 \Rightarrow a=3$ है।
ढाल $m$ वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ है,जो $y=mx-6m-3m^3$ हो जाता है।
चूंकि अभिलंब $P(8,0)$ से गुजरता है,इसलिए $0=8m-6m-3m^3$ है।
$2m-3m^3=0 \Rightarrow m(2-3m^2)=0$ है।
ढाल $m_1=0$,$m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$,और $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ प्राप्त होते हैं।
गैर-क्षैतिज अभिलंबों की ढाल $m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$ और $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
इन दो अभिलंबों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2-m_3}{1+m_2m_3} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} - (-\sqrt{\frac{2}{3}})}{1 + (\sqrt{\frac{2}{3}})(-\sqrt{\frac{2}{3}})} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{1}{3}} \right| = 2\sqrt{6}$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
यहाँ $y^2 = 8x$ है,इसलिए $a = 2$,अतः स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
दी गई रेखा $2x + 3y + n = 0$ को $y = -\frac{2}{3}x - \frac{n}{3}$ के रूप में लिखने पर।
ढाल की तुलना करने पर,$m = -\frac{2}{3}$।
अंतःखंड की तुलना करने पर,$-\frac{n}{3} = \frac{2}{m} = -3$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(2n, 4\sqrt{n}) = (18, 12)$ है।
परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
यहाँ $(at^2, 2at) = (18, 12)$ और $a = 2$ है,इसलिए $2t^2 = 18 \Rightarrow t = 3$।
अभिलंब का समीकरण $y = -3x + 2(2)(3) + 2(3)^3 = -3x + 12 + 54$ है।
अतः,$3x + y - 66 = 0$।

(C) परवलय का समीकरण $y^2=x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,इसलिए $4a=1$ या $a=\frac{1}{4}$ है।
परवलय पर किसी भी बिंदु को $(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{4}, \frac{t}{2})$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
इस बिंदु पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/2}{t/2} = \frac{1}{t}$ है।
इस बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{\text{स्पर्शरेखा की प्रवणता}} = -t$ है।
प्रश्न के अनुसार,अभिलंब की प्रवणता बिंदु के $x$-निर्देशांक के बराबर है:
$-t = \frac{t^2}{4}$.
इसे व्यवस्थित करने पर $t^2 + 4t = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t(t+4) = 0$.
अतः,$t=0$ या $t=-4$ है।
$t$ के ये दो मान परवलय पर दो अलग-अलग बिंदुओं के अनुरूप हैं।
इसलिए,ऐसे $2$ बिंदु संभव हैं।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=12x$ है।
$y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=3$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1} = \frac{6}{y_1}$ है।
$A(3,-6)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{6}{-6} = -1$ है।
अतः,$A(3,-6)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -1/(-1) = 1$ है।
$A(3,-6)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-6) = 1(x - 3)$ है,जो $y = x - 9$ में सरल हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात करने के लिए,$y = x - 9$ को $y^2 = 12x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(x-9)^2 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 18x + 81 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 30x + 81 = 0$.
$(x-3)(x-27) = 0$.
चूंकि $x=3$ बिंदु $A$ है,इसलिए बिंदु $P$ के लिए $x=27$ है।
तब $y = 27 - 9 = 18$। अतः,$P(27, 18)$ है।
$P(27, 18)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x+x_1)$ के अनुसार:
$y(18) = 2(3)(x+27)$ $\Rightarrow 18y = 6(x+27)$ $\Rightarrow 3y = x+27$ $\Rightarrow x-3y+27=0$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $a=1$ है।
बिंदु $(h,k)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $my^3 + (2a-h)m^2 + k^2m - k = 0$ है।
बिंदु $(5,0)$ के लिए,$h=5$ और $k=0$ है।
समीकरण $m(y^2-3)=0$ हो जाता है।
तीन अभिलंबों के पाद $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हैं।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए,तीन अभिलंबों के पादों द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{2}{3}(h-2a), 0\right)$ होता है।
$h=5$ और $a=1$ रखने पर,केंद्रक $\left(\frac{2}{3}(5-2(1)), 0\right) = (2,0)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,अभिलंब का समीकरण $mx - y + c = 0$ है।
परवलय $y^2 = 16x$ है।
$y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 4$ प्राप्त होता है।
माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ हैं।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{1}{t}$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -t$ है,इसलिए $t = -m$ है।
अतः,बिंदु $P$ $(4m^2, -8m)$ है।
बिंदु $(at^2, 2at)$ की नाभीय दूरी $a(1 + t^2)$ होती है।
नाभीय दूरी $= 40$ दी गई है,इसलिए $4(1 + t^2) = 40$ $\Rightarrow 1 + t^2 = 10$ $\Rightarrow t^2 = 9$ $\Rightarrow t = \pm 3$।
चूंकि $t = -m$,इसलिए $m = \mp 3$,अतः $m^2 = 9$।
बिंदु $P$ $(4(9), 8(\mp 3)) = (36, \mp 24)$ है।
चूंकि $P$ अभिलंब $mx - y + c = 0$ पर स्थित है,इसलिए $m(36) - (\mp 24) + c = 0$ है।
$m = \mp 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $(\mp 3)(36) \pm 24 + c = 0 \Rightarrow \mp 108 \pm 24 + c = 0$।
यदि $m = -3$ है,तो $t = 3$,$P = (36, 24)$,अभिलंब $-3x - y + c = 0$ $\Rightarrow -3(36) - 24 + c = 0$ $\Rightarrow -108 - 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = 132$।
यदि $m = 3$ है,तो $t = -3$,$P = (36, -24)$,अभिलंब $3x - y + c = 0$ $\Rightarrow 3(36) - (-24) + c = 0$ $\Rightarrow 108 + 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = -132$।
दोनों स्थितियों में,$|c| = 132$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,इसलिए $a = 3$ है।
बिंदु $P(3, 6)$ के लिए $at^2 = 3$ और $2at = 6$ है। $a = 3$ रखने पर,$3t^2 = 3 \implies t = 1$ प्राप्त होता है।
$t$ पर अभिलंब जीवा की लंबाई $l_1 = 2a(t^2+2) \sqrt{t^2+1}$ है। $t = 1$ के लिए,$l_1 = 2(3)(1+2) \sqrt{1+1} = 18 \sqrt{2}$ है।
$P(at^2, 2at)$ से गुजरने वाली नाभीय जीवा की लंबाई $l_2 = a(t + \frac{1}{t})^2$ है। $t = 1$ के लिए,$l_2 = 3(1 + 1)^2 = 12$ है।
अतः,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{18 \sqrt{2}}{12} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$.

(B) दिए गए परवलय $y^2=16x$ के लिए, $4a=16$ है, अतः $a=4$ है।
नाभिलंब के सिरे $(4, 8)$ और $(4, -8)$ हैं।
बिंदु $(4, 8)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 1$ है, इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = -1$ है।
बिंदु $(4, 8)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 8 = -1(x - 4) \implies y = -x + 12$ है।
यह अभिलंब $X$-अक्ष को बिंदु $P(12, 0)$ पर काटता है।
जीवा बिंदु $P(12, 0)$ से होकर गुजरती है और अभिलंब के लंबवत है, इसलिए जीवा की ढाल $1$ है।
जीवा का समीकरण $y = x - 12$ है।
$y = x - 12$ को $y^2 = 16x$ में रखने पर, $(x - 12)^2 = 16x \implies x^2 - 40x + 144 = 0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $x = 4$ और $x = 36$ प्राप्त होते हैं।
अतः बिंदु $(4, -8)$ और $(36, 24)$ हैं।
जीवा की लंबाई $\sqrt{(36 - 4)^2 + (24 - (-8))^2} = \sqrt{32^2 + 32^2} = 32 \sqrt{2}$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 4$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
$a = 4$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $y = mx - 8m - 4m^3$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $y = -x + k$ अभिलंब है,अतः ढाल की तुलना करने पर $m = -1$ प्राप्त होता है।
$m = -1$ को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$y = (-1)x - 8(-1) - 4(-1)^3$
$y = -x + 8 + 4$
$y = -x + 12$
इसकी तुलना $y = -x + k$ से करने पर,$k = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप का परवलय है जहाँ $a = \frac{1}{4}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
$a = \frac{1}{4}$ रखने पर,$y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब $(c, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = mc - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ है।
यह $m(c - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$m = 0$ ($X$-अक्ष) या $m^2 = 4c - 2$ है।
अन्य दो अभिलंबों की ढाल $m_1 = \sqrt{4c - 2}$ और $m_2 = -\sqrt{4c - 2}$ हैं।
चूंकि ये दो अभिलंब लंबवत हैं,इसलिए उनका गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 m_2 = -1$ है।
इसलिए,$-(\sqrt{4c - 2})^2 = -1$,जिसका अर्थ है $4c - 2 = 1$ है।
$c$ के लिए हल करने पर,$4c = 3$,अतः $c = \frac{3}{4}$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
मान लीजिए कि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q$ पर पुनः मिलता है। मूल बिंदु $O(0,0)$ परवलय का शीर्ष है।
रेखाओं $OP$ और $OQ$ का संयुक्त समीकरण परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax$ को अभिलंब समीकरण $\frac{y + tx}{2at + at^3} = 1$ का उपयोग करके समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y + tx}{2at + at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
चूंकि $OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
अभिलंब जीवा के लिए $t \neq 0$ है,इसलिए $t^2 = 2$,अर्थात $t = \pm \sqrt{2}$।
अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। इस अभिलंब की ढाल $m = -t$ है।
अतः,ढाल $m = \mp \sqrt{2}$,जो $\pm \sqrt{2}$ के बराबर है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 1$,अतः $a = \frac{1}{4}$।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
$a = \frac{1}{4}$ रखने पर,समीकरण $y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $(C, 0)$ से गुजरता है,तो $0 = mC - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$।
इसे सरल करने पर $m(C - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ प्राप्त होता है।
एक हल $m = 0$ है,जो $x$-अक्ष पर अभिलंब को दर्शाता है।
तीन अलग-अलग अभिलंब खींचने के लिए,द्विघात समीकरण $\frac{m^2}{4} = C - \frac{1}{2}$ के दो अलग-अलग गैर-शून्य वास्तविक हल होने चाहिए।
इसके लिए $C - \frac{1}{2} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $C > \frac{1}{2}$।

(C) परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
मान लीजिए कि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q$ पर पुनः मिलता है। शीर्ष $O(0,0)$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ से जोड़ने वाली रेखाओं $OP$ और $OQ$ का संयुक्त समीकरण,परवलय के समीकरण $y^2=4ax$ को अभिलंब के समीकरण का उपयोग करके समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y+tx}{2at+at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$y^2(2at + at^3) = 4axy + 4atx^2$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
चूंकि $OP$ और $OQ$ समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$4at - 2at - at^3 = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
अभिलंब जीवा के लिए $t \neq 0$ है,इसलिए हमें $t^2 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=12x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=3$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
दिया गया अभिलंब $x+y=k$ है,जिसे $y=-x+k$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$m=-1$ है।
$m=-1$ और $a=3$ को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$y = (-1)x - 2(3)(-1) - 3(-1)^3$
$y = -x + 6 + 3$
$y = -x + 9$
$y = -x + 9$ की तुलना $x+y=k$ से करने पर,$k=9$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2=12x$ की नाभि $S(a, 0) = (3, 0)$ है।
नाभि $(3, 0)$ से रेखा $x+y-9=0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $p$:
$p = \frac{|1(3) + 1(0) - 9|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$p^2 = \frac{36}{2} = 18$.
अब,$4k - 2p^2$ की गणना करने पर:
$4(9) - 2(18) = 36 - 36 = 0$.

(B) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $a=1$ है। बिंदु $(1,0)$ परवलय की नाभि है।
परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $(h, k) = (1, 0)$ से गुजरता है,तो $0 = -t(1) + 2(1)t + (1)t^3$ होगा।
इसे सरल करने पर $0 = t + t^3$ या $t(1 + t^2) = 0$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए वास्तविक हल $t=0$ है।
$t=0$ के लिए,अभिलंब $y = 0$ है,जो $x$-अक्ष है।
अतः,बिंदु $(1,0)$ से परवलय $y^2=4x$ पर केवल $1$ अभिलंब खींचा जा सकता है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=4x$ है।
$P(1,2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y(2) = 2(x+1)$ है,जो $y = x+1$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = 1$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m' = -1$ होगी।
$P(1,2)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -1(x - 1)$ है,जो $x + y = 3$ या $x = 3 - y$ में सरल हो जाता है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4(3 - y)$
$y^2 = 12 - 4y$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
$(y - 2)(y + 6) = 0$
इससे $y = 2$ (बिंदु $P$ पर) और $y = -6$ (बिंदु $Q$ पर) प्राप्त होता है।
$y = -6$ के लिए,$x = 3 - (-6) = 9$ है।
अतः,बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(9, -6)$ हैं।

(A) दिया गया परवलय $y^2=4x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है। तुलना करने पर,हमें $a=1$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(1,4)$ से गुजरती है,इसलिए $4=m(1)+\frac{1}{m}$ है।
$m$ से गुणा करने पर,हमें $m^2-4m+1=0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ दो स्पर्श रेखाओं की ढाल हैं। अतः $m_1+m_2=4$ और $m_1m_2=1$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
सर्वसमिका $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$ का उपयोग करने पर,$\tan \theta = \frac{\sqrt{4^2-4(1)}}{1+1} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$।

(A) माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि $S(1, 0)$ की दूरी,$P$ से नियता $x+2y-1=0$ की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$PS = PM$
$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{5}$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,जहाँ $4a = 8$,इसलिए $a = 2$.
माना जीवा का समीकरण $y = mx + c$ है। रेखा $y = mx + c$ और परवलय $y^2 = 8x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(mx + c)^2 = 8x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $m^2x^2 + (2mc - 8)x + c^2 = 0$ में सरल हो जाते हैं।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। तो $x_1 + x_2 = -\frac{2mc - 8}{m^2}$ और $x_1x_2 = \frac{c^2}{m^2}$।
जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2}{2}, m(\frac{x_1 + x_2}{2}) + c)$ है।
चूँकि वृत्त की त्रिज्या $4$ है और यह परवलय के अक्ष $(y = 0)$ को स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $4$ या $-4$ होना चाहिए। अतः,$k = 4$ (धनात्मक लेने पर)।
जीवा की लंबाई $L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = |x_1 - x_2| \sqrt{1 + m^2} = 8$ (व्यास $8$ है)।
परवलय की जीवा के गुण के अनुसार,ढाल $m = \frac{2}{t_1 + t_2}$ और मध्य-बिंदु का $y$-निर्देशांक $k = 2(t_1 + t_2) = 4$,जो $t_1 + t_2 = 2$ देता है।
अतः,$m = \frac{2}{2} = 1$।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2=4ay$ है।
जब अक्षों को $90^{\circ}$ के कोण पर वामावर्त घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$x = x' \cos(90^{\circ}) - y' \sin(90^{\circ}) = -y'$
$y = x' \sin(90^{\circ}) + y' \cos(90^{\circ}) = x'$
इन मानों को मूल समीकरण $x^2=4ay$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-y')^2 = 4a(x')$
$y'^2 = 4ax'$
अतः,नया समीकरण $y^2=4ax$ है।

(B) परवलय $y^2 = 12x$ की नाभि $S(3, 0)$ है। माना $P(3t^2, 6t)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
माना $Q(h, k)$ वह बिंदु है जो $SP$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$h = \frac{m(3t^2) + n(3)}{m+n}$ और $k = \frac{m(6t) + n(0)}{m+n}$.
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{k(m+n)}{6m}$.
$t$ का मान $h$ के समीकरण में रखने पर:
$h = \frac{3m(\frac{k(m+n)}{6m})^2 + 3n}{m+n} = \frac{\frac{k^2(m+n)^2}{12m} + 3n}{m+n}$.
$k^2 = \frac{12m}{m+n}h - \frac{36mn}{(m+n)^2}$.
यह $Y^2 = 4AX$ के रूप में है,जहाँ $4A = \frac{12m}{m+n}$.
अतः,नाभिलंब की लंबाई $\frac{12m}{m+n}$ है।

(C) माना $P(at^2, 2at)$ और $Q(h, k)$ है। दिया गया है $A = (-1, 3)$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$Q$ जो $AP$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$h = \frac{3at^2 - 2}{5}$ और $k = \frac{6at + 6}{5}$.
इससे $5h+2 = 3at^2$ और $5k-6 = 6at$ प्राप्त होता है।
वर्ग करने और सरल करने पर,$(5k-6)^2 = 12a(5h+2)$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का समीकरण है,जिसकी नाभि $(h, k) = \left(\frac{3a-2}{5}, \frac{6}{5}\right)$ है।
प्रश्न में $A(-2, 3)$ लेने पर,उत्तर $\left(\frac{3a-4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का सामान्य समीकरण $PF^2 = e^2 PM^2$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ परवलय के लिए $e=1$ होता है।
दिए गए समीकरण $4[(x-a)^2+(y-b)^2]=(\alpha x+\beta y+7)^2$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{2}\right)^2$
$PF^2 = PM^2$ के रूप में लाने के लिए,रेखा के समीकरण को सामान्यीकृत करने पर:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2 \cdot \frac{\alpha^2+\beta^2}{4}$
इसके परवलय होने के लिए उत्केंद्रता $e=1$ होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि गुणांक $\frac{\alpha^2+\beta^2}{4} = 1^2$ है।
अतः,$\alpha^2+\beta^2=4$।

(D) माना $P(t_1^2, 2t_1)$ और $Q(t_2^2, 2t_2)$ जीवा के अंतिम बिंदु हैं।
माना बिंदु $R(h, k)$ जीवा $PQ$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1 \cdot t_2^2 + 3 \cdot t_1^2}{1+3} = \frac{t_2^2 + 3t_1^2}{4}$
$k = \frac{1 \cdot 2t_2 + 3 \cdot 2t_1}{1+3} = \frac{2t_2 + 6t_1}{4} = \frac{t_2 + 3t_1}{2}$
जीवा $PQ$ की ढाल $2$ दी गई है:
$\frac{2t_2 - 2t_1}{t_2^2 - t_1^2} = 2$
$\frac{2(t_2 - t_1)}{(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)} = 2$
$\frac{2}{t_2 + t_1} = 2 \Rightarrow t_1 + t_2 = 1 \Rightarrow t_2 = 1 - t_1$
$t_2 = 1 - t_1$ का मान $h$ और $k$ में रखने पर:
$k = \frac{(1 - t_1) + 3t_1}{2} = \frac{2t_1 + 1}{2} = t_1 + \frac{1}{2} \Rightarrow t_1 = k - \frac{1}{2}$
$4h = 3t_1^2 + (1 - t_1)^2 = 3t_1^2 + 1 - 2t_1 + t_1^2 = 4t_1^2 - 2t_1 + 1$
$t_1 = k - \frac{1}{2}$ का मान $4h$ के समीकरण में रखने पर:
$4h = 4(k - \frac{1}{2})^2 - 2(k - \frac{1}{2}) + 1$
$4h = 4(k^2 - k + \frac{1}{4}) - 2k + 1 + 1$
$4h = 4k^2 - 4k + 1 - 2k + 2 = 4k^2 - 6k + 3$
$h = k^2 - \frac{3}{2}k + \frac{3}{4}$
$k^2 - \frac{3}{2}k = h - \frac{3}{4}$
$(k - \frac{3}{4})^2 = h - \frac{3}{4} + \frac{9}{16} = h - \frac{3}{16}$
$(y - k_0)^2 = 4a(x - h_0)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $\left(\frac{3}{16}, \frac{3}{4}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है।
$y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8 \Rightarrow a=2$ प्राप्त होता है।
माना $P$ और $Q$ के प्राचलिक निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
अतः,$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt_1=x+2t_1^2$ $(i)$ है।
इसी प्रकार,$Q$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt_2=x+2t_2^2$ $(ii)$ है।
परवलय $y^2=8x$ के शीर्ष पर स्पर्श रेखा $y$-अक्ष है,अर्थात $x=0$।
$M$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखने पर,$yt_1=2t_1^2 \Rightarrow y=2t_1$ प्राप्त होता है। अतः,$M=(0, 2t_1)$।
$N$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(ii)$ में $x=0$ रखने पर,$yt_2=2t_2^2 \Rightarrow y=2t_2$ प्राप्त होता है। अतः,$N=(0, 2t_2)$।
दिया गया है कि $MN=4$,इसलिए $|2t_1-2t_2|=4$ $\Rightarrow |t_1-t_2|=2$ $\Rightarrow (t_1-t_2)^2=4$ $(iii)$।
स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(h, k) = (at_1t_2, a(t_1+t_2))$ है।
अतः,$(h, k) = (2t_1t_2, 2(t_1+t_2))$।
इसका अर्थ है $t_1t_2 = h/2$ और $t_1+t_2 = k/2$।
हम जानते हैं कि $(t_1+t_2)^2 = (t_1-t_2)^2 + 4t_1t_2$।
मान रखने पर,$(k/2)^2 = 4 + 4(h/2)$ $\Rightarrow k^2/4 = 4+2h$ $\Rightarrow k^2 = 16+8h = 8(h+2)$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2=8(x+2)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P = (3, 1)$ और $Q = (x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित एक बिंदु है।
माना $R(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार:
$h = \frac{3 + x_1}{2} \implies x_1 = 2h - 3$
$k = \frac{1 + y_1}{2} \implies y_1 = 2k - 1$
चूंकि बिंदु $Q(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित है,इसलिए:
$(2k - 1)^2 = 8(2h - 3)$
$4k^2 - 4k + 1 = 16h - 24$
$4k^2 - 4k - 16h + 25 = 0$
अतः,$R(h, k)$ का बिंदुपथ $4y^2 - 4y - 16x + 25 = 0$ है।

(D) माना $Q(h, k)$ नाभि $F(a, 0)$ और परवलय $y^2=4ax$ पर एक चर बिंदु $P(x_0, y_0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु $Q$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$(h, k) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0+0}{2}\right) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0}{2}\right)$
इससे,हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{x_0+a}{2} \Rightarrow x_0 = 2h - a$
$k = \frac{y_0}{2} \Rightarrow y_0 = 2k$
चूंकि $P(x_0, y_0)$ परवलय $y^2=4ax$ पर स्थित है,हम $x_0$ और $y_0$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2k)^2 = 4a(2h - a)$
$4k^2 = 8ah - 4a^2$
$k^2 = 2a(h - \frac{a}{2})$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$ है।
यह $Y^2 = 4AX$ के रूप का एक परवलय है,जहाँ $Y = y$,$X = x - \frac{a}{2}$,और $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$ है।
$Y^2 = 4AX$ के लिए नियता का समीकरण $X = -A$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$
$x = 0$

(A) माना $P$ परवलय $y^2=8x$ पर एक बिंदु है। $P$ के निर्देशांक $(2t^2, 4t)$ के रूप में लिए जा सकते हैं।
माना $M(x, y)$ रेखाखंड $AP$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $A(1, 0)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2t^2 + 1}{2}$ और $y = \frac{4t + 0}{2} = 2t$.
$y = 2t$ से,हमें $t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$x = \frac{2(\frac{y}{2})^2 + 1}{2} = \frac{2(\frac{y^2}{4}) + 1}{2} = \frac{\frac{y^2}{2} + 1}{2} = \frac{y^2 + 2}{4}$.
$4x = y^2 + 2$.
$y^2 = 4x - 2 = 4(x - \frac{1}{2})$.
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ $y^2 = 4(x - \frac{1}{2})$ है।

(C) दी गई संयुग्मी रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ और $x - y + k = 0$ $(ii)$ हैं।
दो रेखाएँ एक परवलय के सापेक्ष संयुग्मी कहलाती हैं यदि एक रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।
माना परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष रेखा $2x + 3y + 12 = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1)$ है।
$(x_1, y_1)$ का ध्रुवीय (polar) समीकरण $yy_1 = 4(x + x_1)$ है,जो $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ के रूप में है।
इसे $2x + 3y + 12 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3}$ से $y_1 = -6$ प्राप्त होता है।
$\frac{4}{2} = \frac{4x_1}{12}$ से $x_1 = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव $(6, -6)$ है।
चूंकि रेखाएँ संयुग्मी हैं,इसलिए ध्रुव $(6, -6)$ दूसरी रेखा $x - y + k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
मान रखने पर: $6 - (-6) + k = 0$.
$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

(D) दो रेखाओं $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ के परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष संयुग्मी होने की शर्त $l_1n_2 + l_2n_1 = 2am_1m_2$ है।
दी गई रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ और $x - y + 4\lambda = 0$ हैं और परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$ अर्थात $a = 2$ है।
यहाँ,$l_1 = 2, m_1 = 3, n_1 = 12$ और $l_2 = 1, m_2 = -1, n_2 = 4\lambda$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(4\lambda) + 1(12) = 2(2)(3)(-1)$
$8\lambda + 12 = -12$
$8\lambda = -24$
$\lambda = -3$.

(D) मान लीजिए परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $A$ के निर्देशांक $(t^2, 2t)$ हैं,जहाँ $a=1$ है।
चूँकि $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,$OA$ का मध्य बिंदु $M(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{0+t^2}{2} = \frac{t^2}{2} \implies t^2 = 2h$
$k = \frac{0+2t}{2} = t \implies t = k$
$t=k$ को $t^2=2h$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k^2 = 2h$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $y^2=2x$ है।

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। माना $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ परवलय पर दो बिंदु हैं ताकि $PQ$ नाभि $S(a, 0)$ से गुजरने वाली एक नाभिलंब जीवा हो।
जीवा $PQ$ का समीकरण $y(t_1 + t_2) = 2x + 2at_1t_2$ है।
चूंकि यह $(a, 0)$ से गुजरती है,हमारे पास $0 = 2a + 2at_1t_2$ है,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -1$।
माना $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष जीवा $PQ$ का ध्रुव है।
$(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है,जिसे $yy_1 - 2ax = 2ax_1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना जीवा के समीकरण $y(t_1 + t_2) - 2x = 2at_1t_2$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = \frac{-2a}{-2} = \frac{2ax_1}{2at_1t_2}$
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = a$ से,हमें $y_1 = a(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है।
$a = \frac{x_1}{t_1t_2}$ से,हमें $x_1 = at_1t_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t_1t_2 = -1$,हमें $x_1 = a(-1) = -a$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव $(x_1, y_1)$ का बिंदुपथ $x = -a$ है,जो परवलय की नियता है।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $4a = 5$,इसलिए $a = \frac{5}{4}$ है।
माना बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है।
$P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब परवलय को पुनः $Q(at_1^2, 2at_1)$ पर मिलता है,जहाँ $t_1 = -t - \frac{2}{t}$ है।
जीवा $PQ$ शीर्ष $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए $OP$ और $OQ$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
$OP$ की प्रवणता $= \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t}$ है।
$OQ$ की प्रवणता $= \frac{2at_1}{at_1^2} = \frac{2}{t_1}$ है।
अतः,$\left(\frac{2}{t}\right) \times \left(\frac{2}{t_1}\right) = -1 \implies t_1 = -\frac{4}{t}$ है।
$t_1$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-t - \frac{2}{t} = -\frac{4}{t} \implies t = \frac{2}{t} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$ (चूंकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है)।
तब $t_1 = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ है।
$Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1) = \left(\frac{5}{4}(-2\sqrt{2})^2, 2(\frac{5}{4})(-2\sqrt{2})\right) = \left(\frac{5}{4}(8), -5\sqrt{2}\right) = (10, -5\sqrt{2})$ हैं।

(D) चूंकि बिंदु $(1,0), (0,2),$ और $(-1,-1)$ परवलय $ax^2 + bx + cy + d = 0$ पर स्थित हैं,हमारे पास है:
$a(1)^2 + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow a + b + d = 0$ ... $(i)$
$a(0)^2 + b(0) + c(2) + d = 0 \Rightarrow 2c + d = 0$ ... $(ii)$
$a(-1)^2 + b(-1) + c(-1) + d = 0 \Rightarrow a - b - c + d = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ में से $(iii)$ को घटाने पर: $(a + b + d) - (a - b - c + d) = 0$ $\Rightarrow 2b + c = 0$ $\Rightarrow c = -2b$.
$(ii)$ से,$d = -2c = -2(-2b) = 4b$.
$(i)$ से,$a = -b - d = -b - 4b = -5b$.
अतः,$\frac{ad}{bc} = \frac{(-5b)(4b)}{b(-2b)} = \frac{-20b^2}{-2b^2} = 10$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 32x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 32$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 8$ है। नाभि $S$ $(8, 0)$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए,नाभिलंब जीवा के दूसरे सिरे $Q(x_2, y_2)$ के निर्देशांक $x_2 = \frac{a^2}{x_1}$ और $y_2 = \frac{-4a^2}{y_1}$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए $P = (\frac{1}{2}, 4)$ के लिए,$x_2 = \frac{8^2}{1/2} = 128$ और $y_2 = \frac{-4(8^2)}{4} = -64$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (128, -64)$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करके $SQ$ की गणना करने पर:
$SQ = \sqrt{(128 - 8)^2 + (-64 - 0)^2} = \sqrt{120^2 + (-64)^2} = \sqrt{14400 + 4096} = \sqrt{18496} = 136$.

(B) दिया गया समीकरण $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = r(1 - \cos \theta) = r - r \cos \theta$.
चूँकि $x = r \cos \theta$ और $r = \sqrt{x^2 + y^2}$,इसलिए $l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$ है।
अतः,$\sqrt{x^2 + y^2} = x + l$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 = (x + l)^2 = x^2 + 2lx + l^2$.
सरल करने पर,$y^2 = 2lx + l^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का मानक समीकरण है।